F môđun suy rộng và tập iđêan nguyên tố liên kết của môđun đối đồng điều địa phương

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐOÀN THỊ THU THẢO F-MÔĐUN SUY RỘNG VÀ TẬP IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG CHUYÊN NGÀNH: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! i Lêi cam ®oan Tôi xin cam đoan kết nghiên cứu trình bày luận văn hoàn toàn trung thực, chưa sử dụng cho bảo vệ học vị Nguồn tài liệu sử dụng cho việc hoàn thành luận văn đà đồng ý cá nhân tổ chức Các thông tin, tài liệu trình bày luận văn đà ghi rõ nguồn gốc Thái Nguyên, tháng năm 2013 Học viên Đoàn Thị Thu Thảo Xác nhận trưởng khoa chuyên môn Xác nhận người hướng dẫn khoa học TS Nguyễn Thị Dung ii Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến T.S Nguyễn Thị Dung, người đà trực tiếp bảo, dìu dắt, tận tình hướng dẫn tạo điều kiện cho hoàn thành luận văn Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên, Phòng Đào tạo sau Đại học, thầy giáo Viện toán học Hà Nội thầy cô giáo Khoa Toán trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên đà giảng dạy, giúp đỡ cho trình học tập thực đề tài Cuối xin bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình, bạn bè, người thân tất giúp đỡ, động viên trình học tập iii Mơc lơc Trang Lêi cam ®oan i Lời cảm ơn ii Môc lôc iii Mở đầu Ch­¬ng KiÕn thøc chuÈn bÞ 1.1 TËp iđêan nguyên tố liên kết 1.2 HÖ tham sè vµ sè béi 1.3 Môđun đối đồng điều địa phương 1.4 VÒ mét sè d·y chÝnh quy Ch­¬ng F -môđun suy rộng 2.1.Tính chất 16 f -môđun suy rộng 16 2.2 Đặc trưng f -môđun suy rộng thông qua số bội môđun đối đồng điều địa phương 23 2.3 Tập iđêan nguyên tố liên kết môđun đối đồng điều địa phương 36 Kết luận 40 Tài liệu tham khảo 41 Mở đầu Cho (R, m) vành địa phương Noether M với chiều R-môđun hữu hạn sinh dim M = d N T C­êng, N V Trung vµ P Schenzel [CST] đà giới thiệu khái niệm dÃy lọc quy (f -d·y) nh­ lµ më réng cđa d·y chÝnh quy quen biết, đồng thời họ đưa lớp môđun thỏa mÃn hệ tham số dÃy lọc quy gọi giới thiệu lớp môđun thỏa mÃn f -môđun Cũng báo đó, hä l(HIi (M )) < ∞, víi mäi i < d gọi môđun Cohen-Macaulay suy rộng Nhìn chung, môđun CohenMacaulay suy rộng f -môđun điều ngược lại vành thương vành Cohen-Macaulay Cấu trúc f -môđun R môđun Cohen-Macaulay suy rộng đà nhiều nhà toán học nghiên cứu ngày lớp môđun đà trở nên quen thuộc Đại số giao hoán có nhiều ứng dụng Hình học đại số Tiếp theo, năm 2005, ý tưởng mở rộng khái niệm f -dÃy thuộc L T Nhàn [N]: Một dÃy phần tö x1 , , xr m gọi dÃy quy suy rộng tháa m·n cho M nÕu dim R/p > 1, dim M/IM > ký hiƯu lµ xi ∈ / p, víi mäi víi mäi p ∈ AssR M/(x1 , , xi−1 )M i = 1, , r Cho I iđêan Khi đó, khái niệm độ sâu suy rộng M R I, gdepth(I; M ), định nghĩa cách tự nhiên độ dài cực đại d·y chÝnh quy suy réng cña M I D·y quy suy rộng độ sâu suy rộng có nhiều tính chất đẹp cung cấp số thông tin hữu ích tính hữu hạn tập iđêan nguyên tố liên kết Chẳng S hạn, tËp t1 , ,tn ∈N Ass(M/(xt11 , , xtnn )M ) hữu hạn với x1 , , xn d·y chÝnh quy suy rộng I M Hơn nữa, độ sâu suy rộng M gdepth(I, M ) = r r số nguyên i nhỏ cho tập Supp(HIi (M )) vô hạn, tập Ass(HIr (M )) hữu hạn (xem [N]) Một cách tự nhiên, từ khái niệm dÃy quy suy réng, L T Nhµn vµ M Morales [NM] đà nghiên cứu lớp môđun gọi f -môđun suy rộng thỏa mÃn điều kiện hệ tham số d·y chÝnh quy suy réng Hä ®· chøng tá r»ng f -môđun chất suy rộng có nhiều tính chất tốt tương tự với số tính f -môđun môđun Cohen-Macaulay suy rộng Mục đích luận văn trình bày chứng minh lại chi tiết báo "Generalized F-modules and the associated primes of local cohomology modules" L T Nhàn M Morales đăng tạp chí Communication in Algebra, năm 2006 Luận văn chia thành hai chương Chương dành để nhắc lại số kiến thức sở có liên quan đến nội dung luận văn tập iđêan nguyên tố liên kết, hệ tham số, số bội, môđun đối đồng điều địa phương, Để theo dõi cách tương đối hệ thống, Mục 1.4 Chương nhắc lại khái niệm dÃy quy, dÃy quy lọc, dÃy quy suy rộng tương ứng lớp môđun Cohen-Macaulay, f -môđun số tính chất chúng Nội dung luận văn nằm Chương rộng; đặc trưng f -môđun 2: Khái niệm f -môđun suy rộng thông qua hệ tham số M, suy địa phương hóa tính catenary, tính đẳng chiều tới thành phần nguyên sơ có chiều > tập support phương; Nếu vành R M; số bội môđun đối đồng điều địa có phức đối ngẫu lớp f -môđun suy rộng lớp môđun có quỹ tích không Cohen-Macaulay có chiều lớn iđêan nguyên tố tối thiểu có chiều tất d chiều 1; Tính hữu hạn tập iđêan nguyên tố liên kết số môđun đối đồng điều địa phương f -môđun suy rộng Kết mở rộng kết Hellus [H, Định lý 4] Asadollahi-Schenzel [AS, Định lý 1.1] Phần kết luận luận văn tổng kết lại kết đà trình bày Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, ta kí hiệu R-môđun R vành giao hoán, Noether M Chương dành để nhắc lại số kiến thức sở liên quan đến kết luận văn chương sau tập iđêan nguyên tố liên kết, hệ tham số, số bội, môđun đối đồng điều địa phương, 1.1 Tập iđêan nguyên tố liên kết Định nghĩa 1.1.1 (i) Giả sử M R-môđun Một iđêan nguyên tố p R gọi iđêan nguyên tố liên kết M cho tồn phần tử 6= x ∈ M p = AnnR (x) (ii) Môđun Q M gọi môđun nguyên sơ M M/Q 6= với a ZD(M/Q), tồn n N cho an (M/Q) = p AnnR (M/Q) lµ mét iđêan nguyên tố R, ta nói Q Khi p = môđun p-nguyên sơ (iii) Cho N M môđun R môđun M sơ tồn môđun nguyên sơ N = Q1 ∩ ∩ Qn s¬ NÕu ta nói Qi với N có phân tích nguyên i = 1, , n, thµnh giao cđa hữu hạn môđun cho pi -nguyên N = N 6= có phân tích nguyên sơ ta nói N phân tích Phân tích nguyên sơ gọi tối thiểu (thu gọn) iđêan nguyên tố pi đôi khác hạng tử nghĩa lµ víi mäi Qi nµo lµ thõa, i = 1, , n n \ Qj 6⊆ Qi i=1;i6=j (iv) Dễ thấy phân tích nguyên sơ dạng thu gọn Khi tập hợp nguyên s¬ tèi thiĨu cđa cđa M/N , kÝ hiƯu bëi N đưa {p1 , , pn } độc lập với việc chọn phân tích gọi tập iđêan nguyên tố liên kết AssR M/N thành phần nguyên sơ Qi N Các hạng tử N NÕu pi Qi , i = 1, , n, tối thiểu gọi thành phần cô lập, ngược lại Qi gọi AssR M/N gọi thành phần nhúng Một dÃy (xn ) R gọi d·y Cauchy theo t«p« m-adic nÕu víi k ∈ N cho trước, tồn số tự nhiên n0 n, m ≥ n0 D·y tr­íc, tån t¹i sè (xn ) ⊆ R n0 cho cho xn − xm mk gọi dÃy không với xn ∈ mk víi mäi n ≥ n0 víi k N cho Ta trang bị quan hệ tương đương tập dÃy Cauchy sau: Hai dÃy Cauchy gọi tương đương dÃy (xn yn ) dÃy không Kí lớp tương đương Chó ý r»ng quy t¾c céng (xn ), (yn ) b lµ tËp hiƯu R (xn ) + (yn ) = (xn + yn ) quy tắc nhân (xn )(yn ) lớp tương = (xn yn ) không phụ thuộc vào cách chọn đại diện b với hai đương Vì phép toán R phép toán này, b làm thành vành Noether địa phương với iđêan tối đại R b Vành R b vừa xây dựng gọi vành đầy đủ theo tôpô mR m-adic cña R Mét d·y k ∈N (zn ) ⊆ M gọi dÃy Cauchy theo tôpô cho trước, tồn số tự nhiên n0 cho zn m-adic với zm mk M với n, m ≥ n0 Tõ kh¸i niƯm d·y Cauchy nh­ trên, tương tự ta định nghĩa b Môđun kí khái niệm môđun đầy đủ theo tôpô m-adic vành R hiệu c M Mệnh đề sau cho ta số tính chất tập iđêan nguyên tố liên kết, (xem [MAT, Định lý 6.1, Định lý 6.3, Định lý 6.5]) Mệnh đề 1.1.2 Ta có khẳng định sau: (i) Iđêan p iđêan nguyên tố liên kết môđun đẳng cấu víi M nÕu vµ chØ nÕu M chøa R/p (ii) Cho p phần tử tối đại tập iđêan có dạng Ann(x), 6= x M Khi p AssR (M ) Vì thế, M 6= vµ chØ AssR (M ) 6= Hơn nữa, tập ZD(M ) ước không M hợp iđêan nguyên tố liên kết (iii) Cho dÃy khớp ngắn M R-môđun M M M 00 −→ Khi ®ã Ass M ⊆ Ass M ⊆ AssR M ∪ Ass M 00 (iv) Nếu M R-môđun hữu hạn sinh ta có Ass M tập hữu hạn, Ass M ⊆ Supp M vµ V (Ann M ) = SuppR M Hơn nữa, phần tử tối thiểu (v) Ass M vµ Supp M lµ nh­ AssRp (Mp ) = {qRp : q ∈ AssR (M ), q ⊆ p} (vi) b:b c} AssR M = {b p∩R p ∈ AssRb M S c= c/pM c (vii) AssRb M AssRb M p∈AssR M 1.2 HÖ tham sè số bội Cho (R, m) vành địa phương, Noether vµ M víi chiỊu Krull dim M = d, (xem [MAT]) R- môđun hữu hạn sinh Định nghÜa 1.2.1 sè cña M (ii) NÕu nÕu (i) Mét hÖ x := (x1 , , xd ) m gọi hệ tham `(M/(x)M ) < ∞ x∈m lµ mét hƯ tham sè cđa gọi phần hệ tham số, với M phần tử (x1 , , xi ) i = 1, , d Mệnh đề sau cho ta số tính chất hệ tham số, (xem [MAT, Định lý 14.1, Định lý 14.2]) Mệnh đề 1.2.2 gåm sè cđa (i) NÕu x lµ mét hƯ tham sè cđa M vµ n = (n1 , , nd ) d số nguyên dương x(n) = (xn1 , , xnd d ) cịng lµ hƯ tham M (ii) Cho x1 , , xt dÃy phần tử m, với t d Khi đó, dim(M/(x1 , , xt )M ) > dim M t Đẳng thức xảy chØ (iii) HÖ (x1 , , xd ) ∈ m lµ mét hƯ tham sè cđa M vµ chØ xi ∈ / p, víi mäi p ∈ Ass M/(x1 , , xi−1 )M tháa m·n dim R/p = d − i + Đặc biệt, phần tử p x1 , , xt phần hệ tham số M x m phần tử tham sè cđa M vµ chØ x ∈ / p, víi ∈ Ass M cho dim R/p = d (iv) NÕu c, x lµ mét hƯ tham số M x hệ tham số M c tôpô đầy đủ m-adic M Định nghĩa 1.2.3 Cho hữu hạn sinh Ta có I M iđêan m-nguyên sơ R M R-môđun `R (M/I n+1 M ) = PM,I (n) víi n ®đ lín, ®ã deg PM,I (n) = d Khi tồn số nguyên e0 , e1 , , ed , e0 > cho ! ! n+d n+d−1 + + (−1)d ed PM,I (n) = e0 − e1 d d−1 C¸c sè e0 , , ed gọi hệ số Hilbert M I kí hiệu ei (I, M ) Đặc biệt, số nguyên dương e0 biểu diễn gọi số bội I Kí hiệu e(I, M ) M 30 (iii) Giả sử M f -môđun suy rộng Ta chứng minh ®iỊu kiƯn (a) c))) 1, b Ann b (H i (M dim(R/ ˆ m R c)) Khi ®ã víi mäi i < d ThËt vËy, cho i < d vµ b p ∈ AttRb (Hmbi (M b b c theo [BS, 11.3.3] dim(R/ p) := k i < d theo [BS, 11.3.5] vµ b p ∈ AssRb M c Giả sử k > Vì k < d nên tồn hệ tham số (x1 , , xd ) cđa M Theo Bỉ ®Ị 2.2.2 ta chØ cÇn chøng minh cho x1 ∈ b p nh­ng v× R V× thÕ (x1 , , xd ) không dÃy quy suy rộng vành thương vành Cohen-Macaulay nên c M c, M f -môđun suy rộng theo Mệnh đề 2.1.6, (ii), điều suy mâu thuẫn VËy, k Do ®ã b Ann b (H i (M c))) = dimRb (R/ b m R Suy max i (M c) b p∈AttRb Hm b c))) 1, víi mäi i < d b Ann b (H i (M dim(R/ m R Từ Định lý 2.2.5, ta có đặc trưng tích không Cohen-Macaulay Macaulay M NC(M) Spec R M f -môđun suy rộng qua tập quỹ Nhắc lại quỹ tích không Cohen- lµ = {p ∈ Spec R : Mp Chó ý r»ng nÕu b b dim(R/ p) R không Cohen-Macaulay} chứa phức đối ngẫu, NC(M) tập đóng với tôpô Zariski Vì dim(N C(M )) xác định Đặt a(M ) = a0 ad−1 (M ), ®ã (M ) = AnnR (Hmi (M )), víi mäi i d − HƯ qu¶ 2.2.6 Gi¶ sư r»ng R có phức đối ngẫu Khi phát biểu sau tương đương: (i) (ii) M f -môđun suy réng dim R/a(M ) (iii) Tån t¹i mét hệ tham số số nguyên x = (x1 , , xd ) cña M, sè nguyªn k d Cx , Dx cho I(xn1 , , xnd d ; M ) = nk Cx + Dx , víi mäi sè n1 , , nd > 31 (iv) dim N C(M ) vµ dim R/p = d, víi mäi p ∈ min(Supp M ) tháa m·n dim R/p 6= Chøng minh (i) (ii) Ta có theo Định lí 2.2.5, (iii) Hơn nữa, theo chứng p(M ) minh N T C­êng [C2] ta cã dim R/a(M ) = p(M ) Do ta có điều phải chứng minh (ii) (iii) Tån t¹i mét hƯ tham sè ⇒ (x1 , , xd ) cña M tháa m·n tÝnh chÊt xi ∈ a(M/(xi+1 , , xd )M ), víi mäi i = 1, , d Theo [C2], mét hÖ tham sè gọi số p-chuẩn tắc (iii) Cx , Dx M p-chuẩn tắc M, p(M ) mäi hƯ tham ®Ịu tháa mÃn điều kiện (iii) (i) Theo giả thiết, I(xn1 , , xnd d ; M ) = nk Cx + Dx , số nên ta có p(M ) Khi kết suy từ Định lí 2.2.5, (ii) (i) (iv) Vì Hệ 2.1.5, R vành có phức đối ngẫu nên M f -môđun Supp M lµ catenary Theo suy réng vµ chØ tất iđêan p Supp M cho Mp Cohen-Macaulay có chiều dim R/p > Do ®ã dim(N C(M )) Chó ý tồn R môđun M với dim(N C(M )) 1, M không f -môđun suy rộng VÝ dơ 2.2.7 trªn tr­êng Cho R = K[[x, y, z, t, s]] vành chuỗi lũy thừa hình thức K Đặt M = R/(x, y, z) R/(t, s) Khi ®ã, Ass M = {p = (x, y, z)R, q = (t, s)R}, min(Supp M ) = {q, p} vµ dim M = dim R/q = 3, dim R/p = < dim M Định lí 2.1.4, M dim N C(M ) = không f -môđun Vì thế, theo suy rộng Tuy nhiên, rõ ràng 32 Ví dụ sau thiết R f -vành suy rộng không catenary cho ta thấy giả vành thương vành Cohen- Macaulay Mệnh đề 2.1.6 Định lý 2.2.5 thực cần thiết Ví dụ 2.2.8 (i) Tồn miền Noether địa phương (R, m) cho dim R = vµ R không catenary (ii) b không f -vành suy réng R lµ f -vµnh suy réng, nh­ng R (iii) N-dimR (Hm2 (R)) = 3, dim R/ AnnR (Hm2 (R)) = vµ p(R) = (iv) b a(R) b = dim R/a(R) = vµ dim R/ Chøng minh Cho S miền nguyên Noether quy hoàn hảo chiều xây dựng Brodmann [B] cho cực đại (i) S Q-đại số chứa iđêan m1 , m2 thỏa mÃn ba điều kiện sau ht m1 = vµ ht m2 = (ii) Các ánh xạ tự nhiên (iii) Q S/m1 Q S/m2 đẳng cấu m1 m2 không chứa iđêan nguyên tố khác không S Đặt R = Q + (m1 m2 ) dim R = 3, vµ m = m1 ∩ m2 Khi R miền Noether địa phương với iđêan tối đại thế, theo Ví dụ 2.1.2, (iii) ta có R trên, tồn iđêan nguyên tố Vì R f -vành R (xem [B]) Vì suy rộng Theo cách xây dùng p ∈ Supp R cho dim R/p + ht p = không catenary Theo [CDN] ta cã dim(R/ AnnR (Hm2 (M ))) = Suy N-dimR (Hm2 (R)) = dim R/a(R) = H¬n nữa, N-dimR (Hm1 (R)) theo [CN] nên theo Bỉ ®Ị 2.2.3 ta cã p(M ) = Do b a(R) b = p(R) b = p(R) = Vì R b không f -vành suy rộng, dim R/ theo Định lí 2.2.5 Giả sử vành ã DR R-môđun R có phức đối ngẫu Khi tồn phức bị chặn nội xạ i DR cho môđun đối đồng điều địa phương 33 ã H i (DR ), i Z sinh M có chiều R-môđun hữu hạn sinh Với R-môđun hữu hạn dim M = d, môđun đồng điều ã )) K i (M ) = H i (Hom(M, DR R-môđun hữu hạn sinh, gọi môđun tắc với K i (M ) i = 0, , d Khi K d (M ) được gọi môđun khuyết thứ i M, (xem S) Hơn nữa, theo đối ngẫu địa phương [S, 1.1], tồn đẳng cấu Hmi (M ) = Hom(K i (M ), E), với i, Hệ 2.2.9 E bao nội xạ trường thặng dư Giả sử R/m R có phức đối ngẫu Cho K(M ) môđun tắc M Các phát biểu sau đúng, (i) Nếu M f -môđun suy rộng, K(M ) f -môđun suy réng (ii) Cho dim M Khi ®ã K(M ) f -môđun suy rộng Hơn nữa, M không trộn lẫn M nhúng vào f -môđun suy rộng (iii) Nếu Mi f -môđun suy rộng có chiều d chiều không với i = 1, , n th× M = Ln i=1 Mi f -môđun suy rộng (iv) Cho x1 , , xd1 phần hệ tham số suy rộng M Khi M f -môđun (x1 , , xd1 )M f -môđun suy rộng Chứng minh (i) Lấy iđêan nguyên tố p Supp K(M ) cho dim R/p > Khi ®ã dim Mp = ddim R/p Mp môđun Cohen-Macaulay theo Định lí 2.1.4 Do K(Mp ) môđun Cohen-Macaulay Theo [S], (K(M ))p = K(Mp ) nên (K(M ))p môđun Cohen-Macaulay Vì K(M ) f -môđun suy rộng theo Hệ 2.1.5 (ii) Trường hợp d điều kiện Serre S2 , tầm thường Cho nghĩa d = 4, K(M ) tháa m·n depth((K(M ))p ) > min(2, dim((K(M ))p ) 34 nên dim(R/ Ann(Hmi (M ))) 1, K(M ) f -môđun (xem [S, 3.2.1]) Suy d 4, Khi M không trộn lẫn, theo [S] M nên K(K(M )) nhúng vào K(K(M )) (iii) Theo Định lí 2.2.5 ta có i = 1, 2, suy rộng theo Định lí 2.2.5 Vì f -môđun suy réng víi N-dimR (Hmj (Mi )) 1, víi mäi i = 1, , n j < d Do ®ã N-dim(Hmj (M )) 1, víi mäi j < d Suy M lµ f -môđun suy rộng theo Định lí 2.2.5 (iv) Đặt N = (x1 , , xd−1 )M Khi ®ã dim M/N = Tõ d·y khíp −→ N −→ M −→ M/N −→ 0, theo tÝnh chÊt -hàm tử đồng điều ta có dÃy khớp −→ Hmi (M/N ) −→ Hmi+1 (N ) −→ Hmi+1 (M ) −→ Hmi+1 (M/N ) −→ N-dimR (Hmi (M )) 1, Do ®ã mäi nÕu vµ chØ nÕu N-dimR (Hmi (N )) 1, với i < d Theo Định lí 2.2.5 ta thu điều phải chứng minh Hệ 2.2.10 Cho T = R[[X]] (Tương ứng S = R[X]) vành chuỗi lũy thừa hình thức (tương ứng vành đa thức) theo biến X R Đặt n = (m, X) iđêan tối đại nhất cđa S Khi ®ã ta cã, (i) NÕu R Cohen-Macaulay suy rộng, T, Sn f -vành suy rộng (ii) Giả sử R vành thương vành Cohen-Macaulay T Sn f -vành suy rộng Khi R Cohen-Macaulay suy rộng Chứng minh Đầu tiên, ta lấy x Khi = (x1 , , xd ) lµ mét hƯ tham sè tïy ý cđa R (x1 , , xd , X) lµ mét hƯ tham số T Vì X quy T, nên X n phần tử quy phần tử T , (0 :T X n ) = Do vậy, theo định nghĩa số bội Mệnh đề 1.2.5, (iii), ta có e(xn1 , , xnd d , X n ; T ) = e(xn1 , , xnd d ; T /X n T ) − e(xn1 , , xnd d ; :T X n ) = e(xn1 , , xnd d ; T /X n T ) 35 P ψ( ci xi ) = (c0 , , cn−1 ) mét toµn cÊu víi Ker ψ = X n T V× thÕ T /X n T ∼ = Rn VËy Rõ ràng : T Rn định nghĩa bëi lµ e(xn1 , , xnd d ; T /X n T ) = e(xn1 , , xnd d ; Rn ) = ne(xn1 , , xnd d ; R) T /X n T ∼ = Rn , ta cã     n1 nd n1 nd n n n `T T /(x1 , , xd , X )T = `T T /X T /(x1 , , xd )T /X T   n1 nd = n`R R/(x1 , , xd )R Mặt khác, từ đẳng cấu Vì ta thu I(xn1 , , xnd d , X n ; T )  = `T  T /(xn1 , , xnd d , X n )T T /(xn1 , , xnd d )T /X n T  −e(xn1 , , xnd d , X n ; T )  = `T T /X −e(xn1 , , xnd d ; T /xn T )   n1 nd = n`R R/(x1 , , xd )R −ne(xn1 , , xnd d ; R) n = nI(xn1 , , xnd d ; R) (i) Vì R Cohen- Macaulay suy rộng, nên p(R) Vì thế, theo (∗) ta cã p(T ) Suy ra, T (ii) Giả sử có p(T ) T f -vành suy rộng theo Định lí 2.2.5, (ii) f -vành Do hàm đa thức theo biÕn hµm (∗) suy réng I(xn1 , , xnd d , X n ; T ) n1 , , nd , n I(xn1 , , xnd d ; R) Khi theo Định lí 2.2.5, ta bị chặn có bậc không Vì thế, theo (*) bị chặn số không phô thuéc n1 , , nd Do p(R) 0, tức R Cohen-Macaulay suy réng Chó ý 2.2.11 r»ng R Cho T, S n Hệ 2.2.10 Người ta đà chứng minh Cohen-Macaulay T Sn Cohen-Macaulay Theo Hệ 2.2.10, ta chứng minh vành Cohen-Macaulay Sn R Cohen-Macaulay suy rộng R vành thương Cohen-Macaulay T 36 2.3 Tập iđêan nguyên tố liên kết môđun đối đồng điều địa phương Trong mục này, ta chứng minh kết tính hữu hạn tập iđêan nguyên tố liên kết môđun đối đồng điều địa phương f môđun suy rộng Chú ý kết tương tự đà Hellus [H] chứng minh cho trường hợp vành R Cohen-Macaulay Tiếp theo, cách sư dơng d·y chÝnh quy läc thay cho d·y chÝnh quy chøng minh cđa Hellus, Asadollahi vµ Schenzel [AS] đà cải tiến kết cho trường hợp môđun Cohen-Macaulay suy rộng M đây, việc chứng minh đẳng cấu môđun đối đồng điều phương Asadollahi Schenzel [AS] thay chứng minh đẳng thức tập iđêan nguyên tố liên kết Chú ý phương pháp trường hợp M f -môđun suy rộng Giả sử M f -môđun suy rộng Khi Ass(HIj (M )) tập hữu hạn với iđêan I với j N hai điều kiện Định lý 2.3.1 sau thỏa mÃn: (i) (M )) hữu hạn với phần tử tham số x M Ass(H(x,y)R y R (ii) Ass(H(x,y,z)R (M )) tập hữu hạn với phần hệ tham số (x, y) M z R Để chứng minh định lí ta cần chứng minh số bổ đề sau Trước hết ta nhắc lại khái niệm Một d·y x1 , , x n ∈ I I -d·y läc chÝnh quy Cho I lµ mét iđêan gọi I -dÃy lọc quy cña i = 1, , n, xi / p, với p Ass M/(x1 , , xi−1 )M Chó ý r»ng víi số nguyên có độ dài M R với thỏa mÃn p + I n tồn mét I -d·y läc chÝnh quy cđa M n H¬n n÷a, nÕu x1 , , xn ∈ I lµ mét I -d·y läc chÝnh quy cđa M 37 tồn đẳng cấu tự nhiên sau (xem [AS]) ( HIi (M ) Bỉ ®Ị 2.3.2 Cho quy suy réng cña = i H(x (M ), , ,xn )R nÕu n HIi−n (H(x (M )), , ,xn )R 06i n I iđêan R x1 , , xn ∈ I lµ mét d·y chÝnh M Khi tồn phần tử y I cho n+1 Ass HIn+1 (M ) ⊆ Ass H(x (M ) ∪ {m} , ,xn ,y)R Chøng minh Cho p cho ∈ Ass HIn+1 (M ) \ {m} LÊy qRp ∈ Supp Mp \ {pRp } x1 , , xn ∈ q V× dim R/p > chÝnh quy cña Mq x1 /1, xn /1 lµ mét d·y läc chÝnh quy cđa nªn theo Chó ý 1.4.2 Chó ý r»ng cña I -d·y läc chÝnh quy cña Mp x1 /1, , xn /1 lµ Mq ∼ = (Mp )q Rp Vì Lấy yI dÃy thế, mét phÇn tư M/(x1 , , xn )Mp Khi đó, y/1 phần tử IRp -läc chÝnh quy cña Mp (x1 , , xn )Mp Do ®ã x1 /1, , xn /1, y/1 IRp lµ ∈ IRp -d·y läc chÝnh quy cđa Mp V× vËy ta cã n+1 n+1 HIR (Mp ) ∼ (H(x (Mp )) = HIR p p , ,xn ,y)Rp V× n+1 p Ass HIn+1 (M ), ta thu pRp Ass(HIR (Mp )) Điều kéo p theo n+1 n+1 pRp ∈ Ass HIR (H(x (Mp )) ⊆ Ass(H(x (Mp ) p , ,xn ,y)Rp , ,xn ,y)Rp Do ®ã, n+1 p ∈ Ass(H(x (M ) , ,xn ,y)R Bỉ ®Ị 2.3.3 Cho I iđêan R (x1 , , xn ) ∈ I lµ mét d·y chÝnh quy suy réng cđa M Khi ®ã ta cã, ( j Ass(H(x (M )) \ {m}, nÕu j < n j , ,xn )R Ass HI (M ) \ {m} = n Ass(HIj−n (H(x (M ))) \ {m}, nÕu j > n , ,xn )R Chøng minh LÊy p Bỉ ®Ị 2.3.2, ∈ Supp M \ {m} chøa I Theo nh­ chøng minh