(Luận văn thạc sĩ) môđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất và tính catenary của giá không trộn lẫn của môđun hữu hạn sinh

BË GIO DƯC V€ €O T„O TR×ÍNG „I HÅC QUY NHèN PHAN TH ẫ QUYN h MặUN ẩI ầNG IU ÀA PH×ÌNG C‡P CAO NH‡T V€ TNH CATENARY CÕA GI KHỈNG TRËN LˆN CÕA MỈUN HÚU H„N SINH LUŠN V‹N THC S TON HC Bẳnh nh - Nôm 2019 Bậ GIO DƯC V€ €O T„O TR×ÍNG „I HÅC QUY NHÌN PHAN TH ẫ QUYN MặUN ẩI ầNG IU A PHìèNG C‡P CAO NH‡T V€ TNH CATENARY CÕA GI KHỈNG TRËN LN CếA MặUN HU HN SINH h Chuyản ngnh: Ôi số v lẵ thuyát số M số: 8460104 Ngữới hữợng dăn: TS NGUYN THI HA Mửc lửc Mé U 1 KI˜N THÙC CHU‰N BÀ ¦y õ àa ph÷ìng hâa Sỹ phƠn tẵch nguyản Chi·u Krull Mæun Artin Biu diạn thự cĐp Chi·u Noether Mổun ối ỗng iÃu a phữỡng Tẵnh catenary cừa vnh ỗng cĐu ph¯ng h 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 11 14 15 17 19 21 22 MặUN ẩI ầNG IU A PHìèNG CP CAO NHT 25 2.1 Tẵnh chĐt: Ann(0 :A p) = p, ∀ p ∈ V (AnnR(A)) 26 2.2 Tẵnh chĐt (*) ối vợi mổun ối ỗng iÃu a phữỡng cĐp cao nhĐt 30 2.3 T½nh catenary cừa giĂ khổng trởn lăn 36 K˜T LUŠN 45 DANH MÖC T€I LI›U THAM KHƒO 46 QUY˜T ÀNH GIAO — T€I LUŠN V‹N 49 h MÐ U h Vo nhỳng nôm 1960, A Grothendieck  giợi thiằu lỵ thuyát ối ỗng iÃu a phữỡng Ngy nay, lỵ thuyát ny  tr thnh cổng cử khổng th thiáu nhiÃu lắnh vỹc khĂc cừa ToĂn hồc nhữ Ôi số giao hoĂn, Hẳnh hồc Ôi số, Ôi sè tê hđp Mët nhúng k¸t qu£ quan trồng và mổun ối ỗng iÃu a phữỡng l tẵnh triằt tiảu v tẵnh Artin Cho (R, m) l mởt v nh giao ho¡n Noether àa ph÷ìng v  M l  R-mỉun hỳu hÔn sinh thẳ Hmd (M ) 6= v khổng hỳu hÔn sinh, õ d = dimM v Hmi (M ) l  mỉun Artin vỵi måi i ≥ Theo I G Macdonald [12], têp cĂc iảan nguyản tố gưn kát cừa R-mổun Artin A, kẵ hiằu l AttR(A) cõ vai trỏ nhữ têp cĂc iảan nguyản tố liản kát ối vợi mổun hỳu hÔn sinh NhiÃu nh ToĂn hồc quan tƠm nghiản cựu têp cĂc iảan nguyản tố gưn kát cừa mổun ối ỗng iÃu a phữỡng cĐp bĐt kẳ vợi giĂ cỹc Ôi Hmi (M ) v mổun ối ỗng iÃu a phữỡng cĐp cao nhĐt HId(M ) vợi giĂ l mởt iảan I cừa R, º tø â l m rã c§u tróc mỉun M v  vnh cỡ s R Trữợc hát, nôm 2007 Nguyạn Tỹ Cữớng, Lả Thanh Nhn v Nguyạn Th Dung [7]  à xuĐt nghiản cựu tẵnh chĐt: Vợi mội R-mổun Artin A, AnnR (0 :A p) = p vỵi måi iảan nguyản tố p chựa AnnR(A) Vợi mửc ẵch  tẳm hiu sƠu hỡn và Ôi số giao hoĂn, chúng tổi  chồn à ti:"Mổun ối ỗng iÃu a phữỡng cĐp cao nhĐt v tẵnh catenary cừa giĂ khổng trởn lăn cừa mổun hỳu hÔn sinh" Ngoi phƯn M Ưu, Kát luên v Ti liằu tham khÊo thẳ luên vôn gỗm cõ hai chữỡng Chữỡng 1: Kián thực chuân b h Chữỡng ny trẳnh by vưn tưt nhỳng kián thực cỡ bÊn và Ưy ừ; a phữỡng hõa; sỹ phƠn tẵch nguyản sỡ; chiÃu Krull; mổun Artin; biu diạn thự cĐp; chiÃu Noether; mổun ối ỗng iÃu a phữỡng; tẵnh catenary cừa vnh v ỗng cĐu phng Chữỡng 2: Mổun ối ỗng iÃu a phữỡng cĐp cao nhĐt Ơy l nởi dung chẵnh cừa luên vôn Chúng tổi s tián hnh nghiản cựu và tẵnh chĐt: Ann(0 :A p) = p vợi mồi p V (AnnR(A)); tẵnh chĐt (*) ối vợi mổun ối ỗng iÃu a phữỡng cĐp cao nhĐt v tẵnh catenary cừa giĂ khổng trởn lăn TĐt cÊ cĂc kát quÊ luên vôn ny ữủc trẵch dăn chừ yáu tứ ti liằu [7] Nhiằm vử cừa chúng tổi l lm ró lÔi cĂc chựng minh õ v hằ thống lÔi theo mởt bố cửc hủp lỵ Luên vôn ny ữủc hon thnh dữợi sỹ hữợng dăn cừa TS Nguyạn ThĂi Hỏa ThƯy  dnh nhiÃu thới gian v tƠm huyát viằc nh hữợng, gõp ỵ, ởng viản v giúp ù tổi suốt quĂ trẳnh thỹc hiằn luên vôn ny Tổi xin by tọ sỹ kẵnh trồng v lỏng biát ỡn sƠu sưc án ThƯy Tỉi xin ch¥n th nh c£m ìn Ban gi¡m hiằu Trữớng Ôi Hồc Quy Nhỡn cĂc thƯy, cổ giĂo v ngoi Khoa ToĂn v Thống kả  tên tẳnh giÊng dÔy v giúp ù tổi quĂ trẳnh hồc têp Cuối tổi xin chƠn thnh cÊm ỡn cĂc hồc viản lợp cao hồc ToĂn khõa 20, bÔn b v nhỳng ngữới thƠn gia ẳnh  ởng viản, giúp ù, tÔo iÃu kiằn thuên lủi cho tổi quĂ trẳnh hồc têp v hon thnh luên vôn Mc dũ bÊn thƠn  hát sực cố g­ng v  nê lüc l m vi»c r§t nhi·u º ho n thnh luên vôn ny iÃu kiằn, thới gian, trẳnh ở kián thực v kinh nghiằm nghiản cựu cỏn hÔn chá nản luên vôn s khổng trĂnh khọi nhỳng thiáu sõt Vẳ vêy, tổi rĐt mong ữủc sỹ gõp ỵ cừa thƯy, cổ giĂo v bÔn ồc  luên vôn ữủc hon chnh hỡn Tổi xin chƠn thnh cÊm ỡn Ngy 29 thĂng nôm 2019 h Sinh viản thỹc hiằn à ti Phan Th ộ Quyản Chữỡng KI˜N THÙC CHU‰N BÀ h Trong ch÷ìng n y, chóng tổi nhưc lÔi mởt số kián thực  biát và Ưy ừ; a phữỡng hõa; sỹ phƠn tẵch nguyản sỡ; chiÃu Krull; mổun Artin; biu diạn thự cĐp; chiÃu Noether; mổun ối ỗng iÃu a phữỡng; tẵnh catenary cừa vnh v ỗng cĐu phng nhơm thuên tiằn cho viằc theo dói kát quÊ chữỡng sau 1.1 Ưy ừ Nởi dung cừa tiát ny ữủc trẳnh by theo ti liằu [14] Cho R l  mët v nh giao ho¡n câ ìn ành ngh¾a 1.1.1 Mët v nh låc l  mët v nh R cịng vỵi mët hå (Rn )n>0 c¡c nhâm cõa R thäa m¢n c¡c i·u ki»n: (i) R0 = R; (ii) Rn+1 ⊂ Rn vỵi måi n > 0; (iii) Rn Rm ⊂ Rn+m vỵi måi n, m > R V½ dư 1.1.2 (i) Gi£ sû R l  mët v nh L§y R0 = R v  Rn = vỵi måi n > Khi â (Rn)n>0 l  mët låc cõa R v  gåi l  mët låc t¦m thữớng (ii) Cho I l mởt iảan cừa R Khi â (I n )n>0 l  mët låc cõa R, nâ ÷đc gåi l  mët låc I -adic (iii) Cho (Rn )n>0 l  mët låc cõa R v  S l  mët v nh cõa R Khi â (Rn ∩ S)n>0 l  mët låc cõa S , nâ ÷đc gåi l  låc cÊm sinh trản S nh nghắa 1.1.3 Cho R l  mët v nh låc vỵi låc (Rn)n>0 Mët R-mỉun M låc l  mët R-mỉun M cịng vỵi mët hå (Mn)n>0 c¡c R-mỉun cõa M thäa m¢n c¡c i·u ki»n: (i) M0 = M ; (ii) Mn+1 ⊂ Mn vỵi måi n > 0; (iii) Rn Mm ⊂ Mn+m vỵi måi n, m > (i) Cho M h V½ dư 1.1.4 l  mët R-mỉun v  R câ låc t¦m thữớng Khi õ M cụng cõ mởt lồc tƯm thữớng ữủc nh nghắa bi M0 = M v Mn = vỵi måi n > (ii) Cho I l  mët i¶an cõa R v  x²t låc I -adic cõa R nh nghắa lồc I -adic cừa M bơng cĂch l§y Mn = I n M Khi â M l  mët R-mæun låc Cho M l  mët R-mæun låc Låc (Mn)n>0 tr¶n M x¡c ành mët tỉpỉ tr¶n M tữỡng thẵch vợi cĐu trúc nhõm abel cừa M m (Mn)n>0 l mởt cỡ s lƠn cên cên cừa Tỉpỉ n y ÷đc gåi l  tỉpỉ c£m sinh bði låc (Mn)n>0 Cho M l  mët R-mỉun vỵi låc (Mn)n>0 v tổpổ ữủc nh nghắa bi lồc (Mn)n0 Trữợc hát chúng tổi nhưc lÔi khĂi niằm dÂy Cauchy: Mởt dÂy (xn) cĂc phƯn tỷ M ữủc gồi l mởt dÂy Cauchy náu vợi mội k N, tỗn tÔi n0 cho xm − xn ∈ Mk , vỵi måi m, n > n0 Gåi T l  têp tĐt cÊ cĂc dÂy Cauchy M Trản T quan hằ hai ngổi ữủc nh nghắa bi: Vợi måi (xn), (yn) ∈ T, (xn) ∼ (yn) ⇔ vỵi mội m N, tỗn tÔi n0 cho xn − yn ∈ Mm , vỵi måi n ≥ n0 Khi õ quan hằ trản l quan hằ tữỡng ữỡng Kẵ hiằu c = T / = {(xn )|(xn ) ∈ T } M T÷ìng tü, gåi S l  têp cĂc dÂy Cauchy R ựng vợi lồc (Rn)n0 K½ b +, ) l  v nh giao ho¡n hi»u Rb = S/∼ = {(an)n≥0 | (an) ∈ S} Khi â (R, câ ìn vỵi hai ph²p to¡n: b Vỵi måi (an)n≥0, (bn)n≥0 ∈ R, h (an ) + (bn ) = (an + bn )n≥0 ; (an ).(bn ) = (an bn )n0 c ữủc nh Tiáp theo, hai php toĂn cởng v php nhƠn vổ hữợng trản M ngh¾a bði c, (xn ) + (yn ) = (xn + yn ) Vỵi måi (xn), (yn) ∈ M n≥0 c, (an ).(xn ) = (an xn ) Vỵi måi (an) ∈ Rb, vỵi måi (xn) ∈ M c l  R b-mæun Khi â M Cho I l  mởt iảan cừa vnh R, tổpổ ữủc nh nghắa trản M bi lồc c ữủc gồi l bao Ưy ừ I -adic ÷đc gåi l  tỉpỉ I -adic v  bao ¦y õ M I -adic