BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Hồ Nguyễn Đăng Khoa VÀNH VỚI CÁC LINH HÓA TỬ HỮU HẠN SINH Chuyên ngành Đại số và Lý thuyết số Mã số 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜ[.]
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Hồ Nguyễn Đăng Khoa VÀNH VỚI CÁC LINH HÓA TỬ HỮU HẠN SINH Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN VIẾT ĐƠNG Thành phố Hồ Chí Minh - 2012 Lời cảm ơn Luận văn hồn thành hướng dẫn tận tình nghiêm khắc TS Nguyễn Viết Đông Nhân dịp này, tơi xin chân thành bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy gia đình Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn tới tồn thể thầy giáo khoa Tốn – Tin phịng Sau đại học – trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh tận tình giảng dạy giúp đỡ tơi suốt thời gian học tập trường Cuối cùng, tơi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè bên tôi, cổ vũ, động viên, giúp đỡ tơi suốt q trình học tập thực luận văn Tp Hồ Chí Minh, ngày 17 tháng 09 năm 2012 Học viên Hồ Nguyễn Đăng Khoa Mục lục Lời cảm ơn Bảng kí hiệu Mở đầu Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ §1 Mơđun §2 Vành 21 Chương VÀNH VỚI CÁC LINH HÓA TỬ HỮU HẠN SINH 26 §1 Định nghĩa tính chất 26 §2 Ứng dụng 34 Kết luận 42 Tài liệu tham khảo 44 Bảng kí hiệu Kí hiệu Ý nghĩa Tập hợp số tự nhiên Tập hợp số nguyên Tập hợp số hữu tỉ Ker f Hạt nhân đồng cấu f Im f Ảnh đồng cấu f J ( R) Căn Jacobson vành R l ( X ), r ( X ) Linh hóa tử trái tập hợp X , linh hóa tử phải tập hợp X l (a ), r (a ) Linh hóa tử trái phần tử a , linh hóa tử phải phần tử a R Mod , Mod R Phạm trù R -môđun trái, phạm trù R -môđun phải HomR ( X , Y ) Tập hợp tất đồng cấu từ R -môđun X vào R -môđun Y Ext1R ( A, B) R M, MR Tích mở rộng R -môđun A R -môđun B R -môđun trái M , R -môđun phải M 1M Ánh xạ đồng tập hợp M i, ɩ Ánh xạ nhúng Card X Lực lượng tập hợp X M RI , R M I Mơđun tích trực tiếp họ I mơđun M R , mơđun tích trực tiếp họ I môđun R M M* Mơđun đối ngẫu mơđun M B Tích Đề-các hai tập hợp A B dim L K Số chiều không gian vectơ K trường L ∏M Mơđun tích trực tiếp họ mơđun {M i }i∈I i∈I i K [ x1 , x2 , , xn ,] Vành đa thức vô số ẩn x1 , x2 , , xn , trường K ( x1 , x2 , x3 ,) Trường phân thức vô số ẩn x1 , x2 , x3 , trường số hữu tỉ Mở đầu Trong đại số nói chung lý thuyết vành nói riêng, nói lớp vành Noether lớp vành Chính thế, việc nghiên cứu dạng mở rộng lớp vành đề tài rộng lớn, thu hút nhiều quan tâm nhà toán học thu nhiều kết đáng kể Đặc biệt, gần Lixin Mao [17] dạng mở rộng mới, thú vị lớp vành Noether, vành với linh hóa tử hữu hạn sinh hay gọi tắt vành AFG Với mong muốn hiểu rõ tính chất bản, số ứng dụng lí thú dạng mở rộng này, đó, luận văn trình bày lại cách chi tiết kết vành AFG có báo: “A generalization of Noetherian rings, Taiwanese Journal of Mathematics, 12(2), pp.501-512” Lixin Mao Nội dung luận văn trình bày chương: Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương trình bày kiến thức Môđun Vành, làm sở để chứng minh kết chương Chương 2: VÀNH VỚI CÁC LINH HÓA TỬ HỮU HẠN SINH Chương trình bày nội dung luận văn: định nghĩa, số tính chất ứng dụng vành AFG Luận văn chắn khơng tránh khỏi sai sót Rất mong nhận ý kiến đóng góp từ thầy bạn để luận văn hoàn chỉnh Xin chân thành cảm ơn ! Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong suốt luận văn này, khơng nói thêm, vành R hiểu vành kết hợp, có đơn vị ≠ R -mơđun xét mơđun unita trái phải §1 Mơđun Tiết trình bày kiến thức môđun, sở để làm rõ tính chất vành AFG Để tránh nặng nề mặt thuật ngữ, tiết gọi R -môđun trái môđun tất kết mà chúng tơi trình bày R -môđun trái chuyển sang cách tương tự cho R -môđun phải Trước hết, nhắc lại định nghĩa hệ sinh sở môđun Cho R -môđun X Tập hợp S ⊂ X , S ≠ ∅ hệ sinh X với phần tử x ∈ X : x = r1s1 + r2 s2 + + rn sn với r1 , r2 , , rn ∈ R s1 , s2 , , sn ∈ S Tập hợp S độc lập tuyến tính nếu: r1s1 + r2 s2 + + rn sn = r= r2= = rn= Một hệ sinh S môđun đồng thời hệ độc lập tuyến tính gọi sở môđun X 1.1.1 Định nghĩa Môđun X gọi môđun hữu hạn sinh X có hệ sinh hữu hạn Chú ý: Với R -môđun trái M họ {Li }i∈I R -mơđun phải, ta ln có đồng cấu: ϕ : (∏ Li ) ⊗ R M → ∏ ( Li ⊗ R M ) i∈I i∈I xác định ϕ (( zi ) ⊗ x) = ( zi ⊗ x) Đặc biệt, ta có đồng cấu: ϕ : R I ⊗R M → M I R xác định ϕ ((ai ) ⊗ x) = (ai x) Dựa vào đồng cấu này, mệnh đề sau cho thêm công cụ để chứng minh môđun môđun hữu hạn sinh 1.1.2 Mệnh đề ([21], Lemma 13.1) Cho M R -môđun, khẳng định sau tương đương : (a) M môđun hữu hạn sinh (b) ϕ : (∏ Li ) ⊗ R M → ∏ ( Li ⊗ R M ) toàn cấu với họ {Li }i∈I R i∈I i∈I môđun phải (c) ϕ : RRI ⊗ R M → M I toàn cấu với tập số I Chứng minh (a) ⇒ (b) Giả sử M sinh phần tử x1 , x2 , , xn Lấy ui (ui ) I ∈ ∏ ( Li ⊗ R M ) , đó= i∈I ∑ (z n ∑z j =1 ji ⊗ x j với z ji ∈ Li Vì (ui ) I ảnh ) ⊗ x j Vậy ϕ toàn cấu ji I j (b) ⇒ (c) rõ ràng (c) ⇒ (a) Ta chọn tập số I M Xét phần tử u ∈ M M mà thành phần thứ x x Vì ϕ : RRM ⊗ R M → M M tồn cấu nên= ta có u ϕ (∑ (rjx ) ⊗ x j ) với j (r1x ), (r2 x ), , (rnx ) ∈ R M x1 , x2 , , xn ∈ M Rõ ràng x = ∑ rjx x j với j x ∈ M Vậy x1 , x2 , , xn hệ sinh M 1.1.3 Định nghĩa Mơđun X có sở gọi mơđun tự 1.1.4 Nhận xét • Cho S tập hợp khác rỗng, ta hồn tồn xây dựng R -mơđun tự có sở S , kí hiệu F ( S ) (xem [1,tr.50]) • R -mơđun X tự X đẳng cấu với tổng trực tiếp họ vành hệ tử R (xem [1, Định lý 4, tr.51]) • Tập S ≠ ∅ môđun X sở X với mơđun Y , ánh xạ f : S → Y mở rộng tới đồng cấu f : X → Y (xem [1, Định lý 5, tr.51]) 1.1.5 Định nghĩa Môđun F gọi môđun tự hữu hạn sinh F có sở hữu hạn 1.1.6 Nhận xét R -môđun F tự hữu hạn sinh F ≅ R n với n∈ Chứng minh ( ⇒ ) Giả sử R -môđun F tự hữu hạn sinh, F có sở hữu hạn {a1 , a2 , , an } Ta định nghĩa đồng cấu π : R n → F theo cách sau: π ((r1 , r2 , , rn )) = r1a1 + r2 a2 + + rn an Vì {a1 , a2 , , an } hệ sinh F nên π toàn ánh Mặc khác {a1 , a2 , , an } độc lập tuyến tính nên π đơn ánh Vậy π đẳng cấu hay F ≅ R n ( ⇐ ) hiển nhiên 1.1.7 Định nghĩa Môđun P gọi mơđun xạ ảnh với tồn cấu σ : B → C , đồng cấu f : P → C , tồn đồng cấu ϕ : P → B cho f = σϕ 10 Chú ý: Mỗi môđun tự môđun xạ ảnh (xem [1, Định lý 1, tr 73]) 1.1.8 Định lý ([1, Định lý 5]) Đối với môđun P , ba phát biểu sau tương đương: a) P môđun xạ ảnh χ δ b) Mỗi dãy khớp → A → B → P → chẻ c) P đẳng cấu với hạng tử trực tiếp môđun tự 1.1.9 Định nghĩa Đồng cấu f : M → P gọi đồng cấu tiền phủ xạ ảnh (projective preenvelope) R -môđun M P môđun xạ ảnh với đồng cấu g từ M vào mơđun xạ ảnh P ' , ln tồn đồng cấu h : P → P ' cho g = hf Chú ý: Nếu đồng cấu f đơn ánh (tư, tồn ánh) ta gọi f đơn cấu (t.ư, toàn cấu) tiền phủ xạ ảnh 1.1.10 Định nghĩa R -môđun M gọi môđun biểu diễn hữu hạn (finitely presented) tồn dãy khớp → K → F → M → F R mơđun tự F K R -môđun hữu hạn sinh Như vậy, theo Định nghĩa 1.1.10, dễ dàng thấy môđun biểu diễn hữu hạn môđun hữu hạn sinh 1.1.11 Bổ đề (Bổ đề Schanuel, [20, Proposition 3.12]) Cho dãy khớp R môđun α π α' π' → K →P→M → → K '→ P '→ M → P P ' mơđun xạ ảnh, ta có đẳng cấu: K ⊕ P ' ≅ K '⊕ P ... K → K → I1 ∩ I → khớp Vì thế, K1 K hữu hạn sinh K hữu hạn sinh I1 ∩ I hữu hạn sinh Nghĩa là, I1 I biểu diễn hữu hạn I1 + I biểu diễn hữu hạn I1 ∩ I hữu hạn sinh Bây giả sử ta có (i) Theo giả... đương : (i) Mọi iđêan trái hữu hạn sinh R môđun biểu diễn hữu hạn (ii) l (a ) iđêan trái hữu hạn sinh với a ∈ R giao hai iđêan trái hữu hạn sinh R lại iđêan trái hữu hạn sinh Chứng minh Lấy a ∈... lớp vành Noether, vành với linh hóa tử hữu hạn sinh hay gọi tắt vành AFG Với mong muốn hiểu rõ tính chất bản, số ứng dụng lí thú dạng mở rộng này, đó, luận văn trình bày lại cách chi tiết kết vành