x1 /1, , xn /1 ∈ IRp lµ mét d·y läc chÝnh quy cña Mp ( j H(x1 , ,xn )Rp (Mp ), nÕu j < n j ∼ HIRp (Mp ) = j−n n HIR (H(x (Mp )), nÕu j > n , ,xn )Rp p v× thÕ 38 Cho j > n LÊy p 6= m lµ mét iđêan nguyên tố Ta thấy p Ass HIj (M ) nÕu vµ chØ nÕu Ass HIj (M ) j pRp ∈ Ass HIR (Mp ) V× vËy, theo đẳng cấu trên, p p j−n n pRp ∈ Ass(HIR (H(x (M )p )) V× vËy p , ,xn )Rp n p ∈ Ass HIj (M ) nÕu vµ chØ nÕu p ∈ Ass(HIj−n (H(x (M ))) Tr­êng , ,xn )R hỵp j < n chứng minh tương tự Bổ đề 2.3.4 Cho M f -môđun suy rộng I iđêan R j số nguyên dương cho iđêan HIj (M ) 6= j > d − dim(M/IM ) Khi ®ã tån J ⊇ I cho j − = d − dim(M/JM ) vµ Ass HIj (M ) \ {m} = Ass HJj (M ) \ {m} Chøng minh LÊy tham sè NÕu dim(M/IM ) = d − n (x1 , , xn ) n = j − j − > n T I ⊆ ri=1 pi Đặt M ta chọn I Khi đó, tồn phần hệ Chú ý J = I n < j theo giả thiết Vì vËy ta cã thĨ gi¶ sư r»ng Ass(M/(x1 , , xn )M ) = {p1 , , pt } Khi ®ã ta S I * ti=r+1 pi Chó ý r»ng r < t không I rad((x1 , , xn )R + Ann M ) vµ St vËy i=r+1 pi iđêan R Đặt P = {p : p = pi với HIj = 0, có mâu thuẫn Vì i = 1, , r, dim R/pi = d n} Khi với p P pi * p, víi mäi i = r + 1, , t V× vËy, tån Tt S p \ phần tử y cho y ∈ i=r+1 i p∈P p LÊy J = I + yR Theo cách chọn phần tử y I yR ⊆ rad((x1 , , xn )R + Ann M ) V× j − n k n > nªn ta cã HI∩yR (H(x (M )) = 0, víi k = j − − n, j − n , xn )R j−n n (H(x (M )) = Do cách sử dụng dÃy Mayer-Vietoris , xn )R HyR ([BS]) áp dụng cho môđun n H(x (M ) iđêan I, yR ta cã, , xn )R j−n n n HJj−n (H(x (M )) ∼ (M )) = HI (H(x , xn )R , xn )R V× (x1 , , xn ) phần hệ tham số M I nên theo giả thiết (x1 , , xn ) lµ mét d·y chÝnh quy suy réng cđa M Do ®ã, theo Bỉ ®Ị 2.3.3 39 ta cã, n Ass HIj (M ) \ {m} = Ass(HIj−n (H(x (M ))) \ {m} , ,xn )R n = Ass(HJj−n (H(x (M ))) \ {m} , ,xn )R = Ass HJj (M ) \ {m} V× HIj (M ) 6= tham sè cđa NÕu nªn ta cã M/IM dim(M/IM ) > Vì Do y phần tử d − dim(M/JM ) = d − dim(M/IM ) + d − dim(M/JM ) = j − th× J iđêan thỏa mÃn bổ đề Nếu d − dim(M/JM ) 6= j − 1, ta cã thÓ lập lại trình nhận iđêan J yêu cầu Chứng minh Định lí 2.3.1 Giả sử điều kiện (i) (ii) Định lí 2.3.1 thỏa mÃn Theo [Z, Hệ 2.2], ta cần chứng minh với x, y ∈ m, ThËt vËy, lÊy NÕu vµ Ass H(x,y,z)R (M ) x, y m Đặt Ass HI2 (M ) Do đó, x, y Khi phần hệ tham số x0 Khi đó, theo Bổ đề 2.3.4 tồn iđêan cho Lấy x, y, z J Khi M Theo Bæ đề 2.3.2 tồn phần tử Ass HJ2 (M ) ⊆ Ass H(x ,y )R (M ) {m} tập hữu hạn theo giả thiết (i) Do hạn J I = d dim(M/JM ) vµ Ass HI2 (M ) \ {m} = HJ2 (M ) \ {m} Vì phần tử quy suy réng cđa y0 ∈ J M XÐt tr­êng hỵp dim(M/JM ) = d1 nên tồn phần tử tham sè x0 cđa M ®ã x, y, z ∈ m dim(M/IM ) > d tập hữu hạn theo giả thiết (i) dim(M/IM ) > d cho tập hữu hạn với I = (x, y)R dim(M/IM ) = d − 2 (M ) tập hữu hạn Ass H(x,y)R Vì Ass HJ2 (M ) Ass HI2 (M ) cịng lµ tập hữu hạn m Tương tự ta có Ass H(x,y,z)R (M )là tập hữu 40 Kết luận Tóm lại, luận văn đà trình bày chứng minh chi tiết kết báo "Generalized F -modules and the associated primes of local cohomology modules" cđa L T Nhµn vµ Marcel Morales đăng tạp chí Communication in Algebra, năm 2005 Kết luận văn gồm nội dung sau: Nhắc lại số kiến thức sở có liên quan đến nội dung luận văn: Tập iđêan nguyên tố liên kết, hệ tham số, số bội, môđun đối đồng điều địa phương Nhắc lại khái niÖm d·y chÝnh quy, d·y chÝnh quy läc, d·y chÝnh quy suy rộng tướng ứng lớp môđun Môđun Cohen-Macaulay, f -môđun, f -môđun suy rộng sè tÝnh chÊt cđa chóng Giíi thiƯu kh¸i niƯm f-môđun suy rộng chứng minh số tính chất đặc trưng qua đầy đủ m-adic, địa phương hóa tính catenary, tính đẳng chiều tới thành phần nguyên sơ có chiều >1 tập support M Chứng minh đặc trưng f -môđun suy rộng thông qua số bội, kiểu đa thức chiều Noether môđun đối đồng điều địa phương Chứng minh số kết tính hữu hạn tập iđêan nguyên tố liên kết số môđun đối đồng điều địa phương rộng f -môđun suy 41 Tài liệu tham khảo [AS] Asadollahi, J., Schenzel, P (2003), Some result on associated primes of local homology modules Japanenes J Math 29:285-296 [B] Brodmann, M (1978) A particular class of regular domains J Algebra 54:366 - 373 [BS] Brodmann, M and Sharp, R Y (1998) Local Cohomology: An Alge- bra Introduction with Geometry Applications Cambridge: Cambridge University press [BH] Bruns, W., Herzog, J (1993) Cohen - Macaulay Rings Cambridge: Cambridge University press [C1] Cuong, N T (1992) On the least degree of polynomials bounding above the diffferences between lenghts a multiplicities of certain systems of parameters in local rings Nagoya Math J 125: 105 - 114 [C2] Cuong, N T (1995) p-standard systems of parameters and p-standard ideals in local rings Acta Math Vietnam 20:145-161 [CN] Cuong, N T., Nhan, L T (2002) On Noetherian dimension of Artinian modules Vietnam J Math 30:121-130 [CST] Cuong, N T., Schenzel, P., Trung, N V (1978) Verallgemeinerte Cohen-Macaulay moduln.Math Nachr 85: 57-73 42 [CDN] N T Cuong, N T Dung and L T Nhan (2007), "Top local cohomology and the catenaricity of the unmixed support of a finitely generated module", Communication in Algebra, 35(5), pp 1691-1701 [CMN] Cuong, N T.,Morales, M., Nhan, L T (2003) On the lenght of generalized fractions.J Algebra 265:100-113 [H] Hellus, M (2001) On the set of associated primes of local cohomology modules J Algebra 273;406-419 [K] Kirby, D (1990) Dimension and lenght of Artinian modules Quart J Math Oxford 41:419-429 [MAC] I G Macdonald, Secondary representation of modules over a com- mutative ring, Symposia Mathermatica, 11 (1973), 23-43 [MAT] Matsumura, H (1986) Commutative Ring Theory Cambridge University Press [N] Nhan, L T (2005) On generalized regular sequences and the finiteness for associated primes of local cohomology modules Comm Algebra 33:793-806 [NM] Nhan, L T., Morales M (2006) Generalized F-Modules and the associated primes of local cohomology modules Comm Algebra 34:863878 [S] Schenzel, P (1982) Dualisierende Komplexe in der lokalen Algebra und Buchsbaum Ringe Lecture Notes in Mathematics 907 Berlin, Heidelberg, New York: Springer [SV] Stu ăckrad, J., Vogel W.(1986)." Buchsbaum Rings and Applications" Berlin: WEB Deutsecher Verlag der Wissenschaften 43 [T] Trung, N V (1986) Toward a theory of generalized Cohen-Macaulay modules Nagoya Math J 102:1-49 [Z] Zamani, N (2003) A note on the set of associated primesmof local cohomology modules Comm Algebra 31:1203-1206 2013