MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC BẢNG KÝ HIỆU 1 DANH MỤC HÌNH VẼ 2 DANH MỤC BIỂU ĐỒ 3 LỜI NÓI ĐẦU 4 Chương 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ 5 1 1 1 1 Các định nghĩa, tính c hất của và nh 5 2 Các định nghĩa, tính c hất của[.]
MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC BẢNG KÝ HIỆU .1 DANH MỤC HÌNH VẼ DANH MỤC BIỂU ĐỒ LỜI NÓI ĐẦU Chương - KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Các định nghĩa, tính c hất nh 1.2 Các định nghĩa, tính c hất môđun .6 1.3 Rad ica l nh 14 Chương - VỀ SỰ TỒN TẠI HẠNG CỦA MÔĐUN TỰ DO 20 HỮU HẠN SINH TRÊN CÁC VÀNH KHƠNG GIAO HỐN 20 2.1 Sự tồn hạng môđun tự vô hạn sinh vành không giao hoán 20 2.2 Điều kiện tồn hạng môđun tự hữu hạn sinh vành không giao hoán .21 KẾT LUẬN 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO 46 BẢNG KÝ HIỆU MR R - môđun phải M J ( R ) rad R Căn Jacobson HomR ( M , N ) Nhóm R - đồng cấu từ M đến N EndR ( M ) Vành R - tự đồng cấu M U (R ) Nhóm phần tử khả nghịch vành R diag A Chéo ma trận A A Lực lượng tập hợp A a.c.c Điều kiện dây chuyền tăng d.c.c Điều kiện dây chuyền giảm det A Định thức ma trận A L (M ) Độ dài dãy hợp thành lR ( M ) Độ dài mơđun M DANH MỤC HÌNH VẼ Hình 1.1 : Sơ đồ giao hoán 14 Hình 2.1: Sơ đồ giao hốn 31 DANH MỤC B IỂU ĐỒ BIỂU ĐỒ TÓM TẮT MỐI LI ÊN HỆ CỦA LỚP CÁC VÀNH CÓ IBN 44 LỜI NÓI ĐẦU Cấu trúc module (môđun) xuất hầu hết hết lý thuyết tốn học đại, có khả thống cách chất cấu trúc vành, iđêan, nhóm Abel, khơng gian vectơ Tính linh hoạt phổ quát cấu trúc môđun mang lại ứng dụng to lớn Thông qua lý thuyết môđun, có dịp soi sáng, củng cố lý thuyết khơng gian vectơ nhiều lý thuyết tốn học khác Một lớp mơđun có cấu trúc gần giống với cấu trúc khơng gian vectơ lớp môđun tự Trước hết, ta nhớ lại R - môđun M gọi tự M có sở Các cách mơ tả mơđun tự thú vị có nhiều tính chất quan trọng Một tính chất quan trọng khái niệm hạng tồn hạng Ta biết hai sở R - môđun tự hữu hạn sinh M vành giao hốn có đơn vị có số phần tử số phần tử ta gọi hạng M Như vậy, vành giao hốn khái niệm hạng cho lớp môđun tự hữu hạn sinh tồn Nhưng vành không giao hốn khái niệm hạng cho lớp mơđun tự hữu hạn sinh có tồn khơng? Câu trả lời khơng? Vậy với điều kiện mơđun tự hữu hạn sinh vành không giao hốn có khái niệm hạng Đây lý tơi chọn đề tài “ Về tồn hạng Module tự hữu hạn sinh vành không gi ao hốn” để nghiên cứu tìm hiểu Chương - K IẾN THỨC CƠ SỞ Chương nêu số định nghĩa tính chất đại số khơng giao hốn Quy ước chương: khơng nói thêm mơđun M R - mơđun phải, R vành khơng giao hốn 1.1 Các định nghĩa, tính chất vành Đị nh nghĩ a 1.1.1 Cho tập hợp R khác rỗng, R ta trang bị hai phép toán thường ký hiệu “ +” (đọc phép cộng) “.” (đọc phép nhân) Ta nói R, +, vành điều kiện sau thỏa mãn: (1) R, + nhóm giao hốn (2 ) R, nửa nhóm (3) Phép nhân phân phối với phép cộng tức với phần tử tùy ý x, y, z∈ R ta có x ( y + z ) = xy + xz ( y + z ) x = yx + zx Nếu phép nhân giao hốn ta gọi R vành giao hốn, phép nhân có phần tử đơn vị ta gọi R vành có đơn vị Đị nh nghĩ a 1.1.2 Một phận A khác rỗng vành R với hai phép toán vành R cảm sinh A thành vành ta nói A vành vành R Đị nh nghĩ a 1.1.3 Cho R vành, vành A R gọi iđêan trái (iđêan phải) vành R thỏa mãn điều kiện: ra∈ A ( ar ∈ A) ; ∀a ∈ A, ∀r ∈ R Vành A R gọi iđêan vành R A vừa iđêan trái vừa iđêan phải vành R Đị nh nghĩ a 1.1.4 Một ánh xạ từ vành R đến vành R′ gọi đồng cấu (vành) f bảo tồn phép tốn Tức là, với x, y ∈ R ta có f ( x + y ) = f ( x) + f ( y ) ( ) ( ) ( ) f x.y = f x f y Một đồng cấu f từ vành R đến vành R gọi tự đồng cấu vành R Một đồng cấu đơn ánh đơn cấu, toàn ánh toàn cấu, song ánh đẳng cấu Một tự đồng cấu song ánh gọi tự đẳng cấu Nếu tồn đẳng cấu f từ ′ ≅ ′ ′ vành R đến vành R ta viết R R ta nói R R đẳng cấu Đị nh nghĩ a 1.1.5 Cho R vành có đơn vị Nếu phần tử khác R khả nghịch R gọi thể hay vành chia 1.2 Các định nghĩa, tính chất mơđun Đị nh nghĩ a 1.2.1 Cho R vành tùy ý M nhóm cộng aben M gọi R mơđun phải có ánh xạ f : M × R → M ( m, r ) f (m, r) = mr cho ∀m, m1 , m2 ∈ M ∀a, b ∈ R thì: (1) m (a + b ) =ma + mb (2 ) (m1 + m2) a = m1a + m2 a (3) (ma )b = m (ab ) Chú ý: Ta dùng kí hiệu M R để M R - mơđun phải, tương tự ta kí hiệu R M để M R - môđun trái, M vừa R - môđun phải vừa R - mơđun trái gọi song mơđun kí hiệu R MR Đị nh nghĩ a 1.2.2 Cho M R - môđun tập ∅ ≠ N ⊂ M N gọi môđun M (1) ∀ ∈ − ∈ x, y N : x y N , (2 ) ∀a ∈ R, ∀x ∈ N : xa ∈ N Tất nhiên môđun N R - môđun với phép toán cảm sinh M N R - môđun gọi môđun thương Đị nh nghĩ a 1.2.3 Cho M R - môđun, X ⊂ M , X ≠ ∅ Khi phần tử m∈ M có dạng n m = ∑ xi i=1 ( ∈ R, xi ∈ X) gọi tổ hợp tuyến tính X Tập tổ hợp tuyến tính X ký hiệu X Nếu X = M X gọi hệ sinh M hay M sinh X Khi X tập hữu hạn X gọi hệ sinh hữu hạn M M gọi môđun hữu hạn sinh Hệ sinh X M gọi hệ sinh cực tiểu X không chứa thực hệ sinh M Nếu M có hệ sinh bao gồm phần tử M gọi môđun xyclic môđun đơn sinh Môđun khơng có hệ sinh hữu hạn gọi môđun vô hạn sinh Đị nh nghĩ a 1.2.4 Cho M R - môđun, X ⊂ M Ta nói rằng: n 1) X hệ độc lập tuyến tính ∑ xi = ( ∈ R, xi ∈ X) = 0, ∀i ∈ I i=1 ) X hệ phụ thuộc tuyến tính X khơng phải hệ độc lập tuyến tính ) X sở M X vừa hệ sinh vừa hệ độc lập tuyến tính ) M R - mơđun tự (gọi tắt môđun tự do) M có sở Quy ước: Môđun (0) tự với tập∅ sở Đị nh lý 1.2.5 R - môđun M tự M đẳng cấu với tổng trực tiếp họ vành hệ tử R Kí hi ệu: R(I ) tổng trực tiếp ⊕ Ri ; RI tích trực tiếp ∏ Ri i∈I i∈I Ri R I tập số tùy ý Nếu I tập hữu hạn với n phần tử tổng trực tiếp tích trực tiếp trùng ( ) tức R I = R I , ta cịn kí hiệu hai tập trùng Rn Vậy R - môđun M tự M ≅ R (I ) Chứng mi nh Nếu có tập I đẳng cấu R - môđun f : R(I ) → M ta kiểm tra M môđun tự với sở { f (ei ) i∈ I} {ei i ∈ I} sở tắc R (I ) với ei có thành phần thứ i , thành phần cịn lại Khi M R – môđun tự Ngược lại, giả sử M có sở X = {xi i ∈ I } Khi X hệ độc lập tuyến tính M , phần tử x ∈ M biểu diễn dạng x = xi + xi + + xi với ∈ R, xi ∈ X , j =1, , n 1 2 n n j j Suy M = ⊕ Rxi (do môđun sinh X mơđun nhỏ i∈I chứa X M môđun tập tất tổ hợp tuyến tính phần tử X ) Bây ta nhận thấy với i ∈ I toàn cấu R - môđun ϕi : R → Rxi a axi đẳng cấu tính độc lập xi Vậy M = ⊕ Rxi ≅ R(I ) i∈I Đị nh nghĩ a 1.2.6 M R - môđun tự hữu hạn sinh M R - môđun tự với sở X n hữu hạn R - môđun tự hữu hạn sinh M đẳng cấu với R n = ⊕ Ri i=1 Đị nh nghĩ a 1.2.7 Cho M , N R - môđun, ánh xạ f : M → N Ta nói f đồng cấu R môđun hay R - đồng cấu : ( 2) ( ) ( ) ∀m, m1 , m2 ∈ M , ∀a ∈ R f m +m = f m + f m ( ) ( ) f am = a f m Tập hợp tất đồng cấu từ M đến N kí hiệu HomR ( M , N) Đồng cấu f gọi đơn cấu f đơn ánh, toàn cấu f toàn ánh đẳng cấu f song ánh Nếu M = N đồng cấu f tự đồng cấu Tập tự đồng cấu M ký hiệu End R ( M ) Tự đồng cấu gọi tự đẳng cấu song ánh Tập tự đẳng cấu M ký hiệu AutR ( M ) Đị nh lý 1.2.8 Cho M R - môđun tự với sở X N R - môđun Khi ánh xạ g : X → N mở rộng thành đồng cấu f : M → N Chứng mi nh Vì X sở M, X ⊂ M , X= {x } Với x ∈ M viết i ∈ i I dạng x = ∑ xi ∈ R hầu hết trừ số hữu hạn i ∈ I i∈I Từ ta suy quy tắc f : M → N ∑ xi ∑ a g ( x ) i∈I i∈I i i ... mơđun tự hữu hạn sinh có tồn khơng? Câu trả lời khơng? Vậy với điều kiện mơđun tự hữu hạn sinh vành khơng giao hốn có khái niệm hạng Đây lý tơi chọn đề tài “ Về tồn hạng Module tự hữu hạn sinh vành. .. hữu hạn sinh M vành giao hoán có đơn vị có số phần tử số phần tử ta gọi hạng M Như vậy, vành giao hốn khái niệm hạng cho lớp môđun tự hữu hạn sinh ln tồn Nhưng vành khơng giao hốn khái niệm hạng. .. X = M X gọi hệ sinh M hay M sinh X Khi X tập hữu hạn X gọi hệ sinh hữu hạn M M gọi môđun hữu hạn sinh Hệ sinh X M gọi hệ sinh cực tiểu X không chứa thực hệ sinh M Nếu M có hệ sinh bao gồm phần