ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHẠM MAI LAN MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG VÀ MT S PHM TR CON SERRE Chuyên ngành: i s lý thuyết số M· sè: 60.46.05 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC GIÁO DỤC Ng-êi h-íng dÉn khoa häc: PGS TS LÊ THỊ THANH NHÀN Thái Nguyên, 2009 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://www.Lrc-tnu.edu.vn Mục lục Lời cảm ơn Ph¹m trï Serre số chuẩn bị môđun đối đồng điều địa phương 1.1 Phạm trù Serre 1.2 2 S Điều kiện (CI ) phạm trù Serre S 11 1.3 Môđun đối đồng điều địa phương 15 S -chính quy môđun đối đồng điều địa phương 19 DÃy 2.1 DÃy S -chÝnh quy 19 HIi (M ) ∈ S víi mäi cÊp i < n 27 S -độ sâu số đặc trưng S -độ sâu 35 Tµi liƯu tham kh¶o 41 2.2 Điều kiện để 2.3 Số hóa Trung tâm Học liệu – i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình nghiêm khắc PGS.TS Lê Thị Thanh Nhàn Nhân dịp xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô gia đình Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới GS TSKH Nguyễn Tù Cêng, GS TSKH Lª Tn Hoa, PGS TS Ngun Quốc Thắng Viện Toán học Hà Nội; TS Nguyễn Thị Dung toàn thể thầy cô giáo khoa Toán Phòng Đào tạo sau Đại học trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên đà tận tình giảng dạy giúp đỡ suốt thời gian học tập trường Tôi biết ơn cán bộ, giáo viên trường PTTH Phục Hoà, Sở GDĐT Cao Bằng, Tỉnh Cao Bằng nơi công tác đà tạo điều kiện thuận lợi để hoàn thành kế hoạch học tập Tôi xin bày tỏ quý mến tới gia đình, bố mẹ, anh chị chồng tôi, bạn tôi, người đà động viên, khuyến khích hoàn thành công việc S húa bi Trung tõm Hc liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn Lêi nãi đầu Trong suốt luận văn giả thiết Noether, có đơn vị Cho R vành giao hoán, I iđêan R Mặc dù đà có nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu môđun đối đồng điều địa phương HIi (M ) R-môđun M ứng với giá I , người ta biết thông tin môđun Ngay M hữu hạn sinh, môđun đối đồng điều địa phương không thiết hữu hạn sinh không thiết Artin Thậm chí người ta môđun triệt tiêu, trừ số trường hợp đặc biệt Mặt khác, tính chất sở môđun đối đồng điều địa phương tính triệt tiêu, tính hữu hạn sinh, tính Artin, tính chất hữu hạn giá lại quan tâm đặc biệt nh÷ng øng dơng cđa nã nhiỊu lÜnh vùc cđa toán học Đại số Giao hoán, Hình học Đại số, Đại số Tổ hợp Chẳng hạn, chiều độ sâu môđun hữu hạn sinh quan trọng M bất biến M đặc trưng qua tính triệt tiêu môđun đối đồng điều địa phương sau: Độ sâu depth(I, M ) M iđêan I cấp i bé cho HIi (M ) = 0; Khi (R, m) lµ vµnh địa phương chiều dim M M cấp i lớn để Hmi (M ) 6= Vì lí đó, người ta đặt câu hỏi: Khi môđun đối đồng điều triệt tiêu? Môđun hữu hạn sinh cấp nào? Tìm điều kiện để môđun Artin Khi có giá hữu hạn? Các câu hỏi đà trả lời phận nhiều nhà toán học cho trường hợp để M hữu hạn sinh G Faltings 1978 ®· chØ r»ng cÊp r bÐ HIr (M ) không hữu hạn sinh min{depth(Mp ) + ht((I + p)/p) : p 6⊇ I} L Melkersson 1995 trình bày kết tương tự Faltings, Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn tính hữu hạn sinh thay tính Artin Ông cấp n bé để HIn (M ) không Artin sè depth(IRp , Mp ) bÐ nhÊt víi p ∈ Supp(M/IM ) \ {m} Sau ®ã Lu - Tang 2002 đà chứng minh cấp n độ sâu läc f-depth(I, M ) cña M I TiÕp theo, Lê Thanh Nhàn 2005 đà định nghĩa khái niệm ®é s©u suy réng cđa M I , kÝ hiƯu lµ gdepth(I, M ), vµ chØ r»ng gdepth(I, M ) cấp n bé để Supp HIn (M ) vô hạn (xem Chương II) Năm 2008, việc sử dụng khái niệm ``phạm trù Serre phạm trù R-môđun", M Aghapournahr L Melkersson đà nghiên cứu cách có hệ thống tính chất sở môđun đối đồng điều địa phương Chú ý lớp gồm môđun 0, lớp môđun hữu hạn sinh, lớp môđun Artin, lớp môđun có giá hữu hạn, tạo thành phạm trù Serre Vì câu hỏi nêu phần quy câu hỏi tổng quát: Với S phạm trù Serre cho tríc, nµo HIi (M ) ∈ S? Kết mà họ đạt báo đặc trưng cấp n bé để HIn (M ) / S với S phạm trù Serre M R-môđun (không thiết hữu hạn sinh), đồng thời giới thiệu khái niệm S -dÃy, S -độ sâu đặc trưng S -độ sâu tổng quát hóa đặc trưng ®· biÕt vỊ ®é s©u, ®é s©u läc, ®é s©u suy rộng Năm 2008, việc sử dụng khái niệm ``phạm trù Serre phạm trù R-môđun", M Aghapournahr L Melkersson đà nghiên cứu cách có hệ thống tính chất sở môđun đối đồng điều địa phương Chú ý lớp gồm môđun 0, lớp môđun hữu hạn sinh, lớp môđun Artin, lớp môđun có giá hữu hạn, tạo thành phạm trù Serre Vì câu hỏi nêu phần quy câu hỏi tổng quát: Với S phạm trù Serre cho trước, HIi (M ) S? Kết mà họ đạt báo đặc trưng S húa bi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn cấp / S với S phạm trù Serre M n bé để HIn (M ) R-môđun (không thiết hữu hạn sinh), ®ång thêi giíi thiƯu c¸c kh¸i niƯm S -d·y, S -độ sâu đặc trưng S -độ sâu tổng quát hóa đặc trưng đà biết độ sâu, độ sâu lọc, độ sâu suy rộng Mục đích luận văn trình bày lại kết Aghapournahr - Melkersson báo Local cohomology modules and Serre subcategories, Journal of Algebra (2008) Luận văn chia làm chương Chương I nói phạm trù Serre số chuẩn bị môđun đối đồng điều địa phương Chương II trình bày S -dÃy, S -độ sâu kết môđun đối đồng điều địa phương nhằm trả lời phần cho câu hỏi S hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyờn HIi (M ) S? http://www.Lrc-tnu.edu.vn Chương Phạm trù Serre số chuẩn bị môđun đối đồng điều địa phương Trong suốt luận văn này, cho R vành giao hoán Noether M R-môđun 1.1 Phạm trù Serre 1.1.1 Định nghĩa Cho S S lớp khác rỗng R-môđun Ta gọi S phạm trù Serre phạm trù R-môđun với dÃy khớp R-môđun −→ M −→ M −→ M 00 −→ ta cã M ∈ S vµ chØ M , M 00 ∈ S 1.1.2 Bỉ ®Ị Giả sử môđun Khi S ExtiR (N, M ) S Chứng minh Cho S phạm