ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHẠM HỒNG NAM KIỂU ĐA THỨC CỦA MÔĐUN TRÊN VÀNH NOETHER ĐỊA PHƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - năm 2009 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN DANH TUYÊN KIỂU ĐA THỨC CỦA MÔĐUN TRÊN VÀNH NOETHER ĐỊA PHƯƠNG Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 60.46.05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS-TSKH NGUYỄN TỰ CƯỜNG Thái Nguyên - năm 2009 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Lời nói đầu Tính đa thức hàm độ dài 1.1 Một số kiến thøc chuÈn bÞ 1.2 Nhận xét mở đầu 1.3 Đặc trưng tính chất đa thức hàm độ dài 1.4 Mét sè ¸p dông 15 Kiểu đa thức 18 2.1 Kiến thức chuẩn bị 18 2.2 Kiểu đa thức 2.3 Các chặn kiểu đa thức 2.4 Trường hỵp 21 24 A vành thương vành Cohen-Macaulay 32 Tài liệu tham khảo 36 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời nói đầu Một ý tưởng quan trọng Hình học đại số Đại số giao hoán thông qua việc nghiên cứu thông qua nghiên cứu bất biến số để nói lên cấu trúc đa tạp cấu trúc vành giao hoán điều thấy rõ lý thut nỉi tiÕng nh lý thut bÊt biÕn cđa Mumford, lý thuyết giải kỳ dị Hironaka Một ví dụ điển hình Đại số giao hoán vành Cohen- Macaulay, lớp vành quan trọng Đại số giao hoán Cho (A, m) vành giao hoán , địa phương, Noether = d Một iđêan q SpecA gọi iđêan tham số q m nguyên sơ sinh d phần tử Khi A vành Cohen- Macaulay tồn iđêan tham số q cho lA (A/q) = e(q; A) lA () kí hiệu cho độ dài A môđun e(q; A) số bội Zariski-Samuel A iđêan tham số q Ta biết với iđêan tham số q lA (A/q) e(q; A) Đặt I(q; A) = lA (A/q) − e(q; A) Khi ®ã I(q; A) số không đổi với iđêan tham số q, (chú ý A vành Cohen- Macaulay I(q; A) = với iđêan tham số q) lớp vành có chiều dimA gọi vành Buchbaum Nếu supq I(q; A) < , q chạy khắp tập iđêan tham số A gọi vành Cohen-Macaulay suy rộng Như lớp vành quen thuộc Đại số giao hoán đặc trưng qua lý thuyết bội hàm độ dài Mục đích luận văn trình bày lại kết GS - TSKH Nguyễn Tự Cường kiểu đa thức vành Noether, địa phương báo [4], [5] [6] Trong suốt luận văn ta ký hiệu (A, m) vành giao hoán, địa M A môđun hữu hạn sinh có chiều dimM = d Một hệ phần tö x = (x1 , , xd ) A gọi hệ tham số M nÕu lA (M/xM ) < ∞ Cho n = (n1 , , nd ) lµ mét d số nguyên dương tuỳ phương, Noether ý Khi ®ã chóng ta cã thĨ xem hiƯu IM (n, x) = lA (M/(xn1 , , xnd d )M ) − n1 nd e(x, M ) nh mét hµm sè theo n cã giá trị không âm với biến nguyên, e(x; M ) lµ sè béi theo nghÜa Serre cđa M ®èi víi hƯ tham sè x Khi M = A số bội Zariski - Samuel Năm 1985, Sharp đưa câu hỏi mở: IM (n; x) đa thức theo n n đủ lớn (ký hiệu n 0)? Một loạt ví dụ đưa để chứng tỏ IM (n; x) đa thức n Từ nảy sinh câu hỏi: Khi IM (n; x) đa thức theo n n 0? Một trả lời trọn vẹn cho câu hỏi đưa [4] nói IM (n; x) đa thức x u.p - dÃy Phải S húa bi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn IM (n; x) không đa thức ta nhận thấy hàm IM (n; x) bị chặn đa thức n1 nd l(M/(x1 , , xd )M ) (xem [6]) Nh vËy bËc bÐ nhÊt cđa tÊt c¶ đa thức chặn theo n chặn hàm IM (n; x) tồn Điều dẫn đến bất biến M, gọi kiểu đa thức M Bất biến kết sau (xem [6]): Khi n chặn hàm IM (n; x) không phụ thuộc vào hệ tham sè x VËy bËc bÐ nhÊt nµy lµ mét bÊt biến M Ta ký hiệu bất biến p(M ) gọi kiểu đa thức M Bậc bé tất đa thức theo Ta quy ước bậc đa thức không M M Khi ta dễ dàng thấy p(M ) = −∞ p(M ) ≤ Nh lµ môđun Cohen-Macaulay Cohen-Macaulay suy rộng Rõ ràng tính Cohen-Macaulay dễ dàng đặc trưng qua tính đa thức Luận văn chia thành chương: Chương I nói tính đa thức hàm IM (n; x) vành giao hoán Noether địa phương (A, m) Kết quan trọng chương định lý 1.3.4 câu trả lời trọn vẹn cho câu hỏi mở Sharp nói : IM (n; x) đa thøc x = (x1 , , xd ) u.p-dÃy Hàm số theo n với Chương II đưa khái niệm kiểu đa thức n 0 hệ tham số p(M ) môđun M vành giao hoán, Noether, địa phương Đây khái niệm quan trọng luận văn Ngoài loạt tính chất kiểu đa thức cận đưa chương Một kết quan trọng định lý 2.3.9 hệ 2.4.2 nói lên ý nghĩa hình học kiểu đa thức nói rằng: Giả sử A có phức đối ngẫu Macaulay Nếu M A vành thương vành Cohen- đẳng chiều p(M ) = dim nCM(M ) Chó ý r»ng q tÝch kh«ng Cohen-Macaulay nCM(M ) xác định nCM(M ) = {p Supp(M )|Mp không môđun Cohen-Macaulay} Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình GS - TSKH Nguyễn Tự Cường Nhân dịp em xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy Em xin bày tỏ lòng biết ơn thầy cô ĐH Thái Nguyên Viện Toán học đà tận tình giảng dạy giúp đỡ em nhiều trình làm luận văn S húa bi Trung tõm Hc liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn T«i xin bày tỏ lòng biết ơn trường ĐH Khoa Học - Thái Nguyên, Khoa Toán - Tin đà tạo điều kiện thuận lợi cho thực kế hoạch học tập Tôi xin cảm ơn người thân, đồng nghiệp, bạn bè đà cổ vũ, động viên trình làm luận văn S húa bi Trung tõm Hc liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ch¬ng TÝnh đa thức hàm độ dài Trong chương này, giả thiết phương, Noether với chiều dimM 1.1 m iđêan cực đại (A, m) M vành giao hoán, địa A-môđun hữu hạn sinh có = d Mét sè kiÕn thøc chn bÞ Tríc hÕt ta nhắc lại định lý quan trọng sau Cho Định lý 1.1.1 q A iđêan cho l(M/qM ) < Khi l(M/qn M ) đa thức với hệ số hữu tỷ n vµ d = dim M = deg(l(M/qn M ) = inf{t|∃ x1 , , xt ∈ m §a thøc l(M/qn M ), q cđa M ứng với n Một hệ gọi lµ mét hƯ tham sè cđa M l(M/(x1 , , xt )M ) < } gọi đa thức Hilbert-Samuel Theo định lý tồn hÖ l(M/(x1 , , xd )M ) < hệ tham số để {x1 , , xd } ⊆ m {x1 , , xd } cho tho¶ m·n tÝnh chÊt trªn M Chó ý r»ng nÕu x = (x1 , , xd ) lµ mét (xn1 , xnd d ) còng lµ mét hƯ tham sè cđa M víi mäi (n1 , , nd ) ∈ Nd Cho x = (x1 , , xd ) ta gọi hệ tham số M Đặt q = (x1 , , xd )A q iđêan tham số M Theo định lý trên, l(M/qn M ) ®a thøc víi hƯ sè h÷u tû n 0, đa thức nhận giá trị nguyên với S hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn biến nguyên Vì cã biĨu diƠn n + d n + d − l(M/qn+1 M ) = e0 (q; M ) +e1 (q; M ) + .+ed (q; M ), d d−1 ®ã ei ∈ Z, e0 > víi mäi i = , d Định nghĩa 1.1.2 Samuel M Nếu M e0 biểu diễn gọi số bội Zariski - ứng với iđêan tham số Định nghĩa 1.1.3 hệ bội Số q kí hiệu e(q; M ) Một hệ phần tử x = (x1 , , xt ) A gọi l(M/(x1 , , xt )M ) < ∞ t = th× điều kiện hiểu l(M ) < Khi ®ã ký hiƯu béi e(x; M ) ®èi víi hệ bội x định nghĩa quy nạp theo t nh sau: NÕu t = 0, tøc lµ l(M ) < Khi ta đặt e(; M ) = l(M ) NÕu t > 0, tøc lµ l(M/(x1 , , xt )M ) < ∞ Tõ ®ã ta suy l((0M : x1 )/(x1 , , xt )(0M : x1 )) < ∞, tøc lµ (x2 , , xt ) hệ bội 0M : x1 Theo giả thiết quy nạp e((x2 , , xt ); M/x1 M ) vµ e((x2 , , xt ); 0M : x1 ) lµ tån Khi ta định nghĩa e(x; M ) = e((x2 , , xt ); M/x1 M ) − e((x2 , , xt ); 0M : x1 ) e(x; M ) Số bội định nghĩa gọi số bội M øng víi hƯ x Chó ý 1.1.4 Cho x = (x1 , , xt ) lµ hệ bội đưa số tính chất số bội M Dưới e(x; M ) thường sử dụng luận văn (i) víi ≤ e(x; M ) ≤ l(M/(x1 , , xt )M ) NÕu tån t¹i i cho xni M = 0, n lµ mét số tự nhiên e(x; M ) = Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn (ii) (Định lý cộng tính cđa béi) Gi¶ sư −→ Mn −→ −→ M1 −→ M0 −→ A− lµ d·y khớp môđun Noether i = 0, , n Khi đó, n X x hệ béi cđa Mi , víi mäi (−1)i e(x; Mi ) = i=0 (iii) Cho vµ chØ x = (x1 , , xt ) lµ mét hƯ béi cđa M Khi ®ã e(x; M ) = t > dim M (iv) Cho (n1 , , nt ) ∈ Nt Khi ®ã, e((xn1 , , xnt t ); M ) = n1 nt e(x; M ) (v) NÕu x lµ mét hƯ tham sè M tức t = d, ta có công thức liên e0 (q; M ) = e(x; M ), hệ số bội hình thức số bội Zariski - Samuel q = (x1 , xd )A (vi) C«ng thøc Auslander - Buchsbaum [A- B] Với kí hiệu l(M/(x1 , , xd )M ) − e(x; M ) P = d−1 i=0 e((xi+1 , , xd ); (x1 , , xi−1 )M : xi /(x1 , , xi1 )M Khi tham số M A-môđun Cohen-Macaulay tồn hệ x = (x1 , , xd ) cho l(M/(x1 , , xd )M ) = e(x; M ) Định nghĩa 1.1.5 (i) Một A-môđun M gọi môđun Cohen-Macaulay suy rộng I(M ) = sup{l(M/(x1 , , xd )M − e(x; M ))} < ∞ ®ã x = (x1 , , xd ) chạy khắp tập c¸c hƯ tham sè cđa M (ii) Mét hƯ tham sè t¾c cđa M x = (x1 , , xd ) M gọi hệ tham sè chuÈn nÕu lA (M/(x1 , , xd )M )−e(x; M ) = lA (M/(x21 , , x2d )−e((x21 , , x2d ); M ) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chó ý 1.1.6 Khi ta có số đặc trưng môđun Cohen-Macaulay suy rộng (i) M môđun Cohen-Macaulay suy réng vµ chØ hƯ tham sè chn tắc Hơn nữa, M có I(M ) = lA (M/(x1 , , xd )M ) − e(x; M ) x lµ mét hƯ tham số chuẩn tắc (ii) Giả sử M Mp môđun Cohen-Macaulay suy rộng Khi Cohen-Macaulay dimMp + dimA/p = d môđun với iđêan nguyên tố p \{m} Hơn A vành thương vành Cohen-Macaulay SuppM điều ngược lại c bao đầy đủ m-adic M Khi M môđun CohenM c môđun Cohen-Macaulay suy rộng Macaulay suy réng vµ chØ M (iii) Ký hiệu (iv) Cho dim(R/p) 1.2 M = dimM môđun víi mäi Cohen-Macaulay suy réng Khi ®ã p ∈ AssM, p 6= m Nhận xét mở đầu x = (x1 , , xd ) Cho hƯ tham sè cđa M tập số nguyên dương n = (n1 , , nd ) ta đặt x(n) = (xn1 , , xnd d ) XÐt hiÖu IM (n; x) = `(M/x(n)M ) − n1 nd e(x; M ) nh mét hµm cđa x n1 , , nd , ®ã e(x; M ) lµ sè béi cđa M Khi đó, nhìn chung IM (n; x) tương ứng với n1 , , nd không đa thức với đủ lớn, nhiên chúng nhận giá trị không âm Thật vËy, ta xÐt vÝ dô sau: Cho A = k[[X, Y, Z]]/I, k[[X, Y, Z]] vành chuỗi luỹ thừa hình thức theo ba biến ràng ta có dimA X, Y, Z trường đóng đại số k vµ I = (X , XY Z) Râ = vµ hƯ x = (x1 , x2 ) lµ hệ tham số A, x1 Y +Z( A x2 ảnh Y A Khi ®ã ta cã (x, xn1 )A nÕu m ≥ n + n m x1 A : x2 = (x, xn1 )A ∩ (x2 , z, xn−m )A m n x ảnh X A z ảnh Z A Cho n = (n, m) ảnh x = (x1 , x2 ) Gi¶ sư IM (n; x) = `(M/x(n)M ) nme(x; M ) đa thøc Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn 22 Tõ d·y khíp trªn suy l(M/x21 M ) ≤ 2l(M/x1 M ) Hoµn toµn t¬ng tù cã d·y khíp x M/x21 M −→ M/x31 M −→ M/x1 M −→ Tõ d·y khíp trªn suy l(M/x31 M ) ≤ l(M/x21 M ) + l(M/x1 M ) Từ hai bất đẳng thức suy suy Giả sử l(M/x31 M ) 3l(M/x31 ) Tiếp tục trình l(M/xn1 ) n1 l(M/x1 M ) d > Đặt E = M/xn1 M vµ F = M/(x2 , , xd )M Khi theo giả thiết quy n¹p ta cã l(M/(xn1 , , xnd d )M ) = l(E/(xn2 , , xnd d )E) ≤ n2 nd l(E/(x2 , , xd )E) = n2 nd l(F/xn1 F ) ≤ n1 nd l(M/(x1 , , xd )M ) Khi n1 = n2 = = nd = đặt IM (n, x) = IM (x) Tõ bỉ ®Ị ta suy mét hƯ qu¶ sau HƯ qu¶ 2.2.2 IM (n, x) ≤ n1 nd IM (x) HÖ nói lên hàm số bị chặn đa thức IM (n, x) không ®a thøc th× nã n1 nd IM (x) Do bậc nhỏ tất đa thức theo n chặn tồn liệu có phụ thuộc vào cách chọn hệ tham số x? Định lý sau trả lời trọn vẹn câu hỏi Định lý dẫn đến khái niệm luận văn Định lý 2.2.3 Bậc bé tất đa thức theo n chặn hàm số IM (n, x) không phụ thuộc vào cách chọn x Chứng minh Cho t = (t, , t) ∈ N Khi ®ã theo Garcia Roig, J .L th× bËc bÐ nhÊt tất đa thức theo thuộc vào cách chọn x t chặn hàm số Ký hiệu bất biến bé tất đa thức chặn hàm S húa bi Trung tõm Hc liệu – Đại học Thái Nguyên IM (t, x) p0 (M ) IM (n, x) gọi không phụ p(x) lµ bËc Ta sÏ chøng minh http://www.lrc-tnu.edu.vn 23 hµm IM (n, x) đồng biến Thật vậy, theo quy nạp ta chØ cÇn chøng minh IM (m, x) ≥ IM (n, x), víi mi = ni , ∀i < d Theo công thức [A-B] công thức bội ta có md IM (m, x) = l(M/(xm d , , xd )M ) − m1 md e(x, M ) m m m1 md d−1 d−1 = l(xm , , xd−1 )M : xd /(x1 , , xd−1 )M ) + d−1 P i=1 m m m m1 mi m1 i+1 i−1 i−1 d e((xi+1 , , xm d ); (x1 , , xi−1 )M : xi /(x1 , , xi−1 )M ) m m m m nd m1 d−1 d−1 ≥ l(xm , , xd−1 )M : xd /(x1 , , xd−1 )M ) d−1 P mi+1 mi−1 mi−1 m1 mi m1 d + e((xi+1 , , xm d ); (x1 , , xi−1 )M : xi /(x1 , , xi−1 M ) i=1 m1 nd d−1 d−1 ≥ l(xm , , xd−1 )M : xd /(x1 , , xd−1 )M ) d−1 P ni+1 ni−1 ni−1 + e((xi+1 , , xnd d ); (xn1 , , xi−1 )M : xni i /(xn1 , , xi−1 )M ) i=1 n n d−1 d−1 = l(xn1 , , xd−1 )M : xnd d /(xn1 , , xd−1 )M ) d−1 P ni+1 ni−1 ni−1 + e((xi+1 , , xnd d ); (xn1 , , xi−1 )M : xni i /(xn1 , , xi−1 )M ) i=1 = IM (n, x) Do ®ã ta cã IM (t, x) ≤ IM (n, x), víi mäi t ≤ ni , i = 1, , d p0 (M ) ≤ p(x) T¬ng tù ta cã IM (t, x) ≥ IM (n, x), 1, , d p0 (M ) ≥ p(x) Do ®ã ta suy tham sè Suy víi mäi Suy t ≥ ni , i = p0 (M ) = p(x) với hệ x Định lý đưa ta đến khái niệm sau xuất phát điểm quan trọng dẫn đến kết chương Định nghĩa 2.2.4 Bậc bé tất đa thức chặn IM (n, x) lµ mét bÊt biÕn cđa M BÊt biến gọi kiểu đa thức M ký hiƯu lµ p(M ) Chó ý 2.2.5 (i) Quy ước bậc đa thức là môđun Cohen-Macaulay vµ chØ tham sè cđa M cho IM (n, x) = Macaulay suy réng vµ chØ −∞ Khi ®ã ta suy M p(M ) = ta chọn hệ Ta suy ra, M môđun Cohen- p(M ) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 24 (ii) Theo c«ng thøc Lech ta cã l(M/(xn1 , , xnd d )M ) lim = e(x, M ) n1 nd min(ni )→∞ < p(M ) ≤ dimM M không môđun Cohen-Macaulay suy Nh vËy kiĨu ®a thøc cã thĨ xem nh độ đo tính Cohen-Macaulay phù hợp cho môđun Hệ sau sử dụng nhiều mục Hệ 2.2.6 Cho Chứng minh Vì số c bao đầy đủ m-adic M Khi p(M ) = p(M c) M x = (x1 , , xd ) lµ hƯ tham sè M x hệ tham c Mặt khác độ dài bội bất biến qua phép lấy đầy đủ, nghĩa M c/(x)M c) e(x; M ) = e(x; M c.) l(M/(x)M ) = l(M d số nguyên dương n1 , , nd ta cã c/(xn1 , , xnd )M c) l(M/(xn1 , , xnd )M ) = l(M Do với Từ ®©y suy 2.3 d d c IM c(n, x) = IM (n, x) Do ®ã p(M ) = p(M ) Các chặn kiểu đa thức Chú ý 2.2.5(ii) nói lên xác p(M ) ta thấy bị chặn Tuy nhiên chưa thể tính chặn Các kết mục nói lên ý nghĩa hình học tính chặn p(M ) tính p(M ) p(M ), số trường hợp đặc biệt Trước phát biểu kết mục cần định nghĩa số bổ đề sau Định nghĩa 2.3.1 thu gọn Một phần hÖ tham sè xi ∈ / p, ∀p ∈ x1 , , x j M gäi lµ d·y Ass(M/(x1 , , xi−1 )M ) víi dim(A/p) ≥ d − i, i = 1, , j Từ định nghĩa ta định nghĩa thêm bất biến cđa r(M ) = M cã inf {k}, ®ã k M thoả mÃn điều kiện phần hệ tham sè cđa d − k − phÇn tư lµ d·y thu gän cđa M Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 25 Bỉ ®Ị 2.3.2 cđa M (xem 4.8 cđa [1]) Cho Khi ®ã xk 6∈ p víi mäi x = (x1 , , xd ) lµ hƯ tham sè p ∈ Ass(M/(x1 , , xk−1 )M ) tho¶ m·n dim(R/p) ≥ d − k(k = 1, , d − 1) nÕu vµ chØ nÕu e((x1 , , xd ); M ) = l(M/(x1 , , xd )M ) −l((x1 , , xd−1 )M ) : xd /(x1 , , xd−1 )M ) Bỉ ®Ị 2.3.3 x1 , , xj Cho dÃy thu gọn hoán vị (mọi hoán vị x1 , , xj dÃy thu gọn) Khi với mäi p ∈ Ass(M/(x1 , , xj−1 )M ) dim(A/p) ≥ d − j tho¶ m·n ta cã dim(Mp ) + dim(A/p) = d Chøng minh Gi¶ sö dimMp d·y x1 , , xj cho x1 , , xk lµ hƯ tham sè cđa Mp V× (x1 , , xk )Mp ⊆ (x1 , , xj−1 )Mp ⊆ pMp nªn suy Theo [8], 7.C ta nhận thuẫn với giả thiết dim(A/p) Cho Chứng minh Đặt p pAp - nguyên sơ x1 , , xj lµ d·y thu gän VËy dimMp = j, tøc lµ dimMp + p ∈ SuppM thoả mÃn dim(A/p) > r(M ) Khi nên j Mp lµ cđa M dim(Mp ) + dim(A/p) = d k = r(M ) chọn phần hệ tham sè x1 , , xj cho k < dj p Ass(M/(x1 , , xj1 )M ) Điều mâu môđun Cohen-Macaulay nằm (x1 , , xj−1 )Mp = d Bỉ ®Ị 2.3.4 Vì = k < j ta chọn thứ tự số lớn Khi ®ã ta suy dim(A/p) d − k − ≥ j, tøc lµ x1 , , x j = d − j lµ d·y thu gọn hoán vị M Theo bổ đề ta có dim(Mp ) + dim(A/p) = d Mặt khác, x1 , , xj cịng lµ d·y thu gọn Mp nên theo bổ đề 2.3.2 ta có l(Mp /(x1 , , xj )Mp ) − e((x1 , , xj ); Mp ) = l((x1 , , xj−1 )Mp : xj /(x1 , , xj−1 )Mp ) Hơn pAp Ass(Mp /(x1 , , xj−1 )Mp ), tõ ®ã suy (x1 , , xj−1 )Mp : xj = (x1 , , xj−1 )Mp Suy Mp l(Mp /(x1 , , xj )Mp ) − e((x1 , , xj ); Mp ) = Điều chứng tỏ môđun Cohen-Macaulay S húa bi Trung tõm Hc liu Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 26 A cã phøc ®èi ngẫu cho a a(M ) Bổ đề 2.3.5 Giả sử phần tử tuỳ ý cho dim(M/aM ) = d − Khi ®ã, nÕu dim(A/a(M )) < d − th× dim(A/a(M/aM )) = dim(A/a(M )) Chứng minh Đặt M = M/aM k= dim(A/a(M )) Khi xét dÃy khớp sau 0M : a(M ) −→ M −→ M/(0M : a(M ) −→ a −→ M/(0M : a(M )) −→ M −→ M −→ HiĨn nhiªn (S1 ) (S2 ) (S1 ) lµ khíp vµ (S2 ) lµ khíp v× 0M : aA = 0M : a(M ) theo [9], 2.4.4 Mặt khác dim(0M : a(M )) = k , nên theo định lý 2.1.1 ta suy Hmi (0M : a(M )) = víi mäi i > k Khi ®ã d·y khíp (S1 ) sinh đẳng cấu fi : Hmi (M ) Hơn = Hmi (M/(0M : a(M ))) a.Hmi (M ) = víi ≤ i ≤ d nên từ biểu đồ giao hoán a Hmi (M ) H HH fi H HH j - Hmi (M ) * gi Hmi (M/(0M : a(M ))) ta suy gi ánh xạ không với k i d Vì dÃy khớp (S2 ) sinh dÃy khớp dài đối đồng điều địa phương fi đẳng cấu nên ta thu Hmi (M ) −→ Hmi (M ) −→ Hmi+1 (M ) −→ dÃy khớp ngắn k i ≤ d − Tõ ®ã suy Rad(ak (M )) Rad(ad1 (M )) Mặt khác A có phức đối ngẫu nên theo 2.1.12(iv) ta nhận ®ỵc dim(A/a0 (M ) ak−1 (M )) Mặt khác = Rad(ak (M )) Rad(ad2 (M )) ≤k−1 vµ dim(A/a0 (M ) ak1 (M )) A catenar dim(A/a(M )) = dim(A/a(M )) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn 27 Cho Bỉ ®Ị 2.3.6 x = (x1 , , xd ) lµ mét hƯ tham sè cđa M cho xi ∈ a(M/(xi+1 , , xd )M ), víi i = 1, , d Khi ®ã n n i−1 i−1 (xn1 , , xi−1 )M : xni i ⊆ (xn1 , , xi−1 )M : xj víi mäi j ≥ i ≥ Chøng minh Ta chứng minh bổ đề quy nạp lùi theo đề hiển nhiên j Khi j=d bổ xd ∈ a(M ) ( theo 2.1.3(iii)) Víi d > j i từ định nghĩa x hệ 2.1.4 ta cã cña n n i−1 i−1 (xn1 , , xi−1 )M : xni i ⊆ (xn1 , , xi−1 , xj+1 , , xd )M : xni i n i−1 ⊆ (xn1 , , xi−1 , xj+1 , , xd )M : xj Cho n i−1 a ∈ (xn1 , , xi−1 )M : xni i , ta có khai triển a.xj = b + cj+1 xj+1 + + cd xd víi n i−1 b ∈ (xn1 , , xi−1 )M, cj+1 , , cd M Từ giả thiết quy nạp ta suy n i−1 axj xj+1 = bxj+1 + cj+1 x2j+1 + + cd xd xj+1 ∈ (xn1 , , xi−1 )M, nghÜa lµ cđa n i−1 , xj+2 , , xd )M Lại dựa vào định nghĩa cj+1 x2j+1 ∈ (xn1 , , xi−1 x hệ 2.1.4 ta suy n i1 cj+1 ∈ (xn1 , , xi−1 , xj+2 , , xd )M : x2j+1 n i−1 = (xn1 , , xi−1 , xj+2 , , xd )M : xj+1 Điều chứng tỏ Nếu j+1 < d n i−1 axj ∈ (xn1 , , xi−1 , xj+2 , , xd )M ta tiếp tục trình trên, cho cuèi cïng ta ®i ®Õn n i−1 axj ∈ (xn1 , , xi1 )M Định lý 2.3.7 Giả sử A có phức đối ngẫu Khi ta có đẳng thức p(M ) = r(M ) = dim(A/a(M )) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 28 Chøng minh Để chứng minh định lý ta p(M ) ≥ r(M ) ≥ dim(A/a(M )) ≥ p(M ) Ta cÇn chøng minh p(M ) ≥ r(M ) Đặt p(M ) = k Giả sử x = (x1 , , xd ) lµ mét hƯ tham sè t ý cđa M Theo c«ng thøc [A-B] ta cã n n d−1 d−1 )M ) )M : xnd d /(xn1 , , xd−1 IM (n, x) = l((xn1 , , xd−1 + d−1 X n n n i+1 i−1 i−1 e((xi+1 , , xnd d ); (xn1 , , xi−1 )M : xni i /(xn1 , , xi−1 )M i=1 Vì p(M ) = k nên IM (n, x) bị chặn đa thức bậc k Do ®ã n n n i+1 i−1 i−1 e((xi+1 , , xnd d ); (xn1 , , xi−1 )M : xni i /(xn1 , , xi−1 )M ) = i = 1, , d − k − vµ n1 , , nd ≥ Cho n1 = n2 = = ni = với suy e((xi+1 , , xd ); (x1 , , xi−1 )M : xi /(x1 , , xi−1 )M ) = Theo bỉ ®Ị 1.4.1 suy nghÜa cđa x1 , , xd−k−1 lµ mét d·y thu gän Do theo định r(M ) suy r(M ) ≤ k TiÕp theo ta sÏ chøng minh ®ã víi p r(M ) dim(A/a(M )) Đặt SuppM thoả m·n dim(A/p) =d−j >k r(M ) = k Khi ta sÏ chøng minh a(M ) 6⊆ p ThËt vËy, theo bỉ ®Ị 2.3.3 ta cã dimMp + dim(A/p) = d Suy dimMp cña M = j ≤ d − k − chøa lµ d·y thu gän cđa p Vì ta tìm hệ tham số hệ tham số Mp Mp Hơn x1 , , x j x1 , , xj r(M ) = k Tõ bỉ ®Ị 2.3.2 suy l(Mp /(x1 , , xj )Mp ) − e((x1 , , xj ); Mp ) = l((x1 , , xj−1 )Mp : xj /(x1 , , xj−1 )Mp ) V× x1 , , x j cịng dÃy thu gọn M nên suy pAp 6∈ Ass(Mp /(x1 , , xj−1 )Mp ), Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 29 từ suy (x1 , , xj−1 )Mp : xj = (x1 , , xj−1 )Mp §iỊu nµy chøng tá l(Mp /(x1 , , xj )Mp ) − e((x1 , , xj ); Mp ) = 0, hay Mp lµ Cohen-Macaualy dim(A/a(M )) Khi theo [9], 2.4.6 Vậy ≤ k = r(M ) TiÕp theo ta sÏ chøng minh dim(A/a(M )) ≥ p(M ) Theo chó ý 2.2.5(ii) bất đẳng thức hiển nhiên dim(A/a(M )) dim(A/a(M )) a(M ) 6∈ p < d − = d Giả sử Vì vành thương vành có phức đối ngẫu có phức đối ngẫu nên theo 2.1.12(iv) ta chọn hệ tham sè x = (x1 , , xd ) cđa M cho x tho¶ m·n gi¶ thiết bổ đề 2.3.6, nghĩa xi a(M/(xi+1 , , xd )M ), i = 1, , d Đặt M = M/xd M, x0 = (x1 , , xd−1 ), n0 = (n1 , , nd−1 ) mét hƯ tham sè cđa M Khi x0 thoả mÃn điều kiện bổ đề 2.3.6 M Khi theo bổ đề 2.3.3 ta cã n n d−1 d−1 IM (n, x) = l((xn1 , , xd−1 )M : xd /(xn1 , , xd−1 )M ) = IM (n0 , 1; x) Mặt khác 0M : xd = 0M : a(M ) nên n d−1 IM (n0 , 1; x) = IM (n0 , x0 ) + e((xn1 , , xd−1 ); 0M : xd ) V× dim(A/a(M )) n d−1 < d − nªn suy e((xn1 , , xd−1 ); 0M : xd ) = VËy IM (n; x) = IM (n0 ; x0 ) Do ®ã p(M ) = p(M ) Sư dơng quy theo bỉ ®Ị 2.3.5 ta dƠ dàng chứng minh dim(A/a(M )) Từ chứng minh định lý ta có d theo p(M ) p(M ) ≥ r(M ) ®ã tõ bỉ ®Ị 2.3.4 ta suy hƯ qu¶ sau HƯ 2.3.8 Cho p SuppM môđun Cohen-Macaulay cho dim(A/p) > p(M ) Khi ®ã Mp dim(Mp ) + dim(A/p) = d Số hóa Trung tâm Học liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 30 Nhắc lại môđun với p đa thức M gọi đẳng chiều dimM = dim(A/p) AssM Định lý sau nói lên ý nghĩa hình học kiểu M Giả sử Định lý 2.3.9 A có phức đối ngẫu M đẳng chiều Khi ®ã p(M ) = dim(nCM (M )) Chøng minh V× nar Do M A có phức đối ngẫu nên theo 2.1.12(ii) đẳng chiều nên ta có dimMp 2.4.6 th× ta cã V (a(M )) = dim(A/a(M )) = dim (nCM(M )) A lµ vµnh cate- + dim(A/p) = d Theo [9] , nCM(M ) Vậy theo định lý ta có Từ hai định lý ta suy ®iỊu kiƯn A p(M ) = cã phøc ®èi ngẫu quan trọng định lý không bỏ điều kiện A có phøc ®èi ngÉu ThËt vËy ta xÐt mét vÝ dơ sau Ví dụ 2.3.10 Như đà biết Ferrand Raynaud đà xây dựng miền nguyên địa phương b R (R, m) víi dimR = m − adic b cho b p ∈ R cho bao đầy đủ R có iđêan nguyên tố liên kết chiều Giả sử b b b không CM suy rộng Vì ngược lại dimR/ p = Do suy R b CM suy réng th× ta suy dimR/ b b b = víi mäi b b R p = dimR p Ass(R), điều mâu thuẫn Vậy b R không CM suy rộng Suy (ii) ta suy Chú ý không CM suy rộng Theo 1.1.6(iii) th× R p(R) ≥ V× dim(R) = vµ theo chó ý 2.2.5 p(R) = R phức đối ngẫu Vì R có phức đối ngẫu R Catenary phổ dụng Do R miền nguyên nên iđêan (0) iđêan nguyên b b tố Theo bổ đề 2.1.10 R/(0) = R lµ umixed, nghÜa lµ dimR/ p = dimR b điều mâu thuẫn dimR = tồn b b với b p AssR, p ∈ AssR b b cho dimR/ p = Vậy R phức đối ngẫu Tiếp theo ta sÏ chØ r»ng nCM(M ) th× Rp Vậy trường nên suy dimRp p / nCM(R) Víi p ∈ = {m} = = depthRp Do ®ã SpecR cho Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ThËt vËy, nÕu 6= p vµ p = Rp p 6= m CM http://www.lrc-tnu.edu.vn 31 dim R = nên suy dim(R/p) phương nên (Rp , pRp ) Do depthRp = Vì (R, m) Suy dimRp miền nguyên địa phương dimRp = Do Rp miền nguyên địa miền nguyên địa phương nên phần tử khác không phần tử quy Suy depthRp suy Rm CM Vậy p nCM(R) không CM VËy nCM(R) V× Rp = Víi p=m th× ®ã = Tõ ®ã Rm ' R Do ®ã = {m} Do ®ã dim (nCM(R)) = p(R) = theo chứng minh định lý 2.3.7 ta suy r(R) ≤ p(R) = Gi¶ sư r(R) = nên AssR = {(0)} suy Khi điều mâu thuẫn Vậy suy x0 = x0 dÃy thu gọn Vì R miền nguyên dÃy thu gọn nên suy x0 = (0), r(R) = Mặt khác theo [9] a1 (R) = nên a(R) = Do ®ã dim(R/a(R)) = VËy ta cã bÊt ®¼ng thøc dim(R/a(R)) > p(R) > dim (nCM(R)) = r(R) = Ví dụ nói lên định lý 2.3.7 không A phức đối ngẫu Tuy nhiên ta có định lý sau trường hợp tổng quát Định lý 2.3.11 (i) Với ký hiƯu nh ë trªn ta cã dim(A/a(M )) ≥ p(M ) ≥ r(M ) (ii) NÕu nCM (M ) đóng SuppM theo tôpô Zariski p(M ) ≥ r(M ) ≥ dim(nCM (M )) Chøng minh Ký hiƯu cã b ⊆ aM c a(M )A b vµ M c bao đầy đủ m- adic A M Khi ta A Vì bao đầy đủ vành có phức đối ngẫu nên từ hệ 2.2.6 định lý 2.3.8 ta suy b b ≥ dim(A/a( b M c)) = p(M c) = p(M ) dim(A/a(M )) = dim(A/a(M )A) TiÕp theo ta cần chứng minh hệ 2.3.5 dim(A/p) Macaulay Do ®ã r(M ) ≥ > r(M ) dim (nCM(M )) Thật theo Mp không môđun Cohen- p 6∈ SuppM Suy dim (nCM(M )) ≤ r(M ) Các bất đẳng thức lại định lý hoàn toàn chứng minh giống định lý 2.3.8, không nhắc lại chứng minh S húa bi Trung tõm Hc liu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn 32 Trêng hỵp A vành thương vành Cohen-Macaulay 2.4 Kết tiêu chuẩn hữu hiệu để tìm cận kiểu đa thức p(M ) Định lý 2.4.1 Giả sử A vành thương vành Cohen-Macaulay, k số tự nhiên Khi mệnh đề sau tương đương: (i) p(M ) k; (ii) Mäi phÇn hƯ tham sè gåm (iii) Víi iđêan nguyên tố Mp Mp p SuppM cho dim(A/p) > k, ta cã dim Mp + dim(A/p) = d; CM (iv) Với iđêan nguyên tố có d k phần tử d·y thu gän; lµ CM vµ p ∈ SuppM cho dim(A/p) = k + 1, ta dim Mp + dim(A/p) = d Chøng minh V× tÝnh chÊt Cohen-Macaulay ỉn định qua tổng quát hoá nên (iii) (i) (iv) Vì ta cần chứng minh (i)= (ii)= (iii)= (i.) = (ii) suy từ định lý 2.3.11 ThËt vËy, theo 2.3.11 ta cã r(M ) ≤ p(M ) k lớn Do phần hệ tham số dk1 có số phần tử dÃy thu gọn Suy phần hƯ tham sè d − k − phÇn tư lµ d·y thu gän cđa M (ii) =⇒ (iii) Víi iđêan nguyên tố p SuppM có M Theo (ii) suy r(M ) ≤ k, tho¶ m·n dim(A/p) từ suy dim(A/p) > r(M ) > k Theo hệ 2.3.4 ta suy điều cần chứng minh b M c bao đầy đủ m- adic cđa A vµ M =⇒ (i) Ký hiƯu A b M c)) = k Gi¶ sư r»ng k > k Chän P ∈ Ass(A/a( b M c)) dim(A/a( (iii) Đặt cho = k đặt p = P A Khi tồn iđêan nguyên tố b A) b cho Q ⊆ P , tøc lµ Q ∩ A = p Khi A/p b A b không Q ∈ Ass(A/p b ) dim(A/P trén lÉn (unmixed) nªn ta ®ỵc dim(A/p) Chó ý r»ng b A) b = dim(A/Q) b b ) = k0 = dim(A/p ≥ dim(A/P b vành catenar, từ giả thiết (iii) bổ đề 2.3.4 ta suy A b d = dimMp + dim(A/p) = dimMp + dim(A/Q) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 33 b ) + dim(A bP /QA bP ) = dimMp + dim(A/P b ) + dim(A bP /pA bP ) = dimMp + dim(A/P cP + dim(A/P b ) = dimM Mặt khác dim(A/p) k0 > k nên theo (iii) suy Mp cP môđun Cohen - Macaulay M b Cohen - Macaulay Từ suy tắc A A Macaulay Vậy môđun Cohen - thớ đồng cấu cP + dim(A/P b ) = depth(M cP ) + dim(A/P b ) d = dimM c) P, điều mâu thuẫn với cách (M b có phức đối ngẫu nên chọn iđêan nguyên tố P Vậy ta phải có k k Vì A Theo định lý 2.4.6 [9] ta theo bổ đề 2.2.6 định lý 2.3.7 cuối ta nhận c) = k ≤ k p(M ) = p(M NÕu A lµ vµnh thương vành Cohen - Macaulay quỹ tích không Cohen - Macaulay nCM(M ) tập đóng SpecA Nh vËy chóng ta cã thĨ nãi vỊ chiều nCM(M ) Khi ta có hệ sau Hệ 2.4.2 M Giả sử A vành thương vành Cohen - Macaulay ®¼ng chiỊu Khi ®ã p(M ) = r(M ) = dim(nCM (M )) Chøng minh V× dimMp + ta suy A dim(A/p) lµ = d V (a(M )) = vµnh catenar víi mäi p ∈ vµ M lµ chiỊu nên SuppM Vậy từ định lý [9] 2.4.6 nCM(M ) Do dim (nCM(M )) Từ định lý 2.3.11 ta suy đẳng = dim(A/a(M )) p(M ) = r(M ) = dim (nCM(M )) Nh ®· giíi thiƯu líp môđun Cohen-Macaulay suy rộng lần đưa [7] Từ định lý hệ ta nhận lại tất kết [7] cho môđun Cohen-Macaulay suy rộng S hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 34 Hệ 2.4.3 Cho A vành thương cuả vành Cohen-Macaulay A có phức đối ngẫu Khi mệnh đề sau tương đương: (i) M (ii) môđun Cohen-Macaulay suy rộng; p(M ) 0; (iii) Mäi hƯ tham sè cđa (iv) (v) M ®Ịu lµ d·y thu gän; dim(A/a(M )) ≤ 0; dim nCM (M ) = M đẳng chiều Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 35 Kết luận Như luận văn đà trình bày lại số kết GS TSKH Nguyễn Tự Cường tính đa thức kiểu đa thức vành Noether, địa phương M môđun hữu hạn sinh (A, m) cụ thể là: Trình bày lại số định nghĩa, tính chất bội môđun Cohen Macaulay suy rộng Đưa khái niệm u.p - dÃy đặc trưng tính đa thức hàm độ dài tính Cohen-Macaulay môđun thông qua u.p-dÃy Nhắc lại số kiến thức môđun đối đồng điều địa phương, khái niệm vành Catenary, catenary phổ dụng, Gorenstien mối liên hệ chúng Nhắc lại khái niệm phức đối ngẫu số tính chất phức đối ngẫu Đưa khái niệm kiểu đa thức, tính số trường hợp đặc biệt tìm cận trường hợp tổng quát Đưa ý nghĩa hình học kiểu đa thức đặc trưng môđun CohenMacaulay suy rộng thông qua kiểu đa thức, dÃy thu gọn chiều quỹ đạo không Cohen-Macaulay Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Tài liệu tham khảo [1] Auslander, M and D A Buchsbaum, Codimension and multiplicity, Ann of Math 68 (1958), 625-657 [2] Atiyah, M F and I G Macdonald, Introduction to commutative algebra, Reading, Mass, 1969 [3] Brodmann M, Lectures on Local Cohomology, Autumn schooll of Quinhon(Viet Nam), -1999 [4] Cuong, N T, On the length of the powers of systems of parameters in local ring, Nagoya Math J 120 (1990), 77-88 [5] Cuong, N T, On the dimension of the non- Cohen-Macaulay locus of local rings admitting dualizing complexes, Math Proc Cambridge Phil Soc 109(2) (1991), 479-488 [6] Cuong, N T, On the least degree of polynomials bounding above the differences between lengs and multiplicities of certain systems of parameters in local rings, Nagoya Math J 125 (1992), 105-114 [7] Cuong, N, T, P Schenzel and N V Trung, Varallgemeinerte CohenMacaulay Moduln, Math Nachr 85 (1978), 57-75 [8] Matsumura H, Commutative algebra, Second edition, London: Benjamin 41, Springer Verlag, 1980 [9] Schenzel P, Dualisierende Komplexe in der lokalen Algebra und Buchsbaum ringe, Lecture Notes in Mathematics 907, Berlin HeidelbergNewYork, Springer, 1982 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 36 http://www.lrc-tnu.edu.vn