Luận văn tính catenary trong các đại số hữu hạn sinh như môđun

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHẠM VĂN CHUYỀN y TÍNH CATENARY TRONG CÁC ĐẠI SỐ sỹ c z oc tch hc,ọ ọc 23dNHƯ MÔĐUN HỮU HẠN SINH ọ aho ọi hc n oc hạ căz ăcna nạiđ ndov v n đ vnă nvă u2ậ3 nuậ ậvnă n,1l L ậ Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHẠM VĂN CHUYỀN TÍNH CATENARY TRONG CÁC ĐẠI SỐ HỮU HẠN SINH NHƯ MÔĐUN sỹ y z ạc ocvà Lý thuyết số Chuyên ngành: Đại tch số d ọ , hc c hoọ hc ọ n z Mãcnasố: oca hạọi 62.46.01.04 iđ ovcă nvă đnạ nd vnă ănvă ,1lu2ậ3 ậ u ậLn ậvn n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS NGUYỄN THỊ DUNG THI NGUYấN - 2015 i Lời am đ0a Tôi i am đ0a ằ kế ì luậ ă kô ị ù lặ i luậ ă - đâ uồ ài liệu sử dụ iệ 0à luậ ă uồ ài liệu mở ô i, ài liệu luậ ă đà đ-ợ i õ uồ ố ọ iê s y ạc cz tch ọ , c h c hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu ạm ă u ii Lời ảm Tôi i ỏ lò iế â à sâu sắ i S TS uễ Tị Du, -ời đà ậ ì - dẫ ôi 0à luậ ă i â ảm ầ, ô iệ T0á ọ iệ am, k0a T0á ộ ậ đà0 ạ0 Sau đại ọ - T-ờ Đại ọ Sạm Tái uê, đà ậ ì iả dạ, ạ0 điu kiệ i đ ôi ì ọ ậ 0à ả luậ ă i ảm ữ -ời â ia đì, l a0 ọ T0á K21, đà độ iê i đ ôi suố ì ọ ậ ả luậ ă kô kỏi ữ iếu só, ấ m0 ậ y đ-ợ s ỉ ả0 ậ ì ầ ôcz ®åпǥ пǥҺiÖρ ạc sỹ h ,ọtc ọhc hc ọc 123 o h oca hạọi căzn ăcna nạiđ ndov v n ă ăđ ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu TҺ¸i uê, ăm 2015 Tá iả luậ ă ạm ă u iii Mụ lụ Mở đầu -ơ Đại số ữu si - mộ -môđu 1.1 ụ uộ uê ê 1.2 Đại số ữu si - mộ -môđu 13 ເҺ-¬пǥ TÝпҺ ເaƚeпaгɣ ay-môđu ữu si 21 h s c z h oc ,ọtc c 3d c h hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu 2.1 TÝпҺ ເaƚeпaгɣ ѵµ ເaƚeпaгɣ ρҺỉ dơпǥ 21 2.2 Tí aea -môđu ữu si 29 K̟Õƚ luËп 36 Tài liệu am kả0 37 Mở đầu Mộ dà ă ặ iđêa uê ƚè ρ = ρ0 ⊂ ρ1 ⊂ = q đ-ợ ia0 0á 0ee q iđêa uê ố ại mộ iđêa uê ố J sa0 ເҺ0 ρi ⊂ ρJ ⊂ ρi+1 K̟Һi ®ã đ-ợ ọi ọi mộ í iđêa uê ố Ã0 òa iữa q ếu i i, klà ô àlà độ dài í iđêa uê ố Ã0 òa ê đ-ợ ọi iđêa uê ố ь·0 Һßa ρ = ρ0 ⊂ ρ1 ⊂ = q ằm iữa q aea ếu i ặ iđêa uê ố q luô ại í í uê ố Ã0 0à iữa q đu ó u độ dài đ-ợ ọi aea ổ dụ ếu -đại số ữu si đu aea Tí aea đ-ợ iê ứu đầu iê ởi W Kull [K] ăm 1937 Sau l0ạ ô ì 0á ọ - M Пaǥaƚa [П1], [П2], I S ເ0Һeп [ເ1], [ເ2], L J Гaƚliff [Г1], [Г2], ເҺ0 ay ƚҺÊɣ г»пǥ h sỹ c z h oc ,ọtc c 3d c h hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu í ấ mộ ò qua ọ iệ iê ứu ấu à môđu ắ lại ằ W Kull [K] (1937) đà ứ ỏ ằ đại số ữu si ê mộ -ờ ເaƚeпaгɣ TiÕρ ƚҺe0, I S ເ0Һeп [ເ1] (1946) ເҺøпǥ miпҺ địa -ơ đầ đủ đu aea Kế qu¶ ƚiÕρ ƚҺe0 ƚҺuéເ ѵὸ M Пaǥaƚa [П1] (1956) пãi ằ mi uê địa -ơ a kô ộ lẫ aea 0ài a, ằ ữ lậ luậ iả, a ó ứ mi l sa0 ເҺ0 dim Г ™ lµ ѵµпҺ ເaƚeпaгɣ, Г lµ ເaƚeпaгɣ пÕu ѵµ ເҺØ пÕu Г/I lµ ເaƚeпaгɣ ѵίi mäi iđêa I , ả đồ ấu địa -ơ óa aea aea - ậ ầu ế đ-ợ iế đế ế ữ ứ dụ ì ọ đại số đu aea ì ậ, mộ âu ỏi đặ a liệu ằ í aea ó đ-ợ ả0 0à qua mở ộ à? í dụ ếu mộ -môđu ữu si ì liệu ằ í aea liê ệ i au - ế à0? ăm 1999, S 00 K isida [] ài á0 "ATEAIT I M0DULE-FIITE ALEAS" đă ê í 0eedis 0f e Ameia Maemaial S0ie đà ả lời âu ỏi ê Kế í ài á0 đị lý sau Đị lý iả sử ia0 0á, 0ee, -đại số ữu si - mộ -môđu (kô ấ iế ia0 0á) Ki aea ếu aea ổ dụ Te0 aliff [2, Đị lý 3.6], ếu mi địa -ơ ì í aea ổ dụ -ơ đ-ơ i í a kô ộ lẫ, ì ế iu -ợ lại đị lý ê đ ếu miay địa -ơ (ệ 2.2.9) ì h s c z h oc ,ọtc c 3d c h hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu 0e-Maaula aea ổ dụ ê đị lý ê a ó a mộ ệ ếu 0e-Maaula ì aea (ệ 2.2.7) ữa, -ờ ợ (, m) địa -ơ, 0ee -môđu 0e-Maaula ì aea (ệ 2.2.8) Mụ đí luậ ă ì lại ứ mi i iế mộ số kế -môđu ữu si, í ấ aea, aea ổ dụ à kế S Ǥ0ƚ0 ѵµ K̟ ПisҺida [ǤП] ѵὸ ƚÝпҺ ເaƚeпaгɣ ເđa -môđu ữu si ê ia0 0á 0ee ội du í luậ ă a0 ồm -ơ -ơ dà đ ì kái iệm, í ấ liê qua đế mở ộ uê ê mộ à, đị lý kô s0 sá đ-ợ, đị lý ằm ê, đị lý 0i-u, kái iệm, í dụ mộ số í ấ -môđu ữu si đ-ợ ì -ơ -ơ ứ mi mộ số kế ả í aea, aea ổ dụ kế í ài á0 S 00 K isida [] ầ kế luậ luậ ă ổ kế kế đà đạ đ-ợ s y c cz tch ọ , c h c hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uLnu nvỏ L lu -ơ Đại số ữu si - mộ -môđu ội du -ơ ồm ầ, ầ mộ đ-a a kái iệm mở ộ uê ệ ố lại mộ số kế sở mở ộ uê -: c s y cz h ,tc Đị lý kô s0 sá đ-ợ (I0maaili), Đị lý ằm ê (Lihc ọc 23 ho hc oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu 0e), Đị lý lê (0i-u) ầ đ-a a kái iệm, í dụ ệ ố lại mộ số kế í -môđu ữu si T0 -ơ luô kí iệu , S ia0 0á, M mộ môđu mộ -đại số ữu si - mộ -môđu kế quả, uậ ữ đ-ợ am kả0 uố sá Г Ɣ SҺaгρ [SҺ], M F AƚiɣaҺ aпd I Ǥ MaD0ald [AM] ài á0 S 00 K isida [] 1.1 ụ uộ uê ê Đị ĩa 1.1.1 ([S, Đị ĩa 13.16]) ia0 0á S , ầ s S đ-ợ ọi uê ê ếu ại 0, , гҺ−1 ∈ Г sa0 ເҺ0 sҺ + гҺ−1sҺ−1 + + г0 = 0, Һaɣ пãi ເ¸ເҺ k̟Һ¸ເ ki ỉ ki s iệm mộ đa ứ m0i [] S đ-ợ ọi uê ê ếu ầ s S đu uê ê Mộ đồ ấu f : J iữa ia0 0á đ-ợ ọi uê s y c cz tch ọ , c h c hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu ເaƚeпaгɣ 37 sỹ y ạc cz tch ọ , c h c hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu 38 e0 Mệ đ 2.1.11 ì ເaƚeпaгɣ ρҺỉ dơпǥ Ѵ× ѵËɣ, пÕu dim Г ≤ ì aea ổ dụ (, m) 0ee địa -ơ ia0 0á, mộ -môđu M ữu si đ-ợ ọi môđu 0e-Maaula ếu M = Һ0Ỉເ deρƚҺ M = dim M ПÕu Г -môđu 0e-Maaula ì đ-ợ ọi 0e- Maaula địa -ơ Ta ó kế sau ổ ®ὸ 2.1.13 ເҺ0 Г lµ ѵµпҺ ເ0Һeп-Maເaulaɣ, k̟Һi ®ã (i) Гρ ເὸпǥ lµ ѵµпҺ ເ0Һeп-Maເaulaɣ y (ii) Г[Х1, , Хп] ເὸпǥ lµ ѵµпҺ ເ0Һeп-Maເaulaɣ sỹ c z hạ oc Mệ đ 2.1.14 (, m) mộhà ,c tc c 3d 0e-Maaula địa -ơ, I ho hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uLnu nvỏ L lu iđêa s ເđa Г K̟Һi ®ã (i) Һƚ I = deρƚҺ(I, Г) d0 I + dim /I = dim Г (ii) Г lµ ѵµпҺ ເaƚeпaгɣ ρҺỉ dơпǥ ເҺøпǥ miпҺ (i) Ta ເã Һƚ I = iпf{dim Гρ|ρ ∈ Ѵ (I)} ì 0e- Maaula ê 0e-Maaula, d0 dim = de Һaɣ Һƚ I = iпf {deρƚҺ Гρ|ρ ∈ Ѵ (I)} = deρƚҺ(I, Г) = dim Г − dim Г/I Һaɣ Һƚ I + dim Г/I = dim Г (ii) Ta đà iế đa ứ ê mộ 0e-Maaula 0e- Maaula, d0 a ỉ ầ ỉ a Г lµ ເaƚeпaгɣ TҺËƚ ѵËɣ lÊɣ ρ, q ∈ Sρeເ Г sa0 ເҺ0 ρ ⊂ q K̟Һi ®ã Гq ເὸпǥ lµ ѵµпҺ ເ0Һeп-Maເaulaɣ ƚҺe0 mơເ (i) ƚa ເã Һƚ q = dim Гq = Һƚ ρГq + dim(Гq/ρГq) = Һƚ + q/ D0 aea 39 sỹ y ạc cz tch ọ , c h c hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nvỏ L lu 40 Mệ đ 2.1.15 [2, Đị lí 3.6] iả sử ằ mi địa -ơ Ki kẳ đị sau -ơ đ-ơ: (i) aea ổ dụ; (ii) a kô ộ lẫ T0 -ờ ợ à, / a kô ộ lẫ a ó đẳ ứ dim Г/ρ + dim Гρ = dim Г ѵίi mäi ρ Se() ứ mi iệ ứ mi mệ đ kế Mệ đ 2.1.10 Mệ đ 2.1.11 2.2 Tí aea -môđu ữu si s y Mụ dà đ ì lại kế ̟ ПisҺida [ǤП] ạc qu¶ cz ເđa S Ǥ0ƚ0 ѵµ K tch hc,ọ c 23 hoọ ọi hc ọ n a c z o cna iđhạ ovcă nvă ăđnạ ậ3nd ă n v u ậv ăn ,1l ậLnu ậvn n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu đ-a a ăm 1999 ói ằ ếu 0ee ia0 0á aea ổ dụ ì đại số ữu si - mộ -môđu, kô ấ iế ia0 0á, aea iu -ợ lại đ ếu mi 0ee địa -ơ T0 kuô kổ luậ ă a luô iả iế -đại số ia0 0á, ó ị T- ế a ệ ố lại mộ số kế môđu í ắ (, m) mộ địa -ơ, M -môđu, kí iệu E(M ) a0 ội M mi (M ) môđu đối đồ điu địa -ơ ấ i i iá m M Ki mộ môđu í ắ đ-ợ đị ĩa sau Đị ĩa 2.2.1 (, m) địa -ơ ó iu d Mộ - môđu K đ-ợ ọi môđu í ắ ếu ^ K Г = Һ0m(Һdm(Г), EГ (Г/m)) ເҺ0 (Г, m) lµ méƚ địa -ơ ó iu d i môđu í ắ K, sau đâ mộ số kế môđu í ắ đ-ợ í [A, 41 Mệ đ 1.5, 1.6, Đị lý 4.2, ệ 4.3] s y ạc cz tch ọ , c h c hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu 42 ổ đ 2.2.2 [A] (i) K du ấ sai ká mộ đẳ ấu mộ -môđu ữu si ó iu d (ii) ếu ả đồ ấu địa -ơ 0esei S ì ƚa S г (Г, S), ƚг0пǥ ®ã г = dim S dim số uê ỏ ấ ó K̟ = Eхƚ ƚҺáa m·пS Eхƚг (Г, S) ƒ= Ѵ× ƚҺÕ, ѵίi mäi ρ ∈ SuρρГ K̟ ƚa ເã K môđu í ắ (iii) địa -ơ T mộ -môđu S mộ -đại số 0à 0à ẳ, ó môđu í ắ Ki đó, ếu T S môđu í ắ S ì T môđu í ắ (iv) iả sử ằ ả đồ ấu địa -ơ 0esei S Đặ y s c cz K̟Г = Eхƚп(Г, S); (п,ọtchạ= dim S − dim Г) S hc c 23 hoọ ọ ca hạọi hc căzn o a cn iđ ov nvă đnạ nd vnă ănvă ,1lu2ậ3 ậ Г ậLnu ậvn n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu K̟Һi ®ã K̟(Гρ ) ∼ = (K̟Г )ρ ѵίi mäi ρ ∈ Suρρ K̟Г (v) iả sử ằ dim ເҺ0 a1, a2 lµ méƚ ҺƯ ƚҺam sè ເ0п ເđa Ki dà a1, a2 K-í qu ổ đ 2.2.3 [] iả sử ằ (, m) mộ địa -ơ ả đồ ấu địa -ơ 0esei, mộ -môđu ữu si Se() đặ = ∩ Г, Γ = Λ/Ρ K̟Һi ®ã пÕu dim 2, ì ại mộ dà k ắ β −→ Γ −α→ Х− Ɣ −→ → -môđu ữu si mộ ầ m\ ỏa mà ữ điu kiệ sau (i) de() ≥ 2; (ii) ƚ lµ Х-ເҺÝпҺ quɣ ѵµ ƚƔ = (0) ứ mi K = K/ môđu í ắ / Ta đặ = 0m/ Һ0mГ/ρ (Γ, K̟) , K̟ 43 ѵµ k̟Ý ҺiƯu α : đồ ấu í ắ -môđu Ki ữu si, e0 Mệ ®ὸ 1.1.9 ເã dim Г/ρ = dim Γ ≥ d0 ®ã ƚҺe0 Ьỉ ®ὸ 2.2.2, (ѵ) ƚa ເã deρƚҺГ ì e0 ổ đ 2.2.2, (i) a ເã K̟ρ ∼ = K̟(Г /ρГ ) = Гρ /ρГρ ê a ó em đồ ấu mộ đẳ ấu D0 mộ ấu ì /-môđu 0ắ d0 Ki ®Ỉƚ Ɣ = ເ0k̟eг α ƚa ເã méƚ d·ɣ k̟Һίρ пǥ¾п β −→ Γ −α→ Х− Ɣ −→ Mặ ká a ó = (0), ại ƚ ∈ m\ρ sa0 ເҺ0 ƚƔ = (0) d0 ®ã e0 ổ đ 2.2.2, () a ó /-í qu k é0 e0 ầ -í qu ay h ắ lại ằ (kô ấ s iế ải ia0 0á) đ-ợ ọi c z hạ oc ,ọtc c 3d c h hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uLnu nvỏ L lu uê ố ếu iđêa iđêa uê ố T0 kuô kổ luậ ă luô iả iế ia0 0á, ó ị ê mộ uê ố ki ỉ ki ó mộ mi uê Mệ đ sau đâ kế mấu ố đ ứ mi ®ÞпҺ lý ເҺÝпҺ ເđa [ǤП] MƯпҺ ®ὸ 2.2.4 [ǤП] ເҺ0 (, m) mộ địa -ơ aea ổ dụ iả sử ằ mộ uê ố Ki đó, ếu ứa mộ iđêa đại Q Q = ì dim = ເҺøпǥ miпҺ Ta ເã ƚҺό ǥi¶ sư г»пǥ f : ấu Te0 Mệ đ 1.1.9 a ó mộ mi uê địa -ơ dim = dim Đầu iê a é -ờ ợ ả đồ ấu địa -ơ 0esei iả sử ằ dim Ki ƚҺe0 Ьỉ ®ὸ 2.2.3 ƚa ເã méƚ ρҺÐρ пҺόпǥ Λ iữa -môđu ữu si mộ ầ = m ỏa mà ữ ®iὸu k̟iƯп (1) deρƚҺГ Х ≥ ѵµ 44 (2) ƚ lµ Х-ເҺÝпҺ quɣ ѵίi ƚХ ⊆ Λ sỹ y ạc cz tch ọ , c h c hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu 45 Ta đặ Z=/ iả=iế Edó Z Q ເҺ0 = ((0) :Λ Z) Tõ 2®iὸu k̟iƯп (2) ó I I àe0 IMa ê I- ⊆ ເđa I Х0⊆ ƚΛ ⊆Ьỉ Q d0 ƚΛ ⊆ Q ì -í qu ê k ô , e0 đ 1.2.6 / i ấ k ì Mi Mà e0 iả iế Q = ê Q/I Miп Λ/I d0 ®ã Q/I ∈ Miп Λ/I ∩ Maх /I ì ế dụ ổ đ 1.2.7 a ó de /I = Mặ ká đồ ấu í ắ λ : Λ → Eпd∆Z ເ¶m siпҺ ρҺÐρ пҺόпǥ →ƚõ Eпd ΛZ пªп deρƚҺГ Z = deρƚҺГ Х − > d0 de /I > 0/I , mâu uẫ ^ â iờ a ứ mi -ờ ợ ổ vành đầy đủ theo tô pô m-adic R Vì Q iđêan cực đại nên ^= ^ Q iđêa đại ^= ^ Te0 ệ qu¶ 1.2.10 ƚa ເã Q ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ҺƚΛ Q = ҺƚΛ Q = D0 ®ã ѵίi Ρ ∈ Miп^Λ^ƚҺ× ҺƚΛ/Ρ Q/Ρ = Ѵ× ả ^ dim ^ / = đồ ấu mộ 0esei, địa -ơ ê ^ ứ mi kẳ đị sau: (1) ^ = (2) Đặ = ^ Г ƚa ρ ∈ Miп Г^ TҺËƚ ѵËɣ, ƚa ເã ^ iđêa uê ố Q iđêa y s ^ = Q Do ®ã,ạc nÕu ^ ∩ Λ ƒ= (0) xích nguyên z P cực đại nên Q oc tch d ọ , hc c 23 hoọ ọ tè ca hạọi hc căzn o ^ ∩ Từ Q ^ ^ mâu a i ov гa Q = Ρ Q ⊇ Ρ ∩ Λ ⊃ (0) mµ ҺƚΛ Q =nvă1cnăđnạsuɣ ậ3nd ă ậvn ănv ,1lu2 ậLnu nuậvn ăán u L uậL nồv L ậĐ lu ^ /Ρ ƚҺuÉп ѵίinªn ҺƚΛ^p/Ρ∩ = 1KÝ D0 Q(R) ^ là= (0) th-ơng Mặ ká ^Q đơn cấu R =^(0) hiệu tr-ờng fR.:Khi đó,vìlà ^ρ ⊗Г^ Λ ^ ∼ ^ρ ⊗Q(Г) (Q(Г) ⊗Г Λ) ê a ó ^ mộ ^ -mô đu d0 = ^ Ma ^ Mi ^(e0 Mệ đ 1.1.5 1.1.9) D0 e0 Ьỉ ѵίi Ρ Λρ ®ὸ 1.2.7 ເã dim Г^= Te0 kẳ đị (2) e0 Mệ đ 2.1.15, a ເã ρ dim Г = dim^Г/ρ = dim^Λ/Ρ = mà dim = dim ê dim = Đị lý 2.2.5 [] iả sử ằ mộ địa -ơ aea ổ dụ mộ uê ố Ki a ó đẳ ứ dim Λ = dim Λ/Q + ҺƚΛ Q 46 ѵίi mäi Q ∈ Sρeເ Λ Q ∈ເҺøпǥ Maх ΛmiпҺ Đặ ó = Te0 đ 2.2.4 a T- ó ế iả é sử Qsử iả f :Mệ ấu -ờ ợ k ẳ đị đ đế (0) = Ρ ⊂ Ρ ⊂ Ρ ⊂ ⊂ ΡҺ = Q lµ méƚ хÝເҺ Ã0 0à iđêa uê ố Đặ = ΡҺ−1 ∩ Г K̟Һi ®ã ƚҺe0 MƯпҺ ®ὸ 2.2.4 dim /1 = Mặ ká ì iđêa đại (1) = = (e0 Mệ đ 1.1.10 ) ê e0 iả iế qu ạ, ó iu Kull ь»пǥ Һ − Tõ MÖпҺ dim Λ/ΡҺ−1 + dim Λρ = + (Һ − 1) = Һ ®ὸ 1.1.9 Mệ đ 2.1.15 a ó dim = dim Г = dim Г/ρ + dim Гρ = Ь©ɣ iờ Q Se đặ q = Q ì Qq Ma q ê dim Λq = ҺƚΛq QΛq = ҺƚΛ Q D0 ®ã dim q = Q Mặ ká ì dim /Q = dim /q e0 Mệ đ 2.1.15 a ó dim Λ = dim Г = dim Г/q + dim Гq sỹ y ạc cz tch ọ , c h c hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu пªп dim Λ = dim Λ/Q + Q Sau đâ kế í ài á0 a mối liê ệ iữa í aea mộ -đại số ữu si - môđu à Đị lý 2.2.6 [, Đị lý 1.1] iả sử ia0 0á, 0ee, -đại số ữu si - -môđu (kô ấ iế ia0 0á) Ki aea ếu aea ổ dụ ứ mi Q ặ iđêa пǥuɣªп ƚè ເđa Λ Ta sÏ ເҺøпǥ miпҺ mäi хÝເҺ uê ố Ã0 0à iữa Q ó ù độ dài ằ u qua é / a ó iả sử = (0) Đặ q = Q , ằ địa -ơ 0á ại q a ó iả sử êm địa -ơ ѵµ Q ∈ Maх Λ ເҺ0 (0) = Ρ0 ⊂ Ρ1 ⊂ ⊂ Ρп = Q lµ mộ í Ã0 0à iđêa uê ố Ta sÏ ເҺØ гa г»пǥ п = dim Λ ь»пǥ qu e0 Te0 47 iả iế aea ổ dụ ê e0 Mệ đ 2.2.4 a ó kẳ đị K i dim / 1sửà = 1, dụ Đị lý 2.2.5 a ó = iả đ =/ 1Ta 1+ đ đế 1đ = ѵίi dim +ເã1 ƚҺό = dim Λ/Ρ ҺƚΛ Ρk̟1Һ¼пǥ = dimđị ậ kẳ đị i , a aea ệ 2.2.7 iả sử mộ 0e-Maaula, mộ -đại số ữu si - -mô đu Ki aea ứ mi Đâ ệ iế đị lý í ì mộ 0e- Maaula aea ổ dụ ệ 2.2.8 [] iả sử (, m) mộ địa -ơ 0ee, mộ -môđu 0e-Maaula Ki aea a ó ô ứ s y ạc cz tch ọ , c h c hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu dim Λ = dim Λ/Q + ҺƚΛ Q ѵίi mäi QQSe() àmọi đẳ ứ = Q uê đ ố imọi iđêa = ặ Ρ1 ⊂ Ρ ⊂ Ρпເđa = QΛǥi÷a àí Q Ã0 0àá iđêa ứ mi Ta ó iả sử f : ấu Đặ d = dim Ta ^ ^ ^-môđu ì -mô đu 0eó đồ ấu ^ R ^-mô ®un Cohen-Macaulay víi dim ^ Λ ^ = d Do ®ã Macaulay nªn Λ R ^ ⊆ Ass ^ Λ ^ ѵµ dim Г ^/^ ^ [Ma2, ƚгaпǥ 107], AssГ^ Г ρ = d ѵίi mäi ^ ρ ∈ AssГ^ ^ ^ địa -ơ a kô ộ lẫ, ì ế / a kô a / ƚгéп lÉп K̟Һi ®ã ƚҺe0 MƯпҺ ®ὸ 2.1.15 ƚa ເã Г/ρ lµ ເaƚeпaгɣ ρҺỉ dơпǥ, k̟Ð0 ƚҺe0 Г lµ ເaƚeпaгɣ ổ dụ Te0 Đị lý 2.2.6 a ó aea Mệ đ 1.2.6, q a0 ồm - ƚг0пǥ Λ D0 ®ã q ⊆ ρ∈AssГ Λρ LÊɣ Q Mi đặ q = Q Г Ta sÏ ເҺØ гa dim Λ/Q S = d Te0 [Ma2, uê a 50] Te0 Đị lý uê ố, ại mộ iđêa ố Ass sa0 ເҺ0 q ⊆ ρ Ѵ× dim Г/ρ = d 0e-Maaula, 48 dim = d ê q = Mi D0 dim /q = d mà /Q /q môđu ởi ѵËɣ ƚҺe0 MƯпҺ ®ὸ 1.1.9 ƚa ເã dim Λ/Q = d ѵίi mäi Q ∈ Miп Λ ПҺê ƚÝпҺ ເaƚeпaгɣ ổ dụ , dụ Đị lý 2.2.6 Đị lý 2.2.5 a ó dễ dà ấ đ-ợ ằ ấ kì mộ ặ iđêa uê ố Q ƚг0пǥ Λ ѵίi Ρ ∈ Miп Λ ѵµ Q Ma , í Ã0 0à iđêa uê ố ằm iữa Q ó ù độ dài ằ d = dim D0 a ó ô ƚҺøເ dim Λ = dim Λ/Q + ҺƚΛ Q ®όпǥ ѵίi mäi Q ∈ Sρeເ Λ Ta ເὸпǥ ເã п = Q đ i ặ Q í Ã0 0à iđêa пǥuɣªп ƚè Ρ = Ρ0 ⊂ Ρ1 ⊂ y ⊂ Ρ п = Q ເҺøпǥ miпҺ iữa Q D0 ổ đ ®-ỵເ sỹ ạc cz tch ọ , c h c hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L lu Kế sau ệ iế Đị lý 2.2.6 Đị lý 2.2.5 Mệ đ 2.1.15 ệ 2.2.9 mộ mi uê địa -ơ ia0 0á, 0ee Ki điu kiệ sau -ơ đ-ơ: (i) aea ổ dụ (ii) a kô ộ lẫ (iii) Mọi -đại số uê ố, ữu si - mô đu Λ lµ ເaƚeпaгɣ ѵµ ѵίi mäi Q ∈ Sρeເ Λ a ó đẳ ứ dim = dim /Q + Q 49 Kế luậ Tóm lại, luậ ă ì kế sau ắ lại kái iệm, đồ ời ứ mi i iế í ấ liê qua đế mở ộ uê ê mộ à, đị lý kô s0 sá đ-ợ, đị lý ằm ê, đị lý 0i-u, Tì kái iệm, í dụ mộ số í ấ -môđu ữu si ắ lại kái iệm ứ mi mộ số kế ả í aea, aea ổ dụ y Tì lại ứ mi i iế mộ số kế ເҺÝпҺ ƚг0пǥ c cz sỹ h ,ọtc ọhc hc ọc 123 o h oca hạọi căzn ăcna nạiđ ndov v n ă ăđ ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu ài á0 "ATEAIT I M0DULE-FIITE ALEAS" đă ê í Ρг0ເeediпǥs 0f ƚҺe Ameгiເaп MaƚҺemaƚiເal S0ເieƚɣເđa S Ǥ0ƚ0 ѵµ K̟ isida [] í aea -môđu ữu si ê ia0 0á 0ee 50 Tài liệu am k̟Һ¶0 TiÕпǥ AпҺ [A] Ɣ A0ɣama (1983), S0me ьasiເ гesulƚs 0п ເaп0пiເal m0dules, J MaƚҺ K̟ɣ0ƚ0 Uпiѵ 23, п0 1, 85-94 MГ 692731 (84i:13015) [AM] M F AƚiɣaҺ aпd I Ǥ MaເD0пald (1969), Iпƚг0duເƚi0п ƚ0 ເ0mmuƚaƚiѵe alǥeьгa, Addis0п-Wesleɣ ΡuьlisҺiпǥ ເ0., Гeadiпǥ, Mass.L0пd0п-D0п Mills, 0пƚ., 1969 MГhay0242802 (39 - 4129) sỹ c z hạ oc c t ,ọ c 3d c h hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu [ЬҺ] W Ьгuпs aпd J Һeгz0ǥ (1993), ເ0Һeп-Maເaulaɣ гiпǥs, ເamьгidǥe Sƚudies iп Adѵaпເed MaƚҺemaƚiເs, ѵ0l 39, ເamьгidǥe Uпiѵeгsiƚɣ Ρгess, ເamьгidǥe, 1993 MГ 1251956 (95Һ:13020) [ເ1] I S ເ0Һeп (1946), 0п ƚҺe sƚгuເƚuгe aпd ideal ƚҺe0гɣ 0f ເ0mρleƚe l0ເal гiпǥs,Tгaпs Ameг MaƚҺ S0ເ 59, 54-106 MГ 0016094 (7,509Һ) [ເ2] I S ເ0Һeп (1954), LeпǥƚҺ 0f ρгime ideal ເҺaiпs, Ameг J MaƚҺ 76, 654-668 MГ 0062116 (15,929f) [ǤП] S Ǥ0ƚ0 aпd K̟ ПisҺida (1999), ເaƚeпaгiƚɣ iп m0dule-fiпiƚe alǥeьгas Ρг0ເeediпǥs 0f ƚҺe ameгiເaп maƚҺemaƚiເal s0ເieƚɣ.127, п0 12, ρρ 3495- 3502 [ҺK̟] J Һeгz0ǥ aпd E K̟uпz (1971), Deг K̟aп0пisເҺe M0dul eiпes ເ0Һeп- Maເaulaɣ-Гiпǥs, Leເ-ƚuгe П0ƚes iп MaƚҺ., 238, SρгiпǥeгѴeгlaǥ, Ьeгliп, Һeidelьeгǥ, Пew Ɣ0гk̟, T0k̟ɣ0, 1971 MГ 54:304 [K̟] I K̟aρlaпsk̟ɣ (1970), ເ0mmuƚaƚiѵe гiпǥs, Allɣп aпd Ьaເ0п, Ь0sƚ0п MГ 40:7234 51 [K̟г] W K̟гull (1937), Zum Dimeпsi0пsьeǥгiff deг IdealƚҺe0гie, MaƚҺ Z., 42, ρρ 745-766 [Ma1] Һ Maƚsumuгa (1986), ເ0mmuƚaƚiѵe гiпǥ ƚҺe0гɣ, ເamьгidǥe Sƚudies iп Adѵaпເed MaƚҺemaƚiເs, ѵ0l 8, ເamьгidǥe Uпiѵeгsiƚɣ Ρгess, ເamьгidǥe Tгaпslaƚed fг0m ƚҺe Jaρaпese ьɣ M Гeid MГ 879273 (88Һ:13001)f [Ma2] Һ Maƚsumuгa (1980), ເ0mmuƚaƚiѵe Alǥeьгa (seເ0пd ediƚi0п), MaƚҺemaƚiເs Leເƚuгe П0ƚe Seгies, ѵ0l 56, Ьeпjamiп/ເummiпǥs ΡuьlisҺiпǥ ເ0., Iпເ., Гeadiпǥ, Mass MГ 575344 (82i:13003) [MເГ] S MເAdam aпd L J Гaƚliff (1977), Semi-l0ເal ƚauƚ гiпǥs, Iпdiaпa Uпiѵ MaƚҺ J.26, 73-79 [MГ] J ເ Mເເ0ппell aпd J ເ Г0ьs0п (1987), П0пເ0mmuƚaƚiѵe П0eƚҺeгiaп ay h гiпǥs, Ρuгe aпd Aρρlied MaƚҺemaƚiເs (Пew Ɣ0гk̟), J0Һп Wileɣ aпd sỹ c z tch oc hc,ọ ọc 23d ƚҺe ເ00ρeгaƚi0п 0f L W Small; A S0пs, Lƚd., ເҺiເҺesƚeг, 1987.ahoọWiƚҺ hc oc hạọi căzn ăcna nạiđ ndov v n ă ăđ ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu Wileɣ- Iпƚeгsເieпເe Ρuьliເaƚi0п MГ 934572 (89j:16023) [П1] M Пaǥaƚa (1956), 0п ƚҺe ເҺaiп ρг0ьlem 0f ρгime ideals, Пaǥ0ɣa MaƚҺ J 56 (1956), 51-64 MГ 18:8e [П2] M Пaǥaƚa (1962), L0ເal гiпǥs, Iпƚeгsເieпເe Tгaເƚs iп Ρuгe aпd Aρρlied MaƚҺemaƚiເs, П0 13, MГ 0155856 (27 - 5790) [Г1] L J Гaƚliff (1965), 0п quasi-uпmiхed semi-l0ເal гiпǥs aпd ƚҺe alƚiƚude f0гmula, Ameг J MaƚҺ 87, 278-284 MГ 31:3448 [Г2] L J Гaƚliff (1969), 0п quasi-uпmiхed l0ເal d0maiпs, ƚҺe alƚiƚude f0гmula, aпd ƚҺe ເҺaiп ເ0пdiƚi0п f0г ρгime ideals (I), Ameг J MaƚҺ 91, 508-528 MГ 40:136 [Г3] L J Гaƚliff (1971) , ເҺaгaເƚeгizaƚi0пs 0f ເaƚeпaгɣ гiпǥs, Ameг J MaƚҺ 93, ρρ 1070-1108 [SҺ] Г Ɣ SҺaгρ (1990), Sƚeρ iп ເ0mmuƚaƚiѵe alǥeьгa, L0пd0п MaƚҺemaƚiເal S0ເieƚɣ Sƚudeпƚ Teхƚs, ເamьгidǥe Uпiѵeгsiƚɣ Ρгess, ເamьгidǥe