trù Serre phạm trù R- đóng kín với phép lấy môđun con, môđun thương với R-môđun hữu hạn sinh N M S M S N hữu hạn sinh Ta cÇn chøng minh ExtiR (N, M ) ∈ S Do N hữu hạn sinh R vành Noether nên N có giải tự −→ F2 −→ F1 −→ F0 −→ N −→ 0, Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn Fi môđun tự hữu hạn sinh Tác động hàm tử phản biến Hom(, M ) vào giải tự N ta đối phức f0 f1 f2 −→ Hom(F0 , M ) −→ Hom(F1 , M ) −→ Hom(F2 , M ) −→ Theo định nghĩa môđun mở rộng ta có ExtiR (N, M ) = Ker fi / Im fi−1 , ∀i = 0, 1, 2, Víi i, Fi tự do, hữu hạn sinh nên Fi = Rni Do n Hom(Fi , M ) = Hom(Rni , M ) = Hom(R, M ) i = M ni B»ng quy n¹p theo ta suy ni , tõ d·y khíp −→ M ni −1 −→ M ni −→ M −→ M ni ∈ S Do ®ã Hom(Fi , M ) ∈ S Suy Ker fi ∈ S Suy ExtiR (N, M ) S Với R-môđun M , ta gäi gi¸ cđa M , kÝ hiƯu bëi Supp M , lµ tËp Supp M = {p ∈ Spec R | Mp 6= 0} 1.1.3 VÝ dô Các lớp sau phạm trù Serre phạm trù R-môđun i) Lớp gồm môđun ii) Lớp R-môđun Artin iii) Lớp R-môđun Noether iv) Lớp R-môđun M có giá tập hữu hạn v) Lớp Chứng minh R-môđun có độ dài hữu hạn (i) Vì môđun môđun thương nên khẳng định (i) hiển nhiên (ii) Giả sử M Artin N môđun M Khi dÃy giảm môđun N dÃy giảm môđun cđa M , ®ã Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn nã phải dừng Vì N Artin Vì dÃy giảm môđun M/N tương ứng với dÃy giảm môđun M chữa N , dÃy phải dừng Do M/N Artin Ngược lại, cho N môđun M cho N vµ M/N lµ Artin LÊy M0 ⊇ M1 dÃy giảm môđun M Khi ta có dÃy giảm M0 N môđun M1 N N dÃy giảm (M0 + N )/N ⊇ (M1 + N )/N ⊇ môđun M/N Vì N M/N Artin nên tồn số tự nhiên k cho Mn ∩ N = Mk ∩ N vµ (Mn + N )/N = (Mk + N )/N víi mäi n ≥ k Cho n ≥ k Khi ®ã Mk ⊇ Mn LÊy m ∈ Mk Khi ®ã m+N ∈ (Mk +N )/N = (Mn +N )/N Suy m+N = x+a+N = x+N víi x ∈ Mn , a ∈ N Do ®ã m−x ∈ N ∩Mk = N ∩Mn Suy m−x ∈ Mn Do ®ã m ∈ Mn Suy Mk = Mn víi mäi n ≥ k V× thÕ M Artin Vậy lớp môđun Artin phạm trï Serre (iii) Chøng minh t¬ng tù nh (ii) (iv) Giả sử M R-môđun N môđun M Dễ dàng kiểm tra Supp M = Supp N ∪ Supp(M/N ) V× thÕ nÕu M có giá hữu hạn Supp N Supp(M/N ) hữu hạn, ngược lại, Supp N Supp(M/N ) hữu hạn Supp M tập hữu hạn Vậy lớp môđun có giá hữu hạn phạm trù Serre (v) Nếu M có độ dài hữu hạn môđun môđun thương M có độ dài hữu hạn Ngược lại, N môđun M cho N M/N có độ dài hữu hạn th× `(M ) = `(N ) + `(M/N ) < Vì lớp R-môđun có độ dài hữu hạn phạm trù Serre Nhắc lại dÃy iđêan nguyên tố p0 cho pi 6= pi+1 với i gọi p1 pn R dÃy iđêan nguyên tố độ dài S húa bi Trung tõm Hc liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn n Ta gäi chiỊu Krull cđa R, kÝ hiƯu lµ dim R, cận độ dài dÃy iđêan nguyên tố R, tức dim R = sup{n | tồn dÃy iđêan nguyên tố R độ dài n} Với iđêan I R, ta kí hiệu Var(I) tập iđêan nguyên tố R chứa I Với R-môđun M , ta đặt dim Supp M = sup{dim R/p : p ∈ Supp M } Ta gäi dim Supp M lµ chiều