Về môđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất

Đại học thái nguyên Tr-ờng đại học s- phạm Giáp Xuân Tr-ờng Về môđun đối đồng điều địa ph-ơng cấp cao Luận văn thạc sĩ toán học Thỏi Nguyờn, 2012 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! Mục lục Mở đầu Mét sè vÊn ®Ị vỊ môđun Artin 1.1 Tiêu chuẩn Artin cho môđun 1.2 BiĨu diƠn thø cÊp cho môđun Artin 1.3 3 Tập iđêan nguyên tố gắn kết 13 Tính chất sở môđun đối đồng điều địa phương 16 2.1 Khái niệm môđun đối đồng điều địa phương 16 2.2 Tính triệt tiêu môđun đối đồng điều địa phương 18 2.3 Tính Artin môđun đối đồng điều địa phương 20 Về môđun đối đồng điều địa phương cấp cao 23 3.1 Tính catenary cho vành Noether 23 3.2 TÝnh chất (*) cho môđun Artin 24 HId (M ) 26 HId (M ) 31 HId (M ) 33 42 43 3.3 Đặc trưng tính chất (*) 3.4 Tập iđêan nguyên tố gắn kết 3.5 Tập đối giá Kết luận Tài liệu tham khảo S húa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn1 Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành bảo hướng dẫn tận tình PGS TS Lê Thị Thanh Nhàn Cô đà dành nhiều thời gian hướng dẫn giải đáp thắc mắc suốt trình làm luận văn Tôi xin bầy tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô Tôi xin gửi tới thầy cô Khoa Toán, Khoa Sau đại học Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên thầy cô đà tham gia giảng dạy khóa học 2010-2012, lời cảm ơn sâu sắc công lao dạy dỗ suốt trình giáo dục, đào tạo nhà trường Tôi xin cảm ơn Sở Nội vụ, Sở Giáo dục Đào tạo tỉnh Bắc Giang, Trường THPT Bố Hạ, tổ Toán-Tin Trường THPT Bố Hạ, nơi công tác, đà tạo điều kiện cho hoàn thành khóa học Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè người thân đà quan tâm, tạo điều kiện, động viên, cổ vũ để hoàn thành nhiệm vụ m×nh Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn2 Mở đầu Cho (R, m) vành giao hoán Noether, địa phương M R-môđun hữu hạn sinh Từ Bổ đề Nakayama ta có AnnR (M/pM ) = p với iđêan nguyên tố p ⊇ AnnR M RÊt tù nhiªn, theo suy nghÜ đối ngẫu, Nguyễn Tự Cường Lê Thanh Nhàn [CN] đà xét tính chất sau R-môđun Artin A AnnR (0 :A p) = p với iđêan nguyên tố p AnnR A Khi () R vành đầy đủ theo tôpô m-adic, sử dụng đối ngẫu Matlis áp dụng tính chất cho môđun hữu hạn sinh, ta thấy tính chất (*) cho R-môđun Artin Tuy nhiên tính chất (*) nói chung không vành R không đầy ®đ TÝnh chÊt (*) ®­ỵc giíi thiƯu bëi Ngun Tù Cường Lê Thanh Nhàn [CN] nhằm nghiên cứu chiều môđun Artin, họ Noether A thỏa mÃn tính chất (*) chiều A chiều Krull dim(R/ AnnR A) Năm 2007, [CDN], Nguyễn Tự Cường, Nguyễn Thị Dung, Lê Thanh Nhàn đà đặc trưng tính chất (*) môđun đối đồng điều địa phương cấp cao với giá cực đại nh­ sau: vµnh Hmd (M ) tháa m·n tÝnh chÊt (*) vµ chØ R/ AnnR Hmd (M ) catenary Năm 2009, Lê Thanh Nhàn Trần Nguyên An [NA1] đà đặc trưng tính chất (*) môđun ®èi ®ång ®iỊu cÊp i tïy ý víi gi¸ cùc đại, từ họ R catenary phổ dụng thớ hình thức R Cohen-Macaulay Hmi (M ) thỏa mÃn tính chất (*) với i Năm 2012, Lê Thanh Nhàn Trần Đỗ Minh Châu [NC] đà đặc trưng tính chất (*) môđun đối đồng điều địa phương cấp cao với giá tùy ý, từ họ nghiên cứu tập iđêan nguyên tố gắn kết, tập đối giá số bội môđun S húa bi Trung tõm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn3 Môc đích luận văn trình bày lại chi tiết kết báo [NC] Lê Thanh Nhàn Trần Đỗ Minh Châu, On the top local cohomology modules, Journal of Algebra, 349 (2012), 342-352 §Ĩ thuận tiện cho diễn giải, luận văn trình bày số vấn đề liên quan tiªu chn Artin cđa L Melkersson [M1], lý thut biĨu diƠn thø cÊp cđa I G Macdonald [Mac], vµ mét số tính chất sở môđun đối đồng điều địa phương [BS] Luận văn gồm chương Chương trình bày số vấn đề môđun Artin tiêu chuẩn Artin, biểu diễn thứ cấp Chương nhắc lại khái niệm môđun đối đồng điều địa phương, tính triệt tiêu tính Artin môđun đối đồng điều địa phương Chương phần luận văn, chứng minh đặc trưng tính chất (*) môđun đối đồng điều địa phương cấp cao HId (M ), từ mô tả tập iđêan nguyên tố gắn kết tập đối giá HId (M ) S hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn4 Chương Một số vấn đề môđun Artin Trong suốt luận văn này, cho phương (R, m) vành giao hoán Noether địa A R-môđun Mục đích Chương trình bày số vấn đề môđun Artin phục vụ cho chương sau 1.1 Tiêu chuẩn Artin cho môđun Tiết trình bày khái niệm số tính chất sở môđun Artin, đặc biệt tiêu chuẩn Artin L Melkersson [M1] Định nghĩa 1.1.1 Một môđun R-môđun A gọi Artin dÃy giảm A dừng, tức A A1 ⊇ ⊇ An ⊇ dÃy giảm môđun với A tồn n0 N cho An = An0 n ≥ n0 MƯnh ®Ị sau cho ta điều kiện tương đương với định nghĩa môđun Artin Mệnh đề 1.1.2 Cho A R-môđun Khi A Artin tập khác rỗng môđun A có phần tử tối thiểu Chứng minh Cho A Artin tập khác rỗng môđun A Giả sử phần tử cực tiểu Lấy A1 Vì A1 không S hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn5 phần tử cực tiểu nên tồn A2 ∈ Γ cho A1 ⊃ A2 vµ A1 6= A2 Tiếp tục trình ta dÃy giảm không dừng môđun A1 A2 ⊃ ⊃ An ⊃ A Điều trái với giả thiết A Artin Ngược lại, giả sử tập khác rỗng môđun phần tử cực tiểu Cho môđun cđa cùc tiĨu Gäi A ®Ịu cã A1 ⊇ A2 ⊇ · · · ⊇ An ⊇ dÃy giảm A Theo giả thiết tËp Γ = {Ai | i ≥ 1} cã phÇn tử An0 phần tử cực tiểu Khi ®ã An = An0 víi mäi n ≥ n0 VËy A lµ Artin Vµ tiÕp theo lµ mét tính chất hay dùng môđun Artin Mệnh đề 1.1.3 Cho → A0 → A → A00 → dÃy khớp R-môđun Khi A Artin nÕu vµ chØ nÕu A0 , A00 lµ Artin Chøng minh Ta coi A0 môđun A A00 = A/A0 Giả sử A Artin Vì dÃy giảm môđun môđun A0 dÃy giảm A nên phải dừng Vì A0 Artin Nếu A001 ⊇ ⊇ A00n ⊇ dÃy giảm môđun A00 có dÃy giảm môđun với i Vì dÃy A chứa A0 A1 ⊇ An ⊇ cho A00i = Ai /A0 A Artin nên dÃy A1 ⊇ ⊇ An ⊇ phải dừng Do A001 A00n ⊇ dõng VËy A00 lµ Artin Ngược lại, giả sử môđun A0 , A00 lµ Artin vµ A1 ⊇ ⊇ An dÃy giảm A Ta có hai dÃy giảm môđun A1 A0 ⊇ ⊇ An ∩ A0 ⊇ (A1 + A0 )/A0 ⊇ ⊇ (An + A0 )/A0 ⊇ cña A0 vµ A00 Do A0 vµ A00 lµ Artin nên tồn hai số tự nhiên k t cho An ∩ A0 = Ak ∩ A0 víi mäi n ≥ k vµ (An + A0 )/A0 = (At + A0 )/A0 với n t Đặt n0 = max{t, k}.V× (An + A0 )/A0 ∼ = An /(An ∩ A0 ) nªn víi mäi Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn6 n ≥ n0 ta cã An /(An ∩ A0 ) = An+1 /(An+1 ∩ A0 ) vµ An ∩ A0 = An+1 ∩ A0 Suy An = An+1 víi mäi n ≥ n0 VËy A môđun Artin Phần cuối tiết đưa tiêu chuẩn Artin theo tính chất I -xoắn Định nghĩa 1.1.4 Cho I iđêan R Với số tự nhiên n, đặt (0 :A I n ) = {x ∈ A | I n x = 0} Khi (0 :A I n ) môđun cđa [ A KÝ hiƯu ΓI (A) = (0 :A I n ) tập phần tử A bị triệt tiêu n>0 luỹ thừa I Ta nói Bổ đề 1.1.5 A môđun I -xoắn A = I (A) Cho a R A Ra-xoắn Giả sử A0 , A00 môđun A cho A00 ⊆ A0 vµ (0 :A0 ai+1 ) = (0 :A00 ai+1 ) víi mäi i Khi ®ã A0 = A00 Chứng minh Vì A Ra-xoắn nên A0 Ra-xoắn Do ta có A = [ (0 :A0 ) V× thÕ ta chØ cÇn chøng minh (0 :A0 ) ⊆ A00 víi mäi i≥0 i ≥ Ta sÏ chøng minh ®iỊu quy nạp theo i Cho i = Theo gi¶ thiÕt, a0 (0 :A0 a) = a0 (0 :A00 a) Suy (0 :A0 a) = (0 :A00 a) A00 , khẳng định với trường hợp i, tøc lµ: i = Cho i > giả sử khẳng định đà với (0 :A0 ) ⊆ A00 LÊy z ∈ (0 :A0 ai+1 ) Suy z ∈ (0 :A0 ai+1 ) = (0 :A00 ai+1 ) Do ®ã tån t¹i z ∈ (0 :A00 ai+1 ) cho z = z Suy (z − z ) = Theo gi¶ thiÕt quy n¹p, z − z ∈ (0 :A0 ) ⊆ A00 V× thÕ z = (z − z ) + z ∈ A00 V× thÕ (0 :A0 ai+1 ) ⊆ A00 VËy (0 :A0 ) ⊆ A00 víi mäi i Do A0 = A00 Sau tiêu chuẩn Artin L Melkersson trình bày [M1] đà trở thành kết hay dùng Đại sè Giao ho¸n Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn7 (Tiªu chuÈn Artin Melkersson) Định lý 1.1.6 A Artin tồn iđêan I cho (0 :A I) Artin A I -xoắn Chứng minh Giả sử A Artin Với I iđêan tùy ý, (0 :A I) môđun A nên Artin Lấy x A Rõ ràng Rx R-môđun hữu hạn sinh Vì Rx môđun A nên Artin Do `(Rx) < Vì thế, tồn n cho mn x = 0, tøc lµ x ∈ (0 :A mn ) Do A m-xoắn Ngược lại, giả sử tồn iđêan A= [ I R cho (0 :A I) lµ Artin vµ (0 :A I n ) Giả sử I sinh t phần tử Ta chứng minh A n0 Artin phương pháp quy nạp theo t Nếu t = I = A = (0 :A I) Artin Với t = Đặt I = Ra Gäi L1 ⊇ L2 ⊇ ⊇ Ln dÃy giảm môđun A Ta chứng minh dÃy phải dừng Với i với môđun L A, nÕu x ∈ (0 :L ai+1 ) th× tån t¹i y ∈ (0 :L ai+1 ) cho x = y Ta cã ax = a(ai y) = ai+1 y = Suy ax = hay x ∈ (0 :A a) VËy (0 :L ai+1 ) ⊆ (0 :A a) TiÕp theo ta chøng minh (0 :Ln ai+1 ) ⊇ ai+1 (0 :Ln ai+2 ) víi mäi i ThËt vËy, lÊy x ai+1 (0 :Ln ai+2 ) Khi tồn y ∈ (0 :Ln ai+2 ) cho x = ai+1 y V× y ∈ (0 :Ln ai+2 ) nªn ai+2 y = Suy ai+1 (ay) = hay ay ∈ (0 :Ln ai+1 ) Do ®ã tån t¹i Suy z ∈ (0 :Ln ai+1 ) cho ay = z Ta cã x = ai+1 y = z x ∈ (0 :Ln ai+1 ) VËy (0 :Ln ai+1 ) ⊇ ai+1 (0 :Ln ai+2 ) Với n ta có dÃy giảm môđun (0 :A a) (0 :Ln a) ⊇ ⊇ (0 :Ln ai+1 ) ⊇ ai+1 (0 :Ln ai+2 ) Vì (0 :A a) Artin nên tồn kn N cho En = akn (0 :Ln akn +1 ) = (0 :Ln ai+1 ); ∀i ≥ kn Ta cã En = akn +kn+1 (0 :Ln akn +kn+1 +1 ) ⊇ akn +kn+1 (0 :Ln+1 akn +kn+1 +1 ) = En+1 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn8 V× thÕ E1 ⊇ ⊇ En ⊇ lµ mét d·y giảm môđun (0 :A a) Do phải dừng, tức tồn Với n0 cho En = En0 víi mäi n ≥ n0 i ≥ kn0 , n ≥ n0 ta cã

En0 = akn0 (0 :Ln0 akn0 +1 ) ⊇ :Ln0 ai+1 ⊇ :Ln ai+1 ⊇ En = En0 VËy
En0 = :Ln ai+1 ; ∀n ≥ n0 vµ i ≥ kn0 Với số nguyên i = 0, 1, , kn0 − ta cã d·y gi¶m


:L1 ai+1 ⊇ ⊇ :Ln ai+1 :Ln+1 ai+1 môđun môđun Artin (0 :A a), tồn t¹i u ≥ n0

:Ln ai+1 = :Lu ai+1 ; ∀n ≥ u, i kn0 − Theo Bỉ ®Ị 1.1.5, Víi Ln = Ln+1 víi mäi n ≥ u VËy A Artin t > Giả sử I = (a1 , , at ) Đặt J = (a1 , , at−1 ) vµ B = (0 :A J) Khi B Rat -xoắn (0 :B at ) = (0 :A I) Do (0 :A I) Artin nên hợp (0 :B at ) Artin Vì B Rat -xoắn nên theo trường t = đà chứng minh B Artin Vì A I -xoắn nên A J -xoắn Vì B = (0 :A J) Artin với J sinh t phần tử nên theo giả thiết quy nạp ta 1.2 A Artin Biểu diễn thứ cấp cho môđun Artin Luôn giả thiết (R, m) vành giao hoán Noether địa phương A R- môđun Các kiến thức tiết tham khảo báo [Mac] I G Macdonald Định nghĩa 1.2.1 i) Cho x ∈ R NÕu tån t¹i mét sè tù nhiªn n cho xn A = ta nói phép nhân x A luü linh NÕu xA = A th× ta nãi phÐp nhân x A toàn cấu S húa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn9 30 Do R/ AnnR HId (M ) lµ catenary nên R/ AnnR Hmd (M/N ) cate- d nary Theo Bổ đề 3.3.4, Hm (M/N ) thoả mÃn tính chất (*) HId (M ) tho¶ m·n tÝnh chÊt (*) HƯ qu¶ 3.3.6 Cho AssR (I, M ) nh­ KÝ hiƯu 3.3.1 Khi ®ã (i) AssR (I, M ) ⊆ AttR HId (M ) Đặc biệt AssR (I, M ) 6= HId (M ) 6= (ii) Gi¶ sư AssR (I, M ) = Khi HId (M ) thoả m·n tÝnh chÊt (*) vµ chØ HId (M ) = Chøng minh (i) LÊy p ∈ AssR (I, M ) Khi ®ã p ∈ AssR M , dim(R/p) = d b R) b cho dim(R/P b ) = d Khi I + p = m LÊy P ∈ AssRb (R/p P ∩ R = p Theo [Mat, Định lý 23.2(ii)] ta có [ c b R) b AssRb M = AssRb (R/q q∈AssR M p √ c b + Pb = m b Theo V× thÕ P ∈ AssRb M Bëi I + p = m nên IR Bổ đề 3.3.3 ta cã P ∈ AttRb HId (M ) Do ®ã theo Bỉ ®Ị 1.3.3 th× p ∈ AttR HId (M ), Do ®ã AssR (I, M ) ⊆ AttR HId (M ) VËy AssR (I, M ) 6= ∅ kÐo theo AttR HId (M ) 6= ∅, ®ã theo Bổ đề 1.3.1 HId (M ) 6= (ii) Gi¶ sư AssR (I, M ) = ∅ Râ ràng HId (M ) = HId (M ) tho¶ m·n tÝnh chÊt (*) Gi¶ sư HId (M ) thoả mÃn tính chất (*) HId (M ) 6= Theo Bỉ ®Ị 1.3.1, AttR HId (M ) 6= Do tồn p AttR HId (M ) Theo Bổ đề 1.3.3 Bổ đề 3.3.3 ta suy p ∈ AssR M vµ dim(R/P ) = d Do √ HId (M ) tho¶ m·n tính chất (*) nên theo Định lý 3.3.2 ta có I + p = m Suy p ∈ AssR (I, M ) (trái với giả thiết AssR (I, M ) = ) Vậy ta có điều phải chứng minh Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn30 31 3.4 Tập iđêan nguyên tố gắn kết HId(M ) Ta có kết sau tập iđêan nguyên tố gắn kết môđun đối đồng điều địa phương cấp cao với giá cực đại (xem [BS]) AttR Hmd (M ) = {p AssR M | dim(R/p) = d} Sử dụng Định lý 3.3.2 Hệ 3.3.6 ta mô tả tập iđêan nguyên tố gắn kết môđun đối đồng điều địa phương cấp cao với giá tùy ý HId (M ) nh­ sau MƯnh ®Ị 3.4.1 NÕu HId (M ) thoả mÃn tính chất (*) AttR HId (M ) = {p ∈ AssR M | dim(R/p) = d, p I + p = m} Chøng minh Theo HƯ qu¶ 3.3.6(i), AssR (I, M ) ⊆ AttR HId (M ) LÊy p ∈ AttR HId (M ) ®ã p ∈ AssR M vµ dim(R/p) = d Do HId (M ) thoả mÃn tính chất (*) nên theo Định lý 3.3.2 I + p = m Do ®ã p ∈ AssR (I, M ) Suy AttR HId (M ) = AssR (I, M ) Do ®ã p d AttR HI (M ) = {p ∈ AssR M | dim(R/p) = d, I + p = m} Chó ý r»ng mèi quan hƯ cđa c¸c tËp iđêan nguyên tố liên kết M cho hai c«ng thøc sau (xem [Mat]): c} AssR M = {P ∩ R | P ∈ AssRb M [ c b R) b AssRb M = AssRb (R/p p∈AssR M Đối với tập iđêan nguyên tố gắn kết môđun Artin, Chương I ta đà trình bày mối quan hÖ AttR A = {P ∩ R | P ∈ AttRb A} Số hóa Trung tâm Học liệu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn31 32 Tuy nhiên công thức AttRb A [ = b R) b lại không AssRb (R/p pAttR A trường hợp tổng quát Mệnh đề sau cho ta điều kiện cần đủ để công thức Mệnh đề 3.4.2 Cho AssR (I, M ) nh­ KÝ hiÖu 3.3.1 Khi khẳng định sau tương đương [ (i) AttRb HId (M ) = b R) b AssRb (R/p p∈AttR HId (M ) (ii) HId (M ) tho¶ m·n tính chất (*) R/p không trộn lẫn với p ∈ AssR (I, M ) Chøng minh (i)⇒(ii) Cho q ∈ Var(AnnR HId (M )) Theo Bỉ ®Ị 1.3.1, AttR HId (M ) = Var(AnnR HId (M )) Vì tồn p AttR HId (M ) b R) b Khi ®ã Q ∩ R = q Vì đồng cấu tự cho p q LÊy Q ∈ Ass b (R/q R nhiªn b phẳng, thoả mÃn Định lý xuống [Mat, §Þnh lý 9.5] R→R b cho P ⊆ Q P R = p Vì P pR b Do tồn P Spec(R) c R) b cho P ⊆ P V× p AttR H d (M ) nên tồn P ∈ Ass b (R/p I R P ∈ AttRb HId (M ) Do ®ã theo Bỉ ®Ị 1.3.1 b-môđun H d (M ) P AnnRb HId (M ) Q AnnRb HId (M ) Vì R I nên theo giả thiết (i) ta có thoả mÃn tính chất (*) nên ta cã AnnRb (0 :HId (M ) Q) = Q Do ®ã q ⊆ AnnR (0 :HId (M ) q) ⊆ AnnRb (0 :HId (M ) Q) ∩ R = Q ∩ R = q VËy AnnR (0 :HId (M ) q) = q víi mäi q ∈ Var AnnR HId (M ) Theo định HId (M ) thoả mÃn tính chÊt (*) Cho p ∈ AssR (I, M ) Theo HƯ b R) b , theo gi¶ thiÕt qu¶ 3.3.6(i) ta cã p ∈ AttR H d (M ) Víi P ∈ Ass b (R/p nghÜa th× I (i) ta cã VËy P ∈ R d AttRb HI (M ) Do theo Bổ đề 3.3.3 b ) = d dim(R/P R/p không trộn lẫn P AttRb HId (M ) Đặt p = P R Khi ®ã, theo Bỉ ®Ị b ) = d Suy 1.3.3 p AttR H d (M ) theo Bổ đề 3.3.3 dim(R/P (ii)(i) Cho I S hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn32 33 b R) b Suy dim(R/p) = d Do vËy P ∈ AssRb (R/p [ b R) b AttRb HId (M ) ⊆ AssRb (R/p p∈AttR HId (M ) Cho b R) b Do H d (M ) tho¶ m·n tÝnh p ∈ AttR HId (M ) vµ P ∈ AssRb (R/p I chÊt (*) theo Mệnh đề 3.4.1 p AssR (I, M ) Do ®ã p ∈ AssR M , dim(R/p) = d vµ I + p = m Theo §Þnh lý 23.2(ii) [Mat], ta cã P ∈ c Theo giả thiết (ii) R/p không trộn lẫn, dim(R/P b ) = AssRb M p √ b+P = m b Do ®ã theo Bỉ ®Ị dim(R/p) = d Vì I + p = m nên I R 3.3.3 ta cã Suy P ∈ AttRb HId (M ) [ b R) b ⊆ Att b HId (M ) AssRb (R/p R p∈AttR HId (M ) 3.5 Cho TËp ®èi gi¸ cđa HId(M ) p ∈ Spec(R) Trong [Sm], K E Smith đà nghiên cứu hàm tử gọi "Đối ngẫu hàm tử địa phương hóa"
Fp (−) = HomR HomR (−, E(R/m)), E(R/p) tõ ph¹m trï R-môđun vào phạm trù Rp -môđun, E() bao nội xạ Chú ý Fp lµ tun tÝnh, khíp, Fp (A) 6= nÕu vµ p AnnR A R đầy đủ Fp (A) Artin với R-môđun Artin A Mệnh đề 3.5.1 Cho p Spec(R) Fp () hàm tử đối ngẫu hàm địa phương hóa định nghĩa K E Smith Cho N Kí hiệu 3.3.1 Giả sử R ®Çy ®đ Khi ®ã d−dim(R/p) Fp (HId (M )) ∼ (M/N )p = HpRp Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn33 34 Chøng minh Khi R đầy đủ, HId (M ) thoả mÃn tính chất (*) Theo Định lý 3.3.2 ta có HId (M ) ∼ = Hmd (M/N ) Do R vành đầy đủ nên từ [BS, 11.2.6] ta có d−dim(R/p) (M/N )p Fp (HId (M )) ∼ = HpRp = Fp (Hmd (M/N )) ∼ MƯnh ®Ị 3.5.1 gợi ý cho định nghĩa khái niệm đối giá môđun đối đồng điều địa phương cấp cao sau Định nghĩa 3.5.2 kí hiệu Cho N Kí hiệu 3.3.1 Đối giá HId (M ), CosR (HId (M )), định nghĩa sau d−dim(R/p) CosR (HId (M )) = {p ∈ Spec(R) | HpRp Với (M/N )p 6= 0} M hữu hạn sinh ta có SuppR M = Var(AnnR M ) Tuy nhiên môđun Artin Bổ đề 3.5.3 HId (M ) ta chØ cã quan hÖ sau CosR (HId (M )) ⊆ Var(AnnR HId (M )) Chøng minh Cho tập AssR (I, M ) N định nghĩa nh­ KÝ hiƯu 3.3.1 LÊy Bỉ ®Ị 1.3.1, tån ddim(R/p) p CosR (HId (M )), ®ã HpRp d−dim(R/p) qRp ∈ AttRp HpRp (M/N )p 6= Theo (M/N )p Theo [BS, 11.3.8] q ∈ AttR Hmd (M/N ) Do ®ã theo Bỉ ®Ị 1.3.3 Bổ đề 3.3.3 q AssR (M/N ) Do AssR (I, M ) = AssR (M/N ) nªn q ∈ AssR (I, M ) Theo HƯ qu¶ 3.3.6(i) q AttR HId (M ) theo Bổ ®Ị 1.3.1 th× q ⊇ AnnR HId (M ) Suy p ∈ Var(AnnR HId (M )) VËy CosR (HId (M )) Var(AnnR HId (M )) Với số nguyên i 0, đặt idim(R/p) PsuppiR M = {p ∈ Spec(R) | HpRp Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (Mp ) 6= 0} http://www.lrc-tnu.edu.vn34 35 Tập PsuppiR M định nghĩa M Brodman R Y Sharp [BS1] gọi giả giá thứ i M Kết sau đặc trưng tính chất (*) Hmi (M ) thông qua tập giả giá (xem [NA1, Định lí 3.1]) Bổ đề 3.5.4 Cho i số nguyên Khi mệnh đề sau tương đương: i (i) Hm (M ) tho¶ m·n tÝnh chÊt (*) i (ii) Var(AnnR (Hm (M ))) = PsuppiR M i−dim(R/p) Chøng minh (i)⇒(ii) Cho p ∈ PsuppiR M Khi ®ã HpRp (Mp ) 6=
i−dim(R/p) Do ®ã tån qRp AttRp HpRp (Mp ) với iđêan nguyên tố q p Theo [BS, 11.3.8] ta suy q ∈ AttR (Hmi (M )) Bëi vËy ta i (M )) Do ®ã cã p ⊇ q ⊇ AnnR (Hm i PsuppR M
⊆ Var AnnR (Hmi (M ))
p ∈ Var AnnR (Hmi (M )) V× Hmi (M ) tháa m·n tÝnh chÊt
(*) nªn ta cã AnnR :Hmi (M ) p = p Suy Ngược lại, cho
Var AnnR (0 :Hmi (M ) p) = {p} LÊy q ⊇ AnnR (0 :Hmi (M ) p) Khi q p Vì Hmi (M ) thỏa m·n tÝnh chÊt (*) nªn AnnR (0 :0:H i (M ) p q) = AnnR (0 :Hmi (M ) q) = q m Do ®ã :Hmi (M ) p cịng tháa m·n tÝnh chÊt (*) V× thÕ
dim(R/p) = dim R/ AnnR (0 :Hmi (M ) p)
b Ann b (0 :H i (M ) p) = dim R/ R m
b b = max{dim(R/ p) | b p ∈ AttRb :Hmi (M ) p } Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn35 36
b b b p ∈ AttRb :Hmi (M ) p cho dim(R/ p) = dim(R/p)
b b Chó ý r»ng b p ∈ Var AnnRb (Hmi (M )) vµ b p ∩ R ⊇ p V× dim(R/ p) = b Chó ý ta có dim(R/p) nên b p iđêan nguyên tố tối thiểu pR c) Vì ta kiểm tra b-môđun Hmi (M ) đẳng cÊu c¸c R = H i (M Do vËy tån b mR b đẳng thức sau vành ®Çy ®đ R i R c= Psupp b M Suy
Var AnnRb (Hmi (M )) b b p) c c, tøc lµ H i−dim(R/ b (Mbp ) 6= Vì b p iđêan nguyên p PsuppiRb M b b pR b p b vµ dim(R/ b b tè tèi thiĨu cđa pR p) = dim(R/p) nên theo Định lí chuyển sở phẳng (xem [BS, 4.3.2]) ta cã i−dim(R/p) HpRp b b b b i−dim(R/ p) i−dim(R/ p) c bbp ∼ bbp ) ∼ (Mp ) ⊗ R (Mp ⊗ R (Mbp ) 6= = HpRb = HbpRb b p b p i−dim(R/p) (Mp ) 6= 0, tøc lµ p ∈ PsuppiR M Do ®ã
Var AnnR (Hmi (M )) ⊆ PsuppiR M
i (ii)⇒(i) Gi¶ sư Var AnnR (Hm (M )) = Psupp iR M Cho p iđêan Do HpRp i (M )) Khi theo giả thiết ta có p nguyên tố chứa AnnR (Hm tức PsuppiR M , idim(R/p) b R) b nên tồn (Mp ) 6= V× dim(R/p) = dim(R/p b R) b cho dim(R/ b b iđêan nguyên tố b p ∈ Ass(R/p p) = dim(R/p) Suy b Chó ý r»ng b p ∩ R = p vµ b p iđêan nguyên tố tối thiểu pR HpRp ánh xạ cảm sinh bbp phẳng Bởi vậy, theo Định lí chuyển Rp R b b idim(R/ p) c i−dim(R/p) ∼ bbp 6= Do ®ã së ph¼ng ta cã H b ( M ) H (Mp ) ⊗ R = b p pR p b pRbp
c) = Var Ann b (H i (M )) Chó ý r»ng H i (M ) lµ R bb p PsuppiRb (M m m R môđun Artin tháa m·n tÝnh chÊt (*) Bëi vËy AnnRb (0 :Hmi (M ) b p) = b p Do ®ã ta cã p ⊆ AnnR (0 :Hmi (M ) p) ⊆ AnnRb (0 :Hmi (M ) b p) ∩ R = b p ∩ R = p Do ®ã AnnR (0 :Hmi (M ) p) = p VËy Hmi (M ) tháa m·n tÝnh chÊt (*) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn36 37 Bæ ®Ị 3.5.5 Cho tËp N nh­ KÝ hiƯu 3.3.1 Gọi UM (0) môđun lớn M với chiều nhỏ d Khi (i) CosR (HId (M )) = PsuppdR (M/N ) d (ii) CosR (Hm (M )) = PsuppdR (M/UM (0)) = PsuppdR (M ) Định lý sau, hai kết luận văn này, mối liên hệ tính chất (*) đối giá môđun đối đồng điều địa phương cấp cao Định lý 3.5.6 Các khẳng định sau tương đương (i) HId (M ) tho¶ m·n tÝnh chÊt (*) (ii) CosR (HId (M )) = Var(AnnR HId (M )) Chøng minh (i)⇒ (ii) Cho AssR (I, M ) vµ N nh­ KÝ hiƯu 3.3.1 Vì HId (M ) thoả mÃn tính chất (*) nên theo Định lý 3.3.2 ta có HId (M ) ∼ = Hmd (M/N ) Do ®ã Hmd (M/N ) thoả mÃn tính chất (*) Theo Bổ đề 3.5.4 Bổ đề 3.5.5 ta có Var(AnnR (Hmd (M/N ))) = PsuppdR (M/N ) = CosR (HId (M )) Do ®ã Var(AnnR (HId (M ))) = Var(AnnR (Hmd (M/N ))) = CosR (HId (M )) q ⊇ AnnR HId (M ) Theo (ii) th× q ∈ CosR (HId (M )) Do ®ã d−dim(R/q) b R) b cho dim(R/Q) b H (M/N )q 6= Cho Q ∈ Ass b (R/q = (ii)⇒ (i) Cho qRq R b dim(R/q) Khi Q R = q Q iđêan nguyên tố tối thiểu qR bQ hoàn toàn phẳng, theo Định lý chuyển Vì đồng cấu cảm sinh Rq R sở phẳng [BS, 4.3.2] ta có c d−dim(R/Q) HQRb Q d−dim(R/q) [ )Q ∼ bQ 6= (M/N (M/N )q ⊗R = HqRq Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (1) http://www.lrc-tnu.edu.vn37 38 Cho \ 0= N (p) phân tích nguyên sơ thu gọn Tập pAssR (M ) \ N (p) Với p AssR (M ), theo [Mat, Định lý 23.2(ii)] N= pAssR (I,M ) ta cã [ c/N b R) b AssRb (M (p)) = AssRb (R/p [ [ Do ®ã N (p) cã phân tích nguyên sơ thu gọn N (p) \ = K(p, P ), b R) b P ∈Ass(R/p K(p, P ) P -nguyên sơ Vì đồng cấu R nên b= N \ [ N (p) = \ b hoàn toàn phẳng R [ N (p) Ta cÇn kiĨm tra r»ng p∈AssR (M ) p∈AssR (I,M ) b= N \ K(p, P ) vµ 0= p∈AssR (I,M ) b R) b P ∈Ass(R/p \ K(p, P ) p∈AssR (M ) b R) b P Ass(R/p phân tích nguyên sơ thu gọn b vµ M c Cho K1 N b R) b giao K(p, P ) víi p ∈ AssR (I, M ) vµ P ∈ Ass(R/p b ) = d Râ rµng lµ N b K1 dim b K1 < d Do cho dim(R/P R b )Q < d − dim(R/Q) b dim(K1 /N V× thÕ tõ d·y khíp b →M c/N b →M c/K1 → 0 → K /N c ddim(R/Q) ta có đẳng cấu H b QRQ c d−dim(R/Q) [ )Q ∼ c/K1 )Q Do ®ã theo (M/N (M = HQRb Q (1), ta cã c d−dim(R/Q) HQRb Q c/K1 )Q 6= (M (2) Theo KÝ hiÖu 3.3.1, ta cã q b M c) = {P ∈ Ass b M c | dim(R/p) b b + P = m} b AssRb (I R, = d, I R R Vì theo [Mat, Định lý 23.2(ii)], b M c) tập hợp AssRb (I R, q b R) b | p ∈ AssR M, dim(R/p) b b + P = m} b {P ∈ AssRb (R/p = d, I R Số hóa Trung tâm Học liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn38 39 Đặt tập K2 = P ∈ [ p b+P = m b víi mäi K(p, P ) Chó ý r»ng I R \ bM c) P ∈AssRb (I R, b R) b Do ®ã AssRb (R/p p∈AssR (I,M ) b M c) ⊇ {P ∈ Ass b (R/p b R) b | p ∈ AssR (I, M ), dim(R/P b ) = d} AssRb (I R, R Do ®ã K2 ⊆ K1 Vì dim K1 < d nên b dim(K1 /K2 )Q < d − dim(R/Q) V× thÕ tõ d·y khíp c/K2 → M c/K1 → 0 → K1 /K2 M ta có đẳng cấu c ddim(R/Q) HQRb Q c d−dim(R/Q) c/K1 )Q c/K2 )Q ∼ (M (M = HQRb c d−dim(R/Q) Do (2) ta cã H b QRQ Q c/K2 )Q 6= 0, cã nghÜa lµ Q ∈ Cos b (H d (M c)) (M b R IR c) thoả mÃn tính chất (*) theo chøng minh (i) ⇒ (ii) ta HIdRb (M c)) = Var(Ann b H d (M c)) Do ®ã Q ⊇ Ann b H d (M c) cã CosRb (H d b (M b b R IR R IR IR c) thoả mÃn tính chất (*) H d (M ) c) (xét Vì H d (M = H d (M Nếu I b IR b IR b-môđun) nªn ta cã R AnnRb (0 :HId (M ) Q) = AnnRb (0 :H d (M c) Q) = Q I V× vËy, ta cã q ⊆ AnnR (0 :HId (M ) Q) ⊆ AnnRb (0 :HId (M ) Q) ∩ R = Q ∩ R = q KÐo theo AnnR (0 :HId (M ) q) = q VËy HId (M ) tho¶ m·n tÝnh chÊt (*) Chó ý 3.5.7 Định lý 3.5.6 khẳng định HId (M ) thoả mÃn tính chất (*) đối giá tập đóng Spec(R) tôpô Zariski Chú Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn39 40 ý r»ng CosR (HId (M )) không đóng I = m [BS1, VÝ dô d 3.2] Nãi chung, nÕu R/ AnnR Hm (M ) không catenary CosR Hmd (M ) không đóng [NA1, Hệ 3.4] Thậm chí R vành thương vành địa phương quy CosR HId (M ) đóng HId (M ) không thoả mÃn tính chất (*) Sau ví dụ Ví dụ 3.5.8 Cho K trường có đặc số Đặt S = K[X1 , X2 , X3 ] lµ vµnh ®a thøc víi hƯ sè trªn K TËp n = (X1 , X2 , X3 ), a = (X22 −X12 −X13 ), b = (X2 ) vµ c = a b Kí hiệu xi ảnh Xi S/c Đặt R = (S/c)n/c , m = (x1 , x2 , x3 )R vµ I = (x1 + x2 − x2 x3 )R + ((x3 − 1)2 (x1 + 1) 1)R Khi (R, (i) m) vành Noether địa phương với dim R = AttR HI2 (R) = {aR, bR} (ii) (iii) Var(AnnR HI2 (R)) = Spec(R) vµ CosR HI2 (R) = Var(bR) HI2 (R) không thoả mÃn tính chất (*) Chứng minh Chú ý r»ng R/aR lµ mét miỊn, [xem BS, 8.2.9] vµ R/bR miền nguyên Dó Ass(R) = {aR, bR} V× vËy dim R = (i) Tõ d·y khíp → R → R/aR ⊕ R/bR → R/(aR + bR) → 0, víi chó ý lµ dim R/(aR + bR) = 1, ta cã d·y khíp HI1 (R/(aR + bR)) → HI2 (R) → HI2 (R/aR) ⊕ HI2 (R/bR) → Do ®ã theo Bỉ ®Ị 1.3.2, ta cã AttR HI2 (R) = AttR HI2 (R/aR) ∪ AttR HI2 (R/bR) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn40 41 Theo [BS, 8.2.9] th× HI2 (R/aR) 6= nªn ta cã ∅= AttR HI2 (R/aR) ⊆ AssR (R/aR) = {aR} AttR HI2 (R/aR) = {aR} Bởi I + bR m-nguyên sơ nªn H (R/bR) ∼ = H (R/bR) Do ®ã AttR H (R/bR) = {bR} V× vËy, m I Suy I AttR HI2 (R) = {aR, bR} (ii) V× AttR HI2 (R) = {aR, bR} = Ass(R) nên theo Bổ đề 1.3.1 ta có Var(AnnR HI2 (R)) = Spec(R) Chó ý r»ng cđa = aR ∩ bR phân tích nguyên sơ thu gọn iđêan R Theo [BS, 8.2.9], dim(R/(I + bR)) = dim(R/(I + aR)) = Do 2dim(R/p) CosR (HI2 (R)) = {p ∈ Spec(R) | HpRp (R/bR) 6= 0} = Psupp2R (R/bR) Vì R catenary nên theo Bổ đề 3.3.4 Hm2 (R/bR) thoả mÃn tính chất (*) Vì thế, theo Bổ đề 3.5.4 ta có Psupp2R (R/bR) = Var(AnnR Hm2 (R/bR)) = Var(bR) VËy CosR HI2 (R) = Var(bR) (iii) Ta cã CosR HI2 (R) 6= Var(AnnR HI2 (R)) Theo Định lý 3.5.6 HI2 (R) không thoả mÃn tính chất (*) S húa bi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn41 42 Kết luận Trong luận văn này, đà trình bày lại chi tiết kết b¸o cđa L T Nhan and T D M Chau [NC], On the top local cohomology modules, Journal of Algebra, (2012) Luận văn đà thu số kết quả: Hệ thống lại số vấn đề môđun Artin có liên quan đến nội dung luận văn tiêu chuẩn Artin, biểu diễn thứ cấp môđun Artin Trình bày khái niệm số tính chất môđun đối đồng điều địa phương tính triệt tiêu, tính Artin Đặc trưng tính chất (*) môđun đối đồng điều địa phương cấp cao với giá tùy ý, qua mô tả tập iđêan nguyên tố gắn kết HId (M ) thông qua tính chất (*) HId (M ) Định nghĩa tập đối giá HId (M ) đặc trưng tính chất (*) môđun đối đồng điều địa phương cấp cao HId (M ) thông qua tập đối gi¸ cđa nã Số hóa Trung tâm Học liệu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn42 Tài liệu tham khảo [BS] M Brodmann and R Y Sharp, "Local cohomology: an algebraic introduction with geometric applications", Cambridge University Press, 1998 [BS1] M Brodmann and R Y Sharp, On the dimension and multiplicity of local cohomology modules, Nagoya Math J., 167 (2002), 217-233 [CN] N T Cuong and L T Nhan, On Noetherian dimension of Artinian modules, Vietnam J Math., 30 (2002), 121-130 [CDN] N T Cuong, N T Dung, L T Nhan, Top local cohomology and the catenarycity of the unmixed support of a finitely generated module, Comm Algebra, 35 (2007), 1691-1701 [DM] D Delfino and T Marley, Cofinite modules and local cohomology, J Pure Appl Algebra, 121 (1997), 45-52 [DSc] K Divaani-Aazar and P Schenzel, Ideal topology, local cohomology and connectedness, Math Proc, Camb Phil Soc., 226 131 (2001), 211- [FR] D Ferrand and M Raynaud, Fibres formelles d'un anneau local Noetherian, Ann Sci E'cole Norm Sup., (4)3 (1970), 295-311 [Mac] I G Macdonald, Secondary representation of modules over a com- mutative ring, Symposia Mathermatica, 11 (1973), 23-43 [Mat] H Matsumura, Commutative ring theory, Cambridge University Press, 1986 43 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn43 44 [M1] L Melkersson, On asymptotic stabitity for sets of prime ideals conected with the power of an ideal, Math Proc Cambridge Philos Soc., 107 (1990) 260-271 [M2] L Melkersson, Some applications of a criterion for Artinianess of a modules, J Pure Appl Algebra, 101 (1995), 291-303 [Na] M Nagata, "Local rings", interscience, New York , 1962 [NA1] L T Nhan and T N An, On the unmixedness and the universal catenaricity of local rings and local cohomology modules, Journal of Algebra, 321 (2009), 303-311 [NA2] L T Nhan and T N An, On the catenaricity of Noether local rings and quasi unmixed Artinnian modules, Comm Algebra, 3728-3736 38 (2010), [NC] L T Nhan and T D M Chau, On the top local cohomology modules, Journal of Algebra, 349 (2012), 342-352 [Sm] K E Smith, Test ideals in local rings, Trans AMS., 347 (1995), 3453-3472 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn44