Tóm tắt: Một số định lí cơ bản thứ hai và sự phụ thuộc đại số của ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh phức với mục tiêu di động

Một số định lí cơ bản thứ hai và sự phụ thuộc đại số của ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh phức với mục tiêu di động Một số định lí cơ bản thứ hai và sự phụ thuộc đại số của ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh phức với mục tiêu di động Một số định lí cơ bản thứ hai và sự phụ thuộc đại số của ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh phức với mục tiêu di động Một số định lí cơ bản thứ hai và sự phụ thuộc đại số của ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh phức với mục tiêu di động Một số định lí cơ bản thứ hai và sự phụ thuộc đại số của ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh phức với mục tiêu di động Một số định lí cơ bản thứ hai và sự phụ thuộc đại số của ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh phức với mục tiêu di động Một số định lí cơ bản thứ hai và sự phụ thuộc đại số của ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh phức với mục tiêu di động Một số định lí cơ bản thứ hai và sự phụ thuộc đại số của ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh phức với mục tiêu di động Một số định lí cơ bản thứ hai và sự phụ thuộc đại số của ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh phức với mục tiêu di động Một số định lí cơ bản thứ hai và sự phụ thuộc đại số của ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh phức với mục tiêu di động Một số định lí cơ bản thứ hai và sự phụ thuộc đại số của ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh phức với mục tiêu di động Một số định lí cơ bản thứ hai và sự phụ thuộc đại số của ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh phức với mục tiêu di động Một số định lí cơ bản thứ hai và sự phụ thuộc đại số của ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh phức với mục tiêu di động Một số định lí cơ bản thứ hai và sự phụ thuộc đại số của ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh phức với mục tiêu di động Một số định lí cơ bản thứ hai và sự phụ thuộc đại số của ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh phức với mục tiêu di động Một số định lí cơ bản thứ hai và sự phụ thuộc đại số của ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh phức với mục tiêu di động Một số định lí cơ bản thứ hai và sự phụ thuộc đại số của ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh phức với mục tiêu di động Một số định lí cơ bản thứ hai và sự phụ thuộc đại số của ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh phức với mục tiêu di động Một số định lí cơ bản thứ hai và sự phụ thuộc đại số của ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh phức với mục tiêu di động Một số định lí cơ bản thứ hai và sự phụ thuộc đại số của ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh phức với mục tiêu di động

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

NGUYỄN VĂN AN

MỘT SỐ ĐỊNH LÍ CƠ BẢN THỨ HAI VÀ SỰ PHỤ THUỘC ĐẠI SỐ CỦA ÁNH XẠ PHÂN HÌNH VÀO KHÔNG GIAN XẠ ẢNH PHỨC VỚI

Công trình được hoàn thành tại: Trường Đại học Sư phạm Hà Nội.

Người hướng dẫn khoa học: GS.TS Sĩ Đức Quang và PGS.TS Phạm Đức Thoan.

Phản biện 1: GS TSKH Hà Huy Khoái, Trường Đại học Thăng Long.

Phản biện 2: GS TS Trần Văn Tấn, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội.

Phản biện 3: PGS TS Nguyễn Thạc Dũng, Trường Đại học Khoa học tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội.

mở rộng đó là nghiên cứu trường hợp những mục tiêu là các hàm nhỏ hoặc cáccặp hàm nhỏ Một trong các kết quả tốt nhất đạt được gần đây là của P Li và

C C Yang Hai tác giả này đã chứng minh rằng với hai hàm phân hình tùy ýkhác hằng, nếu có chung ảnh ngược, đếm cả bội, của ba cặp hàm nhỏ và có chungảnh ngược, không kể bội, của một cặp hàm nhỏ khác thì liên kết với nhau bởimột phép biến đổi tựa M¨obius Kết quả này chưa đề cập đến trường hợp bội đượcchặn ở một bậc nào đó cũng như chưa xét đến việc bỏ qua các không điểm từmột mức nhất định Nếu các trường hợp này được giải quyết thì ta sