Môđun đối đồng điều địa phương hình thức và phạm trù con serre

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Lê Đình Ngun MƠĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG HÌNH THỨC VÀ PHẠM TRÙ CON SERRE LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2022 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Lê Đình Ngun MƠĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG HÌNH THỨC VÀ PHẠM TRÙ CON SERRE Chuyên ngành : Đại số Lý thuyết số Mã số : 8460104 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS TRẦN TUẤN NAM Thành phố Hồ Chí Minh – 2022 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan kết luận: "Môđun đối đồng điều địa phương hình thức phạm trù Serre"là thành nghiên cứu cá nhân hướng dẫn PGS TS Trần Tuấn Nam Nội dung luận văn có tham khảo số kết từ nguồn sách báo, tạp chí liệt kê mục tài liệu tham khảo Tơi xin chịu hồn tồn trách nhiệm với luận văn thân Tóm tắt nội dung Luận văn "Môđun đối đồng điều địa phương hình thức phạm trù Serre"gồm nội dung sau: Chương Kiến thức mơđun đối đồng điều địa phương hình thức phạm trù Serre gồm: Các kiến thức liên quan: Trình bày kiến thức mà ta thường xuyên sử dụng luận văn Kiến thức mơđun đối đồng điều địa phương hình thức Kiến thức phạm trù Serre Chương Một số kết môđun đối đồng điều địa phương hình thức phạm trù Serre gồm: Giới thiệu: Giới thiệu chung nội dung chương Đối địa phương, đối giá, đối liên kết nguyên tố: Trình bày định nghĩa, tính chất liên quan đến nội dung Một số kết đối đồng điều địa phương hình thức: Trình bày số kết quan trọng liên quan đến đối đồng điều địa phương hình thức Điều kiện (Ca ) phạm trù Serre: Trình bày điều kiện quan trọng liên quan đến phạm trù Serre Đối đồng điều địa phương hình thức phạm trù Serre: Trình bày số kết môđun đối đồng điều địa phương hình thức phạm trù Serre Lời cảm ơn Lời đầu tiên, xin chân thành cảm ơn PGS.TS Trần Tuấn Nam, người thầy vô tận tâm nhiệt tình việc giảng dạy, hướng dẫn giúp đỡ kiến thức phương pháp để tơi hồn thành luận văn "Mơđun đối đồng điều địa phương hình thức phạm trù Serre" Bên cạnh đó, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đến q thầy khoa Tốn - Tin trường Đại học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh, trực tiếp giúp đỡ giảng dạy nhiều trình học tập Cao học thực luận văn Tiếp đến, xin cảm ơn quý thầy cô Ban giám hiệu quý thầy cô phòng Sau đại học trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi trình học Cao học trường Tơi xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp cổ vũ động viên suốt thời gian qua Mặc dù có nhiều nỗ lực suốt trình thực luận văn, khơng thể tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận ý kiến đóng góp dẫn q thầy bạn học viên Lê Đình Nguyên Mục lục Lời cam đoan Tóm tắt nội dung Lời cảm ơn Kiến thức môđun đối đồng điều địa phương hình thức phạm trù Serre 1.1 1.2 1.3 Các kiến thức liên quan 1.1.1 Giới hạn thuận 1.1.2 Giới hạn nghịch 1.1.3 ˇ Phức Cech 1.1.4 Mở rộng cốt yếu bao nội xạ môđun 1.1.5 Định nghĩa vành thừa số 1.1.6 Đầy đủ hình thức X dọc theo Z 1.1.7 m-adic topo M Kiến thức môđun đối đồng điều địa phương hình thức 1.2.1 Giới thiệu 10 1.2.2 Các tính chất 11 1.2.3 Định nghĩa đối đồng điều hình thức 15 Kiến thức phạm trù Serre 18 1.3.1 18 Định nghĩa 1.3.1 1.3.2 Bổ đề 1.3.2 19 1.3.3 Ví dụ 1.3.3 19 1.3.4 Ví dụ 1.3.4 21 1.3.5 Ví dụ 1.3.5 21 1.3.6 Ví dụ 1.3.6 21 1.3.7 Ví dụ 1.3.7 22 Một số kết môđun đối đồng điều địa phương hình thức phạm trù Serre 23 2.1 Giới thiệu 23 2.2 Đối địa phương, đối giá, đối liên kết nguyên tố 24 2.2.1 Định nghĩa 2.2.1 24 2.2.2 Định lý 2.2.2 25 2.2.3 Hệ 2.2.3 26 2.2.4 Hệ 2.2.4 26 2.2.5 Định lý 2.2.5 27 Một số kết đối đồng điều địa phương hình thức 28 2.3 2.3.1 Liên hệ đối đồng điều địa phương hình thức với dãy khớp R-mơđun 28 Các kết tính triệt tiêu mơđun đối đồng điều địa phương hình thức 32 Điều kiện (Ca ) phạm trù Serre 40 2.4.1 Định nghĩa 2.4.1 40 2.4.2 Bổ đề 2.4.2 40 2.4.3 Bổ đề 2.4.3 40 2.4.4 Ví dụ 2.4.4 41 Đối đồng điều địa phương hình thức phạm trù Serre 42 2.5.1 42 2.3.2 2.4 2.5 Bổ đề 2.5.1 2.5.2 Bổ đề 2.5.2 43 2.5.3 Định lý 2.5.3 43 2.5.4 Bổ đề 2.5.4 45 2.5.5 Hệ 2.5.5 45 2.5.6 Định lý 2.5.6 46 2.5.7 Hệ 2.5.7 47 2.5.8 Định lý 2.5.8 48 2.5.9 Bổ đề 2.5.9 50 2.5.10 Định lý 2.5.10 50 2.5.11 Hệ 2.5.11 51 2.5.12 Bổ đề 2.5.12 52 2.5.13 Định lý 2.5.13 52 Danh sách ký hiệu Tập hợp số tự nhiên Vành giao hốn có đơn vị Vành địa phương (R, m) Tập phần tử x ∈ A, xb ⊆ a Căn a (gồm phần tử x ∈ A cho tồn số nguyên dương n thỏa xn ∈ a) N Căn không (tập tất phần tử lũy linh vành) Spec (A) Tập tất iđêan nguyên tố (phổ nguyên tố) vành A Max Spec(A) Tập tất iđêan cực đại (phổ cực đại) vành A AssR (M ) Tập tất iđêan nguyên tố liên kết với môđun M Coass Tập tất iđêan nguyên tố đối liên kết với môđun M P R (M ) Tổng họ môđun Mi mơđun M Q i∈I Mi M Tích trực tiếp họ môđun Mi Li∈I i Tổng trực tiếp họ môđun Mi i∈I Mi N A RB Tích tenxơ R-mơđun A B Ker f Hạt nhân đồng cấu f Coker f Đối hạt nhân đồng cấu f Coim f Đối ảnh đồng cấu f Hom(A, B) Tập tất các đồng cấu từ A vào B HomR (RS , M ) Đối địa phương môđun M liên quan đến tập nhân S AnnR (M ) Linh hóa tử R-môđun M (tập tất phần tử x ∈ R thỏa xM = 0) Mp Rp -môđun địa phương hóa mơđun M iđêan ngun tố p EndR (M, N ) Tập tất R-môđun tự đồng cấu từ M vào N lim Mi Giới hạn thuận hệ thuận R-môđun {Mi } N R (R, m) a :A b √ a −→ lim Mi ←− ˆ M ˆ R Hai (M ) Fai (M ) E(M ) D(M ) dim M Giới hạn nghịch hệ nghịch R-môđun {Mi } Đầy đủ R-môđun M Đầy đủ vành R Môđun đối đồng điều địa phương thứ i R-môđun M theo iđêan a Môđun đối đồng điều địa phương hình thức thứ i R-mơđun M phạm trù Serre Bao nội xạ môđun M Đối ngẫu Matlis môđun M Chiều Krull môđun M Supp M K • (x; R) Cˇ • (x; R) (R, m, k) grade(a, M ) fgrade(a, M ) cd(a, M ) RadR depthM heightM (a) Giá R-môđun M Phức Koszul phần tử x ∈ R ˇ Phức Cech dãy x = x1 , , xd vành R Vành địa phương Noether với trường k = R/m Bậc môđun M liên quan đến iđêan a Bậc hình thức iđêan a R-môđun hữu hạn sinh M Chiều đối đồng điều môđun M tương ứng với a Căn Jacobson vành R Độ sâu môđun M Độ cao môđun M iđêan a 44 Chứng minh Dãy khớp ngắn sau −→ L −→ Fat (M ) −→ Fat (M )/L −→ cảm sinh dãy khớp HomR (N, Fat (M )) −→ HomR (N, Fat (M )/L) −→ Ext1R (N, L) với Ext1R (N, L) ∈ T2 theo giả thiết Vì vậy, điều đủ để chứng minh HomR (N, Fat (M )) ∈ T2 Chú ý N hữu hạn với Supp N ⊆ V (a) nên theo bổ đề 5.1, ta chứng minh HomR (R/a, Fat (M )) ∈ T2 Ta tiếp tục chứng minh với quy nạp theo t Khi t = 0, ta có HomR (R/a, Fa0 (M )) Artin theo [8, 2.10] Khẳng định trường hợp R-mơđun artin thuộc T2 Lấy t > giả sử trường hợp t − Đặt M = M/Γa (M ), từ dãy khớp ngắn −→ Γa (M ) −→ M −→ M −→ 0, theo [17, 3.11], ta có dãy khớp dài f g −→ Hmi (Γa (M )) −→ Fai (M ) −→ Fai (M ) −→ Hmi+1 (Γa (M )) −→ Vì Hmi (Γa (M )) ∈ T1 với i, ta có Fai (M ) ∈ T1 với i < t Fai (M ) ∈ T1 với i < t Ta tách dãy khớp dài thành hai dãy khớp −→ Kerf −→ Fat (M ) −→ Imf −→ −→ Im f −→ Fat (M ) −→ Im g −→ Khi ta có hai dãy khớp sau −→ HomR (R/a, Ker f ) −→ HomR (R/a, Fat (M )) −→ HomR (R/a, Im f ) −→ HomR (R/a, Im f ) −→ HomR (R/a, Fat (M )) −→ Vì Ker f Artin, HomR (R/a, Ker f ) Artin Do đó, chứng minh hồn tất ta chứng minh HomR (R/a, Fat (M )) ∈ T2 Bây giờ, M a-khơng xoắn nên tồn x ∈ a \ ∪p∈Ass M p Đặt M = M /xM , dãy khớp sau x −→ M −→ M −→ M −→ 45 đưa đến dãy khớp sau x x Fai (M ) −→ Fai (M ) −→ Fai (M ) −→ Fai+1 (M ) −→ Fai+1 (M ) Vì Fai (M ) ∈ T1 với i < t, ta có Fai (M ) ∈ T1 với i < t − 1, HomR (R/a, Fat−1 (M )) ∈ T2 theo nguyên lý quy nạp Dãy khớp sau cảm sinh dãy khớp −→ Fat−1 (M ) −→ Fat−1 (M ) −→ :Fat (M ) x −→ xFat−1 (M ) Khi ta có dãy khớp sau HomR (R/a, Fat−1 (M )) −→ HomR (R/a, :Fai (M ) x) −→ Ext1R (R/a, Fat−1 (M ) ) xFat−1 (M ) Fat−1 (M ) Fat−1 (M ) (R/a, ∈ T , Ext ) ∈ T2 theo giả R xFat−1 (M ) xFat−1 (M ) thiết Từ suy HomR (R/a, :Fat (M ) x) ∈ T2 Cuối cùng, x ∈ a, ta có Vì Fat−1 (M ) ∈ T1 , ta có HomR (R/a, :Fat (M ) x) ∼ = HomR (R/a ⊗ R/xR, Fat (M )) ∼ = HomR (R/a, Fat (M )), HomR (R/a, Fat (M )) ∈ T2 Đến ta kết thúc chứng minh quy nạp 2.5.4 Bổ đề 2.5.4 Cho N R-mơđun Khi aN ∈ S N/0 :N a ∈ S Chứng minh Chứng minh tương tự chứng minh [1, bổ đề 3.1] 2.5.5 Hệ 2.5.5 Cho M R-môđun t số nguyên không âm Nếu Ext1R (R/a, B) ∈ T2 với B ∈ T1 T2 ⊆ T1 , phát biểu sau tương đương: (1) Fai ∈ T1 với i < t (2) Tồn số nguyên dương n cho Fai (M )/0 :Fai (M ) an ∈ T1 với i < t (3) Tồn số nguyên dương n cho an Fai (M ) ∈ T1 với i < t 46 Chứng minh (1) =⇒ (2) hiển nhiên (2) ⇐⇒ (3) theo bổ đề 2.5.4 Bây ta chứng minh từ (2) =⇒ (1) Ta sử dụng quy nạp theo t Khi t = 0, ta chứng minh dễ dàng Khi t > 0, ta có Fai (M ) ∈ T1 với i < t − Do đó, vấn đề cịn lại chứng minh Fat−1 (M ) ∈ T1 Lấy n > thỏa Fat−1 (M )/0 :Fat−1 (M ) an ∈ T1 Theo định lý trên, ta có :Fat−1 (M ) an ∈ T2 ⊆ T1 Cuối cùng, dãy khớp ngắn sau −→ :Fat−1 (M ) an −→ Fat−1 (M ) −→ Fat−1 (M )/0 :Fat−1 (M ) an −→ chứng tỏ Fat−1 (M ) ∈ T1 2.5.6 Định lý 2.5.6 Lấy S1 , S2 C lớp R-môđun chứa tất R-môđun Artin Giả sử S1 , S2 phạm trù Serre điều kiện sau thỏa: (a) Nếu −→ N −→ N −→ N 00 −→ dãy khớp hai môđun dãy nằm C mơđun thứ ba nằm C; (b) ExtjR (R/a, B) ∈ S2 với B ∈ C với j ≤ 1; (c) Nếu B ∈ S1 :B a ∈ S2 B ∈ C Khi đó, với R-mơđun hữu hạn M t ≥ 0, phát biểu sau tương đương: (1) Fai (M ) ∈ S1 với i < t; (2) Fai (M ) ∈ S1 ∩ C với i < t Nếu có thêm điều kiện S2 ⊆ S1 (1) (2) tương đương với (3) Tồn số nguyên dương n cho Fai (M )/0 :Fai (M ) an ∈ S1 với i < t Ngược lại, Fai (M ) ∈ S1 với i < t HomR (R/a, Fat (M )) ∈ S2 Chứng minh Trước hết, ta chứng minh S := S1 ∩ C phạm trù Serre Lấy N ∈ S B mơđun N Ta có :N a ∈ S2 theo (b), :B a ∈ S2 S2 phạm trù Serre Từ B ∈ S1 :B a ∈ S2 , ta có B ∈ C theo (c) Từ suy N/B ∈ C theo (a) Hơn nữa, B N/B nằm S nên N nằm S Chứng minh (2) =⇒ (1) (1) =⇒ (3) hiển nhiên 47 Chứng minh (1) =⇒ (2), ta sử dụng quy nạp theo t Khi t = 0, dễ dàng kiểm tra điều phải chứng minh Lấy t > giả sử điều phải chứng minh với t − Điều có nghĩa Fai (M ) ∈ S với i < t − Do đó, ta suy Fat−1 (M ) ∈ S Theo (b), ta áp dụng định lý 2.5.3 ứng với trường hợp T1 = S T2 = S2 , ta có :Fat−1 (M ) a ∈ S2 Hơn nữa, theo nguyên lý quy nạp ta có Fat−1 (M ) ∈ S1 Vì vậy, Fat−1 (M ) ∈ C theo (c) Đến ta kết thúc chứng minh quy nạp Chứng minh từ (3) =⇒ (1), ta sử dụng quy nạp theo t Khi t = 0, ta dễ dàng chứng minh trường hợp Lấy t > giả sử điều phải chứng minh với trường hợp t − Khi đó, ta có Fai (M ) ∈ S1 với i < t − Do Fai (M ) ∈ S với i < t − theo (1) =⇒ (2) Ta kết thúc chứng minh Fat−1 (M ) ∈ S1 Ta giả sử n > cho Fat−1 (M )/0 :Fat−1 (M ) an ∈ S1 Ta có :Fat−1 (M ) an ∈ S2 theo định lý 2.5.3 Vì S2 ⊆ S1 , ta có Fat−1 (M ) ∈ S1 , ta suy điều phải chứng minh Chứng minh phần lại ta sử dụng (1) =⇒ (2) định lý 2.5.3 Một R-môđun N gọi minimax tồn môđun B N cho mơđun thương N/B Artin ([20]) Do đó, lớp môđun minimax gồm tất môđun hữu hạn tất mơđun Artin Hơn nữa, đóng với mơđun con, mơđun thương mở rộng, phạm trù Serre phạm trù R-môđun Nhiều điều kiện tương tự cho môđun trở thành minimax viết [1, 14] Một R-môđun không chứa tổng trực tiếp không hữu hạn môđun khác khơng gọi có kích thước Goldie hữu hạn Hơn nữa, R-môđun N gọi có kích thước Goldie a-tương đối hữu hạn kích thước Goldie môđun a-xoắn Γa (N ) N hữu hạn Đối với kiến thức liên quan đến mơđun này, ta tham khảo [3, 11] Điều cần thiết lớp a-minimax R-môđun phạm trù Serre chứa tất minimax môđun Hơn nữa, B a-minimax với Supp B ⊆ {m} B Artin 2.5.7 Hệ 2.5.7 Cho M R-môđun t số ngun khơng âm Khi mệnh đề sau tương đương: (1) Fai (M ) a-minimax với i < t; i (2) Fai (M ) a-minimax TorR j (R/a, Fa (M )) artin với i < t j ∈ Z; (3) Tồn số nguyên dương n cho Fai (M )/0 :Fai (M ) an a-minimax với i < t Ngược lại, Fai (M ) a-minimax với i < t HomR (R/a, Fat (M )) Artin 48 Chứng minh Lấy S1 lớp a-minimax R-môđun, S2 lớp R-môđun Artin C lớp R-môđun N cho TorR j (R/a, N ) Artin với j ∈ Z Chú ý C phạm trù Serre theo [13, 4.2(i)] Hơn nữa, với R-môđun N , [6, định lý 1.1] chứng minh TorR j (R/a, N ) Artin với j ∈ Z R Extj (R/a, N ) Artin với i ∈ Z Rõ ràng S1 , S2 , C thỏa điều kiện (a), (b) định lý 2.5.6 Bây ta chứng minh chúng thỏa (c) Giả sử B ∈ S1 :B a ∈ S2 Khi đó, Ass :B a = Ass B ∩ V (a) ⊆ {m} Từ suy Supp B ∩ V (a) ⊆ {a}, Supp ExtiR (R/a, B) ⊆ Supp B ∩ V (a) ⊆ {m} với i Vì B ∈ S1 , ta có ExtiR (R/a, B) ∈ S1 , Artin với i Ta có điều phải chứng minh theo định lý 2.5.6 2.5.8 Định lý 2.5.8 Cho M N R-môđun hữu hạn thỏa Supp N ⊆ V (a) Lấy t số nguyên không âm thỏa Fai (M ) ∈ T1 với i > t L môđun Fat (M ) cho R t TorR (N, Fa (M )/L) ∈ T2 Hơn nữa, giả sử Tor1 (R/a, B) ∈ T2 ứng với B ∈ T1 Khi N ⊗R L ∈ T2 Chứng minh Dãy khớp ngắn sau −→ L −→ Fat (M ) −→ Fat (M )/L −→ cảm sinh dãy khớp sau t t TorR (N, Fa (M )/L) −→ N ⊗R L −→ N ⊗R Fa (M ) t Theo giả thiết, ta có TorR (N, Fa (M )/L) ∈ T2 Do đó, điều đủ để chứng minh t N ⊗R Fa (M ) ∈ T2 Theo bổ đề 2.5.2 ta chứng minh Fat (M )/aFat (M ) ∈ T2 Bây ta chứng minh quy nạp theo n = dim M Với n = 0, ta có Fai (M ) = với i > t Fa0 (M ) ∼ = Hm0 (M ) Artin Vì vậy, trường hợp ta có điều phải chứng minh Với n > giả sử điều phải chứng minh với giá trị nhỏ n Từ dãy khớp ngắn sau −→ Γa (M ) −→ M −→ M −→ 0, theo [17, 3.11], ta có dãy khớp dài f g Hmt (Γa (M )) −→ Fat (M ) −→ Fat (M ) −→ Hmt+1 (Γa (M )) 49 Ta tách dãy khớp dài thành dãy khớp ngắn −→ Ker f −→ Fat (M ) −→ Im f −→ −→ Im f −→ Fat (M ) −→ Im g −→ Từ hai dãy khớp ngắn này, ta suy dãy khớp sau: Kerf F t (M ) Im f −→ at −→ a Ker f aFa (M ) a Im f TorR (R/a, Im g) −→ F t (M ) Im f −→ at a Im f aFa (M ) Vì Ker f Im g Artin, ta có TorR (R/a, m g) Kerf Artin nên chúng thuộc a Ker f Fat (M ) ∈ T2 Vì M a-xoắn tự do, tồn x ∈ a \ ∪p∈Ass aFat (M ) M = M /xM , ta có dim M ≤ n − Ta có dãy khớp T2 Vì vậy, ta có M p Đặt x −→ M −→ M −→ M −→ cảm sinh dãy khớp sau x x Fai (M ) −→ Fai (M ) −→ Fai (M ) −→ Fai+1 (M ) −→ Fai+1 (M ) Vì Fai (M ) ∈ T1 với i > t, ta có Fai (M ) ∈ T1 với i > t, Fat (M ) ∈ T2 aFat (M ) theo nguyên lý quy nạp Ta tách dãy khớp thành dãy khớp sau Fat (M ) −→ −→ Fat (M ) −→ :Fat+1 (M ) x −→ t xFa (M ) Dãy khớp cảm sinh dãy khớp sau TorR (R/a, :Fat+1 (M ) x) −→ Fat (M ) Fat (M ) ⊗ R R/a −→ aFat (M ) xFat (M ) Theo nguyên lý quy nạp TorR (R/a, :Fat+1 (M ) x) ∈ T2 Từ ta có Fat (M ) ⊗R xFat (M ) Fat (M ) ⊗R R/a ∼ = Fat (M )/aFat (M ), suy Fat (M )/aFat (M ) ∈ T2 Đến xFat (M ) ta kết thúc chứng minh quy nạp có điều phải chứng minh R/a ∈ T2 Vì 50 2.5.9 Bổ đề 2.5.9 Cho M R-môđun hữu hạn, t số nguyên không âm Giả sử TorR (R/a, B) ∈ T2 với B ∈ T1 T2 ⊆ T1 Khi mệnh đề sau tương đương: (1) Fai (M ) ∈ T1 với i > t; (2) Tồn số nguyên dương n cho an Fai (M ) ∈ T1 với i > t; (3) Tồn số nguyên dương n cho Fai (M )/0 :Fai (M ) an ∈ T1 với i > t Chứng minh (1) =⇒ (2) hiển nhiên (2) ⇐⇒ (3) theo bổ đề 2.5.4 Chứng minh (2) =⇒ (1): Ta cần chứng minh trường hợp t ≤ l = dimM/aM Ta sử dụng quy nạp theo t Khi t = l, ta dễ dàng có điều phải chứng minh Lấy t < l trường hợp t + giải Khi Fai (M ) ∈ T1 với i > t + Từ ta chứng minh Fat+1 (M ) ∈ T1 Giả sử n > cho an Fat+1 (M ) ∈ T1 Hơn nữa, theo định lý 2.5.8 ta có Fat+1 (M )/an Fat+1 (M ) ∈ T2 Vì T2 ⊆ T1 , dãy khớp ngắn sau −→ an Fat+1 (M ) −→ Fat+1 (M ) −→ Fat+1 (M )/an Fat+1 (M ) −→ chứng tỏ Fat+1 (M ) ∈ T1 Từ ta có điều phải chứng minh 2.5.10 Định lý 2.5.10 Cho S1 , S2 C lớp R-môđun chứa tất R-môđun Artin Giả sử S1 , S2 phạm trù Serre thỏa mãn điều kiện sau: (1) Nếu −→ N −→ N −→ N 00 −→ dãy khớp hai số môđun nằm C mơđun thứ ba nằm C; (2) Torj (R/a, N ) ∈ S2 với N ∈ C với j ≤ 1; (3) Nếu N ∈ S1 N/aN ∈ S2 N ∈ C Khi đó, với R-mơđun hữu hạn M t ≥ 0, phát biểu sau tương đương: (1) Fai (M ) ∈ S1 với i > t; 51 (2) Fai (M ) ∈ S1 ∩ C với i > t Nếu thêm điều kiện S2 ⊆ S1 (1) (2) tương đương với (1) Tồn số nguyên dương n cho an Fai (M ) ∈ S1 với i > t Cụ thể, Fai (M ) ∈ S1 với i > t Fat (M )/aFat (M ) ∈ S2 Chứng minh Trước hết ta chứng minh S := S1 ∩ C phạm trù Serre Lấy N ∈ S B môđun N Ta có N/aN ∈ S2 theo (b), N/B ∼ N N/B ∈ S2 Kết hợp với N/B ∈ S1 với ∈ S2 , suy N/B ∈ S = a(N/B) aN + B a(N/B) theo (c) Theo (a) ta có B ∈ S Hơn nữa, N/B nằm S N ∈ S • Chứng minh (2) =⇒ (1) (1) =⇒ (3) hiển nhiên • Chứng minh (1) =⇒ (2): Đặt l = dim M/aM Ta cần chứng minh trường hợp t ≤ l Ta sử dụng quy nạp giảm theo t Khi t = l, ta dễ dàng chứng minh Lấy t < l trường hợp t + Điều có nghĩa Fai (M ) ∈ C với i > t + Lấy T1 = S, T2 = S2 , theo định lý 2.5.8 ta có Fat+1 (M )/aFat+1 (M ) ∈ S2 Hơn nữa, ta có Fat+1 (M ) ∈ S1 theo giả thiết Do Fat+1 (M ) ∈ C theo (c) Từ suy Fai (M ) ∈ C với i < t yêu cầu • Chứng minh (3) =⇒ (1): Ta chứng minh quy nạp giảm theo t Khi t = l ta dễ dàng chứng minh Lấy t < l giả sử điều phải chứng minh với t + Khi ta có Fai (M ) ∈ S1 với i > t + Do Fai (M ) ∈ S với i > t + theo (1) =⇒ (2) Ta cần chứng minh Fat+1 (M ) ∈ S1 Lấy n > cho an Fan+1 (M ) ∈ S1 Mặt khác, ta có Fat+1 (M )/an Fat+1 (M ) ∈ S2 theo định lý 2.5.8 Vì S2 ⊆ S1 , ta suy điều phải chứng minh Đối với phần lại, ta cần dùng (1) =⇒ (2) định lý 2.5.8 2.5.11 Hệ 2.5.11 Lấy M R-môđun hữu hạn, t số nguyên không âm Các phát biểu sau tương đương: (1) Fai (M ) minimax với i > t; i (2) Fai (M ) minimax TorR j (R/a, Fa (M )) artin với i > t j ∈ Z; (3) Tồn số nguyên dương n cho an Fai (M ) minimax với i > t 52 Ngược lại, Fai (M ) minimax với i > t Fat (M )/aFat (M ) Artin Chứng minh Lấy S1 lớp R-môđun minimax, S2 lớp R-môđun Artin C lớp R-môđun N cho TorR j (R/a, N ) Artin với j ∈ Z Theo định lý 2.5.10, ta cần chứng minh S1 , S2 , C thỏa mãn (c) Ta chứng minh N minimax N/aN Artin TorR j (R/a, N ) Artin với j ∈ Z Trước hết, N hữu hạn Supp N ∩ V (a) = Supp N/aN ⊆ {m} TorR j (R/a, N ) hữu hạn Theo [16, 7.17], ta có Supp Torj (R/a, N ) ⊆ V (a) ∩ Supp N nên TorR j (R/a, N ) Artin với j Trong trường hợp N không hữu hạn, tồn dãy khớp −→ B −→ N −→ A −→ với B hữu hạn A Artin Từ ta có dãy khớp dài −→ Torj (R/a, B) −→ Torj (R/a, N ) −→ Torj (R/a, A) −→ với Torj (R/a, B) Artin theo chứng minh trên, Torj (R/a, A) Artin A Artin Dãy khớp chứng tỏ Torj (R/a, N ) Artin với j Từ ta có điều phải chứng minh 2.5.12 Bổ đề 2.5.12 Cho N R-mơđun cho N/mN có kích thước Goldie hữu hạn Khi N R-mơđun hữu hạn Coass N ⊆ {m} Chứng minh Ta cần chứng minh Coass N ⊆ {m} N hữu hạn Vì N/mN R/m-khơng gian vector có kích thước hữu hạn nên R-mơđun Khi đó, tồn x1 , , xn ∈ N cho N = Rx1 + + Rxn + mN Vì Coass N ⊆ {m}, ta có N = Rx1 + + Rxn theo [19, 4.7] Do N hữu hạn 2.5.13 Định lý 2.5.13 Cho S lớp R-mơđun có tính chất sau: (a) S phạm trù Serre chứa tất môđun Artin; (b) B/mB Artin với B ∈ S Cho M R-môđun hữu hạn, N R-mơđun có độ dài hữu hạn t số khơng âm Ta có kết sau: (1) Nếu Fai (M ) ∈ S với i < t HomR (N, Fat (M )/K) R-mơđun có độ dài hữu hạn K môđun Fat (M ) cho K ∈ S; 53 (2) Nếu Fai (M ) ∈ S với i > t N ⊗R L R-mơđun có độ dài hữu hạn L mơđun Fat (M ) cho Fat (M )/L ∈ S Chứng minh Trước hết ta chứng minh (1) Lấy T1 = T2 = S, theo định lý 2.5.3 ta có H := HomR (N, Fat (M )/K) ∈ S Theo (b) ta có H/mH Artin Do H/mH có kích thước Goldie hữu hạn Vì Coass H ⊆ Supp N ⊆ {m}, theo bổ đề 2.5.12 ta có H Artin Chứng minh (2) tương tự cách sử dụng định lý 2.5.8 Lớp S định lý 2.5.13 rộng Nó chứa tất R-mơđun a-minimax Để tìm hiểu, lấy B R-mơđun a-minimax B/mB a-xoắn Do đó, B/mB có kích thước Goldie hữu hạn Từ ta có B/mB Artin Supp B/mB ⊆ {m} Vì vậy, định lý 2.5.13 cải tiến tổng quát [6, định lý 2.3] với giả thiết yếu KẾT LUẬN Luận văn trình bày số nội dung liên quan đến môđun đối đồng điều địa phương hình thức, phạm trù Serre số kết môđun đối đồng điều địa phương hình thức phạm trù Serre Từ nghiên cứu này, ta đạt số kết môđun minimax ta mô tả tập hợp CosR (Fai (M )) CoassR (Fai (M )) Nội dung luận văn cung cấp số kết cần thiết liên quan đến tính chất quan trọng lý thuyết đối đồng điều địa phương tính chất hữu hạn, tính triệt tiêu, tính Artin TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] M Aghapournahr and L.Melkersson, Fiteness properties of minimax and coatomic local cohomology modules, Arch Math 94 (2000) 519-528 [2] M Asgharzadeh and K Divaani-aazar, Fiteness properties of formal local cohomology modules and Cohen-Macaulayness, Comm Algebra 39 (2011) 1082-1103 [3] J Azami, R Nagipour and B Vakali, Fiteness properties of local cohomology for a-minimax modules, Proc Amer Math Soc 137 (2) (2009) 429-448 [4] M P Brodmann and R Y Sharp, Local cohomology: an algebraic introduction with geometric applications, Cambridge University Press, Cambridge, 1998 [5] N T Cuong and T T Nam, On the co-localization, co-support and co-associated primes of local homology modules, Viet J Math 29 (4) (2011) 359-368 [6] L Z Chu, Some results for formal local cohomology modules, Comm Math Res 26(2010) 230-236 [7] M Eghbali, On formal local cohomology, colocalization and en-domorphism ring of top local cohomology modules, thesis, Universitat Halle-Wittenberg (2011) [8] Y Gu, The artinianness of formal local cohomology modules, Bull Malays Math Sci Soc 2(2) (2014) 449456 [9] I G Macdonald, Secondary representation of modules over a commutative ring, Symposia Mathematica, Vol XI, pp 23-43 (Academic Press, London, 1973) [10] A Mafi, Results of formal local cohomology modules, to appear in Bull Malays Math Sci Soc [11] L Melkersson, Properties of cofinite modules and applications to local cohomology, Math Proc Camb Phil Soc (1999) 125-417 [12] L Melkersson and P.Schenzel, The co-localization of an Artinian module, Proc Edinb Math Soc 38 (1995) 121-131 [13] T T Nam, Co-support and coartinian modules, Algebra Collq 15(1) (2008) 83-96 [14] T T Nam, Minimax module and the finiteness of co-associated primes of local homology modules, Internat J Math 26 (12) (2015) 1550102 [15] T T Nam, N H H Tu and N M Tri, The top local cohomology module, Period Math Hungar 79(1) (2019) 1-11 [16] J J Rotman, An introduction to homological algebra, Academic Press, San Diego, CA, 1979 [17] P.Schenzel, On formal local cohomology and connectedness, J Algebra 315(2) (2007) 894-923 [18] W Vasconcelos, Divisor theory in module categories; North-Holland Publishes Company, Amsterdam, 1974; MR0498530 (58:16637) [19] S Yassemi, Coassociated primes, Comm Algebra 23 (4) (1995) 1473-1498 [20] H Zoschinger, Minimax modules, J Algebra 102 (1986) 1-32 [21] L Alonso Tarrio, A Jeremias Lopez, J Lipman, Local homology and cohomology of schemes, Ann Sci Ecole Norm Sup (4) 30 (1997) 1-39 [22] L L Avramov, H - B Foxby, Homological dimensions of unbounded complexes, J Pure Appl Algebra 71 (1991) 129-155 [23] N Bourbaki, Algebra commutative, Hermann, Paris, 1961-1965 [24] G Faltings, Algebraization of some formal vector bundles, Ann of Math 110 (1979) 501-514 [25] D Delfino, T Marley, Cofinite modules and local cohomology, J Pure Appl Algebra 115 (1997) 107-111 [26] K Divaani-Aazar, R Naghipour, M Tousi, Cohomological dimension of certain algebraic varieties, Proc Amer Math Soc 130 (2002) 3537-3544 [27] H -B Foxby, Bounded complexes of flat modules, J Pure Appl Algebra 15 (1979) 149-172 [28] H -B Foxby, Hyperhomological algebra and commutative algebra, preliminary version of the first part, Univ of Copenhagen, 1997 [29] J P C Greenless, J P May, Derived functors of the I-adic completion and local homology, J Algebra 149 (1992) 438-453 [30] A Grothendieck, Local cohomology, notes by R Hartshorne, Lecture notes in Math., vol 20, Springer, 1966 [31] R Hartshorne, Complete intersections and connectedness, Amer J Math 84 (1962) 497-508 [32] R Hartshorne, Residues and duality, Lecture notes in Math., vol 41, Springer, 1967 [33] J Herzog, Komplexe, Auflosungen and Duality in local Algebra, Habilitationsschrift, University Regensburg, 1970 [34] M Hochster, C.Huneke, Indecomposable canonical modules and connectedness, Contemp Math., vol 159, 1994, pp 197-208 [35] T Kawasaki, On arithmetic Macaulayfication of Noetherian rings, Trans Amer Math Soc 354 (2002) 123-149 [36] C Peskine, L Szpiro, Dimension projective finie et cohomologie locale, Applications la demonstration de conjectures de M Auslander, H Bass et A Grothendieck, Publ Math Inst Hautes Études Sci 42 (1972) 47-119 [37] P Schenzel, Explicit computations around the Lichtenbaum-Hartshorne vanishing theorem, Manuscripta Math 78 (1993) 57-68 [38] P Schenzel, On the use of local cohomology in algebra and geometry, in: J Elias, J M Giral, R.M Miró-Roig, S Zarzuela (Eds.), Six lectures in commutative algebra, Proceed Summer School on commutative algebra at Centre de Recerca Matemàtica, in: Progr Math., vol 166, Birkhauser, 1998, pp 241-292 [39] P Schenzel, Proregular sequences, local cohomology, and completion, Math Scand 92 (2003) 161-180 [40] P Schenzel, On birational Macaulayfications and Cohen-Macaulay canonical modules, J Algebra 275 (2004) 751-770 [41] P Schenzel, Local homology and completions, in preparation, 2007 [42] A, -M Simon, Some homological properties of complete modules, Math Proc Cambridge Philos Soc 108 (1990) 231-246 [43] N Spaltenstein, Resolutions of unbounded complexes, Compos Math 65 (1988) 121-154 [44] W Vasconcelos, Divisor theory in module categories, North-Holland, Amsterdam, 1974 [45] O Zariski, P Samuel, Commutative algebra, vol II, Van Nostrand, New York, 1960 [46] Srikanth Iyengar, Graham J Leuschke, Anton Leykin, Claudia Miller, Ezra Miller, Anurag K Singh, Uli Walther, Twenty-four hours of local cohomology [47] Tran Tuan Nam, Tran Le Quyen, Nguyen Hoang Huy Tu, Nguyen Minh Tri, Some results on formal local cohomology, Journal of algebra and its applications [48] Trần Tuấn Nam, Đại số giao hoán, Nhà xuất đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh, 2021 [49] Nguyễn Viết Đơng, Trần Huyên, Đại số đồng điều, Nhà xuất đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh, 2002