giá M 1.1.4 Chú ý a) Giả sử M hữu hạn sinh Chiều Krull cđa M , kÝ hiƯu dim M , lµ chiỊu Krull vành R/ Ann M Vì M hữu hạn sinh nên Supp M = Var(Ann M ) Do ®ã ta cã dim Supp M = sup{dim(R/p) | p ∈ Supp M } = dim(R/ Ann M ) V× chiều giá ta viết b) Khi M chÝnh lµ chiỊu Krull cđa M Trong trêng hỵp dim M thay cho dim Supp M M 6= R-môđun Artin Supp M tập hữu hạn gồm iđêan tối đại R Vì dim Supp M = Phần số ví dụ khác phạm trù Serre 1.1.5 Ví dụ Với số tự nhiên s, lớp R-môđun M cho dim Supp M s phạm trù Serre phạm trù R-môđun Chứng minh Cho M R-môđun N môđun cđa M V× Supp M = Supp N ∪ Supp(M/N ) nªn dim Supp M = max{dim Supp N, dim Supp(M/N )} Điều chứng tỏ dim Supp M vµ s nÕu vµ chØ nÕu dim Supp N s dim Supp(M/N ) s VËy lớp môđun M thỏa mÃn tính chất dim Supp M s làm thành phạm trù Serre Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn 27 2.2 Điều kiện để HIi (M ) ∈ S víi mäi cÊp i Do ®ã H (M ) ∈ S nÕu I j vµ chØ nÕu HI (M/ΓI (M )) I I r»ng ta cã thĨ thay - Bíc Gäi ∈ S víi mäi j Tất lập luận M M/I (M ), tức giả thiết ΓI (M ) = E = E(M ) lµ bao néi x¹ cđa M Ta sÏ chøng minh HIj (E) = 0, ExtjR (R/I, E) = vµ ExtjR (N, E) = với j R-môđun hữu hạn sinh N cho Supp N Var(I) Thật vậy, theo Bổ đề 2.2.5, ta có phân tích E = E(M ) ∼ = M M Ei (R/p), pAss M ip p tập số Ei (R/p) bao nội xạ R/p Cho p ∈ Ass M Khi ®ã p = Ann m víi 6= m ∈ M NÕu p ⊇ I Im = m :M I I (M ), điều vô lí Vì I p với p ∈ Ass M LÊy a ∈ I \ p Theo Bổ đề 2.2.5, phép nhân a E(R/p) đẳng cấu Do phép nhân a HIj (E(R/p)) đẳng cấu với j Lấy m HIj (E(R/p)) Vì HIj (E(R/p)) I -xoắn theo Mệnh đề 1.3.3(iv), ta có I k m = với k Suy ak m = Do phép nhân a HIj (E(R/p)) đơn cấu nên phép nhân m = VËy HIj (E(R/p)) = víi mäi p ∈ Ass M Tõ biĨu diƠn thµnh tỉng trùc tiÕp cđa phép nhân ak HIj (E(R/p)) đơn cấu, E ta suy HIj (E) = với j Vì a E(R/p) đẳng cấu nên phép nhân a ExtjR (R/I, E(R/p)) đẳng cấu với j Chó ý r»ng I ExtjR (R/I, E(R/p)) = Do a ∈ I \ p nªn a ExtjR (R/I, E(R/p)) = Số hóa Trung tâm Học liệu – i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn 33 Vì phép nhân a ExtjR (R/I, E(R/p)) toàn cấu nên ta suy ExtjR (R/I, E(R/p)) = víi mäi j V× thÕ ExtjR (R/I, E) = víi mäi j Giả sử N R-môđun hữu hạn sinh với Supp N Var(I) Tương tự trên, phép nhân a ExtjR (N, E(R/p)) đẳng cấu với j a ∈ I \ p LÊy m ∈ ExtjR (N, E(R/p)) Do Supp N ⊆ Var(I) nªn √ Supp ExtjR (N, E(R/p)) ⊆ Var(I) víi mäi j V× thÕ I ⊆ Ann m Suy vµ mäi I t Ann m với t Vì I t m = Suy at m = Vì phép nhân vậy, a ExtjR (N, E(R/p)) đẳng cấu nên ta suy m = Vì ExtjR (N, E(R/p)) = ExtjR (N, E) = víi mäi j vµ mäi - Bíc XÐt d·y khíp −→ M −→ E −→ E/M −→ Do HIj (E) = 0, ExtjR (R/I, E) = 0, ExtjR (N, E) = víi j R-môđun hữu hạn sinh N với Supp N Var(I) nên ta có đẳng j1 j j−1 j cÊu H (E/M ) ∼ = H (M ), Ext (R/I, E/M ) ∼ = Ext (R/I, M ) vµ I j−1 ExtR (N, E/M ) I R R j ∼ = ExtR (N, M ) víi j R-môđun hữu hạn sinh N với Supp N Var(I) Ap dụng giả thiết quy nạp cho trêng hỵp n − ta suy HIj−1 (E/M ) ∈ S víi mäi j < n nÕu vµ chØ nÕu j−1 Extj−1 R (R/I, E/M ) ∈ S víi mäi j < n, nÕu vµ chØ nÕu ExtR (N, E/M ) ∈ S víi mäi j < n môđun hữu hạn sinh N cho Supp N Var(I), tồn môđun hữu hạn sinh N với Supp N = Var(I) ®Ĩ Extj−1 R (N, E/M ) ∈ S víi mäi j < n Từ đẳng cấu ta suy điều phải chứng minh Cho M hữu hạn sinh Ta cần chứng minh (v) tương đương với điều kiện (i)-(iv) Ta cần chứng minh (v) tương đương với (i) đủ Ta chứng minh điều quy nạp theo phần tử y1 n Cho n = Giả sử tồn I S -chÝnh quy ®èi víi M Khi ®ã :M y1 ∈ S Do y1 ∈ I vµ S tháa m·n ®iỊu kiƯn (CI ) nªn theo Bỉ ®Ị 1.2.3 ta cã ΓI (M ) ∈ S, tøc lµ HI0 (M ) S Ngược lại, cho HI0 (M ) S Vì M hữu hạn sinh nên theo S húa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 34 Bỉ ®Ị 2.2.6 ta cã Ass(M/ΓI (M )) = Ass M \ Var(I) tập hữu hạn Vì thế, theo Định lí tránh nguyên tố, tồn phÇn tư y1 víi mäi ∈ I cho y1 /p p Ass(M/I (M )) Đặt J = (y1 ) iđêan sinh y1 Từ d·y khíp −→ ΓI (M ) −→ M −→ M/I (M ) tính khớp trái hàm tử J -xoắn ta có dÃy khớp ΓJ (ΓI (M )) −→ ΓJ (M ) −→ ΓJ (M/ΓI (M )) Theo c¸ch chän y1 , ta dƠ kiểm tra J (M/I (M )) = Hơn nữa, y1 I nên ta dễ kiểm tra J (I (M )) = I (M ) Vì từ dÃy khớp ta có đẳng cấu I (M ) ∼ = ΓJ (M ) V× H (M ) = ΓI (M ) ∈ S I nªn ΓJ (M ) ∈ S Do :M y1 lµ môđun J (M ) nên :M y1 ∈ S, tøc lµ Cho y1 lµ S -chÝnh quy M Vậy khẳng định với n = n > giả sử khẳng định đà ®óng víi n − Gi¶ sư y1 , , yn lµ mét d·y S -chÝnh quy cđa M I Khi ®ã :M y1 ∈ S Theo Bỉ ®Ị ExtiR (R/I, :M y1 ) S với i Vì thế, theo tương đương 1.1.2, (i) (ii) vừa chứng minh trªn ta suy HIi (0 :M y1 ) ∈ S víi mäi i V× y2 , , yn lµ mét d·y S -chÝnh quy cđa M/y1 M I nên theo giả thiết quy nạp ta cã phÐp nh©n bëi HIi (M/y1 M ) ∈ S víi mäi i < n − Gäi f lµ y1 M , tức f (m) = y1 m víi mäi m ∈ M Khi ®ã Ker f = :M y1 vµ Coker f = M/y1 M V× thÕ ta cã HIi (Ker f ) ∈ S víi mäi i vµ HIi−1 (Coker f ) ∈ S với i < n Vì theo Bổ đề 2.2.7 ta suy :HIi (M ) y1 ∈ S víi mäi i < n Do y1 ∈ I S thỏa mÃn điều kiện (CI ) nên theo Bỉ ®Ị 1.2.3 ta cã HIi (M ) ∈ S với i < n Ngược lại, cho HIi (M ) ∈ S víi mäi i < n Theo chøng minh cho trường hợp n = 1, tồn y1 hợp I S -chính quy M Còng theo chøng minh cho trêng n = 1, ta giả thiết phần tử y1 M -chính quy V× thÕ ta cã d·y khíp y1 −→ M −→ M −→ M/y1 M −→ D·y khíp cảm sinh dÃy S húa bi Trung tõm Hc liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 35 khíp y1 y1 HIi−1 (M ) −→ HIi−1 (M ) −→ HIi−1 (M/y1 M ) −→ HIi (M ) −→ HIi (M ) D·y khíp sinh d·y khíp ng¾n −→ HIi−1 (M )/y1 HIi−1 (M ) −→ HIi−1 (M/y1 M ) −→ :HIi (M ) y1 V× HIi (M ) ∈ S víi mäi i < n, ta suy HIi (M/y1 M ) ∈ S víi mäi i < n − Ap dơng gi¶ thiÕt quy n¹p cho M/y1 M, tån t¹i mét d·y y2 , , yn lµ S -chÝnh quy I M/y1 M Vì thế, theo Mệnh đề 2.1.2(i), d·y y1 , , yn lµ S -chính quy I M Định lí chứng minh hoàn toàn S -độ sâu số đặc trưng S -độ sâu 2.3 Trong suốt tiết này, giả thiết trình bày khái niệm 2.3.1 Bỉ ®Ị Cho cho S i) NÕu S S -độ sâu, cần bổ đề sau R-môđun phạm trù Serre phạm trù thỏa mÃn điều kiện M/IM /S (CI ) Các phát biểu sau S -dÃy quy I ®èi víi S -d·y chÝnh quy tèi đại I thể mở rộng thành M R-môđun hữu hạn sinh Trước S -dÃy quy tối đại I chung số nguyên dương M M có M Tất có độ dài Độ dài n bÐ nhÊt cho ExtnR (R/I, M ) ∈ / S ii) mét M/IM ∈ S nÕu vµ chØ nÕu với số tự nhiên S -dÃy quy độ dài n I Chứng minh đối với (i) Gi¶ sư y1 , , yk n tùy ý, tồn M S -dÃy quy tối đại I M Theo Định lÝ 2.2.1 (v)⇒ (ii) ta cã ExtiR (R/I, M ) ∈ S víi mäi Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 36 i < k NÕu ExtkR (R/I, M ) ∈ S th× ExtiR (R/I, M ) ∈ S víi mäi i < k +1 Do tương tự chứng minh Định lí 2.2.1, tồn phần tử cho y1 , , yk , z lµ mét S -dÃy quy M I, điều mâu thn víi gi¶ thiÕt d·y y1 , , yk tối đại Vậy để zI k sè n bÐ nhÊt ExtnR (R/I, M ) ∈ / S T¬ng tù, nÕu x1 , , xt S -dÃy quy tối đại Suy I M t sè n bÐ nhÊt ®Ĩ ExtnR (R/I, M ) ∈ / S k = t vµ nã chÝnh lµ chØ sè n bÐ nhÊt ®Ĩ ExtnR (R/I, M ) ∈ / S (ii) Gi¶ sư M/IM ∈ S Cho n số tự nhiên Vì M/IM S nên ExtiR (R/I, M/IM ) ∈ S víi mäi i < n Chó ý r»ng ExtiR (R/I, M/IM ) ∼ = ExtiR (R/I, M ) víi mäi i Do ®ã ExtiR (R/I, M ) ∈ theo Bỉ ®Ị 1.1.2 ta cã S với i < n Ap dụng Định lí 2.2.1(ii)⇒ (v) ta suy tån t¹i mét S -d·y quy độ dài n I M Ngược lại, giả sử với n tồn S -dÃy quy I độ dài n M Ta cần chứng minh M/IM S Giả sử ngược lại, tức M/IM ∈ / S Theo (i), S -d·y chÝnh quy I mở rộng thành S -dÃy quy tối đại S -dÃy quy tối đại I có chung độ dài Gọi độ dài chung r Theo giả thiết, với số tự nhiên r + tồn S -dÃy quy I độ dài r + 1, điều vô lí Bổ đề 2.3.1 đưa đến khái niệm 2.3.2 Định nghĩa Cho S -độ sâu sau M R-môđun hữu hạn sinh Cho I iđêan R cho M/IM / S, S phạm trù Serre phạm trù R-môđun thỏa mÃn điều kiện (CI ) Khi ®ã ®é dµi cđa mét S -d·y chÝnh quy tèi đại I M gọi S -độ sâu M I kí hiệu S -depthI (M ) Bây đưa số ví dụ S -độ sâu tương ứng với phạm trù Serre đà xét Ch¬ng I Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 37 2.3.3 VÝ dô Gäi dụ 2.1.3, Nếu S phạm trù Serre gồm ®óng mét m«®un Theo VÝ S -d·y chÝnh quy chÝnh lµ mét M -d·y chÝnh quy nghÌo M/IM ∈ / S , tức M/IM 6= S -d·y chÝnh quy lµ mét M -d·y chÝnh quy Vì S -độ sâu độ sâu thông thêng, tøc lµ S -depthI (M ) = depth(I, M ) 2.3.4 Ví dụ Giả sử Serre gồm (R, m) vành địa phương Gọi S phạm trù R-môđun Artin Theo Ví dụ 2.1.4, S -dÃy quy M -dÃy lọc quy Hơn M/IM / S M/IM không Artin, dim(M/IM ) > Vì S -độ sâu độ sâu lọc theo nghÜa cđa L u-Tang [LT], tøc lµ S depthI (M ) = f-depth(I, M ) 2.3.5 VÝ dô gåm Giả sử (R, m) vành địa phương Gọi S phạm trù Serre R-môđun có giá hữu hạn (có Supp hữu hạn) Theo Ví dụ 2.1.5, S -d·y chÝnh quy chÝnh lµ mét M -d·y chÝnh quy suy rộng Hơn M/IM / S Supp(M/IM ) tập vô hạn, dim(M/IM ) > Vì S -độ sâu độ sâu suy rộng theo nghĩa Lê Thanh Nhàn [Nh], tức S -depthI (M ) = gdepth(I, M ) Chúng ta kết thúc luận văn việc đưa số đặc trưng S -độ sâu Nó thể định lí sau - hai kết luận văn 2.3.6 Định lý Cho S thỏa mÃn điều kiện (CI ) iđêan phạm trù Serre phạm trù Cho M R-môđun R-môđun hữu hạn sinh n = min{i | HIi (M ) ∈ / S} ii) iii) lµ R cho M/IM ∈ / S Cho n = S -depthI (M ) Các phát biểu sau i) I n = min{i | ExtiR (R/I, M ) ∈ / S} n = min{depthIRp (Mp ) | p ∈ Supp(M/IM ), R/p ∈ / S} Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 38 Tríc chứng minh Định lí 2.3.6 ta cần bổ đề sau 2.3.7 Bổ đề Cho M R-môđun hữu hạn sinh Khi tồn lọc M0 ⊂ M1 ⊂ ⊂ Mt = M M môđun với cho Mi /Mi−1 ∼ = R/pi , ®ã pi ∈ Supp M i = 1, , t Chứng minh Trường hợp M = hiển nhiên Giả thiết M 6= Khi Ass M 6= Vì tồn p0 Ass M Vì M chứa môđun M0 đẳng cấu với R/p0 Nếu M = M0 lọc phải tìm lµ ⊂ M0 = M NÕu M0 6= M M/M0 6= Do Ass(M/M0 ) 6= Do tồn p1 Ass(M/M0 ) Vì M/M0 chứa môđun M1 /M0 đẳng cấu với R/p1 Chú ý M1 môđun M chøa M0 NÕu M1 = M th× läc phải tìm M0 M1 = M Nếu M1 6= M lại lặp lại lập luận ta tìm môđun M2 M chøa M1 cho M2 /M1 ∼ = R/p2 víi p2 Ass(M/M1 ) Cứ tiếp tục trình ta dÃy tăng môđun ý M lµ M0 ⊂ M1 ⊂ víi Mi 6= Mi+1 Chú M môđun Noether M hữu hạn sinh R vành Noether Do dÃy tăng phải dừng, tức sau số hữu hạn bước ta có lọc yêu cầu 2.3.8 Bổ đề Cho M R S phạm trù Serre phạm trù R-môđun hữu hạn sinh Gọi Z cho R/p S Khi Z R-môđun tập iđêan nguyên tố đóng với phép đặc biệt hóa phát biểu sau tương đương i) M ∈ S ii) Supp M ⊆ Z iii) Ass M ⊆ Z iv) Ass M ⊆ Z p Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 39 Chøng minh Cho p ⊆ q iđêan nguyên tố R cho p Z Khi ta có toàn cấu tự nhiên môđun thương R/p R/q, nói cách khác, R/q R/p Vì R/p S S phạm trù Serre nên R/q S, tức q Z Vậy Z đóng với phép đặc biƯt hãa (i)⇒(ii) Cho p ∈ Supp M Khi ®ã p ⊇ p1 víi p1 ∈ Ass M V× thÕ M chứa môđun K đẳng cấu với R/p1 Do M ∈ S nªn K ∈ S Do R/p1 ∈ S V× thÕ p1 ∈ Z theo ®Þnh nghÜa cđa Z Do Z ®ãng víi phÐp đặc biệt hóa nên p Z Vậy, Supp M ⊆ Z (ii)⇒(iii) Do Ass M ⊆ Supp M nªn Ass M ⊆ Z (iii)⇒(iv) Do Ass M ⊆ Ass M nªn Ass M ⊆ Z (iv)⇒(i) Vì M hữu hạn sinh nên theo Bổ đề 2.3.7, tån t¹i mét läc = M0 ⊂ M1 Mt = M môđun cđa víi mäi M cho Mi /Mi−1 ∼ = R/pi , ®ã pi ∈ Supp M i = 1, , t Do pi ∈ Supp M, tån t¹i qi ∈ Ass M cho qi ⊆ pi víi mäi i Theo gi¶ thiÕt (iv) ta cã qi ∈ Z víi mäi i V× Z đóng với phép đặc biệt hóa nên Suy pi ∈ Z víi mäi i V× thÕ R/pi ∈ S víi mäi i Mi /Mi−1 ∈ S víi mäi i Tõ d·y khíp −→ Mt−1 −→ Mt −→ Mt /Mt−1 −→ víi chó ý r»ng M/Mt−1 = Mt /Mi−1 ∈ S , ta suy M ∈ S nÕu vµ chØ nÕu Mt−1 ∈ S Lập luận tương tự dÃy khớp Mt−2 −→ Mt−1 −→ Mt−1 /Mt−2 −→ vµ chó ý r»ng Mt−1 /Mt−2 ∈ S ta suy M ∈ S nÕu vµ chØ nÕu suy Mt−1 ∈ S , nÕu vµ chØ nÕu Mt−2 ∈ S Cứ tiếp tục trình ta M S S Vì thuộc S nên M S Chứng minh Định lí 2.3.6 Khẳng định (ii) suy từ Bỉ ®Ị 2.3.1,(i) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 40 (i) Theo (ii), ExtiR (R/I, M ) ∈ S víi mäi i < n ExtnR (R/I, M ) / S Vì theo Định lí 2.2.1,(ii)(i) ta suy HIi (M ) ∈ S víi mäi i < n vµ / S} / S Do ®ã n = min{i | HIi (M ) ∈ HIn (M ) ∈ (iii) Cho p Supp(M/IM cho R/p / S Đặt Mi = ExtiR (R/I, M ) Theo (ii) ta cã ta cã Mi ∈ S víi mäi i < n vµ Mn ∈ / S Theo Bỉ ®Ị 2.3.8 Supp(Mi ) ⊆ Z víi mäi i < n vµ Supp Mn Z, Z tập iđêan nguyên tè p cđa R cho R/p ∈ S Víi mäi i < n, nÕu p ∈ Supp Mi th× p Z R/p S , điều không xảy Vì p / Supp Mi víi mäi i < n, tøc lµ (Mi )p = ExtiRp (Rp /IRp , Mp ) = víi mäi i < n Chó ý r»ng depth(IRp , Mp ) = inf{i | ExtiRp (Rp /IRp , Mp ) 6= 0} Do ®ã depth(IRp , Mp ) ≥ n Mặt khác, Supp Mn Z nên tồn t¹i q ∈ Supp Mn cho q ∈ / Z Vì R/q / S (Mn )q = ExtiRq (Rq /IRq , Mq ) 6= Vì q Supp(M/IM ) R/q / S nªn theo chøng minh trªn, depth(IRq , Mq ) ≥ n Do ®ã depth(IRq , Mq ) = n VËy n = min{depthIRp (Mp ) | p ∈ Supp(M/IM ), R/p ∈ / S} Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.Lrc-tnu.edu.vn Tµi liƯu tham kh¶o [AM] M Atiyah and I G Macdonald, ``Introduction to Commutative Algebra", Addison-Wesley, Reading, Mass., 1969 [AM] M Aghapournahr and L Melkersson, Local cohomology modules and Serre subcategories, Journal of Algebra, 320 (2008), 1275-1287 [BN] M Brodmann and L T Nhan, A finiteness result for associated primes of certain Ext- , Communications in Algebra, 36 (2008), 1527-1536 modules [BS] M Brodmann and R Y Sharp, ``Local cohomology: an algebraic introduction with geometric applications", Cambridge University Press, 1998 [CST] N T Cuong, P Schenzel and N V Trung, Verallgemeinerte Cohen-Macaulay Moduln, Math Nachr, 85 (1978), 57-73 [LT] R Lu and Z Tang, The f-depth of an ideal on a module, Proc AMS., 130 (2002), 1905- 1912 [Mat] H Matsumura, [Me1] L Melkersson, ules Commutative ring theory, Cambridge University Press, 1986 Some applications of a criterion of Artinianess to local cohomology mod- , J Pure Appl Algebra, (4) 117 (1999), 935-938 [Me2] L Melkersson, Modules cofinite with respect to an ideal, J Algebra, 285 (2005), 649-668 [Nh] L T Nhan, On generalized regular sequences and the finiteness for associated primes of local cohomology modules, Comm Algebra, 33 (2005), 793-806 [SV] D W Sharpe and P Vamos, [Va] W Vasconcelos, Injective modules, University Prees Cambridge 1972 Divisor Theory in modules categories, North - Holland, Amsterdams, 1974 41 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn