Luận văn về môđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất

Đại ọ uê Tãờ đại ọ sã ạm iá uâ Tãờ môđu đối đồ điu địa ãơ y ເÊρ ເa0 пҺÊƚ sỹ c z hạ oc ,ọtc c 3d c h hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nvỏ L lu Luậ ă sĩ 0á ọ Tỏi uờ, 2012 Mụ lụ Mở đầu Méƚ sè ấ đ môđu Ai 1.1 Tiêu uẩ Ai môđu 1.2 iu diễ ứ ấ môđu Ai 1.3 Tậ iđêa uê ố ắ kế 13 y TÝпҺ ເҺÊƚ ເ¬ sở môđu đốichc đồ điu địa -ơ z oc sỹ d ,ọt ọhc hc ọc 123 o h a i ọ n c z o cna iđhạ ovcă nvă ăđnạ ậ3nd ă n v u ậv ăn ,1l ậLnu ậvn n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu 16 2.1 Kái iệm môđu đối đồ điu địa -ơ 16 2.2 Tí iệ iêu môđu đối đồ điu địa -ơ 18 2.3 Tí Ai môđu đối đồ điu địa -ơ 20 môđu đối đồ điu địa -ơ ấ a0 ấ 23 3.1 Tí aea 0ee 23 3.2 TÝпҺ ເҺÊƚ (*) ເҺ0 môđu Ai 24 3.3 §Ỉເ ƚг-пǥ ƚÝпҺ ເҺÊƚ (*) ເđaI Һd(M ) 26 3.4 Tậ iđêa uê ố ǥ¾п k̟Õƚ ເđaIҺd(M ) 31 3.5 Tậ đối iá Id(M ) 33 K̟Õƚ luËп 42 Tµi liƯu ƚҺam k̟Һ¶0 43 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn1 Lêi ເ¶m Luậ ă đ-ợ 0à d-i s ỉ ả0 - dẫ ậ ì S TS Lê Tị Ta ô đà dà iu ời ia - dẫ iải đá ắ mắ ôi suố ì làm luậ ă Tôi i ầ ỏ lò iế sâu sắ đế ô Tôi i ửi i ầ ô K0a T0á, K0a Sau đại ọ T-ờ Đại ọ S- ạm - Đại ọ Tái uê - ầ ô đà am ia iả kóa ọ 2010-2012, lời ảm sâu sắ ấ ô la0 dỗ suố ì iá0 dụ, đà0 ạ0 -ờ y Tôi i ảm Sở ội ụ, Sở iá0 dụ Đà0 ạ0 ỉ ắ sỹ c z hạ oc c t ,ọ c 3d c h hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L lu ia, T-ờ TT ố ạ, ổ T0á-Ti T-ờ TT ố ạ, ôi đa ô á, đà ạ0 điu kiệ ôi 0à kóa ọ Tôi i ảm ia đì, -ời â đà qua âm, ạ0 điu kiệ, độ iê, ổ đ ôi ó 0à iệm ụ m×пҺ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn2 Mở đầu (, m) ia0 0á 0ee, địa -ơ M môđu ữu si Từ ổ đ akaama a ó A(M/M ) = i iđêa uê ố A M ấ iê, e0 su ĩ đối ẫu, uễ T -ờ Lê Ta [] đà é í ấ sau đối i -môđu Ai A A(0 :A ) = i iđêa uê ố ρ ⊇ AппГ A ( ∗) K̟Һi Г lµ ѵµпҺ đầ đủ e0 ôô m-adi, sử dụ đối ẫu Malis dụ í ấ ê môđu ữu si, a ấ ằ ay í ấ (*) luô đ h-môđu Ai Tu iê í s c z hạ oc c t ,ọ c 3d c h hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu ấ (*) ói u kô ò đ ki kô đầ đủ Tí ấ (*) đ-ợ ii iệu ởi uễ T -ờ Lê Ta [] ằm iê ứu iu môđu Ai, ọ ỉ a ằ пÕu A ƚҺáa m·п ƚÝпҺ ເҺÊƚ (*) ƚҺ× ເҺiὸu П0eƚҺeг ເđa A ѵµ ເҺiὸu K̟гull dim(Г/ AппГ A) ь»пǥ пҺau ăm 2007, [D], uễ T -ờ, uễ Tị Du, Lê Ta đà đặ - í ấ (*) môđu đối đồ điu địa -ơ ấ a0 d ấ i iá đại - sau: m (M ) ƚҺáa m·п ƚÝпҺ ເҺÊƚ (*) k̟Һi ѵµ m AппГ Һ d (M ) aea ăm 2009, Lê Ta ỉ ki / à Tầ uê A [A1] đà đặ - í ấ (*) môđu đối đồ điu ấ i ù ý i iá đại, Һä ເҺØ гa г»пǥ пÕu Г lµ ເaƚeпaгɣ ρҺỉ dơпǥ ì ứ 0e-Maaula ì m Һ i (M ) ƚҺáa m·п ƚÝпҺ ເҺÊƚ (*) i i ăm 2012, Lê Ta à Tầ Đỗ Mi âu [] đà đặ - í ấ (*) môđu đối đồ điu địa -ơ ấ a0 ấ i iá ù ý, ọ iê ứu ậ iđêa uê ố ắ kế, S húa bi Trung tõm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn3 ƚËρ đối iá số ội môđu s y ạc cz tch ọ , c h c hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn3 Mụ đí luậ ă ì lại i iế kế ê ài á0 [] Lê Ta à Tầ Đỗ Mi âu, e l0al 00m0l0 m0dules, J0ual 0f Alea, 349 (2012), 342-352 Đ uậ iệ diễ iải, luậ ă ò ì mộ số ấ đ liê qua - iêu uẩ Ai L Melk̟eгss0п [M1], lý ƚҺuɣÕƚ ьiόu diƠп ƚҺø ເÊρ ເđa I Mad0ald [Ma], mộ số í ấ sở môđu đối đồ điu địa -ơ [S] Luậ ă ồm -ơ -ơ ì mộ số ấ đ môđu Ai - iêu uẩ Ai, iu diễ ứ ấ -ơ ắ lại kái iệm môđu đối đồ điu địa -ơ, í iệ iêu í Ai môđu c s y cz o tch đối đồ điu địa -ơ -ơ hc, c 3d3 ầ í luậ ă, o h hc oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uLnu nvỏ L lu ứ mi đặ - í ấ (*) môđu đối đồ điu địa -ơ ấ Ia0 ấ d(M ), mô ả ậ iđêa uê ố ắ kế ậI đối iá ເđa Һd(M ) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn4 ເҺ-¬пǥ Méƚ sè ấ đ môđu Ai T0 suố luậ ă à, (, m) ia0 0á 0ee địa -ơ A -môđu Mụ đí -ơ ì mộ số ấ đ môđu Ai ụ ụ -ơ sau y 1.1 Tiêu uẩ Ai môđu c z h oc s d ,ọtc ọhc hc ọc 123 o h a i ọ n c z o cna iđhạ ovcă nvă ăđnạ ậ3nd ă n v u ậv ăn ,1l ậLnu ậvn n Lu uLnu nvỏ L lu Tiế ì kái iệm mộ số í ấ sở môđu Ai, đặ iệ iêu uẩ Ai L Melkess0 [M1] môđu 01.1.1 AMộ đu-môđu dừ, ứ Alàđ-ợ ếuọi A làA1Ai ếu A dà Đị ĩa iảm mộ dà iảm môđu A ì ại sa0 A =A п0 ѵίi mäi п ≥ п0 MƯпҺ ®ὸ sau đâ a mộ điu kiệ -ơ đ-ơ i đị ĩa môđu Ai Mệ đ 1.1.2 A -môđu Ki A Ai ếu ỉ ếu ậ ká ỗ ữ môđu A đu ó ầ ối iu ứ mi A Ai ậ ká ỗ ữ môđu A iả sử kô ó ầ iu Lấ A1 ì A1 kô S hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn5 ầ iu ê ại A2 ∈ Γ sa0 ເҺ0 A1 ⊃ A2 ѵµ A1 ƒ= A2 A ⊃ A ⊃ ⊃ A A Điu i iả iế A Ai Tiế1 ụ 2quá ì ê a đ-ợ dà iảm kô dừ môđu ρҺÇп ƚư ເὺເ ƚiόu ເҺ0 A ⊇ A ⊇ · · · ⊇ A ⊇ lµ méƚ dà iảm -ợ lại, iả sử ậ k1 2ỗ ữ môđu A đu ó môđu A Te0 iả iế ì ậ = {Ai | i ≥ 1} ເã ρҺÇп ƚư ເὺເ ƚiόu ọi A0 ầ iu ó K̟Һi ®ã Aп = Aп0 ѵίi mäi п ≥ п0 ѴËɣ A lµ Aгƚiп Ѵµ ƚiÕρ ƚҺe0 lµ méƚ ƚÝпҺ ấ a dù môđu Ai Mệ đ 1.1.3 0 → AJ → A → AJJ → lµ dà k môđu Ki A Ai ếu ѵµ ເҺØ пÕu AJ , AJJ lµ Aгƚiп ເҺøпǥ miпҺ Ta ó 0i AJ môđu A AJJ = A/AJ iả sử A Ai ì dà iảm môđu AJ dà iảm y J JJ môđu A ê ó ải dừ ì ế A Aгƚiп ПÕu A ⊇ ⊇ ỹ JJ JJ s A п ⊇ lµ mộ dà iảm môđuhc0cz A ì ó mộ dà iảm o d ,tc hc hc c 123 o h a i ọ n c 1nao iđhạ vcăz c o nvă ăđnạ ậ3nd ă n v ănv ,1lu2 ậ ậLnu ậvn n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ JJ lu môđu A ứa A A ⊇ ⊇ Aп ⊇ sa0 ເҺ0 AJiJ = Ai /AJ J ѵίi mäi i ì A Ai ê dà A ⊇ Aп ⊇ ρҺ¶i dõпǥ D0 ®ã d·ɣ AJ1J ⊇ ⊇ AJпJ ⊇ dừ ậ A Ai -ợ lại, iả sử AJ , AJJ Ai A1 ⊇ Aп ⊇ lµ dà iảm môđu A Ta ó dà iảm môđu A1 AJ ⊇ Aп ∩ AJ ⊇ (A1 + AJ )/AJ ⊇ ⊇ (Aп + AJ )/AJ ⊇ ເđa AJ ѵµ AJJ D0 AJ AJJ Ai ê ại số iê k sa0 Aп ∩ AJ = Ak̟ ∩ AJ ѵίi mäi п ≥ k̟ ѵµ (Aп + AJ )/AJ = (Aƚ + AJ )/AJ i Đặ = maх{ƚ, k̟ }.Ѵ× (Aп + AJ )/AJ ∼ = Aп /(Aп ∩ AJ ) пªп ѵίi mäi Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn6 J п Aп /(A ∩ AJ ) ѵµAгƚiп Aп ∩ AJ = Aп+1 ∩ AJ Suɣ п ∩пA≥)п=0 A +1 /(A aA0=aAó ậ A +1 môđu +1 i ầ uối iế đ-a a iêu uẩ Ai e0 í ấ I0ắ Đị ĩa 1.1.4 I mộ iđêa i số iê , đặ (0 :A I ) = { ∈ A | I п х = 0} K̟Һi ®ã (0 :A I ) mộ môđu A K̟Ý ҺiÖu ΓI(A) = [ (0 :A I п ) ậ ầ A ị iệ ƚiªu ьëi п“0 méƚ l ƚҺõa ເđa I Ta пãi ằ A môđu I-0ắ ếu A = I(A) ເđa A sa0 ເҺ0 AJJ ⊆ AJ ѵµ (0 :A ai+1 ) = (0 :AJJ ai+1 ) ѵίi mäi i Ьỉ J ®ὸ 1.1.5 ເҺ0 a ∈ Г A a -0ắ iả sử A , A môđu Ki AJ = AJJ J JJ ứ[ mi ì A a-0ắ ê AJ a-0ắ D0 a ó AJ = (0 :A ) ì ế a ỉ ầ ứ mi (0 :A ) ⊆ AJJ ѵίi mäi J J i≥0 y i ≥ Ta sÏ ເҺøпǥ miпҺ ®iὸu ằczqu e0 i i = Te0JJ ǥi¶ ƚҺiÕƚ, a0 (0 :A a) = a0 (0i :A a)JJhc.,ọtchạcSuɣ = (0 :A a) ⊆ A , гa (0 :A a) -ờ ợ i, ứ là: (0 :A a ) ⊆ Aahoọ hc.ọcLÊɣ z ∈ (0 :A ai+1 ) Su a k ẳ 23 đị đ i i = 0 i > c hiiả zn sử k ẳ đị đà đ i o c a iđ ov ) = a (0 :A a z ∈ a i(0 :A ănavăcnăđnại+1 i i+1 ) ậ3nd sỹ J JJ J J JJ J J nv u2 nuậ vnă ,1l i+1 LuậL ậLnuậ ồvăán i AJJJJ i Lu ậĐn J u A JJ J l i JJ J D0 ại azi+1 ) (0 : a ) sa0 ເҺ0 a z = z JJJ Suɣ гa (z − z J ) = AJJ Ѵ× ƚҺÕ (0 : ⊆ A zi J J Te0 iả iế quA ạ, z zA ∈.(0ѴËɣ :A a (0 ) ⊆:A a )Ѵ×⊆ƚҺÕ = (zmäi − z J )i+ zD0 ∈ A®ã = AJJ J J Sau đâ iêu uẩ Ai đ-ợ L Melkess0 ì [M1] ó đà mộ kế a dù Đại số ia0 Һ0¸п Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn7 Đị lý 1.1.6 (Tiêu uẩ Aгƚiп ເđa Melk̟eгss0п) A lµ Aгƚiп пÕu ѵµ ເҺØ пÕu ại mộ iđêa I sa0 (0 :A I) Ai A I-0ắ ứ mi iả sử A Ai i I iđêa ù ý, ì (0 :A I) môđu A ê ó lµ Aгƚiп LÊɣ х ∈ A Гâ гµпǥ Гх lµ -môđu ữu si ì môđu A ê ó Ai D0 A() < ì ế, ại sa0 m = 0, ứ (0 :A m) D0 A m-0ắ A= -ợ lại, iả sử ại iđêa I ເđa Г sa0 ເҺ0 (0 :A I) lµ Aгƚiп [ (0 :A I ) iả sử I siпҺ ьëi ƚ ρҺÇп ƚư Ta sÏ ເҺøпǥ miпҺ A lµ п≥0 A = (0 :A I) lµ Aгƚiп Ѵίi = Đặ I = a ọi L1 L2 Ai ằ -ơ qu e0 ếu = ì I = i i+1 d0 dừ i i i môđu L A, ếu х ∈ a (0 :L a ) ƚҺ× Lп ⊇ dà iảm môđu A Ta ứ mi dà ải ại ∈ (0 :L ai+1) sa0 ເҺ0 х = aiɣ Ta ເã aх = a(aiɣ) = ai+1ɣ = Suɣ гa aх = Һaɣ х ∈ (0 :A a) ѴËɣ ai(0 :L ai+1) ⊆ (0 :A a) TiÕρ ƚҺe0 ay ƚa ເҺøпǥ miпҺ ai(0 :Ln ai+1) ⊇ ai+1(0 c:sLỹ h n ai+2) ѵίi mäi i TҺËƚ ѵËɣ, lÊɣ z hạ oc ,ọtc c 3d i+2n c h hoọ ọi hc ọ n L a c z o cna iđhạ ovcă i+1 nvă ăđnạ ậ3nd ă n v u v ăn ,1l ậ ậLnu ậvn n i+1 Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu n ) K х ∈ ai+1(0 :L ai+2 i ại (0 : a )sa0 ເҺ0 х = ai+1ɣ Ѵ× ɣ ∈ (0 :Lп a i+2 ) пªп a i+2 ɣ = Suɣ гa a (aɣ) = Һaɣ aɣ (0 :L n D0 ại z (0 :Lп a ai+1) ) sa0 ເҺ0 aɣ = z Ta ເã х = a i+1 ɣ = a zi Suɣ гa х ∈ ai(0 :L an i+1) ѴËɣ ai(0 :L n ai+1) ⊇ ai+1(0 :L n ai+2) (0 :L a) ⊇ ⊇ ai(0 :L ai+1) ⊇ ai+1(0 :L ai+2) ⊇ Ѵίi ≥ a ó ì (0 :Amỗi a) Ai êdà ồiảm ại ká môđu sa0 00 (0 :Aa) n Ta ເã n n Eп = ak̟п (0 n:L ak̟п+1) = ai(0 :L ani+1); ∀i ≥ k̟п Eп = ak̟п+k̟п+1 (0 :Lп ak̟п+k̟п+1+1) ⊇ ak̟п+k̟п+1 (0 :Lп+1 ak̟п+k̟п+1+1) = Eп+1 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn8 31 3.4 Tậ iđêa uê ố ắ kế Id(M ) Ta ó kế sau đâ ậ iđêa uê ố ắ kế môđu đối đồ điu địa -ơ ấ a0 ấ i iá đại (em [S]) A d (M ) = { ∈ AssГ M | dim(Г/ρ) = d} m Sư dơпǥ Đị lý 3.3.2 ệ 3.3.6 a mô ả đ-ợ ậ iđêa uê ố ắ kế môđu đối đồ điu địa -ơ ấ a0 ấ i iá ùI ý Һd(M ) пҺ- sau MƯпҺ ®ὸ 3.4.1 ПÕu Һ Id (M ) 0ả mà í ấ (*) ì d AƚƚГIҺ (M ) = {ρ ∈ AssГ M | dim(Г/ρ) = d, I + ρ = m} d ເҺøпǥ miпҺ TҺe0 ҺƯ qu¶ 3.3.6(i), Ass Г (I, M ) ⊆ AƚƚГ Һ I(M ) LÊɣ y ỹ ρ ∈ AƚƚГ ҺI d(M ) k̟Һi ®ã ρ ∈ AssГạc sM ѵµ dim(Г/ρ) = d D0 Һd(M ) z I c o tch d ọ , hc c 23 √ hoọ ọ ca hạọi hc căzn o a ƚҺ0¶ mà í ấ (*) ê e0 lý 3.3.2 ì I + = m D0 v cn i ndĐị o ă v n dậvnănănvăđ 1lu2ậ3 ρ ∈ AssГ(I, M ) Suɣ гa AƚƚГ ҺậLnu nu(M ậvn n, ) = AssГ(I, M ) D0 ®ã Lu uậL nồvIăá L ậĐ √ lu AƚƚГ Һd(M ) = {ρ ∈ Ass M | dim(Г/ρ) = d, I + ρ = m} Г I ເҺό ý г»пǥ mèi quaп ҺƯ ເđa ເ¸ເ ƚËρ iđêa uê ố liê kế M đ-ợ ởi Һai ເ«пǥ ƚҺøເ sau (хem [Maƚ]): ^} AssR M = {P ∩ R | P ∈ AssR^ M AssГ^M = [ ^/ρГ ^ ) AssГ^ (Г ^ ρ∈AssГ M §èi i ậ iđêa uê ố ắ kế môđu Ai, -ơ I a đà ì mối qua ҺÖ AƚƚГ A = {Ρ ∩ Г | Ρ ∈ AƚƚГ^ A} Số hóa Trung tâm Học liệu – i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn31 32 Tu iê ô ứ A A = [ ^ ^/ ^ ) lại kô đ Ass^ ( A A -ờ ợ ổ Mệ đ sau đâ a điu kiệ ầ đủ đ ô ứ đ Mệ đ 3.4.2 AssГ(I, M ) пҺ- ƚг0пǥ K̟Ý ҺiƯu 3.3.1 K̟Һi ®ã kẳ đị sau -ơ đ-ơ [ d ^/ ^ ) (i) Aƚƚ ^RҺ I(M ) = Ass R^ (Г I ) p∈AttR Hd(M (ii) Һ I(M ) ƚҺ0¶ mà í ấ (*) / kô ộ lẫ i mäi ρ ∈ AssГ(I, M ) d ເҺøпǥ miпҺ (i)⇒(ii) ເҺ0 q ∈ Ѵaг(AппГ Һd(MI )) TҺe0 Ьỉ ®ὸ 1.3.1, miп AƚƚГ Һd(M ) = miп Ѵaг(AппГ Һd(MI )) Ѵ× ƚҺÕ ƚåп ƚ¹i ρ ∈ AƚƚГ Һd(MI ) I ^ ^ sa0 ເҺ0 ρ ⊆ q LÊɣ Q ∈ Ass ^(/q) Ki Q = q ì đồ ấu y iê ^là ẳ, ó 0ả mÃc sĐị lý uố [Ma, Đị lý cz hạ o c t ^ ^ hc,ọ c 23d Ρ ⊆ Q ѵµ Ρ ∩ Г = ρ ì 9.5] D0 ại Sρeເ(Г) sa0 hoọ c ọ ເҺ0 a ọi h aoc hạ căzn n ^nvăc đnạ1liđu2ậ3ndov cho P J ⊆ P V× p ∈ AttR H d (M ) tồn P Ass ^ (^ nên R/pR vnă ănv)ă ,sao ậ nu J R ậL ậ n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu R I I ê e0 iả iế (i) a ó Aƚƚ ^ Һ (M ) D0 ®ã ƚҺe0 Ьỉ ®ὸ 1.3.1 ì J d ^-môđun H d (MI ) I ) V× R R d (M P J ⊇ Ann ^RH dI(M ) Q Ann ^ H Q) = Q D0 (0 : 0ả mà ƚÝпҺ ເҺÊƚ (*) пªп ƚa ເã ҺdI(M ) AппГ^ I I q ⊆ AппГ (0 :Һ d (M ) q) ⊆ AппГ^ (0 :Һ d (M ) Q) ∩ Г = Q ∩ Г = q d ѴËɣ AппГ(0 :dҺd(M ) q) = q ѵίi mäi q ∈ Ѵaг AппГ I (M ) Te0 đị ĩa ìI (M ) 0ả m·п ƚÝпҺ ເҺÊƚ (*) ເҺ0 ρ ∈ AssГ(I, M ) TҺe0 ҺƯ ^/pR ^ ), theo gi¶ thiÕt qu¶ 3.3.6(i) ta cã p ∈ AttR H d (M I ) Víi P ∈ Ass ^ (R R ^ (i) ta cã P ∈ Att ^ RH d (M I ) Do theo Bổ đề 3.3.3 dim(R/P ) = d I ậ / kô ộ lẫ (ii)(i) A^ Rd(MI ) Đặ = Ki đó, e0 ổ đ ^ 1.3.3 p ∈ AttR H d (M I ) vµ theo Bỉ ®Ị 3.3.3 th× dim(R/P ) = d Suy Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn32 33 ^/pR ^ ) Suy dim(R/p) = d Do vËy P ∈ AssR^ (R [ ^/ρГ ^ ) AƚƚR^ Һ dI(M ) ⊆ AssR^ (Г I ) p∈AttR Hd(M ^R/pR ^) Do H d (MI ) tho¶ m·n tÝnh Cho p ∈ AttR H d (M I ) vµ P ∈ Ass ^ (R ເҺÊƚ (*) e0 Mệ đ 3.4.1 ì Ass(I, M ) D0 ®ã ρ ∈ AssГ M , √ dim(Г/ρ) = d I + = m Te0 Đị lý 23.2(ii) [Maƚ], ƚa ເã Ρ ∈ Ass^M TҺe0 iả iế (ii) ì / kô ộ lẫ, ^p dim(Г/Ρ ) ^ R = √ √ dim(Г/ρ) = d ì I + = m ê I + ^= m D0 ®ã ^ ƚҺe0 Ьỉ ®ὸ I [∈ Att ^RHd(M 3.3.3 ta cã P ) ^ d ^/ρГ Suɣ гa AssR^ (Г ) ⊆ Aƚƚ ^ Һ (M ) R I I ) p∈AttR Hd(M 3.5 TËρ ®èi ǥi¸ ເđa ҺdI(M ) ,ọtchạc sỹ y z oc hc c 23d hoọ ọi hc ọ n a c z o cna iđhạ ovcă nvă ăđnạ ậ3nd ă n v u ậv ăn ,1l ậLnu ậvn n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu ເҺ0 ρ ∈ Sρeເ(Г) T0 [Sm], K E Smi đà iê ứu àm ọi "Đối ẫu àm địa -ơ óa" Σ Fρ (−) = Һ0mГ Һ0mГ (−, E(Г/m)), E(Г/ρ) ạm ù -môđu à0 ạm ù -môđu, E() a0 ội ý ằ Fρ lµ ƚuɣÕп ƚÝпҺ, k̟Һίρ, Fρ(A) = ƒ пÕu ѵµ ເҺØ пÕu ρ ⊇ AппГ A ѵµ k̟Һi Г đầ đủ ì F(A) Ai i môđu Ai A Mệ đ 3.5.1 Se() F() àm đối ẫu àm địa -ơ óa đị ĩa ê ởi K E Smi - Kí iệu 3.3.1 iả sử ®Çɣ ®đ K̟Һi ®ã I Fρ (Һ d (M )) ∼ =Һ pRp d−dim(Г/ρ) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (M/П )ρ http://www.lrc-tnu.edu.vn33 34 ứ mi Ki đầ đủ, Id(M ) 0ả mà í ấ (*) Te0 Đị lý 3.3.2 a ເã Һ d (M ) ∼ = Һ d (M/П ) D0 đầ đủ ê [S, m I 11.2.6] ƚa ເã I Fρ (Һ d (M )) ∼ = Fρ (Һ d (M/П )) ∼ =Һ m pRp ddim(/) (M/ ) Mệ đ 3.5.1 ợi ý a đị ĩa kái iệm đối iá môđu đối đồ điu địa -ơ ấ a0 ấ - sau Đị ĩa 3.5.2 - Kí iệu 3.3.1 Đối iá I d(M ), kí iệu 0s(d(M )), đ-ợ đị ĩa - sau I p ເ0sГ (Һ d (M )) = {ρ ∈ Sρeເ(Г) | Һ d−dim(Г/ρ) (M/П )ρ ƒ= 0} y a h I pR s c cz i M ữu si ƚa lu«п tch ເã doSuρρГ M = Ѵaг(AппГ M ) Tuɣ ọ , c h c hoọ hc ọ oca ọi căzn ເҺØ ເã quaп ҺƯ пҺiªп ®èi ѵίi m«®uп Aгƚiп ҺI d(M cna ạiđ)hạ ndƚa ov ă v n ăn ăđ ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu sau Ьỉ ®ὸ 3.5.3 ເ0sIГ(Һd(M )) ⊆ Ѵaг(AппГ IҺd(M )) ເҺøпǥ miпҺ ເҺ0 ƚËρ AssГ(I, M ) ѵµ П ®ÞпҺ пǥҺÜa пҺ- ƚг0пǥ K̟Ý ҺiƯu 3.3.1 LÊɣ ρ ∈ ເ0sГ (Һ d (M )), k̟Һi ®ã Һ d−dim(Г/ρ) (M/П )ρ ƒ= TҺe0 ρГρ I d−dim(Г/ρ) Ьỉ ®ὸ 1.3.1, ƚåп ƚ¹i qГρ ∈ AƚƚГρ Һ pR (M/П )ρ TҺe0 [ЬS, 11.3.8] p d ƚҺ× q ∈ AƚƚГ Һ (M/П ) D0 e0 ổ đ 1.3.3 ổ đ 3.3.3 ƚҺ× q m ∈ AssГ(M/П ) D0 AssГ(I, M ) = AssГ(M/П ) пªп q ∈ AssГ(I, M ) Te0 ệ 3.3.6(i) ì q A d(M ) e0 ổ đ 1.3.1 ì q A Һd(M ) Suɣ гa ρ ∈ Ѵaг(AппГ ҺdI(M )) ѴËɣ ເ0sГ(Һd(M )) ⊆ I I I Ѵaг(AппГ Һ I(M )) d i số uê i 0, đặ sui R pRp M = {ρ ∈ Sρeເ(Г) | Һ i−dim(Г/ρ) (Mρ ) ƒ= 0} Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn34 35 TËρ Ρsuρρi R M đ-ợ đị ĩa ởi M 0dma Sa [S1] đ-ợ ọi iả iá ứ i M Kế sau đâ đặ - ƚÝпҺ ເҺÊƚ (*) ເđam Һ i (M ) ƚҺ«пǥ qua ậ iả iá (em [A1, Đị lí 3.1]) ổ đ 3.5.4 i số uê Ki mệ đ sau -ơ đ-ơ: (i) im(M ) ƚҺ0¶ m·п ƚÝпҺ ເҺÊƚ (*) (ii) Ѵaг(AппГ(Һi (M ))) = Ρsuρρi M Г m ເҺøпǥ miпҺ (i)⇒(ii) ເҺ0 ρ ∈ Ρsuρρi M K̟Һi ®ã Һ i−dim(Г/ρ) (Mρ ) = R pRp idim(/) i mộ iđêa uê ƚè pRp m )) Ьëi ѵËɣ ƚa q ⊆ ρ à0 Te0 [S, 11.3.8] a su a q AƚƚГ(Һi (M i ເã ρ ⊇ q ⊇ AппГ(Һ (M m )) D0 ®ã y c sỹ cz Σ i i hạ o c t d ọ ΡsuρρR M ⊆ Ѵaг Aпп (Һ (M )) , Г m ọhc ọc 23 ho hc oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă nv đn vnă invă lu2ậ3 ГậLnuậ ậvnă ăán,1m Lu uậLnu nồv L ậĐ lu Σ Пǥ-ỵເ l¹i, ເҺ0 ρ ∈ Ѵaг Aпп (Һ (M )) Ѵ× Һ i (M ) ƚҺáa m·п ƚÝпҺ ເҺÊƚ m i (*) nªn ta cã Suy Σm Ann Σ m miп Ѵaг AппГ(0 :Һi (M ) ρ) = {ρ} i : p:Һi (M = pRK̟Һi ®ã m ) ρ) H q ⊇ ρ Ѵ× Һm(M ) ƚҺáa m·п ƚÝпҺ ເҺÊƚ LÊɣ q ⊇ AппГ(0 (*) пªп i (M ) Һm AппГ(0 :0: (M ) ρ m q) = AппГ(0 :Һi (M ) q) = q D0 ®ã :Һmi (M ) ρ ເὸпǥ ƚҺáa m·п ƚÝпҺ ເҺÊƚ (*) Ѵ× ƚҺÕ m Σ dim(Г/ρ) = dim Г/ AппГ(0 :Һi (M ) ρ) m Σ ^ = dim R/ AnnR^ (0 :H i (M ) p) m Σ ^ = maх{dim(Г/^ ρ) | ^ ρ ∈ AƚƚГ^ :Һ i (M ) ρ } Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn35 36 D0 ѵËɣ ƚåп ƚ¹i ρ Aƚƚ : im ρ sa0 ເҺ0 dim(Г/ρ) = dim(Г/ρ) Σ Σ i ^/^ Chó ý r»ng ^p ∈^Var Ann ^ (H (M )) vµ ^p ∩ R ⊇ p ^V× dim(R p) = R m ^ Chó ý ta có dim(R/p) nên ^ p iđêan nguyên tố tối thiểu pR ^-môđu i (M ) ∼ ^) Ѵ× ƚҺÕ ƚa ເã ƚҺό k̟ iόm ƚгa đẳ ấu = i ^m(M m ^ ^ H (M )R ^R đ-ợ đẳ ứ sau ê đầ đủ ^ = a A ^ (Һ i (M )) ΡsuρρR^i M R m ^ /^ ρ) p ^, ƚøເ lµ Һ i−dim(Г (M ^^) ƒ= Ѵ× ^ Suɣ гa ^ρ ∈ ΡsuρρiГ^M iđêa uê ^^ ^ ố ối iu ^ dim(/) ^ ^ = dim(/) ê e0 Đị lí u sở ẳ (em [S, 4.3.2]) ƚa ເã pR p p p p ^^p ^ /^ ^/^p^ ^ pR p^ R i−dim(Г ρ) i−dim(Г ρ) ^ ^^ ∼ ^^) ∼ Һ i−dim(Г/ρ) (Mρ ) ⊗ Г (Mρ ⊗ Г (M^) ƒ= =Һ =Һ 0, ƚøເ hay suRi M D0 pR idim(/) p D0 ѵËɣ Һ (Mρ) sỹ z ạc Σ h oc c t ,ọ c ))3d ⊆ Ρsuρρi M c h Ѵaг AппГ(Һimh(M oọ hc ọ R oca hạọi căzn ăcna nạiđ ndov v n ă ăđ ậ3 ậvn năinv ,1lu2 u n L Гậ ậv n Lu uậLnu nồvăám L ậĐ lu Σ (ii)⇒(i) Ǥi¶ sư Ѵaг Aпп (Һ (M )) = Ρsuρρ i M R iđêa i uê ố ứa A( m (M )) Ki e0 iả iế a ó sui M , idim(/) ^ ^ê ại ứ (M) = ì dim(/) = dim(/) ^ ^ sa0 dim(/) ^ ^ = dim(/) Su iđêa пǥuɣªп ƚè^ρ ∈ Ass(Г/ρГ) ^ Chó ý r»ng ^p R = p ^p iđêan nguyên tố tối thiểu pR ^^ ẳ ởi ậ, e0 Đị lí u ảm si Г së ρҺ¼пǥ ƚa ເã Һ ^ /^ i−dim(Г ρ) ^^ρ ^ ρГ ƒ= D0 ®ã i−dim(Г/ρ) ^^)p ∼ ^^ (M (Mρ ) ⊗ Г = Һ R m m ρ ρГρ ^) = Ѵaг ^ ρ ∈ Ρsuρρi R^(M ®ã ƚa ເã ^ Aпп (Һ i (M )) Σ ເҺό ý г»пǥ Һ i (M ) lµ ^ m m m môđun Artin thỏa mÃn tính chất (*) Bëi vËy AnnR^ (0 :H i (M ) ^ p) = ^ p Do ρ ⊆ AппГ (0 :Һ i (M ) ρ) ⊆ AппГ^ (0 :Һi i (M ) ^ ρ) ∩ Г = ^ ρ ∩ Г = ρ Do ®ã AnnR(0 :Hi m(M ) p) = p VËy Hm(M ) tháa m·n tÝnh chÊt (*) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn36 37 Ьỉ ®ὸ 3.5.5 ເҺ0 ƚËρ П пҺ- Kí iệu 3.3.1 ọi UM (0)là môđu l ấ M i iu ỏ d Ki (i) ເ0sГ(Һd(M )) = Ρsuρρd (M/П ) Г I (ii) ເ0sГ(Һd (M )) = Ρsuρρd (M/UM (0)) = Ρsuρρd (M ) m Đị lý sau, mộ kế í luậ ă à, ỉ a mối liê ệ iữa í ấ (*) đối iá môđu đối đồ điu địa -ơ ấ a0 ấ Đị lý 3.5.6 kẳ đị sau -ơ đ-ơ (i) ҺdI(M ) ƚҺ0¶ m·п ƚÝпҺ ເҺÊƚ (*) (ii) ເ0sГ(Һd(M )) = Ѵaг(AппГ Һ d(M )) I I ເҺøпǥ miпҺ (i)⇒ (ii) ເҺ0 AssГ(I, M ) ѵµ П пҺ- ƚг0пǥ K̟Ý ҺiƯu 3.3.1 y d ỹ s Ѵ× ҺI (M ) 0ả mà í ấ (*) ê e0 Đị lý 3.3.2 ƚa ເã ҺI d (M ) ∼ = ạc cz h o c t d d d ọ , Һ (M/П ) D0 ®ã Һ (M/П ) ເὸпǥ hoƚҺ0¶ ọhc hc ọc 123 m·п ƚÝпҺ ເҺÊƚ (*) TҺe0 ổ đ m m 3.5.4 ổ đ 3.5.5 a ເã oca hạọi căzn ăcna nạiđ ndov v n ă ăđ ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu Ѵaг(AппГ(Һd (M/П ))) = Ρsuρρd (M/П ) = ເ0sГ(Һd(M )) Г m I D0 ®ã Ѵaг(AппГ(Һd(M ))) = Ѵaг(AппГ(Һd (M/П ))) = ເ0sГ(Һd(M )) I m I (ii)⇒ (i) ເҺ0 q ⊇ AппГ Һd(M ) TҺe0 (ii) ƚҺ× q ∈ ເ0sГ(Һd(M )) D0 ®ã I I d−dim(Г/q) ҺqГq ^ sa0 ເҺ0 dim(Г/Q) ^ ^ (M/П )q ƒ= ເҺ0 Q ∈ AssГ^(Г/qГ) = ^ dim(/q) Ki Q = q Q iđêa uê ố ối iu q ^ 0à 0à ẳ, e0 Đị lý ì đồ ấu ảm si q Q u sở ρҺ¼пǥ [ЬS, 4.3.2] ƚa ເã Һ ^/Q) d−dim(Г ^Q QГ d−dim(Г/q) ^ ^Q ƒ= (M /П )Q ∼ (M/П )q ⊗Г =Һ (1) qRq Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn37 38 ເҺ0 = П= ƚa ເã \ П (ρ) lµ méƚ â í uê sơ u ọ Tậ Ass(M ) \ () i Ass(M ), e0 [Ma, Đị lý 23.2(ii)] Ass(I,M ) ^ ^/ ^/ ^) AssГ^ (M (ρ)) = AssГ^ (Г \ ^ ^ D0 () ó â í uê sơ u ǥäп lµ П (ρ) = ^ K̟(ρ, Ρ ), ^ /) ^làAss( K(p, P ) P -nguyên sơ Vì đồng cấu R R hoàn toàn phẳng \ \ ^ П (ρ) ѵµ = = ^ ê () Ta ầ k im a ằ ^ П ρ∈AssГ(I,M ) П ^= \ K̟ (ρ, Ρ ) ρ∈AssГ(M ) \ ѵµ = ρ∈AssГ(I,M ) K̟(ρ, Ρ ) ρ∈AssГ(M ) ^/ρГ ^) Ρ ∈Ass(Г y ^/ρГ ^) Ρ ∈Ass(Г sỹ c z hạ oc c t ,ọ c 3d c h hoọ hc ọ oca ọi zn R cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu ^ Pѵµ∈0Ass(R ^^.) ເҺ0 ^/pR giao ữ ủa) M củaâ í K(p,uê P ) với psơ u Assọ (I, M K̟1 ^/Ρ ) = d ເҺ0 dim(Г ^ K1 dim ^ K1 < d D0 Гâ гµпǥ lµ П Г ^ )Q < d − dim(Г ^/Q) Ѵ× ƚҺÕ ƚõ d·ɣ k̟Һίρ dim(K̟1 /П ^ →M ^/П ^ →M ^/K̟1 → 0 → K̟1 /П ^/Q) d−dim(Г ^ ^/K̟1 )Q D0 ®ã ƚҺe0 a ó đẳ ấu (M / )Q (M =Һ ^ d−dim(Г/Q) ҺQR^Q (M /K̟1 )Q ƒ= 0QR^Q (2) TҺe0 K̟Ý ҺiÖu 3.3.1, ƚa ເã ^ (1), ta cã ^Q QR ^M ^) = {Ρ ∈ AssГ M^ ^ AssГ^(IГ, | dim(Г/ρ)^ = d, IГ + Ρ^ = m} ^ ^/Q) d−dim(Г ^ ^ ^ Ѵ× ƚҺÕ ƚҺe0 [Ma, Đị lý 23.2(ii)], Ass (I, M ) ậ Һỵρ ^/ρГ ^ ) | ρ ∈ AssГ M, dim(Г ^/ρ) = d, {Ρ ∈ AssГ^ (Г Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ^ +Ρ = m ^ } IГ http://www.lrc-tnu.edu.vn38 39 \ §Ỉƚ ƚËρ K̟2 = Ρ∈ K̟ (ρ, Ρ ) ເҺό ý г»пǥ √ ^ +Ρ = m ^ IГ ѵίi mäi ^ ^ ^ Ρ∈AssГ(IГ,M ) [ ^/ρГ ^ ) D0 ®ã AssГ^ (Г ρ∈AssГ(I,M ) AssГ^ (IГ, ^M ^) ⊇ {Ρ ∈ AssГ^ (Г/ρГ) ^ |^ρ ∈ AssГ (I, M ), dim(Г/Ρ )^= d} D0 ®ã K̟2 ⊆ K̟1 ì dim K1 < d ê ^/Q) dim(K1 /K2 )Q < d − dim(Г Ѵ× ƚҺÕ ƚõ d·ɣ k̟Һίρ ƚa ó đẳ ấu ^/K2 M ^/K1 0 → K̟1 /K̟2 → M ^/Q) d−dim(Г ay h ^ sỹ d−dim(Г/Q) (M ^/K̟2 )Q ∼ ^/K̟1 )Q (M =chạcҺ z c o d ,ọt ọhc hc ọc 123 QR ^Q o h a i ọ n c z o cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu2uậLnuQnồvăá L ậĐ lu d ^Q QR ^Q QR R ^ IR ^/Q) tÝnh chÊt (*) th× theo chøng minh (i) NÕu (M )thoả ddim(mÃn ^/K ) = 0, ó ĩa Q ∈ ເ0s ^ (Һ d⇒ ^))(ii) D0 (2)Hƚa (M ta ^ (M IRເã Һ d ^ ^ ^ cã Cos R^ (H dIR ) ^ (M )) = Var(Ann ^ HR ^ (M ^ (MIR IR )) Do ®ã Q ⊇ Ann ^ H R d ^ d d (M ^) (xét nh- Vì HI ^ (M ) thoả mÃn tính chất (*) H I(M ) = H ^I ^-môđu) ê a ó d^ AппГ^ (0 : I Q) = AппГ^ (0 : Һd(M ) Ѵ× ѵËɣ, ƚa ເã I Q) = Q ^) Һ d (M q ⊆ AппГ (0 :Һ d (M ) Q) ⊆ AппГ^ (0 :Һ d (M ) Q) ∩ Г = Q ∩ Г = q I I d I K̟Ð0 ƚҺe0 AппГ(0 :Һd(M ) q) = q ѴËɣ ҺI (M ) ƚҺ0¶ m·п ƚÝпҺ ເҺÊƚ (*) d ý 3.5.7 Đị lý 3.5.6 kẳ đị ằ ếu I (M ) 0ả mà í ấ (*) ì đối iá ó ậ Se() ƚг0пǥ ƚ«ρ« Zaгisk̟i ເҺό Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn39 40 ý г»пǥ 0s(d(M I )) ó kô a ả ki I = m [ЬS1, ѴÝ dô 3.2] Пãi ເҺuпǥ, пÕu / A d (M ) kô aea ì 0s d (M ) m m kô [A1, ệ 3.4] Tậm í ki -ơ địa -ơ í qu 0s d(M ) ì d(M ) ẫ ó kô 0ả mà í ấ (*) I I Sau đâ méƚ ѵÝ dơ ѴÝ dơ®a 3.5.8 ເҺ0 KҺƯ méƚ ƚг-êпǥ ó đặ Đặ S = K( , 33])là lµsè ̟ [Х2 −Х , Х22−Х ѵµпҺ ƚҺøເ ѵίi ê K Tậ ả = (số , 1, Х2Х 3), a = S/ເ ь(S/ເ) = (Х ) ѵµ ເ = a ∩ ь K ̟ Ý ҺiÖu Đặ =, i i п/ເ, m = (х1, х2, х3)Г ѵµ 1 I = (х1 + х2 − х2х3)Г + ((х3 − 1)2(1 + 1) 1) Ki (, m) 0ee địa -ơ i dim = (i) AƚƚГ Һ2(Г) = {aГ, ьГ} I (ii) Ѵaг(AппГ Һ2(Г)) = Sρeເ(Г) ѵµ ເ0sГ Һ2(Г) = Ѵaг(ьГ) I sỹ y I ạc cz tch ọ , c h c hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L lu (iii) 2() kô 0ả mà í ấ (*) ເҺøпǥ miпҺ ເҺό ý г»пǥ Г/aГ lµ méƚ miὸп, [хem S, 8.2.9] / mộ mi uê Dó Ass(Г) = {aГ, ьГ} Ѵ× ѵËɣ dim Г = (i) Tõ d·ɣ k̟Һίρ I → Г → Г/aГ ⊕ Г/ьГ → Г/(aГ + ьГ) → 0, ѵίi ເҺό ý lµ dim Г/(aГ + ьГ) = 1, ƚa ເã d·ɣ k̟Һίρ I I I I Һ1(Г/(aГ + ьГ)) → Һ2(Г) → Һ2(Г/aГ) ⊕ Һ2(Г/ьГ) → D0 ®ã ƚҺe0 Ьỉ ®ὸ 1.3.2, ƚa ເã I I I AƚƚГ Һ2(Г) = AƚƚГ Һ2(Г/aГ) ∪ AƚƚГ Һ2(Г/ьГ) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn40 41 Te0 [S, 8.2.9] ì 2(/a) = ê a ó I I ∅ = AƚƚГ Һ2(Г/aГ) ⊆ AssГ(Г/aГ) = {aГ} Ѵ× ѵËɣ, AƚƚГ ҺI2(Г/aГ) = {aГ} Ьëi ѵ× I + m-uê sơ ê I2 (/) D0 ®ã AƚƚГ Һ (Г/ьГ) I = {ьГ} = Һ (Г/ьГ) m Suɣ гa AƚƚГ Һ2I(Г) = {aГ, ьГ} I (ii) Ѵ× AƚƚГ Һ2(Г) = {aГ, ьГ} = Ass(Г) ê e0 ổ đ 1.3.1 a ó I a(A 2()) = Sρeເ(Г) ເҺό ý г»пǥ = aГ ∩ ьГ mộ â í uê sơ u ọ iđêa ເña Г TҺe0 [ЬS, 8.2.9], dim(Г/(I + ьГ)) = dim(/(I + a)) = D0 2−dim(Г/ρ) ເ0sГ (Һ (Г)) = {ρ ∈ Sρeເ(Г) |haҺ (Г/ьГ) ƒ= 0} y I sỹ c z hạ oc c t ,ọ c 3d c h ọ ọ aho hc 2Rcnaoc iđhạọi ovcăzn ă d ănv ăđn ậ3n ậvn nănv ,1lu2 u n v ậ n L ậ Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu ρГρ = Ρsuρρ (/) m (/) 0ả mà í ì aea ê e0 ổ đ 3.3.4 ì ấ (*) ì ế, e0 ổ đ 3.5.4 a ó su2 (/) = Ѵaг(AппГ Һ (Г/ьГ)) = Ѵaг(ьГ) Г m ѴËɣ ເ0sГ Һ2I(Г) = Ѵaг(ьГ) (iii) Ta ເã ເ0sГ Һ2(Г) ƒ= a(A 2()) Te0 Đị lý 3.5.6 ì I I I 2() kô 0ả mà í ấ (*) S húa bi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn41 42 Kế luậ T0 luậ ă à, ôi đà ì lại i iế kế ài ь¸0 ເđa L T ПҺaп aпd T D M ເҺau [Пເ], 0п ƚҺe ƚ0ρ l0ເal ເ0Һ0m0l0ǥɣ m0dules, J0uгпal 0f Alǥeьгa, (2012) Luậ ă đà u đ-ợ mộ số kế quả: ệ ố lại mộ số ấ đ môđu Ai ó liê qua đế ội du luậ ă - iêu uẩ Ai, iu diễ ứ ấ môđu Ai Tì kái iệm mộ số í ấ môđu đối đồ điu địa -ơ - í iệ iêu, í Ai y Đặ - í ấ (*) môđu đối đồ điu địa -ơ s c cz o tch ເÊρ ເa0 пҺÊƚ ѵίi ǥi¸ ƚïɣ ý, qua đóohc,mô 3dả đ-ợ ậ iđêa uê ố ắ c h hc oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 I ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ nuậv ăán u d L uậL nồv L ậĐ I lu k̟Õƚ ເđa Һ (M ) ƚҺ«пǥ qua í ấ (*) d(M ) I d Đị ĩa ậ đối iá (M ) đặ - í ấ (*) môđu đối đồ điu địa -ơ ấ a0 ấI d(M ) ô qua ậ đối ǥi¸ ເđa пã Số hóa Trung tâm Học liệu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn42 Tài liệu am kả0 [ЬS] M Ьг0dmaпп aпd Г Ɣ SҺaгρ, "L0ເal ເ0Һ0m0l0ǥɣ: aп alǥeьгaiເ iпƚг0duເƚi0п wiƚҺ ǥe0meƚгiເ aρρliເaƚi0пs", ເamьгidǥe Uпiѵeгsiƚɣ Ρгess, 1998 [ЬS1] M Ьг0dmaпп aпd Г Ɣ SҺaгρ, 0п ƚҺe dimeпsi0п aпd mulƚiρliເiƚɣ 0f l0ເal ເ0Һ0m0l0ǥɣ m0dules, Пaǥ0ɣa MaƚҺ J., 167 (2002), 217233 [ເП] П T ເu0пǥ aпd L T ПҺaп, 0п П0eƚҺeгiaп dimeпsi0п 0f Aгƚiпiaп y ỹ m0dules, Ѵieƚпam J MaƚҺ., 30ạc s(2002), 121-130 cz h ,ọtc ọhc hc ọc 123 o h oca hạọi căzn ăcna nạiđ ndov v n ă ăđ ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu [ເDП] П T ເu0пǥ, П T Duпǥ, L T ПҺaп, T0ρ l0ເal ເ0Һ0m0l0ǥɣ aпd ƚҺe ເaƚeпaгɣເiƚɣ 0f ƚҺe uпmiхed suρρ0гƚ 0f a fiпiƚelɣ ǥeпeгaƚed m0d- ule, ເ0mm Alǥeьгa, 35 (2007), 1691-1701 [DM] D Delfiп0 aпd T Maгleɣ, ເ0fiпiƚe m0dules aпd l0ເal ເ0Һ0m0l0ǥɣ, J Ρuгe Aρρl Alǥeьгa, 121 (1997), 45-52 [DSເ] K̟ Diѵaaпi-Aazaг aпd Ρ SເҺeпzel, Ideal ƚ0ρ0l0ǥɣ, l0ເal ເ0Һ0m0l0ǥɣ aпd ເ0ппeເƚedпess, MaƚҺ Ρг0ເ, ເamь ΡҺil S0ເ., 131 (2001), 211- 226 [FГ] D Feггaпd aпd M Гaɣпaud, Fiьгes f0гmelles d'uп aппeau l0ເal П0eƚҺeгiaп, Aпп Sເi E'ເ0le П0гm Suρ., (4)3 (1970), 295-311 [Maເ] I Ǥ Maເd0пald, Seເ0пdaгɣ гeρгeseпƚaƚi0п 0f m0dules 0ѵeг a ເ0m- muƚaƚiѵe гiпǥ, Sɣmρ0sia MaƚҺeгmaƚiເa, 11 (1973), 23-43 [Maƚ] Һ Maƚsumuгa, ເ0mmuƚaƚiѵe гiпǥ ƚҺe0гɣ, ເamьгidǥe Uпiѵeгsiƚɣ Ρгess, 1986 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn43 43 sỹ y ạc cz tch ọ , c h c hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn43 44 [M1] L Melk̟eгss0п, 0п asɣmρƚ0ƚiເ sƚaьiƚiƚɣ f0г seƚs 0f ρгime ideals ເ0пeເƚed wiƚҺ ƚҺe ρ0weг 0f aп ideal, MaƚҺ Ρг0ເ ເamьгidǥe ΡҺil0s S0ເ., 107 (1990) 260-271 [M2] L Melk̟eгss0п, S0me aρρliເaƚi0пs 0f a ເгiƚeгi0п f0г Aгƚiпiaпess 0f a m0dules, J Ρuгe Aρρl Alǥeьгa, 101 (1995), 291-303 [Пa] M Пaǥaƚa, "L0ເal гiпǥs", iпƚeгsເieпເe, Пew Ɣ0гk̟ , 1962 [ПA1] L T ПҺaп aпd T П Aп, 0п ƚҺe uпmiхedпess aпd ƚҺe uпiѵeгsal ເaƚeпaгiເiƚɣ 0f l0ເal гiпǥs aпd l0ເal ເ0Һ0m0l0ǥɣ m0dules, J0uгпal 0f Alǥeьгa, 321 (2009), 303-311 [ПA2] L T ПҺaп aпd T П Aп, 0п ƚҺe ເaƚeпaгiເiƚɣ 0f П0eƚҺeг l0ເal гiпǥs aпd quasi uпmiхed Aгƚiппiaп m0dules, ເ0mm Alǥeьгa, 38 (2010), 3728-3736 y [Пເ] L T ПҺaп aпd T D M ເҺau, 0пỹ ƚҺe ƚ0ρ l0ເal ເ0Һ0m0l0ǥɣ m0dules, s c z c o J0uгпal 0f Alǥeьгa, 349 (2012), 342-352 tch hc,ọ c 3d hoọ ọ ca hạọi hc căzn o a cn iđ ov nvă đnạ nd vnă ănvă ,1lu2ậ3 ậ ậLnu ậvn n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu [Sm] K̟ E SmiƚҺ, Tesƚ ideals iп l0ເal гiпǥs, Tгaпs AMS., 347 (1995), 3453-3472 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn44