Luận văn vành và môđun cohen macaulay

ĐẠI ҺỌເ TҺÁI ПǤUƔÊП TГƢỜПǤ ĐẠI ҺỌເ SƢ ΡҺẠM ========000======== TГƢƠПǤ TҺỊ TҺύƔ ѴÀПҺ ѴÀ MÔĐUП ເ0ҺEП - MAເAULAƔ sỹ y c z hạ oc ,ọtc c 3d c h hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu LUẬП ѴĂП TҺẠເ SỸ T0ÁП ҺỌເ TҺái Пǥuɣêп - 2013 i Lời am đ0a Tôi i am đ0a kế iê ứu đ-ợ ì luậ ă 0à 0à u , -a đ-ợ sử dụ ả0 ệ mộ ọ ị à0 uồ ài liệu sử dụ iệ 0à luậ ă đà đ-ợ s đồ ý á â ổ ứ ô i, ài liệu ì luậ ă đà đ-ợ i õ uồ ố Tái uê, ăm 2013 ọ iê s y c cz tch ọ , c h c hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu Х¸ເ пҺËп -ở k0a uê mô T-ơ Tị Tuý ậ -ời - dẫ k0a ọ TS Tầ uê A ii Lời ảm Luậ ă đ-ợ 0à d-i s - dẫ ậ ì iêm kắ TS Tầ uê A Tầ ôi đà - đầu làm que sa mê ô iệ iê ứu 0á â dị à, ôi i ỏ lò iế sâu sắ i Tầ Tôi i ỏ lò iế S TSK uễ T -ờ, TS Lê Ta à, TS ạm iế ằ đà ậ ì iả đ ôi ắm đ-ợ ữ kiế ứ sở Tôi ấ iế -ờ ĐS Tái uê, k0a T0á ổ Đại số đà ạ0 điu kiệ uậ lợi ôi iệ kế 0ạ ọ ậ mì Tôi i ảm -ời â, đồ iệ, đà ổ độ, iê ôi ì làm luậ ă sỹ y ạc cz tch ọ , c h c hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L lu iii Mụ lụ Lời ói đầu 1 Kiế ứ uẩ ị 1.1 iu độ ເa0 1.2 Môđu đối đồ điu địa -ơ ѴµпҺ ѵµ môđu 0e-Maaulahay s c z h oc c t , c 3d c h hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nvỏ L lu 2.1 Độ sâu môđu 2.2 à môđu 0e-Maaula 23 ệ số ile à môđu 0e - Maaula 32 3.1 Đa ứ ile số ội 32 3.2 ҺƯ sè Һilьeгƚ ƚҺø ѵµ ƚҺø пҺÊƚ ເđa ѵµпҺ 0e-Maaula 34 Tài liệu am kả0 42 Lêi пãi đầu à môđu 0e-Maaula l à môđu qua ọ Đại số ia0 0á L à ó iu ứ dụ ì ọ đại số, Lý uế ấ iế Tổ ợ Kái iệm 0e-Maaula đ-ợ ả si đị lý kô ộ lẫ Maaula 0e Kái iệm môđu 0e-Maaula đ-ợ uấ iệ lầ đầu iê ô ì Auslade usaum (A, m) 0ee địa -ơ M A- môđu ữu si Ta ký iệu ấ iế qua ọ de M độ sâu M dim M iu M Ta ເã deρƚҺ M ≤ dimM пÕu M k̟Һ¸ເ kô Ta ói ằ M 0e - Maaula ếu M = Һ0Ỉເ deρƚҺ M = dimM ПÕu 0ee địa y -ơ A 0e- Maaula ì ƚaỹ пãi A lµ ѵµпҺ ເ0Һeп - Maເaulaɣ s c z hạ oc c t ,ọ c 3d c h hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu Luậ ă ì mộ số í ấ đặ - ả à môđu 0e-Maaula Luậ ă đ-ợ ia làm -ơ -ơ ì mộ số kiế ứ sở - đị ĩa iu độ sâu, iu Kull Đâ ữ ô ụ ả ấ ữ iê ứu đ-ợ ì luậ ă Đị ĩa í ấ Môđu đối đồ điu đ-ợ ì uối -ơ -ơ mộ -ơ qua ọ luậ ă -ơ iê ứu à môđu 0e - Maaula ầ đầu -ơ đị ĩa iu độ sâu ù í ấ T0 -ơ ì đị ĩa í qu, a í qu ầ -ơ ôi ì à, môđu Maaula ì mộ đa ứ A[1, , ] 0e Maaula 0e - Maaula í ấ ứ mi ếu A 0e d0 ấ kì 0e - Maaula aea -ơ ì ệ số ile à môđu 0e - Maaula, đị lý đa ứ ile ệ số e0 , e1 đ-ợ ì -ơ -ơ Kiế ứ uẩ ị T0 suố -ơ - luậ ă, a luô iả iế A ia0 0á ó ị -ơ ỉ ắ lại mộ số kiế ứ ầ iế đ ì -ơ sau 1.1 iu độ a0 s y ạc cz tch ọ , c h c hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L lu Đị 1.1.1 Mộ dà iảm sí iđêa uê ố dài ậ ĩa đ-ợ ọií mộ ó độ ê đ ủaà độ dàiAấ ả uê ốuê Aố đ-ợ ọi iu Kull A, a iu A Kí iệu dimA Đị ĩa 1.1.2 ậ ê đ độ dài dà iảm s iđêa uê ố = ρ1 ⊃ ρ2 ⊃ ⊃ ρг хuÊƚ ρҺ¸ƚ ƚõ , đ-ợ ọi độ a0 , kí iệu I mộ iđêa A Độ a0 iđêa I,k í iệu I đ-ợ ເҺ0 ьëi ເ«пǥ ƚҺøເ Һƚ I = iпf{Һƚ ρ | (I)} (I) ậ iđêa uê ố A ứa I Đị ĩa 1.1.3 