Môđun biểu diễn được và tính không triệt tiêu của đối đồng điều địa phương

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH PHẠM HỒI NHÂN MƠĐUN BIỂU DIỄN ĐƯỢC VÀ TÍNH KHƠNG TRIỆT TIÊU CỦA ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP THẠC SĨ Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số TP Hồ Chí Minh - 2022 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH PHẠM HỒI NHÂN MƠĐUN BIỂU DIỄN ĐƯỢC VÀ TÍNH KHƠNG TRIỆT TIÊU CỦA ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP THẠC SĨ Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 8460104 Giảng viên hướng dẫn: PGS.TS TRẦN TUẤN NAM TP Hồ Chí Minh - 2022 Mục lục Trang Lời cam đoan Lời cảm ơn Lời mở đầu Bảng ký hiệu KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Môđun 1.2 Iđêan nguyên tố iđêan cực đại 1.3 Iđêan nguyên tố liên kết 1.4 Iđêan nguyên sơ phân tích nguyên sơ 10 1.5 Vành Noether 13 1.6 Vành Artin 13 1.7 Tính triệt tiêu, khơng triệt tiêu đối đồng điều địa phương 14 BIỂN DIỄN THỨ CẤP VÀ TÍNH KHƠNG TRIỆT TIÊU CỦA ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG 15 2.1 Định lí thứ 15 2.2 Các tính chất mơđun biểu diễn 19 2.3 Định lí thứ hai 23 2.4 Các iđêan nguyên tố liên kết 26 2.5 Tính biểu diễn môđun Artin 29 2.6 Tính không triệt tiêu đối đồng điều địa phương 31 Kết luận 36 Tài liệu tham khảo 37 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan kết luận văn: "Môđun biểu diễn tính khơng triệt tiêu đối đồng điều địa phương" thành nghiên cứu cá nhân hướng dẫn PGS.TS Trần Tuấn Nam Nội dung luận văn có tham khảo số kết từ sách, báo, tạp chí liệt kê mục Tài liệu tham khảo Tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm với luận văn thân Phạm Hoài Nhân Lời cảm ơn Lời đầu tiên, xin chân thành cảm ơn PGS.TS Trần Tuấn Nam, người thầy tận tâm nhiệt tình việc giảng dạy, hướng dẫn giúp đỡ tơi tìm hiểu kiến thức phương pháp để hồn thành luận văn "Mơđun biểu diễn tính khơng triệt tiêu đối đồng điều địa phương" Bên cạnh đó, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đến q thầy Khoa Tốn - Tin Trường Đại học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh, trực tiếp giúp đỡ giảng dạy nhiều trình học tập Cao học thực luận văn Tiếp đến, xin cảm ơn quý thầy cô Ban giám hiệu quý thầy cô phòng Sau đại học Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi trình học Cao học trường Tơi xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp cổ vũ động viên suốt thời gian qua Mặc dù có nhiều nỗ lực suốt trình thực luận văn, khơng thể tránh khỏi cịn có thiếu sót Tơi mong nhận ý kiến đóng góp dẫn quý thầy cô bạn học viên Phạm Hoài Nhân Lời mở đầu Đại số đối đồng điều phát triển 300 năm Trong suốt trình hình thành phát triển ngành này, nhà toán học đưa thêm nhiều đối tượng để ngày hoàn thiện mơn học Trong có định nghĩa môđun thứ cấp môđun biểu diễn vành giao hốn Chúng có nhiều tính chất quan trọng áp dụng cho ngành đại số đối đồng điều số giúp phát triển thêm định lý tính triệt tiêu đối đồng điều địa phương Vì vậy, chúng tơi chọn đề tài “Mơđun biểu diễn tính khơng triệt tiêu đối đồng điều địa phương” Nội dung luận văn gồm có chương Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương 2: Biểu diễn thứ cấp tính khơng triệt tiêu đối đồng điều địa phương Bảng ký hiệu a :A b √ a tập phần tử x ∈ A, x b ⊆ a a (gồm phần tử x ∈ A, thỏa mãn có số nguyên dương n, xn ∈ a) N không (tập tất phần tử lũy linh vành) Spec(A) tập tất iđêan nguyên tố (phổ nguyên tố) vành A AnnA (M ) linh hóa tử A−môđun M (tập hợp tất phần tử x ∈ A, xM = 0) φx,M phép vị tự A−môđun M x ∈ A, x φx,M : M → M, m 7→ xm S −1 A vành thương vành A theo tập nhân S Ap vành địa phương hóa vành A iđêan nguyên tố p S −1 M môđun thương môđun M theo tập nhân S Supp(M ) giá môđun M Att(M ) tập iđêan nguyên tố gắn kết M gradeM (m) độ sâu (depth) M , kí hiệu khác depth M depthR M Hai (M ) môđun đối đồng điều địa phương M theo iđêan a Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong luận văn ta quy ước vành vành giao hốn có phần tử đơn vị khác phần tử trung hồ 1.1 Mơđun Mơđun Định nghĩa 1.1.1 Nhóm cộng giao hốn M với phép nhân vơ hướng A × M → M, (a, x) 7→ ax gọi A−môđun ∀a, b ∈ A, ∀x, y ∈ M : i) a(bx) = (ab)x; ii) a(x + y) = ax + ay; iii) (a + b)x = ax + bx; iv) 1x = x Hệ 1.1.2 Trong A−mơđun M ta có tính chất sau: ∀a, b ∈ A x, y ∈ M i) a0 = = 0a; ii) (−1)x = −x; iii) (−a)x = a(−x) = −(ax); iv) (a − b)x = ax − bx; v) a(x − y) = ax − ay Môđun Định nghĩa 1.1.3 Cho M A−môđun Tập N M gọi môđun M hay A−môđun M (N, +) nhóm M N đóng với phép nhân vơ hướng phần tử A M Nghĩa ax + by ∈ N, ∀a, b ∈ A ∀x, y ∈ N Với N P hai mơđun M N + P N ∩ P môđun M Hơn nữa, giao họ mơđun M mơđun M Định nghĩa 1.1.4 Cho M A−môđun X môđun M Tập thương M/X = {m + X|m ∈ M } A−môđun với phép toán cộng nhân (m1 + X) + (m2 + X) = (m1 + m2 ) + X r.(m + X) = rm + X A−môđun M/X gọi môđun thương M theo môđun X Đồng cấu môđun Định nghĩa 1.1.5 Cho hai A−môđun M N Ánh xạ f : M → N gọi đồng cấu A−môđun f (ax + by) = af (x) + bf (y), Hơn nữa, f đồng cấu A−mơđun thì: i) f (0) = ∀a, b ∈ A, ∀x, y ∈ M ii) M = xM với x ∈ a Chứng minh i) ⇒ ii) Giả sử ∃i, a ⊂ pi Khi a hữu hạn sinh nên ta có ar Ni = với r > Do M = ar M = Σj̸=i ar Nj ⊂ Σj̸=i Nj ̸= M, mâu thuẫn Do a ̸⊂ pi với ≤ i ≤ n a ̸⊂ ∪ pi Do theo 2.2.5 tồn x ∈ a cho φx,M toàn cấu, nghĩa M = xM ii) ⇒ i) Hiển nhiên 2.3 Định lí thứ hai Mệnh đề 2.3.1 Cho S tập nhân đóng A Giả sử iđêan nguyên tố liên kết pi đánh số thứ tự cho S giao với pr+1 , , pn khác rỗng không giao với pi , , pr Khi mơđun M tương đương với: i) T xM ; x∈S ii) r P Ni ; i=1 iii) tổng tất môđun p −thứ cấp N M cho p ∩S = ∅ Chứng minh Gọi L1 , L2 , L3 ba mơđun, tương ứng Ta chứng minh L1 ⊂ L2 ⊂ L3 ⊂ L1 Vì giao S với pr+1 , , pn khác rỗng nên ta chọn xi ∈ pi ∩S với r + ≤ i ≤ n, tồn số nguyên k đủ lớn cho xki Ni = với i = r + 1, , n Đặt x = Q i>r xki ∈ S Khi L1 ⊂ xM = n X xNi = i=1 r X xNi ⊂ L2 i=1 Tương tự ta có L2 ⊂ L3 Với N môđun p −thứ cấp M cho p ∩S = ∅ Với x ∈ S ta có N = xN ⊂ xM, N ⊂ L1 L3 ⊂ L1 24 Ta kí hiệu mơđun S(M ), r X \ S(M ) = xM = Ni i=1 x∈S Định lý 2.3.2 (Định lí tính thứ hai) Cho M A−mơđun biểu n P P diễn có biểu diễn tối tiểu M = Ni tập cô lập i=1 P Att(M ), cách đánh số pi ta có = {p1 , , pr } Khi mơđun N1 + · · · + Nr không phụ thuộc vào cách biểu diễn thứ cấp tối tiểu M Chứng minh Đặt S = A \ r S pi Khi đó, i=1 S ∩ pj = (A \ r S pi ) ∩ pj = ∅ với j = 1, r i=1 S ∩ pj = (A \ r S pi ) ∩ pj = pj \ i=1 r S pi ̸= ∅ với j = r + 1, n i=1 Do S thoả giả thiết mệnh đề 2.3.1 Nên N1 + N2 + · · · + Nr = S(M ) P Nhưng S(M ) phụ thuộc vào M nên định lí chứng minh Định lý 2.3.3 Cho a iđêan hữu hạn sinh A Khi dãy mơđun (ar M )r≥0 dừng, với r đủ lớn ta có X ar M = Ni i∈r với I tập số i cho a ̸⊂ pi Chứng minh Vì a iđêan hữu hạn sinh ta có ar Nj = với tất số nguyên r đủ lớn tất j ∈ / I, r X X r aM= ar Ni ⊂ Ni i=1 i∈I Mặt khác, tập {pi : i ∈ I} tập cô lập Att(M ), theo 2.3.2 ta có X Ni = S(M ) i∈I S = A \ S pi Lấy r số nguyên dương Khi ar ∈ / pi với i∈I 25 i ∈ I , ar ̸⊂ S pi Do tồn xr ∈ S ∩ ar với r, Xi∈I \ Ni = S(M ) = xM ⊂ xr M ⊂ ar M i∈I x∈S Định lý 2.3.4 Cho S tập đóng nhân A, M A−mơđun biểu diễn Thì S(M ) = aM với a ∈ S Chứng minh Giả sử S giao pr+1 , , pn không giao với p1 , , pr , nên theo định lí 2.3.1 S(M ) = N1 + · · · + Nr Chọn aj ∈ S ∩ pj với j > r Thay aj luỹ thừa aj , ta giả sử aj Nj = Cho a = ar+1 an Thì n X aM = i=1 aNi = r X aNi = i=1 r X Ni = S(M ) i=1 a ∈ S a ∈ / pi với ⩽ i ⩽ r Mệnh đề 2.3.5 Cho P iđêan A Nếu M A−môđun biểu diễn P M A−mơđun biểu diễn Pn Chứng minh Đặt M = i=1 Ni biểu diễn thứ cấp tối tiểu M với Pn Att(M ) = {p1 , p2 , , pn } Khi P M = i=1 P Ni Nếu r ∈ pi rk P Ni = P (rk Ni ) = Ngược lại r ∈ / pi rP Ni = P (rNi ) = P Ni Nên P Ni A−môđun pi −thứ cấp với i Vậy P M A−môđun biểu diễn Mệnh đề 2.3.6 Với A vành giao hoán có đơn vị khác khơng p iđêan ngun tố A Khi đó, A−mơđun M mơđun p − thứ cấp với N A−môđun thực M tồn h cho (N : M ) ⊂ p ph ⊂ (0 : M ) 26 Chứng minh Nếu x ∈ p xh M = Nên đồng cấu φx,M luỹ linh Ngược lại, x ∈ / p, đặt N = φx,M (M ) Giả sử N môđun thực M thoả x ∈ (N : M ) ⊂ p Mâu thuẫn với giả thiết Nên N = M φx,M toàn cấu Vậy M A−môđun p −thứ cấp 2.4 Các iđêan nguyên tố liên kết Định lý 2.4.1 Cho N môđun biểu diễn M Khi Att(M/N ) ⊂ Att(M ) ⊂ Att(N ) ∪ Att(M/N ) Chứng minh Vế trái chứng minh 2.2.2 Để chứng minh ý lại, đặt p ∈ Att(M ) M/P môđun thương p −thứ cấp M Đặt Q = P + N Nếu Q = M , M/P = (P + N )/P ∼ = N/(N ∩ P ), N có mơđun p −thứ cấp p ∈ Att(N ) theo 2.2.3 Mặt khác Q ̸= M , M/Q mơđun thương M/P p −thứ cấp; mơđun thương M/N , nên p ∈ Att(M/N ) Mệnh đề 2.4.2 Cho M1 , , Mr A−mơđun biểu diễn Khi đó, M1 ⊕ · · · ⊕ Mr biểu diễn Att(M1 ⊕ · · · ⊕ Mr ) = r [ Att(Mi ) i=1 Chứng minh Vì Mi biểu diễn nên có ! Nj pj −thứ ! cấp ri r ri P L P P L i cho Mi = Nj Ta có M1 ⊕ · · · ⊕ Mr = Nji = Nj j=1 i=1 j=1 j i Nên ta có điều phải chứng minh Mệnh đề 2.4.3 Với M A−môđun biểu diễn M = n P i=1 diễn thứ cấp tối tiểu M với Ni biểu √ Ni = pi Khi đó, với i = 1, , n, Att(M/Ni ) = Att(M ) − {pi } 27 Chứng minh Ta có M/Ni = X (Nj + Ni )/Ni j̸=i biểu diễn thứ cấp tối tiểu, mà (Nj + Ni )/Ni ∼ = Nj /(Nj ∩ Ni ) pi −thứ cấp Từ ta có kết Mệnh đề 2.4.4 Cho S tập nhân đóng A, Ψ tập iđêan liên kết M mà khơng giao với S Khi S(M ) môđun biểu diễn N M cho Att(M/N ) = Att(M ) − Ψ, Att(N ) = Ψ Chứng minh Ta đánh số lại iđêan nguyên tố liên kết sau p1 , , pn nên Ψ = {p1 , , pr } Từ 2.3.1 ta có S(M ) = N1 + · · · + Nr , nên Att(S(M )) = Ψ P Khi đó, ta thấy M/S(M ) = Ni /S(M ) biểu diễn thứ cấp tối tiểu i>r   M/S(M ) Do đó, Att M/S(M ) = Att(M )\Ψ Giả sử N môđun biểu diễn M thoả hai yêu cầu mệnh n P √ đề Ta có M/N = Qi biểu diễn thứ cấp tối tiểu Qi = pi Với i=r+1 i > r, ta chọn xi ∈ S ∩ pi đặt x = xr+1 xn Khi đó, x ∈ S với số nguyên k đủ lớn xk Qi = với i > r Do đó, xk M/N = xt M ⊂ N Vì thế, S(M ) = T yM ⊂ xt M ⊂ N y∈S Ngược lại, N biểu diễn Att(N ) = Ψ nên ta viết N = r P Qi i=1 √ biểu diễn tối tiểu N với Qi = pi Khi với x ∈ S , S khơng r r P P giao với pi nên Qi = xQi (1 ≤ i ≤ r) Do đó, N = Qi = xQi = xN ⊂ xM i=1 i=1 Vì thế, N ⊂ x ∈ SxM = S(M ) Vậy N = S(M ) Mệnh đề 2.4.5 i) M có dãy mơđun sau: = Mr ⊂ · · · ⊂ M2 ⊂ M1 ⊂ M0 = M , môđun thương Mi−1 /Mi môđun thứ cấp 28 ii) Với dãy trên, đặt qi = p Mi−1 /Mi với ≤ i ≤ r, Att(M ) ⊂ {q1 , , qr } Chứng minh i) Ta đặt Mi = P Nj r = n; j>i Mi−1 /Mi = (Ni + Mi )/Mi ∼ = Ni /(Ni ∩ Mi ) môđun thương khác không Ni , pi −thứ cấp ii) Áp dụng 2.4.1 ta thu r [ Att(Mi−1 /Mi ) = {q1 , , qr } Att(M ) ⊂ i=1 Mệnh đề 2.4.6 Cho Φ tập iđêan luỹ linh môđun thương khác không M Khi đó, phần tử tối đại Φ thuộc Att(M ) Chứng minh Gọi q phần tử tối đại Φ Theo 2.2.3, ta có q iđêan nguyên tố Gọi x, y ∈ A cho xy ∈ q x ∈ / q Khi q ∈ Φ có tồn môđun thương Q M cho Ann(Q) = q Do đó, xyQ = xQ ̸= Gọi K nhân φx,Q , xét Q/K Vì q tối đại, nên y ∈ q, mà q iđêan nguyên tố Mệnh đề 2.4.7 Cho S tập nhân đóng A Khi đó: i) Đồng cấu tự nhiên M = S −1 M toàn ánh ii) S −1 M S −1 A−môđun biểu diễn Att(S −1 M ) ⊂ S −1 (Att(M )) iii) Nếu S giao với pi S −1 M = Mệnh đề 2.4.8 Cho q ∈ Supp(M ) Khi q chứa iđêan nguyên tố liên kết M Chứng minh Nếu pi ̸⊂ q với ≤ i ≤ n, S = A \ q giao với pi theo 2.4.7 ta có Mq = S −1 M = 0, nghĩa q ∈ / Supp(M ) mâu thuẫn với giả thiết 29 2.5 Tính biểu diễn mơđun Artin Định nghĩa 2.5.1 Một A−môđun M gọi bất khả quy tổng M ̸= tổng hai môđun thực M môđun thực Mệnh đề 2.5.2 Nếu M A−mơđun Artin bất khả quy tổng M môđun thứ cấp Chứng minh Giả sử M không mơđun thứ cấp Khi tồn a ∈ A cho M ̸= aM an M ̸= 0, ∀n > Do định nghĩa môđun Artin nên dãy môđun {an M } dừng với n ≥ Vì tồn số nguyên dương k đủ lớn cho ak M = ak+1 M = Gọi M1 = Ker(φak ,M ) M2 = ak M Rõ ràng M1 , M2 môđun thực M Với m ∈ M Ta có ak m ∈ ak M = a2k M nên ∃n ∈ M cho ak m = a2k n Nên ak (m − ak n) = m − ak n ∈ M1 Suy m = ap n + (m − ap n) ∈ M2 + M1 Nghĩa M = M1 + M2 , mâu thuẫn với giả thiết Vậy M môđun thứ cấp Mệnh đề 2.5.3 Các môđun Artin môđun biểu diễn Chứng minh Giả sử M R−môđun Artin không biểu diễn Gọi S tập môđun khác không không biểu diễn M Vì S chứa M nên khác rỗng Hơn nữa, M Artin nên S có phần tử tối tiểu N Môđun N tối tiểu không biểu diễn nên N không môđun thứ cấp Do tính chất N nên theo mệnh đề 2.5.2, N tổng hai môđun thực N1 N2 Mặt khác, N tối tiểu nên tồn môđun N1 , N2 biểu diễn Nhưng N tổng N1 N2 nên N biểu diễn được, mâu thuẫn với cách chọn N Vậy M môđun biểu diễn Mệnh đề 2.5.4 Cho A R−môđun Artin r ∈ R Khi i) rA = A r ∈ R \ S p∈Att A p 30 ii) √ : A = ∩p∈Att A p Chứng minh Ta giả sử A ̸= Att ̸= ∅ Đặt A = S1 + · · · + Sn với Si pi − thứ cấp (1 ≤ i ≤ n) biểu diễn thứ cấp tối tiểu A i) Giả sử r ∈ R \ ∪p∈Att A p; rSi = Si với i = 1, , n nên rA = A Mặt khác, r ∈ pj với ≤ j ≤ n, rh Sj = với số nguyên h đủ lớn, nên h h h r A = r S1 + · · · + r Sn ⊆ n X Si ⊆ A i=1, i̸=j ii) Ta có: p (0 : A) = ∩ni=1 p (0 : Si ) = ∩ni=1 pi Nếu N mà R−mơđun Noether r ∈ R r ước không N r nằm tất iđêan nguyên tố liên kết N Lý thuyết biểu diễn thứ cấp cịn có nhiều điều sơ lược trình bày Khi (R, m) địa phương, M R−môđun hữu hạn sinh, sau i (M ), theo 1.7.4 đó, với i ∈ N0 , môđun đối đồng điều địa phương Hm môđun Artin, ta tạo thành tập hữu hạn iđêan nguyên i (M )) sử dụng lý thuyết biểu diễn thứ cấp cho môđun tố Att(Hm Trong phần việc tiếp theo, ta quan tâm đến việc, j cụ thể môđun j (M ) có hữu hạn sinh hay khơng (và đối đồng điều địa phương Hm trường hợp mơđun Artin có độ dài hữu hạn) Với ý nghĩa này, tơi trình bày kết biểu diễn thứ cấp trước đến với tính khơng triệt tiêu đối đồng điều địa phương Hệ 2.5.5 Cho (R, m) địa phương cho A R− môđun Artin Khi A hữu hạn sinh, có độ dài hữu hạn Att A ⊆ {m} Chứng minh (⇒) Khi A có độ dài hữu hạn, tồn h ∈ N cho mh A = 0, với A là m-thứ cấp (⇐) Nếu AttA ⊆ {m}, theo 2.5.4, tồn h ∈ N cho mh A = A có chiều dài hữu hạn 31 2.6 Tính khơng triệt tiêu đối đồng điều địa phương Quy ước chiều R−môđun không −1 Bổ đề 2.6.1 Cho (R, m) địa phương M ̸= 0, R−mơđun hữu hạn sinh n chiều Khi tập X := {N ′ : N ′ môđun M dim N ′ < n} có phần tử lớn thỏa mãn kết luận Đặt G := M \ N i) dimG = n; ii) G khơng có mơđun khác khơng có chiều nhỏ n; iii) Ass G = {p ∈ AssM : dimR/p = n}; n (G) ∼ H n (M ) iv) Hm = m P Chứng minh Vì M R−mơđun Noether nên tập có phần tử cực đại, P P gọi N Vì tổng hai phần tử lại , nên N chứa phần P P tử , phần tử lớn i) Ta có dãy khớp tắc 0→N →M →G→0 Supp G ⊆ Supp M , p ∈ Ass M với dim R/p = n thuộc Supp G khơng thể thuộc Supp N Do dim G = n {p ∈ Ass M : dim R/p = n} ⊆ Ass G ii) Giả sử L môđun M cho N ⊆ L ⊆ M dim(L/N ) < n Xét dãy khớp tắc sau → N → L → L/N → cho thấy dim L < n; Do L ⊆ N L/N = 32 iii) Cho p ∈ AssG Theo ii), dim R/p = n, đó, Supp G ⊆ Supp M , nên có p ∈ Ass M Như AssG ⊆ {p ∈ Ass M : dim R/p = n} Vì bao hàm ngược lại thiết lập chứng minh i) nên chứng minh hồn thành iv) Vì dim N < n nên tuân theo định lý triệt tiêu Grothendieck (1.7.1) Hmn (N ) = Hmn+1 (N ) = Khẳng định sau từ dãy khớp dài môđun đối đồng điều địa phương (với đại diện m) kết dãy khớp → N → M → G → Định lý kết quan trọng, với ta khơng cung cấp chứng thay cho kết định lý không triệt tiêu 1.7.2, mà cịn cung cấp nhiều thơng tin đưa định lý Định lý 2.6.2 Giả sử (R, m) vành địa phương cho M ̸= 0, R−môđun hữu hạn sinh n chiều Khi Hmn (M ) ̸= n Att(Hm (M )) = {p ∈ Ass M : dim R/p = n} Chứng minh Trong chứng minh ta sử dụng kết chứng minh định lý 1.7.4 nghĩa với i ∈ N0 , môđun Hmi (M ) môđun Artin Do đó, theo 2.5.3, có biểu diễn thứ cấp ta tạo thành tập i (M )) Att(Hm Ta chứng minh quy nạp theo n Khi n = 0, mơđun M có độ dài hữu hạn nên linh hóa lũy thừa m Do Hm0 (M ) ∼ = Γm (M ) = M ̸= Theo 2.5.3 2.5.5, Att(Hm (M )) = AttM = {m} = AssM = {p ∈ AssM : dimR/p = 0} Vậy định lí trường hợp n = Tiếp theo, giả sử n > định lí chứng minh cho vành R− môđun khác không, hữu hạn sinh n − chiều Theo 2.6.1, có thể, sau tính tốn cần, mơđun lớn M có chiều nhỏ n, giả sử M khơng có mơđun khác khơng có chiều nhỏ n Giả 33 thiết đưa cho phần lại bước quy nạp mục đích giả thiết Att(Hmn (M )) = Ass M Vì n > 0, ta có m ∈ / Ass M , tồn r ∈ m số khác không n (M ) = M Ta giả sử Hm Nếu n = 1, ta có ≤ gradeM m = depthM ≤ dim M = 1, nên mâu thuẫn với 1.7.3 Tiếp theo ta giả sử n > Bây giờ, với r ∈ m số khác không M , mơđun M/rM (là khác khơng hữu hạn sinh) có dim(M/rM ) = n − 1, dãy khớp r M M M/rM cảm sinh dãy khớp dài môđun đối đồng điều địa phương n−1 (M ) Hm r n−1 (M ) Hm n−1 (M/rM ) Hm n = Vì vậy, với r ∈ m phần tử khác không Theo giả thiết Hm n−1 (M )/rH n−1 (M ) ∼ H n−1 (M/rM ), khác khơng theo giả thiết M , ta có Hm = m m quy nạp Nên Hmn−1 (M ) ̸= Tiếp theo ta chứng minh m ∈ Att(Hmn−1 (M )) n−1 (M )) Thật vậy, theo định lý tránh nguyên tố Giả sử m ∈ / Att(Hm m ⊈ (∪p∈Att(Hmn−1 (M )) p) ∪ (∪q∈AssM q) Do đó, theo 2.5.4, tồn r1 ∈ m ước không M thỏa n−1 (M ) = r H n−1 (M ); điều mâu thuẫn với H n−1 (M/r M ) ̸= Hm m m Do m ∈ Att(Hmn−1 (M )) cho p1 , , pt phần tử lại n−1 (M )) Một lần theo định lý tránh nguyên tố, tồn Att(Hm r2 ∈ m \ (∪ti=1 pi ) ∪ (∪q∈Ass M q) Vì r2 ∈ m r2 ước không M , nên ta lại có n−1 n−1 n−1 Hm (M )/r2 Hm (M ) ∼ (M/r2 M ) = Hm theo giả thiết quy nạp, Hmn−1 (M/rM ) ̸= Att(Hmn−1 (M/r2 M )) ⊆ {p ∈ Ass(M/r2 M ) : dim R/p = n − 1} Nhưng theo 2.2.4 n−1 n−1 n−1 Att(Hm (M )/r2 Hm (M )) ⊆ {p ∈ Att(Hm (M )) : r2 ∈ p} m phần tử tập hợp thứ hai Vì n > 1, ta thu mâu thuẫn 34 Vậy Hmn ̸= Để hoàn thành bước quy nạp, giả sử M khơng có mơđun khác không chiều nhỏ n, ta chứng minh Att(Hmn (M ) = Ass M Ta biết gradeM m ≥ 1; Ngoài ra, với r ∈ m ước không M , ta có dim(M/rM ) = n − 1, cho Hmn (M/rM ) = theo định lí 1.7.1, dãy khớp môđun đối đồng điều địa phương suy từ dãy khớp r M M M/rM ta có Hmn (M ) = rHmn (M ) Do đó, từ 2.5.4 ta có m \ ∪p∈AssM p ⊆ m \ ∪q∈Att(Hmn (M )) q Giả sử q ∈ Att(Hmn (M )), suy từ quan hệ bao hàm theo định lý tránh nguyên tố q ⊆ p với mơt vài p ∈ Ass M Vì Hmn R-hàm tuyến tính, từ suy n (M )) ⊆ q ⊆ p (0 : M ) ⊆ (0 : Hm Vì n = dim R/(0 : M ) = dim R/p, suy q = p Vì n (M )) ⊆ AssM Att(Hm Để thiết lập phép bao hàm ngược, giả sử p ∈ Ass M cho dim R/p = n Theo lí thuyết phân tích thứ cấp, tồn môđun p−nguyên sơ Q M Do M/Q khác khơng, hữu hạn sinh với Ass(M/Q) = {p} Lưu ý M/Q khơng có mơđun khác khơng có chiều nhỏ n (hoặc khơng có iđêan ngun tố liên kết khác với p) Nên áp dụng cho M/Q thay M , ta có Hmn (M/Q) ̸= n (M/Q)) ⊆ Ass(M/Q) = {p} ∅= ̸ Att(Hm Do Att(Hmn (M/Q)) = {p} Nên từ dim Q < n + định lý 1.7.1 cho ta Hmn+1 (Q) = 0; suy dãy khớp tắc → Q → M → M/Q → cảm sinh toàn cấu Hmn (M ) → Hmn (M/Q) Từ 2.2.4 ta suy n n {p} = Att(Hm (M/Q)) ⊆ Att(Hm (M )) Do Ass M ⊆ Att(Hmn (M )) ⇒ Ass M ⊆ Att(Hmn (M )) Nên Ass M = Att(Hmn (M )) Điều hoàn thành bước quy nạp 35 Hệ 2.6.3 Giả sử (R, m) vành địa phương M R− mơđun hữu hạn sinh khác khơng, có chiều n > Khi Hmn (M ) khơng hữu hạn sinh Chứng minh Theo 1.7.4 2.6.2, môđun đối đồng địa phương Hmn (M ) môđun Artin khác khơng, nên có iđêan ngun tố khơng cực đại Vì vậy, theo 2.5.5, Hmn (M ) khơng hữu hạn sinh 36 KẾT LUẬN Luận văn tổng hợp kết môđun thứ cấp, môđun biểu diễn tính chất chúng tính biểu diễn mơđun Từ mở rộng thêm, phát triển thêm định lí tính khơng triệt tiêu đối đồng điều địa phương 37 Tài liệu tham khảo [1] M.P Brodmann & R.Y Sharp, Local cohomology an algebraic introduction with geometric applications, second edition, Cambridge University Press, New York, 135-146 [2] I.G Macdonald, Secondary representation of modules over a commutative ring, in: Symposia Math.XI (Istituto Nazionale di alta Matematica, Roma, 1973), Academic Press, London, 23-43 [3] I.G Macdonald & R.Y Sharp, An elementary proof of the non-vanishing of certain local cohomology modules, Quart J Math Oxford (2) 23 (1972), 197-204 [4] L Melkersson, Cohomological properties of modules with secondary representation, Math Scand (1995), second edition, 197-208 [5] Trần Tuấn Nam, Đại số giao hoán, NXB Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh, TP Hồ Chí Minh 38