Về môđun đối đồng điều địa phương artin

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————–o0o——————– LÊ THỊ PHƯƠNG NGA VỀ MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG ARTIN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN, NĂM 2018 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————–o0o——————– LÊ THỊ PHƯƠNG NGA VỀ MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG ARTIN Ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC CÁN BỘ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS TRẦN ĐỖ MINH CHÂU THÁI NGUYÊN, NĂM 2018 Mục lục MỞ ĐẦU Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Vành catenary phổ dụng 1.2 Tập iđêan nguyên tố gắn kết môđun Artin 1.3 Chiều, số bội tính bão hịa ngun tố mơđun Artin 1.4 Môđun đối đồng điều địa phương Artin 12 Chương Môđun đối đồng điều địa phương Artin trường hợp thương vành Cohen-Macaulay 17 2.1 Trường hợp thương vành Gorenstein địa phương 17 2.2 Trường hợp thương vành Cohen-Macaulay 2.3 Chuyển qua đồng cấu phẳng 21 26 Chương Môđun đối đồng điều địa phương Artin thỏa mãn tính bão hịa ngun tố 37 3.1 Trường hợp mơđun đối đồng điều địa phương với giá cực đại 37 3.2 Trường hợp môđun đối đồng điều địa phương cấp cao với giá tùy ý 44 KẾT LUẬN 54 TÀI LIỆU THAM KHẢO 55 LỜI CẢM ƠN Luận văn "Về môđun đối đồng điều địa phương Artin" thực Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Ngun hồn thành hướng dẫn nhiệt tình, tận tụy TS Trần Đỗ Minh Châu Tác giả xin bảy tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học Đồng thời, tác giả xin trân trọng cảm ơn tới GS TS Lê Thị Thanh Nhàn với góp ý quý báu để luận văn hồn thiện Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái nguyên, Ban chủ nhiệm Khoa Tốn thầy khoa Toán tham gia giảng dạy tạo điều kiện tốt để tác giả học tập nghiên cứu Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám đốc đồng nghiệp Trung tâm HN GDTX Tỉnh Quảng Ninh tạo điều kiện cho tơi hồn thành nhiệm vụ học tập Nhân dịp này, tơi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình bạn bè động viên giúp đỡ nhiều trình học tập MỞ ĐẦU Lý thuyết đối đồng điều địa phương A Grothendieck giới thiệu vào năm 1960 Sau lý thuyết nhanh chóng phát triển thu hút quan tâm nhiều nhà tốn học giới, trở thành cơng cụ nghiên cứu thiếu nhiều lĩnh vực khác tốn học Đại số giao hốn, Hình học đại số, Đại số tổ hợp, Một tính chất quan trọng mơđun đối đồng điều địa phương tính Artin Cho (R, m) vành giáo hốn Noether địa phương, M R-mơđun hữu hạn sinh với chiều d I iđêan R Năm 1971, I G Macdonald R Y Sharp [16] chứng minh môđun đối dồng điều địa phương với giá cực đại Hmi (M ) Artin với i ≥ Sau R Y Sharp [28] phát lớp môđun đối đồng điều địa phương Artin thứ hai HId (M ) Nhiều thông tin hai lớp môđun đối đồng điều địa phương Artin phản ánh cơng trình R Y Sharp [27], M Brodmann-Sharp [3], N T Cường, L T Nhàn Theo I G Macdonald [15], tập iđêan ngun tố gắn kết Rmơđun Artin, kí hiệu AttR A, có vai trị quan trọng tương tự tập iđêan nguyên tố liên kết môđun hữu hạn sinh Mục đích luận văn trình bày lại số kết gần báo [3], [24], [20], [22] mô tả tập iđêan ngun tố gắn kết, đặc trưng tính bão hịa nguyên tố xây dựng công thức số bội Hmi (M ) HId (M ) R thương vành Cohen-Macaulay môđun thỏa mãn tính bão hịa ngun tố Nhắc lại R-mơđun Artin A gọi thỏa mãn tính bão hịa nguyên tố AnnR (0 :A p) = p với iđêan nguyên tố p chứa AnnR A (xem [8]) Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, nội dung luận văn trình bày thành ba chương: Chương trình bày số kiến thức chuẩn bị vành catenary phổ dụng, tập iđêan nguyên tố gắn kết mơđun Artin, chiều, số bội, tính bão hịa ngun tố mơđun Artin mơđun đối đồng điều địa phương Artin Những kiến thức liên quan đến kết chứng minh chương Chương trình bày kết tập iđêan nguyên tố gắn kết số bội môđun đối đồng địa phương Hmi (M ) trường hợp vành sở thương vành Cohen-Macaulay Chương trình bày đặc trưng tính bão hịa ngun tố hai lớp môđun đối đồng điều địa phương Artin thơng qua tính catenary vành, từ mơ tả tập iđêan nguyên tố gắn kết xây dựng công thức bội liên kết cho hai lớp môđun chúng thỏa mãn tính bão hịa ngun tố Thái Nguyên, tháng năm 2018 Chương Kiến thức chuẩn bị Trong suốt luận văn này, khơng nói thêm, ln giả thiết (R, m) b vành đầy đủ m-adic R, I vành giao hoán Noether địa phương, R iđêan tùy ý R Ta ký hiệu A R-môđun Artin, M R-mơđun hữu hạn sinh có dim(M ) = d N, L môđun tùy ý R Mục tiêu chương giới thiệu khái niệm tính chất vành catenary phổ dụng, tập iđêan nguyên tố gắn kết, chiều, số bội, tính bão hịa ngun tố mơđun Artin mơđun đối đồng điều địa phương Artin sử dụng luận văn 1.1 Vành catenary phổ dụng Trong tiết này, nhắc lại số khái niệm kết vành catenary phổ dụng Chú ý rằng, R vành Noether địa phương nên với cặp iđêan nguyên tố p ⊂ q R tồn dãy iđêan nguyên tố bão hòa p q có độ dài n p = p0 ⊂ p1 ⊂ ⊂ pn ⊂ q Định nghĩa 1.1.1 Nếu với cặp iđêan nguyên tố p ⊂ q R, dãy iđêan nguyên tố bão hịa p q có chung độ dài vành R gọi catenary Rõ ràng R catenary Rp catenary với p ∈ Spec(R) Ngồi vành catenary cịn có tính chất sau Mệnh đề 1.1.2 (Xem [30]) Các mệnh đề sau đúng: (i) Nếu R catenary vành thương R catenary (ii) R catenary dim(R/ q) = dim(R/ p) + ht(p / q) với iđêan nguyên tố p, q thỏa mãn q ⊆ p Một loại vành catenary đặc biệt có tính chất quan trọng vành catenary phổ dụng Định nghĩa 1.1.3 (Xem [17]) Vành R gọi vành catenary phổ dụng R-đại số hữu hạn sinh catenary Nếu depth(R) = dim(R) R gọi vành Cohen-Macaulay địa phương Theo định nghĩa M Nagata [19], vành R gọi tựa b P) = dim(R) b với P ∈ min(Ass R) b Định không trộn lẫn dim(R/ lý sau điều kiện để vành vành catenary phổ dụng thông qua tính khơng trộn lẫn tính Cohen-Macaulay vành Định lý 1.1.4 (Xem [29, Định lý 17.9,31.6]) R vành catenary phổ dụng thỏa mãn điều kiện sau: (i) R tựa không trộn lẫn; (ii) R thương vành Cohen-Macaulay Định lý sau đưa số đặc trưng vành catenary phổ dụng Định lý 1.1.5 Các điều kiện sau tương đương: (i) R catenary phổ dụng; (ii) Vành đa thức biến R[x] catenary; (iii) R/ p tựa không trộn lẫn với p ∈ Spec(R) 1.2 Tập iđêan nguyên tố gắn kết môđun Artin Lý thuyết biểu diễn thứ cấp cho môđun giới thiệu I G Macdonald [15] xem đối ngẫu lý thuyết phân tích nguyên sơ Từ biểu diễn thứ cấp, tập iđêan nguyên tố gắn kết môđun định nghĩa Khái niệm theo nghĩa tương tự với khái niệm iđêan nguyên tố liên kết môđun hữu hạn sinh Định nghĩa 1.2.1 (i) Một R-môđun N gọi thứ cấp N 6= với r ∈ R ta có rN = N tồn n ∈ N cho rn N = Trong trường hợp này, tập hợp phần tử r ∈ R cho phép nhân r N lũy linh làm thành iđêan nguyên tố chẳng hạn p, ta gọi N p-thứ cấp (ii) Cho N R-môđun Biểu diễn N = N1 + + Nn , Ni môđun pi -thứ cấp N, gọi biểu diễn thứ cấp N Nếu N = N có biểu diễn thứ cấp ta nói N biểu diễn Biểu diễn gọi tối tiểu iđêan nguyên tố pi đôi khác Ni không thừa với i = 1, , n Chú ý rằng, N1 , N2 mơđun p-thứ cấp N N1 + N2 mơđun p-thứ cấp N Vì biểu diễn thứ cấp N đưa dạng tối tiểu cách bỏ thành phần thừa gộp lại thành phần chung iđêan nguyên tố Tập hợp p1 , , pn độc lập với việc chọn biểu diễn thứ cấp tối tiểu N gọi tập iđêan nguyên tố gắn kết N, kí hiệu AttR N Các hạng tử Ni , với i = 1, , n, gọi thành phần thứ cấp N Nếu pi tối tiểu tập AttR N pi gọi iđêan nguyên tố gắn kết cô lập N Ni gọi thành phần thứ cấp cô lập N Định lý sau cho ta lớp môđun biểu diễn Định lý 1.2.2 [15, Định lý 5.2] Mọi môđun Artin biểu diễn Mệnh đề 1.2.3 (Xem [16]) Giả sử A R-mơđun Artin Khi phát biểu sau đúng: (i) AttR A 6= ∅ A 6= (ii) AttR A = Var(AnnR A) Đặc biệt,  dim(R/ AnnR A) = max dim(R/ p) | p ∈ AttR A (iii) AttR A = {m} A 6= `R (A) < ∞ b x ∈ A Gọi (rn )n∈N dãy Côsi Cho A R-môđun Artin rb ∈ R, R đại điện cho lớp rb Vì Rx có độ dài hữu hạn nên tồn số tự nhiên k cho mk x = Chú ý tồn n0 cho rn − rm ∈ mk với m, n ≥ n0 Suy rn x = rn0 x với n ≥ n0 Khi A có cấu trúc b-mơđun với tích vơ hướng rbx = rn x Do đó, mơđun tự nhiên R A xét R-môđun mơđun A xét b-mơđun Vì A R b-mơđun Artin Ta xác định cấu R b-môđun A R-môđun trúc R-môđun ban đầu A xem R b Như vậy, tập iđêan nguyên tố gắn xác định đồng cấu tự nhiên R → R b xác định ta có mối liên hệ tập kết A R R iđêan nguyên tố gắn kết sau Mệnh đề 1.2.4 [28, Bổ đề 2.1]  AttR A = P ∩ R | P ∈ AttRb A Tổng quát hơn, tính chất chuyển tập iđêan nguyên tố gắn kết môđun Artin qua đồng cấu phẳng địa phương phát biểu mệnh đề sau Điều mâu thuẫn Vậy dim(R/ p) + dim(Mp ) < d Suy dim(Mp ) < d − dim(R/ p) d−dim(R/ p) Do Hp Rp (Mp ) = theo Định lý 1.4.5, nghĩa p ∈ / PsuppdR (M ) Lấy iđêan nguyên tố p1 ∈ Var(AnnR Hmd (M )) thỏa mãn p1 ⊆ p Khi p1 ∈ AttR (Hmd (M )) p1 ∈ Ass M dim(R/ p1 ) = d Áp dụng d−dim(R/ p1 ) Định lý 1.4.4, suy Hp1 Rp (Mp1 ) 6= 0, tức p1 ∈ PsuppdR (M ) Vì PsuppdR (M ) khơng đóng, mâu thuẫn với giả thiết (i) 3.2 Trường hợp môđun đối đồng điều địa phương cấp cao với giá tùy ý Phần dành để đặc trưng tính bão hịa ngun tố môđun đối đồng điều địa phương cấp cao với giá tùy ý thơng qua tính catenary vành Kết cho thấy, môđun thỏa mãn tính bão hịa ngun tố, tập iđêan ngun tố gắn kết số bội đẹp trường hợp vành sở đầy đủ Trước hết, ta có Bổ đề sau tập iđêan nguyên tố gắn kết M Bổ đề 3.2.1 Xem [1, Bổ đề 2.1.2]Cho R-mơđun hữu hạn sinh M , đó: c=S b b (i) AssRb M np∈Ass M AssRb (R/ p R); o c (ii) AssR M = P ∩ R | P ∈ AssRb M Trong suốt tiết này, ta sử dụng ký hiệu sau T Ký hiệu 3.2.2 Cho = p∈AssR M N (p) phân tích ngun sơ thu gọn mơđun M Ta đặt n o p AssR (I, M ) = p ∈ AssR M | dim(R/ p) = d, I + p = m N = T p∈AssR (I,M ) N (p) Chú ý rằng, AssR (I, M ) ⊆ min(AssR M ) Vì N khơng phụ thuộc vào lựa chọn phân tích ngun sơ thu gọn môđun 44 Định lý sau đặc trưng tính chất bão hịa ngun tố môđun đối đồng điều địa phương cấp cao với giá Định lý 3.2.3 Cho R-môđun N xác định Kí hiệu 3.2.2 Khi mệnh đề sau tương đương: (i) HId (M ) thỏa mãn tính bão hịa ngun tố; √ (ii) R/ AnnR HId (M ) catenary với p ∈ AttR (HId (M ) ta có I + p = m; (iii) R/ AnnR HId (M ) vành catenary HId (M ) ∼ = Hmd (M/N ) Chứng minh Giả sử HId (M ) = AssR (I, M ) 6= ∅ Lấy p ∈ AssR (M ) √ c thỏa mãn cho I + p = m.qTheo Bổ đề 3.2.1, tồn P ∈ AssRb M dim(R/P) = d b + P = mR b Áp dụng Định lý 1.4.11 ta có IR P ∈ AttRb (HId (M )) Do HId (M ) 6= Điều mâu thuẫn Suy AssR (I, M ) = ∅ Kéo theo N = M Suy Hmd (M/N ) = hiển nhiên ba mệnh đề Định lý Vì ta giả sử HId (M ) 6= (i)⇒(ii) Theo Mệnh đề 1.4.11, c) | dim(R/ b P) = d} AttRb HId (M ) ⊆ {P ∈ AssRb (M Vì thế, HId (M ) R-mơđun Artin không trộn lẫn theo Mệnh đề 1.2.3 Chú ý rằng, HId (M ) thỏa mãn tính bão hịa ngun tố nên theo Định lý ?? vành R/ AnnR HId (M ) catenary Vì I + AnnR HId (M ) ⊆ AnnR (0 :HId (M ) I) nên ta có q q AnnR (0 :HId (M ) I) ⊇ I + AnnR HId (M ) Lấy q ∈ Spec(R) cho q ⊇ I + AnnR HId (M ) Do HId (M ) thỏa mãn tính bão hịa ngun tố nên AnnR (0 :HId (M ) I) ⊆ AnnR (0 :HId (M ) q) = q Suy q AnnR (0 :HId (M ) I) ⊆ \ q= q I + AnnR HId (M ) q∈Spec(R) q⊇I+AnnR HId (M ) Vì q AnnR (0 :HId (M ) q I) = I + AnnR HId (M ) Do HId (M ) R-môđun Artin nên (0 :HId (M ) I) Artin Mặt khác, theo [10, Định lý 3], HId (M ) 45 I -cofinite Suy (0 :HId (M ) I) R-môđun hữu hạn sinh Điều dẫn đến lR (0 :HId (M ) I) < ∞ Vì AnnR (0 :HId (M ) I) iđêan m-nguyên sơ R I + AnnR HId (M ) m-nguyên sơ Lấy p ∈ AttR HId (M ) √ Khi p ⊇ AnnR HId (M ) theo Mệnh đề 1.2.3(ii) Suy I + p = m với p ∈ AttR (HId (M )) (ii)⇒(iii) Như Kí hiệu 3.2.2, giả sử = T p∈AssR M N (p) phân tích ngun sơ thu gọn mơđun M ký hiệu T N = p∈AssR (I,M ) N (p), o n p AssR (I, M ) = p ∈ AssR M | dim(R/ p) = d, I + p = m Theo tính chất phân tích ngun sơ ta có AssR (M/N ) = AssR (I, M ) Lấy q ∈ AssR M cho q ∈ / AssR (I, M ) Do phân tích nguyên sơ N thu gọn nên N +N (q)/N (q) 6= Hơn N +N (q)/N (q) ∼ = N/N ∩N (q) suy ∅= AssR (N +N (q)/N (q)) ∼ = AssR (N/N ∩N (q)) ⊆ AssR (M/N (q)) = {q} Kéo theo AssR (N/N ∩ N (q)) = {q} N ∩ N (q) môđun nguyên sơ N Do thành phần N (q) không thừa phân tích ngun sơ mơđun M nên \ 0=   N ∩ N (p) p∈AssR M \AssR (I,M ) phân tích nguyên sơ thu gọn môđun N Điều dẫn đến AssR N = AssR M \ AssR (I, M ) Tác động hàm tử HId (•) vào dãy khớp → N → M → M/N → ta dãy khớp HId (N ) → HId (M ) → HId (M/N ) → Giả sử HId (M ) 6= Theo Định lý 1.4.5 ta có dim(N ) = d Theo Mệnh d b đề 1.2.3, tồn iđêan q ngyên tố P ∈ AttRb HI (N ) Kéo theo P ∈ AssRb N , b P) = d I R b + P = mR b theo Mệnh đề 1.4.11 Hơn nữa, dim(R/ b ⊆ Ass b M c nên P ∈ Ass b M c Vì P ∈ Att b H d (M ) theo Mệnh Ass b N R R R R AttR HId (M ) I đề 1.4.11 Đặt p = P ∩ R Khi p ∈ theo Mệnh đề 1.2.4 √ c) dim(R/ b P) = d Từ giả thiết (ii), ta có I + p = m Vì P ∈ AssRb (M 46 nên theo Bổ đề 3.2.1(i) ta có p ∈ AssR M dim(R/ p) = d Suy p ∈ AssR (I, M ) Mặt khác, P ∈ AttRb (HId (N )) nên p ∈ AssR N theo Bổ đề 3.2.1(i) p ∈ AssR M \ AssR (I, M ) theo chứng minh Điều dẫn đến mâu thuẫn Vì HId (N ) = suy HId (M ) ∼ = HId (M/N ) T Lấy q ∈ Spec(R) cho q ⊇ I + p Do AssR (I, M ) tập hữu p∈AssR (I,M ) √ hạn nên q ⊇ I q ⊇ p0 với p0 ∈ AssR (I, M ) Vì q ⊇ I + p0 = m ta có s I+ \ p = m p∈AssR (I,M ) T Do I + p m-nguyên sơ Vì AssR (M/N ) = AssR (I, M ) nên p∈AssR (I,M ) q AnnR (M/N ) = \ p p∈AssR (I,M ) Suy I + AnnR (M/N ) m-nguyên sơ Vì thế, theo Định lý 1.4.3, ta có d HId (M/N ) ∼ (M/N ) ∼ = HI+Ann = Hmd (M/N ) R (M/N ) Vậy HId (M ) ∼ = Hmd (M/N ) (iii)⇒(i) Vì HId (M ) ∼ = Hmd (M/N ) nên ta có AnnR (HId (M )) = AnnR (Hmd (M/N )) Do vành R/ AnnR HId (M ) catenary nên vành R/ AnnR Hmd (M/N ) catenary Theo Định lý 1.4.13, Hmd (M/N ) thỏa mãn tính bảo hịa ngun tố HId (M ) thỏa mãn tính bão hịa ngun tố Hệ 3.2.4 Cho AssR (I, M ) Kí hiệu 3.2.2 Khi ta có (i) AssR (I, M ) ⊆ AttR HId (M ) Đặc biệt, AssR (I, M ) 6= ∅ HId (M ) 6= (ii) Giả sử AssR (I, M ) 6= ∅ Khi HId (M ) thỏa mãn tính bão hịa ngun tố HId (M ) = Chứng minh (i) Lấy p ∈ AssR (I, M ) Khi p ∈ AssR M, dim(R/ p) = d √ b p R) b cho dim(R/ b P) = d Vì I + p = m Giả sử P ∈ AssRb (R/ b = S b q R) b nên theo [17, P ∩ R = p Vì Ass b (R) Ass b (R/ R q∈AssR (M ) 47 R √ c) Chú ý I + p = m Kéo theo Định lý 23.3(ii)] ta có P ∈ Ass ( M b R q b + P = mR b Do P ∈ Att b (H d (M )) theo Mệnh đề 1.4.11 Vì IR I R p ∈ AttR (HId (M )) theo Mệnh đề 1.2.4 Điều dẫn đến AssR (I, M ) ⊆ AttR HId (M ) Đặc biệt, AssR (I, M ) 6= ∅ AttR HId (M ) 6= ∅ Kéo theo HId (M ) 6= theo Mệnh đề 1.2.3 (ii) Giả sử AssR (I, M ) 6= ∅ Rõ ràng, HId (M ) = thỏa mãn tính bão hịa ngun tố Giả sử HId (M ) 6= Suy tồn iđêan p ∈ AttR (HId (M )) theo Mệnh đề 1.2.3 Điều dẫn đến p ∈ AssR (M ) dim(R/ p) = d theo Mệnh đề 1.2.4 1.4.11 Nếu HId (M ) thỏa mãn tính √ bão hịa ngun tố I + p = m theo Định lý 3.2.3 điều mâu thuẫn với giả thiết AssR (I, M ) 6= ∅ Hệ 3.2.5 Nếu HId (M ) thỏa mãn tính bão hịa ngun tố p AttR HId (M ) = {p ∈ AssR M | dim(R/ p) = d, I + p = m} Chứng minh Giả sử AssR (I, M ) xác định Ký hiệu 3.2.2 Khi đó, phần tử Ass(I, M ) iđêan nguyên tố gắn kết HId (M ) theo Hệ 3.2.4(i) Lấy p ∈ AttR (HId (M )) Do p ∈ AssR (M ) dim(R/ p) = d Vì HId (M ) thỏa mãn tính bão hịa ngun tố nên √ I + p = m theo Định lý 3.2.3 Vì p ∈ Ass(I, M ) Điều dẫn đến AttR HId (M ) = AssR (I, M ) = {p ∈ AssR M | dim(R/ p) = d, p I + p = m} Định nghĩa 3.2.6 Cho N xác định Kí hiệu 3.2.2 Tập đối giá HId (M ), kí hiệu CosR (HId (M )), cho công thức n o d−dim(R/ p) d CosR (HI (M )) = p ∈ Spec(R) | Hp Rp (M/N )p 6= Bổ đề sau mối liên hệ tập đối giá CosR (HId (M )) tập Var(AnnR HId (M )) 48 Bổ đề 3.2.7 CosR (HId (M )) ⊆ Var(AnnR HId (M )) Chứng minh Giả sử AssR (I, M ) N xác định Kí hiệu 3.2.2 d−dim(R/ p) Lấy p ∈ CosR (HId (M )) Khi ta có Hp Rp d−dim(R/ p) đề 1.2.3(i), tồn q Rp ∈ AttRp (Hp Rp (M/N )p 6= Theo Mệnh (M/N )p ) Áp dụng Định lý 1.4.9 ta suy q ∈ AttR Hmd (M/N ) Vì q ∈ AssR (M/N ) theo Định lý 1.4.8 Chú ý AssR (M/N ) = AssR (I, M ) nên q ∈ AssR (I, M ) Suy q ∈ AttR HId (M ) theo Hệ 3.2.4(i) q ⊇ AnnR HId (M ) theo Mệnh đề 1.2.3(ii) Chú ý q ⊆ p Vậy p ∈ Var(AnnR HId (M )) Bổ đề suy từ Định nghĩa 3.2.6, cho ta mối liên hệ khái niệm đối giá với khái niệm tập giả giá M Brodmann R Y Sharp nhắc lại chương Bổ đề 3.2.8 Cho N xác định Kí hiệu 3.2.2 Đặt UM (0) môđun lớn M có chiều nhỏ d Khi đó, ta có (i) CosR (HId (M )) = PsuppdR (M/N ) (ii) CosR (Hmd (M )) = PsuppdR (M/UM (0)) = PsuppdR (M ) Chứng minh (i) Theo định nghĩa tập đối giá ta có n o d−dim(R/ p) d CosR (HI (M )) = p ∈ Spec(R) | Hp Rp (M/N )p 6= = PsuppdR (M/N ) (ii) Thay I = m, Kí hiệu 3.2.2, ta  AssR (m, M ) = p ∈ AssR (M ) | dim(R/ p) = d = AssR M/UM (0) Suy N = UM (0) môđun lớn M có chiều nhỏ d Do CosR (Hmd (M )) = PsuppdR (M/UM (0)) Chuyển qua địa phương hóa dãy khớp → UM (0) → M → M/UM (0) → ta dãy khớp → (UM (0))p → Mp → (M/UM (0))p → 49 Theo chứng minh UM (0) môđun có chiều nhỏ d nên dim(UM (0))p < d − dim(R/ p) Do ta có dãy d−dim(R/ p) → Hp Rp d−dim(R/ p) (Mp ) → Hp Rp d−dim(R/ p) Vì ta có Rp -đẳng cấu Hp Rp (M/UM (0))p → d−dim(R/ p) (M/UM (M ))p (Mp ) ∼ = Hp Rp Do PsuppdR (M/UM (0)) = PsuppdR (M ) Định lý 3.2.9 Các mệnh đề sau tương đương: (i) HId (M ) thỏa mãn tính bão hịa ngun tố; (ii) CosR (HId (M )) = Var(AnnR (HId (M ))) Chứng minh (i)⇒(ii) Giả sử AssR (I, M ) N xác định Kí hiệu 3.2.2 Vì HId (M ) thỏa mãn tính bão hịa ngun tố nên ta có đẳng cấu H d (M ) ∼ = H d (M/N ) theo Định lý 3.2.3 Suy H d (M/N ) thỏa m m I mãn tính bão hịa ngun tố Vì theo Định lý 3.1.1 Bổ đề 3.2.8 ta có   = PsuppdR (M/N ) = CosR (HId (M ))     d d Do Var AnnR HI (M ) = Var AnnR Hm (M/N ) = CosR (HId (M )) Var AnnR Hmd (M/N ) (ii)⇒(i) Cho q ⊇ AnnR (HId (M )) Khi q ∈ CosR (HId (M )) theo d−dim(R/ q) b q R) b giả thiết (ii) Hq Rq (M/N )q 6= Lấy Q ∈ Ass(R/ b Q) = dim(R/ q) Khi Q ∩ R = q Q iđêan nguyên tố tối cho dim(R/ b Vì ánh xạ cảm sinh Rq → R bQ phẳng hoàn toàn nên ta có tiểu q R b Q) d−dim(R/ HQRb Q d−dim(R/ q) \)Q ∼ bQ 6= (M/N (M/N )q ⊗ R = Hq Rq (3) T Giả sử = p∈AssR (M ) N(p) phân tích ngun sơ thu gọn Khi T N = p∈AssR (I,M ) N (p) Với p ∈ AssR M , Ass(M/N (p)) = {p} nên theo Bổ đề 3.2.1 ta có [ c/N b p R) b AssRb (M (p)) = AssRb (R/ [ [ Vì N (p) có phân tích ngun sơ thu gọn N (p) = T K(p, P), b p R) b P∈AssRb (R/ c Vì R → R b đồng K(p, P) mơđun P-ngun sơ M 50 cấu phẳng hoàn toàn N (p) môđun M nên theo [17, T [ b =T Định lý 7.4] ta có N N ( p ) = p∈AssR (I,M ) p∈AssR (I,M ) K(p, P) b p R) b P∈Ass(R/ 0=   b= N (p) ⊗R R \ p∈AssR M \ = \  b N (p) ⊗R R  p∈AssR M \ [ N (p) = p∈AssR M K(p, P) p∈AssR M b p R) b P∈AssRb (R/ b Kí hiệu K1 giao tất phân tích nguyên sơ thu gọn N b p R) b cho thành phần nguyên sơ K(p, P) P ∈ Ass b (R/ R b P) = d p ∈ AssR (I, M ) Rõ ràng K1 ⊇ N b Kí hiệu U c b (0) dim(R/ M /N c/N b có chiều nhỏ d Theo Bổ đề 3.2.1, mơđun lớn M AssR (I, M ) = AssR (M/N ) nên c/N b = {P ∈ Ass b (R/ b p R) b | p ∈ AssR (I, M )} AssRb M R Kéo theo \ UM c/N b (0) = b = K /N b K(p, P)/N p∈AssR (I,M ) b p R),dim( b b P)=d P∈Ass b (R/ R/ R b )Q ≤ dim(K1 /N b )−dim(R/ b Q) < d−dim(R/ b Q) Chuyển Vì dim(K1 /N b →M c/N b →M c/K1 → ta qua địa phương hóa dãy khớp → K1 /N dãy khớp b )Q → (M c/N b )Q → (M c/K1 )Q → 0 → (K1 /N Tác động hàm tử đối đồng điều địa phương vào dãy khớp ta đẳng cấu b Q) d−dim(R/ HQRb Q b Q) d−dim(R/ \)Q ∼ c/K1 )Q (M/N (M = HQRb Q Từ (3) ta suy b Q) d−dim(R/ HQRb Q c/K1 )Q 6= (M (4) Như Kí hiệu 3.2.2, đặt b M c) = {P ∈ Ass b M c | dim(R/ b P) = d, AssRb (I R, R 51 q b + P = mR} b IR Khi theo Bổ đề 3.2.1(ii) ta có b M c) AssRb (I R, q b p R) b | p ∈ AssR M, dim(R/ b P) = d, I R b + P = mR} b = {P ∈ AssRb (R/ q T b + P = mR b với iđêan Đặt K2 = K(p, P) Bởi I R bM c) P∈AssRb (I R, S P∈ p∈AssR (I,M ) b p R) b nên ta suy AssRb (R/ b M c) ⊇ {P ∈ Ass b (R/ b p R) b | p ∈ AssR (I, M ), dim(R/ b P) = d} AssRb (I R, R Do K2 ⊆ K1 Vì dim(K1 ) ≤ d nên ta có b Q) ≤ d − dim(R/ b Q) dim(K1 /K2 )Q ≤ dim(K1 /K2 ) − dim(R/ Chuyển qua địa phương hóa dãy khớp c/K2 → M c/K1 → 0 → K1 /K2 → M c/K2 )Q → (M c/K1 )Q → Tác ta dãy khớp → (K1 /K2 )Q → (M động hàm tử đối đồng điều địa phương vào dãy khớp ta đẳng cấu b Q) d−dim(R/ HQRb Q b Q) d−dim(R/ c/K1 )Q c/K2 )Q ∼ (M (M = HQRb Q b Q) d−dim(R/ c/K2 )Q 6= Điều dẫn đến Do từ (4) ta suy HQRb (M Q c)) Vì H d (M c) thỏa mãn tính bão hịa ngun tố nên Q ∈ CosRb (HIdRb (M  I Rb  d c d c Cos b (H (M )) = Var Ann b (H (M )) theo chứng minh (i)⇒(ii) Kéo R b IR R c)) Do theo Q ⊇ AnnRb (HIdRb (M b IR c) HIdRb (M ∼ c) thỏa mãn = HId (M ) HIdRb (M tính bão hịa ngun tố nên ta có AnnRb (0 :HId (M ) Q) = AnnRb (0 :H d b IR c) (M Q) = Q Do q ⊆ AnnR (0 :HId (M ) q) ⊆ AnnRb (0 :HId (M ) Q) ∩ R = Q ∩ Q = q Suy AnnR (0 :HId (M ) q) = q Vậy HId (M ) thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố 52 Hệ 3.2.10 Giả sử q iđêan m-nguyên sơ Cho AssR (I, M ) N xác định Kí hiệu 3.2.2 Nếu HId (M ) thỏa mãn tính bão hịa ngun tố e (q, HId (M )) X = `Rp  Hp0 Rp (M/N )p  e(q, R/ p) p∈CosR (HId (M )) dim(R/ p)=d Trong trường hợp này, e (q, HId (M )) X = e(q, M/N ) = `Rp (Mp )e(q, R/ p) p∈AssR (I,M ) Chứng minh Vì HId (M ) thỏa mãn tính bão hịa ngun tố nên theo Định lý 3.2.3 ta có H d (M ) ∼ = H d (M/N ) Do H d (M/N ) thỏa mãn tính bão I m m hòa nguyên tố Chú ý CosR (HId (M )) = PsuppdR (M/N ) theo Bổ đề 3.2.8 Vì thế, theo Hệ 3.1.3 ta có e0 (q, HId (M )) = e0 (q, Hmd (M/N ))   X `Rp Hp Rp (M/N )p e(q, R/ p) = p∈CosR (HId (M )) dim(R/ p)=d Lấy p ∈ CosR (HId (M )) cho dim(R/ p) = d Theo Định lý 3.2.9 ta có p ∈ Var(AnnR HId (M )) Vì p ∈ AttR HId (M ) theo Mệnh đề 1.2.3(ii) p ∈ AssR (I, M ) theo Hệ 3.2.5 Theo chứng minh ta có AssR (N ) = AssR (M ) \ AssR (I, M ) Vì p ∈ / AssR (N ) Do dim(R/ p) = d nên p ∈ / Supp N Vì H (Mp ) ∼ = H (M/N )p Chú R p Rp p Rp ý q iđêan nguyên tố liên kết tối tiểu M nên `Rp (Mp ) < ∞ Suy Hp0 Rp (Mp ) = Mp Kết hợp tính chất với ý AssR (M/N ) = AssR (I, M ) = {p ∈ CosR (HId (M )) | dim(R/ p) = d} khẳng định lại suy từ công thức bội liên kết e(q, M/N ) M/N tương ứng với q 53 KẾT LUẬN Luận văn trình bày lại số kết gần báo [3], [24], [20], [22] tập iđêan ngun tố gắn kết, tính bão hịa ngun tố số bội môđun đối đồng điều địa phương Artin Trong trường hợp vành sở R thương vành Cohen-Macaulay, luận văn trình bày cơng thức số bội môđun đối đồng điều địa phương với giá cực đại (Định lý 2.2.4) mối liên hệ tập iđêan nguyên tố gắn kết, số bội hai môđun đối đồng điều địa phương Artin Hpi Rp (Mp ) i+r c HPRb P (M P ) (Định lý 2.3.6) Trong chương 3, luận văn trình bày đặc P trưng tính chất bão hịa môđun đối đồng điều địa phương Artin mô tả tập iđêan nguyên tố gắn kết, xây dựng công thức số bội môđun thỏa mãn tính bão hịa ngun tố (Hệ 3.1.3, 3.2.11, ) 54 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] T Đ M Châu (2014), Về tập iđêan nguyên tố gắn kết môđun đối đồng điều địa phương, Luận án tiến sĩ, Đại học Sư phạm Huế Tiếng Anh [2] M Brodmann and R Y Sharp (1998), Local cohomology: an algebraic introduction with geometric applications, Cambridge University Press [3] M Brodmann and R Y Sharp (2002), On the dimension and multiplicity of local cohomology modules, Nagoya Math J., 167, 217-233 [4] M Brodmann and C Rotthaus (1983), A peculiar unmixed domain, Proc AMS., (4)87, 596-600 [5] W Bruns and J Herzog (1993), Cohen-Macaulay rings, Cambridge University Press [6] N T Cuong, D T Cuong and H L Truong (2010), On a new invariant of finitely generated modules over local rings, Journal of Algebra and Its Applications 9, 959-976 [7] N T Cuong, N T Dung, L T Nhan (2007), Top local cohomology and the catenaricity of the unmixed support of a finitely generated module, Comm Algebra 35, 1691-1701 55 [8] N T Cuong, L T Nhan (2002), On the Noetherian dimension of Artinian modules, Vietnam J Math 30 (2) 121-130 [9] N T Cuong, L T Nhan, N T K Nga (2010), On psuedo supports an non Cohen-Macaulay locus of a finitely generated module, J Algebra 323, 3029-3038 [10] D Delfino, T Marley (1997), Cofinite modules and local cohomology, J Pure Appl Algebra, 121, 45-52 [11] K Divaani-Aazar and P Schenzel (2001), Ideal topology, local cohomology and connectedness, Math Proc Camb Phil Soc., 131, 211226 [12] N S Gopalakrishnan (1984), Commutative Algebra, Oxonian Press Pvt Ltd [13] T Kawasaki (2001), On arthmetic Macaulayfication of Noetherian rings, Trans Amer Math Soc., 354, 123-149 [14] D Kirby (1990), Artinian modules and Hilbert polynomials, Quart J Math Oxford., (2)24, 47-57 [15] I G Macdonald (1973), Secondary representation of modules over a commutative ring, Symposia Mathematica, 11, 23-43 [16] I G Macdonald and R Y Sharp (1972), An elementary proof of the non-vanishing of certawin local cohomology modules, Quart J Math Oxford, (2)23, 197-204 [17] H Matsumura (1986), Commutative ring theory, Cambridge University Press 56 [18] S McAdam, L J Ratliff (1977), Semi-local taut rings, Indiana Univ Math J 26,73-79 [19] M Nagata (1962), Local ring, Interscience New York [20] L T Nhan, T N An (2009), On the unmixedness an the universal catenaricity of local rings and local cohomology modules, J Algebra 321, 303-311 [21] L T Nhan, T N An (2010), On the catenaricity of Noetherian local rings and quasi unmixed Artinian modules, Comm Algebra 38, 37283726 [22] L T Nhan, T D M Chau (2012), On the top local cohomology modules, J Algebra 349, 342-352 [23] L T Nhan, P H Quy (2014), Attached primes of local cohomology modules under localization and completion, J Algebra 420, 475-485 [24] L T Nhan, T N An, L P Thao (2018), Local cohomology modules via certain flat extension rings, J Algebra 503, 340-355 [25] R N Roberts (1975), Krull dimension for Artinian modules over quasi local commutative rings, Quart J Math Oxford, 26, 269-273 [26] R Y Sharp (1990), Steps in Commutative Algebra, Cambridge University Press [27] R Y Sharp (1975), Some results on the vanishing of local cohomology modules, Proc London Math Soc., 30, 177-195 [28] R Y Sharp (1981), On the attacked prime ideal of certain Artinian local cohomology modules, Proc Endinburgh Math Soc., 24, 9-14 57 [29] Shiro Goto (2016), Homological methods in commutative Algebra, Vietnam Academy of Sience and Technoloy Institute of Mathematics [30] L J Ratliff (1971), Characterizations of catenary rings, Amer J Math., 93, 1070-1108 58