M mộ A - môđu Ki iu M kí iệu dim M đ-ợ ®ÞпҺ ьëi dim M = dim(A/ Aпп M ), ƚг0пǥ ®ã Aпп M = {a ∈ A | aM = 0} ý ằ iu mộ môđu ữu si ê địa -ơ luô mộ số ữu Mệ đ 1.1.4 (i) ếu (A, m) mộ địa -ơ ì dim A = m (ii) mộ iđêa uê ố A, ki dim A = A = Đị lý 1.1.5 iả sử : A mộ đồ ấu 0ee iả sử q Se() đặ = q ∩ A K̟Һi ®ã Һƚ(q) ≤ Һƚ ρ + Һƚ(q/ρЬ) Dấu = ả a ếu đồ ấu ẳ iđêa uê ố q = ⊂ ρп = ρ sa0 ເҺ0 ρi = i+1 đ-ợ ọi Đị ĩa 1.1.6 q iđêa uê ố A Mộ dà iđêa uê ố iữa i i+1 mộ mộ dà uê ố Ã0 òa iữa q ày ếu i i, kô ại Ta ói ằ A aea ếu i iđêa uê ƚè q ⊂ ρ ເđa sỹ c cz ǥi÷a q dà uê luô ại mộ dà uê ố Ã0 h 0à ,tc hc c 23 hoọ ọ ca ọi hc zn độ dài ố Ã0 0à iữa q đu ເãvăcເҺuпǥ naoạiđhạ ovcă n nd ăn ăđ ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L lu A đ-ợ ọi aea ổ dụ ếu A 0ee A-đại số ữu si aea - ậ 0ee A lµ ເaƚeпaгɣ ρҺỉ dơпǥ пÕu A lµ ເaƚeпaгɣ ѵµ A[х1, , хп] lµ ເaƚeпaгɣ ѵίi mäi п ≥ 1.2 Môđu đối đồ điu địa -ơ Đị ĩa 1.2.1 I iđêa A i Amôđu a ®ÞпҺ пǥҺÜa S ΓI (П ) = (0 :П I п ) ПÕu f : П −→ П J lµ đồ ấu A môđu ì a ó ®åпǥ ເÊu f ∗ : ΓI (П ) −→ ΓI (П J) ເҺ0 ьëi f (х) = f (х) K̟Һi I () àm k ạm ù Amôđu đế ạm ù Amôđu đ-ợ ọi àm I0ắ Mộ iải ội M mộ dà k M −→ E0 −→ E1 −→ E2 −→ Ei môđu ội ý ằ i môđu đu đ-ợ à0 mộ môđu ội ạ, ì ế, môđu đu ó iải ội Đị ĩa 1.2.2 Amôđu I iđêa A Môđu dẫ suấ ải ứ àm I0ắ I () ứ i M đ-ợ ọi môđu đối đồ điu ứ П , k̟Ý ҺiƯu lµ I Һ (M ) ເơ ƚҺό, пÕu −→ П −→ E0 E u E2 u iải ội , độ àm I () ƚa ເã ρҺøເ u∗ u∗ −→ Γ(E0 ) −→ Γ(E1 )y −→ Γ(E2 Iп ) −→ sỹ c z hạ oc ,ọtc c 3d c h hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L lu Ki ( ) = môđu đối đồ điu ứ ứ ê (ó kô ụ uộ à0 iệ ọ iải ội ) Ke u / Im u1 Sau đâ í ấ ả môđu đối đồ điu địa -ơ Mệ đ 1.2.3 M mộ Amôđu (i) Һ 0I (M ) ∼ = ΓI (M ) (ii) ếu M ội ì I (M ) = ѵίi mäi i ≥ (iii) ПÕu M lµ I0ắ (ứ M = I (M )) ì I(M ) = ѵίi i ≥ )∼ (iv) Ѵίi M = M/ΓJ I (M ) ƚa ເã Һ п (M = Һ п (M ) ѵίi п ≥ (v) ПÕu −→ M −→ M −→ M JJI Idà k ắ ì i ເã ®åпǥ ເÊu пèi Һ пI(M JJ ) −→ Һ пI+1 (M J ) sa0 ເҺ0 ƚa ເã d·ɣ k̟Һίρ dµi −→ ΓI (M J ) −→ ΓI (M ) −→ ΓI (M JJ ) −→ ҺI1 (M J ) −→ ҺI1 (M ) −→ ҺI1 (M JJ ) −→ ҺI2 (M J ) −→ K̟Õƚ sau đâ ói ằ iu mộ môđu ó đặ - ô qua í iệ iêu kô iệ iêu môđu đối đồ điu địa -ơ Mệ đ 1.2.4 I iđêa A Ki đóI Һi(M ) = ѵίi mäi i > dim M i < Đặ iệ dim M = Suρ{i | Һ i (M ) ƒ= 0} m -ơ à môđu 0e-Maaula T0 suố -ơ a iả iế ia0 0á, ó ị 2.1 Độ sâu môđu Đị sử AA.làTa mộ môđu, a1,qu , a mộĩa dà á2.1.1 ầiả óià, ah1a,y ,M aг lµ lµ méƚ méƚ A− M -d·ɣ ເҺÝпҺ (Һ0Ỉເ sỹ (i) M ƒ= (a1, , aг)M ạc cz h c t iả MdÃ) ếu ®iὸu sau ƚҺáa ,ọ c k̟3iÖп c h m·п: hoọ ọi hc ọ n a c z (ii) i i > 0, nao h c M ậvnănvăcnvăđnạ1liđu2ậ3ndov M ă , ậLnu ậvn n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu (a1, ai−1)M a1 −→ (a1, , ai−1)M mộ ấu; ĩa a1 kô - kô ê M/(a1, , ai1)M i i ≤ п ПÕu a1, , aг ѵίi lµ méƚ M− dà í qu ì a1, mộ M d·ɣ ເҺÝпҺ quɣ i ≤ г K ̟ Һi ấ ả a i uộ iđêa I a ói a 1, , a lµ méƚ M d·ɣ ເҺÝпҺ quɣ I ữa, ếu kô ại ∈ I г sa0 ເҺ0 a1, , aг, ь lµ M dà í qu, ki a1, a đ-ợ ọi mộ M dà í qu ối đại I ếu M đẳ ấu A- môđu, ki mộ dà í qu ê M ki ỉ ki ó í qu ê ổ ®ὸ Méƚ d·ɣ aгѵµ ѵίia2г, ≥ M - d·ɣ ເҺÝпҺ qu ki 1, ,M ỉ ki2.1.2 a1 í quaê ,2alµ г lµ méƚ M/a M− d·ɣ ເҺÝпҺ quɣ ПÕu d·ɣ a1, , aг lµ méƚ M - dà í qu ối đại I ì a2, , a mộ M/a1M - dà í qu ối đại I ứ mi i iđêa a , ại đẳ ấu í ắ A- môđu M/ьM П/ьП ѵίi M П, = = , , a M - dà í qu ì a í quɣ quɣ ƚгªп ƚгªп a2M/aM ເҺÝпҺ ПÕu quɣ aƚгªп П = M/a1M ѵµ ѵίi ≤ i ≤ г, a1i ເҺÝпҺ M/(a1 , , ai−1 )M ∼ = П/(a2 , , ai1 ) D0 a1, , a mộ dà í qu Điu -ợ lại ứ mi -ơ Tổ ơ, ếu a1, , a mộ M dà í qu a đặ = M/(a1, , aг)M ПÕu ь1, , ьs lµ méƚ П− d·ɣ í qu ì a1, , a, 1, , s méƚ M− d·ɣ ເҺÝпҺ quɣ y Ьỉ ®ὸ 2.1.3 ПÕu a1,a , aг lµ méƚ A− d·ɣ ເҺÝпҺ quɣ M mộ A môđu ẳ ì , , a M dà í i mộ (a1,đơ , s aấu ê áiM i a1i áqu đị г)M ƒ= M ເҺøпǥ miпҺ ΡҺÐρ пҺ©п ạc cz h o c A A ì a A í qu Tes0 i M ẳ a t ƚҺÊɣ г»пǥ ρҺÐρ1 пҺ©п hc,ọ c 3d hoọ ọ ca hạọi hc căzn o a cn iđ ov nvă đnạ nd vnă ănvă ,1lu2ậ3 ậ ậLnu ậvn n Lu uLnu nvỏ L lu ê i a1 mộ ấu M M T-ơ es0 i ấu a2: A/a1 A/a1 a đ-ợ mộ ấu M/a1M M/a1M ổ đ 2.1.4 ເҺ0 A lµ méƚ ѵµпҺ ѵµ M lµ méƚ A- môđu i số uê -, méƚ d·ɣ a1, , aг lµ M− d·ɣ ເҺÝпҺ quɣ k̟Һi ѵµ ເҺØ k̟Һi пã lµ M п - d·ɣ í qu ứ mi đ iả sử iả ằsử dà a , , aг lµ M - d·ɣ ເҺÝпҺ quɣ Ta ứ mi iê >11 Te0 iả iế qu ạ, dà a1, , a1 M - ó M - í qu e0 qu i г Tг0пǥ ƚг-êпǥ Һỵρ г = Һiόп d·ɣ ເҺÝпҺ qu Đặ L = (a1, , a1)M Ki (a1, , aг−1)Mп = Lп 28 Ь©ɣ ǥiê ເҺ0 I mộ iđêa s ù ý i .I = г Ta ເã: dim(A/I) = Suρ{dim(A/ρ)|ρ ∈ Ѵ (I)} = Suρ {dimA − Һƚ(ρ)|ρ ∈ Ѵ (I)} Tåп ƚ¹i méƚ iđêa uê ố ối iu I i () = , d0 i iê ằ dim(A/I) = dimA (ii) ếu q iđêa uê ố A D0 A 0e - Maaula ê a ó dim(A) = (q)A + dimA/qA, d0 A í Đị ĩa 2.2.9 Ta ói 0ee A lµ ເ0Һeп - Maເaulaɣ пÕu Aρ lµ ѵµпҺ ເ0Һeп - Maaula địa -ơ i iđêa uê ố A Dễ ấ í ấ 0e - Maaula đ-ợ ả0 0à qua đẳ ấu ổ đ 2.2.10 A 0ee ká kô i uê ê A iả sử ằ mộ A- môđu ẳ ếu A 0e - Maaula y sỹ c z hạ oc ,ọtc c 3d c h hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu ì 0e- Maaula ứ mi q mộ iđêa uê ố = q A Ki q ẳ ê Aρ TҺe0 Ьỉ ®ὸ 2.1.3, ƚa ເã deρƚҺЬq (Ьq) ≥ deA (A) = dim(A) Mặ ká dim(q) dim(A) D0 ®ã deρƚҺЬq (Ьq) ≥ dim(Ьq) ѴËɣ Ьq lµ ເ0Һeп - Maaula Đị ĩa 2.2.11 A mộ 0ee I mộ iđêa s Đặ AssA(A/I) = {1, , s} iđêa uê ố liê kế I Ta ói ằ ì I kô ộ lÉп пÕu Һƚρi = Һƚ(I) ѵίi mäi i Tг0пǥ ƚг-êпǥ ợ ấ ả i ối iu A/I kô ó iđêa uê ố Ta ói ằ Đị lý s kô ộ lẫ đ A ếu điu sau đ: 0, ếu I iđêa s ó độ a0 đ-ợ si ởi ầ ử, ki I kô ộ lẫ ý ằ mộ iđêa kô ộ lẫ ki ỉ ki A/I kô ó iđêa uê ố i = ì điu kiệ ó ĩa A kô ó iđêa uê ƚè пҺόпǥ 29 Ьỉ ®ὸ 2.2.12 ເҺ0 A 0ee ếu đị lý kô ộ lẫ đ Am, i iđêa ối đại m ì đị lý kô ộ lẫ đ ê A Đặ I = q1 q mộ â í uê sơ ối iu i qi i- ứ mi I iđêa s ó độ a0 đ-ợ si ởi ầ i mộ iđêa uê ố I , m mộ iđêa ối đại ứa uê sơ i i iả sử mộ ữ uê ố liê kế, ẳ Sắ ế qi đ iđêa uê ố 1, , s ứa m ò s+1, , ì kô Ki â í sau mộ â í uê sơ ối iu iđêa IAm IAm = q1Am ∩ qsAm D0 ѵËɣ ƚåп {ρ1ƚ¹i Am,1 , is Ams}i iđêa uê ối iu IA m điu ì , i ,1,đ-ợ d0 iAốởi m ầ 1Am - mâu uẫ, ì IA ó độ a0 si đị lý m kô ộ lẫ đ Am - ậ đị lý kô ộ lẫ đ A ổ đ 2.2.13 A mộ 0ee iả sử Đị lý s kô ộ lẫ đ A ếu a hay A í qu ì §ÞпҺ lý ѵὸ sὺ s z ạc h c t kô ộ lẫ đ A/(a) hc, c 23doc ho hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu ເҺøпǥ miпҺ I iđêa s A ứa a iả sử iđêa I/(a) ó độ a0 đ-ợ si a ởi ầ A/(a) Te0 ổ đ 2.2.6 ì iđêa I ó độ a0 + đ-ợ si a ởi + ầ A d0 ì ô ộ lẫ ếu ố{liê } álàiđêa uê ố liê 1, ,ế kì ếđó ủaIiI)k iđêa I/(a) {lẫ 1/(a), , /(a)} ( =á (I) 1uê = (I)/(a) êkI/(a) kô ộ ổ đ 2.2.14 A 0ee đị lý s kô ộ lẫ đ ọ a1, , aг ∈ I sa0 ເҺ0 Һƚ(a1, , aг) = i ѵίi ≤ i ≤ г ƚг0пǥ A Ki đó, ếu I mộ iđêa s i Һƚ(I) = г ≥ ƚa ເã ƚҺό ເҺøпǥ miпҺ ứ mi -ơ ổ đ 2.2.7 -ờ ợ ứ mi I ứa mộ ầ í qu - qu a sử dụ ổ đ 2.2.13 30 Đị lý 2.2.15 A mộ 0ee Ki A 0e Maaula ki ỉ ki đị lý s kô ộ lẫ đ A ứ mi iả sử đị lí s kô ộ lẫ đ A mộ iđêa uê ố ó độ a0 Ta ьiÕƚ г»пǥ: г = dimAρ ≥ deρƚҺ(Aρ) ≥ deρƚҺρA ƚҺe0 ổ đ 2.1.19 ếu = ì kô ại ầ í qu uộ , d0 de A = 0, -ơ đ-ơ i dimA = = de(A) ê A 0e - Maaula ếu ì e0 ổ đ 2.2.14 a ó ìm a aг ∈ ρ sa0 ເҺ0 Һƚ(a1 , , aг ) = i, ѵίi ≤ i ≤ г iđêa (a1 , , 1), , a kô ộ lẫ e0 iả uế ê ai+1 kô uộ iđêa uê ƚè liªп k ̟ Õƚ ເđa A/(a1(A) , ,≥aгг) D0 ѵËɣ a1, = ,г a=г lµ méƚ d·ɣ A - í qu0 de ê dimA de(A ) , A 0e Maaula -ợ lại, iả sử A 0e - Maaula i iê ằ đị lý s kô ộ lẫ đ Am i áay iđêa ối đại m Ta ó ỏ ®i ỹ h s c cz TҺe0 Ьỉ 2.2.3 ƚҺ× kô ộ -ờ ợ A 0e - Maເaulaɣ hạ c t ,ọ hc c 23 hoọ ọ hc oca hạọi căzn lÉп ເҺ0 ăcna nạiđ ndov v n đ ă nvă lu2ậ3 ậvn ăເa0 (a , , aqu mộĐị iđêalýó2.2.8, độ i a1, , aг lµ méƚ d·ɣ Aг) lµ , г > K ເҺÝпҺ ậLnu nuậvn ăánѵËɣ пªп A/(a1, , a г) lµ ເ0Һeп - Maເaulaɣ ѵµ1 (a1, , aƚҺe0 ) k ̟ Һ«пǥ ƚгéп lÉп u г L ậL v Lu n lu ệ 2.2.16 Mộ П0eƚҺeг A lµ ເ0Һeп - Maເaulaɣ k̟Һi ѵµ ເҺØ k̟Һi Am 0e - Maaula địa -ơ i iđêa ối đại m ứ mi Sử dụ Đị lý 2.2.15 ổ đ 2.2.12 ệ A ເ0Һeп - Maເaulaɣ ПÕu a1, , aг ∈ A sa0 ເҺ0 qu¶ Һƚ(a2.2.17 1, , ai) = i ѵίi i ì a1, , a mộ d·ɣ A- ເҺÝпҺ quɣ A[х1, , хп] ເὸпǥ lµ ເ0Һeп - Maaula D0 0e - Maaula Đị lý 2.2.18 ເҺ0 A lµ ѵµпҺ ເ0Һeп - Maເaulaɣ K̟Һi ®ã ѵµпҺ ®a ƚҺøເ ເaƚeпaгɣ ρҺỉ dơпǥ 31 ເҺøпǥ miпҺ Ta ເҺØ ເÇп ເҺøпǥ miпҺ ѵίi п = q iđêa uê ố = A[] đặ = q A Ta ải ỉ a ằ q 0e Maaula Ta iế q đẳ ấu i A[]qA[] i qA[] iđêa uê ố A[] u ẹ A ì A 0e - Maaula ê a ó kô ứ mi q 0e - Maaula -ờ ợ A 0e - Maaula địa -ơ = q A iđêa ối đại Ki / = k [] i k mộ -ờ D0 0ặ q = ρЬ Һ0Ỉເ q = ρЬ + f Ь ѵίi f = A[] mộ đa ứ m0i ậ d-ơ Mặ ká a ó: dim(q) = dim(A) + (q/) ếu q = ì dim(q) + dim(A) Đ ứ mi q 0e Maaula a ỉ ầ ỉ гa г»пǥ deρƚҺЬq ≥ dimA ПÕu dimA = ƚҺ× điu y i iê iả sử dimA = г ≥ sỹ ѵµ a1, , aг lµ mộ dà A- í c z qu ì A ẳ ê q h ậ oc d0 ®ã a1 , , aг ເὸпǥ lµ d·ɣ ,ọtc c 3dấ ả q si a q- ເҺÝпҺ quɣ ƚҺe0 Ьỉ ®ὸ 2.1.3.oọhcDƠ ọ méƚ d·ɣ h hc oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv Ь,1lqu2 q u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ q lu Ьq- ເҺÝпҺ quɣ ПҺ- ѵËɣ deρƚҺ (Ь ) ≥ г ПÕu q = ρЬ + f Ь ƚҺ× dim(Ь ) = dim(A) + ( ì iđêa uê ố ká 0 k[] đu ó độ a0 ằ 1) г»пǥ Ta ເÇп ເҺøпǥ miпҺ deρƚҺЬρ (Ьq) ≥ dim(A) + ếu dimA = ì f m0i ê i iê í qu d0 ó ເҺÝпҺ quɣ ƚг0пǥ Ьρ, suɣ гa deρƚҺЬρ ≥ ПÕu dimAquɣ = гƚгªп ≥ 1Ь/(a , ເҺ0, , a1, a , a dà A- í qu ì f m0i ê fTe0 í ) D0 a1, , a , f dà - í qu 1dà ổ đ 2.1.3 ì dà - í qu, d0 ả ạ0 mộ dà - í quɣ ѴËɣ пªп deρƚҺЬρ (Ьρ) ≥ г + TҺe0 Đị lý 2.2.8 ì 0e - Maaula aea ì A 0e - Maaula ê A[1, , ] lµ ເaƚeпaгɣ ѵίi п ≥ 1, пҺ- ѵËɣ A lµ aea ổ dụ ệ 2.2.19 ếu k mộ -ờ ì k[1, , ] 0e - Maaula d0 aea ổ dụ i 32 -ơ ệ số ile à môđu 0e - Maaula 3.1 Đa ứ ile sè ьéi A[х1, , хm], ƚøເ Ь A-đại số ữu yạ si ậ ấ ả đa ứ A Ai (d0 ®ã A lµ П0eƚҺeг) Ta ເã AA(A) < ∞ Đặ = uầ ấ ậ Ki c=s c⊕ Ьп ເҺ0 M = ⊕ Mп lµ méƚ Ьz oM0là A-môđu tch môđu â ậ ữu siпҺ,hc,ọƚҺ× d c hoọ ọ ca hạọi hc căzn o a cn ạiđ ndov n nvă đ≥ vnă ănvă ,1lu2ậ3 ậ n u n v ậ n L ậ Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu K̟Һi ®ã a ó mệ đ độ dài M - sau Mệ đ 3.1.1 A, M - ê, a ó AA(M) < Te0 mệ đ ê độ dài M luô ữu ạ, ữa ó ò mộ àm đa ứ i ệ số ữu ỷ đ-ợ ỉ a đị lý sau đâ Đị lý 3.1.2 (Đị lý đa ứ ile) A Ai Đặ = A[1 , , хm ], k̟Һi ®ã Ь = ⊕ â ậ i = A, lµ ƚËρ п ≥0 ьËເ п ເҺ0 M = ⊕ M mộ -môđu ấ ả đa ứ uầ ấ â ậ ữu si Ki ại mộ đa ứ ệ số ữu ỷ M () sa0 AA(M) = M ()i đủ l Đa ứ M () ỉ a đị lý ê đ-ợ ọi đa ứ ile môđu M ý i đa ứ f () Q[] iả sư ƚҺªm f (п) ∈ Z, ѵίi mäi п ∈ Z de f = d ì a luô ó iế f () đ-ợ d-i f () = a0 Σ х +d −a1 d х +d − d−1 Σ + · · · + (−1)d a ,d 33 ƚг0пǥ ®ã a0, a1, , ad số uê đị du ấ, a0 > dụ điu ê đa ứ ile M (), a ó số uê a0, a1, , ad; a0 > sa0 ເҺ0 Σ Σ п +d − п +d + · · · + (−1)d a d −a1 d ΡM (п) = a0 d−1 ѵίi deǥ ΡM (п) = d ệ số a0 ấ đa ứ M () a0/d! í dụ iả sử = k [Х0, Х1, , Хг], ѵίi k̟ lµ mộ -ờ Số ứ bậc n n+r Σ , vËy A k ̟(Г п ) = п +г r Σ ѵίi ∀ п ≥ ế ải () D0 () = 1/!( + г)(Х + Г − 1) (Х + 1) iả sử A 0ee địa -ơ i iđêa đại du ấ m ay h s m) đ-ợ ọi iđêa đị ĩa Đị ĩa 3.1.3 Mộ iđêa I (A, c z h oc √ √ √ ,ọtc c 3d c h ọ пÕu ƚåп ƚ¹i п > sa0 ເҺ0 mп ⊆aocIahoọhạ⊆ ̟ Һi ®ã mп ⊆ I ⊆ m Һaɣ ọi hc căznm K cn iđ ov √ nvă đnạ nd vnă ănvă ,1lu2ậ3 ậ I =m ậLnu ậvn n Lu uLnu nvỏ L lu I iđêa đị ĩa ếu ỉ ếu I ê a ó I m-uê sơ.ậ m-uê sơ I iđêa đị ĩa (A, m) M A-môđu ữu si iả sử {a1 , , a } ệ si I Đặ A∗ = ǤI (A) = ⊕ п ≥0 Iп/Iп+1 K̟Һi ®ã ƚa ເã ®¼пǥ ເÊu A∗ ∼ ∈ I/I = A/I[a1 , , aп ] ѵίi = + I Ta ເã dim(A/I) = ê A/I Ai ứ A(A/I) < ∞ D0 ѵËɣ AA(I п M/I п+1 M ) < Te0 đị lý đa ứ ile, i đủ l ại đa J ứ ệ số ữu ỉ ,I () ỏa mà M ,I () Đị ĩa 3.1.4 Đặ J AA(I M/I +1 M ) = ΡM п Σ п Ρ (п) = Σ J M,I ΡM,I (п) = k̟=0 AA(I k ̟ M/I k̟+1 M ) = AA (M/I п+1 M ) k̟=0 K̟Һi ®ã M,I () i đủ l đ-ợ ọi Đa ƚҺøເ Һilьeгƚ - Samuel ເđa M ®èi ѵίi I 34 Mệ đ 3.1.5 (A, m) địa -ơ 0ee M Amôđu ữu si iu d K̟Һi ®ã ьËເ ເđa ®a ƚҺøເ ΡM,I (п) ь»пǥ d kô ụ uộ à0 ọ iđêa đị ĩa I Һ¹п siпҺ Ta ເã AA(M/Iп+1M ) = ΡM,I (п), deǥ ΡM,I (п) = d ѵίi п ®đ lίп Đị ĩa 3.1.6 I iđêa m-uê sơ A M A-môđu ữu Ki ại sè пǥuɣªп e0, e1, , ed, e0 > sa0 ເҺ0 ΡM,I (п) = e0 Σ Σ п +d − п +d + · · · + (−1)d e d −e1 d d−1 ເ¸ເ sè e0, , ed ǥäi lµ ҺƯ sè Һilьeгƚ ເđa M ®èi ѵίi I K̟Ý ҺiƯu eIi (M ) Đặ iệ, số uê d-ơ e0 iu diễ ê đ-ợ ọi số ội M I đối i I Kí iệu e0(M ) ậ é 3.1.7 i ô ứ d! iả iế - ê a ó 0 (i) e (M ) = lim A (M/I M ) ПÕu d = ƚҺ× e (M ) = A (M ) пd A y (ii) eI (M ) > k̟Һi dim M = d c sỹ z hạ oc (iii) eг(M ) = e0(M )гd ,ọtc c 3d c h ọ ọ I I I A I п→∞ ho hc oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu J0 (iv) ếu I, I J iđêa m-uê sơ I I J ì I e (M ) e I (M ) Đị lý 3.1.8 q = (1, , d) mộ iđêa ƚҺam sè K̟Һi ®ã (i) e0q(M ) ≤ AA(M/qM ) (ii) eq0 (M ) = AA(M/qM ) k̟Һi ѵµ ເҺØ k̟Һi Ǥq (M ) = ⊕ qп M /qп+1 M ∼ = п≥0 M/qM [T1, , Td] 3.2 ҺÖ sè ile ứ ứ ấ 0e-Maaula Đị lý sau lê đặ - ả môđu M Đị lý 3.2.1 (A, m) 0ee địa -ơ, M A-môđu ữu si i dim M = d mệ đ sau -ơ đ-ơ: (i) M môđu M (ii) Mọi iđêa am số q = (х1, , хd) ƚa ເã e0(M ) = AA(M/qM ) q q (iii) Tåп ƚ¹i iđêa am số q = (1, , хd) ƚa ເã e0(M ) = AA(M/qM ) 35 ứ (i) M (ii)môđu iả (1,ê (, 1х,d.) lµ ƚҺam sè ເđa M ѵµ ̟qҺi = (х ເã miпҺ , хd) Ѵ× , хҺƯ ເҺÝпҺ quɣ K d) lµ d·ɣ ∼ sư ເM a ấu đó1,(ii) q (M ) = M/qM [1 , , Хd ] Ta ເã e (M ) = AA (M/qM ) đẳ (iii) i iê (iii) (i) iả sử =M/qM (1, [Х , хd) lµ sè ƚҺáaເÊu m·пψe(q, )= A q=iđêa iđêa ,ủa d], am a 0à : M Aq (M/qM (M ) D0).đóĐặ ại uầ1,ấ sa0ó ເҺ0 Ǥq (M )∼ = Ь/ь Ǥäi q ϕЬ(п) , () lầ l-ợ đa ứ ile ь K̟Һi ®ã, ѵίi п ®đ lίп п + − d Σ (M/qM ) ϕЬ(п) =AA d− Ta ເã AA(qп/qп+1) = ϕЬ(п) − ϕь(п) Ta l¹i ƚҺÊɣ AA(q/q+1) () đu ó ậ a0 ấ d ѵµ ҺƯ sè − e (M ) q ê () ó ậ kô -ợ d Ta ậ a0 ấ (d 1)! ເҺøпǥ miпҺ ь = (0) TҺËƚ ѵËɣ, ǥi¶ sư ь ƒ= (0), ƚa ເã ƚҺό ເҺäп méƚ ρҺÇп ƚư ƚҺп ấ ká kô f () ì q iđêa am số ê m q Đặ m/q = m Ta ເã mг = (0) D0 ѵËɣ ເã ƚҺό ƚҺaɣ f ьëi ƚÝເҺ ເđa f ѵίi méƚ ρҺÇп à0 m iả sử f = mà mf = Ki s y c cz tch ọ , c h c hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu ь ⊃ fЬ ∼ = (M/mM )[Х1 , , d ], d0 ếu de f = ρ ƚҺ× п − ρ + d − 1Σ ϕ b(п) “ (∗), d −1 ƚг0пǥ ®ã п−ρ+d−1 Σ độ dài ầ uầ ấ ậ ρ ƚг0пǥ d−1 − (M/mM )[Х1, , Хd] Tõ (∗) ƚa ƚҺÊɣ ϕь(п) ເã ьËເ lίп Һ¬п d (mâu uẫ i ậ é ê) D0 ậ = (0) Ki a ó đẳ ấu Ǥq (M ) ∼ = Ь = (M/qM )[Х1 , , Хd ] ѴËɣ (х1, , хd) lµ M -d·ɣ Suɣ гa M lµ môđu 0e-Maaula Sau đâ a ìm iu đặ - ເđa ѵµпҺ ເ0Һeп-Maເaulaɣ qua ҺƯ sè Һilьeгƚ ƚҺø пҺÊƚ Ta ói ằ A kô ộ lẫ ếu dim A^/ = d ѵίi 36 mäi ρ ∈ Ass A^, ƚг0пǥ A^ đầ đủ A e0 ôô I-adi W0lme as0el0s đà đ-a a iả uế: -ơ ki ỉ ki e1(A) = i iđêa am số q A iả địasử ằ A kô ộ lẫ Ki A 0e - Maaula ezzi, as0el0s đà ứ mi iả uế ê ®όпǥ q Maເເaulaɣ Maпdal ѵµ Ѵeгma [7] ເҺøпǥ miпҺ г»пǥ e1(A) i iđêa [3] ếu A mộ mi uê ả đồ ấu mộ ѵµпҺ ເ0Һeп - ƚҺam sè q ƚг0пǥ méƚ ѵµпҺ П0eƚҺeг địa -ơ ù ý A ứ mi ằ q e1q(A) < пÕu deρƚҺ A = d − T- ế a ắ lại mộ số kế uẩ ị sau Mệ đ 3.2.2 iả sử (A, m) 0ee địa -ơ, M A-môđu dim M = d Ki M A-môđu 0e-Maaula ki ỉ k̟Һi Һmi (M ) = ѵίi mäi i = 0, , d Đị ĩa 3.2.3 iả sử A 0ee, I mộ iđêa A ầ a I đ-ợ ọi ầ siêu mặhayủa I (suefiial eleme) ếu ại số ƚὺ пҺiªп ເ sa0 ເҺ0: sỹ c z hạ oc c t ,ọ c 3d c h hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá ເ L ậĐ lu ѵίi mäi п > (I : aA) ∩ I = Iп−1 ເ Mệ đ 3.2.4 ([5]) iả sử (A, m) 0ee địa -ơ i d = dimA > ó môđu í ắ iả sử dim A/ = d i Ass(A) \ {m} Ki điu sau đ: (i) 1m(A) môđu ữu Һ¹п siпҺ; (ii) TËρ F = {ρ ∈ Sρeເ(A) | dim A > de(A = 1)} ậ ữu ạ; (iii) iả sử k = A/m -ờ ô I iđêa m-uê sơ A Ki ại a I \ mI mà a ầ siêu mặ I dim A/ = d − ѵίi mäi ρ ∈ AssA(A/aA) \ {m} ý ếu A đầ đủ, ứ A ^= A ì A ó môđu í ắ T §Ỉƚ AssҺ A = {ρ ∈ Ass A| dim A/ρ = d} iả sử = AssA I() mộ kai i uê sơ 0 A i iđêa - uê sơ I() 37 A Ta đặ: \ UA(0) = Ass A I() ọi ó ầ kô ộ lẫ 0 A Đị lý 3.2.5 iả sử (A, m) 0ee địa -ơ i d =dimA > q mộ iđêa am số A Ki a điu kiệ sau -ơ đ-ơ i au: (i) A 0e - Maaula (ii) A kô ộ lẫ e1(A) q (iii) A kô ộ lẫ àqe1(A) = ứ mi Taệ ỉam ầ số ứ (ii)[9]⇒ƚa(i)ເã ເҺ0 = (a a1, , ka̟ d=) ѵίi alµ aạ Te0 Ami Te0 qiả sử1,-ờ q làà 1, , A/m ô A đầ đủ [6] k ẳ đị đ i d iả sử d kẳ đị đ i d Te0 Mệ đ 3.2.4 ại = a1 ầ siêu Ass(A/A) mặ iđêa am số q Ass(A/A) \ {m} = D0 ầ kô ộ lẫ U = UA(0) ເña (0) ƚг0пǥ A = A/хA ເã sỹ y c cz m0 (A) độ dài ữu D0 U = Һ [6], ƚa ເã hạ TҺe0 ,ọtc q1 hc c 23 hoọ ọ ca hạọi hc căzn o a cn iđ ov nvă đnạ nd vnă ănvă ,1lu2ậ3q1 ậ ậLnu ậvn n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu q e (A/U ) = e (A) = e1(A) Mặ ká dim A/U = d ê e0 iả iế qu ạ, a ó A/U 0e-Maaula D0 mi (A) = i mäi i ƒ= 0, d − Tõ d·ɣ k̟Һίρ −→ A −х→ A −→ A −→ ເña A- môđu, a ó dà k dài · · · −→ Һ1m(A) −→ Һ1m(A) −→ Һ1m(A) −→ · · · · · · −→ Һmi−1 (A) −→ Һmi (A) −х→ Һ im(A) −→ · · · m d−2 (A) −→ Һmd−1 (A) −х · · · −→ Һ → Һ dm−1 (A) −→ · · · ເ¸ເ môđu đối đồ điu địa -ơ D0 a ó mҺ i (A) = (0) ѵίi mäi ≤ i ≤ d − ѵ× Һ i (A) = (0) ѵίi mäi ≤ i ≤ d − Tг0пǥ ki m 38 (A) = (A) ì Һ1 (A) = (0) Ѵ× ѵËɣ Һ1 (A) = (0) ì A- môđu m m m m 1m(A) ữu si D0 A mộ 0e - Maaula e0 Mệ đ 3.2.2 A mộ 0ee địa -ơ i iđêa ối đại m d = dimA > ເҺ0 U = UA(0) ѵµ đặ = A/U iả sử ằ U (0) ѵίi dimAU = ƚ K̟Һi ®ã ƚ < d ເҺ0 q mộ iđêa am số A Ki ƚa ເã lA(A/qп+1) = lA(Ь/qп+1Ь) + lA(U/qп+1 ∩ U ) i số uê D0 đó, àm lA(U/q+1 U ) mộ đa ứ i q i ậ ại số пǥuɣªп {si (U )}0≤i≤ƚ ƚҺáa m·п Σ t п + ƚ − i Σ (−1)isi (U ) q ƚ −i +1 п lA(U/q ∩ U ) = y a i=0 sỹ h ѵίi п 0, s0(U )q = e0(U ) ≥ ѵµ c z hạ oc q п + d − i Σ d Σ lA(A/q п+1 (−1)iei (Ь) q )= d ,ọtc ọhc hc ọc 123 o h a i ọ n c z o cna iđhạ ovcă nvă ăđnạ ậ3nd ă n v u ậv ăn ,1l ậLnu ậvn n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu i=0 d −i + t Σ (−1)isi (U ) q п +ƚ − iΣ ƚ −i i=0 S0 sá ệ số đa ứ, a ó ệ sau ổ đ 3.2.6 i iả iế ƚгªп, ƚa ເã (−1)d−i ed−qi (Ь) + (−1)ƚ−isƚ−i (Uq ) −i d−i d (−1) e q (A) = (−1)d−iedq −i(B) ≤ i ≤ ƚ, t + ≤ i ≤ d 1 D0 ®ã eq 1(A) = e1q(Ь)−e0(U q ) пÕu ƚ = d− ѵµ eq (A) = e q(Ь) ѵίi ƚ ≤ d− Tõ a ó e1(A) e1() dấu ằ ả гa пÕu ƚ ≤ d − ҺƯ qu¶ 3.2.7 q mộ iđêa am số 0ee địa ρҺ-¬пǥ A ѵίi (i) e1(A) ≤ d = dimA > Ki kẳ đị sau đ: q q q q (ii) e1(A) < пÕu deρƚҺ A = d − 39 ເҺøпǥ miпҺ (i) Ta ó iả sử A đầ đủ ì q q e1(A) ≤ e1(A/U ) ѵίi U = UA(0) Kô mấ í ổ a ó iả sử A kô ộ lẫ iả sử eq1(A) > 0, e0 Đị lý 3.2.5 A 0e - Maaula e1q(A) = D0 e1(A) q (ii) Ta ó iả sử ằ -ờ A/m ô Te0 [6] ệ đ ki d = iả sử d ọ mộ ầ q mq đ ầ siêu mặ q Ta ó e1(A) = e1(A/A) q q e0 [6] Te0 qu ì e1(A/A) < D0 e1(A) < q q Đị lý 3.2.8 U = UA(0) àayầ kô ộ lẫ ເña (0) ƚг0пǥ h sỹ c (i) e1(A) = A cz h điu kiệ s q mộ iđêa am số A é au: ,tc c c h (ii) địa -ơ A/U làocaho0e - Maaula dimAU d hc ọ zn i ọ hạ că q ăcna nạiđ ndov nv⇒ đ 2(ii) ă ă K̟Һi ®ã a luô ó (ii) (i) (i) đ ki A ả đồ ấu mộ n v u v n ậ3 nuậ nă ,1l ậL ậv n Lu uậLnu nvỏ L lu 0e - Maaula, d0 điu kiệ ê -ơ đ-ơ i au ứ miпҺ TҺe0 Ьỉ ®ὸ 3.2.6, ƚa ເã (ii) ⇒ (i) iả sử ằ A mộ ả đồ ấu méƚ ѵµпҺ ເ0Һeп - Maເaulaɣ ເҺόпǥ ƚa sÏ ເҺøпǥ miпҺ (i) (ii) Đặ U = UA(0) đặ = A/U Ki mộ địa -ơ kô ộ lẫ ì ả đồ ấu ເđa méƚ ѵµпҺ ເ0Һeп Maເaulaɣ ѵµ dimເ/Ρ = d ѵίi mäi Ρ ∈ Ass ເ ПÕu U ƒ= ì A kô ộ lẫ, e0 Đị lý 3.2.5 a ó A 0e - Maaula iả sử ằ U = (0) đặ = dimAU Ki d ữa e0 ệ 3.2.7 eq0(U ) 1, q e1 ≤ 0, ƚa ເã eq1(A) = e1q(ເ) − e0q(U ) < D0 ®ã e1(ເ) = e1(A) = ƚҺe0 ổ đ 3.2.6 ké0 e0 mộ 0e q q - Maaula e0 Đị lý 3.2.5 40 ý ằ ếu A kô ả đồ ấu mộ 0e Maaula ì (i) (ii) ì u kô đ a ọi ữ địa -ơ A i e1q(A) = i mộ iđêa am số q A as0el0s i iê ằ 0e - Maaula as0el0s ệ 3.2.9 A mộ 0ee địa -ơ i iđêa ối đại m d = dim A > 0 q iđêa am số A iả sử г»пǥ eiq(A) = ѵίi ≤ i ≤ d Ki A mộ 0e - Maaula ứ mi Ta ó iả sử ằ A đầ đủ m - adi Đặ U = UA(0) Ki e0(A) = e0(A/U ) ì dimA U < d Mặ ká, e0 Đị lý 3.2.8 A/U q q ເ0Һeп - Maເaulaɣ D0 ®ã: п+1 y + lA(U/q lA(A/qп+1) = lA(A/[U + qп+1ha]) U) sỹ c z hạ oc c t ,ọ c 3d п+1 c h hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ăđn ậ3 ănv n+1 ậvn п ă v ,1lu2 n u n v ậ L ậ nu ăán u A L uậL nồv q L ậĐ lu ѵίi п ≥ Ta ເã lA(U/q U ) = (0) ѵίi п 0.ѵ× Σ п +d l (A/q ) = e (A) d ѵίi mäi п ѵµ A 0q l (A/[U + qп+1 ) = e (A/U ) Σ п + dd ѵίi mäi п D0 ®ã U = (0) ѵµ A lµ méƚ ѵµпҺ ເ0Һeп - Maເaulaɣ 41 Kế luậ T0 luậ ă à, ôi đà ì mộ số kế iê ứu à môđu 0e - Maaula, ụ Tì mộ ó ệ ố đị ĩa, í ấ dà í qu; độ sâu môđu; à môđu 0e - Maaula ứ mi i iế ếu A 0e - Maaula ki mộ đa ƚҺøເ A[х1, , хп] ເὸпǥ lµ ѵµпҺ ເ0Һeп - Maເaulaɣ, d0 ấ kì 0e - Maaula aea ổ dụ Tì i iế ệ số ile à môđu Đặ - 0e - Maaula qua ệ số ứ kô ứ ấ đa ứ Һilьeгƚ sỹ y ạc cz tch ọ , c h c hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nvỏ L lu 42 Tài liệu am kả0 [1] AsҺ, Г (2006), A ເ0uгse iп ເ0mmuƚaƚiѵe Һƚƚρ://www.maƚҺ.uiuເ.edu/ г-asҺ/ເ0mAlǥ.Һƚml alǥeьгa, [2] Ьгuпs, W aпd J Һeгz0ǥ (1998), ເ0Һeп-Maເaulaɣ гiпǥs, ເamьгidǥe Sƚudies iп Adѵaпເed MaƚҺemaƚiເs, 60 ເamьгidǥe Uпiѵeгsiƚɣ Ρгess, ເamьгidǥe [3] ǤҺezzi, L., Һ0пǥ, J.Ɣ aпd Ѵasເ0пເel0s, W Ѵ (2008), "TҺe y siǥпaƚuгe 0f ƚҺe ເҺeгп ເ0effiເieпƚs 0f l0ເal гiпǥs", ρгeρгiпƚ sỹ c z hạ oc c t ,ọ c 3d c h hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu [4] Ǥ0ƚ0, S (2012), "Һilьeгƚ ເ0effiເieпƚs 0f ρaгameƚeгs", ρгeρгiпƚ [5] Ǥ0ƚ0, S aпd Пak̟amuгa, Ɣ (2001), "Mulƚiρliເiƚies aпd ƚiǥҺƚ ເl0suгes 0f ρaгameƚeгs", J Alǥeьгa 244, ρρ 302-311 [6] Ǥ0ƚ0, S aпd ПisҺida, K̟ (2003), "Һilьeгƚ ເ0effiເieпƚs aпd ЬuເҺsьaumпess 0f ass0ເiaƚed ǥгaded гiпǥs", J Ρuгe aпd Aρρl Alǥeьгa 181, ρρ 61-74 [7] Maпdal, M aпd Ѵeгma, J.K̟ (2008), "0 e e ume 0f a iđêa", ei [8] Masumua, Һ (1986), ເ0mmuƚaƚiѵe гiпǥ ƚҺe0гɣ, ເamьгidǥe Uпiѵeгsiƚɣ Ρгess [9] Tгiѵedi, Ѵ (2011), Һilьeгƚ-Samuel fuпເƚi0п aпd ρ0lɣп0mial, Leເƚuгe п0ƚe, ρгeρгiпƚ