Về tính catenary của vành noether địa phương và môđun artin tựa không trộn lẫn

1Trần Văn Hải - Về tính Catenary vành Noether địa phương môdun Artin tựa không trộn lẫn Môc lục Lời nói đầu KiÕn thøc chn bÞ 1.1 BiĨu diÔn thø cÊp 1.2 Mét sè tÝnh chÊt c¬ së vỊ tÝnh catenary 1.3 Mét số chuẩn bị môđun đối đồng điều địa phương 3 Chiều môđun Artin tính chất linh hoá tử 10 13 17 2.1 Tập iđêan nguyên tố gắn kết cho môđun Artin 17 2.2 ChiÒu Noether môđun Artin 19 2.3 Một tính chất linh hoá tử cho môđun Artin 22 TÝnh catenary môđun Artin tựa không trộn lẫn 27 3.1 Môđun Artin tựa không trộn lẫn 28 3.2 Tính catenary môđun Artin tựa không trén lÉn 32 3.3 Môđun đối đồng điều địa phương tựa không trộn lẫn 36 40 Tài liệu tham khảo S húa bi Trung tõm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://www.lrc-tnu.edu.vn 2Trần Văn Hải - Về tính Catenary vành Noether địa phương mụdun Artin ta khụng trn ln Lời nói đầu Trong toàn luận văn ta giả thiết Noether, địa phương, (R, m) vành giao hoán M R-môđun hữu hạn sinh, A R-môđun Artin Ta có AnnR (M/pM ) = p với iđêan nguyên tố p chứa AnnR M Vì hoàn toàn tự nhiên, Nguyễn Tự Cường Lê Thanh Nhàn [CN] ®· xÐt tÝnh chÊt ®èi ngÉu víi tÝnh chÊt trªn cho môđun Artin sau: AnnR (0 :A p) = p với iđêan nguyên tố p Ann A () Khi vành R đầy đủ theo tôpô m-adic, tính chất (*) cho môđun Artin A môđun đối ngẫu Matlis D(A) A hữu hạn sinh Một cách tổng quát, R đầy đủ việc dùng Đối ngẫu Matlis, việc nghiên cứu mối quan hệ phạm trù R-môđun Artin phạm trù R- môđun Noether thuận lợi Tuy nhiên, R không đầy đủ, người ta quan tâm xét tính chất (*) cho nhiều thông tin vành sở R môđun Artin môđun hữu hạn sinh R Cụ thể, năm 2002, Nguyễn Tự Cường Lê Thanh Nhàn [CN] đà giới thiệu tính chất (*) nhằm trả lời câu hỏi chiều Noether N-dim A chiều dim R/ AnnR A Năm 2007, [CDN], Nguyễn Tự Cường, Lê Thanh Nhàn, Nguyễn Thị Dung ®· xÐt tÝnh chÊt (*) cđa m«®un ®èi ®ång ®iỊu địa phương cấp cao Hmd (M ) môđun thỏa mÃn tính chất (*) vµ chØ vµnh R/ AnnR (Hmd (M )) lµ catenary Năm 2009, Lê Thanh Nhàn Trần Nguyên An [NA1] đà nghiên cứu tính chất (*) cho môđun đối đồng điều địa phương bậc thấp hơn, họ chứng tá r»ng nÕu R lµ catenary phỉ dơng vµ tÊt thớ hình thức Cohen- Macaulay Hmi (M ) thoả mÃn (*) với i ≥ Ngoµi hä cịng chØ r»ng nÕu Hmi (M ) tháa m·n tÝnh chÊt (*) víi mäi i < d vành S húa bi Trung tõm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3Trần Văn Hải - Về tính Catenary vành Noether địa phương môdun Artin tựa không trộn lẫn R/ AnnR M catenary phổ dụng vành R/p không trén lÉn víi mäi b b b R) b p ∈ Ass M, tøc lµ dim R/ p = dim(R/p) với b p Ass(R/p Đặc biệt, năm 2010, Lê Thanh Nhàn Trần Nguyên An [NA2] đà giới thiệu khái niệm môđun Artin tựa không trộn lẫn: Môđun Artin gọi tựa không trộn lẫn A b b b Ann b A) víi dim(R/ p) = dim(R/ R b p ∈ AttRb A Sau ®ã hä ®· xÐt tÝnh chÊt (*) cho líp m«®un nµy mèi quan hƯ víi tÝnh catenary cđa vµnh sở chiều môđun Kết thứ báo định lí sau Định lí A tựa không trộn lẫn Nếu A thoả mÃn tính chất (*) b vành R/ AnnR A lµ catenary vµ dim(R/ AnnR A) = dim(R/ Ann b A) R Giả sử Rất tự nhiên, người ta hỏi liệu chiều ngược lại định lí Định lí kết thứ hai báo này, cho ta câu trả lời khẳng định A = Hmi (M ) Hmi (M ) tho¶ m·n

i b Ann b Hmi (M )) = dim R/ (*) nÕu vµ chØ nÕu dim R/ AnnR (H (M )) m R Hmi (M ) Định lí Giả sử vành R/ AnnR (Hmi (M )) catenary tựa không trộn lẫn Khi Mục đích luận văn trình bày lại chi tiết kết báo [NA2]: L T Nhan and T N An, On the catenaricity of Noethe- rian local rings and quasi unmixed Artinian modules , Communications in Algebra, 38, (10), 2010 Luận văn gồm chương Chương I kiến thức sở phục vụ cho chương sau Chương II trình bày kiến thức chiều tính chất (*) môđun Artin Chương III nội dung chính, chứng minh kết tính chất (*) môđun Artin tựa kh«ng trén lÉn mèi quan hƯ víi tÝnh catenary vành sở đẳng thức chiều môđun S húa bi Trung tõm Hc liu i học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4Trần Văn Hải - Về tính Catenary vành Noether địa phương môdun Artin tựa khụng trn ln Lời cảm ơn Luận văn hình thành hướng dẫn tận tình nghiêm khắc PGS.TS Lê Thị Thanh Nhàn Nhân dịp xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Cô gia đình Xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy cô Viện Toán học Hà Nội, Khoa Toán Khoa Sau §¹i häc tr­êng §¹i häc S­ ph¹m - §¹i häc Thái Nguyên đà tận tình giảng dạy giúp đỡ suốt trình học tập trường S hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5Trần Văn Hải - Về tính Catenary vành Noether địa phương môdun Artin tựa không trộn ln Chương Kiến thức chuẩn bị Trong suốt chương giả thiết R vành giao hoán Noether L R-môđun Mục đích Chương I nhắc lại số kiến thức sở phục vụ cho chương sau Tiết 1.1 trình bày lí thuyết biểu diễn thứ cấp cho môđun Artin giới thiệu I G Macdonald 1973 [Mac] Tiết 1.2 nhắc lại số khái niệm tính chất sở vành catenary [Mat] Tiết cuối 1.3 nhắc lại số khái niệm tính chất cần thiết môđun đối đồng điều địa phương [BS] 1.1 Biểu diễn thứ cấp Kiến thức tiết tham khảo báo [Mac] I G Macdonald 1.1.1 Định nghĩa Cho L R-môđun i) Cho x R Nếu tồn số tự nhiên n để xn L = ta nói phép nhân x L luỹ linh Nếu xL = L ta nói phép nhân x L toàn cấu ii) Ta nói L môđun lũy linh với thứ cấp phép nhân x L toàn cấu x R Trong trường hợp này, tập hợp phần tử S húa bi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 6Trần Văn Hải - Về tính Catenary vành Noether địa phương môdun Artin tựa không trộn lẫn x R cho phép nhân x L lũy linh làm thành iđean nguyên tố p vµ ta gäi L lµ p-thø cÊp iii) Mét biĨu diễn gọi L = L1 + + Ln , Li pi -thø cÊp, mét biĨu diƠn thø cÊp cđa L BiĨu diễn thứ cấp gọi tối thiểu L 6= L1 + + Li−1 + Li+1 + + Ln víi mäi i) iv) Nếu pi đôi khác Li không thừa (tức L có biểu diễn thứ cấp tối thiểu ta nói L biểu diễn Phần tiết biểu diễn thứ cấp quy tối thiểu Trước hết ta cần bổ đề sau 1.1.2 Bổ đề Cho L R-môđun i) Tổng trực tiếp hữu hạn môđun ii) Môđun thương khác iii) Nếu môđun L1 , , Lr p-thứ cấp p-thứ cấp môđun p- thứ cấp p-thứ cấp môđun p-thứ cÊp cđa L th× L1 + + Lr p-thứ cấp L Chứng minh (i) Giả sư phÐp nh©n bëi L1 , , Ln p-thứ cấp Cho x p Khi x L1 , , Ln lũy linh Do tồn t N cho xt Li = víi mäi i V× thÕ xt (⊕ni=1 Li ) = 0, tøc phÐp nh©n bëi x ni=1 Li lũy linh Cho x / p Khi ®ã xLi = Li víi mäi i Suy x(⊕ni=1 Li ) = ⊕ni=1 Li , tøc phép nhân x ni=1 Li toàn cấu VËy Ln i=1 Li lµ p-thø cÊp (ii) Cho L p-thứ cấp B môđun L cho L/B 6= Ta cÇn chøng minh cho L/B lµ p-thø cÊp Cho x ∈ p Khi ®ã tån t¹i t ∈ N xt L = Suy xt (L/B) = (xt L + B)/B = Vì phép nhân x L/B lịy linh Cho x ∈ / p Khi ®ã xL = L Suy x(L/B) = (xL + B)/B = (L + B)/B = L/B Vì phép nhân x L/B toàn cấu S húa bi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 7Trần Văn Hải - Về tính Catenary vành Noether địa phương môdun Artin tựa không trộn lẫn (iii) §Ỉt B = L1 + + Lr Hiển nhiên B 6= Xét ánh xạ : ⊕ri=1 Li −→ B cho bëi ϕ(x1 , , xr ) −→ x1 + + xr DƠ thÊy ϕ lµ toµn Lr cấu Suy B môđun thương i=1 Li Theo (i) theo giả thiết, Lr i=1 Li lµ p-thø cÊp Theo (ii) ta suy B lµ p-thứ cấp 1.1.3 Mệnh đề Chứng minh Mỗi biểu diễn thứ cấp quy tối thiểu Giả sö L = L1 + + Ln biểu diễn thứ cấp R-môđun L Nếu tồn i 6= j cho Li Lj p-thứ cấp theo Bổ đề 1.1.2, Li + Lj p-thứ cấp Vì thế, cách loại thành phần thứ cấp thừa ghép lại thành phần thứ cấp ứng với iđêan nguyên tố, ta rút gọn biểu diễn thø cÊp nµy thµnh mét biĨu diƠn thø cÊp tèi thiểu Phần trình bày 02 định lí nhÊt vỊ biĨu diƠn thø cÊp, tõ ®ã dÉn ®Õn khái niệm tập iđêan nguyên tố gắn kết môđun biểu diễn 1.1.4 Bổ đề Giả sử L = L1 + + Ln R-môđun L, Li là biểu diễn thứ cấp tối thiểu pi -thứ cấp Cho p iđêan nguyên tố Khi phát biểu sau tương đương: i) p ∈ {p1 , , pn } ii) L có môđun thương p-thứ cấp iii) L có môđun thương Q cho AnnR (Q) = p Chøng minh (i⇒ii) Gi¶ sư biĨu diƠn thø cấp p = pi Đặt Pi = P j6=i Lj Vì Li không thừa L = L1 + + Ln nên L/Pi 6= Hơn n÷a, L/Pi = (Li + Pi )/Pi ∼ = Li /(Li Pi ) Vì L/Pi môđun thương khác Li Vì Li pi -thứ cấp nên theo Bổ đề 1.1.2, L/Pi môđun thương pi -thø cÊp cđa L Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 8Trần Văn Hải - Về tính Catenary vành Noether địa phương mơdun Artin tựa khơng trộn lẫn (ii⇒iii) Gi¶ sử P môđun thương p-thứ cấp L Vì R vành Noether nên p hữu hạn sinh Gi¶ sư p = (a1 , , at ) Vì P p-thứ cấp nên với i = 1, , t, tån t¹i ni cho ani P = Chän n = max{n1 , , nt } Khi ®ã pk P định = với k nt Do P p-thứ cấp nên P 6= Ta kh¼ng P 6= pP ThËt vËy, nÕu P = pP th× víi k ≥ nt ta cã = pk P = pk−1 (pP ) = pk−1 P = = pP = P, điều mâu thuẫn Vì Q = P/pP môđun thương khác L Do P p-thứ cấp nên Q p-thứ cấp Do AnnR Q p Rõ rµng p ⊆ AnnR Q Suy AnnR Q = p (iiii) Giả sử Ta có Q = L/B môđun thương L cho AnnR (Q) = p n n X X Q = L/B = ( Li )/B = (Li + B)/B i=1 i=1 Với i ta cã (Li + B)/B ∼ = Li /(Li ∩ B) Do ®ã, theo Bỉ ®Ị 1.1.2(ii), nÕu (Li + B)/B 6= pi -thứ cấp Bằng việc bỏ thành phần Pn thừa biểu diễn Q = i=1 (Li +B)/B ta biểu diễn tối thiểu Q Do việc đánh lại thứ tự số ta giả thiÕt Q cã Pm mét biĨu diƠn thø cÊp tèi thiểu Q = i=1 Qi , Qi pi -thø cÊp víi i = 1, , m víi mét sè tù nhiªn m n Do Qi pi -thứ cấp với mäi i = 1, , m nªn dễ kiểm tra AnnR Q = p1 pm Vì thế, theo giả thiết (iii) ta cã cho p = p1 ∩ pm Do tồn i ∈ {1, , m} p = pi Định lí sau hệ trực tiếp Bổ đề 1.1.4 1.1.5 Định lý (Định lí nhÊt thø nhÊt) L = L01 + + L0m Li Giả sử L = L1 + + Ln lµ hai biĨu diƠn thø cÊp tèi thiĨu cđa pi -thø cÊp L0i R-môđun L, qi -thứ cấp Khi m = n vµ {p1 , , pn } = {q1 , , qn } Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 9Trần Văn Hải - Về tính Catenary vành Noether địa phương môdun Artin tựa khụng trn ln 1.1.6 Định nghĩa Giả sử thứ nhất, tập L R-môđun biểu diễn Theo Định lý {p1 , , pn } phụ thuộc vào L mà không phụ thuộc vào biểu diễn thứ cấp tối thiểu gắn kết L Ta gọi tập iđêan L kí hiệu AttR L Nếu p phần tử tối thiểu tập AttR L thành phần thứ cấp tương ứng gọi thành phần thứ cấp cô lập L Chú ý tồn hai biĨu diƠn thø cÊp tèi thiĨu cđa L mµ thành phần thứ cấp ứng với iđêan nguyên tố gắn kết khác Tuy nhiên, iđêan nguyên tố gắn kết tối thiểu tập AttR L thành phần thứ cấp tương ứng xác định Đó nội dung định lí sau 1.1.7 Định lý (Định lý thứ hai) pi AttR L diễn Giả sử Giả sử R-môđun biểu Khi thành phần thứ cấp ứng với không phụ thuộc vào biĨu diƠn thø cÊp tèi thiĨu cđa Chøng minh L pi L L = L1 + + Ln vµ L = L01 + + L0n lµ hai biĨu diƠn thø cÊp tèi thiĨu cđa L, Lj L0j pj -thứ cấp Vì pi AttR L nên pj pi với j 6= i Do tồn phần tư a ∈ (∩j6=i pj ) \ pi Víi j 6= i, a ∈ pj nªn an Lj = = an L0j víi n ®đ lín Do a / pi nên an Li = Li an L0i = L0i víi mäi n V× thÕ víi n ®đ = Li = L0i lín ta cã an L Phần cuối trình bày tính biểu diễn môđun Artin Trước hết ta cần bổ đề sau 1.1.8 Bổ đề Giả sử A 6= R-môđun Artin A không tổng hai môđun thực Chứng minh Giả sử phép nhân A Khi A thứ cấp A không thứ cấp Khi tồn x R cho x A không toàn cấu không luỹ linh V× thÕ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 10Trần Văn Hải - Về tính Catenary vành Noether địa phương mơdun Artin tựa khơng trộn lẫn 10 A 6= xA vµ xn A 6= víi mäi n > Do A Artin nên dÃy môđun {xn A} A dừng Do tồn k > cho xn A = xk A víi gi¶m mäi n k Đặt A1 = {a A | xk a = 0} A2 = xk A Vì xk A1 = xk A 6= nên A1 6= A Vì A 6= xA nên A2 6= A Do A1 , A2 môđun thực sù cđa víi v víi ∈ A, suy xk (u−xk v) = Do ®ã u−xk v ∈ A1 Suy u ∈ z+xk v z ∈ A1 V× thÕ u ∈ A1 + A2 Suy A = A1 + A2 , m©u thuÉn 1.1.9 §Þnh lý Chøng minh Gäi A LÊy u ∈ A Do xk A = x2k A nªn xk u = x2k v, Mọi môđun Artin biểu diễn Cho A R-môđun Artin Giả sử A không biểu diễn tập môđun không biểu diễn A Vì A nên 6= Do A Artin nên có phần tử cực tiểu, gọi B Vì B nên B 6= B không môđun thứ cấp Theo bổ đề trên, B biểu diễn thành tổng hai môđun thực B , tức lµ B = B1 + B2 víi B1 , B2 hai môđun thực B Vì B cùc tiĨu nªn B1 , B2 ∈ / Γ, tøc B1 , B2 biểu diễn Vì B = B1 + B2 biểu diễn được, vô lý 1.2 Mét sè tÝnh chÊt c¬ së vỊ tÝnh catenary Luôn giả thiết R vành giao hoán, Noether Trong tiết nhắc lại số khái niệm tính chất sở tính cartenary vành Các thuật ngữ kết tiết tham khảo sách H Matsumura [Mat] Tính catenary cho vành đà quan tâm nghiên cứu W Krull từ năm 1937 Sau nhiều kết tính catenary vành cho W Krull, M Nagata, I S Cohen, D Ferand vµ M Raynaud, L J Ratliff, R Heitmann, M Brodmann , kết đà làm lµm cho tÝnh catenary cđa vµnh trë thµnh mét lÝ thuyÕt Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 27Trần Văn Hải - Về tính Catenary vành Noether địa phương môdun Artin tựa khụng trn ln Chương Tính catenary môđun Artin tựa không trộn lẫn Trong suốt chương giả thiết (R, m) vành giao hoán, Noether, địa phương với iđêan tối đại Cho m Cho A R-môđun Artin M R-môđun hữu hạn sinh víi chiỊu dim M = d Mơc ®Ých cđa Chương III nghiên cứu loại môđun Artin đặc biệt gọi môđun tựa không trộn lẫn quan hệ mật thiết tính chất (*) lớp môđun với tính catenary vành sở đẳng thức chiều Tiết 3.1 dành để trình bày tính chất quan trọng môđun Artin tựa không trộn lẫn, kết thu cho thấy chóng cã nhiỊu tÝnh chÊt tèt t­¬ng tù nh­ tÝnh chất môđun hữu hạn sinh tựa không trộn lẫn Bằng việc áp dụng tính chất thu Tiết 3.1, trình bày Tiết 3.2 quan hệ tính chất (*) môđun Artin tựa không trộn lẫn A với tính catenary vành sở R/ AnnR A đẳng thức chiều, ®ång thêi ®­a c¸c vÝ dơ nh»m chØ tầm quan trọng giả thiết tựa không trộn lẫn A kết Tiết cuối 3.3 dành để nghiên cứu môđun đối đồng điều địa phương tựa không trộn lẫn Hmi (M ), trường hợp này, tính chất (*) chúng tương đương với tính catenary vành sở đẳng thức chiỊu 27 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 28Trần Văn Hải - Về tính Catenary vành Noether địa phương mơdun Artin ta khụng trn ln 28 3.1 Môđun Artin tựa không trộn lẫn Trước định nghĩa khái niệm môđun Artin tựa không trộn lẫn, ta nhắc lại khái niệm môđun Noether tựa không trộn lẫn theo thuật ngữ M Nagata [Na] Một R-môđun hữu hạn sinh M gọi đẳng chiều dim(R/p) = dim M với p Ass M Môđun M gọi tùa c b p) = dim M c víi mäi không trộn lẫn M đẳng chiều Nếu dim(R/b c M gọi không trộn lẫn p ∈ Ass b M R Theo suy nghÜ ®èi ngÉu, ta định nghĩa khái niệm đẳng chiều, tựa không trộn lẫn, không trộn lẫn cho môđun Artin sau 3.1.1 Định nghĩa Nếu dim(R/p) = dim(R/ AnnR A) với iđêan nguyên tố gắn kết p AttR A ta nói A đẳng chiều Môđun b-môđun A đẳng chiều, Artin A gọi tựa kh«ng trén lÉn nÕu R b b b Ann b A) víi mäi b tøc lµ dim(R/ p) = dim(R/ p ∈ AttRb A NÕu R b b b Ann b A) víi mäi b dim(R/ p) = dim(R/ p Att b A ta nói A không R R trộn lẫn Có lớp môđun Artin không trộn lẫn quan trọng, môđun đối đồng điều địa phương cấp cao với giá cực đại Hmd (M ), M R-môđun hữu hạn sinh chiều d Điều suy từ b-môđun Hmd (M ) c) Định lí 1.3.8 đẳng cấu R = Hmd Rb (M c | dim(R/ b b AttRb Hmd (M ) = {b p ∈ AssRb M p) = d} Chó ý với iđêan I tuỳ ý ta có HId (M ) R-môđun Artin (Định lí 1.3.7) c | dim(R/ b b AttRb HId (M ) ⊆ {b p ∈ AssRb M p) = d} V× thÕ HId (M ) môđun Artin không trộn lẫn S hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 29Trần Văn Hải - Về tính Catenary vành Noether địa phương môdun Artin tựa không trộn ln 29 Ta biết môđun Noether phần hệ tham số M tựa không trộn lẫn với mäi (x1 , , xr ) cña M , môđun M/(x1 , , xr )M tựa không trộn lẫn Sau điều tương tự cho môđun Artin tựa không trộn lẫn, tÝnh chÊt rÊt quan träng phôc vô chøng minh kÕt tiết sau 3.1.2 Mệnh đề Nếu A tựa không trộn lẫn :A (x1 , , xr )R tựa không trộn lÉn víi mäi phÇn hƯ tham sè cđa cịng (x1 , , xr ) cña A N-dimR A = s vµ (x1 , , xr ) phần hệ tham số b Ann b A) = s A Theo Bổ đề 2.3.4 ta cã dim(R/ R Chøng minh Cho b Ann b (0 :A (x1 , , xr )R)) = N-dim(0 :A (x1 , , xr )R) dim(R/ R = s − r LÊy p ∈ AttRb (0 :A (x1 , , xr )R) Khi ®ã, theo Bỉ ®Ị 2.3.4 ta b b suy dim(R/ p) ≤ s − r Chó ý r»ng b p ⊇ AnnRb A Do ®ã pb1 ⊆ b p, víi p1 ∈ AttRb A Mặt khác A tựa không trộn lẫn nên b pb1 ) = s Lại có b b nªn ht(b dim(R/ p ∈ Var(pb1 + (x1 , , xr )R) p/pb1 ) ≤ r (theo [Mat, Theorem 18]) Do ®ã ta cã b b dim(R/ p) = s − ht(b p/pb1 ) ≥ s − r V× thÕ b b dim(R/ p) = s r Chú ý môđun Noether chiều Thật vậy, giả sử M tựa không trộn lẫn M đẳng dim M = d p ∈ Ass M V× c} Ass M = {b pR|b p Ass M nên tồn c cho b c cho b p ∈ Ass M p ∩ R = p Gäi b q ∈ Ass M b qb p Đặt q = b q R Khi q Ass M q p Do p cực tiểu nên S húa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 30Trần Văn Hải - Về tính Catenary vành Noether địa phương môdun Artin tựa không trộn lẫn 30 c Do M tựa không trộn lẫn q = p V× thÕ p = b q ∩ R víi b q ∈ Ass M nªn b b c = d d ≥ dim(R/p) ≥ dim(R/ q) = dim M Vì dim(R/p) = d Do M đẳng chiều Tuy nhiên, môđun Artin tựa không trộn lẫn điều tương tự không đúng, tức có môđun Artin tựa không trộn lẫn không đẳng chiều Sau ví dụ 3.1.3 Ví dụ Tồn môđun Artin A tựa không trộn lẫn không đẳng chiều R miền nguyên Noether địa phương có số chiều b miền xây dựng Brodmann Rotthaus [BR] cho R Chứng minh Cho nguyên có iđêan nguyên tố p Spec R để R/p kh«ng trén b R) b víi dim(R/ b b b lẫn Khi tồn b p Ass(R/p p) < dim(R/p) Vì R miền nguyên nên ta suy p 6= p 6= m Do dim(R/p) = vµ b b dim(R/ p) = LÊy 6= x ∈ p vµ chän y, z ∈ m cho (x, y, z ) lµ mét hƯ tham sè cđa R Chän q ∈ Ass(R/(y, z)R) cho dim(R/q) = A = B ⊕ C , B = Hm1 (R/p) C = Hm1 (R/q) Khi A R-môđun Artin Theo [BS, 11.3.9], b p ∈ AttRb B Do vËy p AttR B Đặt ta có Vì AttR B = {p} Theo [BS.7.3.2] ta cã AttR C = {q} dim(R/q) = vµ dim(R/p) = nªn ta cã q * p Ta chøng minh p * q ThËt vËy, nÕu p ⊆ q th× dim(R/q) dim(R/(x, y, z)R) = 0, điều vô lí Do AttR A = {p, q} Vì A không đẳng b-môđun Hm1 (R/p) ' H (R/p b R) b chiỊu Chó ý r»ng cã đẳng cấu R b mR b R) b Do dim(R/ b b Hm (R/p) ' Hm1 Rb (R/q q) ≤ víi mäi b q AttRb A Do A tựa không trộn lẫn Định lí sau kết tiết này, đưa tiêu chuẩn cho môđun Artin tựa không trộn lẫn đẳng chiều Kết đóng vai S húa bi Trung tõm Hc liu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 31Trần Văn Hải - Về tính Catenary vành Noether địa phương mơdun Artin tựa khơng trộn lẫn 31 trß quan träng việc chứng minh kết luận văn tiết sau 3.1.4 Định lý không trộn lẫn Giả sử A dim(R/ AnnR A) = N-dimR A đẳng chiều với iđêan Nếu I A R lµ tùa ta cã dim(R/ AnnR (0 :A I)) = N-dimR (0 :A I) dim(R/ AnnR A) = N-dim A = s Khi ®ã b Ann b A) = s LÊy p ∈ AttR A Theo theo Bổ đề 2.3.4 ta có dim(R/ Chứng minh Giả sử r»ng R Bỉ ®Ị 2.3.4 ta cã dim R/p ≤ s Theo Bổ đề 2.1.3, tồn b p AttRb A cho b p ∩ R = p Khi ®ã b p ⊇ b q víi mét b q AttRb A Do b q ∩ R ∈ AttR A theo Bỉ ®Ị 2.1.3 Vì p tối thiểu AttR A b b nªn b q ∩ R = p Do A tùa không trộn lẫn nên dim(R/ p) = s Do dim(R/p) ≥ s Bëi vËy dim(R/p) = s VËy, A đẳng chiều Trước tiên, cho phần hệ tham sè (x1 , , xr ) cña A, ta chứng minh đẳng thức dim(R/ AnnR (0 :A (x1 , , xr )R)) = N-dim(0 :A (x1 , , xr )R) = sr Ta chứng minh đẳng thức quy nạp theo r Cho r = đặt x = x1 LÊy p ∈ Var(AnnR A) cho dim R/p = s Khi ®ã, theo Bỉ ®Ị 2.1.1 ta suy p ∈ AttR A Do ®ã, theo Bổ đề 2.1.3, tồn b p AttRb A cho p = b p ∩ R Vì A tựa không trộn lẫn, b b b Ann b (0 :A x)) = N-dim(0 :A x) = s − nªn dim(R/ p) = s Do dim(R/ R ta suy b b p 6⊇ Rad(AnnRb (0 :A x)) = Rad(AnnRb A + xR) Do ®ã x / b p, x / p Suy x phần tử tham số vành địa phương R/ AnnR A, tức dim(R/(AnnR A + xR)) = s − VËy, dim(R/ AnnR (0 :A x)) s − Theo Bỉ ®Ị 2.2.8, dim(R/ AnnR (0 :A x)) ≥ N-dim(0 :A x) = s − 1, Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 32Trần Văn Hải - Về tính Catenary vành Noether địa phương mơdun Artin ta khụng trn ln 32 đẳng thức với r = Cho r > Đặt B = :A (x1 , , xr−1 )R Theo giả thiết quy nạp ta có N-dim B = dim(R/ AnnR B) = s − r + V× B tựa không trộn lẫn theo Mệnh đề 3.1.2 xr phần tử tham số B nên áp dụng kết cho trường hợp r = ta nhận N-dim(0 :B xr ) = dim(R/ AnnR (0 :B xr )) = s r Vậy, đẳng thức chứng minh Bây ta xét I iđêan R Đặt N-dim(0 :A I) = s − r Khi ®ã, theo MƯnh ®Ị 2.2.9, tån phần hệ tham số (x1 , , xr ) cđa A I V× thÕ, theo đẳng thức theo Bổ đề 2.2.8 ta cã s − r = N-dim(0 :A (x1 , , xr )R) = dim(R/ AnnR (0 :A (x1 , , xr )R) ≥ dim(R/ AnnR (0 :A I)) ≥ N-dim(0 :A I) = s r Vậy, định lí chứng minh 3.2 Tính catenary môđun Artin tựa không trộn lẫn Định lí sau đây, kết chương kết luận văn, chØ mèi quan hƯ gi÷a tÝnh chÊt (*) cđa môđun Artin tựa không trộn lẫn tính catenary vành sở 3.2.1 Định lý (*) vành Giả sử A tựa không trộn lẫn Nếu A tháa m·n tÝnh chÊt R/ AnnR A lµ catenary vµ b Ann b A) dim(R/ AnnR A) = N-dimR A = dim(R/ R Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 33Trần Văn Hải - Về tính Catenary vành Noether địa phương mơdun Artin tựa không trộn lẫn 33 Chøng minh Cho N-dim A = s Do A tháa m·n tÝnh chÊt (*) nên theo Bổ đề 2.2.8 Bổ đề 2.3.4 ta cã b Ann b A) = s dim(R/ AnnR A) = N-dim A = dim(R/ R Mặt khác A tựa không trộn lẫn dim(R/ AnnR A) = N-dim A nên theo Định lí 3.1.4 ta có A đẳng chiều Theo Bổ đề 2.3.4 ta suy vành R/ AnnR A đẳng chiều Vì thế, theo Mệnh đề 1.2.6, để chứng minh vành R/ AnnR A catenary ta cần dim(R/p) + ht(p/ AnnR A) = s víi mäi idean nguyªn tè p AnnR A Lấy p Var(AnnR A) Đặt N-dim(0 :A p) = s − k Theo MƯnh ®Ị 2.2.9, tồn phần hệ tham số (x1 , , xk ) cña A chøa p Đặt J0 = Ji = (x1 , , xi )R víi mäi i = 1, , k Với i cho trước, :A Ji tựa không trộn lẫn theo Mệnh đề 3.1.2 Hơn nữa, dim(R/ AnnR (0 :A Ji )) = N-dim(0 :A Ji ) = s − i theo Định lí 3.1.4 Vì thế, theo Định lí 3.1.4, thoả mÃn tính chất (*) nên Theo Bổ đề 2.1.1 ta có :A Ji đẳng chiều Vì A p = AnnR (0 :A p) Suy p ⊇ AnnR (0 :A Jk ) p ⊇ pk víi mét pk AttR (0 :A Jk ) Tiếp tục lập luận trên, ta nhận dÃy iđêan nguyên tố p pk pk1 ⊇ p0 ⊇ AnnR A, ®ã pi ∈ AttR (0 :A Ji ) víi mäi i = 0, , k V× :A Ji đẳng chiều nên dim(R/pi ) = s − i V× thÕ pi 6= pi+1 víi mäi i Suy ht(p/ AnnR A) k, dim(R/p) + ht(p/ AnnR A) = s Gi¶ thiÕt tùa không trộn lẫn A Định lí 3.2.1 không bỏ Ví dụ sau ®iỊu nµy Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 34Trần Văn Hải - Về tính Catenary vành Noether địa phương mơdun Artin tựa không trộn lẫn 34 3.2.2 VÝ dô cho vành Tồn Artin A không tựa không trén lÉn A tháa m·n tÝnh chÊt (*), dim(R/ AnnR A) = N-dimR A, R/ AnnR A không catenary Chứng minh số chiều Đặt R-môđun Cho (R, m) miền nguyên Noether không catenary có d Kí hiệu E(R/m) bao nội xạ trường thặng dư R/m A = E(R/m) Khi A R-môđun Artin Theo [CN, Lemma 4.4], A thỏa mÃn tính chất (*) Vì R miền nguyên nên theo [Sh, Theorem 2.6] ta cã AttR A = Ass R = {0} Do ®ã, theo Bỉ ®Ị 2.1.1 ta cã AnnR A = Vì vành R/ AnnR A = R không catenary Chú ý có đẳng cấu b-môđun E(R/m) ' E(R/ b m) b Do theo [Sh, Theorem 2.6] ta cã c¸c R b Suy AnnR A = vµ Ass(R) b = Att b A V× Att b A = Ass R R R R không catenary nên không catenary phổ dụng Do theo [Mat, b không đẳng chiều Vì tồn b b Định lí 31.6] ta suy R p ∈ Ass R cho b b b = dim(R/ b Ann b A) dim(R/ p) < dim R R V× thÕ A không tựa không trộn lẫn Tiếp theo ®­a vÝ dơ chøng tá r»ng tÝnh tùa kh«ng trộn lẫn Định lí 3.2.1 quan trọng R-môđun Artin A không tựa không trộn lẫn cho b Ann b A), nh­ng R/ AnnR A lµ catenary vµ dim(R/ AnnR A) = dim(R/ R 3.2.3 VÝ dụ Tồn A không thỏa mÃn tính chất (*) Chứng minh Gọi R miền nguyên Noether địa phương chiều xây dựng M Brodmann C Rotthaus [BR] cho b miền nguyên R b R) b cho vµ R/p trén lÉn víi p Spec R Chọn b p Ass(R/p b b dim(R/ p) < dim(R/p) Nh­ VÝ dô 3.1.3, ta cã dim(R/p) = 2, Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 35Trần Văn Hải - Về tính Catenary vành Noether địa phương môdun Artin tựa không trộn lẫn 35 b b pdim(R/ p) = vµ b p ∈ AttRb (Hm1 (R/p)) Chú ý thành phần b Hm1 (R/p) không phụ thuộc vào biểu diễn thứ cấp tối thiĨu cđa Hm (R/p) (xem [Mac]) Gäi B lµ thành phần b p-thứ cấp Hm1 (R/p) b-môđun Khi ®ã Att b B = {b xÐt nh­ R p} AttR B = {p} Lấy thứ cấp cđa R x ∈ m \ p vµ chän p1 ∈ Ass(R/(p + xR)) cho dim(R/p1 ) = LÊy y ∈ m \ p1 Khi ®ã dim(R/yR) = Chọn q Ass(R/yR) b-môđun cho dim(R/q) = Đặt C = Hm (R/q) Vì ta có đẳng cấu R b R) b nên theo [BS, 7.3.2] ta suy AttR C = {q} vµ Hm2 (R/q) ∼ = H (R/q b mR b R) b | dim(R/ b b AttRb C = {b q Ass(R/q q) = 2} Đặt A = B C Khi A R-môđun Artin, AttR A = {p, q} vµ b R) b | dim(R/ b b AttRb A = {b p} ∪ {b q ∈ Ass(R/q q) = 2} V× y ∈ q \ p1 p p1 nên ta có q p Do ®ã b q 6⊆ b p víi mäi b q ∈ AttRb C V× thÕ b p ∈ AttRb A Vậy A không tựa không trộn lẫn b miền nguyên nên R catenary phổ dụng (xem [Mat, Theorem Vì R 31.6]) Vì vành có R/ AnnR A catenary Hơn nữa, theo Bổ đề 2.1.1 ta b Ann b A) = vµ dim(R/ AnnR A) = Cuèi cïng ta chøng dim(R/ R minh A không thoả mÃn (*) Chú ý p1 ⊇ p ⊇ AnnR A V× y ∈ q \ p1 nªn ta suy p1 6⊇ q Chó ý r»ng AttR C = {q} vµ dim(R/p1 ) = V× thÕ

dim R/ AnnR (0 :C p1 ) dim R/(p1 + AnnR C)
= dim R/(p1 + q) = Do ®ã AnnR (0 :C p1 ) m-nguyên sơ Vì AnnR (0 :C p1 ) 6= p1 Tõ d·y khíp x −→ R/p −→ R/p −→ R/(p + xR) −→ 0, ta cã d·y khíp c¶m sinh
x −→ Hm0 R/(p + xR) −→ Hm1 (R/p) −→ Hm1 (R/p) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 36Trần Văn Hải - Về tính Catenary vành Noether địa phương môdun Artin tựa không trộn lẫn 36 Suy
:Hm1 (R/p) x = Hm0 R/(p + xR) :Hm1 (R/p) x có độ dài hữu hạn Vì x p1 nên :B p1 R-môđun có độ dài hữu hạn Suy AnnR (0 :B p1 ) 6= p1 V× thÕ AnnR (0 :A p1 ) = AnnR (0 :B p1 ) ∩ AnnR (0 :C p1 ) 6= p1 Vậy, A không thoả mÃn tính chất (*) 3.3 Môđun đối đồng điều địa phương tựa không trộn lẫn Tiết dành để trình bày đặc trưng cho môđun đối đồng điều địa phương tựa không trộn lẫn thoả mÃn tính chất (*) thông qua tính catenary vành sở 3.3.1 Định lý Giả sử Hmi (M ) tựa không trộn lẫn Khi mệnh đề sau tương đương (i) Hmi (M ) tháa m·n tÝnh chÊt (*) (ii) Vµnh R/ AnnR Hmi (M ) lµ catenary vµ ta cã c«ng thøc chiỊu b Ann b Hmi (M )) dim(R/ AnnR Hmi (M )) = dim(R/ R §Ĩ chøng minh Định lí 3.3.1, ta cần kết quan trọng sau đà chứng minh [NA1] Với sè nguyªn i PsuppR M i−dim(R/p) = {p ∈ Spec R | HpRp i 0, đặt (Mp ) 6= 0} Tập PsuppiR M định nghĩa M Brodmann R Y Sharp 2002, gọi giả giá 3.3.2 Bổ đề thứ i M (Xem [NA1, Theorem 3.1]) Cho i ≥ lµ mét sè nguyên Các phát biểu sau tương đương: Hmi (M ) thoả mÃn điều kiện (*)
(ii) Var AnnR (Hmi (M )) = PsuppiR M (i) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 37Trần Văn Hải - Về tính Catenary vành Noether địa phương môdun Artin tựa không trộn lẫn 37 Chøng minh (i)⇒(ii) Cho tháa m·n tÝnh chÊt (*) Cho i số nguyên giả sö Hmi (M ) i−dim(R/p) p ∈ PsuppiR M Khi HpRp Do tồn iđêan nguyên tố gắn kết với iđêan nguyên tố qRp AttRp (Mp ) 6=
i−dim(R/p) HpRp (Mp ) q ⊆ p Theo [BS, 11.3.8] ta suy q ∈ AttR (Hmi (M )) Bëi vËy ta cã p ⊇ q ⊇ AnnR (Hmi (M )) Do ®ã
i i PsuppR M ⊆ Var AnnR (Hm (M ))
i (M )) V× Hmi (M ) thỏa mÃn tính chất Ngược lại, cho p Var AnnR (Hm
(*) nªn ta cã AnnR :Hmi (M ) p = p Suy Var AnnR (0 :Hmi (M )
p) = {p} LÊy q ⊇ AnnR (0 :Hmi (M ) p) Khi ®ã q ⊇ p V× Hmi (M ) tháa m·n tÝnh chÊt (*) nªn AnnR (0 :0:H i (M ) p q) = AnnR (0 :Hmi (M ) q) = q m Do ®ã :Hmi (M ) p cịng tháa m·n tÝnh chÊt (*) V× thÕ
dim(R/p) = dim R/ AnnR (0 :Hmi (M ) p)
= N-dimR :Hmi (M ) p
b Ann b (0 :H i (M ) p) = dim R/ R m
b b = max{dim(R/ p) : b p ∈ AttRb :Hmi (M ) p }
b b Do vËy tån t¹i b p ∈ AttRb :Hmi (M ) p cho dim(R/ p) = dim(R/p)
b b p ∩ R ⊇ p V× dim(R/ p) = Chó ý r»ng b p ∈ Var AnnRb (Hmi (M )) vµ b b Chó ý r»ng ta cã dim(R/p) nên b p iđêan nguyên tố tối thiểu pR b-môđun Hmi (M ) c) Vì ta cã thÓ kiÓm tra R = Hmi Rb (M b đẳng thức sau vành đầy đủ R đẳng cÊu c¸c i R c= Psupp b M Suy
Var AnnRb (Hmi (M )) b b p) c c, tøc lµ H i−dim(R/ b p ∈ PsuppiRb M (Mbp ) 6= Vì b p iđêan nguyên b b pR b p b dim(R/ b b tè tèi thiĨu cđa pR p) = dim(R/p) nªn theo Định lí chuyển S húa bi Trung tõm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 38Trần Văn Hải - Về tính Catenary vành Noether địa phương mơdun Artin tựa khơng trộn lẫn 38 së ph¼ng (xem [BS, 4.3.2]) ta cã i−dim(R/p) HpRp b b b b i−dim(R/ p) i−dim(R/ p) c bbp ∼ bbp ) ∼ (Mbp ) 6= (Mp ) ⊗ R (Mp ⊗ R = HpRb = HbpRb b p b p Do vËy i−dim(R/p) HpRp (Mp ) 6= 0, tøc lµ p ∈ PsuppiR M Do ®ã
Var AnnR (Hmi (M )) ⊆ PsuppiR M (ii)⇒(i) Gi¶ sư
Var AnnR (Hmi (M )) = Psupp iR M Cho p iđêan i (M )) Khi theo giả thiết ta có p nguyên tố chứa AnnR (Hm tức ∈ PsuppiR M , i−dim(R/p) b R) b nªn tån (Mp ) 6= Vì dim(R/p) = dim(R/p b R) b cho dim(R/ b b iđêan nguyên tố b p ∈ Ass(R/p p) = dim(R/p) Suy b Chú ý ánh xạ b p R = p b p iđêan nguyên tố tối thiểu pR HpRp cảm sinh bbp phẳng Do vậy, theo Định lí chuyển sở phẳng Rp R ta cã i−dim(R/p) cbp ) ∼ bbp 6= (M (Mp ) ⊗ R = HpRp b p
c) = Var Ann b (Hmi (M )) Chó ý Hmi (M ) Do b p PsuppiRb (M R b p) = b p R-môđun Artin tháa m·n tÝnh chÊt (*) Bëi vËy AnnRb (0 :Hmi (M ) b b b i−dim(R/ p) HbpRb Do ®ã ta cã p ⊆ AnnR (0 :Hmi (M ) p) ⊆ AnnRb (0 :Hmi (M ) b p) ∩ R = b p ∩ R = p Do ®ã AnnR (0 :Hmi (M ) p) = p VËy, Hmi (M ) tháa m·n tÝnh chÊt (*) B©y giê ta chøng minh Định lí 3.3.1, kết tiết hai kết luận văn Chứng minh (i)(ii) suy từ §Þnh lÝ 3.2.1 Ta chøng minh (ii)⇒(i) i Theo Bỉ ®Ị 3.3.2, ta chØ cÇn chøng minh Psupp (M ) = Var(AnnR Hmi (M )) i−dim(R/p) p ∈ PsuppiR M Khi HpRp (Mp ) 6= Vì tồn t¹i qRp ∈
i−dim(R/p) AttRp HpRp (Mp ) víi q p Theo [BS, 11.3.8] ta có Cho Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 39Trần Văn Hải - Về tính Catenary vành Noether địa phương môdun Artin tựa không trộn lẫn 39 q ∈ AttR (Hmi (M )) V× thÕ p ⊇ q ⊇ AnnR (Hmi (M )) Suy PsuppiR M ⊆
Var AnnR (Hmi (M )) Ngược lại, cho Khi p Var(AnnR (Hmi (M ))) Đặt N-dim Hmi (M ) = k b Ann b H i (M )) = k vµ dim(R/ AnnR H i (M )) = k theo dim(R/ m R m giả thiết Theo Bổ đề 2.1.1 ta có Vì p q với q AttR (Hmi (M )) Hmi (M ) đẳng chiều nên theo Định lí 3.1.4 ta có dim(R/q) = k q ∈ AttRb (Hmi (M )) cho q AttR (Hmi (M )) nên tồn b b b b q ∩R = q Do Hmi (M ) không trộn lẫn nên dim R/ q = k Chó ý r»ng b q∈ V× b q c) Suy H i−dim R/b cbq ) 6= Var(AnnRb Hmi (M )) V× thÕ b q ∈ Psuppi (M (M b b qR b q bbq phẳng nên theo Định lí chuyển sở Vì đồng cấu tự nhiên Rq R phẳng [BS, Theorem 4.3.2] ta cã b q i−dim R/b HbqRb b q Do ®ã i−dim R/q HqRq i−dim R/q cbq ) ∼ bbq (M (Mq ) ⊗ R = HqRq i−dim R/q (Mq ) 6= AttRq (HqRq (Mq )) 6= ∅ Theo [BS, 11.3.8] ta suy i−dim R/q+ht p/q AttRp (HpRp Do ®ã i−dim R/q+ht p/q HpRp (Mp )) 6= ∅ (Mp ) 6= V× R/ AnnR (Hmi (M )) lµ catenary vµ p ⊇ q ⊇ AnnR (Hmi (M )) nªn ta cã i − dim R/q + ht p/q = i − dim R/p Do ®ã i−dim R/p HpRp (Mp ) 6= 0, tøc lµ p ∈ PsuppiR (M ) VËy Var(AnnR Hmi (M )) = PsuppiR M Chú ý môđun đối đồng điều địa phương cấp cao A không trộn lẫn vµ = Hmd (M ) b Ann b A) = dim(R/ AnnR A) = d V× thÕ, dim(R/ R d từ Định lí 3.3.1 ta nhận lại kết [CDN]: Hm (M ) thoả mÃn điều kiƯn (*) nÕu vµ chØ nÕu R/ AnnR Hmd (M ) lµ vµnh catenary Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 40Trần Văn Hải - Về tính Catenary vành Noether địa phương mụdun Artin ta khụng trn ln Tài liệu tham khảo [BR] M Brodmann and C Rotthaus, A peculiar unmixed domain , Proc AMS., (4)87 (1983), 596-600 [BS] M Brodmann and R Y Sharp, ``Local cohomology: an algebraic introduction with geometric applications", Cambridge University Press, 1998 [CN] N T Cuong and L T Nhan, tinian modules On the Noetherian dimension of Ar- , Vietnam J Math., (2)30 (2002), 121-130 [CDN] N T Cuong, N T Dung, L T Nhan, Top local cohomology and the catenaricity of the unmixed support of a finitely generated mod- , Comm Algebra, (5)35 (2007), 1691-1701 ule [FR] D Ferrand and M Raynaud, Noetherian, [K1] D Kirby, Fibres formelles d'un anneau local Ann Sci E'cole Norm Sup., (4)3 (1970), 295-311 Artinian modules and Hilberts polynomials , Quart J Math Oxford, (2) 24 (1973), 47-57 [K2] D Kirby, Dimension and length of Artinian modules, Quart J Math Oxford, (2)41 (1990), 419-429 [Mac] I G Macdonald, Secondary representation of modules over a commutative ring , Symposia Mathematica, 11 (1973), 23-43 [Mat] H Matsumura, Commutative ring theory, Cambridge University Press, 1986 40 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 41Trần Văn Hải - Về tính Catenary vành Noether địa phương mơdun Artin tựa không trộn lẫn 41 [Na] M Nagata, ``Local rings", Interscience, New York, 1962 [NA1] L T Nhan and T N An, On the unmixedness and the universal catenaricity of local rings and local cohomology modules, 321 J Algebra, (2009), 303-311 [NA2] L T Nhan and T N An, On the catenaricity of Noetherian local rings and quasi unmixed Artinian modules, Comm Algebra, 38 (10) (2010), To appear [Ro] R N Roberts, Krull dimension for Artinian modules over quasi-local commutative rings [Sh] R Y Sharp, commutative , Quart J Math Oxford, 26 (1975), 269-273 Secondary representations for injective modules over Noetherian rings , Proc Edinburgh Math Soc., 20 (1975), 143-151 [TZ] Z Tang and H Zakeri, Co-Cohen-Macaulay modules and modules , Comm Algebra., (6)22 (1994), 2173-2204 of generalized fractions Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn