ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHAN THỊ HIỀN DÃY CHÍNH QUY SUY RỘNG VÀ TÍNH HỮU HẠN CỦA TẬP CÁC IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THÁI NGUN – 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://www.lrc-tnu.edu.vn1 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHAN THỊ HIỀN DÃY CHÍNH QUY SUY RỘNG VÀ TÍNH HỮU HẠN CỦA TẬP CÁC IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60.46.05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN THỊ DUNG THÁI NGUYÊN – 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn2 Môc lôc Trang Môc lôc Lời cảm ơn Mở đầu Ch¬ng Mét sè më réng cña d·y chÝnh quy 1.1 D·y chÝnh quy độ sâu môđun 1.1.1 Hàm tử mở réng 1.1.2 Môđun đối đồng điều địa phương 1.1.3 DÃy quy độ sâu môđun 1.2 D·y quy lọc độ sâu lọc 1.2.1 DÃy quy läc 10 10 1.2.2 Độ sâu lọc 12 1.3 D·y chÝnh quy suy rộng độ sâu suy rộng 1.3.1 DÃy quy suy rộng 1.3.2 Độ sâu suy rộng 20 20 24 Ch¬ng Mét sè tÝnh chất hữu hạn 29 2.1 Tính hữu hạn tập S n1 , ,nr ∈N Ass(M/(xn1 , , xnr r )M ) 29 2.1.1 BiĨu diƠn thø cÊp 29 2.1.2 Tính hữu hạn tập 2.2 Tính hữu h¹n cđa tËp S Ass(M/(xn1 , , xnr r )M ) 31 n1 , ,nr ∈N i Ass(HI (M )) 35 KÕt luËn 42 Tµi liƯu tham kh¶o 43 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn3 Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành nhờ hướng dẫn nhiệt tình nghiêm khắc Cô giáo TS Nguyễn Thị Dung Cô đà giành nhiều thời gian, công sức bảo suốt trình thực đề tài tạo điều kiện cho hoàn thành luận văn Nhân dịp xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Cô gia đình Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban lÃnh đạo trường Đại học sư phạm Thái Nguyên, lÃnh đạo khoa Toán, lÃnh đạo khoa Sau đại học Trường đà tạo điều kiện thuận lợi cho hoàn thành tốt nhiệm vụ học tập Tôi xin chân thành cảm ơn tận tâm nhiệt tình quý Thầy cô tham gia giảng dạy cho lớp Cao học chuyên ngành Toán khóa 18 Cuối xin cảm ơn bạn bè, người thân yêu gia đình đà cho niềm tin động lực để học tập tốt Thái Nguyên, tháng năm 2012 Học viên Phan ThÞ HiỊn Số hóa Trung tâm Học liệu – i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn4 Mở đầu Cho (R, m) m nhÊt chÝnh quy lµ Cho lµ vµnh M giao R hoán, địa phương, sâu để nghiên đóng cứu vai cấu trò với dÃy trúc quan trọng môđun Đại niệm nghiên giao đại hoán mà thông bất biến quan dÃy cứu cực độ sâu-một Khái việc số iđêan dim M = d DÃy -môđun hữu hạn sinh với chiều qua người ta định nghĩa khái niệm trọng Noether cấu quy trúc độ vành môđun, chẳng hạn dÃy quy phần hệ tham số, độ sâu depth M dim M vµ nÕu depth M = dim M Cohen-Macaulay Đặc biệt, độ sâu r M Đà có nhiều nhà toán học nghiên ta lớp môđun P Schenzel [4] đà giới thiệu cứu niệm môđun thỏa mÃn hệ tham số -depth M số nguyên nhỏ HIr (M ) mở gọi môđun không triệt tiêu rộng N T Cường, khái niệm f -dÃy gọi N V Trung dÃy quy lọc (f -dÃy), liên quan đến kết trên, khái niệm f Trước tiên, khái I cho môđun đối đồng điều địa phương f -môđun độ sâu lọc (f -độ sâu), lớp Sau ®ã, ký hiƯu lµ (I, M ) dµi cđa mét , giới thiệu Lu-Tang [10] cận độ f -dÃy cực đại M I cho môđun đối đồng điều địa phương Supp(M/IM ) {m} r số nguyên HIr (M ) nhỏ không môđun Artin, Tiếp theo, L T Nhàn [14] đà giới thiệu khái niệm dÃy quy suy rộng mét sù më réng cđa d·y chÝnh quy vµ d·y quy lọc: Một dÃy phần tử quy suy réng nÕu dim R/p > xi ∈ / p, , víi mäi (x1 , , xr ) với m gọi M -dÃy p ∈ AssR (M/(x1 , , xi−1 )M ) i = 1, , r , tháa m·n Chó ý r»ng c¸c d·y chÝnh quy suy rộng cực đại độ dài chung gọi M độ sâu suy rộng, I dim(M/IM ) > tất có chung ®é dµi vµ ký hiƯu lµ gdepth(I; M ) Râ rµng, mäi d·y chÝnh quy lµ d·y chÝnh quy läc, vµ mäi d·y chÝnh quy läc lµ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn5 dÃy quy suy rộng, điều ngược lại không Do ta có depth(I, M ) f depth(I, M ) gdepth(I, M ) - NhiỊu tÝnh chÊt cđa d·y chÝnh quy suy réng vµ độ sâu suy rộng tương tự tính chất dÃy quy độ sâu chứng minh gdepth(I; M ) sâu suy rộng đối đồng điều địa phương số nguyên HIr (M ) r Đặc biệt, độ nhỏ cho môđun có tập giá vô hạn, dim(M/IM ) > Hơn nữa, thông qua khái niệm dÃy quy suy rộng độ sâu suy rộng, số thông tin tính hữu h¹n cđa tËp [ Ass(M/(xn1 , , xnr r )M ) n1 , ,nr ∈N vµ tính chất hữu hạn tập iđêan nguyên tố liên kết môđun đối đồng điều địa phương chứng minh Chú ý rằng, tính chất hữu hạn tập Ass(HIi (M )) nhiều nhà toán học quan tâm tập Ass(HIi (M )) có hữu hạn iđêan nguyên tố liên kết, với iđêan I R với i>0 số Đà có giả thuyết Tuy nhiên, giả thuyết chứng minh trường hợp đặc biệt vành (xem [6], [7]) đà có phản ví dụ chứng tỏ giả thuyết sai trường hợp vành địa phương không địa phương (xem [8], [16]) Mục đích luận văn trình bày chứng minh lại chi tiết toàn nội dung báo "On generalized regular sequences and the finiteness for associated primes of local cohomology modules" tạp chí Communication in Algebra, f -depth of an ideal on a module" Lê Thanh Nhàn đăng năm 2005 phần báo Lu-Tang đăng tạp chí "The Proceedings of the American Mathematical Society Luận văn chia thành hai chương, chương chuẩn bị Các kiến thức sở dùng luận văn nhắc lại xen kẽ trình bày nội dung hai báo Chương dành để nghiên cứu dÃy chÝnh quy Số hóa Trung tâm Học liệu – i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn6 độ sâu, dÃy quy lọc độ sâu lọc, dÃy quy suy rộng độ sâu suy rộng số đặc trưng chúng hữu hạn: S tập n1 , ,nr ∈N tè liªn kÕt NÕu (x1 , , xr ) lµ mét Ass(M/(xn1 , , xnr r )M ) Ass(HIi (M )) tập hữu dÃy Chương quy trình bày hai kết suy rộng M hữu hạn tập iđêan nguyên hạn với i gdepth(I, M ) Đặc biệt, chương trình bày chứng minh sơ cấp cho tính chất môđun đối đồng điều địa phương không Artin HIi (M ) có hữu hạn iđêan nguyên tố liên kết Kết tương tự kết Brodmann Faghani [2] cho tính hữu hạn tập Ass(HIi (M )) , đây, tính chất hữu hạn sinh thay tính Artin Phần kết luận luận văn tổng kết lại kết đà trình bày Với mong muốn trình bày lại số nội dung quan trọng d·y chÝnh quy vµ øng dơng cđa nã viƯc nghiên cứu lớp môđun quan trọng Đại số giao hoán, nhưng, điều kiện thời gian, lực kinh nghiệm thân hạn chế nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong muốn nhận góp ý quý báu quý thầy cô độc giả quan tâm để luận văn hoàn thiện S húa bi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn7 Ch¬ng Mét sè më réng cđa d·y chÝnh quy Trong toàn chương này, ta ký hiệu phương, Noether, chiều Krull A R -môđun Artin M (R, m) R vành giao hoán, địa -môđun hữu hạn sinh với dim M = d Chương để chứng minh chi tiết số kết dÃy quy lọc đưa Cường-Shenzel-Trung [4] độ sâu lọc giới thiệu Lu-Tang [10], dÃy quy suy rộng độ sâu suy rộng đưa L T Nhàn [14] mối quan hệ chúng với khái niệm dÃy quy độ sâu quen biết Một số kiến thức dùng nội dung như: Hàm tử mở rộng, môđun đối đồng điều địa phương, nhắc lại chương 1.1 DÃy quy độ sâu môđun DÃy quy dÃy đại số giao hoán mà thông qua người ta định nghĩa khái niệm độ sâu - bất biến quan trọng để nghiên cứu cấu trúc môđun (xem [12]) 1.1.1 Hàm tử mở rộng Mục dành để nhắc lại khái niệm tính chất môđun Ext thường dùng luận văn S hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn8 Định nghĩa 1.1.1 Cho M, N Môđun dẫn xuất phải thứ môđun mở rộng thứ n Cụ thể, để xây dựng n R hµm tư M vµ N Hom(−, N ) lµ mét số tự nhiên ứng với ký hiệu ExtnR (M, N ) u n>0 -môđun M ExtnR (M, N ) ta lấy giải xạ ảnh u gọi M P2 →2 P1 →1 P0 → M → T¸c động hàm tử Hom(, N ) vào dÃy khớp ta cã ®èi phøc u∗ u∗ → Hom(P0 , N ) →1 Hom(P1 , N ) →2 Hom(P2 , N ) → Khi ®ã ®èi M ExtnR (M, N ) = Ker u∗n+1 / Im u∗n phức (môđun không phụ n ảnh môđun đối đồng điều thứ thuộc vào việc chọn giải xạ ) Mệnh đề 1.1.2 Ext0R (M, N ) = Hom(M, N ) M xạ ảnh N nội xạ ExtnR (M, N ) = víi mäi n > (ii) NÕu (iii) NÕu cÊu nèi (i) → N → N → N 00 dÃy khớp ngắn tồn đồng ExtnR (M, N 00 ) Extn+1 R (M, N ), với n > cho ta cã d·y khíp dµi → Hom(M, N ) → Hom(M, N ) → Hom(M, N 00 ) → Ext1R (M, N ) → Ext1R (M, N ) → Ext1R (M, N 00 ) → Ext2R (M, N ) → (iv) NÕu cÊu nèi → M → M → M 00 dÃy khớp ngắn tồn đồng 00 ExtnR (M , N ) Extn+1 R (M , N ), với n > cho ta cã d·y khíp dµi → Hom(M 00 , N ) → Hom(M, N ) → Hom(M , N ) → Ext1R (M 00 , N ) → Ext1R (M, N ) → Ext1R (M , N ) → Ext2R (M 00 , N ) Các kết sau cho ta tính chất hữu hạn sinh môđun Ext tính chất giao hoán môđun Ext với hàm tử địa phương hóa S húa bi Trung tõm Hc liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn9 MƯnh ®Ị 1.1.3 sinh với (ii) Nếu M, N hữu hạn sinh ExtnR (M, N ) hữu hạn (i) Nếu n S tập đóng nhân R ta có đẳng cấu S (ExtnR (M, N )) ∼ = ExtnS −1 R (S −1 M, S N ) S hàm tử địa phương hóa Đặc biệt, (ExtnR (M, N ))p = ExtnRp (Mp , Np ) 1.1.2 Môđun đối đồng điều địa phương Trước hết, ta nhắc lại khái niệm môđun đối đồng điều địa phương môđun tùy ý Định nghĩa 1.1.4 Cho I iđêan đối đồng điều địa phương thứ i M R M ứng với iđêan I, R -môđun Môđun ký hiệu HIi (M ), định nghĩa bëi HIi (M ) = Ri (ΓI (M )) ứng với Cho Ri (I (M )) môđun dẫn suất phải thứ i hàm tử I -xoắn I () M I iđêan R Sau tính chất -hàm tử, tính chất triệt tiêu, không triệt tiêu tính chất Artin môđun đối đồng điều địa phương Định lý 1.1.5 (i) Cho f g → L → M → N dÃy khớp R-môđun Khi đó, víi mäi i ∈ N ta cã d·y khíp dµi H (f ) H (g) H (f ) H (g) H i (f ) H i (g) I I → HI0 (L) → HI0 (M ) → HI0 (N ) I I → HI1 (L) → HI1 (M ) → HI1 (N ) → I I → HIi (L) → HIi (M ) → HIi (N ) → HIi+1 (L) → (ii) HIi (M ) = víi mäi i > d vµ Hmd (M ) 6= Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn10 30 (ii) Cho M R -môđun M = N1 + + Nn M =0 M Một biểu diễn thứ cấp thành tổng hữu hạn môđun có biểu diễn thứ cấp ta nói diễn thứ cấp gọi tối thiểu khác hạng tử Ni tối thiểu Khi tập hợp ký hiệu (R, m) Các hạng tử pi thứ cấp Ni - biểu diễn thừa, với {p1 , , pn } gọi AttR M phần thứ cấp Cho M M phân tích iđêan nguyên tố Dễ thấy r»ng mäi biĨu diƠn thø cÊp cđa cÊp tèi thiĨu M M pi Nếu Biểu đôi i = 1, , n ®Ịu cã thể đưa dạng độc lập với việc chọn biểu diễn thứ tập iđêan nguyên tố gắn kÕt Ni , i = 1, , n, gọi M, thành M vành địa phương, đầy đủ Đặt trường thặng dư R/m Ký hiÖu E = E(R/m) D(−) = HomR (−, E) bao nội xạ Khi ta có kết sau E.Matlis Định lý 2.1.2 af (i) R-môđun E Artin Với f HomR (E, E), tån t¹i ∈ R : f (x) = af x, x E (ii) Nếu N R-môđun Noether D(N ) Artin (iii) Nếu A R-môđun Artin D(A) Noether (iv) Ann M = Ann D(M ), M R-môđun cho `R (M ) < ∞ th× `R (D(M )) = `R (M ) Ta nhắc lại số kết tập iđêan nguyên tố gắn kết dùng phần luận văn Định lý 2.1.3 (ii) Cho (i) Mọi môđun Artin có biểu diễn thứ cấp M R-môđun biểu diễn Khi ®ã M 6= vµ chØ AttR M 6= Trong trường hợp tập iđêan nguyên tè tèi thiĨu cđa R chøa Ann(M ) chÝnh lµ tập phần tử tối thiểu AttR M S hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn32 31 (iii) Cho → M → M M 00 dÃy khớp R-môđun biểu điễn Khi ta có AttR M 00 ⊆ AttR M ⊆ AttR M ∪ AttR M 00 (iv) AttR M = {b p∩R:b p AttRb M } (v) Nếu R vành địa phương, đầy đủ ta có a) Nếu N R-môđun Noether AttR (D(N )) = AssR (N ) b) Nếu A R-môđun Artin AssR (D(A)) = AttR (A) 2.1.2 Tính hữu hạn tập S n1 nr n1 , ,nr ∈N Ass(M/(x1 , , xr )M ) Tríc chøng minh kÕt qu¶ chương, ta cần số bổ đề sau Nếu Bổ đề 2.1.4 R vành đầy đủ ứng với tôpô m-adic, rad(Ann(0 :A I)) = rad(Ann A + I) với R-môđun Artin A iđêan I cđa R Chøng minh thỈng d Cho R/m b R = R Nếu M Đặt E = E(R/m) là môđun hữu hạn sinh I bao nội xạ iđêan rad(Ann(M/IM )) = rad(Ann M + IR) D(0 :A I) ∼ = D(A)/ID(A) cđa R trêng th× ta có Do áp dụng định lý đối ngẫu Matlis 2.1.2 đẳng cấu ta có rad(Ann(0 :A I)) = rad(Ann(D(0 :A I))) = rad(Ann(D(A)/ID(A))) = rad(Ann D(A) + I) = rad(Ann A + I) Với R - môđun Artin nguyên tố chứa Ann A A , ký hiƯu V (Ann A) Víi mäi sè nguyªn tập tất phần tử tối thiểu p i > 0, đặt tập tất iđêan (min V (Ann A))i cña V(Ann A) tháa m·n dim R/p = i lµ vµ (Att A)i = {p ∈ Att A| dim R/p = i} Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn33 32 Chó ý rằng, theo Định lý 2.1.3, (ii), ta có Att A V (Ann A) có phần tử cực tiểu Do ta có kết ®©y Bỉ ®Ị 2.1.5 Cho dim R/ Ann A i Khi ®ã ta cã (Att A)i = (min V (Ann A))i Bổ đề 2.1.6 c đầy đủ m-adic cđa KÝ hiƯu M M Khi ®ã ta cã c} AssR M = {b p∩R:b p ∈ AssRb M Chứng minh a Đặt (b p) = b p ∩ R, : b → (R) Spec (R) b b p R Spec với iđêan nguyên tố ánh xạ xác định Khi đó, theo [12, Định lý 23.2, (i)] ta có [ c} = ϕa (Ass b M c) = ϕa ( {b p ∩ R| b p ∈ AssRb M R c/pM c) AssRb M p∈AssR M = [ c/pM c) = ϕa (AssRb M p∈AssR M [ {p} p∈AssR M = AssR M Định lý sau kết thứ chương, cho ta tính chất hữu hạn tập iđêan nguyên tố liên kết ứng với dÃy quy suy rộng Định lý 2.1.7 Cho (x1 , , xr ) lµ mét d·y chÝnh quy suy réng cđa M Khi ®ã [ Ass(M/(xn1 , , xnr r )M ) n1 , ,nr N tập hữu hạn Chứng minh số M Cho r>d1 - Khi đó, x1 , , xd−1 (M/(x1 , , xr )M ) nªn dim Do phần hệ tham Supp(M/(x1 , , xr )M ) tập hữu hạn [ Ass(M/(xn1 , , xnr r )M ) ⊆ Supp(M/(x1 , , xr )M ) n1 , ,nr ∈N Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn34 33 nên kết trường hợp Giả sử m đủ -adic M Để ý r»ng, x1 , , x r c M r d2 c M đầy lµ d·y chÝnh quy suy réng cđa n1 , , nr , Hơn nữa, với số nguyên dương Kí hiệu theo Bổ đề 2.1.6 ta cã c/(xn1 , , xnr )M c)} Ass(M/(xn1 , , xnr r )M ) = {b p ∩ R| b p ∈ Ass(M r Khi ta giả sử 11.3.3] , b R=R cho N R -môđun hữu hạn sinh Vì theo [1, Hệ (AssRb N )i AttRb (Hmi (N )), Ass N ⊆ dim [N nªn ta cã (Att Hmi (N ))i i=0 V× thÕ định lý chứng minh ta chØ r»ng [ (Att(Hmi (M/(xn1 , , xnr r )M )))i n1 , ,nr ∈N tập hữu hạn, với Cho r=1 n1 > Bổ đề 1.3.5 ta có i = 0, 1, , d Ta chøng minh quy nạp theo r số nguyên tùy ý Do ®ã, theo Bỉ ®Ị 1.3.3, (iii), dim(0 :M xn1 ) Tõ d·y khíp → :M xn1 → M → M/0 :M xn1 ta có dÃy khớp dài môđun đối đồng điều địa phương Hmi (M ) → Hmi (M/0 :M xn1 ) → Hmi+1 (0 :M xn1 ) → , v× Hmi (0 :M xn1 ) = 0, víi mäi i>2 nªn Hmi (M ) ∼ = Hmi (M/0 :M xn1 ) L¹i tõ d·y khíp n → M/(0 x1 :M xn1 ) → M → M/xn1 M → ta cã dÃy khớp dài môđun đối đồng điều địa phương → Hmi (M ) → Hmi (M/xn1 M ) → Hmi+1 (M/(0 :M xn1 )) → Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn35 34 ¸ p dụng đẳng cấu ta có dÃy khớp Hmi (M ) → Hmi (M/xn1 M ) → :Hmi+1 (M ) xn1 → víi mäi i > Do ®ã, theo Schenzel [15], víi mäi i>1 (1) ta cã dim(R/ Ann(0 :Hmi+1 (M ) xn1 )) dim(R/ Ann(Hmi (M/xn1 M ))) i Vì vậy, theo Định lý 2.1.3, (iii), Bổ đề 2.1.4 Bổ đề 2.1.5 ta có (Att Hmi (M/xn1 M ))i ⊆ (Att(Hmi (M )/Ki ))i ∪ (min V (Ann(Hmi+1 (M )) + xn1 R))i ⊆ (Att Hmi (M ))i ∪ (min V (Ann(Hmi+1 (M )) + x1 R))i víi mäi i>1 d·y (1) vµ Ki Do hạt nhân đồng cấu Hmi (M ) → Hmi (M/xn1 M ) (Att Hmi (M/xn1 M ))i tập hữu hạn với S n1 ∈N i > r>1 Cho vµ n1 , , nr số nguyên dương tùy ý Khi theo Bổ đề 1.3.3, (iii) Bỉ ®Ị 1.3.5 ta cã nr dim(0 :M/(xn1 , , xnr−1 r−1 )M xr ) Chøng minh tương tự trường hợp r=1 ta có dÃy khớp n r−1 Hmi (M/(xn1 , , xr−1 )M ) → Hmi (M/(xn1 , , xnr r )M ) → nr → :Hmi+1 (M/(xn1 , , xnr−1 r−1 )M ) xr với i > (2) Mặt khác, theo Bổ đề 2.1.4 Bổ đề 2.1.5 ta lại cã nr nr−1 (Att(0 :Hmi+1 (M/(xn1 , , xr−1 )M ) xr ))i n r−1 = (min V (Ann Hmi+1 (M/(xn1 , , xr−1 )M ) + xnr r R))i n r−1 = (min V (Ann Hmi+1 (M/(xn1 , , xr−1 )M ) + xr R))i nr−1 = (Att(0 :Hmi+1 (M/(xn1 , , xr−1 )M ) xr ))i Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn36 35 V× thÕ tõ d·y khíp (2) ta cã (Att(Hmi (M/(xn1 , , xnr r )M )))i n r−1 ⊆ (Att Hmi (M/(xn1 , , xr−1 )M ))i ∪ (Att(0 :Hmi+1 (M/(xn1 , , xnr−1 r−1 )M ) xr ))i i > 1, [ nr−1 (Att Hmi (M/(xn1 , , xr−1 )M ))i Chó ý rằng, với theo giả thiết quy nạp ta có n1 , , nr1 N tập hữu hạn Hơn nữa, dùng dÃy khớp (2) cho trường hợp nr = ta cã n n1 i r−1 (Att(0 :Hmi+1 (M/(xn1 , , xnr−1 r−1 )M ) xr ))i ⊆ (Att Hm (M/(x1 , , xr−1 , xr )M ))i víi mäi i > n Chó ý r»ng, theo Bỉ ®Ị 1.3.3, (ii), (iii) ta cã mét d·y chÝnh quy suy réng cña [ M/xr M r−1 xn1 , , xr1 Do theo giả thiết quy nạp ta cã n r−1 (Att Hmi (M/(xn1 , , xr−1 , xr )M ))i n1 , ,nr1 N tập hữu hạn, với [ i>1 KÐo theo (Att Hmi (M/(xn1 , , xnr r )M ))i n1 , ,nr N tập hữu hạn với 2.2 i > Định lý chứng minh Ass(HIi (M )) Tính hữu hạn tập Bổ đề 2.2.1 Cho K R-môđun Giả sử K = S (0 :K I n ) Khi ®ã n >1 Ass K = Ass(0 :K I) vµ Supp K = Supp(0 :K I) Chứng minh Theo giả thiết, K= S (0 :K I n ) nên (0 :K I) môđun n >1 cđa K Do ®ã 6= a ∈ K ®Ĩ Ass(0 :K I) ⊆ Ass K p ∈ Ass K S p = Ann a K = (0 :K I n ) Lấy tùy ý Vì Khi tồn nên tồn số nguyên n>1 n >1 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn37 36 I na = cho Do I n1 a 6= Ass K Ass(0 :K I) tiểu phần tử cùc tiĨu Supp(0 :K I) Khi ®ã Ass K = Ass(0 :K I) VËy Supp K cña thuéc p ∈ Ass(I n−1 a) ⊆ Ass(0 :K I) thuéc Ass(0 :K I) Ass K nên ta có đẳng Mặt phần thức khác, tử cực thứ hai Supp K = Supp(0 :K I) MƯnh ®Ị 2.2.2 gdepth(I; M ) = min{i | Supp HIi (M ) lµ mét tËp vô hạn} Chứng minh Cho Supp(HIr (M )) M Khi đó, theo tập vô hạn Ta chứng minh hữu hạn với Cho r = gdepth(I; M ) i1 vµ x1 lµ mét phần tử quy suy rộng Khi đó, theo MƯnh ®Ị 1.3.10 ta cã i < r − Vì tập n >1 theo giả thiết quy nạp lại có với (0 :K I n )) = Supp(0 :M I) gdepth(M/x1 M ) = r − Supp HIi (M/x1 M ) dim :M x1 tập hữu hạn nên chứng minh tương tự Định lý 2.1.7, từ d·y khíp → :M x1 → M → M/(0 :M x1 ) → ta cã HIi (M ) ∼ = HIi (M/(0 :M x1 )), víi mäi i>2 Do lại từ dÃy khớp x → M/(0 :M x1 ) →1 M → M/x1 M ta có dÃy khớp môđun đối đồng ®iÒu x HIi−1 (M ) → HIi−1 (M/x1 M ) → HIi M →1 HIi (M ) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn38 37 víi mäi i>2 V× vËy nÕu 26ir th× HIi (M ) = http://www.lrc-tnu.edu.vn39 38 Bổ đề 2.2.4 Cho K R-môđun A môđun Artin K Khi ®ã ta cã Ass(K/A) \ {m} = Ass K \ {m} Đặc biệt, Ass K tập hữu hạn Ass(K/A) tập hữu hạn Chứng minh Tõ d·y khíp → A → K → K/A 0, theo Định lý 2.1.3, (iii), ta có Ass K ⊆ Ass(K/A) ∪ Ass A ⊆ Ass(K/A) ∪ {m} Ngược lại, lấy p Ass(K/A) p = AnnR a = A :R a A A nên Artin pa nên pa , với Khi đó, tồn ảnh a a Artin có độ dài hữu hạn pn1 (pa) = V× thÕ pn ⊆ :R a V× pa 6= a K K/A môđun Do pa A, hữu Do tồn số nguyên dương cho hạn n sinh cho vµ p = rad(pn ) ⊆ rad(0 :R a) ⊆ rad(A :R a) = p Chøng tá p = rad(Ann a) Do p Ass(Ra) , kéo theo p phần tư tèi thiĨu cđa p ∈ Ass K Supp(Ra) Mệnh đề chứng minh Brodmann Faghani [2] đà chứng minh kết đẹp tính hữu hạn tập iđêan nguyên tố liên kết số nguyên dương, tập hữu hạn HIi (M ) HIi (M ) sau: Cho hữu hạn sinh với i số nguyên Nếu HIi (M ) R-môđun Artin i < r Ass HIr (M ) tập hữu hạn Chứng minh Ta chứng minh quy nạp theo r Trường hợp đà chứng minh bëi Brodmann vµ Faghani [2] Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Cho r = 1, r > kÕt Theo http://www.lrc-tnu.edu.vn40 39 HI0 (M ) giả thiết quy nạp, ta có Vì I * p, R -môđun Artin `(0 :M I) < ∞ p ∈ Ass M \ {m} với Do tồn phần tử x∈ / p, p ∈ Ass M \ {m} i>1 HIi (M ) ∼ = HIi (M/(0 :M x)), cho Do ®ã víi mäi víi mäi `(0 :M x) < ∞ Suy x∈I V× vËy Do tương tự chứng minh Mệnh ®Ị 2.2.2 ta cã d·y khíp x HIi−1 (M ) → HIi−1 (M/xM ) → HIi (M ) → HIi (M ) víi mäi i > Artin víi mäi Vì HIi (M ) i < r1 tập hữu hạn Đặt i depth(I; M ) = a, f depth(I; M ) = b (iii) - Ass(HIi (M )) Ass(HIi (M )) Chøng minh vµ lµ mét tËp hữu hạn với tập hữu hạn với Râ rµng lµ gdepth(I; M ) = c i c Đặc biệt, c=r i dim M = d Đặt Lj = (x1 , , xj )S vµ Tj = (Lj + Ia ) ∩ (Lj + Ib ) ∩ (Lj + Ic ) ∩ (Lj + xr+1 S) víi mäi Cho j = 1, , r 16j 6r Ta cÇn chØ r»ng Ta cã Lj + J ⊆ Tj Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Lj + J = Tj , Ngược lại, với cho j = 1, , r f ∈ Tj , chó ý r»ng http://www.lrc-tnu.edu.vn42 41 Lj + xr+1 S, Lj + Ia , Lj + Ib sè h¹ng cđa f t¹i mét đơn thức hJ iđêan đơn thức Khi đó, g Lj thuộc f Do đó, vk Ik kÐo theo xr+1 cho f ∈ Lj + J, h NÕu u lµ íc cđa vk f =g+h , , không biến số biến xuất số hạng số hạng vậy, Lj + Ic thuộc tất iđêan đơn thức (xem [3]) Ta viết sè h¹ng cđa x1 , , x r ước u số hạng với u h k = a, b, c, Do vËy ta cã u∈J u tån Do yêu cầu chứng minh Ta lại cần Lj R + JR = (Lj R + Ia R) ∩ (Lj R + Ib R)(Lj R + Ic R) ∩ (Lj R + xr+1 R) víi mäi j = 1, , r Khi ®ã víi mäi j = 1, , r, ta kiểm tra Ass(M/(x1 , , xj )M ) = {Lj R+Ia0 R, Lj R+Ib0 R, Lj R+Ic0 R, Lj R+xr+1 R}, (4) Ia0 = (xa+1 , , xd+1 )S, Ib0 = (xb+1 , , xd )S Ic0 = (xc+1 , , xd−1 )S , víi Sử dụng công thức (4) cho trường hợp j=r x1 /1, , xa /1 cña xi R lµ d·y chÝnh quy cđa M dim(M/IM ) = r − d ta cã cịng sư dơng c«ng thøc (4) cho trường hợp Ta j = 0, 1, , a , ®ã ®Ó dÉn ®Õn xi /1, i = 1, , a, ảnh Chú ý mR = La R + Ia0 R ∈ Ass(M/(x1 , , xa )M ) V× vËy depth(I; M ) = a j = a+1, , b, I TiÕp tơc sư dơng c«ng thøc (4) cho trường hợp ta kiểm tra cách f -dÃy Chú ý r»ng Lb R + Ib0 R ∈ Ass(M/(x1 , , xb )M ) MỈt x1 /1, , xb /1 khác, rõ chứng ràng minh I Lb R + Ib0 R tương gdepth(I; M ) = c tự sử Vì dụng dim R/(Lb R + Ib0 R) = vËy MÖnh f depth(I; M ) = b - ®Ị 1.3.9, ta cã thĨ B»ng chØ Sư dơng HƯ qu¶ 2.2.3 Định lý 2.2.6 ta có điều phải chứng minh Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn43 42 Kết luận Tóm lại, luận văn đà trình bày lại chứng minh chi tiết kết báo "On generalized regular sequences and the finiteness for associated primes of local cohomology modules" t¹p chÝ Communication in Algebra, f -depth of an ideal on a module" L T Nhàn đăng năm 2005 phần báo Lu-Tang đăng tạp chí of the American Mathematical society "The Proceedings Kết luận văn gồm nội dung sau: Nhắc lại số kiến thức có liên quan đến nội dung luận văn: Hàm tử mở rộng, môđun đối đồng điều địa phương, dÃy quy độ sâu môđun, lý thuyết biểu diễn thứ cấp Giới thiệu khái niêm dÃy quy lọc, độ sâu lọc chứng minh số tính chất đặc trưng chúng Giới thiệu khái niệm dÃy quy suy rộng, độ sâu suy rộng, chứng minh số tính chất đặc trưng mối quan hệ dÃy quy Nghiên cứu tính hữu hạn tập S n1 , ,nr ∈N vµ cđa tËp Ass(M/(xn1 , , xnr r )M ) Ass(HIi (M )) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn44 43 Tài liệu tham khảo [1] Local Cohomology: An Algebraic Brodmann, M., Sharp, R Y (1998), Introduction with Geometric Applications [2] Brodmann, M P., Faghani , A L Cambridge University Press (2000) A sociated primes of local cohomology modules finiteness result Proc AMS for as- 128:2851 - 2853 [3] Cox, D., Little, J., O'Shea, D (1992) Ideals, Varieties, and Algorithms New York: Springer-Verlag [4] Cuong, N T., Schenzel, P., Trung, N V (1978) Verallgemeinerte Cohen-Macaulay moduln Math Nachr 85: 57-73 [5] Faltings, G (1978) Uber die Annulatoren lokaler Kohomologiegruppen Arch Math [6] 30:473-476 Huneke, C (1992) Problems on local cohomology In: in Commutative Algebra and Algebraic Geometry Frec Resolution Sundance, UT, 1990, Res Notes Math, Boston, MA: Jones and Bartlett, pp 93-108 [7] [8] Huneke, C., Sharp, R, modules Trans AMS Y.(1993) Bass numbers of local cohomology 339:765-779 Katzman, M (2002) An example of an infinite set of associated primes of a local cohomology module J Algebra Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 252:161-166 http://www.lrc-tnu.edu.vn45 44 [9] Khashyarmanesh, K., Salarian, Sh (1999) On the associated primes of local cohomology modules [10] Comm Algebra 27:6191-6198 Lu, R., Tang, Z (2001) The f-depth of an ideal on a module Proc AMS 130(7):1905-1911 [11] Macdonald, I G commutative ring [12] (1973) Secondary representation Symposia Mathematica Matsumura, H (1986) of modules over a 11:23-43 Commutative Ring Theory Cambridge University Press [13] Melkersson, L (1995) Some applications of a criterion for Artinianness of a module [14] J Pure Appl Alg Nhan, L T (2005) 101:291-303 On generalized regular sequences and the finiteness for associated primes of local cohomology modules Communication in Algebra 793:81-94 [15] Schenzel, P (1982) Dualisierende Komplexe in der lokalen Algebra und Buchsbaum Ringe Lectura Notes in Mathematicas New York: Springer, p 907 [16] Singh, A (2000) Math Res Lett p-torsion elements in local cohomology modules 7:165-176 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn46