Thông tin tài liệu
1Trần Văn Hải - Về tính Catenary vành Noether địa phương môdun Artin tựa không trộn lẫn Môເ lụ Lời ói đầu K̟iÕп ƚҺøເ ເҺuÈп ьÞ 1.1 Ьiόu diÔп ƚҺø ເÊρ 1.2 Méƚ sè ƚÝпҺ ເҺÊƚ ເ¬ së ѵὸ ƚÝпҺ ເaƚeпaгɣ 10 1.3 Mộ số uẩ ị môđu đốiy đồ điu địa -ơ 13 s c z hạ oc ,ọtc c 3d c h hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu ເҺiὸu môđu Ai mộ í ấ li 0á 17 2.1 Tậ iđêa uê ố ắ kế môđu Ai 17 2.2 iu 0ee môđu Ai 19 2.3 Méƚ ƚÝпҺ ấ li 0á môđu Ai 22 Tí aea môđu Ai a kô ộ lẫ 27 3.1 Môđu Ai a kô ộ lẫ 28 3.2 TÝпҺ ເaƚeпaгɣ ѵµ môđu Ai a kô ộ lẫ 32 3.3 Môđu đối đồ điu địa -ơ a kô ộ lẫ 36 Tài liệu am kả0 40 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2Trần Văn Hải - Về tính Catenary vành Noether địa phương môdun Artin tựa không trộn lẫn Lời ói đầu T0 0à ộ luậ ă a luô iả iế (, m) ia0 0á 0ee, địa -ơ, M -môđu ữu si, A môđu Ai Ta luô ó A(M/M ) = i iđêa uê ố ứa A M ì ế 0à 0à iê, uễ T -ờ Lê Ta [] đà é í ấ đối ẫu i í ấ ê môđu Ai - sau: A(0 :A ) = i iđêa uê ố A A ( ) Ki đầ đủ e0 ôô m-adi, í ấ (*) luô đ ay môđu Ai A ì môđu đối ẫu hMalis D(A) A ữu si s c z h oc c t ,ọ c 3d c h hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu Méƚ ເ¸ເҺ ƚỉпǥ quá, ếu đầ đủ ì ằ iệ dù Đối ẫu Malis, iệ iê ứu mối qua ệ iữa ạm ù -môđu Ai ạm ù - môđu 0ee ấ uậ lợi Tu iê, ki kô đầ đủ, -ời a qua âm é í ấ (*) ì ó iu ô i sở môđu Ai môđu ữu si ê ụ , ăm 2002, uễ T -ờ Lê Ta [] đà ii iệu í ấ (*) ằm ả lời âu ỏi ki à0 ì iu П0eƚҺeг П-dim A ѵµ ເҺiὸu dim Г/ AппГ A lµ ằ au ăm 2007, [D], uễ T -ờ, Lê Ta à, uễ Tị Du đà é í ấ (*) môđu đối đồ điu địa -ơ ấ a0 ấ m d (M ) ỉ a ằ môđu ƚҺáa m·п ƚÝпҺ ເҺÊƚ (*) k̟Һi ѵµ ເҺØ k̟Һi ѵµпҺ / A ( d (M )) aea ăm m 2009, Lê Ta à Tầ uê A [A1] đà iê ứu í ấ (*) môđu đối đồ điu địa -ơ ậ ấ ơ, ọ ứ ỏ ằ ếu aea ổ dụ ấ ả ì ứ ó 0eS húa bi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3Trần Văn Hải - Về tính Catenary vành Noether địa phương mơdun Artin tựa khơng trộn lẫn Maເaulaɣ ƚҺ× Һmi (M ) ƚҺ0¶ m·п (*) ѵίi mäi i ≥ Пǥ0µi гa Һä ເὸпǥ ເҺØ гa г»пǥ пÕumҺ i (M ) ƚҺáa m·п ƚÝпҺ ເҺÊƚ (*) ѵίi mäi i < d ì s y c cz tch ọ , c h c hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4Trần Văn Hải - Về tính Catenary vành Noether địa phương môdun Artin tựa không trộn lẫn Г/ AппГ M lµ ເaƚeпaгɣ ρҺỉ dơпǥ ѵµ ѵµпҺ Г/ρ kô ộ lẫ i ^ ^= dim(/) i mäi ρ ∈ Ass(Г/ρГ)^ ρ ∈ Ass M, ƚøເ lµ dim / ^ Đặ iệ, ăm 2010, Lê Ta à Tầ uê A [A2] đà ii iệu kái iệm môđu Ai a kô ộ lẫ: Môđu ^ ^ ^ ^ Ai A đ-ợ ọi a kô ộ lÉп пÕu dim(Г/ρ) = dim(Г/ AппГ A) ѵίi mäi ρ^ ∈ miпAƚƚГ A.^ Sau ®ã Һä ®· хÐƚ ƚÝпҺ ເҺÊƚ (*) l môđu mối qua ệ i í aea sở iu môđu Kế í ứ ấ ài á0 đị lí sau Đị lí iả sử A a kô ộ lẫ ếu A 0ả mà í ấ (*) ^ A ^A) ì / A A aea dim(/ A A) = dim(/ ấ iê, -ời a ỏi ằ liệu iu -ợ lại đị lí ê y s c z h oc ,ọtc c 3d c h hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 m u n L ậ ậv n Lu uLnu nvỏ L lu đ Đị lí iế e0 kế í ứ ài á0 à, a mộ âu ả lời kẳ đị ki A = i (M ) Đị lí iả sử mi (M ) a kô ộ lẫ Ki mi (M ) ƚҺ0¶ m·п Σ Σ ^/ Aпп ^ Һ i (M )) (*) пÕu ѵµ ເҺØ пÕu dim Г/ AппГ (Һ i (M )) = dim Г R m m vµ vµnh R/ AnnR(Hi (M m )) catenary Mụ đí luậ ă ì lại i iế kế ê ài á0 [ПA2]: L T ПҺaп aпd T П Aп, 0п ƚҺe ເaƚeпaгiເiƚɣ 0f П0eƚҺe- гiaп l0ເal гiпǥs aпd quasi uпmiхed Aгƚiпiaп m0dules, 0mmuiai0s i Alea, 38, (10), 2010 Luậ ă ồm -ơ -ơ I kiế ứ sở ụ ụ -ơ sau -ơ II ì kiế ứ iu í ấ (*) môđu Ai -ơ III ội du í, ứ mi kế í ấ (*) môđu Ai a kô ƚгéп lÉп ƚг0пǥ mèi quaп ҺƯ ѵίi ƚÝпҺ ເaƚeпaгɣ ເđa sở đẳ ứ iu môđu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5Trần Văn Hải - Về tính Catenary vành Noether địa phương môdun Artin tựa không trn ln Lời ảm Luậ ă đ-ợ ì d-i s - dẫ ậ ì iêm kắ S.TS Lê Tị Ta â dị ôi i â à ỏ lò iế sâu sắ i ô ia đì i đ-ợ ỏ lò iế sâu sắ i ầ ô iệ T0á ọ ội, K0a T0á K0a Sau Đại ọ -ờ Đại ọ S- ạm - Đại ọ Tái uê đà ậ ì iả i đ ôi suố ì ọ ậ ại -ờ s y ạc cz tch ọ , c h c hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 6Trần Văn Hải - Về tính Catenary vành Noether địa phương môdun Artin tựa khụng trn ln -ơ Kiế ứ uẩ ị T0 suố -ơ luô iả iế mộ ia0 0á 0ee L -môđu Mụ đí -ơ I ắ lại mộ số kiế ứ sở ụ ụ ay h -ơ sau Tiế 1.1 ì lí uế iu diễ ứ ấ sỹ c z hạ oc ,ọtc c 3d c h hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu môđu Ai ii iệu ởi I Mad0ald 1973 [Ma] Tiế 1.2 ắ lại mộ số kái iệm í ấ sở aea [Ma] Tiế uối 1.3 ắ lại mộ số kái iệm í ấ ầ iế môđu đối đồ điu địa -ơ [S] 1.1 iu diễ ứ ấ Kiế ứ iế đ-ợ am kả0 ài á0 [Ma] I Mad0ald 1.1.1 Đị ĩa L mộ -môđu i) ếu ại mộ số iê đ L = ì a ói é â ởi ê L luỹ li ếu L = L ì a ói é â ởi ê L 0à ấu ii) Ta ói L môđu ứ ấ ếu é â ởi ê L 0à ເÊu Һ0Ỉເ lὸɣ liпҺ ѵίi mäi х ∈ Г Tг0пǥ -ờ ợ à, ậ ợ ầ S húa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 7Trần Văn Hải - Về tính Catenary vành Noether địa phương môdun Artin tựa không trộn lẫn sỹ y ạc cz tch ọ , c h c hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 8Trần Văn Hải - Về tính Catenary vành Noether địa phương môdun Artin tựa không trộn lẫn х ∈ Г sa0 é â ởi ê L l li làm mộ iđea uê ố a ǥäi L lµ ρ-ƚҺø ເÊρ iii) Méƚ ьiόu diƠп L = L1 + + Lп, ƚг0пǥ ®ã Li i-ứ ấ, đ-ợ ọi mộ iu diƠп ƚҺø ເÊρ ເđa L Ьiόu diƠп ƚҺø ເÊρ пµɣ đ-ợ ọi ối iu ếu i đôi mộ ká au Li kô ừa (ứ lµ L L1 + + Li−1 + Li+1 + + Lп ѵίi mäi i) iv) ПÕu L ເã ьiόu diÔп ƚҺø ເÊρ ƚèi ƚҺiόu ì a ói L iu diễ đ-ợ ầ iế e0 iế ỉ a ằ iu diễ ƚҺø ເÊρ ®ὸu ເã ƚҺό quɣ ѵὸ ƚèi ƚҺiόu Tг-ίເ ế a ầ ổ đ sau 1.1.2 ổ đ L -môđu i) Tổ iế ữu môđu -ứ ấ -ứ ấ ii) Môđu -ơ ká mộ môđu - ứ ấ -ứ ấ y ỹ s iii) ПÕu L , , L môđu ấ L ì L1 + + Lг lµ c ρ-ƚҺø cz môđu 1-ứ ấ L h ,tc hc c 23 hoọ c ọ ເҺøпǥ miпҺ ьëi (i) iả sửLL1,1, nv cna.,ocna,iLhindLhovczn là l -ứ ấ.D0 .ạiKiđó é â ê li П đ 2ậ3 sa0 ă ă n v u v ăn ,1l ậ п ậLnu ậvn ăán ເҺ0 хƚLi = ѵίi mäi i Ѵ× хƚ(⊕i=1 Li) = 0, ƚøເ ρҺÐρ пҺ©п ьëi х v Lu uậLnuƚҺÕ nồ L ậĐ lu l li / Ki хLi = Li ѵίi mäi i Suɣ гa ⊕пi=1 Li, ứ é â ởi ê i=1 Li 0à ເÊu ѴËɣ x( L ⊕ ⊕п i=1п Li lµ ρ-ƚҺø ເÊρ (ii) ເҺ0 L lµ ρ-ƚҺø ເÊρ ѵµ Ь lµ môđu L sa0 L/ Ta ầ ເҺøпǥ miпҺ L/Ь lµ ρ-ƚҺø ເÊρ ເҺ0 х ∈ ρ Ki ại ê i=1 Li i=1п Li) = sa0 ເҺ0 хƚL = Suɣ гa хƚ(L/Ь) = (хƚL + Ь)/Ь = Ѵ× ƚҺÕ é â ởi ê L/ l li х ∈/ ρ K̟Һi ®ã хL = L Suɣ гa х(L/Ь) = (хL + Ь)/Ь = (L + Ь)/Ь = L/ ì ế é â ởi ê L/ ƚ0µп ເÊu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 9Trần Văn Hải - Về tính Catenary vành Noether địa phương mơdun Artin ta khụng trn ln é : (iii) Đặ = L1 + + Lг Һiόп пҺiªп Ь г ⊕i=1 Li −→ Ь ເҺ0 ьëi ϕ(х1, , хг) −→ х1 + + хг DƠ ƚҺÊɣ ϕ lµ 0à L ấu Su a môđu -ơ i=1 Li Te0 (i) e0 iả iế, L Li lµ ρ-ƚҺø ເÊρ TҺe0 (ii) ƚa suɣ гa Ь lµ -ứ ấ i=1 1.1.3 Mệ đ Mỗi iu diễ ƚҺø ເÊρ ®ὸu ເã ƚҺό quɣ ѵὸ ƚèi ƚҺiόu ເҺøпǥ miпҺ Ǥi¶ sư L = L1 + + L mộ iu diễ ứ ấ -môđu L ếu ại i j sa0 Li Lj đu -ứ ấ ì e0 ổ đ 1.1.2, Li + Lj -ứ ấ ì ế, ằ l0ại ầ ứ ấ ừa é lại ữ ầ ứ ấ ứ i ù mộ iđêa uê ố, a ó ọ iu diƠп ƚҺø ເÊρ пµɣ ƚҺµпҺ méƚ ьiόu diƠп ƚҺø ເÊρ ối iu ầ iế e0 ì 02 đị lí duɣ пҺÊƚ ѵὸ ьiόu diÔп ƚҺø ເÊρ, ƚõ ay h sỹ c z h oc ,ọtc c 3d c h hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n п Lu uậLnu nồvăá L i i lu dẫ đế kái iệm ậ iđêa uê ố ắ kế môđu iu diễ đ-ợ 1.1.4 ổ đ iả sử L = L + + L lµ méƚ ьiόu diƠп ƚҺø ấ ối iu Ki-môđu L, L -ứ ấ iđêa uê ố i) {1, , } á iu sau -ơ đ-ơ: ii) L ó môđu -ơ -ứ ấ iii) L ó môđu -ơ Q sa0 ເҺ0 AппГ(Q) = ρ ເҺøпǥ miпҺ (i⇒ii) Ǥi¶ sư = i Đặ i = j i Lj ì Li kô ừa ữa, iu diÔп ƚҺø ເÊρ L = L1 + + Lп пªп L/Ρi = ƒ L/Ρi = (Li + Ρi )/Ρi ∼ = Li/(Li ∩ Ρi) Ѵ× ƚҺÕ L/Ρi môđu -ơ ká Li ì Li i-ứ ấ ê e0 ổ đ 1.1.2, L/i môđu ƚҺ-¬пǥ ρi-ƚҺø ເÊρ ເđa L Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 10Trần Văn Hải - Về tính Catenary vành Noether địa phương mơdun Artin tựa khơng trộn lẫn пªп ρ ữuiả ạsửsi iả sử -ơ = (a1, .-ứ , a) ìủa -ứ ấ ê i (ii iii) môđu ấ L ì 0ee i = 1, , ƚ, ƚåп ƚ¹i п i sa0 ເҺ0 aпi Ρ = ເҺäп п = maх{п1, , п ƚ} ̟ K̟Һi ®ã ρk Ρ = ѵίi mäi k D0 -ứ ấ ê = Ta kẳ đị = Tậ ậ, пÕu Ρ = ρΡ ƚҺ× ѵίi k̟ ≥ пƚ ƚa ເã = ρk̟Ρ = ρk̟−1(ρΡ ) = ρk̟−1Ρ = = = , điu mâu uẫ ì ế Q = / môđu -ơ ká L D0 -ứ ấ ê Q -ứ ấ D0 A Q Гâ гµпǥ ρ ⊆ AппГ Q Suɣ гa AппГ Q = (iiii) iả sử Q = L/ môđu ƚҺ-¬пǥ ເđa L sa0 ເҺ0 AппГ(Q) = ρ Ta ເã п п Σ Q = L/Ь = ( Li)/Ь = i=1 (Li + )/ i=1 i i a ເã (Li + Ь)/Ь ∼ = Li/(Li ∩ Ь) D0 ®ã, ƚҺe0 Ьỉ ®ὸ 1.1.2(ii), пÕu (Li + Ь)/Ь 0ƚҺ× ó i-ứ ấ ằ iệ ỏ ρҺÇп Σп sỹ y ƚҺõa ƚг0пǥ ьiόu diƠп Q = i=1 (Li +h)/ c z a đ-ợ mộ iu diÔп ƚèi ƚҺiόu oc tc d ọ , hc ọc 23 Q D0 ằ iệ đá lại ho ƚҺø hc ƚὺ ເ¸ເ ເҺØ sè ƚa ເã ƚҺό ǥi¶ ƚҺiÕƚ Q ເã oca hạọi căzn cna iđ ov nvă ăđnạ ậ3nd ă n ậv ănv ,1lu2 ậLnu nuậvn ăán u L uậL nồv L ậĐ lu méƚ ьiόu diÔп ƚҺø ເÊρ ƚèi ƚҺiόu Q = Σm i=1 Qi, Qi i-ứ ấ i i = 1, , m ,ѵίi m пªп dƠ ̟ iόm a đ-ợ A Q = m ì ế, ii = 1, iả mộ sốak iê m à0 D0 Qi i-ứ ເÊρ ƚҺe0 ƚҺiÕƚ (iii) ເã ρ = ρ ∩ m D0 ại i {1, , m} sa0 ເҺ0 ρ = i Đị lí sau đâ ệ iế ổ đ 1.1.4 1.1.5 ĐịJ lý (Đị lí duɣ пҺÊƚ ƚҺø пҺÊƚ) Ǥi¶ sư L = L + + Lп ѵµ L = L + + LJm lµ Һai ьiόuJ diƠп ứ ấ ối iu -môđu L, Li lµ ρi-ƚҺø ເÊρ ѵµ L i lµ qi-ƚҺø ເÊρ Ki m = {1, , ρп} = {q1, , qп} Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 33Trần Văn Hải - Về tính Catenary vành Noether địa phương môdun Artin tựa không trộn ln 28 3.1 Môđu Ai a kô ộ lẫ T- ki đị ĩa kái iệm môđu Ai a kô ộ lẫ, a ắ lại kái iệm môđu 0ee a kô ƚгéп lÉп ƚҺe0 ƚҺƚ пǥ÷ ເđa M Пaǥaƚa [Пa] Méƚ -môđu ữu si M đ-ợ ọi đẳ iu пÕu dim(Г/ρ) = dim M ѵίi mäi ρ ∈ miп Ass M Môđu M ^ ộ lẫ ếu M đẳ^iu đ-ợ ọi a kô ếu ^ dim(/) = ^ ^ ^ mäi ρ ∈ Ass M ƚҺ× M đ-ợ ọi kô ộ lẫ dim M i Te0 su ĩ đối ẫu, a đị ĩa kái iệm đẳ iu, a kô ộ lẫ, kô ộ lẫ môđu Ai - sau 3.1.1 Đị ĩa ếu dim(/) = dim(/ A A) i iđêa uê ố ắ kế miA A ì a ói A đẳ iu Môđu ^-môđu A đẳ iu, Ai A đ-ợ ọi a kô ộ lẫ ếu y sỹ c z hạ oc Г ,ọtc c 3d c h ^ hoọ hc ọ oca hạọi căzn ^ cna ạiđГ ov ă nv đn nd vnă ănvă ,1lu2ậ3 ậ ậLnu ậvn n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu ^ ^= dim(Г/ Aпп ^ A) ѵίi mäi ρ ∈ miп^ ƚøເ lµ dim(Г/ρ) ^ AƚƚГ A ПÕu dim(Г/ρ) ^ ^AппГ A) ѵίi ^ mäi ρ ∈ Aƚƚ A ì^a ói A kô ộ lẫ = dim(/ ^ ó mộ l môđu Ai kô ộ lẫ ấ qua ọ, ữ môđu đối đồ điu địa -ơ ấ a0 ấ i iá m đại d (M ), M -môđu ữu si iu d Điu đ-ợ su a ^-môđu d (M ) ^) Đị lí 1.3.8 đẳ ấu (M = d ^mR m ^ | dim(Г ^/^ Aƚƚ Һ d (M ) = {^ ρ ∈ Ass R ρ) = d} ^M R ^m Chú ý với iđêan I tuỳ ý ta có HdI(M ) R-môđun Artin (Định lí 1.3.7) ѵµ ^ | dim(Г ^/^ Aƚƚ ^ Һ d (M ) ⊆ {^ ρ ∈ Ass ^ M ρ) = d} R I R Vì Hd(M ) môđun Artin không trộn lẫn I S húa bi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 34Trần Văn Hải - Về tính Catenary vành Noether địa phương mơdun Artin tựa khơng trộn lẫn 29 ρҺÇп ҺƯ ƚҺam sè (х1, , хг) ເđa M , môđu M/(1, , )M làTa iế ằ ếu môđu 0ee M a kô ộ lẫ ì i a kô ộ lẫ Sau đâ a ỉ a ằ điu -ơ đ môđu Ai a kô ộ lẫ, đâ lµ méƚ ƚÝпҺ ເҺÊƚ гÊƚ quaп ƚгäпǥ ρҺơເ ѵơ ເҺøпǥ mi kế í iế sau 3.1.2 Mệ đ ếu A a kô ộệ lẫ ì số :ເña A (х1, , хг)Г ເὸпǥ ƚὺa kô i ầ am (1, , хг) ເđa A.lµເҺøпǥ miпҺ.ƚгéп ເҺ0lÉп П-dim Г A = s ѵµ (х1, , х г) lµ méƚ ầ ệ am số A Te0 ổ đ 2.3.4 ƚa ເã dim(Г/ AппГ^ A) = s ѵµ ^ ^ dim(Г/ AппГ(0 :A (х1, , хг)Г)) = П-dim(0 :A (х1, , хг)Г) ^ = s − г LÊɣ ρ ∈ miп AƚƚГ^ (0 :A (х1 , , хг )Г) K̟Һi ®ã, ƚҺe0 Ьỉ ®ὸ 2.3.4 ƚa ^/^ suɣ гa dim(Г ρ) ≤ s − г ເҺό ý г»пǥ ^ ρ ⊇ AппГ^ A D0 ®ã ρ^1 ⊆ ^ ρ, ѵίi mi A A^ à0 Mặ ká d0 A a kô ộ lẫ ê ^ ^ ^ ^ ^ay ^ ^ h + (х , , хг)Г) пªп Һƚ(ρ/ρ ) ≤ dim(Г/ρ1) = s L¹i ເã ρ ∈ miп Ѵaг(ρ 1 sỹ г (ƚҺe0 [Maƚ, TҺe0гem 18]) D0 ®ã ƚacz ເã ạc h ,ọtc ọhc hc ọc 123 o h oca hạọi căzn ăcna nạiđ ndov v n ă ăđ ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu ^ ^ ^ ^ dim(Г/ρ) = s − Һƚ(ρ/ρ1) ≥ s − г ^ ^ = s − г Ѵ× ƚҺÕ dim(Г/ρ) ເҺό ý г»пǥ ếu môđu 0ee M a kô ộ lẫ ì M đẳ iu Tậ ậ, iả sử dim M = d mi Ass M ì Ass M = {ρ^∩ Г | ρ^∈ Ass M^} ^ ເҺ0 ê ại ^ Ass M^sa0 ^ = ρ Ǥäi q ∈^miп Ass M sa0 ^ q ⊆^ Đặ q = ^ q Ki q ∈ Ass M ѵµ q ⊆ ρ D0 ρ iu ê S húa bi Trung tõm Hc liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 35Trần Văn Hải - Về tính Catenary vành Noether địa phương môdun Artin tựa không trộn lẫn 30 q = ρ Ѵ× ƚҺÕ ρ = ^q ∩ Г ѵίi q ∈ mi Ass M ^ D0 M a kô ƚгéп lÉп ^ пªп d ≥ dim(Г/ρ) ≥ dim(Г/q) = d ^ ^= dim M ^ Ѵ× ƚҺÕ dim(Г/ρ) = d D0 M đẳ iu Tu iê, đối i môđu Ai a kô ộ lẫ ì điu -ơ kô đ, ứ ó ữ môđu Ai a kô ộ lẫ kô đẳ iu Sau đâ mộ í dụ 3.1.3 í dụ Tồ ại môđu Ai A a kô ộ lẫ - kô đẳ iu ứ mi mi uê 0ee địa -ơ ó số iu ^ mi đ-ợ â d ởi 0dma 0aus [] sa0 nguyên có iđêan nguyên tố p Spec R để R/p không trộn y ^/ ^ ) i ^/^ ^ s lẫ Ki ại ^ρ ∈ Ass(Г dim(Г ρ) < dim(Г/ρ) Ѵ× Г c cz hạ o c t d hc,ọ ọc lµ mi uê ê a su a aho= 23 ρ ƒ= m D0 ®ã dim(Г/ρ) = ѵ hc oc hạọi căzn ăcna nạiđ ndov v n ă ăđ ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu dim(Г/ρ) ^ ^ = LÊɣ ƒ= х ∈ ρ ѵµ ເҺäп ɣ, z ∈ m sa0 ເҺ0 (х, ɣ, z) lµ méƚ ҺƯ ƚҺam sè ເđa Г ເҺäп q ∈ Ass(Г/(ɣ, z)) sa0 dim(/q) = Đặ A = ⊕ ເ , ƚг0пǥ ®ã Ь = Һ (Г/ρ) = (/q)m Ki A m -môđu Ai Te0 [S, 11.3.9],^ A^ D0 ậ A d0 a ເã miп AƚƚГ Ь = {ρ} TҺe0 [ЬS.7.3.2] ƚa ເã A = {q} ì dim(/q) = dim(/) = ê a ó q  Ta ứ miпҺ ρ ¢ q TҺËƚ ѵËɣ, пÕu ρ ⊆ q ì dim(/q) dim(/(, , z)) = 0, điu ô lí D0 miA A = {, q} ì ế A kô đẳ m mR ^-môđun H (R/p) c H (R ^/pR ^)R chiỊu.m Chó ý mR có đẳng cấu R ^ D0 A ô ^/qR ^ )ộ ^/^ Hậ (R/p) c ƚὺa H k^̟ (R Do lÉп ®ã dim(R q) ≤ víi mäi ^ q ∈ Att ^ A Đị lí sau đâ k ế í iế à, đ-a a mộ iêu uẩ mộ môđu Ai a kô ộ lẫ đẳ iu Kế S húa bi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 36Trần Văn Hải - Về tính Catenary vành Noether địa phương mơdun Artin tựa khơng trộn lẫn 31 ƚгß qua ọ iệ ứ mi kế í luậ ă iế sau 3.1.4 Đị lý Ǥi¶ sư dim(Г/ AппГ A) = П-dimГ A ПÕu A a kô ộ lẫ ì A đẳ iu i iđêa I a ó dim(/ AппГ(0 :A I)) = П-dimГ(0 :A I) ເҺøпǥ miпҺ Ǥi¶ sö г»пǥ dim(Г/ AппГ A) = П-dim A = s K̟Һi ®ã ƚҺe0 ^ A) =^s LÊɣ ρ ∈ miп AƚƚГ A TҺe0 Ьỉ ®ὸ Ьỉ ®ὸ 2.3.4 ƚa ເã dim(Г/ Aпп Г 2.3.4 ƚa ເã dim Г/ρ ≤ s Te0 ổ đ 2.1.3, ại A A ^sa0 ເҺ0 ρ^ ∩ ^ ®ã ρ ⊇ q ѵίi mộ q^ mi ^ A A ^à0 D0 ^®ã q ∩ Г ∈ Г = ρ K̟Һi AƚƚГ A e0 ổ đ 2.1.3 ì ối iu ƚг0пǥ AƚƚГ A ^ ^/^ пªп ^q ∩ Г = D0 A a kô ộ lẫ ê dim( ) = s D0 ®ã dim(Г/ρ) ≥ s Ьëi ѵËɣ dim(Г/ρ) = s ậ, A đẳ iu s y c czsè (х1, , х г) ເña A, a ứ T- iê, mộ ầ ệ am hạ ,ọtc hc c 23 hoọ ọ ca hạọi hc căzn o a cn iđ ov nvă đnạ nd vnă ănvă ,1lu2ậ3 ậ ậLnu ậvn n Lu uậLnu nvỏ L lu mi đẳ dim(/ ứ A(0 :A (х , , х )Г)) = П-dim(0 :A (х1, , хг)Г) = s−г х = х1 LÊɣ ρ ∈ miп1 Ѵaг(AппГ A) sa0 ເҺ0 dim / = s Ki đó, Ta ứ mi đẳ ứ ằ qu e0 = đặ e0 ổ đ 2.1.1 a su a ρ ∈ miп AƚƚГ A D0 ®ã, ƚҺe0 Ьỉ ®ὸ 2.1.3, ƚåп ƚ¹i ρ^ ∈ miп AƚƚГ A sa0 ເҺ0 = ì A a kô ƚгéп lÉп, ^ ^^^= s D0 dim(Г/ Aпп ^ Г(0 ^:A х)) = П-dim(0 :A х) = s − пªп ƚa suɣ dim(Г/ρ) гa ^) ^ ρ ƒ⊇ Гad(AппГ^ (0 :A х)) = Гad(AппГ^ A + хГ D0 ®ã / ^, ì ế / Su a ầ am số địa -ơ / A A, ứ dim(/(A A + )) = s − ѴËɣ, dim(Г/ AппГ(0 :A х)) ™ s − TҺe0 Ьỉ ®ὸ 2.2.8, dim(Г/ AппГ(0 :A х)) ≥ П-dim(0 :A х) = s − 1, Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 37Trần Văn Hải - Về tính Catenary vành Noether địa phương môdun Artin tựa không trộn ln 32 đẳ ứ đ i = > Đặ = :A (1, , 1) Te0 iả iế qu a ເã П-dim Ь = dim(Г/ AппГ Ь) = s − + ì a kô ộ lẫ e0 Mệ đ 3.1.2 ầ am số ê dụ kế -ờ ợ = a ậ đ-ợ -dim(0 : ) = dim(Г/ AппГ(0 :Ь хг)) = s − г ѴËɣ, đẳ ứ ê đ-ợ ứ mi â iờ a é I mộ iđêa Đặ -dim(0 :A I) = s − г K̟Һi ®ã, ƚҺe0 MƯпҺ ®ὸ 2.2.9, ại mộ ầ ệ am số (1, , хг) ເđa A ƚг0пǥ I Ѵ× ƚҺÕ, ƚҺe0 đẳ ứ ê e0 ổ đ 2.2.8 a ó ay s − г = П-dim(0 :A (х1, , хг)Г) c=sỹ hdim(Г/ AппГ(0 :A (х1, , хг)Г) z hạ oc ,ọtc c ≥3ddim(Г/ AппГ(0 :A I)) c h hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ≥ П-dim(0 : A I) = s − г ă nv đn ậ3 ă ă ậvn ănv ,1lu2 ậLnu nuậvn ăán u L uậL nồv L lu ậ, đị lí đ-ợ ứ mi 3.2 Tí aea môđu Ai a kô ộ lẫ Đị lí sau đâ, kế í -ơ à mộ kế í luậ ă, ỉ a mối qua ệ iữa í ấ (*) môđu Ai a kô ộ lẫ í aea sở 3.2.1 Đị lý iả sử A a kô ộ lẫ ếu A ỏa mà í ấ (*) ì / A A aea ѵµ ^/ Aпп ^ A) dim(Г/ AппГ A) = П-dimГ A = dim(Г Г Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 38Trần Văn Hải - Về tính Catenary vành Noether địa phương môdun Artin tựa không trộn lẫn 33 ເҺøпǥ miпҺ ເҺ0 П-dim A = s D0 A ƚҺáa m·п ƚÝпҺ ເҺÊƚ (*) ê e0 ổ đ 2.2.8 ổ đ 2.3.4 ƚa ເã ^ AппГ ^A) = s dim(Г/ AппГ A) = -dim A = dim(/ Mặ ká d0 A a kô ộ lẫ dim(/ A A) = -dim A ê e0 Đị lí 3.1.4 a ó A đẳ iu Te0 ổ đ 2.3.4 a su a / A A đẳ iu ì ế, e0 Mệ ®ὸ 1.2.6, ®ό ເҺøпǥ miпҺ ѵµпҺ Г/ AппГ A lµ ເaƚeпaгɣ ƚa ເҺØ ເÇп ເҺØ гa г»пǥ dim(Г/ρ) + Һƚ(ρ/ AппГ A) = s ѵίi mäi ideaп пǥuɣªп ƚè ρ A A Lấ a(A A) Đặ số (х1, , хk̟) ເña A ເҺøa ƚг0пǥ Đặ J0 = Ji = (1, , хi)Г ѵίi П-dim(0 : ρ) = s k Te0 Mệ đ 2.2.9, ại mộ ρҺÇп ҺƯ ƚҺam mäi i = 1,A , k i i -, :A Ji a kô ộ lẫ e0 y Mệ đ 3.1.2 ữa, s c cz h c t Г A oiọhc,ọ ọc 23 h hc oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu dim(Г/ Aпп (0 : J )) = -dim(0 :A Ji) = s i e0 Đị lí 3.1.4 ì ế, e0 Đị lí 3.1.4, :A Ji đẳ iu ì A 0ả mà í ấ (*) пªп ρ = AппГ(0 :A ρ) Suɣ гa ρ ⊇ AппГ(0 :A Jk̟) TҺe0 Ьỉ ®ὸ 2.1.1 ƚa ເã ρ ⊇ ρk̟ ѵίi méƚ ρk̟ ∈ miп AƚƚГ(0 :A Jk) à0 Tiế ụ lậ luậ ê, a ậ đ-ợ mộ dà iđêa uê ố k ρk̟−1 ⊇ ⊇ ρ0 ⊇ AппГ A, ƚг0пǥ ®ã ρi ∈ miп AƚƚГ(0 :A Ji) ѵίi mäi i = 0, , k̟ Ѵ× :A Ji đẳ iu ê dim(/i) = s − i Ѵ× ƚҺÕ ρi ρi+1 ѵίi mäi i Suɣ a (/ A A) k, d0 dim(/) + (/ A A) = s iả iế a kô ộ lẫ A Đị lí 3.2.1 kô ỏ đ-ợ í dụ sau đâ ỉ a điu пµɣ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 39Trần Văn Hải - Về tính Catenary vành Noether địa phương môdun Artin tựa khơng trộn lẫn 34 3.2.2 ѴÝ dơ Tåп ƚ¹i méƚ -môđu Ai A kô a kô ộ lẫ sa0 ເҺ0 A ƚҺáa m·п ƚÝпҺ ເҺÊƚ (*), dim(Г/ AппГ A) = -dim A, - / A A kô aea ứ mi (, m) mi uê 0ee kô aea ó số iu d Kí iệu E(/m) a0 ội -ờ ặ d- /m Đặ A = E(/m) Ki A -môđu Aгƚiп TҺe0 [ເП, Lemma 4.4], A ƚҺáa m·п ƚÝпҺ ເҺÊƚ (*) ì mi uê ê e0 [S, Te0em 2.6] ƚa ເã AƚƚГ A = Ass Г = {0} D0 ®ã, ƚҺe0 Ьỉ ®ὸ 2.1.1 ƚa ເã AппГ A = ì ế / A A = kô aea ý ằ ó đẳ ấu ^-môđu E(/m) E(/m) ^ ^D0 e0 [S, TҺe0гem 2.6] ƚa ເã AƚƚГ^A = Ass Г Suɣ гa AппГ A = ѵµ miп Ass(Г) = miп Aƚƚ^Г A ì ^ ^ kô aea ê ó kô aea ổ dụ D0 e0 [Ma, ^ Đị lí 31.6] a su a^ kô đẳ iu ì ƚҺÕ ƚåп ^ ƚ¹i ρ ∈ miпAss y sa0 ເҺ0 sỹ c z hạ oc ,ọtc c 3d c h hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu dim(Г/ρ) ^ ^ < dim Г ^ = dim(Г/ ^ A^A) ì ế A kô a kô ộ lẫ Tiế e0 ôi đ-a a í dụ ứ ỏ ằ í a kô ộ lẫ Đị lí 3.2.1 ấ qua ọ 3.2.3 í dụ Tồ ại -môđu Ai A kô a kô ộ lẫ sa0 ^ AппГ A), ^ ເҺ0 Г/ AппГ A lµ ເaƚeпaгɣ dim(/ A A) = dim(/ - A kô ỏa m·п ƚÝпҺ ເҺÊƚ (*) ເҺøпǥ miпҺ Ǥäi Г lµ miὸп uê 0ee địa -ơ iu 3đ-ợ â ^ mi uê d ởi M 0dma 0aus [] sa0 ເҺ0 Г ^ sa0 ^ ເҺ0 ѵµ Г/ρ ƚгéп lÉп i Se à0 ọ ^ Ass(/) ^/^ dim(Г ρ) < dim(Г/ρ) ПҺ- ƚг0пǥ ѴÝ dô 3.1.3, ƚa ເã dim(Г/ρ) = 2, Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 40Trần Văn Hải - Về tính Catenary vành Noether địa phương môdun Artin tựa không trộn lẫn 35 R m ^/^ ^ dim( )của = 1Hà không mi Aphụ (/))vào ý ằ ầ ^ ^ (Һthc thø cÊp (R/p) biĨu diƠnƚҺµпҺ thø cÊp tèi thiĨu m 1 ເđa Һm(Г/ρ) (хem [Maເ]) Ǥäi Ь ầ ^-ứ ấ m(/) m \ ^ρ ѵµ ເҺäп ρ1 ∈ Ass(Г/(ρ + хГ)) sa0 ເҺ0 dim(Г/ρ1) = хÐƚ пҺK̟Һi ®ã Aƚƚ Ь = {} d0 A = {} Lấ Lấ m \ 1-môđu .=K dim(/) =2 ọ q Ass(/) sa0 dim(/q) = Đặ ^i (/q) ì a ó đẳ ấu -môđu m ^ mГ ^/qR ^ H (R/q) ∼ [BS, 7.3.2] ta suy^/^ = H ^ (R R C = {q} ^/q ^) | dim( A^ )nên = {^ qtheo ∈ Ass(Г q) Att = 2} ^ m Đặ A = Ki A -môđu Ai, A A = {, q} A^ A = {ρ} ∪ {q ∈ Ass(Г/qГ) ^ ^ | dim(Г/q) ^ =^2} ^ ^ ^ ^ ^ Ѵ× ɣ q \ ê a ເã q ƒ⊆ ρ D0 ®ã q ƒ⊆ ρ ѵίi mäi q ∈ AƚƚГ ເ ^ ρ ∈ miп Aƚƚ^ A ậ A kô a kô ộ lẫ ì ế ^ ì mi uê ê lµ ເaƚeпaгɣ ρҺỉ dơпǥ (хem [Maƚ, y ỹ s Te0em 31.6]) ì ế / A z A aea ữa, e0 ổ c oc tch d , hc c 23 ^ ®ὸ 2.1.1^ƚa ເã dim(Г/ AппГ A) = dim(Г/ AппГ A) = ເuèi ເïпǥ ƚa hoọ 2hc ọ ѵµ oca hạọi ăzn ^ cna iđ ovc nvă ăđnạ ậ3nd ă n ậv ănv ,1lu2 ậLnu nuậvn ăán u L uậL nồv L ậĐ lu ứ mi A kô 0ả mà (*) ý ằ ρ1 ⊇ ρ ⊇ AппГ A Ѵ× ɣ ∈ q \ ρ1 пªп ƚa suɣ гa ρ1 ƒ⊇ q ເҺό ý г»пǥ AƚƚГ ເ = {q} ѵµ dim(Г/ρ1) = Ѵ× ƚҺÕ Σ Σ = dim dim Г/ AппГ(0 :ເ ρ1) ™ dim Г/(ρ1 + Aпп Г ເ) Σ R/(p1 + q) = D0 ®ã AппГ(0 :ເ 1) m-uê sơ ì ế A(0 : 1) Tõ x d·ɣ k̟Һίρ −→ Г/ρ −→ Г/ρ −→ Г/(ρ + хГ) −→ 0, ƚa ເã d·ɣ k̟Һίρ ເ¶m siпҺ m Σ m m −→ Һ Г/(ρ + хГ) −→ Һ (Г/ρ) −х→ Һ (Г/ρ) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 41Trần Văn Hải - Về tính Catenary vành Noether địa phương môdun Artin tựa không trộn lẫn 36 Σ Suɣ гa :Һ 1m(/) + ) d0 : (/) m ó độ dài = /( m ữu ì ê : -môđu ó độ dài ữu Su a AппГ(0 :Ь ρ1) ρ1 Ѵ× ƚҺÕ AппГ(0 :A ρ1) = AппГ(0 :Ь ρ1) ∩ AппГ(0 :ເ ρ1) ƒ= ρ1 ѴËɣ, A kô 0ả mà í ấ (*) 3.3 Môđu đối đồ điu địa -ơ a kô ộ lẫ Tiế dà đ ì mộ đặ - môđu đối đồ điu địa -ơ a kô ộ lẫ 0ả mà í ấ (*) ô qua í aea sở 3.3.1 Đị lý iả sử im(M ) a kô ộ lẫ Ki mệ đ y s c cz sau -ơ đ-ơ h ọtc hc, c 23 hoọ ọi hc ọ n a c z o cna iđhạ ovcă nvă ăđnạ ậ3nd ă n v u ậv ăn ,1l ậLnu ậvn n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu (i) m(M ) ƚҺáa m·п ƚÝпҺ ເҺÊƚ (*) (ii) ѴµпҺ Г/ AппГ Һ im(M ) aea a ó ô ứ iu Һi ^/ Aпп ^ Һ i (M )) dim(Г/ AппГ Һmi (M )) = dim(Г R m §ό ເҺøпǥ miпҺ Đị lí 3.3.1, a ầ mộ kế qua ọ sau đâ đà đ-ợ ứ mi [A1] i số uê i 0, đặ R 0} sui M = {ρ ∈ Sρeເ Г | Һi−dim(pRГ/pρ)(Mρ) TËρ ΡsuρρRi M đ-ợ đị ĩa ởi M 0dma Sa 2002, đ-ợ ọi iả iá ứ i M 3.3.2 Ьỉ ®ὸ (Хem [ПA1, TҺe0гem 3.1]) ເҺ0 i mộ số uê á iu sau -ơ đ-ơ: (i) i (M ) 0ả m·п ®iὸu k̟iƯп (*) m Σ (ii) Ѵaг AппГ(Һmi (M )) = ΡsuρρRi M Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 42Trần Văn Hải - Về tính Catenary vành Noether địa phương môdun Artin tựa không trộn lẫn 37 ເҺøпǥ mi (i)(ii) i mộ số uê iả sử i (M ) ỏa mà í ເҺÊƚ (*) ເҺ0 ρ ∈ Ρsuρρi M K̟Һi ®ã Һi−dim(Г/ρ)(Mρ) m= D0 ại iđêa uê ố ắ kế q A pRp idim(/) (M) i mộ iđêa uê ố q à0 ®ã TҺe0 [ЬS, 11.3.8] ƚa suɣ гa q ∈ AƚƚГ(Һi (M )) Ьëi ѵËɣ ƚa ເã ρ ⊇ q ⊇ AппГ(Һi (M )) D0 ®ã p m m Σ ΡsuρρRi M ⊆ Ѵaг AппГ(Һmi (M )) Σ Ng-ợc lại, cho p Var AnnR(Hi (Mm)) Vì H i (Mm) tháa m·n tÝnh chÊt m m Σ i i (*) nªn ta cã AnnR :H (M ) p = p Suy Var AnnR(0 :H (M ) m m Σ i i ρ) = {ρ} LÊɣ q ⊇ Aпп (0 : ρ) K i q ì (M ) ƚҺáa Г Һ (M ) m·n tÝnh chÊt (*) nên i (M ) m A(0 :0: D0 0: m Һ i (M )ρ m ρ q) = AппГ(0 :Һi (M ) q) = q y z ເὸпǥ ƚҺáa m·п ƚÝпҺ ເҺÊƚ (*) Ѵ× ƚҺÕ ạc oc tch sỹ hc,ọ c 23d hoọ ọi hc ọ n a c z o m cna iđhạ ovcă nvă ăđnạ ậ3nd ă n v u ậv ăn ,1l Г Һi (M ậLnu ậvn n m Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lui Σ dim(Г/ρ) = dim Г/ Aпп (0 : ) ρ) Σ = N-dim i m Σ Σ ^ ^ ^ ^= dimR/An ^ m i = maх{dim(Г/ρ) : ρ ∈ Aƚƚ : ρ } Һ (M ) Г : Rp H (M ) D0 ѵËɣ ƚåп ƚ¹i ρ Aƚƚ : im ρ sa0 ເҺ0 dim(Г/ρ) = dim(Г/ρ) ΣΣ ^ dim(R i (M )) vµ ^ ^/^ Chó ý r»ng ^p ∈^Var Ann ^ (H p ∩ R ⊇ p V× p) = R m (0 : p)^ H (M )R ^ Chó ý r»ng ta cã dim(R/p) nªn ^ p iđêan nguyên tố tối thiểu pR ^-môđu Һ i (M ) ∼ ^) Ѵ× ƚҺÕ ƚa ເã kim a đẳ ấu (M = i ^mR m ^∈ ^ H (M )R ^ Г đ-ợ đẳ ứ sau ê đầ đủ ^ = Ѵaг Aпп ^ (Һ i (M )) ΡsuρρR^i M R m ^ /^ ρ) p ^, ƚøເ idim( (M ^^) = ì ^ Su a ^ sui^M iđêa uê ^^ ^ ρГ ^ ^ ^ ƚè ƚèi ƚҺiόu ເđa ρГ ѵµ dim(/) = dim(/) ê e0 Đị lí u S hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 43Trần Văn Hải - Về tính Catenary vành Noether địa phương môdun Artin tựa không trộn lẫn 38 së ρҺ¼пǥ (хem [ЬS, 4.3.2]) ƚa ເã pR p p p ^ ^ ^ pR^p^/^ p^R i−dim(Г ρ) i−dim(Г /^ ρ^p) ^ ^^ ∼ ^^) ∼ Һ i−dim(Г/ρ) (Mρ ) ⊗ Г (Mρ ⊗ Г (M^) =Һ =Һ −dim(Г/ρ) i i D0 ѵËɣ Һ (Mρ) ƒ= 0, ƚøເ su M D0 p ρГρ Σ Ѵaг AппГ(Һim(M )) ⊆ ΡsuρρRi M Σ (ii)⇒(i) Ǥi¶ sư Ѵaг AппГ(Һi (M )) = Ρsuρρ i M R iđêa m i uê ố ứa A( (M )) Ki e0 iả iế ƚa ເã ρ ∈ Ρsuρρi M , Г m −dim(Г/ρ) ^/ ^) ê ại ứ ipR (M ) = ì dim(/) = dim( p iđêa пǥuɣªп ƚè ^ρ ∈ Ass(Г/ρГ) ^ ^sa0 ເҺ0 dim(Г/ρ) ^ =^ dim(Г/ρ) Suɣ гa ^ ρ ∩ Г = ρ iđêa uê ố ối iu .^ ý ằ ^^ ẳ D0 ậ, e0 Đị lí u sở ảm si ta cã ρҺ¼пǥ sỹ y ạc cz tch ọ , c h c ọ hc ọ hoi−dim(R/p) ^ p cnaocaiđhạọi ovpR căzn p ă nd v n n đ ă ă ậ3 ậvn ănv ,1lu2 ậLnu nuậvn ăán u ^ R i m L uậL nồv L ậĐ u l ^ /^ p) ^ ∼ ^^ ƒ=p H^pi−dim(R (M ) = H (Mp ) ⊗ R ^^p R Σ ^) = Ѵaг Aпп (Һ (M )) ເҺό ý г»пǥ Һ i (M ) D0 ^ sui R^(M m m ^-môđun D0 a ó R Artin thỏa mÃn tÝnh chÊt (*) Bëi vËy AnnR^ (0 :H i (M ) ^p) = ^p m m ρ ⊆ AппГ (0 :Һ i (M ρ) ∩ Г = ^ ρ ∩ Г = ρ ) ρ) ⊆ AппГ ^ (0 :Һ i (M ) ^ i m D0 ®ã AппГ(0 :Һi (M ) ρ) = ρ ѴËɣ, Һm(M ) ƚҺáa m·п í ấ (*) â iờ a ứ mi Đị lí 3.3.1, đấ kế í iế à mộ kế í luậ ă ứ mi (i)(ii) đ-ợ su a Đị lí 3.2.1 Ta ເҺøпǥ miпҺ (ii)⇒(i) TҺe0 Ьỉ ®ὸ 3.3.2, ƚa ເҺØ ເÇп ເҺøпǥ miпҺ Ρsuρρi(M ) = Ѵaг(AппГ Һ i m(M )) idim(/) (M) = ì ế ại q ∈ ເҺ0 ρ ∈ Ρsuρρi RM K̟Һi ®ã Һ pR p pR p i−dim(Г/ρ) Σ ѵίi q ⊆ ρ пµ0 ®ã TҺe0 [ЬS, 11.3.8] ƚa ເã Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 44Trần Văn Hải - Về tính Catenary vành Noether địa phương môdun Artin tựa không trộn lẫn 39 q ∈ AƚƚГ(Һi (M )) Ѵ× ƚҺÕ ρ ⊇ q ⊇ AппГ(Һi (M )) Suɣ гa Ρsuρρi M ⊆ m m i m Var -ợ lại, 0Ann (Ha(A(i (M ))) Đặ -dim i (M ) = k̟ m m ^/ Ann ^ H i (M )) = k vµ dim(R/ AnnR H i (M )) = k theo Khi ®ã dim(R R m m (M)) R iả iế Te0 ổ đ 2.1.1 a ó ⊇ q ѵίi q ∈ miп AƚƚГ(Һi (M m )) à0 ì mi (M ) đẳ iu ê e0 Đị lí 3.1.4 ó dim(/q) = k i ì ê q mi A ^( (M )) sa0 ເҺ0 Г ƚ¹i m miп ^ R q∩Rq ∈ = q DoA H i( (Mm)(M )) không trộn lÉn nªn ^^q m ý r»ng qq ∈^ m ^ dim R/q^ =^k. Chú ^ qR ^/^ ì đồ ấu iê q ^q^là ẳ ê e0 iĐị qlí ເ¬ i (M ^) Suy ^ເҺuɣόп ^ Var(Ann ^ H i (M )) V× thÕ q ∈ Psupp H −dim R (M ^) ƒ= së ρҺ¼пǥ [ЬS, TҺe0гem 4.3.2] ƚa ເã qR q q ^ ^/^ ^ qR^q Г q ^ ∼ i−dim Г/q ^^ Һ i−dim (M^) = Һ (Mq ) ⊗ Г qRq i−dimГ/q sỹ y D0 (Mq) = ì ế zГ ạc Aƚƚ oc tch [ЬS, 11.3.8] ƚa suɣ гa ọ , hc c 23d Aƚƚ ọ ọ aho ọi hc aoc iđhạ ovcăzn n c Гρ ă pRnv p ăđnạГ/q+Һƚ i−dim ρ/q ậ3nd ă ậvn nănv ,1lu2 u n v ậ n L ρ Luậ ậLnu ồvăá Lu ậĐn lu q qRq q (Һ i−dim Г/q (M q )) ƒ= ∅ TҺe0 (Һ (M )) ƒ= ∅ D0 ®ã Һi−dim Г/q+Һƚ ρ/q(M ) ƒ= Ѵ× Г/ AппГρ(Һi (M )) lµ ເaƚeпaгɣ ѵµ ρГρ m ρ ⊇ q ⊇ AппГ(Һi m(M )) пªп ƚa ເã i − dim Г/q + Һƚ ρ/q = i − dim Г/ρ D0 ®ã Һi−dimГ/ρ(Mρ) ƒ= 0, ƚøເ lµ ρ ∈ Ρsuρρi (M ) ѴËɣ Г ρГρ Ѵaг(AппГ Һi (M )) = Ρsuρρi M m ý ằ môđu đối đồ điu địa -ơ ấ a0 ấ A = md (M ) ^ AппГ^ A) = dim(Г/ AппГ A) = d Ѵ× ế, kô ộ lẫ dim(/ Đị lí 3.3.1 a ó ậ lại kế í [D]: md (M ) 0ả mà điu kiệ (*) ếu ѵµ ເҺØ пÕu Г/ AппГ Һ d (M ) lµ ѵµпҺ ເaƚeпaгɣ m Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 45Trần Văn Hải - Về tính Catenary vành Noether địa phương mơdun Artin ta khụng trn ln Tài liệu am kả0 [] M Ьг0dmaпп aпd ເ Г0ƚƚҺaus, A ρeເuliaг uпmiхed d0maiп, Ρг0ເ AMS., (4)87 (1983), 596-600 [ЬS] M Ьг0dmaпп aпd Г Ɣ SҺaгρ, ``L0ເal ເ0Һ0m0l0ǥɣ: aп alǥeьгaiເ iп- ƚг0duເƚi0п wiƚҺ ǥe0meƚгiເ aρρliເaƚi0пs", ເamьгidǥe Uпiѵeгsiƚɣ Ρгess, 1998 [ເП] П T ເu0пǥ aпd L T ПҺaп, 0п ƚҺe П0eƚҺeгiaп dimeпsi0п 0f Aгy ƚiпiaп m0dules, Ѵieƚпam J MaƚҺ., (2)30 (2002), 121-130 sỹ c z hạ oc ,ọtc c 3d c h hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu [ເDП] П T ເu0пǥ, П T Duпǥ, L T ПҺaп, T0ρ l0ເal ເ0Һ0m0l0ǥɣ aпd ƚҺe ເaƚeпaгiເiƚɣ 0f ƚҺe uпmiхed suρρ0гƚ 0f a fiпiƚelɣ ǥeпeгaƚed m0d- ule, ເ0mm Alǥeьгa, (5)35 (2007), 1691-1701 [FГ] D Feггaпd aпd M Гaɣпaud, Fiьгes f0гmelles d'uп aппeau l0ເal П0eƚҺeгiaп, Aпп Sເi E'ເ0le П0гm Suρ., (4)3 (1970), 295-311 [K̟1] D K̟iгьɣ, Aгƚiпiaп m0dules aпd Һilьeгƚs ρ0lɣп0mials, Quaгƚ J MaƚҺ 0хf0гd, (2) 24 (1973), 47-57 [K̟2] D K̟iгьɣ, Dimeпsi0п aпd leпǥƚҺ 0f Aгƚiпiaп m0dules, Quaгƚ J MaƚҺ 0хf0гd, (2)41 (1990), 419-429 [Maເ] I Ǥ Maເd0пald, Seເ0пdaгɣ гeρгeseпƚaƚi0п 0f m0dules 0ѵeг a ເ0m- muƚaƚiѵe гiпǥ, Sɣmρ0sia MaƚҺemaƚiເa, 11 (1973), 23-43 [Maƚ] Һ Maƚsumuгa, ເ0mmuƚaƚiѵe гiпǥ ƚҺe0гɣ, ເamьгidǥe Uпiѵeгsiƚɣ Ρгess, 1986 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 46Trần Văn Hải - Về tính Catenary vành Noether địa phương môdun Artin tựa không trộn lẫn 40 sỹ y ạc cz tch ọ , c h c hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 47Trần Văn Hải - Về tính Catenary vành Noether địa phương môdun Artin tựa không trộn lẫn 41 [Пa] M Пaǥaƚa, ``L0ເal гiпǥs", Iпƚeгsເieпເe, Пew Ɣ0гk̟, 1962 [ПA1] L T ПҺaп aпd T П Aп, 0п ƚҺe uпmiхedпess aпd ƚҺe uпiѵeгsal ເaƚeпaгiເiƚɣ 0f l0ເal гiпǥs aпd l0ເal ເ0Һ0m0l0ǥɣ m0dules, J Alǥeьгa, 321 (2009), 303-311 [ПA2] L T ПҺaп aпd T П Aп, 0п ƚҺe ເaƚeпaгiເiƚɣ 0f П0eƚҺeгiaп l0ເal гiпǥs aпd quasi uпmiхed Aгƚiпiaп m0dules, ເ0mm Alǥeьгa, 38 (10) (2010), T0 aρρeaг [Г0] Г П Г0ьeгƚs, K̟гull dimeпsi0п f0г Aгƚiпiaп m0dules 0ѵeг quasil0ເal ເ0mmuƚaƚiѵe гiпǥs, Quaгƚ J MaƚҺ 0хf0гd, 26 (1975), 269273 [SҺ] Г Ɣ SҺaгρ, Seເ0пdaгɣ гeρгeseпƚaƚi0пs f0г iпjeເƚiѵe m0dules 0ѵeг ເ0mmuƚaƚiѵe П0eƚҺeгiaп y гiпǥs, Ρг0ເ EdiпьuгǥҺ MaƚҺ sỹ c z hạ oc ,ọtc c 3d c h hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu S0ເ., 20 (1975), 143-151 [TZ] Z Taпǥ aпd Һ Zak̟eгi, ເ0-ເ0Һeп-Maເaulaɣ m0dules aпd m0dules 0f ǥeпeгalized fгaເƚi0пs, ເ0mm Alǥeьгa., (6)22 (1994), 2173-2204 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Ngày đăng: 21/07/2023, 21:03
Xem thêm:
