ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM MƠĐUN COHEN – MACAULAY CHÍNH TẮC PHẠM ANH TUẤN LUẬN VĂN THẠC SĨ Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số THÁI NGUYÊN 2014 Môc lôc Lêi nãi ®Çu Vµnh môđun Cohen-Macaulay 1.1 Chiều Krull môđun hữu h¹n sinh 1.2 §a thøc Hilbert - Samuel 1.3 D·y quy độ sâu môđun hữu hạn sinh 11 1.4 Vành môđun Cohen-Macaulay 18 Môđun Cohen-Macaulay tắc 24 2.1 BiĨu diƠn thø cÊp 24 2.2 D·y läc chÝnh quy chỈt 29 2.3 Môđun Cohen-Macaulay tắc 32 KÕt luËn 41 Tài liệu tham khảo 42 PHẦN MỞ ĐẦU Trong suốt luận văn này, ln giả thiết R vành giao hốn Noether với iđêan tối đại m Cho M R-môđun hữu hạn sinh với chiều Krull dim M = d Chú ý độ sâu M không vượt q chiều nó, tức ta ln có depth M ≤ dim M Nếu depth M = dim M ta nói M mơđun CohenMacaulay Vành R gọi vành Cohen-Macaulay R-mơđun Cohen-Macaulay Lớp mơđun Cohen-Macaulay tắc mở rộng lớp môđun Cohen-Macaulay, giới thiệu P Schenzel báo đăng Tạp chí Đại số năm 2004 Giả sử R vành thương vành Gorenstein Ta nói M mơđun Cohen-Macaulay tắc mơđun tắc K(M) M Cohen-Macaulay Chú ý M Cohen-Macaulay M mơđun Cohen-Macaulay tắc, chiều ngược lại khơng Năm 2004, P Schenzel chứng minh R miền ngun R vành CohenMacaulay tắc R có Macaulay hóa song hữu tỷ, tức tồn vành trung gian S R trường thương Q(R) R cho S R-môđun hữu hạn sinh S vành Cohen-Macaulay Năm 2012, báo đăng Tạp chí Đại số, M Brodmann Lê Thanh Nhàn đưa số đặc trưng quan trọng lớp mơđun Cohen-Macaulay tắc Mục đích luận văn trình bày lại kết mơđun CohenMacaulay tắc báo M Brodmann Lê Thanh Nhàn Luận văn gồm chương Chương trình bày lại khái niệm kết quan trọng vành môđun Cohen-Macaulay Chương nội dung luận văn, trình bày kết mơ đun Cohen-Macaulay tắc LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình Cơ giáo tơi, PGS.TS Lê Thị Thanh Nhàn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn tới Cơ gia đình Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn tới Khoa Toán Khoa Sau đại học, trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên, nơi theo học chương trình thạc sĩ tốn học, chun ngành Đại số Lí thuyết số Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới Cơ giáo phụ trách Khoa Sau đại học, TS Ma Thị Ngọc Mai, Thầy giáo trợ lí Sau đại học Khoa Tốn, TS Trần Nguyên An, quan tâm lo lắng cho suốt thời gian học tập Trường Tôi xin cảm ơn Bố mẹ động viên tơi, để tơi có đủ nghị lực hồn thành chương trỡnh v lun thc s Chơng Vành môđun Cohen-Macaulay 1.1 Chiều Krull môđun hữu hạn sinh Trong suèt tiÕt nµy, cho R lµ mét vµnh giao hoán Noether (không thiết địa phơng) Cho M R-môđun hữu hạn sinh Trớc hết nhắc lại khái niệm chiều cho vành Noether 1.1.1 Định nghÜa Mét d·y p0 ⊂ p1 ⊂ pn iđêan nguyên tố R thỏa mÃn ®iỊu kiƯn pi = pi+1 víi mäi i ®−ỵc gäi d y iđêan nguyên tố độ dài n cđa R ChiỊu (Krull) cđa vµnh R, kÝ hiƯu lµ dim R, cận độ dài dÃy iđêan nguyên tố R Chẳng hạn, để tính chiều vành Z số nguyên, ta thấy dÃy {0} 2Z dÃy iđêan nguyên tố độ dài Chú ý I iđêan nguyên tố Z I = {0} I có dạng pZ với p số nguyên tố Do cận độ dài dÃy iđêan nguyên tố Z Vì thÕ dim Z = TiÕp theo, chóng ta nh¾c lại khái niệm chiều Krull cho môđun hữu hạn sinh Đặt AnnR M = {a R | aM = 0} Dễ thấy AnnR M iđêan R 1.1.2 Định nghĩa Chiều (Krull) M , kí hiệu dim M , đợc định nghĩa chiều vành thơng R/ AnnR M Chẳng hạn, xét R := Z vành số nguyên Xét M := Z/12Z Z-môđun hữu hạn sinh Ta cã AnnZ M = 12Z V× thÕ dim M chiều vành thơng Z/12Z Vành thơng có iđêan nguyên tố 3Z/12Z 2Z/12Z Do dim M = Tiếp theo, trình bày mét sè tÝnh chÊt c¬ së vỊ chiỊu Tõ sau, với iđêan I R ta kí hiệu Var(I) tập iđêan nguyên tố R chứa I Nhắc lại tập giá M, kí hiệu SuppR M , đợc cho công thức Supp M = {p ∈ Spec(R) | Mp = 0} Đối với R-mô đun L tùy ý (không thiết hữu hạn sinh) ta có SuppR L Var(AnnR L) Đặc biệt, từ giả thiết M hữu hạn sinh ta có thêm bao hàm thức ngợc lại, tức SuppR M = Var(AnnR M ) Vì ta có mối liên hệ chiều M chiều SuppR M 1.1.3 Bổ đề dim M cận độ dài d y nguyªn tè lång SuppR M Mét kết sở quan trọng chiều công thức tính chiều vành đa thức (xem [Mat, Định lí 15.4]) 1.1.4 Mệnh đề Kí hiệu R[x1, , xn ] vành đa thức n biến với hệ số R Khi dim R[x1 , , xn ] = n + dim R Một iđêan nguyên tố p R đợc gọi iđêan nguyên tố liên kết cđa M nÕu tån t¹i = x ∈ M cho p = AnnR x Tập iđêan nguyên tố liên kết M đợc kí hiệu AssR M Nh phần đà nhắc, M hữu hạn sinh nên SuppR M = Var(AnnR M ) Do SuppR M = Var(AnnR M), ®ã víi tập T Spec(R) ta kí hiệu min(T ) tập phần tử tối thiểu T theo quan hệ bao hàm Theo [Mat, Định lí 6.5(iii)] ta cã Ass M = Supp M V× ta tính chiều môđun hữu hạn sinh thông qua chiều iđêan nguyên tố liên kết 1.1.5 Bổ đề Tập iđêan nguyên tố liên kết tối thiểu M tập iđêan nguyên tố tối thiểu chứa AnnR M §Ỉc biƯt ta cã dim M = max{dim(R/p) | p ∈ AssR M } 1.1.6 VÝ dơ Cho K lµ mét tr−êng vµ R = K[x, y, z lµ vµnh đa thức biến với hệ số K Đặt M = R/(x2 , y)R ∩ (z )R Khi ®ã AssR M = {p1 , p2 }, ®ã p1 = (x, y)R vµ p2 = zR Ta cã dim(R/p1 ) = dim(R/p2 ) = Vì thÕ dim M = max{1, 2} = TiÕp theo, nhắc lại tính chất chiều vành chuỗi lũy thừa hình thức Đặt R[[x]] = i=0 aixi | R, i Mỗi phần tử R[[x]] đợc gọi chuỗi lũy thừa h×nh thøc cđa biÕn x víi hƯ sè ∞ R Định nghĩa phép cộng phép nhân i=0 xi ∞ j=0 bj xj = ∞ i x + i=0 ∞ i bi x = i=0 ∞ (ai + bi )xi i=0 ck xk , ck = k=0 bj Khi ®ã i+j=k R[[x]] vành giao hoán Noether Vành R[[x]] đợc gọi vành chuỗi lũy thừa hình thức biến x R Vành chuỗi lũy thừa hình thức n biÕn x1 , , xn víi hƯ số R, kí hiệu R[[x1 , , xn ]], đợc định nghĩa tơng tự Mệnh đề sau cho ta công thức tính chiều vành chuỗi lũy thừa hình thức (xem [Mat, Định lÝ 15.4]) 1.1.7 MƯnh ®Ị dim R[[x1 , , xn ]] = n + dim R 1.1.8 Ví dụ Để tính chiều vành R[[x, y, z, t]]/J víi J = (x, y ) ∩ (y, z , t5), ta đặt R = R[[x, y, z, t]] and M := R[[x, y, z, t]]/J Khi ®ã dim R = + dim R = Ta cã AssR M = {(x, y)R, (y, z, t)R} Suy dim(R/J) = max{dim R/(x, y), dim(R/(y, z, t)} = Nhắc lại vành giao hoán Noether đợc gọi vành địa phơng có iđêan tối đại Trong phần cuối tiết này, giả thiết (R, m) vành Noether địa phơng với iđêan tối đại m Bây nghiên cứu chiều môđun chuyển qua đầy đủ m-adic 1.1.9 Định nghĩa Một dÃy (xn ) R đợc gọi d y Cauchy theo tôpô m-adic với k N cho trớc, tồn số tự nhiên n0 cho xn − xm ∈ mk víi mäi n, m n0 DÃy (xn ) R đợc gọi d y không với k N cho tr−íc, tån t¹i sè n0 cho xn ∈ mk víi mäi n ≥ n0 Ta trang bÞ quan hệ tơng đơng tập dÃy Cauchy nh sau: Hai dÃy Cauchy (xn ), (yn ) đợc gọi tơng đơng dÃy (xn yn ) dÃy không Kí hiệu R tập lớp tơng đơng Chú ý r»ng quy t¾c céng (xn ) + (yn ) = (xn + yn ) quy tắc nhân (xn )(yn ) = (xn yn ) không phụ thuộc vào cách chọn đại diện lớp tơng đơng Vì phép toán R với hai phép toán này, R làm thành vành Noether địa phơng với iđean tối đại mR Vành R vừa xây dựng đợc gọi vành đầy đủ R theo tôpô m-adic Một dÃy (zn ) M đợc gọi d y Cauchy theo tôpô m-adic với k N cho tr−íc, tån t¹i n0 cho zn − zm ∈ mk M Từ khái niệm dÃy Cauchy nh trên, tơng tự ta định nghĩa đợc khái niệm môđun đầy đủ theo tôpô m-adic vành R Môđun đợc kí hiệu M Kết sau cho ta công thức tính chiều môđun chuyển qua đầy đủ m-adic (xem [Mat, Định lí 15.1(ii)]) 1.1.10 Bổ ®Ị dim M = dim(M) 1.1.11 VÝ dơ Cho K lµ mét tr−êng vµ S = K[x1, , xn ] vành đa thức n biến với hệ số K Đặt M = (x1, xn )S Khi M iđêan cực đại nhất S Xét vành địa phơng hãa R = SM Râ rµng R lµ vµnh địa phơng với iđêan tối đại m = (x1, xn )R Chóng ta cã thể kiểm tra đợc vành đầy đủ m-adic R chÝnh lµ K[[x1 , , xn ]] Do ®ã ta cã dim SM = dim K[[x1, , xn ]] = n 1.2 §a thøc Hilbert - Samuel Trong suốt tiết này, giả thiết (R, m) vành Noether địa phơng với iđêan tối đại m Cho M R-môđun hữu hạn sinh víi dim M = d vµ I lµ mét iđêan R Ta gọi I iđêan nguyên sơ I = R từ điều kiện xy I kéo theo x I tồn số n > cho y n ∈ I víi x, y ∈ R Chó ý r»ng nÕu I lµ iđêan nguyên sơ tập hợp Rad(I) := {x R | n N để xn I} iđêan nguyên tố p R ta gọi I iđêan p-nguyên sơ Chú ý I nguyên sơ Rad(I) iđêan nguyên tố, nhng chiều ngợc lại không Tuy nhiên, Rad(I) iđêan cực đại I iđêan nguyên sơ Một dÃy môđun lồng = M0 ⊂ M2 ⊂ ⊂ Mn = M , Mi = Mi+1 với i, đợc gọi dÃy môđun độ dài n Độ dµi cđa M, kÝ hiƯu lµ ℓR (M ), lµ cận độ dài dÃy môđun cđa M Chó ý r»ng ℓR (M ) < tồn dÃy môđun bÃo hòa M , tức dÃy môđun = M0 M2 ⊂ Mn = M cđa M cho kh«ng thể chèn thêm môđun tất mắt dÃy Trong trờng hợp này, dÃy môđun M mở rộng thành dÃy môđun bÃo hòa dÃy môđun bÃo hòa M có chung độ dài Chúng ta kiểm tra điều kiện tơng đơng sau cho môđun có độ dài hữu hạn 1.2.1 Bổ đề Giả sử M = Các phát biểu sau tơng đơng (i) M có độ dài hữu hạn; (ii) AnnR M iđêan m-nguyên sơ; (iii) dim M = Định lí sau cho ta bất biến tơng đơng với chiều 1.2.2 Định lý ([Mat, Định lí 13.4]) Cho q iđêan m-nguyên sơ Khi đó, (M/qn M ) đa thức với hệ số hữu tỷ n đủ lớn dim M = deg (M/qn M ) = inf t | ∃x1 , , xt ∈ m, ℓ(M/(x1, , xt )M ) < ∞ §a thøc ℓ(M/qn M ) định lí đợc gọi đa thức Hilbert Samuel M ứng với iđêan m-nguyên sơ q Vì R vành Noether nên m hữu hạn sinh Do tồn hữu hạn phần tử x1, , xt ∈ m cho m = (x1, , xt )R Chó ý r»ng ℓ(M/mM ) < ∞ Do ®ã ℓ(M/(x1, , xt )M ) < ∞ V× thÕ, theo Định lí 1.2.2 ta có hệ sau 1.2.3 Hệ qu¶ dim M < ∞ Gi¶ sư x ∈ m Đặt M1 = M/xM dim M1 = k Theo Định lí trên, tồn x1 , , xk ∈ m cho ℓ(M1/(x1 , , xk )M1 ) < ∞ Do ®ã ℓ(M/(x, x1, , xk )M) < ∞ Theo §Þnh lÝ 1.2.2 ta cã d d−1 k + Do k Vì dim(M/xM) d víi mäi x ∈ m B»ng quy n¹p theo sè phần tử dÃy sử dụng Định lí 1.2.2 ta đợc kết sau 1.2.4 HƯ qu¶ NÕu x1, , xr ∈ m th× ta cã dim(M/(x1, , xr )M ) ≥ d − r 28 2.1.7 MÖnh ®Ị Gi¶ sư → A′ → A → A′′ d y khớp R-môđun Artin Khi ®ã ta cã AttR A′′ ⊆ AttR A ⊆ AttR A′ ∪ AttR A′′ Chøng minh Ta cã thể giả thiết A môđun A A′′ = A/A′ Cho p ∈ AttR A′′ Khi tồn môđun thơng Q A cho AnnR Q = p Vì Q thơng cđa A nªn p ∈ AttR A VËy AttR A′′ ⊆ AttR A Cho p ∈ AttR A Khi ®ã có môđun thơng A/P A p-thứ cấp Xét Q = P + A′ NÕu A = Q th× A/P = (P + A′ )/P ∼ = A′ /(P A ) Vì A/P p-thứ cấp nên p AttR (A/P ), theo đẳng cấu ta có p AttR A Giả sử A = Q Khi A/Q = thơng A/P Vì A/P pthứ cấp nên A/Q p-thứ cấp Vì p AttR (A/Q) Lại A/Q thơng A = A/A nên p ∈ AttR A′′ Cho u ∈ A vµ cho x = (xn ) ∈ R, ®ã xn ∈ R Khi Ru vừa Artin, vừa hữu hạn sinh Vì Ru có độ dài hữu hạn Do tồn số tự nhiên k cho mk u = Vì (xn ) R nên tồn số tự nhiên n0 cho xn xm ∈ mk víi mäi m, n ≥ n0 Do ®ã ta cã (xn − xm )u = víi mäi m, n ≥ n0 Suy xn u không đổi n n0 Do ta định nghĩa xu = xn u với n n0 Dễ kiểm tra đợc tích vô thơng A Do A có cấu trúc R-môđun Víi cÊu tróc nµy, mét tËp cđa A lµ R-môđun A R-môđun A Vì dàn môđun A xét nh R-môđun dàn môđun A xét nh R-môđun Do A R-môđun Artin 2.1.8 Mệnh đề AttR A = {p ∩ R | p ∈ AttR A} Chøng minh Gi¶ sö A = (A11 + + Ait1 ) + + (An1 + + Antn ) lµ mét biĨu diƠn thø cÊp tối thiểu A xét nh R-môđun, Aij lµ 29 pij -thø cÊp vµ pi1 ∩ R = = piti ∩ R = pi víi mäi i = 1, , n vµ pi đôi phân biệt Khi AttR A = {pij | i = 1, , n, j = 1, , ti } Đặt Ai = Ai1 + + Aiti víi i = 1, , n Khi ®ã A = A1 + + An lµ mét biĨu diƠn thø cÊp tèi thiĨu cđa A xét nh R-môđun, Ai pi -thứ cÊp V× vËy AttR A = {p1 , , pn } = {p ∩ R | p ∈ AttR A} 2.2 D·y läc chÝnh quy chỈt Trong suốt tiết này, giả thiết (R, m) vành Noether địa phơng M R-môđun hữu hạn sinh víi dim M = d Kh¸i niƯm d·y läc chÝnh quy chặt đợc giới thiệu N T Cờng, M Morales L T Nhàn [CMN] để nghiên cứu tính hữu hạn tập iđêan nguyên tố gắn kết môđun đối đồng điều địa phơng Artin, nh nghiên cứu tính chất đa thức hàm độ dài thơng suy rộng Khái niệm mở rộng kh¸i niƯm d·y läc chÝnh quy (f-d·y) giíi thiƯu bëi N T C−êng, P Schenzel vµ N V Trung [CST] Trớc hết, nhắc lại số kiến thức chuẩn bị f-dÃy 2.2.1 Định nghĩa Phần tử x m đợc gọi phần tử M-lọc quy nÕu x ∈ / p víi mäi p ∈ AssR M \ {m} D·y (x1, , xn ) phần tử m đợc gọi d y läc chÝnh quy cña M hay f-d y nÕu xi+1 lµ f-läc chÝnh quy cđa M/(x1, , xi )M víi mäi i = 1, , n Cho x ∈ m NÕu x lµ M -chÝnh quy th× x ∈ / p víi mäi p AssR M Vì x M -lọc quy Do M -dÃy f-dÃy M Dới số tính chất đặc trng phần tử lọc quy 2.2.2 Bổ đề Cho x m Khi x M -lọc quy nÕu vµ chØ nÕu ℓR (0 :M x) < ∞, nÕu vµ chØ nÕu (0 :M x) ⊆ (0 :M mt ) t 30 Chøng minh Gi¶ sư (0 :M x) ⊆ t (0 :M mt ) Vì M môđun Noether nên dÃy tăng (0 :M m0 ) ⊆ (0 :M m ) ⊆ phải dừng, tức tồn k cho (0 :M x) ⊆ t (0 :M mt ) = (0 :M mk ) V× thÕ ℓR (0 :M x) < ∞ Gi¶ sư ℓR (0 :M x) < ∞ Khi ®ã dim(0 :M x) NÕu x ∈ p víi p ∈ AssR M \ {m} th× p = AnnR m víi = m ∈ M Suy dim(Rm) = dim R/ AnnR (Rm) = dim(R/p) > Vì m (0 :M x) nên dim(0 :M x) dim(Rm) > 0, điều vô lÝ Gi¶ sư x ∈ / p víi mäi p ∈ AssR M \ {m} Râ rµng t (0 :M mt ) môđun lớn M có độ dài hữu hạn Vì ta cần chøng minh ℓ(0 :M x) < ∞ Gi¶ sư ℓ(0 :M x) = ∞ Khi ®ã dim(0 :M x) > Do tồn p AssR (0 :M x) cho p = m L¹i p ∈ AssR (0 :M x) nªn p ⊇ AnnR (0 :M x) ⊇ xR V× thÕ x ∈ p víi p AssR M p = m Điều vô lí 2.2.3 Bổ đề Cho n d (x1 , , xn ) lµ mét f-d y cđa M Khi ®ã dim(M/(x1, , x) M) = d n Đặc biệt, f-d y độ dài không d phần hƯ tham sè cđa M Chøng minh Ta chøng minh b»ng quy n¹p theo n d Cho n = Khi d > Vì x1 / p víi mäi p ∈ AssR M \ {m} nªn dim(M/x1M ) = d − Cho n > Vì n d nên ta có d n + > Theo giả thiết quy nạp, dim(M/(x1, , xn−1 )M ) = d − n + Do xn lµ läc chÝnh quy cđa M/(x1, , xn−1 )M nªn dim(M/(x1 , , xn )M ) = dim(M/(x1, , xn−1)M ) − 1, tøc lµ dim(M/(x1, , xn )M ) = d − n Bây giới thiệu khái niệm f-dÃy chặt theo thuật ngữ Nguyễn Tự Cờng, Marcel Morales Lê Thanh Nhàn [CMN] Chú ý với số nguyên i 0, môđun đối đồng điều địa phơng Hmi (M ) R-môđun Artin (xem [BS]) Vì tập iđêan nguyên tố gắn kết chúng tồn 31 2.2.4 Định nghĩa Một dÃy (x1, , xk ) phần tử m đợc gọi d y lọc quy chỈt (f-d y chỈt) cđa M nÕu xj+1 ∈ / p víi mäi d−j p∈ i=1 AttR (Hmi (M/(x1 , , xj )M )) \ {m} vµ mäi j = 0, , k − d Chó ý r»ng AssR M ⊆ AttR (Hmi (M) (xem [BS, 11.3.9]) V× thÕ i=0 nÕu x ∈ m phần tử f-chính quy chặt M lọc quy Do ta có mối quan hƯ sau 2.2.5 Bỉ ®Ị NÕu x ∈ m lọc quy chặt M x lọc quy Đặc biệt, f-d y chặt M f-d y Hơn nữa, f-d y chặt gồm d phần tử hệ tham số M Điều ngợc lại Bổ đề 2.2.5 không 2.2.6 Ví dụ Cho R = K[[x, y, z, t]] vành chuỗi lũy thừa hình thøc biÕn víi hƯ sè trªn mét tr−êng K Chọn M = (x, y, z)R Khi R vành Noether địa phơng với iđêan tối đại m = (x, y, z, t)R M R-môđun hữu hạn sinh với dim M = Vì AssR M Ass R = {0} nên x phần tử M -chính quy, x phần tử läc chÝnh quy cña M Ta cã Hmi (R) = víi mäi i < vµ Hmi (R/M ) = víi mäi i = Do ®ã từ dÃy khớp dài đối đồng điều cảm sinh d·y khíp ng¾n → M → R → R/M → ta cã Hmi (M) = víi i = 0, vµ Hm2 (M) ∼ = Hm1 (R/M ), vµ Hmi (M) ∼ = Hmi (R) víi i = 3, Do AssR (R/M) = {(x, y, z)R} nªn AttR Hm2 (M ) = AttR (Hm1 (R/M )) = {(x, y, z)R} (xem [BS, 11.3.9]) Do x ∈ (x, y, z)R (x, y, z)R = m nên x không phần tử lọc quy chặt M Kết sau f-dÃy chặt với độ dài tùy ý tồn 32 2.2.7 Bổ đề Với k N, tồn f-d y chặt gồm k phần tử Chứng minh Ta chøng minh b»ng quy n¹p theo k Cho k = Đặt C1 = d i i=1 AttR (Hm (M )) Theo Định lí tránh nguyên tố, tồn x1 ∈ m cho x1 ∈ / p, ∀p C1 \ {m} Suy x1 phần tư läc chÝnh quy chỈt cđa M Cho k > giả thiết (x1 , , xk1) f-dÃy chặt M Theo Định lí tránh nguyên tố, tồn xk m cho xk ∈ / p, víi mäi p ∈ Ck \ {m}, ®ã Ck = d i i=1 Att(Hm (M/(x1 , , xk )M )) Khi ®ã (x1 , , xk ) lµ f-dÃy chặt M 2.3 Môđun Cohen-Macaulay tắc Trong tiết này, giả thiết (R, m) vành giao hoán Noether địa phơng M R-môđun hữu hạn sinh với dim M = d Để giới thiệu khái niệm môđun Cohen-Macaulay tắc định nghĩa Peter Schenzel [Sc], cần nhắc lại khái niệm vành Gorenstein 2.3.1 Định nghĩa ([Mat, Trang 142]) Vành R đợc gọi có chiều nội xạ hữu hạn tồn giải nội xạ R có hữu hạn môđun nội xạ khác Vành R đợc gọi vành Gorenstein R có chiều nội xạ hữu hạn Chú ý R vành Gorenstein R vành Cohen-Macaulay (xem [Mat, Định lí 18.1]) Bây giới thiệu khái niệm môđun Cohen-Macaulay tắc Nhắc lại với M, N hai Rmôđun i N, ta định nghĩa ExtiR (M, N) môđun dẫn suất phải thứ i hàm tử hiệp biến khớp trái HomR (M; ) ứng với môđun N Chú ý ExtiR (M, N) môđun dẫn suất phải thứ i hàm tử phản biến khớp trái HomR (; N) ứng với môđun M Từ đến hết chơng này, giả thiết (R, m) vành thơng vành Gorenstein địa phơng (R , m ) chiều n Với i N, đặt 33 i K i(M ) = Extn−i R′ (M, R ) Chó ý K (M ) R-môđun hữu hạn sinh 2.3.2 Định nghĩa (Xem [Sc]) Với i < d, ta gọi K i (M ) môđun khuyết thiếu thứ i M Môđun K d (M) đợc gọi môđun tắc M đợc kí hiệu K(M ) Ta gọi M môđun Cohen-Macaulay tắc K(M ) Cohen Macaulay Một R-môđun E(M ) đợc gọi bao nội xạ M E(M ) môđun nội xạ chứa M ta có F M = với môđun F = cđa E(M) Chó ý r»ng bao néi xạ R-môđun tồn (sai khác đẳng cấu) Kí hiệu D() = HomR (; E(R/m)) hàm tử đối ngẫu Matlis, E(R/m) bao nội xạ R/m Khi Đối ngẫu địa phơng cho ta đẳng cấu sau (xem [BS]) Hmi (M ) ∼ = D(K i (M )), i = 1, , d 2.3.3 Chó ý Theo [Sh, Theorem 2.3] ta cã AssR K i (M ) = AttR Hmi (M) víi mäi i V× thÕ x phần tử f-chính quy chặt M phần tử lọc quy mô đun K i (M ), nghÜa lµ ℓ(0 :K i (M ) x) < ∞ với i Đặc biệt, d > x phần tử f-chính quy chặt M x K(M )-chính quy Sau ví dụ môđun Cohen-Macaulay tắc 2.3.4 Bổ đề Nếu d M môđun Cohen-Macaulay tắc Chứng minh Nếu d = M có độ dài hữu hạn, K(M ) = Hm0 (M) = M môđun Cohen-Macaulay Nếu d = th× AssR K(M ) = AttR Hm1 (M ) = {p ∈ AssR M | dim(R/p) = 1} Do ®ã tån t¹i x ∈ m cho x ∈ / p víi mäi p ∈ AssR K(M ) Suy depth K(M ) ≥ V× thÕ K(M ) Cohen-Macaulay 2.3.5 Bổ đề Cho x m i N Nếu x phần tử f-chính quy chặt M với i 1, tồn t¹i d y khíp → K i+1 (M )/xK i+1 (M ) → K i(M/xM ) → (0 :K i(M ) x) → 34 Chøng minh Do x M -chính quy chặt nên R (0 :M x) < Do từ dÃy khớp → (0 :M x) → M → M/(0 :M x) → vµ → M/(0 :M x x) → M → M/xM → ta cã d·y khíp sau ®©y víi mäi i ≥ → Hmi (M)/xHmi (M ) → Hmi (M/xM ) → (0 :Hmi+1 (M ) x) → Do HomR K i+1 (M )/xH i+1 (M ); E(R/m)) ∼ = (0 :Hmi+1 (M ) x) víi chó ý r»ng HomR ((0 :K i(M ) x); E(R/m)) ∼ = Hmi (M )/xHmi (M ) nªn từ tính khớp hàm tử phản biến HomR (; E(R/m)) dÃy khớp ta có kết 2.3.6 Bổ đề Cho x m i N0 (i) Nếu x phần tử lọc quy chặt M K i (M/xM ) = vµ chØ K i+1 (M ) = vµ x lµ K i (M )-chÝnh quy (ii) Nếu x lọc quy chặt M cho depth(M/xM) > x M -chính quy (iii) Nếu x lọc quy chặt M cho depth(K i (M/xM )) > th× depth(K i+1(M )) > (iv) NÕu x lµ läc chÝnh quy chỈt cđa M cho dim K i+1 (M ) > hc dim K i (M/xM ) > th× dim K i (M/xM ) = dim K i+1 (M ) − Chøng minh (i) Chó ý N = R-môđun hữu hạn sinh N = mN (xem Bổ đề Nakayama) Vì phát biểu (a) suy từ Bổ đề 2.3.5 Bổ đề Nakayama (ii) Vì x lọc quy chặt M nên ta có xM Hm0 (M ) = x(Hm0 (M ) :M x) = xHm0 (M) Vì theo Bổ đề Nakayama ta suy r»ng nÕu Hm0 (M ) ⊆ xM th× Hm0 (M) = Do ®ã depth(M/xM ) > kÐo theo Hm0 (M ) ⊆ xM V× thÕ ta cã kết 35 (iii): Theo Bổ đề 2.3.5 ta cã depth K i+1 (M )/xK i+1 (M ) > Vì x phần tử lọc quy K i+1 (M ) nên từ khẳng định (ii) ta suy kết (iv): Khẳng định (iv) suy tõ Bỉ ®Ị 2.3.5 víi chó ý r»ng (0 :K i(M ) x) có độ dài hữu hạn Chúng ta đa ví dụ mô đun Cohen-Macaulay tắc 2.3.7 Bổ đề Nếu d = M môđun Cohen-Macaulay tắc Chứng minh Lấy x m phần tử lọc quy chặt M Vì d = nên dim(M/xM) = Theo Bỉ ®Ị 2.3.4 ta suy M/xM CoenMacaulay tắc, tức depth(K(M/xM)) = depth(K (M/xM)) = Vì theo Bổ đề 2.3.6(iii) ta suy depth(K (M )) = depth(K(M )) ≥ Do dim K(M) = nên K(M ) Cohen-Macaulay TiÕp theo, chóng ta ®−a mèi quan hƯ môđun Cohen-Macaulay môđun Cohen-Macaulay tắc 2.3.8 Bổ đề Nếu M môđun Cohen-Macaulay M môđun CohenMacaulay chÝnh t¾c Chøng minh Chóng ta chøng minh b»ng quy nạp theo d Với d M Cohen-Macaulay tắc theo Bổ đề 2.3.4 Bổ đề 2.3.7 Cho d > LÊy x ∈ m lµ phần tử lọc quy chặt M Khi x K(M )-lọc quy Chú ý r»ng d > vµ AssR K(M ) = AttR Hmd (M ) = {p ∈ AssR M | dim(R/p) = d} (xem [BS]) Do x K(M )-chính quy Theo Bỉ ®Ị 2.3.5 ta cã d·y khíp → K(M )/xK(M ) → K(M/xM ) → (0 :K d−1 (M ) x) → Do M lµ Cohen-Macaulay nên K d1(M) = Do K(M )/xK(M ) = 36 K(M/xM ) Vì x phần tử lọc quy chặt nên phần tử lọc quy M Lại M Cohen-Macaulay chiều d > nªn m ∈ / AssR M Vì x phần tử M -chính quy Suy M/xM Cohen-Macaulay Theo giả thiết quy nạp, M/xM Cohen-Macaulay tắc, tức K(M/xM ) Cohen-Macaulay chiều d Do K(M )/xK(M ) Cohen-Macaulay chiều d Vì x K(M )-chính quy nên K(M) Cohen-Macaulay chiều d Chiều ngợc lại Bổ đề 2.3.8 không Dới ví dụ 2.3.9 Ví dụ Tồn môđun Cohen-Macaulay tắc nhng không Cohen-Macaulay Chứng minh Chọn R = K[[x, y, z, t]], K tr−êng Chän M = R ⊕ R/(x, y)R Khi ®ã R vành Noether địa phơng chiều M R-môđun hữu hạn sinh chiều d = Ta cã AssR M = {p1 , p2 }, p1 = (0) p2 = (x, y)R Ta cã dim(R/p1 ) = vµ dim(R/p2 ) = Do M môđun trộn lẫn Vì M kh«ng CohenMacaulay Ta cã H (M ) ∼ = H (R) Do ®ã K(M ) ∼ = K(R) Do R m m R-môđun Cohen-Macaulay chiều nên K(R) Cohen-Macaulay chiều Vì K(M ) lµ Cohen-Macaulay chiỊu 4, tøc lµ M lµ Cohen-Macaulay chÝnh tắc Định lí sau kết luận văn, cho ta đặc trng môđun Cohen-Macaulay tắc chuyển qua thơng phần tử f-chính quy chặt 2.3.10 Định lý Giả sử dim M = d x m phần tử lọc quy chặt M Khi M Cohen-Macaulay tắc M/xM Cohen-Macaulay tắc 37 Chứng minh Giả sử M Cohen-Macaulay tắc Khi K(M ) Cohen-Macaulay Lấy x m phần tử lọc quy chặt M Khi x K(M )-lọc quy Vì d AssR K(M ) = AttR Hmd (M ) = {p ∈ AssR M | dim(R/p) = d} nên x K(M )-chính quy Do K(M )/xK(M ) Cohen-Macaulay chiều d − Theo Bỉ ®Ị 2.3.5 ta cã d·y khíp → K(M)/xK(M) → K(M/xM ) → (0 :K d−1 (M ) x) Vì d nên theo Bổ đề 2.3.4 Bổ đề 2.3.7 ta suy depth K(M/xM) Lấy dÃy khớp dài đối đồng điều cảm sinh từ dÃy khớp với ý ℓR (0 :K d−1 (M ) x) < ∞ ta cã (0 :K d−1 (M ) x) = Hm0 (0 :K d1 (M ) x) = thÕ K(M )/xK(M ) ∼ = K(M/xM ) Suy K(M/xM) lµ CohenMacaulay chiỊu d − 1, tøc lµ M/xM Cohen-Macaulay tắc Ngợc lại, giả sử M/xM Cohen-Macaulay tắc Vì phần tử lọc quy chặt cđa M nªn ta cã dim(M/xM ) = d−1 LÊy y m phần tử lọc quy chặt M/xM Vì M/xM Cohen-Macaulay tắc nên môđun K d1(M/xM ) = K(M/xM ) Cohen-Macaulay chiều d1 Vì y phần tử lọc quy chặt M/xM nên y phần tử K(M/xM )-chính quy Do K d1 (M/xM )/yKd1 (M/xM ) CohenMacaulay chiÒu d − ≥ Do dim(M/xM y(M/xM )) = d − ≥ nªn ta cã depth(K d2 (M/xM ) y(M/xM ))) độ sâu môđun K(M/xM )/y(M/xM )) lớn Do đó, từ dÃy khớp Bổ đề 2.3.5 (thay cho môđun M, phần tử lọc quy chặt x cấp i) ta áp dụng cho môđun M/xM , cho phần tử lọc quy chặt y với cấp i = d tơng ứng, ta suy môđun (0 :K d2 (M/xM ) y) có độ sâu dơng Vì y lọc quy chặt nên phần tử lọc 38 quy cđa K d−2(M/xM ), ®ã (0 :K d2 (M/xM ) y) có độ dài hữu hạn, khác độ sâu phải Điều chứng tỏ (0 :K d2 (M/xM ) y) = V× thÕ ta suy y phần tử K d2 (M/xM )-chính quy Vì vậy, K d2 (M/xM ) có độ sâu dơng Tiếp theo, chứng minh x phần tử K d−1(M )-chÝnh quy NÕu K d−2 (M/xM ) = theo Bổ đề 2.3.6(i) ta có kết Do ta giả thiết K d2 (M/xM) = Vì K d2 (M/xM ) có độ sâu dơng nh đà chứng minh phần nên từ dÃy khớp Bổ đề 2.3.5 áp dụng cho cấp i = d −2, ta suy K d−1(M)/xK d−1 (M ) có độ sâu dơng Tiếp tục áp dụng tính chÊt (ii) Bỉ ®Ị 2.3.6 víi chó ý thay M b»ng K d−1 (M) ta suy x lµ phÇn tư K d−1 (M )-chÝnh quy Ci cïng, nÕu áp dụng dÃy khớp Bổ đề 2.3.5 với cấp i = d ta có đẳng cÊu K(M1) ∼ = K(M )/xK(M ) V× K(M/xM ) Cohen-Macaulay x phần tử K(M)-chính quy nên ta suy K(M ) lµ Cohen-Macaulay, tøc lµ M Cohen-Macaulay tắc Sau số hệ tính Cohen-Macaulay tắc 2.3.11 Hệ Cho d ≥ vµ x1, , xd−3 d y lọc quy chặt M Khi M Cohen-Macaulay tắc chØ nÕu depth K (M/ d−3 i=1 xi M) > Chøng minh Ta chøng minh b»ng quy n¹p theo d Cho d = vµ lÊy x lµ phần tử lọc quy chặt M Nếu áp dụng dÃy khớp Bổ đề 2.3.5 øng víi cÊp i = th× ta cã d·y khíp → K(M )/xK(M ) → K(M/xM) → (0 :K (M ) x) → Chó ý M/xM có chiều 2, K(M/xM ) Cohen-Macaulay chiều Vì vậy, (0 :K (M ) x) có độ dài hữu hạn Do từ d·y khíp trªn ta suy depth(K(M )/xK(M )) = nÕu vµ chØ nÕu (0 :K (M ) x) = 0, depth(K(M )/xK(M )) = nÕu vµ chØ nÕu depth(K (M )) > Vì x phần tử K(M )-chính quy K(M ) có chiều nên K(M ) Cohen- 39 Macaulay nÕu vµ chØ nÕu depth(K (M)) > Do kết với d = Cho d > Theo Định lí 2.3.10 ta suy M Cohen-Macaulay tắc M1 := M/x1 M Cohen-Macaulay tắc Chú ý r»ng x2, , xd−3 lµ mét d·y lọc quy chặt M1 Vì thế, theo giả thiết quy nạp ta suy M1 Cohen-Macaulay tắc môđun K (M1 / d−3 i=2 xi M1 ) = K (M/ d3 i=1 xi M ) có độ sâu dơng Kết hợp tất điều ta suy kết Cuối cùng, đặc trng tính Cohen-Macaulay tắc cho môđun Cohen-Macaulay suy rộng Theo Nguyễn Tự Cờng, Ngô Việt Trung Peter Schenzel [CST], ta nói R-môđun hữu hạn sinh M Cohen-Macaulay suy rộng Hmi (M ) có độ dài hữu hạn với i < d = dim M 2.3.12 Định lý Cho d M Cohen-Macaulay suy rộng Khi M Cohen-Macaulay tắc Hmi (M ) = víi mäi i = 2, , d − Chøng minh Gi¶ sư M Cohen-Macaulay tắc Ta chứng minh quy n¹p theo d r»ng Hmi (M ) = víi mäi i = 2, , d − Cho d = Vì M Cohen-Macaulay tắc nên theo Hệ 2.3.11 ta suy depth(K (M )) > Vì M Cohen-Macaulay suy réng chiỊu nªn ta cã ℓ(K (M )) = ℓ(Hm2 (M)) < ∞ Do ®ã K 2(M ) = Hm2 (M) = Cho d > Lấy x m phần tử lọc quy chặt M Đặt M1 = M/xM Vì M Cohen-Macaulay tắc nên theo Định lí 2.3.10 ta suy M1 Cohen-Macaulay tắc Do M1 lµ CohenMacaulay suy réng vµ dim M1 = d nên theo giả thiết quy nạp ta cã K i(M1 ) = víi mäi i = 2, , d − Theo Bæ ®Ò 2.3.5(i) ta suy K i(M ) = víi mäi i = 3, , d x phần tử K (M )-chính quy 40 Vì M Cohen-Macaulay suy rộng nên môđun K 2(M ) có độ dài hữu hạn K (M) = Ngợc lại, giư sư Hmi (M ) = víi mäi i = 2, , d − Ta chứng minh M Cohen-Macaulay tắc quy nạp theo d Tr−êng hỵp d = suy tõ HƯ qu¶ Corollary 2.3.11 Cho d > 3, lÊy x m phần tử lọc quy chặt M Đặt M1 = M/xM Vì K i(M ) = víi mäi i = 2, , d−1 nªn tõ d·y khíp Bỉ ®Ò 2.3.5 ta suy K i(M1 ) = víi mäi i = 2, , d Vì M1 Cohen-Macaulay suy rộng nên theo giả thiết quy nạp ta suy M1 Cohen-Macaulay tắc Do theo Định lí 2.3.10 ta suy M Cohen-Macaulay tắc 41 Kết luận Mục đích luận văn trình bày số kết môđun CohenMacaulay tắc báo: M Brodmann and L T Nhan, On canonical Cohen-Macaulay modules, J Algebra, 371 (2012), 480-491 §Ĩ thn tiƯn cho viƯc theo dõi luận văn, đa phần chuẩn bị chi tiết vành môđun Cohen-Macaulay Kiến thức chuẩn bị luận văn đợc tham khảo chđ u tõ hai cn s¸ch: H Matsumura, “Commutative ring theory”, Cambridge University Press, 1986 vµ M Brodmann and R Y Sharp, “Local cohomology: an algebraic introduction with geometric applications”, Cambridge University Press, 1998 Luận văn đà thu đợc số kết sau đây: Hệ thống lại khái niệm tính chất chiều đa thức HilbertSamuel môđun hữu hạn sinh vành Noether địa phơng Trình bày khái niệm số tính chất dÃy quy độ sâu môđun hữu hạn sinh Trình bày khái niệm vành môđun Cohen-Macaulay chứng minh chi tiết đặc trng tính Cohen-Macaulay thông qua đầy đủ, chia cho dÃy quy, chuyển qua địa phơng hóa, đặc trng qua tính triệt tiêu môđun đối đồng điều địa phơng liên hệ với tính không trộn lẫn, tính catenary catenary phổ dụng Hệ thống lại kết biểu diễn thứ cấp cho môđun Artin, từ đa định nghĩa tính chất dÃy lọc quy chặt Định nghĩa môđun Cohen-Macaulay tắc, đặc trng môđun Cohen-Macaulay tắc chuyển qua thơng ứng với phần tử lọc quy chặt (Định lí 2.3.10), đặc trng tính Cohen-Macaulay tắc môđun Cohen-Macaulay suy rộng (Định lí 2.3.12) Tài liệu tham khảo [BN] M Brodmann and L T Nhan, On canonical Cohen-Macaulay modules, J Algebra, 371 (2012), 480-491 [BS] M Brodmann and R Y Sharp, “Local cohomology: an algebraic introduction with geometric applications”, Cambridge University Press, 1998 [CST] N T Cuong, P Schenzel and N V Trung, Verallgemeinerte CohenMacaulay Moduln, Math Nachr, 85, (1978), 57-73 [CMN] N T Cuong, M Morales and L T Nhan, The finiteness of certain sets of attached prime ideals and the length of generalized fractions, J Pure Appl Algebra, (1-3) 189, (2004), 109-121 [Mac] I G Macdonald, Secondary representation of modules over a commutative ring, Symposia Mathematica, 11 (1973), 23-43 [Mat] H Matsumura, “Commutative ring theory”, Cambridge University Press, 1986 [Sc] P Schenzel, On birational Macaulayfications and Cohen-Macaulay canonical modules, J Algebra, 275 (2004), 751-770 [Sh] R Y Sharp, Some results on the vanishing of local cohomology modules, Proc London Math Soc., 30 (1975), 177-195 42 ... dim K(M) = nên K(M ) Cohen- Macaulay Tiếp theo, đa mối quan hệ môđun Cohen- Macaulay môđun Cohen- Macaulay tắc 2.3.8 Bổ đề Nếu M môđun Cohen- Macaulay M môđun CohenMacaulay tắc Chứng minh Chúng ta... m m R -môđun Cohen- Macaulay chiều nên K(R) Cohen- Macaulay chiều Vì K(M ) Cohen- Macaulay chiều 4, tức M Cohen- Macaulay tắc Định lí sau kết luận văn, cho ta đặc trng môđun Cohen- Macaulay tắc chuyển... Cohen- Macaulay tắc mơđun tắc K(M) M Cohen- Macaulay Chú ý M Cohen- Macaulay M mơđun Cohen- Macaulay tắc, chiều ngược lại không Năm 2004, P Schenzel chứng minh R miền nguyên R vành CohenMacaulay tắc