BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI TRẦN AN HẢI TÍNH DUY NHẤT VÀ TÍNH HỮU HẠN CỦA HỌ HÀM PHÂN HÌNH CHẤP NHẬN ĐƯỢC TRÊN HÌNH VÀNH KHUYÊN TRONG MẶT PHẲNG PHỨC Chuyên ngành Hình học và T[.]
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI TRẦN AN HẢI TÍNH DUY NHẤT VÀ TÍNH HỮU HẠN CỦA HỌ HÀM PHÂN HÌNH CHẤP NHẬN ĐƯỢC TRÊN HÌNH VÀNH KHUYÊN TRONG MẶT PHẲNG PHỨC Chuyên ngành: Hình học Tơpơ Mã số: 9.46.01.05 TĨM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - Năm 2023 Cơng trình hồn thành tại: Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Người hướng dẫn khoa học: GS.TS Sĩ Đức Quang Phản biện 1: GS TSKH Hà Huy Khoái - Trường Đại học Thăng Long Phản biện 2: PGS TSKH Tạ Thị Hồi An - Viện Tốn học Phản biện 3: GS TS Trần Văn Tấn - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Năm 1926, R Nevanlinna chứng minh hai hàm phân hình khác mặt phẳng phức có chung ảnh ngược khơng kể bội, năm giá trị đôi phân biệt phải trùng nhau, hai hàm liên kết vi bi mt phộp bin i Măobius nu chỳng có chung ảnh ngược kể bội, bốn giá trị đôi phân biệt Hai kết thường gọi Định lí năm điểm bốn điểm Nevanlinna Hai kết nhận nhờ vào việc sử dụng Định lí thứ hai Nevanlinna cho hàm phân hình mặt phẳng phức với mục tiêu giá trị cố định C ∪ {∞} Trong thập kỷ vừa qua, nhiều nhà toán học quan tâm mở rộng phát triển sâu sắc kết Nevanlinna thay điều kiện có chung ảnh ngược số giá trị điều kiện có chung ảnh ngược số hàm nhỏ Các kết theo hướng thu G Gundersen, P Li, C C Yan Năm 2004, K Yamanoi thiết lập Định lí thứ hai cho hàm phân hình mặt phẳng phức hàm nhỏ hàm đếm với bội ngắt Đây xem kết đẹp lý thuyết Nevanlinna thu khoảng vài thập kỷ gần Kết K Yamanoi trở thành công cụ then chốt mạnh mẽ việc phát triển Định lí bốn điểm Định lí năm điểm cổ điển Nevanlinna lên cho trường hợp hàm phân hình có chung ảnh ngược hàm nhỏ Các Định lí bốn điểm năm điểm Nevanlinna mở rộng triệt để công bố gần S Đ Quang S Đ Quang - L N Quỳnh Tuy nhiên chưa có kết tương tự cho trường hợp hàm phân hình miền nhị liên Ở ý miền nhị liên tương đương bảo giác với hình vành khuyên A = {z ∈ C : ≤or < |z| < R ≤ +∞} n song chỉnh hình với A(R0 ) = z ∈ C : R0 < |z| < R0 với R0 > Đặc biệt lưu ý rằng, hình vành khun chưa có Định lí thứ hai cho hàm phân hình hàm nhỏ tốt kết Yamanoi Do nghiên cứu vấn đề hữu hạn hay hàm phân hình hình vành khuyên với điều kiện hàm nhỏ chưa có Vì lý trên, lựa chọn đề tài "Tính tính hữu hạn họ hàm phân hình chấp nhận hình vành khuyên mặt phẳng phức", để mở rộng kết Nevanlinna lên cho trường hợp hàm phân hình hình vành khun Mục đích nghiên cứu Mục đích luận án nghiên cứu vấn đề vấn đề hữu hạn hàm phân hình chấp nhận hình vành khun, có chung ảnh ngược (với bội ngắt mức đó) số giá trị, số hàm nhỏ, số cặp giá trị, điều kiện tổng quát yếu nghiên cứu trước chưa nghiên cứu vấn đề Hơn nữa, tình mà chúng tơi nghiên cứu kỹ thuật phương pháp tác giả trước giải Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu luận án hàm phân hình hình vành khuyên Phạm vi nghiên cứu Lý thuyết phân bố giá trị Phương pháp nghiên cứu Chúng dựa phương pháp nghiên cứu, kỹ thuật truyền thống Hình học phức Lý thuyết phân bố giá trị, đồng thời đưa thêm kỹ thuật để giải vấn đề đặt luận án Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Luận án góp phần làm phong phú thêm sâu sắc kết tính tính hữu hạn hàm phân hình hình vành khuyên Luận án tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên cao học nghiên cứu sinh theo hướng nghiên cứu Cấu trúc luận án Ngoài phần: Mở đầu; Kết luận kiến nghị; Các cơng trình cơng bố liên quan đến luận án; Tài liệu tham khảo, luận án bao gồm bốn chương với tên sau Chương Tổng quan Chương Hai hàm phân hình hình vành khun có chung ảnh ngược số hàm nhỏ Chương Vấn đề hữu hạn họ hàm phân hình hình vành khun có chung ảnh ngược bốn giá trị Chương Hai hàm phân hình hình vành khun có chung ảnh ngược số cặp giá trị Luận án viết dựa bốn báo, công bố tạp chí: Complex Analysis and Operator Theory (SCIE); Mathematica Bohemica (ESCI/Scopus); Bulletin of the Iranian Mathematical Society (SCIE); Indagationes Mathematicae (SCIE) Nơi thực luận án Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Chương TỔNG QUAN Trong chương chúng tơi trình bày tóm tắt kết tác giả trước vấn đề hữu hạn hàm phân hình mặt phẳng phức Tiếp theo, chúng tơi phát biểu kết mà đạt việc nghiên cứu vấn đề vấn đề hữu hạn hàm phân hình hình vành khun có chung ảnh ngược (với bội ngắt mức đó) số giá trị, số hàm nhỏ, số cặp giá trị I Hai hàm phân hình hình vành khuyên có chung ảnh ngược số hàm nhỏ Định lí bốn điểm Định lí năm điểm Nevalinna thu hút quan tâm nhiều nhà toán học họ mở rộng, phát triển theo số hướng Hướng thứ bỏ qua ảnh ngược với bội lớn số nguyên dương định Hướng thứ hai thay giá trị hàm nhỏ Năm 1999, L Yuhua Q Jianyong mở rộng Định lí năm điểm Nevanlinna sang trường hợp mà năm giá trị phân biệt thay năm hàm nhỏ a1 , , a5 Năm 2002, W Yao đưa cải tiến cho kết cách k ≥ 22 min{νf0−ai ,≤k , 1} = min{νg−a , 1} (1 ≤ i ≤ 5) f = g i ,≤k H X Yi kết luận định lí Yao với k ≥ 14 Đ Đ Thái T V Tấn chứng minh kết với k ≥ cách áp dụng Định lí thứ hai K Yamanoi cho hàm phân hình hàm nhỏ S Đ Quang cải tiến kết Đ Đ Thái T V Tấn cách hai hàm f g phải trùng min{νf0−ai ,≤3 , 1} = min{νg−a , 1} (1 ≤ i ≤ 3) i ,≤3 min{νf0−ai ,≤2 , 1} = min{νg−a , 1} (4 ≤ i ≤ 5) Tuy nhiên, kết nói i ,≤2 chứng minh hàm phân hình mặt phẳng phức Chứng minh kết dựa vào hàm phụ trợ Cartan Định lí thứ hai K Yamanoi cho hàm phân hình hàm nhỏ C với hàm đếm bội ngắt bội Chúng ta ý Định lí thứ hai K Yamanoi trường hợp định lí tốt Gần A Y Khrystiyanyn and A A Kondratyuk xây dựng lý thuyết Nevanlinna cho hàm phân hình hình vành khuyên A(R0 ) (R0 > 1) Sau lý thuyết M Lund Z Ye hồn thiện Sử dụng Định lí thứ hai cho hàm phân hình hình vành khuyên, T B Cao, H X Yi H Y Xu chứng minh định lí cho hàm phân hình hình vành khun, có chung ảnh ngược năm giá trị Theo biết, kết hàm phân hình hình vành khuyên có chung ảnh ngược số giá trị Đặc biệt vấn đề hàm phân hình hình vành khun có chung ảnh ngược số hàm nhỏ chưa nghiên cứu Trong luận án chúng tơi đề cập đến tốn hàm phân hình chấp nhận hình vành khun có chung ảnh ngược số hàm nhỏ Tuy nhiên, theo biết, trường hợp hàm phân hình hình vành khuyên chưa có Định lí thứ hai tốt kết K Yamanoi Đây khó khăn việc nghiên cứu tốn Vì vậy, việc nghiên cứu hàm phân hình hình vành khuyên dựa vào Lý thuyết phân bố giá trị gặp nhiều hạn chế Trong Chương 2, viết dựa báo [1] (trong Danh mục cơng trình cơng bố liên quan đến luận án), cách đưa kỹ thuật kết hợp với kỹ thuật P Li chúng tơi thiết lập định lí cho hàm phân hình chấp nhận hình vành khun có chung ảnh ngược khơng kể bội, năm hàm nhỏ Ngồi ra, kết không xét đến ảnh ngược có bội lớn số Kết phát biểu sau Định lí Cho f g hai hàm phân hình chấp nhận A(R0 ) Cho a1 , , aq (q ≥ 5) hàm nhỏ A(R0 ) (so với f g ), đôi phân biệt Cho k1 , , kq q số nguyên dương +∞ thoả mãn q X i=1 2q(q − 4) < ki + 5(q + 4) Giả sử νf0−ai ,≤ki , = νg−a , với ≤ i ≤ q i ,≤ki Khi f = g Kết chúng tơi khơng tổng qt hóa mà cải tiến hầu hết kết hàm phân hình siêu việt có chung ảnh ngược năm hàm nhỏ mặt phẳng phức Ngoài ra, trường hợp hàm phân hình chấp nhận f g hình vành khun, có chung ảnh ngược kể bội, bốn hàm nhỏ đôi phân biệt, chứng minh chúng liên kết với phép biến đổi ta Măobius C th, chỳng tụi ó chng minh c định lí sau Định lí Cho f g hai hàm phân hình chấp nhận A(R0 ) Cho a1 , a2 , a3 , a4 bốn hàm nhỏ A(R0 ) (so với f g ), đôi phân biệt Cho P Giả sử ki (1 ≤ i ≤ 4) số nguyên dương thỏa mãn 4i=1 ki1+1 < 219 νf0−ai ,≤ki = νg−a với ≤ i ≤ q i ,≤ki Khi f bin i ta Măobius ca g nh lớ trờn chúng tơi tổng qt hóa cải tiến cho Định lí bốn điểm cổ điển Nevalinna lên trường hợp hàm phân hình chấp nhận có chung ảnh ngược bốn hàm nhỏ hình vành khuyên II Vấn đề hữu hạn họ hàm phân hình hình vành khun có chung ảnh ngược bốn giá trị Năm 1998, H Fujimoto cải tiến Định lí bốn điểm Nevanlinna cách chứng minh có nhiều hai hàm phân hình C có chung ảnh ngược với bội ngắt 2, bốn giá trị đôi phân biệt Những kết kiểu gọi định lí hữu hạn hàm phân hình có chung ảnh ngược giá trị Trong trường hợp hàm phân hình C, có nhiều mở rộng Định lí bốn điểm Tuy nhiên, theo chúng tơi biết chưa có định lí hữu hạn trường hợp hàm phân hình hình vành khuyên có chung ảnh ngược bốn giá trị Trong luận án đề cập đến vấn đề hữu hạn hàm phân hình hình vành khuyên có chung ảnh ngược bốn giá trị Trong Chương 3, viết dựa báo [2] (trong Danh mục cơng trình cơng bố liên quan đến luận án), chứng minh ba hàm phân hình chấp nhận f1 , f2 , f3 hình vành khun có chung ảnh ngược không kể bội, bốn giá trị, có tập đồng đầy đủ với hàm đếm dương f1 = f2 f2 = f3 f3 = f1 Cụ thể, chứng minh kết sau Định lí Cho f1 , f2 , f3 ba hàm phân hình A(R0 ) cho a1 , a2 , a3 , a4 bốn giá trị đôi phân biệt C ∪ {∞} Giả sử f1 , f2 , f3 có chung ảnh ngược khơng kể bội, a1 , a2 , a3 , a4 Nếu f1 chấp nhận f1 , f2 , f3 có tập đồng đầy đủ với hàm đếm dương f1 = f2 f2 = f3 f3 = f1 Từ Định lí suy có nhiều hai hàm phân hình chấp nhận hình vành khun có chung ảnh ngược với bội ngắt 2, giá trị, có chung ảnh ngược khơng kể bội, ba giá trị khác Đồng thời Chương 3, viết dựa báo [3] (trong Danh mục cơng trình công bố liên quan đến luận án), mở rộng cải tiến Định lí bốn điểm Nevanlinna Fujimoto cho hàm phân hình chấp nhận hình vành khun Chúng tơi chứng minh có nhiều hai hàm phân hình chấp nhận hình vành khuyên có chung ảnh ngược với bội ngắt 2, giá trị có chung ảnh ngược khơng kể bội, ba giá trị khác Hơn nữa, kết không cần phải xét đến ảnh ngược có bội lớn số Cụ thể, chúng tơi chứng minh kết sau Định lí Cho f1 , f2 , f3 ba hàm phân hình A(R0 ) Cho a1 , , a4 bốn giá trị đôi phân biệt C ∪ {∞} Cho k1 , , k4 bốn số nguyên dương 11 11 11 14 + + + < Giả sử +∞ thỏa mãn k1 + k2 + k3 + k4 + (i) min{νf01 −a1 ,≤k1 , 2} = min{νf02 −a1 ,≤k1 , 2} = min{νf03 −a1 ,≤k1 , 2}, (ii) min{νf01 −ai ,≤ki , 1} = min{νf02 −ai ,≤ki , 1} = min{νf03 −ai ,≤ki , 1}, ∀ ≤ i ≤ Nếu f1 chấp nhận f1 = f2 f2 = f3 f3 = f1 Chúng tơi chứng minh có khơng ba hàm phân hình khác hình vành khun có chung ảnh ngược khơng kể bội, bốn giá trị Ngoài kết chúng tơi khơng cần phải xét đến ảnh ngược có bội lớn số Cụ thể, chúng tơi chứng minh kết sau Định lí Cho f hàm phân hình khác A(R0 ) Cho a1 , , a4 bốn giá trị đôi phân biệt C ∪ {∞} Cho k1 , , k4 số nguyên dương +∞ thỏa mãn 4 17 X 1 25 25 X + < + , 64 i=1 ki 16 i=1 ki + 32 32k0 k0 = max1≤i≤4 ki Khi ]V(f, {ai , ki }4i=1 , 1) ≤ III Hai hàm phân hình hình vành khun có chung ảnh ngược số cặp giá trị Năm 1997, T Czubiak G Gundersen chứng minh kết sau Định lí Cho f g hai hàm phân hình khác C có chung ảnh ngược khơng kể bội, sáu cặp giá trị (a1 , b1 ), , (a6 , b6 ) C ∪ {∞}, 6= aj , bi 6= bj i 6= j , tức νf0−ai , = νg−b , , ≤ i ≤ i Khi f l mt bin i Măobius ca g Sau ú toán chung ảnh ngược cặp giá trị cho hàm phân hình nhiều tác giả nghiên cứu Trong trường hợp hàm phân hình C, kết Czubiak Gundersen mở rộng số tác giả cặp giá trị thay cặp hàm nhỏ Chẳng hạn, năm 2014 S Đ Quang L N Quỳnh chứng minh hai hàm phân hình C phải liên kết với phép biến đổi ta Măobius nu chỳng cú chung nh ngc khụng k bội, cặp hàm nhỏ có chung ảnh ngược với bội ngắt 2, bốn cặp hàm nhỏ khác Đồng thời Quang Quỳnh chứng minh hai hàm phân hình C phải liên kt vi bi mt phộp bin i ta Măobius chúng có chung ảnh ngược khơng kể bội, q (q ≥ 6) cặp hàm nhỏ Tuy nhiên, theo chúng tơi biết chưa có định lí trường hợp hàm phân hình miền nhị liên có chung ảnh ngược cặp giá trị Do vậy, luận án đặt vấn đề nghiên cứu trường hợp hàm phân hình chấp nhận hình vành khuyên có chung ảnh ngược cặp giá trị Trong Chương luận án này, viết dựa báo [4] (trong Danh mục cơng trình cơng bố liên quan đến luận án), chứng minh hai Bổ đề 2.2.1 Cho f ánh xạ chỉnh hình từ hình vành khuyên A(R0 ) vào PN (C) Nếu H G hai siêu phẳng phân biệt PN (C) ta có (f, H) T0 r, ≤ T0 (r, f ) + O(1) (f, G) Định lí 2.2.2 Cho f : A(R0 ) → PN (C) ánh xạ chỉnh hình khơng suy biến tuyến tính Cho {Hi }qi=1 (q ≥ N + 2) tập hợp gồm q siêu phẳng cố định PN (C) vị trí tổng quát Khi ta có (q − N − 1)T0 (r, f ) ≤ q X [N ] N0 (r, f ∗ Hi ) + Sf (r), i=1 f ∗ H kí hiệu divisor kéo lùi H f f ∗ H = ν(f,H) 2.3 Hai hàm phân hình hình vành khun có chung ảnh ngược năm hàm nhỏ Định lí phần phát biểu sau Định lí 2.3.1 Cho f g hai hàm phân hình chấp nhận A(R0 ) Cho a1 , , aq (q ≥ 5) hàm nhỏ A(R0 ) (so với f g ), đôi phân biệt Cho k1 , , kq q số nguyên dương +∞ thoả mãn q X i=1 2q(q − 4) < ki + 5(q + 4) Giả sử νf0−ai ,≤ki , = νg−a , với ≤ i ≤ q ,≤k i i Khi f = g Hệ 2.3.2 Cho f g hai hàm phân hình chấp nhận A(R0 ) Cho a1 , , aq (q ≥ 5) hàm nhỏ A(R0 ) (so với f g ) đôi 3q+28 phân biệt Cho k số nguyên dương +∞ thỏa mãn k > 2(q−4) Giả sử νf0−ai ,≤k , = νg−a , với ≤ i ≤ q i ,≤k Khi f = g 13 Khi R0 = +∞ từ Hệ 2.3.2 ta nhận lại kết W Yao cho lớp hàm phân hình siêu việt mặt phẳng phức: Nếu k ≥ 22 min{νf0−ai ,≤k , 1} = min{νg−a , 1} (1 ≤ i ≤ 5), f = g Vậy nên, kết i ,≤k chúng tơi khơng tổng qt hóa mà cải tiến hầu hết kết hàm phân hình có chung ảnh ngược năm hàm nhỏ mặt phẳng phức Để chứng minh Định lí 2.3.1 ta cần bổ đề sau Bổ đề 2.3.3 Cho f g hai hàm phân hình chấp nhận được, phân biệt, A(R0 ) cho a1 , , aq (q ≥ 5) hàm nhỏ A(R0 ) so với f , đôi phân biệt Giả sử νf0−ai ,≤ki (z), = νg−a (z), , ≤ i ≤ q, ,≤k i i với z nằm ngồi tập giải tích A có hàm đếm Sf (r) Khi ta có q X i=5 2.4 [1] N0 r, νf0−ai ≤ X [1] N0 r, νf0−ai ,>ki + [1] N0 r, νg−a i ,>ki +Sf (r) + Sg (r) i=1 Hai hàm phân hình hình vành khun có chung ảnh ngược bốn hàm nhỏ Định lí phần phát biểu sau Định lí 2.4.1 Cho f g hai hàm phân hình chấp nhận A(R0 ) Cho a1 , a2 , a3 , a4 bốn hàm nhỏ A(R0 ) (so với f g ), đôi phân biệt P Giả sử Cho ki (1 ≤ i ≤ 4) số nguyên dương thỏa mãn 4i=1 ki1+1 < 219 νf0−ai ,≤ki = νg−a với ≤ i ≤ i ,≤ki Khi f bin i ta Măobius ca g H qu 2.4.2 Cho f g hai hàm phân hình chấp nhận A(R0 ) Cho a1 , a2 , a3 , a4 bốn hàm nhỏ A(R0 ) (so với f g ), đôi phân biệt Cho k số nguyên dương mà k > 218 Giả sử νf0−ai ,≤k = νg−a i ,≤k Khi f biến đổi tựa Măobius ca g 14 Chng VN HU HẠN CỦA HỌ HÀM PHÂN HÌNH TRÊN MỘT HÌNH VÀNH KHUYÊN CÓ CHUNG ẢNH NGƯỢC CỦA BỐN GIÁ TRỊ Mục đích chương chứng minh định lí hữu hạn cho họ hàm phân hình hình vành khuyên có chung ảnh ngược bốn giá trị Chương viết dựa báo [2] [3] (trong Danh mục cơng trình cơng bố liên quan đến luận án) 3.1 Một số kết bổ trợ Trong mục chứng minh thêm số kết lý thuyết Nevanlinna cho hàm phân hình hình vành khuyên để chuẩn bị cho chứng minh định lí chương Bổ đề 3.1.1 Cho f hàm phân hình chấp nhận A(R0 ) cho a1 , a2 , a3 ba giá trị đôi phân biệt C ∪ {∞} Cho g hàm phân hình A(R0 ) cho f g có chung ảnh ngược khơng kể bội, a1 , a2 , a3 Khi ta có T0 (r, f ) = O(T0 (r, g)) + Sf (r) T0 (r, g) = O(T0 (r, f )) + Sg (r) r −→ R0 Nói riêng, g chấp nhận 15 Bổ đề 3.1.2 Cho f hàm phân hình khác A(R0 ) cho a ∈ C Khi với số nguyên dương k (có thể k = +∞), ta có T0 (r, f ) + Sf (r) k+1 k + [1] [1] N0 (r, νf0−a ) − T0 (r, f ) + Sf (r) N0 (r, νf −a,≤k ) ≥ k k [1] N0 (r, νf0−a,>k ) ≤ Bổ đề 3.1.3 Cho f hàm phân hình chấp nhận A(R0 ) cho a1 , , a4 bốn giá trị đôi phân biệt C ∪ {∞} Cho k1 , , k4 bốn số nguyên dương +∞ cho X i=1 < ki + Cho g hàm phân hình A(R0 ) cho min{νf0−ai ,≤ki , 1} = min{νg−a , 1}, ≤ i ≤ i ,≤ki Khi ta có T0 (r, f ) = O(T0 (r, g)) + Sf (r) T0 (r, g) = O(T0 (r, f )) + Sg (r) r −→ R0 Nói riêng, g chấp nhận 3.2 Tính hữu hạn hàm phân hình hình vành khun có chung ảnh ngược khơng kể bội, bốn giá trị Trong định lí đây, chúng tơi chứng minh có nhiều hai hàm phân hình chấp nhận hình vành khun có chung ảnh ngược khơng kể bội, bốn giá trị Định lí 3.2.1 Cho f1 , f2 , f3 ba hàm phân hình A(R0 ) cho a1 , a2 , a3 , a4 bốn giá trị đôi phân biệt C ∪{∞} Giả sử f1 , f2 , f3 có chung ảnh ngược không kể bội, a1 , a2 , a3 , a4 Nếu f1 chấp nhận f1 , f2 , f3 có tập đồng đầy đủ với hàm đếm dương f1 = f2 f2 = f3 f3 = f1 Để chứng minh Định lí 3.2.1, chúng tơi cần thêm ba bổ đề Trong ba bổ đề f1 , f2 , f3 ba hàm phân hình A(R0 ) a1 , a2 , a3 , a4 bốn giá trị đôi phân biệt C \ {0}, thỏa mãn hai điều kiện sau: (1) f1 , f2 , f3 có chung ảnh ngược không kể bội, bốn giá trị a1 , , a4 ; 16 (2) f1 hàm phân hình chấp nhận Các đại lượng Sf1 (r), Sf2 (r), Sf3 (r) biểu thị kí hiệu chung S(r) Ta đặt T0 (r) = T0 (r, f1 ) + T0 (r, f2 ) + T0 (r, f3 ) Với i ∈ {1, , 4}, ta đặt Fik = (fk − )/fk Bổ đề 3.2.2 Nếu f1 , f2 , f3 đơi phân biệt khẳng định sau đúng: (1) 2T0 (r, fk ) = X N0 (r, νi ) + S(r), ≤ k ≤ 3; i=1 (2) N0 (r, C ) = S(r); (3) N0 (r, νi,s ) = S(r) với ≤ i ≤ 4, ≤ s ≤ Bổ đề 3.2.3 Nếu f1 , f2 , f3 đôi phân biệt thìhàm phụ trợ Cartan Φ(Fi1 , Fi2 , Fi3 ) 6≡ với ≤ i ≤ Bổ đề 3.2.4 Cho i số thuộc {1, , 4} cho hàm phụ trợ Cartan Φ := Φ(Fi1 , Fi2 , Fi3 ) Nếu f1 , f2 , f3 đơi phân biệt N0 (r, νi,0 ) + X [1] N0 (r, νj ) ≤ N0 (r, νΦ0 ) ≤ T0 (r) + S(r) j=1,j6=i Nhờ Định lí 3.2.1 ta có nhiều hai hàm phân hình chấp nhận hình vành khun có chung ảnh ngược với bội ngắt 2, giá trị có chung ảnh ngược khơng kể bội, ba giá trị khác Cụ thể ta có hệ sau Hệ 3.2.5 Cho f1 , f2 , f3 ba hàm phân hình A(R0 ) cho a1 , a2 , a3 , a4 bốn giá trị đôi phân biệt, thuộc C ∪ {∞} Giả sử f1 , f2 , f3 có chung ảnh ngược với bội ngắt 2, a1 , có chung ảnh ngược khơng kể bội, a2 , a3 , a4 Nếu f1 chấp nhận f1 = f2 f2 = f3 f3 = f1 Với giả thiết yếu hàm phân hình chấp nhận hình vành khun có chung ảnh ngược khơng kể bội, bốn giá trị, Định lí 3.2.1 dẫn đến hệ sau Hệ 3.2.6 Cho f1 , f2 , f3 , f4 bốn hàm phân hình A(R0 ) a1 , a2 , a3 , a4 bốn giá trị đôi phân biệt thuộc C ∪ {∞} Giả sử f1 , f2 , f3 , f4 có chung ảnh ngược khơng kể bội, a1 , a2 , a3 , a4 Nếu f1 chấp nhận bốn hàm {f1 , f2 , f3 , f4 } có hai hàm 17 3.3 Tính hữu hạn hàm phân hình hình vành khun có chung ảnh ngược bốn giá trị bỏ qua ảnh ngược có bội lớn giá trị Trong định lí đây, chúng tơi chứng minh có nhiều hai hàm phân hình chấp nhận hình vành khun có chung ảnh ngược với bội ngắt 2, giá trị có chung ảnh ngược khơng kể bội, ba giá trị khác Hơn nữa, không cần xét đến ảnh ngược có bội lớn số đủ lớn Định lí 3.3.1 Cho f1 , f2 , f3 ba hàm phân hình A(R0 ) Cho a1 , , a4 bốn giá trị đôi phân biệt C ∪ {∞} Cho k1 , , k4 bốn số nguyên dương +∞ thỏa mãn 11 11 11 14 + + + < k1 + k2 + k3 + k4 + Giả sử (i) min{νf01 −a1 ,≤k1 , 2} = min{νf02 −a1 ,≤k1 , 2} = min{νf03 −a1 ,≤k1 , 2}, (ii) min{νf01 −ai ,≤ki , 1} = min{νf02 −ai ,≤ki , 1} = min{νf03 −ai ,≤ki , 1} với ≤ i ≤ Nếu f1 chấp nhận f1 = f2 f2 = f3 f3 = f1 Hệ 3.3.2 Cho f1 , f2 , f3 ba hàm phân hình khác A(R0 ) Cho a1 , , a4 bốn giá trị đôi phân biệt C ∪ {∞} Cho k số nguyên dương +∞ với k > 46 Giả sử (i) min{νf01 −a1 ,≤k , 2} = min{νf02 −a1 ,≤k , 2} = min{νf03 −a1 ,≤k , 2}, (ii) min{νf01 −ai ,≤k , 1} = min{νf02 −ai ,≤k , 1} = min{νf03 −ai ,≤k , 1} với ≤ i ≤ Nếu f1 chấp nhận f1 = f2 f2 = f3 f3 = f1 Khi R0 = +∞, từ Hệ 3.3.2 ta nhận mở rộng cải tiến kết Fujimoto cho lớp hàm phân hình siêu việt mặt phẳng phức Để chứng minh Định lí 3.3.1, ta cần bổ đề 18