(Luận văn) môđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất và tính catenary của giá không trộn lẫn của môđun hữu hạn sinh

BË GIO DƯC V€ €O T„O TR×ÍNG „I HÅC QUY NHÌN PHAN THÀ É QUY–N lu an n va p ie gh tn to MặUN ẩI ầNG IU A PHìèNG C‡P CAO NH‡T V€ TNH CATENARY CÕA GI KHỈNG TRËN LˆN CÕA MỈUN HÚU H„N SINH d oa nl w an lu nf va LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va B¼nh ành - N«m 2019 ac th si BË GIO DƯC V€ €O T„O TR×ÍNG „I HÅC QUY NHÌN PHAN THÀ É QUY–N lu an n va p ie gh tn to MặUN ẩI ầNG IU A PHìèNG CP CAO NHT V TNH CATENARY CÕA GI KHỈNG TRËN LˆN CÕA MỈUN HÚU HN SINH d oa nl w Chuyản ngnh: Ôi số v lẵ thuyát số M số: 8460104 nf va an lu z at nh oi lm ul Ngữới hữợng dăn: TS NGUYN THI HA z m co l gm @ an Lu n va ac th si Möc löc lu an 1 KI˜N THÙC CHU‰N BÀ n va MÐ †U ¦y õ àa ph÷ìng hâa Sỹ phƠn tẵch nguyản sỡ Chi·u Krull Mæun Artin Biu diạn thự cĐp Chi·u Noether Mæun ối ỗng iÃu a phữỡng Tẵnh catenary cừa vnh ỗng cĐu phng p ie gh tn to 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 d oa nl w nf va an lu 11 14 15 17 19 21 22 z at nh oi lm ul MặUN ẩI ầNG IU A PHìèNG CP CAO NHT 25 z 2.1 Tẵnh chĐt: Ann(0 :A p) = p, p ∈ V (AnnR(A)) 26 2.2 Tẵnh chĐt (*) ối vợi mổun ối ỗng iÃu a phữỡng cĐp cao nhĐt 30 2.3 T½nh catenary cõa giĂ khổng trởn lăn 36 45 m co l 46 an Lu DANH MÖC T€I LI›U THAM KHƒO gm @ K˜T LUŠN n va ac th si 49 QUY˜T ÀNH GIAO — T€I LUŠN V‹N lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si MÐ †U lu an n va p ie gh tn to V o nhúng nôm 1960, A Grothendieck  giợi thiằu lỵ thuyát ối ỗng iÃu a phữỡng Ngy nay, lỵ thuyát ny  tr thnh cổng cử khổng th thiáu nhiÃu lắnh vỹc khĂc cừa ToĂn hồc nhữ Ôi số giao hoĂn, Hẳnh hồc Ôi số, Ôi số tờ hủp Mët nhúng k¸t qu£ quan trång v· mỉun èi ỗng iÃu a phữỡng l tẵnh triằt tiảu v tẵnh Artin Cho (R, m) l  mët v nh giao ho¡n Noether a phữỡng v M l R-mổun hỳu hÔn sinh thẳ Hmd (M ) 6= v khổng hỳu hÔn sinh, â d = dimM v  Hmi (M ) l  mỉun Artin vỵi måi i ≥ Theo I G Macdonald [12], têp cĂc iảan nguyản tố gưn kát cừa R-mỉun Artin A, k½ hi»u l  AttR(A) câ vai trá nhữ têp cĂc iảan nguyản tố liản kát ối vợi mổun hỳu hÔn sinh NhiÃu nh ToĂn hồc quan tƠm nghiản cựu têp cĂc iảan nguyản tố gưn kát cừa mổun ối ỗng iÃu a phữỡng cĐp bĐt kẳ vợi giĂ cỹc Ôi Hmi (M ) v mổun ối ỗng iÃu a phữỡng cĐp cao nhĐt HId(M ) vợi giĂ l  mët i¶an I cõa R, º tø â l m rã c§u tróc mỉun M v  v nh cì sð R Trữợc hát, nôm 2007 Nguyạn Tỹ Cữớng, Lả Thanh Nhn v Nguyạn Th Dung [7]  à xuĐt nghiản cựu tẵnh chĐt: d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Vỵi méi R-mỉun Artin A, AnnR (0 :A p) = p vợi mồi iảan nguyản tố p chựa AnnR(A) Vợi mửc ẵch  tẳm hiu sƠu hỡn và Ôi số giao hoĂn, chúng tổi  chồn à ti:"Mổun ối ỗng iÃu a phữỡng cĐp cao nhĐt v tẵnh catenary cừa giĂ khổng trởn lăn cừa mổun hỳu hÔn sinh" Ngoi phƯn M Ưu, Kát luên v Ti liằu tham khÊo thẳ luên vôn gỗm cõ hai chữỡng lu Chữỡng 1: Kián thực chuân b an n va p ie gh tn to Chữỡng ny trẳnh by vưn tưt nhỳng kián thực cỡ bÊn và Ưy ừ; a phữỡng hõa; sỹ phƠn tẵch nguyản sỡ; chiÃu Krull; mổun Artin; biu diạn thự cĐp; chiÃu Noether; mổun ối ỗng iÃu a phữỡng; tẵnh catenary cừa vnh v ỗng cĐu phng oa nl w Chữỡng 2: Mổun ối ỗng iÃu a phữỡng cĐp cao nhĐt d Ơy l nởi dung chẵnh cừa luên vôn Chúng tổi s tián hnh nghiản cựu và tẵnh chĐt: Ann(0 :A p) = p vợi mồi p V (AnnR(A)); tẵnh chĐt (*) ối vợi mổun ối ỗng iÃu a phữỡng cĐp cao nhĐt v tẵnh catenary cừa giĂ khổng trởn lăn TĐt cÊ cĂc kát quÊ luên vôn ny ữủc trẵch dăn chừ y¸u tø t i li»u [7] Nhi»m vư cõa chóng tỉi l lm ró lÔi cĂc chựng minh õ v hằ thống lÔi theo mởt bố cửc hủp lỵ Luên vôn ny ữủc hon thnh dữợi sỹ hữợng dăn cừa TS Nguyạn ThĂi Hỏa ThƯy  dnh nhiÃu thới gian v tƠm huyát viằc nh hữợng, gõp ỵ, ởng viản v  gióp ï tỉi st qu¡ tr¼nh thüc hi»n luên vôn ny Tổi xin by tọ sỹ kẵnh trồng v lỏng biát ỡn sƠu sưc án ThƯy nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si lu an n va p ie gh tn to Tỉi xin ch¥n th nh c£m ìn Ban gi¡m hiằu Trữớng Ôi Hồc Quy Nhỡn cĂc thƯy, cổ giĂo v ngoi Khoa ToĂn v Thống kả  tên tẳnh giÊng dÔy v giúp ù tổi quĂ trẳnh hồc têp Cuối tổi xin chƠn thnh cÊm ỡn cĂc hồc viản lợp cao hồc ToĂn khõa 20, bÔn b v nhỳng ngữới thƠn gia ẳnh  ởng viản, giúp ù, tÔo iÃu kiằn thuên lủi cho tổi quĂ trẳnh hồc têp v hon thnh luên vôn Mc dũ bÊn thƠn  hát sực cố g­ng v  nê lüc l m vi»c r§t nhi·u º ho n thnh luên vôn ny iÃu kiằn, thới gian, trẳnh ở kián thực v kinh nghiằm nghiản cựu cỏn hÔn chá nản luên vôn s khổng trĂnh khọi nhỳng thiáu sõt Vẳ vêy, tổi rĐt mong ữủc sỹ gõp ỵ cừa thƯy, cổ giĂo v bÔn ồc  luên vôn ữủc hon chnh hỡn Tổi xin chƠn thnh cÊm ìn Ng y 29 th¡ng n«m 2019 d oa nl w Sinh vi¶n thüc hi»n · t i lu nf va an Phan Thà é Quy¶n z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Ch÷ìng KI˜N THÙC CHU‰N BÀ lu an n va p ie gh tn to Trong chữỡng ny, chúng tổi nhưc lÔi mởt số kián thực  biát và Ưy ừ; a phữỡng hõa; sỹ phƠn tẵch nguyản sỡ; chiÃu Krull; mổun Artin; biu diạn thự cĐp; chiÃu Noether; mổun ối ỗng iÃu a phữỡng; tẵnh catenary cừa vnh v ỗng cĐu phng nhơm thuên tiằn cho viằc theo dói kát quÊ chữỡng sau nl w d oa 1.1 Ưy ừ an lu nf va Nởi dung cừa tiát ny ữủc tr¼nh b y theo t i li»u [14] Cho R l  mët v nh giao ho¡n câ ìn z at nh oi lm ul ành ngh¾a 1.1.1 Mët v nh låc l  mët v nh R cịng vỵi mët hå (Rn )n>0 c¡c nhâm cõa R thäa m¢n c¡c i·u ki»n: (i) R0 = R; (ii) Rn+1 ⊂ Rn vỵi måi n > 0; (iii) Rn Rm ⊂ Rn+m vỵi måi n, m > R z m co l gm @ an Lu n va ac th si V½ dư 1.1.2 (i) Gi£ sû R l  mët v nh L§y R0 = R v  Rn = vỵi måi n > Khi â (Rn)n>0 l  mët låc cõa R v  gồi l mởt lồc tƯm thữớng (ii) Cho I l mët i¶an cõa R Khi â (I n )n>0 l  mët låc cõa R, nâ ÷đc gåi l  mët låc I -adic (iii) Cho (Rn )n>0 l  mët låc cõa R v  S l  mët v nh cõa R Khi â (Rn ∩ S)n>0 l  mët låc cõa S , nõ ữủc gồi l lồc cÊm sinh trản S nh nghắa 1.1.3 Cho R l mởt vnh lồc vợi låc (Rn)n>0 Mët R-mæun lu an n va p ie gh tn to M låc l  mët R-mỉun M cịng vỵi mët hå (Mn)n>0 c¡c R-mỉun cõa M thäa m¢n c¡c i·u ki»n: (i) M0 = M ; (ii) Mn+1 ⊂ Mn vỵi måi n > 0; (iii) Rn Mm ⊂ Mn+m vỵi måi n, m > V½ dư 1.1.4 l  mët R-mỉun v  R câ låc tƯm thữớng Khi õ M cụng cõ mởt lồc tƯm thữớng ữủc nh nghắa bi M0 = M v Mn = vỵi måi n > (ii) Cho I l  mët i¶an cõa R v  x²t låc I -adic cừa R nh nghắa lồc I -adic cừa M bơng c¡ch l§y Mn = I n M Khi â M l  mët R-mæun låc d oa nl w (i) Cho M nf va an lu z at nh oi lm ul z Cho M l  mët R-mæun låc Låc (Mn)n>0 trản M xĂc nh mởt tổpổ trản M tữỡng thẵch vợi cĐu trúc nhõm abel cừa M m (Mn)n>0 l mởt cỡ s lƠn cên cên cừa Tỉpỉ n y ÷đc gåi l  tỉpỉ c£m sinh bði låc (Mn)n>0 Cho M l  mët R-mỉun vỵi låc (Mn)n>0 v  tổpổ ữủc nh nghắa bi lồc (Mn)n0 Trữợc hát chúng tổi nhưc lÔi khĂi niằm dÂy Cauchy: Mởt dÂy (xn) cĂc phƯn tỷ M ữủc gồi l mởt dÂy Cauchy náu vợi mội k N, tỗn tÔi n0 cho xm − xn ∈ Mk , vỵi måi m, n > n0 m co l gm @ an Lu n va ac th si Gåi T l têp tĐt cÊ cĂc dÂy Cauchy M Trản T quan hằ hai ngổi ữủc nh nghắa bi: Vỵi måi (xn), (yn) ∈ T, (xn) ∼ (yn) ⇔ vợi mội m N, tỗn tÔi n0 cho xn − yn ∈ Mm , vỵi måi n ≥ n0 Khi â quan h» tr¶n l  quan h» tữỡng ữỡng Kẵ hiằu c = T / = {(xn )|(xn ) ∈ T } M lu an n va ie gh tn to Tữỡng tỹ, gồi S l têp cĂc dÂy Cauchy R ựng vợi lồc (Rn)n0 Kẵ b +, ) l  v nh giao ho¡n hi»u Rb = S/∼ = {(an)n≥0 | (an) ∈ S} Khi â (R, câ ìn vỵi hai ph²p to¡n: b Vỵi måi (an)n≥0, (bn)n≥0 ∈ R, p (an ) + (bn ) = (an + bn )n≥0 ; w oa nl (an ).(bn ) = (an bn )n≥0 d c ữủc nh Tiáp theo, hai php toĂn cởng v php nhƠn vổ hữợng trản M nghắa bi c, (xn ) + (yn ) = (xn + yn ) Vỵi måi (xn), (yn) ∈ M n≥0 c, (an ).(xn ) = (an xn ) Vỵi måi (an) ∈ Rb, vỵi måi (xn) ∈ M c l  R b-mæun Khi â M Cho I l  mët i¶an cõa v nh R, tỉpỉ ữủc nh nghắa trản M bi lồc c ữủc gồi l bao Ưy ừ I -adic ữủc gồi l tổpổ I -adic v  bao ¦y õ M I -adic nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si 35 (iii) =⇒ (i) Cho p ∈ V(AnnHmd (M )) Gi£ sû r¬ng N-dim(0 :H (M ) p) = d − r Khi â, theo ([21], M»nh à 2.10) tỗn tÔi x1 , , xr p lêp thnh mởt phƯn hằ tham số cừa Hmd (M ) p Rã r ng, ph¦n h» tham sè n y l cỹc Ôi p t d m :Hmd (M ) (x1 , , xr )R = A1 + + An l mởt biu diạn thự cĐp tối thiºu cõa :H (M ) (x1, , xr )R, õ Ai l qi-thự cĐp Vợi mội y m, ỵ rơng y l mởt phƯn tỷ tham sè cõa :H (M ) (x1, , xr )R náu v ch náu y / qi vợi mồi i thäa m¢n N-dim Ai = d − r (Xem [21], Bê · 2.14) V¼ (x1, , xr ) l  mët phƯn hằ tham số cỹc Ôi cừa Hmd (M ) p n¶n ta câ d m lu an d m n va ie gh tn to [ p p⊆ N-dim A =d−r qi i d oa nl w v  â p ⊆ qi vỵi i n o â thäa m¢n i·u ki»n N-dim Ai = d − r Tứ giÊ thiát (iii), ta cõ th kim tra rơng (x1, , xr ) l  mët ph¦n h» tham sè cỹc Ôi cừa M/UM (0) p Vẳ thá tỗn tÔi mởt iảan nguyản tố nf va an lu lm ul
q ∈ Ass M/UM (0)/(x1 , , xr )M/UM (0) z at nh oi cho dim R/q = d − r v  p ⊆ q
Hìn núa v¼ p ∈ Supp M/UM (0)/(x1, , xr )M/UM (0) n¶n ta suy p = q Do â, dim R/p = d − r V¼ Ai l  qi -thự cĐp, nản theo Bờ à 2.2.4 (i) ta ữủc N-dim Ai ≤ dim R/qi M°t kh¡c, v¼ p ⊆ qi n¶n ta câ z gm @ an Lu n va p ∈ Att(0 :Hmd (M ) (x1 , , xr )R) m Do â p = qi n¶n suy co l d − r = N-dim Ai ≤ dim R/qi ≤ dim R/p = d − r ac th si 36 Khi õ, tỗn tÔi iảan nguyản tè bp ∈ AttRb (0 :H b p ∩ R = p i·u n y k²o theo d m (M ) (x1 , , xr )R) cho p ⊆ Ann(0 :Hmd (M ) p) ⊆ AnnRb (0 :Hmd (M ) b p) ∩ R = b p ∩ R = p Do â Ann(0 :H d m (M ) p) = p 2.3 Tẵnh catenary cừa giĂ khổng trởn lăn lu an n va p ie gh tn to Nh­c lÔi rơng vnh R l catenary náu vợi mội cp i¶an nguy¶n tè p, q cõa R cho p q, mồi dÂy bÂo hỏa cĂc iảan nguyản tố bưt Ưu tứ p kát thúc tÔi q Ãu cõ ở di (hỳu hÔn) Chú ỵ rơng vnh R l ng chiÃu, nghắa l dimR/q = dimR vợi mồi iảan nguyản tố tối thiu q AssR thẳ R l  catenary n¸u v  ch¿ n¸u dimR/p + htp = dimR vợi mồi iảan nguyản tố cừa R Ta nõi rơng Supp M l catenary náu vợi mội cp iảan nguyản tố p, q Supp M vợi p q, mồi dÂy bÂo hỏa cĂc iảan nguyản tố xuĐt phĂt tứ p v kát thúc tÔi q cõ chung ở di Tứ nh nghắa và tẵnh catenary cừa Supp M ta thĐy rơng Supp M l catenary v ch¿ v nh R/Ann M l  catenary Do â Supp M l  catenary v  dim R/p = d vỵi måi i¶an nguy¶n tè p ∈ Ass M v  ch¿ dim R/p + dim Mp = d vỵi måi p ∈ Supp M °c bi»t, v¼ dim R/p = d vợi mồi p AssM/UM (0) nản giĂ khổng trởn lăn Usupp M = Supp M/UM (0) l catenary n¸u v  ch¿ n¸u dim R/p + dim Mp = d vợi mồi p Usupp M nh lỵ sau Ơy l kát quÊ chẵnh cừa tiát ny, nõ ch rơng tẵnh chĐt (*) cho Hmd (M ) thẳ tữỡng ữỡng vợi tẵnh catenary cừa Usupp M Trữợc chựng minh nh lỵ ny ta cƯn chựng minh nhỳng bê · sau d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si 37 Bờ à sau nõi rơng náu R l vnh a phữỡng Ưy ừ v M l khổng trởn lăn thẳ vợi mội phƯn hằ tham số (x1, , xr ) cõa M, mæun M/(x1, , xr )M l ng chiÃu Bờ à 2.3.1 GiÊ thiát rơng R l vnh a phữỡng Ưy ừ theo tổpổ v M l mởt R-mổun hỳu hÔn sinh cho dim R/p = d vỵi måi p ∈ AssM Khi â vỵi méi ph¦n h» tham sè (x1, , xr ) cõa M v  méi i¶an nguy¶n tè tèi thiºu p cõa M/(x1, , xr )M, ta câ dimR/p = d − r m-adic lu an n va p ie gh tn to Chùng minh Cho (x1, , xr ) l  mët ph¦n h» tham sè cõa M v  p l  mët iảan nguyản tố liản kát tối thiu cừa M/(x1, , xr )M Trữớng hủp r = d l tƯm thữớng Gi£ sû r < d V¼ (x1, , xr ) l mởt phƯn hằ tham số cừa M nản ta câ nl w dim(R/Ann M + (x1, , xr )R) = dim(M/(x1, , xr )M ) = d − r d oa Hỡn nỳa, vẳ p l iảan nguyản tè tèi thiºu cõa Ann M + (x1, , xr )R nản theo ([15], nh lỵ 18) ta cõ dimR/p d r Khi õ tỗn tÔi iảan nguyản tè tèi thiºu q cõa Ann M cho q p Vẳ q AssRM nản theo giÊ thiát ta câ dim R/q = d Hìn núa, p l  i¶an nguy¶n tè tèi tiºu cõa q + (x1, , xr )R Do õ ht(p/q) khổng vữủt quĂ r Vẳ R/q l  catenary chi·u l  d n¶n ta câ nf va an lu z at nh oi lm ul z m co dim R/p = d − ht(p/q) an Lu Suy l gm @ ht (p/q) + dimR/p = d n va ac th si 38 Do ht(p/q) ≤ r n¶n dimR/p = d − ht (p/q) ≥ d − r M°t kh¡c dimR/p ≤ d − r cho n¶n dimR/p = d − r Bê · 2.3.2 Cho p ∈ V(Ann Hmd (M )) cho dim Mp + dimR/p = d Khi â Ann(0 :H d m (M ) p) = p lu an n va gh tn to Chùng minh L§y p ⊇ Ann Hmd (M ) l  mët i¶an nguy¶n tè cõa R cho dim Mp + dimR/p = d °t dimR/p = d − r Theo gi£ thi¸t ta suy dim Mp = r Vẳ thá tỗn tÔi mởt iảan nguyản tè cõa q ∈ Ass M cho q ⊆ p v  ht (p/q) = r V¼ p ie dimR/q ≥ dimR/p + ht(p/q) = d, d oa nl w nản ta suy dimR/q = d Chú ỵ r¬ng an lu b pR b = dim R/p = d − r dim R/ nf va b pR b cho dim R/ b b Vẳ thá tỗn tÔi mët i¶an nguy¶n tè bp ∈ AssRb R/ p = dr b pR b nản ta cõ b Vẳ bp ∈ AssRb R/ p ∩ R ∈ Ass R/p, tùc l b p R = p Chú ỵ rơng Ănh xÔ tỹ nhiản R Rb l ỗng cĐu hon ton phng, õ ỗng cĐu ny thọa mÂn nh lỵ Going down (Xem [15], nh lỵ 4), nản tỗn tÔi mởt iảan nguyản tố bq Spec Rb cho bq ∩ R = q, bq ⊆ bp v  z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si 39 ht (bp/bq) ≥ r V¼ b qR b d = dim R/q = dim R/ b b ≥ dim R/ q b b = dim R/ p + ht (b p/b q) ≥d−r+r = d lu b b bbq l  ho n Suy dim R/ q = d Hỡn nỳa, vẳ ỗng cĐu cÊm sinh Rq R to n ph¯ng v  Mq 6= n¶n ta câ an n va gh tn to bbq ∼ cbq 6= Mq ⊗Rq R =M p ie c V¼ dim R/ b b Do â bq ∈ SuppRb M q = d v  b p ⊇ b q n¶n ta câ AnnRb Hmd (M ) Do õ tứ tẵnh chĐt ối ngău Matlis ta suy b p nl w d oa AnnRb (0 :H d m (M ) b p) = b p lu nf va an Cuèi còng ta câ Do â Ann(0 :H d m (M ) p) = p z at nh oi lm ul p ⊆ Ann(0 :Hmd (M ) p) ⊆ AnnRb (0 :Hmd (M ) b p) ∩ R = b p R = p z nh lỵ 2.3.3 CĂc mằnh · sau l  t÷ìng ÷ìng: co l gm m @ (i) Usupp M l  catenary (ii) H d (M ) thọa mÂn tẵnh chĐt (*) m Chựng minh (i) =⇒ (ii) Cho p ∈ V (AnnHmd (M )) V¼ UsuppM l  catenary n¶n dim R/p + dim Mp = d Do â theo Bê · 2.3.2 ta câ: an Lu n va ac th si 40 Ann(0 :H (M ) p) = p Vêy Hmd (M ) thọa mÂn tẵnh chĐt (*) (ii) = (i) Cho p Usupp M Ta cƯn chựng minh rơng dim R/p + dim Mp = d Náu p = m thẳ ró r ng d m dim R/m + dim Mm = + dim M = d Gi£ sû p 6= m °t dim R/p = d − r Ta c¦n chùng minh dim Mp = r V¼ p ⊇ Ann M/UM (0) n¶n ta câ lu dim
M/UM (0)/p(M/UM (0)) = dim R/p = d − r an n va ie gh tn to Vẳ thá tỗn tÔi mởt phƯn hằ tham số cỹc Ôi (x1, , xr ) cừa M/UM (0) p Vẳ p UsuppM nản theo nh lẵ 2.2.5 tỗn tÔi iảan nguyản tố c cho b b p ∈ UsuppRb M p ∩ R = p °t p c1 = M c/U c(0) M M w d oa nl V¼ (x1, , xr ) l  mët ph¦n h» tham sè cõa M/UM (0) nản nõ cụng l mởt c1 phƯn tham số cừa mỉun ¦y õ m-adic M/\ UM (0) cõa M/UM (0) Vẳ M \ c1 = dim M/ l mổun thữỡng cõa mæun M/\ UM (0) v  dim M UM (0) nản c1 Chú ỵ rơng: (x1 , , xr ) l  mët ph¦n h» tham sè cõa M nf va an lu lm ul z at nh oi c1 /(x1 , , xr−1 )M c1 b p ∈ SuppRb M z c1 /(x1 , , xr−1 )M c1 nản bp bp1 vợi iảan nguyản tố tối tiu pb1 ∈ SuppRb M c1 /(x1 , , xr−1 )M c1 nản theo Bờ à 2.3.1 Vẳ xr l mởt ph¦n tû tham sè cõa M ta suy xr ∈/ pb1 °t p1 = pb1 ∩ R Khi â xr / p1 Vẳ xr p nản ta cõ p ⊃ p1 v  p 6= p1 Lªp luªn tữỡng tỹ nhữ trản, tỗn tÔi iảan nguyản tố tối tiºu c1 /(x1 , , xr−2 )M c1 b p2 ∈ SuppRb M m co l gm @ an Lu n va ac th si 41 b Khi â p1 ⊃ p2 v  p1 6= p2 v¼ xr−1 ∈ p1 \p2 cho bp1 ⊇ bp2 °t p2 = bp2 R Tiáp tửc quĂ trẳnh trản, sau r bữợc ta nhên ữủc mởt dÂy cĂc iảan nguyản tè chùa Ann M p ⊃ p1 ⊃ p2 ⊃ ⊃ pr cho pi 6= pi+1 vỵi måi i = 1, 2, , r − Do â dim Mp = r Khi â dimR/p + dim Mp = d − r + r = d vỵi måi p ∈ Usupp M Vªy Usupp M l  catenary lu Hằ quÊ sau Ơy, ữủc suy tứ nh lỵ 2.3.3, cho mởt c trững và tẵnh catenary cừa cĂc miÃn nguyản Noether qua tẵnh chĐt (*) an n va tn to H» qu£ 2.3.4 Gi£ sû (R, m) l  mởt miÃn nguyản a phữỡng Noether p ie gh chiÃu d Khi â R l  catenary n¸u v  ch¿ n¸u Hmd (R) thọa mÂn tẵnh chĐt (*) w oa nl nh lỵ 2.3.5 CĂc mằnh à sau l tữỡng ÷ìng d (i) Ann(0 :H (M ) p) = p vỵi måi p ∈ V(Ann Hmd (M )) (ii) Usupp M l  catenary c} (iii) Usupp M = {bp ∩ R : bp UsuppRb M (iv) Vợi mội dÂy x1, , xd c¡c ph¦n tû m, x = (x1, , xd) l  mët h» tham sè cõa Hmd (M ) n¸u v  ch¿ n¸u nâ l  mët h» tham sè cõa M/UM (0) nf va an lu d m z at nh oi lm ul z Chùng minh Tứ nh lỵ 2.2.5 ta suy (i) (iii) (iv) Hỡn nỳa tứ nh lỵ 2.3.3 ta ữủc (i) (ii) Vêy ta ữủc iÃu cƯn chựng minh co l gm @ m Cho = M0 ⊂ M1 ⊂ ⊂ Mt = M l  mët låc c¡c mæun cõa M, â Mi−1 l  mổun lợn nhĐt cừa Mi vợi dim Mi1 < dim Mi vỵi an Lu n va ac th si 42 måi i = 1, , t Låc n y luæn luổn tỗn tÔi v nhĐt Ta gồi lồc ny l  låc chi·u cõa M (Xem [6]) Cho dim Mi = di vỵi i = 1, , t Khi â dng ta cõ th kim tra rơng Supp M = [ i=1, ,t Supp Mi/Mi−1 Vỵi méi i = 1, , t ta k½ hi»u dim R/p = di vỵi måi p ∈ Ass Mi/Mi−1 H» qu£ 2.3.6 Supp M l  catenary n¸u v  ch¿ n¸u Hdm (Mi/Mi−1) thäa i lu mÂn tẵnh chĐt (*) vợi mồi i = 1, , t an n va p ie gh tn to BƠy giớ ta nghiản cựu mởt vi miÃn nguyản Noether a phữỡng khổng catenary Chú ỵ rơng bĐt kẳ miÃn nguyản chiÃu Ãu l catenary, văn tỗn tÔi miÃn nguyản Noether a phữỡng khổng catenary chiÃu d vỵi d ≥ (Xem [1, (8)]) oa nl w M»nh · 2.3.7 Cho R l  mët mi·n nguy¶n Noether àa ph÷ìng chi·u d khỉng catenary °t an lu nf va U = {p ∈ Spec R : dim R/p + htp = 2}; z at nh oi lm ul V = {p ∈ Spec R : dim R/p + htp = 3} z Khi â c¡c m»nh · sau l  óng: (i) Usupp R = Spec R = U ∪ V v  U, V 6= ∅ (ii) Ann(0 :H (R) p) = p vỵi måi p ∈ V Những Ann(0 :H (R) p) 6= p vợi mồi p ∈ U b U b (0) cho b (iii) Náu p V thẳ tỗn tÔi bp Supp R/ p ∩ R = p Nh÷ng R b U b (0) cho b n¸u p ∈ U thẳ khổng tỗn tÔi bp Supp R/ p R = p R (iv) N-dim H2m(R) = v  dim R/Ann H2m(R) = @ m m m co l gm an Lu n va ac th si 43 Chùng minh (i) V¼ R khỉng catenary n¶n U 6= ∅ Do dim R V 6= ∅ Rã r ng Spec R = U ∪ V (ii) Theo nh lỵ 2.3.3, ta cõ Ann(0 :H Ann(0 :H (M ) p) = p vỵi måi p ∈ V m (M ) p) = p, = nản vợi måi p ∈ U v  m (iii) Suy tứ (ii) v nh lỵ 2.2.5 lu (iv) LĐy p U Khi õ dim R/p = Do ỗng cĐu phng R Rb l hon ton phng nản tỗn tÔi bp Spec Rb cho bp R = p Vẳ p 6= m nản b Suy b p 6= mR an n va b b < dim (R/ p) ≤ dim R/p = gh tn to p ie b b b U b (0)) Do â dim (R/ p) = M°t kh¡c theo (iii) ta câ b p∈ / Supp(R/ R Tø â suy bp + AnnRb H3m(R) w d oa nl Hỡn nỳa, vẳ ỗng cĐu tỹ nhiản R Rb l phng nản thọa mÂn nh lỵ Going down, õ htbp htp = Vẳ thá tỗn tÔi bq Ass Rb b b cho bq ⊂ bp v  bq 6= bp Do â dim R/ q ≥ V¼ b p + AnnRb H3m (R) n¶n b b dim R/ q = Khi â, theo ([2], H» qu£ 11.3.3) ta ÷đc b q ∈ AttRb H2m (R) v  â bq ⊇ AnnRb H2m(R) Tø â suy nf va an lu z at nh oi lm ul b Ann b H2 (R) ≥ N-dim H2m(R) = dim R/ R m z an Lu n va b q ∩ R ∈ Att H2m (R) ∩ Ass R m M°t kh¡c v¼ bq ∈ AttRb H2m(R) ∩ Ass Rb, n¶n ta câ co l gm @ Chú ỵ rơng bi ([5], nh lỵ 2.3.1) ta cõ N-dimH2m(R) Vẳ thá N-dim H2m(R) = ac th si 44 Do R l  mởt miÃn nguyản nản bq R = Vẳ thá = AnnH2m(R) Vêy dim R/Ann H2m(R) = lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si 45 K˜T LUŠN lu an n va p ie gh tn to Trong luên vôn ny, chúng tổi  trẳnh by v chùng minh chi ti¸t mët sè k¸t qu£ [7] Chữỡng 1, chúng tổi trẳnh by cĂc kián thực cỡ bÊn vÃ: Ưy ừ; a phữỡng hõa; sỹ phƠn tẵch nguyản sỡ; chiÃu Krull; mổun Artin; biu diạn thự cĐp; chiÃu Noether; mổun ối ỗng iÃu a phữỡng; tẵnh catenary cừa vnh v ỗng cĐu phng Chữỡng 2, chúng tổi trẳnh by mởt số vĐn à và mổun ối ỗng iÃu a phữỡng cĐp cao nhĐt theo [7], cử th l: tẵnh chĐt: Ann(0 :A p) = p vợi mồi p V (AnnR (A)); tẵnh chĐt (*) ối vợi mổun ối ỗng iÃu a phữỡng cĐp cao nhĐt v tẵnh catenary cừa giĂ khổng trởn lăn d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si 46 DANH MÖC T€I LI›U THAM KHƒO [1] Brodmann, M., A particular class of regular domains, J Algebra, 54, (1978), 366-373 lu an n va gh tn to [2] Brodmann, M and Sharp, R Y., Local Cohomology : An Algebraic Introduction with Geometric Applications, Cambridge University Press, Cambridge, 1998 p ie [3] Cohen, L S., On the structure and ideal theory of complete local rings, Trans Amer Math Soc 59 (1946), pp 54-106 nl w d oa [4] Cuong, N T and Nhan, L T., Dimension, multiplicity and Hilbert function of Artinian modules, East-West J Math., (2), (1999) pp 179-196 nf va an lu lm ul z at nh oi [5] Cuong, N T and Nhan, L T., On Noetherian dimension of Artinian modules, Vietnam J Math 30 (2002), pp 121-130 z [6] Cuong, N T and Nhan, L T., On pseudo Cohen-Macaulay and pseudo generaliized Cohen-Macaulay modules, J Algebra 267 (1) (2003), pp 156-177 m co l gm @ an Lu n va ac th si 47 [7] Cuong, N T and Dung, N T and Nhan, L T., Top local cohomology and the catenaricity of the unmixed support of a finitely generated module, Comm Algebra, 35 (2007), pp 1691-1701 [8] Ferrand, D and Raynaud, M.,Fibres formelles d'un anneau local Noetherian, Ann Sci.E'cole Norm Sup (4) (1970), pp 295-311 [9] Kirby, D., Artinian modules and Hilbert polynomials, Quart Math Oxford (2) 24 (1975), pp 47-57 lu an n va tn to [10] Kirby, D., Coprimary decomposition of Artinian modules, J London Math Soc (2) (1973), pp 571-576 p ie gh [11] Kirby, D., Dimension and length for Artinian modules, Quart J Math Oxford (Ser.2) 41 (1990), pp 419-429 d oa nl w [12] Macdonald, I G., Secondary representation of modules over a commutative ring, Symposia Mathematica 11 (1973), pp 23-43 an lu nf va [13] Matlis, E., The Kozul complex and duality, Comm Algebra (1) (1960), pp 87-149 lm ul z at nh oi [14] Matsumura, H., Commutative ring theory, Cambridge University Press, Cambridge, (1986) z co l gm @ [15] Matsumura, H., Commutative Algebra , Benjamin, W A., New York, (1970) m [16] Matlis, E., Injective modules over Noetherian rings, Pacific J Math (1968), pp 511-528 an Lu n va ac th si 48 [17] Nagata, M., On the chain problem of prime ideal, Nagaya Math J 80 (1980), pp 107-116 [18] Ratliff, L, J., Characterizations of catenary rings, Amer J Math., 93 (1971), pp 1070-1108 [19] Roberts, R N., Krull dimension for Artinian modules over quasi-local commutative rings, Quart J Math Oxford (Ser.2) 26 (1975), pp 269273 lu an n va p ie gh tn to [20] Sharp, R Y., A method for the study of Artinian modules, with an application to asymptotic behavior, in: Commutative Algebra, Math Sci Res Inst Publ., No 15, Springer-Verlag, New York, 1989, pp 443-465 d oa nl w [21] Tang, Z M and Zakeri, H.,Co-Cohen-Macaulay modules and modules of generalized frac-tions, Comm Algebra 22 (6) (1994), pp 2173-2204 nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si 49 QUY˜T ÀNH GIAO — T€I LUŠN V‹N lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si