(Luận văn) tính catenary trong các đại số hữu hạn sinh như môđun

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHẠM VĂN CHUYỀN lu an n va p ie gh tn to TÍNH CATENARY TRONG CÁC ĐẠI SỐ HỮU HẠN SINH NHƯ MÔĐUN d oa nl w ul nf va an lu oi lm LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh z m co l gm @ an Lu THÁI NGUYÊN - 2015 n va ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHẠM VĂN CHUYỀN lu an n va p ie gh tn to TÍNH CATENARY TRONG CÁC ĐẠI SỐ HỮU HẠN SINH NHƯ MÔĐUN d oa nl w Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 62.46.01.04 an lu oi lm ul nf va LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS NGUYỄN THỊ DUNG z m co l gm @ an Lu THÁI NGUYÊN - 2015 n va ac th si i Lời cam đoan Tôi xin cam đoan kết trình bày luận văn không bị trùng lặp với luận văn trước Nguồn tài liệu sử dụng cho việc hoàn thành luận văn nguồn tài liệu mở Các thông tin, tài liệu luận văn đà ghi râ nguån gèc Häc viªn lu an n va p ie gh tn to Phạm Văn Chuyền d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si ii Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới PGS TS Nguyễn Thị Dung, người đà tận tình hướng dẫn hoàn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn thầy, cô Viện Toán học Việt Nam, khoa Toán phận đào tạo Sau đại học - Trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên, đà tận tình giảng dạy, tạo điều kiện giúp đỡ trình học tập hoàn thành luận văn Xin cảm ơn người thân gia đình, bạn lớp Cao học Toán K21, đà động viên giúp đỡ suốt lu an trình học tập n va Bản luận văn tránh khỏi thiếu sót, mong nhận ie gh tn to bảo tận tình thầy cô bạn bè đồng nghiệp p Thái Nguyên, tháng năm 2015 Tác giả luận văn d oa nl w nf va an lu Phạm Văn Chuyền z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si iii Mục lục Mở đầu Chương Đại số hữu hạn sinh R-môđun lu an 1.1 Phụ thuộc nguyên vành va n 1.2 Đại số hữu hạn sinh nh­ mét 13 TÝnh catenary R-môđun hữu hạn sinh gh tn to Chương R-môđun 21 ie p 2.1 Tính catenary catenary phổ dông R-môđun hữu hạn sinh 29 KÕt luËn 36 d oa nl w 2.2 Tính catenary 21 lu Tài liệu tham khảo 37 nf va an z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Mở đầu Cho R vành giao hoán Noether p q iđêan nguyên tố R Một dÃy tăng chặt iđêan nguyên tố p = p0 p1 pn = q gọi xích iđêan nguyên tố bÃo hòa tồn iđêan nguyên tố p q với mäi i, kh«ng p0 cho pi ⊂ p0 ⊂ pi+1 Khi n gọi độ dài xích iđêan nguyên tố bÃo hòa Vành R gọi vành catenary với cặp iđêan nguyên tố p R tồn xích iđêan nguyên tè b·o hßa ⊂ q cđa p = p0 ⊂ p1 ⊂ ⊂ pn = q n»m p q lu an xích nguyên tố bÃo hoà p q có chung độ dài Vành R R-đại số hữu hạn sinh ®Ịu lµ catenary n va gäi lµ catenary phỉ dơng gh tn to Tính catenary vành nghiên cứu W Krull [Kr] năm 1937 Sau hàng loạt công trình nhà to¸n häc nh­ M Nagata ie p [N1], [N2], I S Cohen [C1], [C2], L J Ratliff [R1], [R2], cho thấy nl w tính chất đóng vai trò quan trọng việc nghiên cứu cấu trúc d oa vành môđun an lu Nhắc lại W Krull [Kr] (1937) đà chứng tỏ đại số hữu hạn nf va sinh tr­êng lµ catenary TiÕp theo, I S Cohen [C1] (1946) chứng minh vành địa phương đầy đủ catenary KÕt qu¶ tiÕp theo thc lm ul vỊ M Nagata [N1] (1956) nói miền nguyên địa phương tựa không minh lớp vành R/I cho dim R lµ vµnh catenary, lµ catenary víi mäi iđêan I z R z at nh oi trộn lẫn catenary Ngoài ra, lập luận đơn giản, ta chứng R catenary R, ảnh đồng cấu địa gm @ phương hóa vành catenary vành catenary Như hầu hết l vành biết đến thực tế ứng dụng Hình học co đại số catenary Vì vậy, câu hỏi đặt liệu tính catenary an Lu hữu hạn sinh liệu tính catenary R-môđun m có bảo toàn qua mở rộng vành? Ví dụ cho R liên hệ với n va ac th si nào? Năm 1999, S Goto K Nishida [GN] báo "CATENARITY IN MODULE-FINITE ALGEBRAS" đăng tạp chí Proceedings of the American Mathematical Society đà trả lời cho câu hỏi Kết báo định lý sau Định lý Giả sử R vành giao hoán, Noether, R-đại số hữu hạn sinh R-môđun (không thiết giao hoán) Khi catenary R catenary phổ dụng Theo Ratliff [R2, Định lý 3.6], R miền địa phương tính catenary lu phổ dụng tương đương với tính tựa không trộn lẫn, chiều ngược lại an va định lý R miền địa phương (Hệ 2.2.9) Vì vành n Cohen-Macaulay catenary phổ dụng nên từ định lý ta có R Cohen-Macaulay vành gh tn to hệ vành catenary (Hệ (R, m) vành địa phương, Noether R-môđun Cohen-Macaulay catenary (Hệ 2.2.8) p ie 2.2.7) Hơn nữa, trường hợp oa nl w Mục đích luận văn trình bày lại chứng minh chi tiết số kết R-môđun hữu hạn sinh, tÝnh chÊt catenary, catenary phỉ dơng cđa vµnh d R-môđun an lu kết S Goto K Nishida [GN] vỊ tÝnh catenary cđa nf va h÷u hạn sinh vành giao hoán Noether lm ul Nội dung luận văn bao gồm chương Chương dành để trình z at nh oi bày khái niệm, tính chất liên quan đến mở rộng nguyên vành, định lý không so sánh được, định lý nằm trên, định lý going-up, Các khái niệm, ví dụ số tính chất R-môđun hữu hạn sinh z trình bày chương Chương chứng minh số kết @ co l K Nishida [GN] gm tính catenary, catenary phổ dụng hai kết báo S Goto m Phần kết luận luận văn tổng kết kết đà đạt an Lu n va ac th si Chương Đại số hữu hạn sinh R -môđun lu an va Nội dung chương gồm hai phần, phần đưa khái niệm mở n rộng nguyên hệ thống lại số kết sở mở rộng nguyên như: tn to Định lý không so sánh (Incomparability), Định lý nằm (Lying- ie gh over), Định lý lên (Going-up) Phần hai đưa khái niệm, ví dụ hệ p thống lại số kết R, S vành giao hoán, M R-môđun nl w kí hiệu R-môđun hữu hạn sinh Trong chương oa R-đại số hữu hạn sinh R-môđun Các kết quả, thuật ngữ tham d khảo sách R Y Sharp [Sh], M F Atiyah and I G MacDonald lu nf va an [AM] báo S Goto vµ K Nishida [GN] lm ul 1.1 Phơ thuộc nguyên vành hoán S, phần tử cho sh R tồn h N + rh−1 sh−1 + + r0 = 0, hay nói cách khác s nghiệm ®a thøc monic vµnh R[X] f : R → R0 an Lu Một đồng cấu nguyên m R R nÕu mäi phÇn tư s ∈ S co gọi nguyên l S gọi nguyên gm Vành s S R lµ vµnh cđa vµnh giao @ vµ chØ ([Sh, Định nghĩa 13.16]) Cho z r0 , , rh−1 ∈ R z at nh oi Định nghĩa 1.1.1 vành giao hoán gọi nguyên n va ac th si R0 nguyên vành Nhắc lại R-môđun M Im(f ) gọi lµ faithful nÕu (0 :R M ) = Khi ta có kết sau: Mệnh đề 1.1.2 hoán (i) ([Sh, Mệnh đề 13.20]) Cho R vành cđa vµnh giao S vµ s ∈ S Những khẳng định sau tương đương: s nguyên R; (ii) Vành R[s] S hữu hạn sinh R-môđun; lu an (iii) Tồn vành T S chứa R[s] T hữu hạn sinh va n R-môđun; R[s]-môđun faithful M , mà coi M R-môđun gh tn to (iv) Tồn M hữu hạn sinh p ie phép thu hẹp vô hướng R-môđun Ta chứng minh Thật vậy, s sinh R[s] nguyên R {si : i N0 } nên tồn h N oa nl nh­ (i) ⇒ (ii) w Chøng minh d r0 , , rh−1 ∈ R tháa m·n an lu n ∈ N0 ta cã z at nh oi lm ul Do ®ã víi mäi nf va sh + rh−1 sh−1 + + r0 = sh+n = −rh−1 sh+n−1 − − r0 sn B»ng quy n¹p theo n ta dễ dàng chứng minh z @ R[s] ®Ịu cã thĨ biĨu diƠn qua co ®iỊu nµy cã nghĩa phần tử l gm sh+n ∈ R1 + Rs + + Rsh−1 m 1, s, , sh−1 , chøng tá R[s] lµ hữu hạn sinh R-môđun an Lu (ii) (iii) Ta chØ cÇn chän T = R[s] n va ac th si (iii) ⇒ (iv) LÊy M = T Khi T giả thiết theo (iii) Mặt khác, lấy phần tử a1R = suy a = V× thÕ, M = T (iv) (i) Cho M môđun sinh tồn R-môđun hữu hạn sinh theo a (0 :R[s] T ), lµ tõ aT = kÐo R[s]-faithful lµ mét R[s]-môđun faithful M hữu hạn sinh R- u1 , u2 , , un Khi sui M nên với i = 1, , n, aij ∈ R tháa m·n suj = n X (1) aij ui lu Đặt ma trận an n va A, A = (aij ), ta sÏ chøng minh s lµ nghiƯm đa thức đặc trưng tức s nghiệm cña f (t) = det(tIn − A) ThËt vËy, tõ ®¼ng thøc tn to (1) ta cã thĨ viÕt d­íi d¹ng w hay p ie gh (u1 , , un )sIn = (u1 , , un )A d oa nl (sIn − A)ad ma trận liên hợp ma trận (sIn A) Theo [Sh, an lu KÝ hiÖu (2) (u1 , , un )(sIn − A) = (0, , 0) nf va HƯ qu¶ 13.12], ta có tính chất Nhân hai vế (2) víi z at nh oi lm ul (sIn − A)(sIn − A)ad = det(sIn − A)In (sIn − A)ad áp dụng tính chất ta (u1 , , un )(sIn − A)(sIn − A)ad = (0, , 0)(sIn − A)ad z gm @ Suy m hay co l (u1 , , un ) det(sIn − A)In = (0, , 0) an Lu (u1 , , un )f (s)In = (f (s)u1 , , f (s)un )In = (0, , 0) n va ac th si 24 víi mäi 0≤i ht p + ThËt ht m/P = d XÐt vµnh R/p, ta tồn vô số m vậy, đặt co tố dim R = n giả sử R không catenary, tồn iđêan nguyên l Đặt gm @ ht p + dim R/p = dim R, ta sÏ chøng minh R catenary phản chứng an Lu P Spec R tháa m·n: p ⊂ Pλ , ht(Pλ /p) = ht(m/P ) = d Hơn n va ac th si 25 theo giả thiết, ht(m/P ) + ht Pλ = n, ®ã ht Pλ = n − d = ht P > ht p + Mặt khác theo [Ma1, Định lý 31.1] có hữu hạn iđêan ta có mâu thuẫn Vậy P Do R catenary Hơn nữa, vào năm 1977 kết đà McAdam R J Ratliff [McR] mở rộng cho tất vành địa phương đẳng chiều Nhắc lại vành R gọi đẳng chiều dim R/p = dim R víi mäi p ∈ Min Ass R lu an Định lý 2.1.6 va n [McR] Giả sử R vành địa phương Noether đẳng chiều Khi R catenary với iđêan nguyên tố p cña R ta cã tn to ht p + dim R/p = dim R p ie gh TiÕp theo tìm hiểu loại đặc biệt cđa líp vµnh catenary lµ oa nl w líp vµnh catenary phổ dụng định nghĩa sau R gọi catenary phổ dụng R-đại số Vành d Định nghĩa 2.1.7 lu Mệnh đề 2.1.8 nf va an hữu hạn sinh catenary (i) Vành R lµ catenary phỉ dơng nÕu vµ chØ nÕu mäi vµnh lm ul đa thức hữu hạn biến với hệ số R catenary z at nh oi (ii) Vành R lµ catenary phỉ dơng nÕu vµ chØ nÕu R/p lµ catenary phỉ dơng víi mäi p ∈ Spec R ảnh đồng cấu địa phương hóa vành catenary phổ dụng z @ (iii) R-đại số hữu hạn sinh, tức tồn S = R[a1 , , an ] víi an Lu f : R[X1 , , Xn ] → R[a1 , , an ] Khi ®ã tồn toàn cấu m vành cho mét co a1 , , an ∈ S S l Chứng minh (i) Giả sử gm vành catenary phổ dông f (Xi ) = , i = n, v× thÕ n va ac th si 26 S đẳng cấu với vành thương vành đa thức R[X1 , , Xn ] th­¬ng cđa vành catenary catenary nên ta suy vành R Vì vành catenary phổ dụng vành đa thức hữu hạn biến với hệ số R catenary (ii) (iii) dễ dàng suy tõ (i) vµ tÝnh chÊt cđa vµnh catenary Sau số đặc trưng vành catenary phổ dụng Trước hết, nhắc lại khái niệm vành tựa không trộn lẫn vành không trộn lẫn theo tht ng÷ cđa M Nagata [N2] lu an (R, m) gọi tựa không trộn lẫn b đẳng chiều, tức dim R/ b b b vành đầy đủ theo m-adic R p = dim R b víi mäi b p ∈ Min Ass R Định nghĩa 2.1.9 i) Vành địa phương n va gh tn to ii) Vành R gọi không trộn lÉn nÕu b b b dim R/ p = dim R víi mäi p ie b b p ∈ Ass R d Rp tựa không trộn lẫn với p Spec(R); I iđêan R R/I đẳng chiều R/I tùa R lµ catenary phỉ dơng z at nh oi (iii) lm ul kh«ng trén lÉn; nf va (ii) NÕu an lu (i) oa lẫn Khi [Ma1, Định lí 31.6] Giả sử vành (R, m) tựa không trộn nl w MƯnh ®Ị 2.1.10 Chøng minh (i) Cho z b cho P R = p đặt S = (R) b P V× P ∈ Spec R cp , S vành thương S phẳng Rp nên Sb phẳng R S đẳng chiều theo [Ma1, Định lý 15.5] Mặt gm @ vành quy địa phương m-adic đẳng chiều ([Ma1, Hệ tr.251]), b đẳng chiều kéo theo R cp đẳng chiều Vậy Rp tựa không S m co vành đầy đủ theo l khác ta đà biết vành thương vành quy địa phương ®¼ng chiỊu an Lu trén lÉn n va ac th si 27 (ii) Cho I iđêan R R/I đẳng chiều Xét ánh xạ chiếu tắc từ R/I [ R/I đồng cấu địa phương Vì [ R/I phẳng R/I nên [ R/I đẳng chiều R/I đẳng chiều theo ([Ma1, Định lý 31.5]) Mặt khác R/I đẳng chiều dim R/I = dim [ R/I p iđêan tối thiểu R/I b p iđêan tối thiểu [ R/I dim(R/I)/p = dim [ R/I/b p, [ R/I đẳng chiều hay R/I tựa không trộn lẫn Vậy R/I đẳng chiều (iii) Giả sử vành R/I tựa không trộn lẫn R tựa không trộn lẫn Theo [Ma1, Định lí 31.6, (iii)], miền nguyên địa phương cốt yếu kiểu hữu hạn R tựa không lu an trộn lẫn, catenary Vì miền nguyên hữu hạn sinh n va R catenary, hay R lµ catenary phỉ dơng ie gh tn to KÕt sau cho điều kiện để vành catenary phổ dụng p Mệnh đề 2.1.11 R catenary phổ dụng; nl w (i) [Ma1, Định lí 31.7] Các điều kiện sau tương đương: R[x] catenary; d oa (ii) Vành đa thức biến R/p tựa không trộn lẫn với p Spec(R) nf va an Chøng minh lu (iii) (i) ⇒ (ii) hiển nhiên theo định nghĩa vành catenry phổ lm ul dơng (iii) ⇒ (i) Gi¶ sư R/p z at nh oi (ii) ⇒ (iii) Theo Bỉ ®Ị Bổ đề [Ma1, trang 252-254] tựa không trộn lẫn với p iđêan ta R tựa không trộn lẫn p Spec R, chọn z áp dụng Mệnh đề 2.1.10 ta có dim R R vành catenary phổ dụng co l NÕu gm HƯ qu¶ 2.1.12 @ R catenary phổ dụng m Chứng minh Theo Mệnh đề 2.1.4 ta có vành có chiều nhỏ an Lu catenary, nên dim R dim R[x] 2, R[x] lµ catenary n va ac th si 28 vµ theo Mệnh đề 2.1.11 thì R catenary phổ dụng Vì vậy, dim R R catenary phổ dụng Cho (R, m) vành Noether địa phương giao hoán, R-môđun M hạn sinh gọi môđun Cohen-Macaulay hữu M = depth M = dim M Nếu R R-môđun Cohen-Macaulay R gọi vành CohenMacaulay địa phương Ta có kết sau Bổ đề 2.1.13 lu (i) Cho R vành Cohen-Macaulay, Rp vành Cohen-Macaulay an R[X1 , , Xn ] cịng lµ vµnh Cohen-Macaulay n va (ii) tn to MƯnh ®Ị 2.1.14 Cho ht I = depth(I, R) ht I + dim R/I = dim R p (i) R Khi ie gh iđêan thực (R, m) vành Cohen-Macaulay địa phương, I R vµnh catenary phỉ dơng oa nl w (ii) d Chøng minh (i) Ta có Vì vành Cohen-Macaulay, ®ã R lµ vµnh Cohen- dim Rp = depth Rp nf va an Rp lu Macaulay nªn ht I = inf{dim Rp |p ∈ V (I)} hay lm ul ht I = inf {depth Rp |p ∈ V (I)} = depth(I, R) = dim R − dim R/I ht I + dim R/I = dim R z at nh oi hay (ii) Ta đà biết vành đa thức vµnh Cohen-Macaulay lµ vµnh Cohen- R lµ catenary ThËt vËy lÊy p, q ∈ Spec R gm @ cho z Macaulay, ta cần p q Khi Rq vành Cohen-Macaulay theo môc (i) ta cã l m co ht q = dim Rq = ht pRq + dim(Rq /pRq ) = ht p + ht q/p R lµ catenary an Lu Do ®ã n va ac th si 29 MƯnh đề 2.1.15 [R2, Định lí 3.6] Giả sử R miền địa phương Khi hai khẳng định sau tương đương: (i) R catenary phổ dụng; (ii) R tựa không trộn lẫn Trong trường hợp này, vành R/p tựa không trộn lẫn ta có đẳng thức dim R/p + dim Rp = dim R víi mäi p ∈ Spec(R) Chøng minh ViƯc chøng minh mệnh đề kết Mệnh đề 2.1.10 lu Mệnh đề 2.1.11 an va n 2.2 Tính catenary R-môđun hữu hạn sinh gh tn to Mục dành để trình bày lại kết S Goto K Nishida [GN] đưa p ie năm 1999 nói R vành Noether giao hoán catenary phổ dụng R-môđun, không thiết giao hoán, w đại số hữu hạn sinh R miền Noether địa phương oa nl catenary chiều ngược lại d Trong khuôn khổ luận văn ta giả thiết R-đại số giao hoán, có an lu đơn vị Trước hết ta hệ thống lại số kết môđun tắc giá M M R-môđun, kÝ hiƯu ER (M ) lµ vµ Him (M ) môđun đối đồng điều địa phương cấp i với Một R- với môđun tắc K, lm ul bao nội xạ nf va Cho (R, m) vành địa phương, m M Khi môđun tắc định nghĩa sau môđun K z at nh oi Định nghĩa 2.2.1 Cho (R, m) vành địa phương có chiều gọi môđun tắc d R z @ (R, m) vành địa phương có chiều d co Cho l gm b∼ K ⊗R R = Hom(Hdm (R), ER (R/m)) m sau số kết môđun tắc trích [A, Mệnh đề an Lu 1.5, 1.6, Định lý 4.2, Hệ 4.3] n va ac th si 30 Bỉ ®Ị 2.2.2 [A] (i) K sai khác đẳng cấu R-môđun hữu hạn sinh có chiều d (ii) Nếu R ảnh đồng cấu vành địa phương Gorenstein S ta có K = ExtrS (R, S), ®ã r = dim S − dim R số nguyên nhỏ thỏa ExtrS (R, S) 6= V× thÕ, víi mäi p ∈ SuppR K ta có Kp môđun mÃn tắc (iii) Cho Rp R vành địa phương T R-môđun S R-đại số hoàn toàn phẳng, có môđun tắc Khi đó, lu tắc T R S môđun S T môđun tắc R an R ảnh đồng cấu vành địa phương Gorenstein S Đặt n va (iv) Giả sử tn to KR = ExtnS (R, S); (n = dim S − dim R) K(Rp ) ∼ = (KR )p víi mäi p ∈ SuppR KR ie gh Khi ®ã dim R ≥ vµ cho a1 , a2 lµ mét hƯ tham sè cđa R Khi ®ã d·y a1 , a2 KR -chính quy p (v) Giả sử oa nl w Bổ đề 2.2.3 [GN] Giả sử (R, m) vành địa phương R ảnh d P Spec() đặt p = P ∩ R, Γ = Λ/P Khi ®ã nÕu dim 2, nf va Cho R-môđun hữu hạn sinh an lu đồng cấu vành địa phương Gorenstein, lm ul tồn dÃy khớp ngắn z at nh oi X Y -môđun hữu hạn sinh phần tử t m\p thỏa mÃn điều kiện sau z depthR (X) 2; môđun tắc an Lu X = HomR/p R/p Ta đặt
HomR/p (, K) , K m K = KR/p co Chøng minh Cho l t lµ X -chÝnh quy vµ tY = (0) gm (ii) @ (i) n va ac th si 31 vµ kÝ hiệu :X đồng cấu tắc hạn sinh, theo MƯnh ®Ị 1.1.9 cã 2.2.2, (v) ta cã dim R/p = dim hữu theo Bổ đề depthR X Vì theo Bổ ®Ị 2.2.2, (iv) ta cã thĨ xem ®ång cÊu R/p-m«®un -môđun Khi X Rp R Kp = K(Rp /pRp ) = Rp /pRp đẳng cấu Do xoắn tự Khi đặt Y = Coker nên ta có đơn cấu ta có dÃy khớp ngắn α −→ Γ −→ X −→ Y −→ lu Mặt khác ta có an t R/p-chính quy kéo theo phần tử t X -chính quy n va ®Ị 2.2.2, (v) ta cã Yp = (0), tån t¹i t ∈ m\p cho tY = (0) theo Bổ tn to Nhắc lại vành R (không thiết phải giao hoán) gọi vành ie gh nguyên tố iđêan iđêan nguyên tố Trong khuôn khổ luận văn p giả thiết vành giao hoán, có đơn vị nên vành vành nguyên tố nl w miền nguyên Mệnh đề sau kết mấu chốt để d oa chứng minh định lý [GN] vành nguyên tố Khi đó, chứa iđêan cực nf va Q ht Q = dim = lm ul đại an giả sử [GN] Cho (R, m) vành địa phương catenary phỉ dơng lu MƯnh ®Ị 2.2.4 1.1.9 ta cã R miền nguyên địa phương R Đầu tiên ảnh đồng cấu vành địa phương Gorenstein Giả Khi ®ã theo Bỉ ®Ị 2.2.3 ta cã mét phÐp nhúng X gm -môđun hữu hạn sinh phần tư 6= t ∈ m tháa m·n nh÷ng (2) t lµ X -chÝnh quy víi tX ⊆ Λ an Lu depthR X m (1) co điều kiện l dim R = dim @ dim đơn cấu Theo Mệnh ®Ị z ta xÐt tr­êng hỵp sư r»ng f :R→Λ z at nh oi Chøng minh Ta cã thĨ gi¶ sử n va ac th si 32 Ta đặt cã IX Z = X/tX ∆ = EndΛ Z Cho I = ((0) :Λ Z) Tõ ®iỊu kiƯn (2) tX theo giả thiết có Q ∈ Max Λ nªn I ⊆ I X ⊆ tΛ ⊆ Q tΛ ⊆ I ⊆ Q 1.2.6 vµ t∈ / P ∩R Q/I ∈ Min Λ/I 1.2.7 ta có Vì t -chính với quy nên P Min t không ước Mà theo giả thiết Q/I Min /I ∩ Max Λ/I 0, theo Bỉ ®Ị htΛ Q = nên Vì áp dụng Bổ đề depthR /I = Mặt khác từ đồng cấu tắc λ:Λ→ End∆ Z c¶m sinh phÐp nhóng Λ/I → EndΛ Z nªn depthR Z = depthR X −1 > depthR /I > 0, mâu thuẫn lu an Bây chứng minh trường hợp tổng quát Cho b R va n vành đầy đủ theo t« p« p ie gh tn to m-adic cđa R Vì Q iđêan cực đại nên b=R b R Q iđêan cực đại b=R b ⊗R Λ Theo HƯ qu¶ 1.2.10 ta cã Q b = htΛ Q = Do ®ã víi Pb ∈ Min Λ b th× ht b b Q/ b Pb = Vì R b ảnh htb Q Λ/P b Pb = ®ång cÊu cđa mét vành Gorenstein, địa phương nên dim / Đặt d oa nl w b ta chứng minh khẳng định sau: (1) Pb ∩ Λ = vµ (2) p = Pb ∩ R b ThËt vËy, ta cã Pb iđêan nguyên tố Q iđêan p Min R b = Q Do đó, Pb 6= (0) xích nguyên tố cực đại nên Q lu p ∩ R = (0) KÝ hiƯu Q(R) lµ tr­êng thương R Khi đó, bp b b ∼ bp ⊗Q(R) (Q(R) ⊗R Λ) nªn ta cã b p R bp -mô đun tự R =R R b p ∈ Max Λ b p ∩ Min Λ b p (theo MƯnh ®Ị 1.1.5 1.1.9) Do theo Bổ với P z at nh oi đề 1.2.7 có lm ul đơn cấu nên nf va an b Pb mâu Q P ∩ Λ ⊃ (0) mµ htΛ Q = suy Q = Pb ∩ Λ Tõ ®ã Q b b b thuÉn víi htΛ/ b Pb Q/P = Do P = (0) Mặt khác f : R → Λ lµ z bp = Theo khẳng định (2) theo Mệnh đề 2.1.15, ta cã dim R b p = dim Λ/P b dim R = dim R/ = mµ dim Λ = dim R nên dim = R vành địa phương catenary phổ l vành nguyên tố Khi ta có đẳng thức m co dụng [GN] Giả sử gm @ Định lý 2.2.5 an Lu dim Λ = dim Λ/Q + htΛ Q n va ac th si 33 víi mäi Q ∈ Spec Λ Chøng minh Cã thĨ gi¶ sư Q Max Đặt f : R đơn cấu Trước hết xét trường hợp h = ht Q khẳng định đến h Theo Mệnh đề 2.2.4 ta giả sử Cho (0) = P0 ⊂ P1 ⊂ P2 ⊂ Ph = Q xích bÃo hoà iđêan nguyên tố theo Mệnh đề 2.2.4 đại cđa vµ Λp h ≥ vµ dim Λ/Ph−1 = Đặt Mặt khác htp (Ph1 p ) = htΛ Ph−1 = h − p = Ph−1 R Khi Ph1 p iđêan cực (theo Mệnh đề 1.1.10 ) lu nên theo giả thiết quy nạp, vµnh Λp cã chiỊu Krull b»ng h − Tõ Mệnh đề 1.1.9 Mệnh đề 2.1.15 ta có dim Λ = dim R = dim R/p + dim Rp = an va dim Λ/Ph−1 + dim Λp = + (h − 1) = h n B©y giê cho tn to nên Q Spec đặt dim Λq = htΛq QΛq = htΛ Q q = Q R Vì Qq Max q Do dim Rq = ht Q Mặt khác p ie gh dim /Q = dim R/q theo Mệnh đề 2.1.15 ta cã dim Λ = dim Λ/Q + htΛ Q d oa nªn nl w dim Λ = dim R = dim R/q + dim Rq R-đại số hữu hạn sinh môđun vành R nf va an lu Sau kết báo cho ta mối liên hệ tính catenary R vành giao hoán, Noether, R-đại số hữu hạn sinh R-môđun (không thiết giao hoán) Khi z at nh oi [GN, Định lý 1.1] Giả sử lm ul Định lý 2.2.6 catenary R catenary phổ dụng P Q cặp iđêan nguyên tố z Chứng minh Cho q = Q R, cách địa q ta giả sử thêm R địa phương Q Max Λ (0) = P0 ⊂ P1 ⊂ ⊂ Pn = Q Λ Ta sÏ chØ xích bÃo hoà iđêan n = dim an Lu nguyên tố Đặt m Cho P = (0) co phương hoá ta giả sử l /P Q có độ dài Bằng cách chuyển gm qua xét vành P Ta chứng minh @ xích nguyên tố bÃo hoà quy nạp theo n Theo n va ac th si 34 giả thiết R với n = Khi từ catenary phổ dụng nên theo Mệnh đề 2.2.4 ta có khẳng định Ta giả sử dim /P1 = n n2 khẳng định đến ht P1 = 1, áp dụng Định lý 2.2.5 ta có n = dim Λ/P1 + = dim Λ/P1 + htΛ P1 = dim với n Vậy khẳng định n, hay catenary Hệ 2.2.7 Giả sử hữu hạn sinh R vành Cohen-Macaulay, R-đại số R-mô đun Khi catenary Chứng minh Đây hệ trực tiếp định lý vành Cohen- lu an Macaulay catenary phổ dụng va n Hệ 2.2.8 (R, m) vành địa phương Noether, R-môđun Cohen-Macaulay Khi catenary ta có công thức gh tn to [GN] Giả sử p ie dim Λ = dim Λ/Q + htΛ Q P ⊆ Q cđa Λ vµ mäi xÝch b·o hoµ iđêan nguyên tố P = P0 oa nl iđêan Q Spec() đẳng thức n = ht Q ht P với cặp w với mäi d P1 ⊂ ⊂ Pn = Q P Q an lu Chứng minh Ta cã thĨ gi¶ sư nf va f : R → đơn cấu Đặt d = dim R Ta b b R b-môđun Vì R-mô đun Cohencó đồng cấu nhúng R b R b-mô đun Cohen-Macaulay với dim b b = d Do Macaulay nên lm ul R z at nh oi b ⊆ Ass b Λ b vµ dim R/ b b b [Ma2, trang 107], AssRb R p = d víi mäi b p ∈ AssRb R R b b hay R/ p vành địa phương tựa không trộn lẫn, R/p tựa không trộn R/p catenary phổ dụng, kéo theo z lÉn Khi ®ã theo MƯnh ®Ị 2.1.15 ta cã q = Q ∩ R Ta sÏ chØ dim Λ/Q = d Theo S MƯnh ®Ị 1.2.6, q bao gåm ước Do q pAssR p Q Min đặt co l LÊy gm @ R lµ catenary phỉ dơng Theo Định lý 2.2.6 ta có catenary m [Ma2, trang 50] Theo Định lý tránh nguyên tố, tồn iđêan nguyên an Lu tố p AssR Λ cho q ⊆ p V× dim R/p = d vµ Λ lµ Cohen-Macaulay, n va ac th si 35 dimR = d nên q = p p ∈ Min R Do ®ã dim R/q = d mà /Q R/q môđun theo Mệnh đề 1.1.9 ta cã dim Λ/Q = d víi mäi Q ∈ Min Λ Nhê tÝnh catenary phỉ dơng cđa R, áp dụng Định lý 2.2.6 Định lý 2.2.5 ta dễ dàng thấy cặp iđêan nguyên tố với nằm thức P ∈ Min Λ P vµ vµ Q ∈ Max , xích bÃo hoà iđêan nguyên tố có ®é dµi vµ b»ng Q dim Λ = dim Λ/Q + htΛ Q n = htΛ Q − htΛ P d = dim Λ ®óng víi mäi ®óng víi mäi cặp P Q Do ta có công Q ∈ Spec Λ Ta cịng cã P ⊆ Q vµ xích bÃo hoà iđêan nguyên tố lu an P = P0 ⊂ P1 ⊂ ⊂ Pn = Q va n P Q Do bổ đề chứng minh to gh tn Kết sau hệ trực tiếp Định lý 2.2.6 Định lý 2.2.5 Mệnh p ie đề 2.1.15 Hệ 2.2.9 Cho R miền nguyên địa phương giao hoán, Noether w R catenary phổ dụng an lu R tựa không trộn lẫn R-đại số nguyên tố, hữu hạn sinh mô đun catenary với lm ul (iii) Mäi nf va (ii) d (i) oa nl Khi điều kiện sau tương đương: Q Spec ta có đẳng thức z at nh oi dim Λ = dim Λ/Q + htΛ Q z m co l gm @ an Lu n va ac th si 36 Kết luận Tóm lại, luận văn trình bày kết sau Nhắc lại khái niệm, đồng thời chứng minh chi tiết tính chất liên quan đến mở rộng nguyên vành, định lý không so sánh được, định lý nằm trên, định lý going-up, Trình bày khái niệm, ví dụ số tính chất R-môđun hữu hạn sinh lu Nhắc lại khái niệm chứng minh số kết tính an catenary, catenary phổ dụng vành va n Trình bày lại chứng minh chi tiết số kết tn to báo "CATENARITY IN MODULE-FINITE ALGEBRAS" đăng tạp chí gh Proceedings of the American Mathematical Societycđa S Goto vµ K Nishida p ie [GN] tính catenary R-môđun hữu hạn sinh vành giao ho¸n Noether d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si 37 Tài liệu tham khảo Tiếng Anh [A] Y Aoyama (1983), Some basic results on canonical modules, J Math lu Kyoto Univ 23 , no 1, 85-94 MR 692731 (84i:13015) an va [AM] M F Atiyah and I G MacDonald (1969), Introduction to commutative n algebra, Addison-Wesley Publishing Co., Reading, Mass.-London-Don to gh tn Mills, Ont., 1969 MR 0242802 (39 - 4129) p ie [BH] W Bruns and J Herzog (1993), Cohen-Macaulay rings, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol 39 , Cambridge University Press, oa nl w Cambridge, 1993 MR 1251956 (95h:13020) d [C1] I S Cohen (1946), On the structure and ideal theory of complete local 59 , 54-106 MR 0016094 (7,509h) nf va an lu rings,Trans Amer Math Soc [C2] I S Cohen (1954), Length of prime ideal chains, Amer J Math 76 , lm ul 654-668 MR 0062116 (15,929f) z at nh oi [GN] S Goto and K Nishida (1999), Catenarity in module-finite algebras Proceedings of the american mathematical society.127, no 12, pp 34953502 z gm @ [HK] J Herzog and E Kunz (1971), Der Kanonische Modul eines Cohen- Macaulay-Rings, Lec­ture Notes in Math., 238, Springer-Verlag, Berlin, m co l Heidelberg, New York, Tokyo, 1971 MR 54:304 40:7234 an Lu [K] I Kaplansky (1970), Commutative rings, Allyn and Bacon, Boston MR n va ac th si 38 [Kr] W Krull (1937), Zum Dimensionsbegriff der Idealtheorie, Math Z., 42 , pp 745-766 [Ma1] H Matsumura (1986), Commutative ring theory, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol 8, Cambridge University Press, Cambridge Translated from the Japanese by M Reid MR 879273 (88h:13001)f [Ma2] H Matsumura (1980), Commutative Algebra (second edition), Mathematics Lecture Note Series, vol 56 , Benjamin/Cummings Publishing Co., Inc., Reading, Mass MR 575344 (82i:13003) lu [McR] S McAdam and L J Ratliff (1977), Semi-local taut rings, Indiana an Univ Math J.26, 73-79 va n [MR] J C McConnell and J C Robson (1987), Noncommutative Noetherian Ltd., Chichester, 1987 With the cooperation of L W Small; A WileyInterscience Publication MR 934572 (89j:16023) p ie gh tn to rings, Pure and Applied Mathematics (New York), John Wiley and Sons, w [N1] M Nagata (1956), On the chain problem of prime ideals, Nagoya Math oa nl J 56 (1956), 51-64 MR 18:8e d [N2] M Nagata (1962), Local rings, Interscience Tracts in Pure and Applied lu an Mathematics, No 13 , MR 0155856 (27 - 5790) nf va [R1] L J Ratliff (1965), On quasi-unmixed semi-local rings and the altitude lm ul formula, Amer J Math 87 , 278-284 MR 31:3448 z at nh oi [R2] L J Ratliff (1969), On quasi-unmixed local domains, the altitude formula, and the chain condition for prime ideals (I), Amer J Math 91 , 508-528 MR 40:136 z @ l 93, pp 1070-1108 gm [R3] L J Ratliff (1971) , Characterizations of catenary rings, Amer J Math m co [Sh] R Y Sharp (1990), Step in Commutative algebra, London Mathematical an Lu Society Student Texts, Cambridge University Press, Cambridge n va ac th si