Môđun cohen macaulay với chiều s và một số kết quả trên môđun đối đồng điều địa phương

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN ĐẠI HỌC SƯ PHẠM DƯƠNG THỊ GIANG MÔĐUN COHEN-MACAULAY VỚI CHIỀU > s VÀ MỘT SỐ KẾT QUẢ TRÊN MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG 2013 Số hóa Trung tâm Học liệu –ĐHTN Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://www.lrc.tnu.edu.vn/ i Lêi cam đoan Tôi xin cam đoan kết nghiên cứu luận văn hoàn toàn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Nguồn tài liệu sử dụng cho việc hoàn thành luận văn đà đồng ý cá nhân tổ chức Các thông tin, tài liệu luận văn đà ghi rõ nguồn gốc Thái Nguyên, tháng năm 2013 Học viên Dương Thị Giang Xác nhận Xác nhận trưởng khoa chuyên môn người hướng dẫn khoa häc TS Ngun ThÞ Dung Số hóa Trung taõm Hoùc lieọu HTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ii Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành sau năm học tập Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên Với lòng kính trọng biết ơn sâu sắc xin bày tỏ lời cảm ơn chân thành tới Tiến sĩ Nguyễn Thị Dung, người cô kính mến đà hết lòng giúp đỡ, dạy bảo, động viên tạo điều kiện thuận lợi cho suốt trình học tập hoàn thành luận văn Tôi xin trân trọng cảm ơn trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên, lÃnh đạo khoa Toán, lÃnh đạo khoa Sau ®¹i häc cđa Tr­êng ®· t¹o mäi ®iỊu kiƯn thn lợi giúp đỡ hoàn thành tốt nhiệm vụ học tập Tôi xin chân thành cảm ơn thầy cô đà tham gia giảng dạy cho lớp Cao học chuyên ngành Toán khoá 19 Cuối xin cảm ơn người thân yêu gia đình, bạn bè đà cho niềm tin động lực để học tập tốt Thái Nguyên, tháng năm 2013 Học viên Dương Thị Giang Soỏ hoựa bụỷi Trung taõm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ iii Mơc lơc Trang Lêi cam ®oan i Lời cảm ơn ii Môc lôc iii Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Tập iđêan nguyên tố liên kết 1.2 HÖ tham sè 1.3 Hµm tư më réng 1.4 Môđun đối đồng điều địa ph­¬ng 1.5 VÒ mét số mở rộng lớp môđun Cohen-Macaulay Chương Môđun Cohen-Macaulay với chiều 2.1 D·y chÝnh quy víi chiỊu >s >s 16 16 2.2 Môđun Cohen-Macaulay với chiều >s 23 Chương Một số kết môđun đối đồng điều địa phương 30 3.1 a-d·y läc chÝnh quy 30 3.2 Mét sè kết môđun đối đồng điều địa phương 31 KÕt luËn 38 Tài liệu tham khảo 39 Số hóa Trung tâm Hoùc lieọu HTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Mở đầu Cho (R, m) R-môđun vành giao hoán địa phương, hữu hạn sinh víi Kh¸i niƯm M -d·y dim M = d víi chiều >s a iđêan R, M cho s > số nguyên đà đưa Brodmann-Nhàn [BN] më réng cđa kh¸i niƯm d·y chÝnh quy suy réng giới thiệu Nhàn [N] trước Với khái niệm này, khái niệm dÃy quy, f -dÃy M -d·y quen biÕt vµ d·y chÝnh quy suy réng đà tương ứng trở thành với chiều khái niệm M -d·y > −1, 0, víi chiỊu (xem [BN], [CST], [N], ) Năm 2009, dùng > s, N Zamani [NZ] đà giới thiệu khái niệm lớp môđun thỏa mÃn hệ tham số môđun Cohen-Macaulay với chiều > s M -dÃy f -môđun > s gọi Khi đó, lớp môđun quen biết đại số giao hoán Cohen-Macaulay, Schenzel-Trung [CST], với chiều f -môđun giới thiệu Cường- suy rộng đưa Nhàn-Morales [NM] tương ứng trở thành trường hợp đặc biệt môđun Cohen-Macaulay với chiều > 1, 0, Luận văn nhằm trình bày lại kết chứng minh chi tiết báo N Zamani [NZ] "Cohen-Macaulay Modules in Dimension on Local Cohomology" >s and Results đăng tạp chí Communication in Algebra năm 2009 Luận văn chia thành chương Chương dành để nhắc lại số kiến thức sở có liên quan đến nội dung luận văn tập iđêan nguyên tố liên kết, hệ tham số, hàm tử mở rộng, môđun đối đồng điều địa phương, Để theo dõi cách tương đối hệ thống, Mục 1.5 Chương nhắc lại khái niệm dÃy quy, dÃy quy lọc, dÃy quy suy rộng tương ứng lớp môđun Cohen-Macaulay, f -môđun, f -môđun suy réng vµ mét sè tÝnh chÊt cđa chóng Néi dung luận văn trình bày Chương Chương 2 Chương luận văn trình bày kh¸i niƯm d·y chÝnh quy víi chiỊu Số hóa Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ >s bµi báo Brodmann-Nhàn [BN] số tính chất dÃy thông qua tập support chiều môđun mở rộng số nguyên, M -dÃy với chiều víi chiỊu > s Ext cđa M s>0 a iđêan R, dim M/aM > s >s a mở rộng thành M -dÃy cực đại tất M -dÃy với chiều > s cực đại có độ dài độ dài chung số nguyên cho Cho dim(Supp(Hai (M ))) > s, số nguyên i a i nhá nhÊt nhá nhÊt cho dim(ExtiR (R/a, M )) > s Độ dài gọi ®é s©u víi chiỊu > s cđa M a, kÝ hiƯu lµ depth(a, M, > s) Mơc tiÕp theo Chương kết luận văn, trình bày khái niệm môđun Cohen-Macaulay với chiều > s chứng minh lại chi tiết kết đặc trưng môđun Cohen-Macaulay với chiều > s: M catenary, đẳng chiều (dim M (Supp(M ))>s iđêan nguyên tố tối thiểu Cohen-Macaulay với mäi lµ Cohen-Macaulay víi chiỊu > s nÕu = dim R/p víi p ∈ (Supp(M ))>s ) vµ Mp lµ Rp -môđun p (Supp(M ))>s Hơn nữa, giả thiết R vành thương vành Cohen-Macaulay với chiều >s đầy đủ Cohen-Macaulay với chiều M môđun Cohen-Macaulay c M môđun m-adic M > s Chương cuối luận văn chứng minh số kết tính hữu hạn tập iđêan nguyên tố liên kết số môđun đối đồng điều địa phương môđun Cohen-Macaulay với chiều > s Chú ý kết tương tự đà Hellus [H, Định lý 4] chøng minh cho tr­êng hỵp M = R, R vành Cohen-Macaulay, Asadollahi-Schenzel [AS, Định lý 1.1] mở rộng cho trường hợp M môđun Cohen-Macaulay suy rộng Nhàn-Morales [NM, Định lý 4.1] chứng minh cho trường hợp M suy rộng Phần kết luận luận văn tổng kết kết đà đạt Số hóa Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ lµ f -môđun Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, ta kí hiệu môđun có chiều Krull R vành giao hoán, Noether M R- dim M = d Các giả thiết khác vành môđun cần nhắc lại 1.1 Tập iđêan nguyên tố liên kết Định nghĩa 1.1.1 (i) Giả sử M R-môđun Một iđêan nguyên tố p R gọi iđêan nguyên tố liên kết M cho tồn phần tử 6= x M p = AnnR (x) (ii) Môđun Q M gọi môđun nguyên sơ M M/Q 6= với a ∈ ZD(M/Q), tån t¹i n ∈ N cho an (M/Q) = p Khi ®ã p = AnnR (M/Q) iđêan nguyên tố R, ta nói Q môđun p-nguyên sơ (iii) Cho sơ N M môđun R môđun M tồn môđun nguyên sơ N = Q1 ∩ ∩ Qn s¬ NÕu ta nãi Qi với N có phân tích nguyên i = 1, , n, thành giao hữu hạn môđun pi -nguyên N = N 6= có phân tích nguyên sơ ta nói N tích cho phân Phân tích nguyên sơ gọi tối thiểu (thu gọn) iđêan nguyên tố pi đôi khác hạng tử Soỏ hoựa bụỷi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Qi nµo lµ thõa, nghÜa lµ víi mäi i = 1, , n n \ Qj 6⊆ Qi i=1;i6=j (iv) Dễ thấy phân tích nguyên sơ dạng thu gọn Khi tập hợp nguyên sơ tối thiểu cđa cđa M/N , kÝ hiƯu bëi N ®Ịu cã thể đưa {p1 , , pn } độc lập với việc chọn phân tích gọi tập iđêan nguyên tố liên kết AssR M/N thành phần nguyên sơ Các hạng tử N Nếu pi Qi , i = 1, , n, lµ tèi thiểu gọi thành phần cô lập, ngược lại Qi N Qi gọi AssR M/N gọi thành phần nhúng Mệnh đề 1.1.2 (i) p [Mat, Định lý 6.1, Định lý 6.3, Định lý 6.5] iđêan nguyên tố liên kết R-môđun M (ii) Nếu cho N M đẳng cấu với tồn N R/p p iđêan nguyên tố vành R Ass(R/p) = {p} (iii) Cho p phần tử tối đại tập iđêan có dạng Ann(x), 6= x ∈ M Khi ®ã p ∈ Ass(M ) Vì thế, M 6= Ass(M ) 6= Hơn nữa, tập ZD(M ) ước không M nguyên tố liên kết (iv) hợp iđêan M c=S c c AssRb M b M /pM p∈Ass M AssR (v) Cho dÃy khớp ngắn R-môđun M −→ M −→ M 00 −→ Khi ®ã (a) AssR (M ) ⊆ AssR (M ) ⊆ AssR (M ) ∪ AssR (M 00 ); (b) SuppR (M ) = SuppR (M ) ∪ SuppR (M 00 ) Số hóa Trung tâm Học liệu HTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ (vi) Cho M R-môđun hữu hạn sinh Khi ®ã AssR (M ) ⊆ SuppR (M ) AssR (M ) tập hữu hạn Hơn nữa, phần tử tối thiểu AssR (M ) SuppR (M ) lµ nh­ 1.2 HƯ tham sè Mục dành để nhắc lại khái niệm tính chất quan trọng hệ tham số vành giao hoán, Noether, địa phương (R, m) M R-môđun hữu hạn sinh (xem [Mat]) Định nghĩa 1.2.1 Một hệ gồm d phần tử thoả mÃn x1 , , xd ∈ m `R (M/(x1 , , xd )M ) < gäi lµ mét hƯ tham sè cđa M Mét d·y (xn ) R gọi dÃy Cauchy theo t«p« m-adic nÕu víi k ∈ N cho trước, tồn số tự nhiên n0 n, m n0 D·y tr­íc, tån t¹i sè (xn ) ⊆ R n0 cho cho xn − xm ∈ mk gọi dÃy không với xn ∈ mk víi mäi n ≥ n0 víi mäi k N cho Ta trang bị quan hệ tương đương tập dÃy Cauchy sau: Hai dÃy Cauchy gọi tương đương dÃy (xn yn ) dÃy không Kí lớp tương đương Chú ý r»ng quy t¾c céng (xn ), (yn ) b lµ tËp hiƯu R (xn ) + (yn ) = (xn + yn ) quy tắc nhân (xn )(yn ) lớp tương = (xn yn ) không phụ thuộc vào cách chọn đại diện b với hai đương Vì phép toán R phép toán này, b làm thành vành Noether địa phương với iđêan tối đại R b Vành R b vừa xây dựng gọi vành đầy đủ theo tôpô mR m-adic R Một dÃy k N (zn ) M gọi dÃy Cauchy theo tôpô cho trước, tồn sè tù nhiªn n0 cho zn m-adic nÕu víi zm mk M với n, m n0 Từ khái niệm dÃy Cauchy trên, tương tự ta định nghĩa b Môđun kí khái niệm môđun đầy đủ theo tôpô m-adic vµnh R hiƯu lµ c M Số hóa Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ MƯnh ®Ị 1.2.2 (i) Phần tử [Mat, Định lý 14.1, Định lý 14.2] xm p Ass(M ) phần tử tham số cho dim R/p = d tham sè cña M xi+1 thoả mÃn (ii) Cho M Hệ phần tử x / p, víi mäi x1 , , xd ∈ m lµ hƯ ∈ / p, víi mäi p ∈ AssR (M/(x1 , , xi )M ) dim R/p = d − i, víi mäi i = 1, , d − x1 , , xt m dÃy phần tử, với t d Khi dim(M/(x1 , , xt )M ) ≥ dim M t Đẳng thức xảy chØ (iii) NÕu x1 , , x d x1 , , xt lµ hƯ tham sè cđa a1 , , ad , ta cã xa11 , , xadd phần hệ tham số M với số nguyên dương hệ tham sè cđa x1 , , xd lµ mét hƯ tham sè cđa M c, ®ã M c đầy đủ m-adic M M (iv) Nếu 1.3 M M hệ tham số Hàm tử mở rộng Trong phần ta đưa khái niệm tính chất môđun Ext thường dùng luận văn (xem [Mat]) Định nghĩa 1.3.1 Cho M, N R-môđun n > số tự nhiên Môđun dẫn xuất phải thứ n hàm tử Hom(, N ) ứng với M môđun mở rộng thứ n M Cụ thể, để xây dựng ExtnR N, kí hiệu ExtnR (M, N ) ta lấy giải xạ ảnh u gọi u M → P2 →2 P1 →1 P0 → M Tác động hàm tử Hom(, N ) vào dÃy khớp ta có đối phức u u → Hom(P0 , N ) →1 Hom(P1 , N ) →2 Hom(P2 , N ) → Số hóa Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 26 Ta cã thĨ gi¶ sư r»ng ta cã Supp Mp p 6= q Giả sử p 6= m Vì Mp Cohen-Macaulay nên catenary [Mat, Định lý 14.1] Vì thÕ, htM (p) = dim Mp = dim(Rp /qRp ) + htMp (qRp ) = dim(Rp /qRp ) + htM (q) = dim(Rp /qRp ) + dim Mq p = m LÊy p ∈ (Min(Supp(M )))>s cho q0 q Vì Mq Cho Cohen-Macaulay q0 Rq ∈ Ass Mq nªn ta cã htM (q) + ht(m/q) = htM (q0 ) + htM (q/q0 ) + dim R/q = dim(Rq /q0 Rp ) + dim R/q = dim Mq + dim R/q = d = htM (m) = dim M (v) (iii) Vì Khi đó, với Mp môđun Cohen-Macaulay nên depth Mp = dim Mp p ∈ (Supp(M ))>s th× dim Mp = d − dim R/p nªn suy depth Mp = d − dim R/p KÕt qu¶ sau cho thÊy r»ng tính Cohen-Macaulay vành địa phương hóa iđêan nguyên tố với chiều Nhắc lại đồng cấu vành S xét khớp R-môđun > s bảo toàn qua đồng cấu phẳng f : R S xác định f gọi đồng cấu phẳng R-môđun phẳng, tức với dÃy → N → N → N 00 → R-môđun, dÃy cảm sinh N R S → N ⊗R S → N 00 ⊗R S → lµ khíp NÕu vµnh A lµ mét vµnh vành B ta nói A Trong trường hợp này, phần tử b B B vành mở rộng gọi nguyên b nghiệm đa thức với hệ số A Nếu phần tử B A ta nói B nguyên Mệnh đề 2.2.4 Cho A, B A nguyên mở rộng nguyên cđa A f : (R, m) −→ (S, n) lµ đồng cấu phẳng vành địa phương Khi ta cã: Số hóa Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 27 Sq (i) Nếu Cohen-Macaulay với Cohen-Macaulay với vành Cohen-Macaulay, Chứng minh (i) Cho Sq Rp p (Spec(R))>s ; S (ii) Nếu cộng thêm giả thiết p (Spec(R))>s q (Spec(S))>s , Rp mở rộng nguyên với (Rp /pRp ) R S tất vành thớ Cohen-Macaulay với R, q (Spec(S))>s p ∈ Spec(R) víi dim(R/p) > s V× S R- môđun hoàn toàn phẳng, nên tồn t¹i q ∈ Spec(S) cho p = q ∩ R vµ dim(S/q) > s Rp −→ Sq , XÐt ®ång cÊu ph¼ng víi r/u 7−→ f (r)/f (u) Theo [BH, MƯnh ®Ị 1.2.16], ta cã depthSq Sq = depthRp Rp + depthSq (Sq /(pRp )Sq ) vµ dimSq Sq = dimRp Rp + dimSq (Sq /(pRp )Sq ) V× depthSq (Sq /(pRp )Sq ) dimSq (Sq /(pRp )Sq ) theo giả thiết Sq Cohen-Macaulay với đẳng thức ta có với theo Mệnh đề 1.5.4 (i) q (Spec(S))>s , nên từ depthRp Rp = dimRp Rp , suy Rp p ∈ (Spec(R))>s (ii) Cho q ∈ (Spec(S))>s vµ p = q R địa phương hóa hình thức (Rp /pRp ) ⊗R S, Ta cã Sq /(pRp )Sq R/p S/q Cohen-Macaulay với Hơn mở rộng nguyên nªn tõ dim R/p > s ta cã dim S/q > s Do đó, từ giả thiết Rp kết hợp với đẳng thức ta có cịng lµ depthSq (Sq /(pRp )Sq ) = dimSq (Sq /(pRp )Sq ) nữa, đồng cấu cảm sinh Chú ý 2.2.5 Sq /(pRp )Sq mà theo giả thiết tất thớ Cohen-Macaulay nên (Rp /pRp ) R S Cohen-Macaulay hay Cohen-Macaulay Cohen-Macaulay depthSq Sq = dimSq Sq , hay Sq lµ q ∈ (Spec(S))>s Chú ý R vành thương vành Cohen-Macaulay Spec(R) (Supp(M ))>s catenary Vì từ Định lý 2.2.3, Soỏ hoựa Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 28 (i)⇔ (v), ta cã M lµ Cohen-Macaulay víi chiỊu Cohen-Macaulay víi mäi >s nÕu vµ chØ nÕu Mp lµ p ∈ (Supp(M ))>s vµ dim R/p = dim M víi mäi p ∈ (min(Supp(M )))>s Theo Chó ý 2.2.5 ë trªn, tÝnh Cohen-Macaulay víi chiỊu > s cã thĨ chun qua ®Çy ®đ nh­ sau MƯnh ®Ị 2.2.6 NÕu c M Cohen-Macaulay với chiều Cohen-Macaulay với chiều > s Hơn nữa, R > s M là vành thương vành Cohen-Macaulay điều ngược lại Chứng minh Để chứng minh > s, ta lÊy b Khi ®ã x1 , , xd lµ mét hƯ tham sè cđa M Cho xˆi ảnh xi R c Vì theo Mệnh ®Ò 1.2.2, (iv) ta cã d·y x ˆ1 , , xˆd lµ mét hƯ tham sè cđa M theo giả thiết c Cohen-Macaulay với chiều > s nªn x M ˆ1 , , xˆd víi chiỊu M lµ Cohen-Macaulay víi chiỊu lµ c-d·y M > s Do ®ã theo Bỉ ®Ị 2.1.3 ta cã dim(((x1 , , xi−1 )M :M xi )/(x1 , , xi−1 )M ) c :c x c) s, = dim(((ˆ x1 , , xˆi−1 )M ˆ )/(ˆ x1 , , xˆi−1 )M M i víi mäi i = 1, , d V× thÕ theo Bỉ ®Ị 2.1.3, (i) M -d·y víi chiỊu > s Vì M (ii) ta có Cohen-Macaulay víi chiỊu x1 , , x d > s Ngược lại, M R vành thương vành Cohen-Macaulay, chứng minh c Cohen-Macaulay Cohen-Macaulay với chiều > s M với chiỊu c))>s , > s ThËt vËy, tõ Chó ý 2.2.5 ta thấy, với q (Supp(M cq Cohen-Macaulay với q (Min(Supp(M c)))>s , ta cã ta cã M b q = dim M c Vì thế, lấy q (Supp(M c))>s p = q R Vì R dim R/ vành thương vành Cohen-Macaulay nên ta có vành thớ bq /pR bq = (Rp /pRp ) ⊗R R bq R p dim R/p > s tất bq đồng cấu tắc Rp R vành Cohen-Macaulay Theo Bruns-Herzog [BH, MƯnh ®Ị 1.2.16] ta cã cq = dim Mp + dim R bq /pR bq , dim M Số hóa Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 29 vµ cq = depth Mp + depth R bq /pR bq depth M Vì M Cohen-Macaulay với chiều Cohen-Macaulay theo Định lý 2.2.3, (i) > s nên suy Mp (v) Vì thế, từ hai đẳng thức ta có cq = depth M cq , hay M cq Cohen-Macaulay Hơn nữa, lấy dim M c)))>s , ®ã theo MƯnh ®Ị 1.1.2, ta cã q ∈ Ass b (M c) vµ q ∈ (Min(Supp(M R b q > s L¹i theo MƯnh ®Ò 1.1.2 ta cã dim R/ [ c) = AssRb (M b pR)) b (AssRb R/( p∈AssR (M ) V× thÕ tån t¹i p ∈ (Ass(M ))>s cho q R = p Do đó, R vành thương vành Cohen-Macaulay từ giả thiết chiều M lµ Cohen-Macaulay víi > s, theo Chó ý 2.2.5 ta cã b q = dim R/p = dim M dim R/ Vì c Cohen-Macaulay với chiều > s M Số hóa Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 30 Chương Một số kết môđun đối đồng điều địa phương Trong chương ta kí hiệu phương với iđêan cực đại hạn sinh với chiều Krull lµ më réng cđa (R, m) lµ vµnh giao hoán Noether, địa m, a iđêan R M R-môđun hữu dim M = d Chương nghiên cứu loại dÃy f -dÃy giới thiệu Cường-Schenzel-Trung [CST] Kết chương trình bày lại chứng minh tính hữu hạn tập iđêan nguyên tố liên kết số môđun đối đồng điều địa phương môđun Cohen-Macaulay với chiỊu 3.1 > s a-d·y läc chÝnh quy Ta nh¾c lại khái niệm a-dÃy lọc quy vành R giao hoán, Noether giới thiệu [AS] Định nghĩa 3.1.1 läc chÝnh quy cña Mét d·y M x1 , , x n phần tử a gọi a-dÃy Supp(((x1 , , xi−1 )M :M xi )/(x1 , , xi−1 )M )) ⊆ V (a), víi mäi i = 1, , n Số hóa Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 31 Chó ý 3.1.2 (i) Một dÃy phần tử quy M với x1 , , xn i = 1, , n a gọi a-lọc ta có xi / p, víi mäi p ∈ Ass M/(x1 , , xi−1 )M tho¶ m·n tÝnh chÊt a * p (ii) Nếu (R, m) vành địa phương với iđêan cực đại m m-dÃy lọc quy khái niệm f -dÃy đưa bëi C­êng-Schenzel-Trung [CST] Do ®ã a-d·y läc chÝnh quy mở rộng khái niệm (iii) Cho x1 , , xn lµ mét d·y phần tử f -dÃy a Khi mệnh đề sau tương đương: (a) x1 , , xn lµ a-d·y läc chÝnh quy cđa (b) x1 /1, , xn /1 Rp (c) xa11 , , xann lµ M; Mp -d·y nghÌo, ∀p ∈ Supp M \ V (a); lµ a-d·y läc chÝnh quy cđa M, víi mäi số nguyên dương a1 , , a n Mệnh đề sau cho thấy số nguyên dương n tồn a-dÃy lọc quy M có độ dài n Điều chứng tỏ độ dài a-dÃy lọc quy vô hạn Mệnh đề 3.1.3 Giả sử tồn phần tử x1 , , xn lµ mét a-d·y läc chÝnh quy cđa M Khi ®ã y ∈ a cho x1 , , xn , y a-d·y läc chÝnh quy M Chøng minh NÕu Ha0 (M ) 6= M, th× Ha0 (M ) = M , th× ta chän t ý phÇn tư Ha0 (M/Ha0 (M )) = Do tồn phần tử yI a-d·y läc chÝnh quy cđa 3.2 lµ mét Suy y ∈ a NÕu depth(M/Ha0 (M )) > M/Ha0 (M )-chÝnh quy Suy x1 , , xn , y M Một số kết môđun đối đồng điều địa phương Trước hết ta nhắc lại kết sau, chứng minh tương tự [NS, 3.4] m thay thÕ bëi a (xem [KS, MƯnh ®Ị 1.2]) Số hóa Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 32 MƯnh ®Ị 3.2.1 Cho n > vµ x1 , , xn lµ a-d·y läc chÝnh quy Khi ta có đẳng cấu tự nhiên môđun đối ®ång ®iỊu ( Hai (M ) ∼ = Bỉ ®Ị 3.2.2 Cho i H(x (M ) , ,xn ) nÕu i < n, n Hai−n (H(x (M )) , ,xn ) nÕu i > n x1 , , x n lµ M -d·y với chiều > s a Khi tồn xn+1 ∈ a cho n+1 (Supp(Han+1 (M )))>s ⊆ (Supp(H(x (M )))>s , ,xn ,xn+1 ) vµ n+1 (Ass(Han+1 (M )))>s ⊆ (Ass(H(x (M )))>s , ,xn ,xn+1 ) Chøng minh Cho p ∈ Supp(Han+1 (M )) cho dim R/p > s Cho vµ qRp ∈ Supp(Mp ) \ {pRp } Khi ®ã dim R/q > s Theo x1 , , x n ∈ q gi¶ thiÕt ta cã thÕ M -d·y với chiều > s, nên theo Bổ đề 2.1.3, (i)(iii) x1 /1, , xn /1 lµ mét Mq -d·y nghÌo L­u ý r»ng Mq ∼ = (Mp )qRp , v× x1 , , x n lµ x1 /1, , xn /1 f -dÃy Mp phần tử a-lọc quy cđa theo Chó ý 1.5.9, (ii) Cho xn+1 ∈ a lµ M/(x1 , , xn )M Khi xn+1 ap phần tử ap -lọc quy cña Mp /(x1 , , xn )Mp x1 , , xn , xn+1 ∈ ap lµ ap -d·y läc chÝnh quy cđa Mp theo MƯnh ®Ị 3.1.3 Theo MƯnh ®Ị 3.2.1 ta cã n+1 Han+1 (Mp ) ∼ (Mp )) = Ha0p (H(x p , ,xn ,xn+1 )Rp V× p ∈ Supp(Han+1 (M )) nªn pRp ∈ Supp(Han+1 (Mp )) Điều kéo theo p n+1 n+1 pRp Supp(Ha0p (H(x (Mp ))) ⊆ Supp(H(x (Mp )) , ,xn ,xn+1 )Rp , ,xn ,xn+1 )Rp Do ®ã n+1 p ∈ Supp(H(x (M )) bao hµm thø nhÊt ®­ỵc chøng minh , ,xn ,xn+1 ) Chøng minh tương tự bao hàm thứ hai Soỏ hoựa Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 33 x1 , , xn ∈ a lµ mét M -d·y víi chiỊu > s th× ( i (Supp(H(x (M )))>s nÕu i < n, , ,xn ) i (Supp(Ha (M )))>s = n (Supp(Hai−n (H(x (M ))))>s nÕu i > n , ,xn ) Bæ ®Ị 3.2.3 NÕu vµ ( (Ass(Hai (M )))>s Chøng minh cho = i (Ass(H(x (M )))>s , ,xn ) nÕu i < n, n (Ass(Hai−n (H(x (M ))))>s , ,xn ) nÕu i > n Ta chứng minh đẳng thức Cho dim R/p > s Khi ®ã p ∈ (Supp(Hai (M )) a ⊆ p Theo chøng minh ë Bỉ ®Ị 3.2.2, x1 /1, , xn /1 ∈ aRp lµ aRp -d·y läc chÝnh quy cđa Mp V× thÕ ta cã ( i H(x1 , ,xn )Rp (M ) nÕu i < n, i ∼ HaRp (M ) = n Hai−n nÕu i > n Rp (H(x1 , ,xn )Rp (M )) Cho i > n Ta cã p ∈ Supp(Hai (M )) nÕu vµ chØ nÕu pRp Supp(HaiRp (Mp )) Do đó, theo đẳng cấu ta có p Supp(Hai (M )) chØ nÕu n p ∈ Supp(Hai−n (H(x (M ))) Tr­êng hợp i < n chứng minh hoàn toàn , ,xn ) tương tự Định lý 3.2.4 Cho iđêan iđêan R M cho môđun Cohen-Macaulay với chiều Haj (M ) 6= víi j > d − dim M/aM > s Cho a Khi tån t¹i b ⊇ a cho d − dim M/bM = j − vµ (Supp(Haj (M )))>s = (Supp(Hbj (M )))>s vµ (Ass(Haj (M )))>s = (Ass(Hbj (M )))>s Chứng minh Ta chứng minh đẳng thức Cho giả sử x1 , , xd−t cña cña d − t < j − M dim M/aM = t Ta Khi tồn phần hệ tham số a Cho p1 , , pn lµ iđêan nguyên tố liên kết M/(x1 , , xd−t )M cho a ⊆ p1 ∩ ∩ pr , vµ a * pr+1 ∪ ∪ pn Số hóa Trung taõm Hoùc lieọu HTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 34 Khi r < n, không dt < j −1 nªn √ a + :R M = d−t < j p (x1 , , xd−t ) + :R M theo MƯnh ®Ị 1.4.2, (ii) suy j Haj (M ) = H(x (M ) = mâu thuẫn với giả thiết , ,xd−t ) Cho A = {pi : i r, dim M/pi M = t} Sử dụng Định lý tránh nguyên Tn S tố, ta chọn y i=r+1 pi \ pi ∈A pi TiÕp theo xÐt dÃy Mayer-Vietoris [BS] môđun dt E = H(x (M ) iđêan a (y) thu dÃy khíp , ,xd−t ) j−d+t j−d+t Haj−d+t−1 (E) −→ H(j−d+t (E)⊕H(y) (E) −→ Haj−d+t ∩(y) a,y) (E) −→ Ha ∩(y) (E) p V× j − > d − t vµ a ∩ (y) ⊆ (x1 , , xd−t ) + :R M , ta l¹i cã j−d+t Haj−d+t−1 (E) = Haj−d+t (E) = 0, ta có đẳng cấu (y) (y) (E) = H(y) j−d+t Haj−d+t (E) ∼ = H(a,y) (E) TiÕp theo, x1 , , xdt mét phÇn hƯ tham sè cđa M a (cịng nh­ b = (a, y)), vµ M lµ Cohen-Macaulay víi chiỊu > s, theo Bỉ ®Ị 3.2.3 ta cã (Supp(Haj (M )))>s = (Supp(Hbj (M )))>s Theo c¸ch chän phần tử y, ta có y phần tử tham sè cđa M/aM Do ®ã dim M/bM = dim M/aM − 1, nghÜa lµ d − dim M/bM = d − dim M/aM + = d − t + Theo giả sử dt < j1 d − dim M/bM = j − suy d dim M/bM < j nên ta có Vì vậy, quy nạp ta có điều phải chứng minh Bổ ®Ị 3.2.5 chiỊu > s Gi¶ sư dim M > s Khi M Cohen-Macaulay víi depth(p, M, > s) = d − dim M/pM với p (Supp(M ))>s Chứng minh Cho p ∈ Supp(M ) cho dim M/pM = t > s Khi tồn phần hệ tham sè x1 , , xd−t Soá hóa Trung tâm Học liệu –ĐHTN cđa M chøa p Vì http://www.lrc.tnu.edu.vn/ M 35 Cohen-Macaulay với chiều Do đó, > s nên depth(p, M, > s) > d t có độ dài lớn x1 , , xdt M -dÃy Mặt khác, với chiều M -dÃy > s với chiều d t phần hệ tham sè cđa M >s nªn ta cã depth(p, M, > s) d − t Suy depth(p, M, > s) = d t Ngược lại, với p ∈ (Supp(M ))>s , tõ gi¶ thiÕt ta cã d − dim M/pM = depth(p, M, > s) depth Mp d − dim M/pM Suy depth Mp = d dim M/pM Theo Định lý 2.2.3, (iii) ⇒ (i), M nªn ta cã depth Mp + dim M/pM Cohen-Macaulay với chiều Theo Mệnh đề 2.1.4, ta có độ dài tất = d > s M -dÃy cực đại với chiều > s a số nguyên i nhỏ cho dim(Supp(Hai (M ))) > s Vì vậy, từ [BN, Định lý 1.1] ta cã hƯ qu¶ sau HƯ qu¶ 3.2.6 Cho M Cohen-Macaulay với chiều > Khi với tËp s vµ p ∈ (Supp(M ))>s i < d − dim M/pM , tËp (Supp(Hpi (M )))>s (Ass(Hpi (M )))>s hữu hạn với tập rỗng i d dim M/pM Mệnh đề sau mở rộng kết Hellus [H, Hệ 2] Mệnh đề 3.2.7 Cho M Cohen-Macaulay với chiều > s, a iđêan R j > Khi ®ã (Supp(Haj (M )))>s ∩ {q ∈ Spec(R) : d − dim M/qM = j}, lµ tËp hữu hạn Chứng minh Vì q Supp M/aM cho dim M/qM = dim M/aM iđêan nguyªn tè tèi thiĨu cđa tè a + :R M iđêan nguyên q Supp M/aM thỏa mÃn dim M/qM > dim M/aM nên ta cã thĨ gi¶ sư r»ng d − dim M/aM j Hơn nữa, theo Định lý 3.2.4 ta cã thĨ gi¶ sư tiÕp r»ng d − dim M/aM = j − Cho x1 , , xj−1 Số hóa Trung tâm Học liệu HTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ phần 36 hệ tham số cña cña M a Cho p1 , , pn iđêan nguyên tố liên kết M/(x1 , , xj1 )M đánh sè l¹i cho a ⊆ p1 ∩ ∩ pr vµ a * pr+1 ∪ pn Ta giả sử rs tập hữu hạn với j iđêan a R (ii) Hai điều kiện sau thỏa m·n (a) (Ass(H(x,y) (M )))>s (b) (Ass(H(x (M )))>s ,x2 ,x3 ) hữu hạn với x, y m; hữu hạn với Soỏ hóa Trung tâm Học liệu –ĐHTN x1 , x2 , x3 m http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 37 Định lý sau kết chương, cho ta kết hữu hạn tập iđêan nguyên tố liên kết môđun đối đồng điều địa phương Cohen-Macaulay với chiều Định lý 3.2.9 Giả sử (Ass(Hai (M )))>s M > s Cohen-Macaulay với chiều hữu hạn với > s Khi tập i với iđêan a R hai ®iỊu kiƯn sau tháa m·n: (i) (Ass(H(x,y) (M )))>s hữu hạn với phần tử tham số x M y R; (ii) (Ass(H(x,y,z) (M )))>s với hữu hạn với phÇn hƯ tham sè x, y cđa M z ∈ R Chứng minh Điều kiện cần định lý suy từ Mệnh đề 3.2.8 Ngược lại, giả sử (i) (ii) thỏa mÃn Theo Mệnh đề 3.2.8, ta chØ cÇn chøng minh r»ng tËp tËp (Ass(H(x,y) (M )))>s (Ass(H(x,y,z) (M )))>s x, y, z ∈ m Ta đặt hữu hạn với hữu hạn với x, y, z m x, y, z tập hữu hạn Vì vậy, cho dim M/aM > d − theo (Ass(H(x,y,z) (M )))>s lµ Khi đó, theo Định lý 3.2.4 Vì vậy, tồn x0 , y phần hệ tham số b Theo giả thiết M Cohen-Macaulay với chiỊu > s nªn x0 , y M M -dÃy với chiều > s b Vì theo Bổ đề 3.2.2, tồn z b (Ass(Hb3 (M )))>s ⊆ (Ass(H(x ,y ,z ) (M )))>s (Ass(H(x ,y ,z ) (M )))>s tập hữu hạn Theo giả thiết (ii), ta (Ass(Hb3 (M )))>s hạn Với lập luận tương tự, ta chứng minh với tập M b a cho (Ass(Hb3 (M )))>s = (Ass(Ha3 (M )))>s vµ dim M/bM = d − cã ThËt vËy, lÊy phần hệ tham số Mệnh đề 1.2.2 (i) Do đó, theo giả thiết (ii) ta có cho a = (x, y, z)R Khi dim M/aM > d − NÕu dim M/aM = d 3, tồn iđêan x, y m, (Ass(H(x,y) (M )))>s hữu hạn, định lý chứng minh Soỏ hoựa bụỷi Trung taõm Hoùc lieọu HTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ hữu x, y m 38 Kết luận Tóm lại, luận văn trình bày chứng minh chi tiết kết báo: Cohen-Macaulay Modules in Dimension Results on Local Cohomology > s and cđa Naser Zamani (2009) KÕt qu¶ luận văn trình bày lại nội dung sau: Nhắc lại số kiến thức sở có liên quan đến nội dung luận văn: Tập iđêan nguyên tố liên kết, hệ tham số, hàm tử mở rộng, môđun đối đồng điều địa phương Nhắc lại khái niệm dÃy quy, dÃy quy lọc, dÃy quy suy rộng tương ứng lớp môđun Môđun Cohen-Macaulay, f -môđun, f -môđun suy rộng số tính chất chúng Trình bày khái niệm dÃy quy với chiều >s số tính chất dÃy báo Brodmann-Nhàn Trình bày khái niệm môđun Cohen-Macaulay với chiều >s chứng minh lại chi tiết kết đặc trưng môđun Cohen-Macaulay với chiều > s qua đầy đủ m-adic, địa phương hóa tính catenary, tính đẳng chiều tới thành phần nguyên sơ cã chiỊu >s cđa tËp support cđa M Chøng minh số kết tính hữu hạn tập iđêan nguyên tố liên kết số môđun đối đồng điều địa phương môđun Cohen-Macaulay với chiều > s Các kết thuộc N Zamani [NZ] Số hóa Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 39 Tài liệu tham khảo [AS] Asadollahi, J Schenzel, P (2003) Some result on associated primes of local cohomology modules Japanese J Math 29:285-296 [BN] Brodmann, M., Nhan, L T (2006) A finiteness result for associated primes of certain Ext-moduls.Comm Alg 36:1527-1536 [BS] Brodmann, M., Sharp, R Y (1998) Local Cohomology: An Algebraic Introduction with Geometric Applications Cambridge University Press [BH] Bruns W , J Herzog (1998) Cohen-Macaulay Rings, revised ed., Cambridge University Press [CST] Cuong, N T., Schenzel, P., Trung, N V (1978) Verallgemeinerte Cohen-Macaulay moduln Math Nachr 85: 57-73 [H] Hellus, M (2001) On the set of associated primes of a cohomology modules J Algebra 237;406-419 [K] K S Khashyarmanrsh (2006) On the finiteness properties of n n i AssR ExtR (R/a , M ) Comm Algebra 34:779-784 [KS] Khashyarmanrsh, K., Salarian, Sh (1998) Filter regular sequences and the finiteness of local cohomology modules Comm Algebra 26:24832490 [LT] Lu, R., Tang, Z (2001) The f-depth of an ideal on a module Proc AMS 130(7):1905-1911 Số hóa Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 40 [Mat] Matsumura, H (1986) Commutative Ring Theory Cambridge University Press [NS] Nagel, U., Schenzel, P (1994) Cohomological annihilators and Castelnuovo-Mumford regularity In: Commutative Algebra: Syzygies, Multiplicities, and Birational Algebra Contemp Math 159:307-328 [N] Nhan, L T (2005) On generalized regular sequences and the finiteness for associated primes of local cohomology modules Communication in Algebra 793:81-94 [NM] Nhan L T and Marcel Morales (2006) Generalized f-modules and the associated prime of local cohomology modules, Communications in Algebra, 34, 863-878 [Sch] Schenzel, P (1982) Dualisierende Komplexe in der lokalen Algebra und Buchsbaum Ringe Lectura Notes in Mathematicas New York: Springer, p 907 [SV] Stuckrad, J., Vogel, W (1986) Buchsbaum Rings and Applications Berlin: WEB Deutsecher Verlag der Wissenschaften [Za] Zamani, N (2003) A note on the set of associated primes of local cohomology modules Comm Algebra 31:1203-1206 [NZ] Zamani N (2009) Cohen-Macaulay Modules in Dimension >s and Results on Local Cohomology, Communications in Algebra, 37, 1297- 1307 Số hóa Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/