Một số kết quả về cận sai số của các hàm nửa liên tục dưới

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Phạm Ngọc Hưng MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ CẬN SAI SỐ CỦA CÁC HÀM NỬA LIÊN TỤC DƯỚI Chuyên ngành: Toán Ứng dụng Mã số: 60 46 36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS TRƯƠNG XUÂN ĐỨC HÀ Thái Nguyên - 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời cảm ơn Luận văn thực hoàn thành trường Đại học Khoa học Đại học Thái Nguyên hướng dẫn khoa học PGS TS Trương Xuân Đức Hà Qua đây, tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến cô giáo, người hướng dẫn khoa học mình, PGS.TS Trương Xuân Đức Hà, người đưa đề tài tận tình hướng dẫn suốt trình nghiên cứu tác giả Đồng thời tác giả chân thành cảm ơn thầy khoa Tốn - Tin học trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, tạo điều kiện cho tác giả tài liệu thủ tục hành để tác giả hồn thành luận văn Tác giả gửi lời cảm ơn đến gia đình, BGH trường THPT Thị xã Mường Lay - Điện Biên bạn lớp Cao học K4, động viên giúp đỡ tác giả trình học tập làm luận văn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Hàm nửa liên tục 1.2 Nguyên lý biến phân Ekeland 1.3 Giải tích lồi 1.3.1 Tập lồi 1.3.2 Hàm lồi 1.3.3 Dưới vi phân hàm lồi 1.4 Một số vi phân hàm không lồi 1.4.1 Dưới vi phân Fréchet 1.4.2 Dưới vi phân xấp xỉ 1.4.3 Dưới vi phân tổng quát Điều kiện đủ cho tồn cận sai số 2.1 Điều kiện độ dốc mạnh vi phân hàm lồi 2.1.1 Điều kiện độ dốc mạnh 2.1.2 Điều kiện vi phân hàm lồi 2.2 Điều kiện vi phân tổng quát 2.2.1 Điều kiện vi phân tổng quát 2.2.2 Điều kiện vi phân Fréchet 2.2.3 Điều kiện vi phân xấp xỉ 5 7 10 10 13 14 16 16 16 23 29 29 31 36 Một số áp dụng 40 3.1 Mối liên hệ cận sai số tính quy metric 40 3.2 Phân tích độ nhạy 46 Kết luận Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 52 http://www.lrc-tnu.edu.vn Tài liệu tham khảo Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 53 http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Bài tốn tìm điều kiện tồn cận sai số cho khoảng cách từ điểm tới tập mức hàm nửa liên tục Hoffman nghiên cứu lần đầu [10] Bài toán phát biểu sau: Cho hàm nửa liên tục f : X → R ∪ {+∞} xác định khơng gian metric đủ X , nói f có cận sai số tồn cục mức α tồn số thực dương τ thỏa mãn τ d(x, [f (x) ≤ α]) ≤ (f (x) − α)+ , ∀x ∈ X, [f ≤ α] := {x ∈ X : f (x) ≤ α}, d(x, [f ≤ α]) khoảng cách từ điểm x đến tập [f ≤ α], t+ = sup(t, 0) Năm 1952, Hoffman đạt kết cho hàm lồi đa diện dạng f (x) = max1≤j≤m (aTj x + bj ), a1 , · · · , am ∈ Rm b1 , · · · , bm ∈ R Robinson [11] xét hàm lồi không đa diện không gian định chuẩn thỏa mãn điều kiện Slater (inf X f < α) với tập [f ≤ α] bị chặn thu kết sau d(x, [f ≤ α]) ≤ r + ||x0 || (f (x) − α), θ θ > 0, f (x0 ) < α − θ, r bán kính hình cầu gốc chứa tập [f ≤ α] Tiếp Mangasarian [12], Auslender - Crouzeix [13] Klatte - Ly [14] thu điều kiện đủ cho tồn cận sai số hệ tuyến tính với điều kiện tiệm cận Trong trường hợp không lồi, kết cận sai số thuộc Ioffe [15], Ng-Zheng [16] Wu-Ye [5] Năm 1998, Penot nhận kết trường hợp hàm tựa lồi Các tính chất cận sai số trường hợp hàm lồi chứng minh Corneia-jourari-Zalinesco [17], số tính chất khác thiết lập Lewis-Pang [18], Lemaire[19],Zalinesco [20] Sau đó, D.Aze nhận Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn số kết cho hàm nửa liên tục không gian metric đủ [1], [2] Ngày nay, khái niệm cận sai số đóng vai trị quan trọng giải tích biến phân tốn học nói chung Nó có mối liên hệ mật thiết với vấn đề khác toán học như: điều kiện tối ưu, tính quy metric, cực tiểu ε - xấp xỉ, phân tích độ nhạy (sensitivity Analysis), điều khiển tối ưu Mục đích luận văn trình bày lại cách tổng quan, có hệ thống khái niệm kết bản, quan trọng cận sai số toàn cục hàm nửa liên tục đưa chủ yếu [1],[2], [3] Sau chúng tơi trình bày số ứng dụng thể mối liên hệ cận sai số vấn đề liên quan từ báo [4],[5] Luận văn gồm chương Chương 1: Trình bày kiến thức sở hàm nửa liên tục dưới, nguyên lý biến phân Ekeland, giải tích lồi, số khái niệm vi phân tổng quát hàm không lồi Chương 2: Trình bày số điều kiện đủ cho tồn cận sai số cho hàm nửa liên tục cho toán chứa tham số Các điều kiện thể qua độ dốc mạnh, vi phân hàm lồi vi phân tổng quát Chương 3: Trình bày số ứng dụng cận sai số, tìm điều kiện đủ tính quy metric ứng dụng phân tích độ nhạy toán tối ưu tổng quát Do thời gian khối lượng kiến thức lớn, chắn luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong nhận bảo tận tình thầy bạn bè đồng nghiệp, tác giả xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, năm 2012 Tác giả Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương chúng tơi trình bày khái quát kiến thức hàm nửa liên tục dưới, nguyên lý biến phân Ekeland, giải tích lồi, vi phân Fréchet, vi phân xấp xỉ Các kết chủ yếu trích dẫn [6], [7],[8], [9] 1.1 Hàm nửa liên tục Cho (X, d) không gian metric f : X → R ∪ {+∞} hàm số xác định X Kí hiệu dom(f ) = {x ∈ X : f (x) < ∞} miền hữu hiệu f Cα (f ) = {x ∈ X : f (x) ≤ α} tập mức f epi(f ) = {x, α) ∈ X × R : f (x) ≤ α} tập đồ thị f Định nghĩa 1.1.1 Cho (X, d) không gian metric, hàm f : X → R ∪ {+∞} gọi hàm nửa liên tục x0 ∈ X thỏa mãn f (x0 ) ≤ lim inf f (x), x→x0 lim inf f (x) = sup inf{f (x)|x ∈ X, ||x − x0 || ≤ η} x→x0 η>0 Định nghĩa 1.1.2 Cho (X, d) không gian metric, hàm f : X → R ∪ {+∞} gọi hàm nửa liên tục x0 ∈ X thỏa mãn f (x0 ) ≥ lim sup f (x), x→x0 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn lim sup f (x) = inf sup{f (x)|x ∈ X, ||x − x0 || ≤ η} x→x0 η>0 Ví dụ 1.1.3 1) Hàm  f (x) = −1 x < x ≥ hàm nửa liên tục R 2) Cho Ω ⊂ X tập đóng, hàm số Ω  x ∈ Ω IΩ (x) = +∞ x = Ω nửa liên tục Ω 3) Hàm f : R → R xác định  3x − f (x) = x 6= x = hàm nửa liên tục x = 2(nhưng không liên tục điểm này) Định lý 1.1.4 Cho (X, d) không gian metric hàm f : X → R ∪ {+∞} Khi khẳng định sau tương đương: (i) f hàm nửa liên tục X (ii) epi(f ) = {x, α) ∈ X × R : f (x) ≤ α} tập đóng X × R (iii) Cα (f ) = {x ∈ X : f (x) ≤ α} tập đóng X Định lý 1.1.5 Một hàm f (x) nửa liên tục tập compact X phải đạt cực tiểu tập Một hàm f (x) nửa liên tục trên tập compact X phải đạt cực đại tập 1.2 Nguyên lý biến phân Ekeland Theo Định lý 1.1.5, X tập compact hàm nửa liên tục f phải đạt cực tiểu X Tuy nhiên X khơng compact điều khơng cịn Chẳng hạn xét ví dụ sau: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ví dụ 1.2.1 Xét hàm số f : X = R × R → R xác định f (x) = x21 + (x1 x2 − 1)2 , ∀x = (x1 , x2 ) ∈ X Khi đó, dễ thấy f hàm liên tục f (x) ≥ 0, ∀x ∈ X , f không đạt cực tiểu X Như f bị chặn có khái niệm cực tiểu xấp xỉ sau: với ε > cho trước, điểm xε ∈ X gọi ε - cực tiểu xấp xỉ f X thỏa mãn inf f (x) ≤ f (xε ) ≤ inf f (x) + ε x∈X x∈X Năm 1974 [8], Ekeland chứng minh không gian metric đầy đủ, xε ε - cực tiểu xấp xỉ hàm nửa liên tục ln tìm ε- cực tiểu xấp xỉ x∗ tốt điểm cực tiểu xác hàm "nhiễu" f Định lý 1.2.2 [8] Cho (X, d) không gian metric đầy đủ f : X → R ∪ {+∞} hàm nửa liên tục bị chặn Giả sử ε > xε ∈ X thỏa mãn f (xε ) ≤ inf f + ε X Khi đó, với λ > bất kì, tồn x∗ ∈ X cho (i) d(x∗ , x ) < λ  (ii) f (x∗ ) + d(x∗ , x ) ≤ f (x ) λ  ∗ (iii) f (x ) < f (x) + d(x, x∗ ), ∀x ∈ X\{x∗ } λ 1.3 1.3.1 Giải tích lồi Tập lồi Trong mục giả thiết (X, || · ||) khơng gian tuyến tính định chuẩn, X ∗ không gian đối ngẫu X Với x∗ ∈ X ∗ , x ∈ X ta kí hiệu < x∗ , x >= x∗ (x) Định nghĩa 1.3.1 Cho C tập X Khi đó, C gọi tập lồi với x, y ∈ C λx + (1 − λ)y ∈ X, ∀λ ∈ [0, 1] Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ví dụ 1.3.2 Các tập sau tập lồi: 1) Hình cầu B(a, r) = {x ∈ X : ||x − a|| < r} 2) Các nửa khơng gian đóng {x ∈ Rn :< a, x >≤ α}; {x ∈ Rn :< a, x >≥ α}, hay nửa không gian mở {x ∈ Rn :< a, x >< α}; {x ∈ Rn :< a, x >> α}, a ∈ Rn , a 6= α ∈ R Định nghĩa 1.3.3 Tập M X gọi nón x ∈ M, λ ≥ λx ∈ M Nón M gọi nón lồi M tập lồi Ví dụ 1.3.4 Các tập sau nón lồi gốc 0: 1) Rn+ = {x = (x1 , x2 , , xn ), xi ≥ 0, i = 1, 2, , n} (orthan dương) 2) M = {(x, y) ∈ R × R : y ≥ |x|} Mệnh đề 1.3.5 Cho C tập lồi X , x0 ∈ C Khi tập N (x0 , C) = {t ∈ X ∗ :< t, x − x0 >≤ 0, ∀x ∈ C} nón lồi Đặc biệt, x0 ∈ intC N (x0 , C) = {0} Định nghĩa 1.3.6 Tập N (x0 , C) xác định Mệnh đề 1.3.5 gọi nón pháp tuyến tập C 1.3.2 Hàm lồi Định nghĩa 1.3.7 Hàm f : X → R ∪ {+∞} gọi hàm lồi với x1 , x2 ∈ X, ∀λ ∈ [0, 1] ta có f (λx1 + (1 − λ)x2 ) ≤ λf (x1 ) + (1 − λ)f (x2 ) Hàm f gọi hàm lõm X −f hàm lồi Định nghĩa 1.3.8 Hàm f : X → R ∪ {+∞} gọi hàm lồi, thường f hàm lồi domf = ∅ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 41 Mệnh đề 3.1.1 fz hàm nửa liên tục F ánh xạ đa trị đóng Chứng minh fz hàm nửa liên tục tập mức {(x, y) ∈ X × Y : fz (x, y) ≤ α} đóng ∀α ∈ R ⇔ {(x, y) ∈ X × Y : d(z, y) + iF (x, y) ≤ α} đóng ∀α ∈ R ⇔ {(x, y) ∈ X × Y (x, y) ∈ F, d(z, y) ≤ α} đóng ∀α ∈ R ⇔ F có đồ thị đóng Mệnh đề 3.1.2 Với γ ≥ ta có [
[fz ≤ γ] = F −1 (y) × {y} y∈B¯γ (z) Chứng minh Ta có [f ≤ γ] = {(x, y) ∈ X × Y : fz (x, y) ≤ γ} = {(x, y) ∈ X × Y : d(y, z) + iF (x, y) ≤ γ} = {(x, y) ∈ X × Y : (x, y) ∈ F, d(y, z) ≤ γ} = {(x, y) ∈ X × Y, y ∈ B¯γ (z), (x, y) ∈ F } = {(x, y) ∈ X × Y : y ∈ B¯γ (z), x ∈ F −1 (y)} [
= F −1 (y) × {y} y∈B¯γ (z) Tiếp theo nhắc lại định nghĩa tính quy metric ánh xạ đa trị Định nghĩa 3.1.3 [4] Chúng ta nói ánh xạ đa trị F metric quy (x0 , y0 ) ∈ F tồn τ > lân cận W (x0 , y0 ) cho τ d(x, F −1 (y)) ≤ d(y, F (x)), ∀(x, y) ∈ W Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 42 Cho X, Y hai khơng gian metric (kí hiệu d metric X Y ) Với δ > 0, khơng gian tích X × Y với metric dδ ((x, y), (x0 , y )) := max{d(x, x0 ), δd(y, y )} Nếu f : X × Y → R ∪ {+∞} hàm nửa liên tục dưới, đặt |∇δ f | độ dốc mạnh f tương ứng với metric dδ Định nghĩa 3.1.4 [4] Không gian metric X gọi coherent thỏa mãn: với z ∈ X , đặt dz : X → R xác định dz (x) := d(z, x) thỏa mãn |∇dz |(x) = 1, ∀x 6= z Ví dụ 3.1.5 Từ Ví dụ 2.1.5 ta suy tập lồi không gian định chuẩn coherent Chúng ta có định lý sau thể mối liên hệ cận sai số hàm fz tính quy metric ánh xạ đa trị F Định lý 3.1.6 [4] Cho X, Y không gian metric đầy, F ⊂ X × Y ánh xạ đa trị đóng, (¯ x, y¯) ∈ F , Z tập Y, V, W cân cận x ¯ y¯, σ > 0, < δ < σ (a) Giả sử |∇δ fz |(x, y) ≥ σ, ∀(x, y, z) ∈ V × W × W, y 6= z, fz (x, y) = d(z, y) + iF (x, y) Khi tồn  > thỏa mãn d(z, F (x)) ≥ σd(x, F −1 (z)), ∀(x, z) ∈ B (¯ x) × B (¯ y ) (b) Ngược lại, giả sử Y coherent thỏa mãn d(z, F (x)) ≥ σd(x, F −1 (z)), ∀(x, z) ∈ V × W Khi tồn τ > thỏa mãn |∇δ fz |(x, y) ≥ σ, ∀(x, y, z) ∈ Br (¯ x) × Br (¯ y ) × Br (¯ y ), y 6= z Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 43 Chứng minh Cho ρ > thỏa mãn B2ρ (¯ x, y¯) ⊂ V × W, z ∈ Bρσ (¯ y) ⊂ W Đầu tiên, chứng minh (¯ x, y¯) ∈ Bρ (¯ x, y¯) ∩ [fz < ρσ] Thật vậy, ta có (¯ x, y¯) ∈ Bρ (¯ x, y¯) fz (¯ x, y¯) = d(¯ y , z) + iF (¯ x, y¯) = d(¯ y , z) < ρσ ( (¯ x, y¯) ∈ F, z ∈ Bρσ (¯ y )) Tiếp theo, chứng minh |∇δ fz |(x, y) ≥ σ, ∀(x, y) ∈ [fz > 0] ∩ Bρ (U ), U := Bρ (¯ x, y¯) Thật vậy, (x, y) ∈ Bρ (U ) suy dδ ((x, y), U ) = ⇔ Do inf (x0 ,y )∈U inf (x0 ,y )∈U dδ ((x, y), (x0 , y )) < ρ max{d(x, x0 ), δd(y, y )} < ρ  d(x, x0 ) < ρ   (x0 inf ,y )∈U ρ  d(y, y ) <  inf (x ,y )∈U δ Mặt khác, (x0 , y ) ∈ U = Bρ (¯ x, y¯) nên ta có ( d(x0 , x¯) < ρ ρ d(y y¯) < δ Từ ta có ( d(x, x¯) ≤ d(x, x0 ) + d(x0 , x¯), ∀(x0 , y ) ∈ U d(y, y¯) ≤ d(y, y ) + d(y , y¯)∀(x0 , y ) ∈ U Suy  d(x, x ¯ ) ≤ inf d(x, x ) + ρ < ρ + ρ = 2ρ   (x0 ,y )∈U ρ ρ ρ 2ρ   d(y, y¯) ≤ inf d(y, y ) + < + = (x0 ,y )∈U δ δ δ δ Do dδ ((x, y), (¯ x, y¯)) < 2ρ Từ (x, y) ∈ B2ρ (¯ xy¯) ⊂ V × W Theo giả thiết ta suy |∇δ fz |(x, y) ≥ σ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 44 Áp dụng Mệnh đề 2.1.9 cho hàm fz với U := Bρ (¯ x, y¯), α = cho σ ρ ta có fz (x, y) inf ≥ (x,y)∈[fz 0, tồn dãy (xn , yn ) ⊂ F , (zn ) ⊂ Bσr (¯ y ) cho d(xn , x¯) → 0, d(zn , y¯) → d(zn ), F (xn )) < σd(xn , F −1 (zn )) Và d(zn , yn ) < σd(xn , F −1 (zn )) Áp dụng (3.4) với zn := y¯ (với n đủ lớn, yn ∈ Bσr (¯ y )) ta d(yn , y¯) < σd(zn , F −1 (¯ y )) ≤ σd(xn , x¯) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (3.4) 45 Do ta có dδ ((¯ x, y¯), (xn , yn )) = max{d(xn , x¯), δd(yn , y¯)} ≤ max{d(xn , x¯), δσd(xn , x¯)} = d(xn , x¯) max{1, δσ} = d(xn , x¯) < r( với n đủ lớn ) Suy (xn , yn ) ∈ Br (¯ x, y¯) ∩ F , theo (3.3) ta có d(zn , yn ) ≥ σd(xn , F −1 (zn )) (3.5) Vậy (3.5) mâu thuẫn với (3.4) (b) Cho r > thỏa mãn Br (¯ x) ⊂ V, B3r (¯ y ) ⊂ W Y coherent Br (¯ y ) Cho z ∈ Br (¯ y ) điểm cố định, γ ≥ vầ (x, y) ∈ F ∩ (Br (¯ x) × Br (¯ y )) ∩ [fz > γ] thỏa mãn γ < d(z, y) ≤ 2r Khi với y ∈ B¯γ (z) ⊂ V , áp dụng giả thiết với z = y ta d(y , F (x)) ≥ σd(x, F −1 (y )) suy d(y , y) ≥ σd(x, F −1 (y ))( y ∈ F (x)) Đặc biệt, F −1 (y ) 6= ∅, ∀y F −1 (y ) = ∅ d(y , y) = +∞ Do ta có dδ ((x, y), F −1 (y ) × {y }) = max{d(x, F −1 (y )), δd(y, y )}     1 ≤ max d(y , y), δd(y, y ) = d(y, y ) max ,δ σ σ ≤ d(y, y ) σ ( < δ < ) σ Suy d(y, y ) ≥ σdδ ((x, y), F −1 (y ) × {y }) Do y ∈ B¯γ (z) tùy ý nên ta có d(y, B¯γ (z)) ≥ σdδ ((x, y), [fz ≤ γ]) Mặt khác, Y coherent Br (¯ y ) nên |∇dz |(y) = 1, ∀y 6= z, y ∈ Br (¯ y ) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 46 Suy inf Br (¯ y )\{z} |∇dz | = Áp dụng Định lý 2.1.10 ta có dz (y) − γ ≥ 1.d(y, [dz ≤ γ]), ∀y ∈ Br (¯ y )\{z}, dz (y) > γ Do (x, y) ∈ F nên suy fz (x, y) = d(y, z) + iF (x, y) = d(y, z) = dz (y) [dz ≤ γ] = {y ∈ F : dz (y) ≤ γ} = {y ∈ Y : d(y, z) ≤ γ} = B¯γ (z) [fz ≤ γ] = {(x, y) ∈ X × Y : d(y, z) + iF (x, y) ≤ γ} = {(x, y) ∈ X × Y : (x, y) ∈ F, d(y, z) ≤ γ} Từ ta có fz (x, y) − γ ≥ d(y, [dz ≤ γ]) = d(y, B¯γ (z)) ≥ σdδ ((x, y), [fz ≤ γ]) Đặt U := Br (¯ x) × Br (¯ y ), thu fz (x, y) − γ ≥ σ γ>0 (x,y)∈U ∩[fz >γ] dδ ((x, y), [fz ≤ γ]) inf inf Áp dụng Mệnh đề 2.1.9 với fz α = 0, β = +∞, từ z phần tử tùy ý thuộc Br (¯ y ) Ta suy điều phải chứng minh 3.2 Phân tích độ nhạy Trong mục xét toán tối ưu (P) dạng tổng quát min{f (x, y) : g(x, y) = 0, (x, y) ∈ C × D} Bài toán (P) thường nhúng họ tốn tối ưu (Pu ) u tham số min{f (x, , y, u) : g(x, y, u) = 0, (x, y) ∈ C × D}, Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn 47 f : X × Y × U → R hàm nửa liên tục dưới, g : X × Y × U → Z ánh xạ, C D tập đóng X Y Giá trị tối ưu toán (Pu ) kí hiệu v(u), v gọi hàm giá trị Với u ∈ U miền v , xét tập lời giải S(u) = {(x, y) ∈ C × D : g(x, y, u) = 0, f (x, y, u) = v(u)} Trong mục kiểm tra số tích chất đặc trưng hàm v có liên quan đến tốn (P ) Để đảm bảo cho tính ổn định nghiệm toán (Pu ) cần giả thiết ổn định (SA) tính compact sau: Tồn tập compact H cho với u lân cận S(u) 6= ∅ S(u) ⊂ H + B(0, ρ(u)), lim ρ(u) = u→0 Đầu tiên, kiểm tra tính nửa liên tục v Mệnh đề 3.2.1 [3] Giả sử giả thiết (SA) f, g hàm liên tục S(0) × {0} Khi (a) Hàm giá trị v hàm nửa liên tục (b) Các khẳng định sau tương đương (i) Ánh xạ đa trị S nửa liên tục 0, tức ∀ε > 0, ∃η > 0, S(u) ⊂ S(0) + B(0, ε), ∀u ∈ B(0, η) (ii) Hàm giá trị v nửa liên tục Chứng minh Giả sử ngược lại, tồn ε > dãy (un ) hội tụ tới với n đủ lớn ta có v(0) > v(un ) +  Theo giả thiết (SA), tồn (xn , yn ) ∈ S(un ), (xn , yn ) → (¯ x.¯ y ) Do f, g liên tục, ta có v(0) ≥ f (¯ x, y¯, 0) + ε, (¯ x, y¯) ∈ C × D, g(¯ x, y¯, 0) = Từ suy v(0) ≥ v(0) + ε Điều mâu thuẫn với ε > Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 48 b) Giả sử khẳng định (i) đúng, cho (un ) dãy tùy ý hội tụ tới thỏa mãn giới hạn tồn Chúng ta chứng minh lim v(un ) = v(0) n→∞ Do giả thiết (SA) nên ta có (xn , yn ) ∈ S(un ), (xn , yn ) → (¯ x, y¯) Do giả thiết (i) nên với n đủ lớn un ∈ B(0, η) S(un ) ⊂ S(0) + B(0, ε) Suy (xn , yn ) ∈ S(un ) ⊂ S(0) + B(0, ε) Cho n → ∞ ta (¯ x, y¯) ∈ S(0) + B(0, ε) Do ε > tùy ý nên (¯ x, y¯) ∈ S(0) Từ ta có f (¯ x, y¯, 0) = v(0) (3.6) Mặt khác, ta có v(un ) = f (xn , yn , un ), (xn , yn ) ∈ C × D, g(xn , yn , un ) = Do f, g liên tục nên lim v(un ) = f (¯ x, y¯, 0), (¯ x, y¯) ∈ C × D, g(¯ x, y¯, 0) = n→∞ Do (3.6) ta có lim v(un ) = v(0), từ ta thu kết n→∞ lim sup f (u) = v(0) u→0 Ngược lại, giả sử v hàm nửa liên tục S khơng nửa liên tục Khi có ε > dãy (un ), ((xn , yn )) cho (xn , yn ) ∈ S(un ) (xn , yn ) ∈ / S(0) + B(0, ε) (3.7) Bởi giả thiết (SA) giả sử (xn , yn ) → (¯ x, y¯) Do v(un ) = f (xn , yn , un ), (xn , yn ) ∈ C × D, g(xn , yn , un ) = Từ tính liên tục f, g v liên tục thu v(0) ≥ lim sup v(un ) = f (¯ x, y¯, 0), (¯ x, y¯) ∈ C × D, g(¯ x, y¯, 0) = n→+∞ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 49 Từ ta có (¯ x, y¯) ∈ S(0) Do với n đủ lớn (xn , yn ) ∈ S(0) + B(0, ε) Điều mâu thuẫn với (3.7) Tiếp theo, kiểm tra tính Lipschitz hàm giá trị v Định lý 3.2.2 [3] Giả sử (i) Với dãy (un ) hội tụ tới 0, có ∅= lim sup S(un ) ⊂ S(0) n→+∞ (ii) f, g Lipschitz lân cận (¯ x, y¯, 0) với số Lipschitz k(¯ x, y¯) (iii) g thuộc lớp C theo (x, y) với u tương ứng toàn ánh đạo hàm riêng Dx g(¯ x, y¯, 0) (iv) f thuộc lớp C (¯ x, y¯, 0) theo (x, y) với u tương ứng (v) C compact epi - Lipschitz x ¯ (vi) Khẳng định (β) Định lý 2.2.11 Khi v Lipschitz địa phương lân cận Chứng minh Chúng ta chứng minh v Lipschitz địa phương lân cận Giả sử ngược lại, có dãy un → un → cho với n đủ lớn 0 |v(un ) − v(un )| ≥ nd(un , un ) 0 Chúng ta giả sử tập I = {n : v(un ) − v(un > nd(un , un )} vô hạn (vì (un ) (un ) vai trị đối xứng) Với n ∈ I giả thiết (i), 0 0 tồn (xn , yn ))n∈J⊂I hội tụ tới (¯ x, y¯) ∈ S(0) (xn , yn ) ∈ S(un ), ∀n ∈ J Theo Định lý 2.2.11 với n đủ lớn ta có 0 0 d((xn , yn ), S3 (un )) ≤ a||g(xn , yn , un )|| Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 50 tồn (xn , yn ) ∈ S3 (un ) thỏa mãn 0 0 ||(xn , yn ) − (xn , yn )|| ≤ a||g(xn , yn , un )|| Do g Lipschitz địa phương lân cận với số Lipschitz k(¯ x, y¯) nên có 0 0 0 0 ||xn , yn )−(xn , yn )|| ≤ a||g(xn , yn , un )−g(xn , yn , un )|| ≤ ak(¯ x, y¯)d(un , un ) Do có 0 0 nd(un , un ) < (un ) − (un ) = f (xn , yn , un ) − f (xn , yn , un ) 0 0 ≤ |f (xn , yn , un ) − f (xn , yn , un )| + |f (xn , yn , un ) − f (xn , yn , un )| 0 ≤ k(¯ x, y¯)d(un , un ) + k(¯ x, y¯)||(xn , yn ) − (xn , yn )|| 0 ≤ k(¯ x, y¯)d(un , un ) + k(¯ x, y¯).a.k(¯ x, y¯)d(un , un ) = k(¯ x, y¯)(1 + a.k(¯ x, y¯))d(un , un ) Từ suy mâu thuẫn với n đủ lớn Hệ 3.2.3 Định lý 3.2.2 ta thay giả thiết (i) giả thiết: i’) (SA) S nửa liên tục Trong phần sử dụng định nghĩa sau tập nhân tử Karush - Kuhr - Tucker: Tập nhân tử Karush - Kuhr - Tucker KKT (¯ x, y¯) toán (P0 ) (¯ x, y¯) tập gồm phần tử z ∗ ∈ Z ∗ thỏa mãn −∇x f (¯ x, y¯, 0) − z ∗ ◦ Dx g(¯ x, y¯, 0) ∈ 6(1 + a.kg )(kv + kg ).∂A d(C, x¯); ¯ −∇y f (¯ x, y¯, 0) − z ∗ ◦ Dy g(¯ x, y¯, 0) ∈ 6(1 + a.kg )(kv + kf )∂A d(D, y), kv , kf kg số Lipschitz v lân cận 0, f g lân cận (¯ x, y¯, 0), a số Định lý 2.2.11 Các số giả thiết lớn Dưới vi phân hàm giá trị v đánh giá qua định lý sau Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 51 Định lý 3.2.4 [3] Giả sử thêm vào giả thiết Định lý 3.2.2 giả thiết f g thuộc lớp C (¯ x, y¯, 0) với (¯ x, y¯) ∈ S(0) tập tham số nhiễu U khơng gian compact Khi [ {∇u f (¯ x, y¯, 0) + z ∗ ◦ Du g(¯ x, y¯, 0) : z ∗ ∈ KKT (¯ x, y¯)} ∂A v(0) ⊂ (¯ x,¯ y )∈S(0) Chứng minh Gọi kv số Lipschitz v lân cận (ln tồn theo Định lý 3.2.2) Cho u∗ ∈ ∂A v(0), theo Định lý 1.4.16 với L ∈ F (U ) tồn ui → 0, ε → 0+ , u∗i → u∗ với ||ui || ≤ (kv + 1)(1 + εi ) ri → 0+ cho với u ∈ B(ui , ri ) có v(u) − v(ui )− < u∗i , u − ui > +εi ||u − ui || + 2(kv + εi )d(ui , ui + L) ≥ Từ giả thiết (i) Định lý 3.2.2 suy tồn (¯ x, y¯) ∈ S(0) (xi , yi ) ∈ S(ui ) với (xi , yi ) → (¯ x, y¯) thỏa mãn ∀(x, y, u) ∈ C × D × B(ui , ri ), g(x, y, u) = Chúng ta có f (x, y, u)−f (xi , yi , ui )− < u∗i , u−ui > +εi ||u−ui ||+2(kv +εi )d(u, ui +L) ≥ Theo Định lý 2.2.11 suy 3a(kf + kv )||g(x, y, u)|| + f (x, y, u) − f (xi , yi , ui )− < u∗i , u − ui > +εi ||u − ui || + (kv + εi )d(u, ui + L) ≥ 0, với (x, y, u) ∈ C ∩ B(xi , ri ) × D ∩ B(yi , ri ) × B(ui , ri ) Do hàm (x, y, u) 7−→ 6(1 + a.kg )(kf + kv ) [d(x, C) + d(y, D)] + 2a(kf + kv ).||g(x, y, u)|| +f (x, y, u) − f (xi , yi , ui )− < u∗i , u − ui > +εi ||u − ui || + 3kv d(u, ui + L) có cực tiểu địa phương (xi , yi , ui ) Áp dụng công thức vi phân ta thu ∈ 6(1+a.kg )(kf +kv )∂A d(xi , C)+2a(kf +kv )z ∗ ◦Dx g(xi , yi , ui )+∇x f (xi , yi , ui ); ∈ 6(1+a.kg )(kf +kv )∂∂A d(yi , D)+2a(kf +kv )z ∗ ◦Dy g(xi , yi , ui )+∇y f (xi , yi , ui ) Cho i → ∞ ta điều phải chứng minh Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 52 Kết luận Luận văn trình bày số kết cận sai số hàm nửa liên tục số ứng dụng cận sai số Các kết luận văn gồm có: • Trình bày số điều kiện đủ tồn cận sai số thông qua độ dốc mạnh (Định lý 2.1.10), vi phân hàm lồi (Định lý 2.1.15), vi phân Fréchet (Định lý 2.2.7,Định lý 2.2.9 ), vi phân xấp xỉ (Định lý 2.2.11) • Trình bày mối liên hệ tính tính quy metric ánh xạ đa trị cận sai số hàm số đơn trị (Định lý 3.1.6) • Trình bày số tính chất hàm nhận giá trị tối ưu toán tối ưu tổng quát: tính nửa liên tục (Mệnh đề 3.2.1), tính Lipschitz địa phương (Định lý 3.2.2), đánh giá vi phân hàm giá trị v (Định lý 3.2.4) Hướng nghiên cứu luận văn tiếp tục tìm hiểu khái niệm có liên quan chặt chẽ tới cận sai số giải tích phi tuyến tính quy metric, tính mở tính chất Aubin ánh xạ đa trị Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 53 Tài liệu tham khảo [1] D.Azé (2003), A survey on error bounds for lower semicontinuous functions, ESAIM: proceedings, vol 13, 1-17 [2] D.Azé and J-N.Corvellec (2004), Characterzations of error bounds for lower semicontinuous functions on metric spaces, ESAIM: Control, Optimisation and Calculus of Variations, Vol 10, 409-425 [3] Paul Bosch, Abderrahim and Rene Henrion (2004), Suffcient conditions for error bound and applications, Applied Mathematics and Optimization, 161-181 [4] D.Azé (2006), A unified theory for metric regularity of multifunctions, Journal of Convex Analysis 13, No 2, 225-252 [5] Zili Wu and Jane J Ye (2002), On error bounds for lower semicontinuous functions, Math Program Ser A, 301-314 [6] Hoàng Tụy (2006), Lý Thuyết tối ưu, Viện Toán Học Việt Nam [7] F H Clarke (1983), Optimization and Nonsmooth Analysis, WileyInterscience, New York [8] D G De Figueiredo (1989), Lectures on The Ekeland Variational Principle with Applications and Detours, Tata Institute of Fundamental Research, Bombay [9] A Ya Kruger (2003), On Fréchet subdifferentials, Journal of Mathematical Sciences, Vol 116, No 3, 3325-3358 [10] A.J Hoffman (1952), On approximate solutions of systems of linear inequalities, J.Res Nat Bur Stand 49, 233-238 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 54 [11] S.M Robinson (1975), An application of error bounds for convex programming in a linear space, SIAM J Control 13, 271-273 [12] O L Mangasarian (1985), A condition number for differentiable convex inequalities, Math Oper Res 10, no 2, 175-179 [13] A Auslender and J.-P Crouzeix (1988), Global regularity theorems, Math Oper Res 13, no 2, 243-253 [14] D Klatte, W Li (1999), Asymptotic constraint qualifications and global error bounds for convex inequalities, Math Program 84, no 1, Ser A, 137-160 [15] A Ioffe (1979), Regular points of Lipschitz functions, Trans Amer Math Soc 251, 61-69 [16] K F Ng and X Y Zheng (2001), Error bounds for lower semicontinuous functions in normed spaces,SIAMJ.Optim 12, 1-17 [17] O Cornejo, A Jourani, and C Zalinescu (1997), Conditioning and upper-Lipschitz inverse subdifferentials in nonsmooth optimization problems, J Optim Theory Appl 95, 127-148 [18] A S Lewis and J S Pang (1998), Error bounds for convex inequality systems, Nonconvex Optim Appl., J.-P Crouzeix et al Eds.,Kluwer Acad Publ 27, 75-110 [19] B Lemaire, Well-posedness (1998), conditioning and regularization of minimization, inclusion and fixed-point problems, Pliska Stud.Math Bulgar 12, 71-84 [20] C Zalinescu (2001), Weak sharp minima, well behaving functions and global error bounds for convex inequalities in Banach spaces, Proc 12th Baikal Int Conf on Optimization Methods and their Applications, V Bulatov and V Baturin Eds., Institute of System Dynamics and Control Theory of SB RAS, Irkutsk, 272-284 [21] E De Giorgi, A Marino and M Tosques (1980), Problemi di evoluzione in spazi metrici e curve di massima pendenza (Evolution Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 55 problems in metric spaces and curves of maximal slope),Atti Accad Naz Lincei Rend Cl Sci Fis Mat Natur 68, 180-187 [22] A Jourani and L Thibault (2002), Metric regularity for strongly compactly Lipschitzian mappings, Nonlinear Anal TMA, 24, 229–240 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn