Môđun cohen macaulay chính tắc

I HC THI NGUYấN TRNG I HC S PHM MễUN COHEN MACAULAY CHNH TC PHM ANH TUN LUN VN THC S Chuyờn ngnh: i s v lý thuyt s THI NGUYấN 2014 Mục lục Lời nói đầu Vành môđun Cohen-Macaulay 1.1 Chiều Krull môđun hữu hạn sinh 1.2 Đa thức Hilbert - Samuel 1.3 Dãy quy độ sâu môđun hữu hạn sinh 11 1.4 Vành môđun Cohen-Macaulay 18 Môđun Cohen-Macaulay tắc 24 2.1 Biểu diễn thứ cấp 24 2.2 Dãy lọc quy chặt 29 2.3 Môđun Cohen-Macaulay tắc 32 Kết luận 41 Tài liệu tham khảo 42 PHN M U Trong sut lun ny, luụn gi thit R l vnh giao hoỏn Noether vi iờan ti i nht m Cho M l mt R-mụun hu hn sinh vi chiu Krull dim M = d Chỳ ý rng sõu ca M khụng vt quỏ chiu ca nú, tc l ta luụn cú depth M dim M Nu depth M = dim M thỡ ta núi M l mụun CohenMacaulay Vnh R c gi l vnh Cohen-Macaulay nu nú l R-mụun Cohen-Macaulay Lp mụun Cohen-Macaulay chớnh tc l mt m rng ca lp mụun Cohen-Macaulay, c gii thiu bi P Schenzel mt bi bỏo ng trờn Tp i s nm 2004 Gi s R l vnh thng ca vnh Gorenstein Ta núi rng M l mụun Cohen-Macaulay chớnh tc nu mụun chớnh tc K(M) ca M l Cohen-Macaulay Chỳ ý rng nu M l Cohen-Macaulay thỡ M l mụun Cohen-Macaulay chớnh tc, nhng chiu ngc li khụng ỳng Nm 2004, P Schenzel ó chng minh rng nu R l nguyờn thỡ R l vnh CohenMacaulay chớnh tc nu v ch nu R cú mt Macaulay húa song hu t, tc l tn ti mt vnh trung gian S gia R v trng cỏc thng Q(R) ca R cho S l R-mụun hu hn sinh v S l vnh Cohen-Macaulay Nm 2012, mt bi bỏo ng trờn Tp i s, M Brodmann v Lờ Thanh Nhn ó a mt s c trng quan trng ca lp mụun Cohen-Macaulay chớnh tc Mc ớch ca lun l trỡnh by li cỏc kt qu v mụun CohenMacaulay chớnh tc bi bỏo trờn ca M Brodmann v Lờ Thanh Nhn Lun gm chng Chng trỡnh by li cỏc khỏi nim v cỏc kt qu quan trng v vnh v mụun Cohen-Macaulay Chng l ni dung chớnh ca lun vn, trỡnh by cỏc kt qu v mụ un Cohen-Macaulay chớnh tc LI CM N Lun c hon thnh di s hng dn tn tỡnh ca Cụ giỏo tụi, PGS.TS Lờ Th Thanh Nhn Tụi xin by t lũng bit n ti Cụ v gia ỡnh Tụi xin by t lũng bit n ti Khoa Toỏn v Khoa Sau i hc, trng i hc S phm i hc Thỏi Nguyờn, ni tụi ó theo hc chng trỡnh thc s toỏn hc, chuyờn ngnh i s v Lớ thuyt s Tụi xin by t lũng bit n sõu sc ti Cụ giỏo ph trỏch Khoa Sau i hc, TS Ma Th Ngc Mai, v Thy giỏo tr lớ Sau i hc ca Khoa Toỏn, TS Trn Nguyờn An, ó quan tõm lo lng cho tụi sut thi gian hc ti Trng Tụi xin cm n B m tụi ó luụn ng viờn tụi, tụi cú ngh lc hon thnh chng trỡnh v lun thc s Chơng Vành môđun Cohen-Macaulay 1.1 Chiều Krull môđun hữu hạn sinh Trong suốt tiết này, cho R vành giao hoán Noether (không thiết địa phơng) Cho M R-môđun hữu hạn sinh Trớc hết nhắc lại khái niệm chiều cho vành Noether 1.1.1 Định nghĩa Một dãy p0 p1 pn iđêan nguyên tố R thỏa mãn điều kiện pi = pi+1 với i đợc gọi d y iđêan nguyên tố độ dài n R Chiều (Krull) vành R, kí hiệu dim R, cận độ dài dãy iđêan nguyên tố R Chẳng hạn, để tính chiều vành Z số nguyên, ta thấy dãy {0} 2Z dãy iđêan nguyên tố độ dài Chú ý I iđêan nguyên tố Z I = {0} I có dạng pZ với p số nguyên tố Do cận độ dài dãy iđêan nguyên tố Z Vì dim Z = Tiếp theo, nhắc lại khái niệm chiều Krull cho môđun hữu hạn sinh Đặt AnnR M = {a R | aM = 0} Dễ thấy AnnR M iđêan R 1.1.2 Định nghĩa Chiều (Krull) M , kí hiệu dim M , đợc định nghĩa chiều vành thơng R/ AnnR M Chẳng hạn, xét R := Z vành số nguyên Xét M := Z/12Z Z-môđun hữu hạn sinh Ta có AnnZ M = 12Z Vì dim M chiều vành thơng Z/12Z Vành thơng có iđêan nguyên tố 3Z/12Z 2Z/12Z Do dim M = Tiếp theo, trình bày số tính chất sở chiều Từ sau, với iđêan I R ta kí hiệu Var(I) tập iđêan nguyên tố R chứa I Nhắc lại tập giá M, kí hiệu SuppR M , đợc cho công thức Supp M = {p Spec(R) | Mp = 0} Đối với R-mô đun L tùy ý (không thiết hữu hạn sinh) ta có SuppR L Var(AnnR L) Đặc biệt, từ giả thiết M hữu hạn sinh ta có thêm bao hàm thức ngợc lại, tức SuppR M = Var(AnnR M ) Vì ta có mối liên hệ chiều M chiều SuppR M 1.1.3 Bổ đề dim M cận độ dài d y nguyên tố lồng SuppR M Một kết sở quan trọng chiều công thức tính chiều vành đa thức (xem [Mat, Định lí 15.4]) 1.1.4 Mệnh đề Kí hiệu R[x1, , xn ] vành đa thức n biến với hệ số R Khi dim R[x1 , , xn ] = n + dim R Một iđêan nguyên tố p R đợc gọi iđêan nguyên tố liên kết M tồn = x M cho p = AnnR x Tập iđêan nguyên tố liên kết M đợc kí hiệu AssR M Nh phần nhắc, M hữu hạn sinh nên SuppR M = Var(AnnR M ) Do SuppR M = Var(AnnR M), với tập T Spec(R) ta kí hiệu min(T ) tập phần tử tối thiểu T theo quan hệ bao hàm Theo [Mat, Định lí 6.5(iii)] ta có Ass M = Supp M Vì ta tính chiều môđun hữu hạn sinh thông qua chiều iđêan nguyên tố liên kết 1.1.5 Bổ đề Tập iđêan nguyên tố liên kết tối thiểu M tập iđêan nguyên tố tối thiểu chứa AnnR M Đặc biệt ta có dim M = max{dim(R/p) | p AssR M } 1.1.6 Ví dụ Cho K trờng R = K[x, y, z vành đa thức biến với hệ số K Đặt M = R/(x2 , y)R (z )R Khi AssR M = {p1 , p2 }, p1 = (x, y)R p2 = zR Ta có dim(R/p1 ) = dim(R/p2 ) = Vì dim M = max{1, 2} = Tiếp theo, nhắc lại tính chất chiều vành chuỗi lũy thừa hình thức Đặt R[[x]] = i=0 aixi | R, i Mỗi phần tử R[[x]] đợc gọi chuỗi lũy thừa hình thức biến x với hệ số R Định nghĩa phép cộng phép nhân i=0 xi j=0 bj xj = i x + i=0 i bi x = i=0 (ai + bi )xi i=0 ck xk , ck = k=0 bj Khi i+j=k R[[x]] vành giao hoán Noether Vành R[[x]] đợc gọi vành chuỗi lũy thừa hình thức biến x R Vành chuỗi lũy thừa hình thức n biến x1 , , xn với hệ số R, kí hiệu R[[x1 , , xn ]], đợc định nghĩa tơng tự Mệnh đề sau cho ta công thức tính chiều vành chuỗi lũy thừa hình thức (xem [Mat, Định lí 15.4]) 1.1.7 Mệnh đề dim R[[x1 , , xn ]] = n + dim R 1.1.8 Ví dụ Để tính chiều vành R[[x, y, z, t]]/J với J = (x, y ) (y, z , t5), ta đặt R = R[[x, y, z, t]] and M := R[[x, y, z, t]]/J Khi dim R = + dim R = Ta có AssR M = {(x, y)R, (y, z, t)R} Suy dim(R/J) = max{dim R/(x, y), dim(R/(y, z, t)} = Nhắc lại vành giao hoán Noether đợc gọi vành địa phơng có iđêan tối đại Trong phần cuối tiết này, giả thiết (R, m) vành Noether địa phơng với iđêan tối đại m Bây nghiên cứu chiều môđun chuyển qua đầy đủ m-adic 1.1.9 Định nghĩa Một dãy (xn ) R đợc gọi d y Cauchy theo tôpô m-adic với k N cho trớc, tồn số tự nhiên n0 cho xn xm mk với n, m n0 Dãy (xn ) R đợc gọi d y không với k N cho trớc, tồn số n0 cho xn mk với n n0 Ta trang bị quan hệ tơng đơng tập dãy Cauchy nh sau: Hai dãy Cauchy (xn ), (yn ) đợc gọi tơng đơng dãy (xn yn ) dãy không Kí hiệu R tập lớp tơng đơng Chú ý quy tắc cộng (xn ) + (yn ) = (xn + yn ) quy tắc nhân (xn )(yn ) = (xn yn ) không phụ thuộc vào cách chọn đại diện lớp tơng đơng Vì phép toán R với hai phép toán này, R làm thành vành Noether địa phơng với iđean tối đại mR Vành R vừa xây dựng đợc gọi vành đầy đủ R theo tôpô m-adic Một dãy (zn ) M đợc gọi d y Cauchy theo tôpô m-adic với k N cho trớc, tồn n0 cho zn zm mk M Từ khái niệm dãy Cauchy nh trên, tơng tự ta định nghĩa đợc khái niệm môđun đầy đủ theo tôpô m-adic vành R Môđun đợc kí hiệu M Kết sau cho ta công thức tính chiều môđun chuyển qua đầy đủ m-adic (xem [Mat, Định lí 15.1(ii)]) 1.1.10 Bổ đề dim M = dim(M) 1.1.11 Ví dụ Cho K trờng S = K[x1, , xn ] vành đa thức n biến với hệ số K Đặt M = (x1, xn )S Khi M iđêan cực đại nhất S Xét vành địa phơng hóa R = SM Rõ ràng R vành địa phơng với iđêan tối đại m = (x1, xn )R Chúng ta kiểm tra đợc vành đầy đủ m-adic R K[[x1 , , xn ]] Do ta có dim SM = dim K[[x1, , xn ]] = n 1.2 Đa thức Hilbert - Samuel Trong suốt tiết này, giả thiết (R, m) vành Noether địa phơng với iđêan tối đại m Cho M R-môđun hữu hạn sinh với dim M = d I iđêan R Ta gọi I iđêan nguyên sơ I = R từ điều kiện xy I kéo theo x I tồn số n > cho y n I với x, y R Chú ý I iđêan nguyên sơ tập hợp Rad(I) := {x R | n N để xn I} iđêan nguyên tố p R ta gọi I iđêan p-nguyên sơ Chú ý I nguyên sơ Rad(I) iđêan nguyên tố, nhng chiều ngợc lại không Tuy nhiên, Rad(I) iđêan cực đại I iđêan nguyên sơ Một dãy môđun lồng = M0 M2 Mn = M , Mi = Mi+1 với i, đợc gọi dãy môđun độ dài n Độ dài M, kí hiệu R (M ), cận độ dài dãy môđun M Chú ý R (M ) < tồn dãy môđun bão hòa M , tức dãy môđun = M0 M2 Mn = M M cho chèn thêm môđun tất mắt dãy Trong trờng hợp này, dãy môđun M mở rộng thành dãy môđun bão hòa dãy môđun bão hòa M có chung độ dài Chúng ta kiểm tra điều kiện tơng đơng sau cho môđun có độ dài hữu hạn 1.2.1 Bổ đề Giả sử M = Các phát biểu sau tơng đơng (i) M có độ dài hữu hạn; (ii) AnnR M iđêan m-nguyên sơ; (iii) dim M = Định lí sau cho ta bất biến tơng đơng với chiều 1.2.2 Định lý ([Mat, Định lí 13.4]) Cho q iđêan m-nguyên sơ Khi đó, (M/qn M ) đa thức với hệ số hữu tỷ n đủ lớn dim M = deg (M/qn M ) = inf t | x1 , , xt m, (M/(x1, , xt )M ) < Đa thức (M/qn M ) định lí đợc gọi đa thức Hilbert Samuel M ứng với iđêan m-nguyên sơ q Vì R vành Noether nên m hữu hạn sinh Do tồn hữu hạn phần tử x1, , xt m cho m = (x1, , xt )R Chú ý (M/mM ) < Do (M/(x1, , xt )M ) < Vì thế, theo Định lí 1.2.2 ta có hệ sau 1.2.3 Hệ dim M < Giả sử x m Đặt M1 = M/xM dim M1 = k Theo Định lí trên, tồn x1 , , xk m cho (M1/(x1 , , xk )M1 ) < Do (M/(x, x1, , xk )M) < Theo Định lí 1.2.2 ta có d d1 k + Do k Vì dim(M/xM) d với x m Bằng quy nạp theo số phần tử dãy sử dụng Định lí 1.2.2 ta đợc kết sau 1.2.4 Hệ Nếu x1, , xr m ta có dim(M/(x1, , xr )M ) d r 28 2.1.7 Mệnh đề Giả sử A A A d y khớp R-môđun Artin Khi ta có AttR A AttR A AttR A AttR A Chứng minh Ta giả thiết A môđun A A = A/A Cho p AttR A Khi tồn môđun thơng Q A cho AnnR Q = p Vì Q thơng A nên p AttR A Vậy AttR A AttR A Cho p AttR A Khi có môđun thơng A/P A p-thứ cấp Xét Q = P + A Nếu A = Q A/P = (P + A )/P = A /(P A ) Vì A/P p-thứ cấp nên p AttR (A/P ), theo đẳng cấu ta có p AttR A Giả sử A = Q Khi A/Q = thơng A/P Vì A/P pthứ cấp nên A/Q p-thứ cấp Vì p AttR (A/Q) Lại A/Q thơng A = A/A nên p AttR A Cho u A cho x = (xn ) R, xn R Khi Ru vừa Artin, vừa hữu hạn sinh Vì Ru có độ dài hữu hạn Do tồn số tự nhiên k cho mk u = Vì (xn ) R nên tồn số tự nhiên n0 cho xn xm mk với m, n n0 Do ta có (xn xm )u = với m, n n0 Suy xn u không đổi n n0 Do ta định nghĩa xu = xn u với n n0 Dễ kiểm tra đợc tích vô thơng A Do A có cấu trúc R-môđun Với cấu trúc này, tập A R-môđun A R-môđun A Vì dàn môđun A xét nh R-môđun dàn môđun A xét nh R-môđun Do A R-môđun Artin 2.1.8 Mệnh đề AttR A = {p R | p AttR A} Chứng minh Giả sử A = (A11 + + Ait1 ) + + (An1 + + Antn ) biểu diễn thứ cấp tối thiểu A xét nh R-môđun, Aij 29 pij -thứ cấp pi1 R = = piti R = pi với i = 1, , n pi đôi phân biệt Khi AttR A = {pij | i = 1, , n, j = 1, , ti } Đặt Ai = Ai1 + + Aiti với i = 1, , n Khi A = A1 + + An biểu diễn thứ cấp tối thiểu A xét nh R-môđun, Ai pi -thứ cấp Vì AttR A = {p1 , , pn } = {p R | p AttR A} 2.2 Dãy lọc quy chặt Trong suốt tiết này, giả thiết (R, m) vành Noether địa phơng M R-môđun hữu hạn sinh với dim M = d Khái niệm dãy lọc quy chặt đợc giới thiệu N T Cờng, M Morales L T Nhàn [CMN] để nghiên cứu tính hữu hạn tập iđêan nguyên tố gắn kết môđun đối đồng điều địa phơng Artin, nh nghiên cứu tính chất đa thức hàm độ dài thơng suy rộng Khái niệm mở rộng khái niệm dãy lọc quy (f-dãy) giới thiệu N T Cờng, P Schenzel N V Trung [CST] Trớc hết, nhắc lại số kiến thức chuẩn bị f-dãy 2.2.1 Định nghĩa Phần tử x m đợc gọi phần tử M-lọc quy x / p với p AssR M \ {m} Dãy (x1, , xn ) phần tử m đợc gọi d y lọc quy M hay f-d y xi+1 f-lọc quy M/(x1, , xi )M với i = 1, , n Cho x m Nếu x M -chính quy x / p với p AssR M Vì x M -lọc quy Do M -dãy f-dãy M Dới số tính chất đặc trng phần tử lọc quy 2.2.2 Bổ đề Cho x m Khi x M -lọc quy R (0 :M x) < , (0 :M x) (0 :M mt ) t 30 Chứng minh Giả sử (0 :M x) t (0 :M mt ) Vì M môđun Noether nên dãy tăng (0 :M m0 ) (0 :M m ) phải dừng, tức tồn k cho (0 :M x) t (0 :M mt ) = (0 :M mk ) Vì R (0 :M x) < Giả sử R (0 :M x) < Khi dim(0 :M x) Nếu x p với p AssR M \ {m} p = AnnR m với = m M Suy dim(Rm) = dim R/ AnnR (Rm) = dim(R/p) > Vì m (0 :M x) nên dim(0 :M x) dim(Rm) > 0, điều vô lí Giả sử x / p với p AssR M \ {m} Rõ ràng t (0 :M mt ) môđun lớn M có độ dài hữu hạn Vì ta cần chứng minh (0 :M x) < Giả sử (0 :M x) = Khi dim(0 :M x) > Do tồn p AssR (0 :M x) cho p = m Lại p AssR (0 :M x) nên p AnnR (0 :M x) xR Vì x p với p AssR M p = m Điều vô lí 2.2.3 Bổ đề Cho n d (x1 , , xn ) f-d y M Khi dim(M/(x1, , x) M) = d n Đặc biệt, f-d y độ dài không d phần hệ tham số M Chứng minh Ta chứng minh quy nạp theo n d Cho n = Khi d > Vì x1 / p với p AssR M \ {m} nên dim(M/x1M ) = d Cho n > Vì n d nên ta có d n + > Theo giả thiết quy nạp, dim(M/(x1, , xn1 )M ) = d n + Do xn lọc quy M/(x1, , xn1 )M nên dim(M/(x1 , , xn )M ) = dim(M/(x1, , xn1)M ) 1, tức dim(M/(x1, , xn )M ) = d n Bây giới thiệu khái niệm f-dãy chặt theo thuật ngữ Nguyễn Tự Cờng, Marcel Morales Lê Thanh Nhàn [CMN] Chú ý với số nguyên i 0, môđun đối đồng điều địa phơng Hmi (M ) R-môđun Artin (xem [BS]) Vì tập iđêan nguyên tố gắn kết chúng tồn 31 2.2.4 Định nghĩa Một dãy (x1, , xk ) phần tử m đợc gọi d y lọc quy chặt (f-d y chặt) M xj+1 / p với dj p i=1 AttR (Hmi (M/(x1 , , xj )M )) \ {m} j = 0, , k d Chú ý AssR M AttR (Hmi (M) (xem [BS, 11.3.9]) Vì i=0 x m phần tử f-chính quy chặt M lọc quy Do ta có mối quan hệ sau 2.2.5 Bổ đề Nếu x m lọc quy chặt M x lọc quy Đặc biệt, f-d y chặt M f-d y Hơn nữa, f-d y chặt gồm d phần tử hệ tham số M Điều ngợc lại Bổ đề 2.2.5 không 2.2.6 Ví dụ Cho R = K[[x, y, z, t]] vành chuỗi lũy thừa hình thức biến với hệ số trờng K Chọn M = (x, y, z)R Khi R vành Noether địa phơng với iđêan tối đại m = (x, y, z, t)R M R-môđun hữu hạn sinh với dim M = Vì AssR M Ass R = {0} nên x phần tử M -chính quy, x phần tử lọc quy M Ta có Hmi (R) = với i < Hmi (R/M ) = với i = Do từ dãy khớp dài đối đồng điều cảm sinh dãy khớp ngắn M R R/M ta có Hmi (M) = với i = 0, Hm2 (M) = Hm1 (R/M ), Hmi (M) = Hmi (R) với i = 3, Do AssR (R/M) = {(x, y, z)R} nên AttR Hm2 (M ) = AttR (Hm1 (R/M )) = {(x, y, z)R} (xem [BS, 11.3.9]) Do x (x, y, z)R (x, y, z)R = m nên x không phần tử lọc quy chặt M Kết sau f-dãy chặt với độ dài tùy ý tồn 32 2.2.7 Bổ đề Với k N, tồn f-d y chặt gồm k phần tử Chứng minh Ta chứng minh quy nạp theo k Cho k = Đặt C1 = d i i=1 AttR (Hm (M )) Theo Định lí tránh nguyên tố, tồn x1 m cho x1 / p, p C1 \ {m} Suy x1 phần tử lọc quy chặt M Cho k > giả thiết (x1 , , xk1) f-dãy chặt M Theo Định lí tránh nguyên tố, tồn xk m cho xk / p, với p Ck \ {m}, Ck = d i i=1 Att(Hm (M/(x1 , , xk )M )) Khi (x1 , , xk ) f-dãy chặt M 2.3 Môđun Cohen-Macaulay tắc Trong tiết này, giả thiết (R, m) vành giao hoán Noether địa phơng M R-môđun hữu hạn sinh với dim M = d Để giới thiệu khái niệm môđun Cohen-Macaulay tắc định nghĩa Peter Schenzel [Sc], cần nhắc lại khái niệm vành Gorenstein 2.3.1 Định nghĩa ([Mat, Trang 142]) Vành R đợc gọi có chiều nội xạ hữu hạn tồn giải nội xạ R có hữu hạn môđun nội xạ khác Vành R đợc gọi vành Gorenstein R có chiều nội xạ hữu hạn Chú ý R vành Gorenstein R vành Cohen-Macaulay (xem [Mat, Định lí 18.1]) Bây giới thiệu khái niệm môđun Cohen-Macaulay tắc Nhắc lại với M, N hai Rmôđun i N, ta định nghĩa ExtiR (M, N) môđun dẫn suất phải thứ i hàm tử hiệp biến khớp trái HomR (M; ) ứng với môđun N Chú ý ExtiR (M, N) môđun dẫn suất phải thứ i hàm tử phản biến khớp trái HomR (; N) ứng với môđun M Từ đến hết chơng này, giả thiết (R, m) vành thơng vành Gorenstein địa phơng (R , m ) chiều n Với i N, đặt 33 i K i(M ) = Extni R (M, R ) Chú ý K (M ) R-môđun hữu hạn sinh 2.3.2 Định nghĩa (Xem [Sc]) Với i < d, ta gọi K i (M ) môđun khuyết thiếu thứ i M Môđun K d (M) đợc gọi môđun tắc M đợc kí hiệu K(M ) Ta gọi M môđun Cohen-Macaulay tắc K(M ) Cohen Macaulay Một R-môđun E(M ) đợc gọi bao nội xạ M E(M ) môđun nội xạ chứa M ta có F M = với môđun F = E(M) Chú ý bao nội xạ R-môđun tồn (sai khác đẳng cấu) Kí hiệu D() = HomR (; E(R/m)) hàm tử đối ngẫu Matlis, E(R/m) bao nội xạ R/m Khi Đối ngẫu địa phơng cho ta đẳng cấu sau (xem [BS]) Hmi (M ) = D(K i (M )), i = 1, , d 2.3.3 Chú ý Theo [Sh, Theorem 2.3] ta có AssR K i (M ) = AttR Hmi (M) với i Vì x phần tử f-chính quy chặt M phần tử lọc quy mô đun K i (M ), nghĩa (0 :K i (M ) x) < với i Đặc biệt, d > x phần tử f-chính quy chặt M x K(M )-chính quy Sau ví dụ môđun Cohen-Macaulay tắc 2.3.4 Bổ đề Nếu d M môđun Cohen-Macaulay tắc Chứng minh Nếu d = M có độ dài hữu hạn, K(M ) = Hm0 (M) = M môđun Cohen-Macaulay Nếu d = AssR K(M ) = AttR Hm1 (M ) = {p AssR M | dim(R/p) = 1} Do tồn x m cho x / p với p AssR K(M ) Suy depth K(M ) Vì K(M ) Cohen-Macaulay 2.3.5 Bổ đề Cho x m i N Nếu x phần tử f-chính quy chặt M với i 1, tồn d y khớp K i+1 (M )/xK i+1 (M ) K i(M/xM ) (0 :K i(M ) x) 34 Chứng minh Do x M -chính quy chặt nên R (0 :M x) < Do từ dãy khớp (0 :M x) M M/(0 :M x) M/(0 :M x x) M M/xM ta có dãy khớp sau với i Hmi (M)/xHmi (M ) Hmi (M/xM ) (0 :Hmi+1 (M ) x) Do HomR K i+1 (M )/xH i+1 (M ); E(R/m)) = (0 :Hmi+1 (M ) x) với ý HomR ((0 :K i(M ) x); E(R/m)) = Hmi (M )/xHmi (M ) nên từ tính khớp hàm tử phản biến HomR (; E(R/m)) dãy khớp ta có kết 2.3.6 Bổ đề Cho x m i N0 (i) Nếu x phần tử lọc quy chặt M K i (M/xM ) = K i+1 (M ) = x K i (M )-chính quy (ii) Nếu x lọc quy chặt M cho depth(M/xM) > x M -chính quy (iii) Nếu x lọc quy chặt M cho depth(K i (M/xM )) > depth(K i+1(M )) > (iv) Nếu x lọc quy chặt M cho dim K i+1 (M ) > dim K i (M/xM ) > dim K i (M/xM ) = dim K i+1 (M ) Chứng minh (i) Chú ý N = R-môđun hữu hạn sinh N = mN (xem Bổ đề Nakayama) Vì phát biểu (a) suy từ Bổ đề 2.3.5 Bổ đề Nakayama (ii) Vì x lọc quy chặt M nên ta có xM Hm0 (M ) = x(Hm0 (M ) :M x) = xHm0 (M) Vì theo Bổ đề Nakayama ta suy Hm0 (M ) xM Hm0 (M) = Do depth(M/xM ) > kéo theo Hm0 (M ) xM Vì ta có kết 35 (iii): Theo Bổ đề 2.3.5 ta có depth K i+1 (M )/xK i+1 (M ) > Vì x phần tử lọc quy K i+1 (M ) nên từ khẳng định (ii) ta suy kết (iv): Khẳng định (iv) suy từ Bổ đề 2.3.5 với ý (0 :K i(M ) x) có độ dài hữu hạn Chúng ta đa ví dụ mô đun Cohen-Macaulay tắc 2.3.7 Bổ đề Nếu d = M môđun Cohen-Macaulay tắc Chứng minh Lấy x m phần tử lọc quy chặt M Vì d = nên dim(M/xM) = Theo Bổ đề 2.3.4 ta suy M/xM CoenMacaulay tắc, tức depth(K(M/xM)) = depth(K (M/xM)) = Vì theo Bổ đề 2.3.6(iii) ta suy depth(K (M )) = depth(K(M )) Do dim K(M) = nên K(M ) Cohen-Macaulay Tiếp theo, đa mối quan hệ môđun Cohen-Macaulay môđun Cohen-Macaulay tắc 2.3.8 Bổ đề Nếu M môđun Cohen-Macaulay M môđun CohenMacaulay tắc Chứng minh Chúng ta chứng minh quy nạp theo d Với d M Cohen-Macaulay tắc theo Bổ đề 2.3.4 Bổ đề 2.3.7 Cho d > Lấy x m phần tử lọc quy chặt M Khi x K(M )-lọc quy Chú ý d > AssR K(M ) = AttR Hmd (M ) = {p AssR M | dim(R/p) = d} (xem [BS]) Do x K(M )-chính quy Theo Bổ đề 2.3.5 ta có dãy khớp K(M )/xK(M ) K(M/xM ) (0 :K d1 (M ) x) Do M Cohen-Macaulay nên K d1(M) = Do K(M )/xK(M ) = 36 K(M/xM ) Vì x phần tử lọc quy chặt nên phần tử lọc quy M Lại M Cohen-Macaulay chiều d > nên m / AssR M Vì x phần tử M -chính quy Suy M/xM Cohen-Macaulay Theo giả thiết quy nạp, M/xM Cohen-Macaulay tắc, tức K(M/xM ) Cohen-Macaulay chiều d Do K(M )/xK(M ) Cohen-Macaulay chiều d Vì x K(M )-chính quy nên K(M) Cohen-Macaulay chiều d Chiều ngợc lại Bổ đề 2.3.8 không Dới ví dụ 2.3.9 Ví dụ Tồn môđun Cohen-Macaulay tắc nhng không Cohen-Macaulay Chứng minh Chọn R = K[[x, y, z, t]], K trờng Chọn M = R R/(x, y)R Khi R vành Noether địa phơng chiều M R-môđun hữu hạn sinh chiều d = Ta có AssR M = {p1 , p2 }, p1 = (0) p2 = (x, y)R Ta có dim(R/p1 ) = dim(R/p2 ) = Do M môđun trộn lẫn Vì M không CohenMacaulay Ta có H (M ) = H (R) Do K(M ) = K(R) Do R m m R-môđun Cohen-Macaulay chiều nên K(R) Cohen-Macaulay chiều Vì K(M ) Cohen-Macaulay chiều 4, tức M Cohen-Macaulay tắc Định lí sau kết luận văn, cho ta đặc trng môđun Cohen-Macaulay tắc chuyển qua thơng phần tử f-chính quy chặt 2.3.10 Định lý Giả sử dim M = d x m phần tử lọc quy chặt M Khi M Cohen-Macaulay tắc M/xM Cohen-Macaulay tắc 37 Chứng minh Giả sử M Cohen-Macaulay tắc Khi K(M ) Cohen-Macaulay Lấy x m phần tử lọc quy chặt M Khi x K(M )-lọc quy Vì d AssR K(M ) = AttR Hmd (M ) = {p AssR M | dim(R/p) = d} nên x K(M )-chính quy Do K(M )/xK(M ) Cohen-Macaulay chiều d Theo Bổ đề 2.3.5 ta có dãy khớp K(M)/xK(M) K(M/xM ) (0 :K d1 (M ) x) Vì d nên theo Bổ đề 2.3.4 Bổ đề 2.3.7 ta suy depth K(M/xM) Lấy dãy khớp dài đối đồng điều cảm sinh từ dãy khớp với ý R (0 :K d1 (M ) x) < ta có (0 :K d1 (M ) x) = Hm0 (0 :K d1 (M ) x) = K(M )/xK(M ) = K(M/xM ) Suy K(M/xM) CohenMacaulay chiều d 1, tức M/xM Cohen-Macaulay tắc Ngợc lại, giả sử M/xM Cohen-Macaulay tắc Vì phần tử lọc quy chặt M nên ta có dim(M/xM ) = d1 Lấy y m phần tử lọc quy chặt M/xM Vì M/xM Cohen-Macaulay tắc nên môđun K d1(M/xM ) = K(M/xM ) Cohen-Macaulay chiều d1 Vì y phần tử lọc quy chặt M/xM nên y phần tử K(M/xM )-chính quy Do K d1 (M/xM )/yKd1 (M/xM ) CohenMacaulay chiều d Do dim(M/xM y(M/xM )) = d nên ta có depth(K d2 (M/xM ) y(M/xM ))) độ sâu môđun K(M/xM )/y(M/xM )) lớn Do đó, từ dãy khớp Bổ đề 2.3.5 (thay cho môđun M, phần tử lọc quy chặt x cấp i) ta áp dụng cho môđun M/xM , cho phần tử lọc quy chặt y với cấp i = d tơng ứng, ta suy môđun (0 :K d2 (M/xM ) y) có độ sâu dơng Vì y lọc quy chặt nên phần tử lọc 38 quy K d2(M/xM ), (0 :K d2 (M/xM ) y) có độ dài hữu hạn, khác độ sâu phải Điều chứng tỏ (0 :K d2 (M/xM ) y) = Vì ta suy y phần tử K d2 (M/xM )-chính quy Vì vậy, K d2 (M/xM ) có độ sâu dơng Tiếp theo, chứng minh x phần tử K d1(M )-chính quy Nếu K d2 (M/xM ) = theo Bổ đề 2.3.6(i) ta có kết Do ta giả thiết K d2 (M/xM) = Vì K d2 (M/xM ) có độ sâu dơng nh chứng minh phần nên từ dãy khớp Bổ đề 2.3.5 áp dụng cho cấp i = d 2, ta suy K d1(M)/xK d1 (M ) có độ sâu dơng Tiếp tục áp dụng tính chất (ii) Bổ đề 2.3.6 với ý thay M K d1 (M) ta suy x phần tử K d1 (M )-chính quy Cuối cùng, áp dụng dãy khớp Bổ đề 2.3.5 với cấp i = d ta có đẳng cấu K(M1) = K(M )/xK(M ) Vì K(M/xM ) Cohen-Macaulay x phần tử K(M)-chính quy nên ta suy K(M ) Cohen-Macaulay, tức M Cohen-Macaulay tắc Sau số hệ tính Cohen-Macaulay tắc 2.3.11 Hệ Cho d x1, , xd3 d y lọc quy chặt M Khi M Cohen-Macaulay tắc depth K (M/ d3 i=1 xi M) > Chứng minh Ta chứng minh quy nạp theo d Cho d = lấy x phần tử lọc quy chặt M Nếu áp dụng dãy khớp Bổ đề 2.3.5 ứng với cấp i = ta có dãy khớp K(M )/xK(M ) K(M/xM) (0 :K (M ) x) Chú ý M/xM có chiều 2, K(M/xM ) Cohen-Macaulay chiều Vì vậy, (0 :K (M ) x) có độ dài hữu hạn Do từ dãy khớp ta suy depth(K(M )/xK(M )) = (0 :K (M ) x) = 0, depth(K(M )/xK(M )) = depth(K (M )) > Vì x phần tử K(M )-chính quy K(M ) có chiều nên K(M ) Cohen- 39 Macaulay depth(K (M)) > Do kết với d = Cho d > Theo Định lí 2.3.10 ta suy M Cohen-Macaulay tắc M1 := M/x1 M Cohen-Macaulay tắc Chú ý x2, , xd3 dãy lọc quy chặt M1 Vì thế, theo giả thiết quy nạp ta suy M1 Cohen-Macaulay tắc môđun K (M1 / d3 i=2 xi M1 ) = K (M/ d3 i=1 xi M ) có độ sâu dơng Kết hợp tất điều ta suy kết Cuối cùng, đặc trng tính Cohen-Macaulay tắc cho môđun Cohen-Macaulay suy rộng Theo Nguyễn Tự Cờng, Ngô Việt Trung Peter Schenzel [CST], ta nói R-môđun hữu hạn sinh M Cohen-Macaulay suy rộng Hmi (M ) có độ dài hữu hạn với i < d = dim M 2.3.12 Định lý Cho d M Cohen-Macaulay suy rộng Khi M Cohen-Macaulay tắc Hmi (M ) = với i = 2, , d Chứng minh Giả sử M Cohen-Macaulay tắc Ta chứng minh quy nạp theo d Hmi (M ) = với i = 2, , d Cho d = Vì M Cohen-Macaulay tắc nên theo Hệ 2.3.11 ta suy depth(K (M )) > Vì M Cohen-Macaulay suy rộng chiều nên ta có (K (M )) = (Hm2 (M)) < Do K 2(M ) = Hm2 (M) = Cho d > Lấy x m phần tử lọc quy chặt M Đặt M1 = M/xM Vì M Cohen-Macaulay tắc nên theo Định lí 2.3.10 ta suy M1 Cohen-Macaulay tắc Do M1 CohenMacaulay suy rộng dim M1 = d nên theo giả thiết quy nạp ta có K i(M1 ) = với i = 2, , d Theo Bổ đề 2.3.5(i) ta suy K i(M ) = với i = 3, , d x phần tử K (M )-chính quy 40 Vì M Cohen-Macaulay suy rộng nên môđun K 2(M ) có độ dài hữu hạn K (M) = Ngợc lại, giử sử Hmi (M ) = với i = 2, , d Ta chứng minh M Cohen-Macaulay tắc quy nạp theo d Trờng hợp d = suy từ Hệ Corollary 2.3.11 Cho d > 3, lấy x m phần tử lọc quy chặt M Đặt M1 = M/xM Vì K i(M ) = với i = 2, , d1 nên từ dãy khớp Bổ đề 2.3.5 ta suy K i(M1 ) = với i = 2, , d Vì M1 Cohen-Macaulay suy rộng nên theo giả thiết quy nạp ta suy M1 Cohen-Macaulay tắc Do theo Định lí 2.3.10 ta suy M Cohen-Macaulay tắc 41 Kết luận Mục đích luận văn trình bày số kết môđun CohenMacaulay tắc báo: M Brodmann and L T Nhan, On canonical Cohen-Macaulay modules, J Algebra, 371 (2012), 480-491 Để thuận tiện cho việc theo dõi luận văn, đa phần chuẩn bị chi tiết vành môđun Cohen-Macaulay Kiến thức chuẩn bị luận văn đợc tham khảo chủ yếu từ hai sách: H Matsumura, Commutative ring theory, Cambridge University Press, 1986 M Brodmann and R Y Sharp, Local cohomology: an algebraic introduction with geometric applications, Cambridge University Press, 1998 Luận văn thu đợc số kết sau đây: Hệ thống lại khái niệm tính chất chiều đa thức HilbertSamuel môđun hữu hạn sinh vành Noether địa phơng Trình bày khái niệm số tính chất dãy quy độ sâu môđun hữu hạn sinh Trình bày khái niệm vành môđun Cohen-Macaulay chứng minh chi tiết đặc trng tính Cohen-Macaulay thông qua đầy đủ, chia cho dãy quy, chuyển qua địa phơng hóa, đặc trng qua tính triệt tiêu môđun đối đồng điều địa phơng liên hệ với tính không trộn lẫn, tính catenary catenary phổ dụng Hệ thống lại kết biểu diễn thứ cấp cho môđun Artin, từ đa định nghĩa tính chất dãy lọc quy chặt Định nghĩa môđun Cohen-Macaulay tắc, đặc trng môđun Cohen-Macaulay tắc chuyển qua thơng ứng với phần tử lọc quy chặt (Định lí 2.3.10), đặc trng tính Cohen-Macaulay tắc môđun Cohen-Macaulay suy rộng (Định lí 2.3.12) Tài liệu tham khảo [BN] M Brodmann and L T Nhan, On canonical Cohen-Macaulay modules, J Algebra, 371 (2012), 480-491 [BS] M Brodmann and R Y Sharp, Local cohomology: an algebraic introduction with geometric applications, Cambridge University Press, 1998 [CST] N T Cuong, P Schenzel and N V Trung, Verallgemeinerte CohenMacaulay Moduln, Math Nachr, 85, (1978), 57-73 [CMN] N T Cuong, M Morales and L T Nhan, The finiteness of certain sets of attached prime ideals and the length of generalized fractions, J Pure Appl Algebra, (1-3) 189, (2004), 109-121 [Mac] I G Macdonald, Secondary representation of modules over a commutative ring, Symposia Mathematica, 11 (1973), 23-43 [Mat] H Matsumura, Commutative ring theory, Cambridge University Press, 1986 [Sc] P Schenzel, On birational Macaulayfications and Cohen-Macaulay canonical modules, J Algebra, 275 (2004), 751-770 [Sh] R Y Sharp, Some results on the vanishing of local cohomology modules, Proc London Math Soc., 30 (1975), 177-195 42 [...]... ta suy ra M/xM là CoenMacaulay chính tắc, tức là depth(K(M/xM)) = depth(K 1 (M/xM)) = 1 Vì thế theo Bổ đề 2.3.6(iii) ta suy ra depth(K 2 (M )) = depth(K(M )) 2 Do dim K(M) = 2 nên K(M ) là Cohen- Macaulay Tiếp theo, chúng ta đa ra mối quan hệ giữa môđun Cohen- Macaulay và môđun Cohen- Macaulay chính tắc 2.3.8 Bổ đề Nếu M là môđun Cohen- Macaulay thì M là môđun CohenMacaulay chính tắc Chứng minh Chúng ta... dim M Vì thế từ (i) ta suy ra M là CohenMacaulay khi và chỉ khi M là Cohen- Macaulay Tiếp theo chúng ta nghiên cứu tính Cohen- Macaulay khi chuyển qua thơng cho một dãy chính quy 1.4.6 Mệnh đề Cho (x1, , xr ) m là một M -d y chính quy Khi đó M là R -môđun Cohen- Macaulay chiều d nếu và chỉ nếu M/(x1 , , xr )M là R -môđun Cohen- Macaulay chiều d r Đặc biệt, mỗi d y chính quy của M là một phần hệ tham... gọi K i (M ) là môđun khuyết thiếu thứ i của M Môđun K d (M) đợc gọi là môđun chính tắc của M và đợc kí hiệu là K(M ) Ta gọi M là môđun Cohen- Macaulay chính tắc nếu K(M ) là Cohen Macaulay Một R -môđun E(M ) đợc gọi là bao nội xạ của M nếu E(M ) là môđun nội xạ chứa M và ta có F M = 0 với mọi môđun con F = 0 của E(M) Chú ý rằng bao nội xạ của một R -môđun luôn tồn tại duy nhất (sai khác một đẳng cấu)... nghĩa Môđun M đợc gọi là môđun Cohen- Macaulay nếu M = 0 hoặc depth M = dim M Vành R đợc gọi là vành CohenMacaulay nếu R xét nh R -môđun là Cohen- Macaulay 19 Dới đây là một số ví dụ về vành và môđun Cohen- Macaulay 1.4.4 Ví dụ Cho K là một trờng và x, y, z là các biến và R = K[[x, y, z, t]] Đặt M = R/((x2 , z, t) (y, z, t)) và N = R/((x2 ) (y, z 2 )) Khi đó: (i) R là vành Cohen- Macaulay; (ii) M là R -môđun. .. (M) với mọi i Vì thế x là phần tử f -chính quy chặt đối với M nếu và chỉ nếu nó là phần tử lọc chính quy đối với mọi mô đun K i (M ), nghĩa là (0 :K i (M ) x) < với mọi i 0 Đặc biệt, nếu d > 0 và x là phần tử f -chính quy chặt của M thì x là K(M ) -chính quy Sau đây là một ví dụ về môđun Cohen- Macaulay chính tắc 2.3.4 Bổ đề Nếu d 1 thì M là môđun Cohen- Macaulay chính tắc Chứng minh Nếu d = 0 thì M có... thế dim M = depth(M ) Vậy M là Cohen- Macaulay Chơng 2 Môđun Cohen- Macaulay chính tắc Trong suốt chơng này luôn giả thiết (R, m) là một vành giao hoán Noether địa phơng Mục đích của Chơng 2 là trình bày một số kết quả về môđun Cohen- Macaulay chính tắc trong bài báo của M Brodmann và L T Nhàn [BN] Trớc hết, chúng ta cần chuẩn bị một số kiến thức về biểu diễn thứ cấp của môđun Artin 2.1 Biểu diễn thứ... dim(R/p) = d với mọi p AssR M Vì M là Cohen- Macaulay, M cũng là Cohen- Macaulay theo Mệnh đề 1.4.5 Vì thế dim(R/P ) = d với mọi P AssR M Do đó M là môđun không trộn lẫn Tiếp theo chúng ta nghiên cứu tính Cohen- Macaulay khi chuyển qua địa phơng hóa 1.4.8 Mệnh đề M là Cohen- Macaulay nếu và chỉ nếu Mp là CohenMacaulay với mọi p SuppR M Chứng minh Giả sử M là Cohen- Macaulay Cho p SuppR M Khi đó Mp =... đó Ck = d i i=1 Att(Hm (M/(x1 , , xk )M )) Khi đó (x1 , , xk ) là một f-dãy chặt của M 2.3 Môđun Cohen- Macaulay chính tắc Trong tiết này, luôn giả thiết (R, m) là một vành giao hoán Noether địa phơng và M là một R -môđun hữu hạn sinh với dim M = d Để giới thiệu khái niệm môđun Cohen- Macaulay chính tắc định nghĩa bởi Peter Schenzel [Sc], chúng ta cần nhắc lại khái niệm vành Gorenstein 2.3.1 Định... )/xK i+1 (M ) > 0 Vì x là phần tử lọc chính quy đối với K i+1 (M ) nên từ khẳng định (ii) ta suy ra kết quả (iv): Khẳng định (iv) suy ra từ Bổ đề 2.3.5 với chú ý rằng (0 :K i(M ) x) có độ dài hữu hạn Chúng ta đa ra một ví dụ nữa về mô đun Cohen- Macaulay chính tắc 2.3.7 Bổ đề Nếu d = 2 thì M là môđun Cohen- Macaulay chính tắc Chứng minh Lấy x m là một phần tử lọc chính quy chặt của M Vì d = 2 nên dim(M/xM)... M Suy ra x là M -chính quy Đặt N = M/xM Vì M là Cohen- Macaulay và x là M -chính quy nên theo Mệnh đề 1.4.6 ta suy ra N là CohenMacaulay Theo giả thiết quy nạp ta có Np = (M/xM )p = Mp/xMp là / qRp Cohen- Macaulay Vì x / q với mọi q AssR M nên ta có x/1 với mọi qRp Ass(Mp ) Do đó x/1 là Mp -chính quy Theo Mệnh đề 1.4.6 ta suy ra Mp là môđun Cohen- Macaulay Tiếp theo chúng ta nghiên cứu tính catenary ... dim K(M) = nên K(M ) Cohen- Macaulay Tiếp theo, đa mối quan hệ môđun Cohen- Macaulay môđun Cohen- Macaulay tắc 2.3.8 Bổ đề Nếu M môđun Cohen- Macaulay M môđun CohenMacaulay tắc Chứng minh Chúng ta... R m m R -môđun Cohen- Macaulay chiều nên K(R) Cohen- Macaulay chiều Vì K(M ) Cohen- Macaulay chiều 4, tức M Cohen- Macaulay tắc Định lí sau kết luận văn, cho ta đặc trng môđun Cohen- Macaulay tắc chuyển... tử f -chính quy chặt 2.3.10 Định lý Giả sử dim M = d x m phần tử lọc quy chặt M Khi M Cohen- Macaulay tắc M/xM Cohen- Macaulay tắc 37 Chứng minh Giả sử M Cohen- Macaulay tắc Khi K(M ) Cohen- Macaulay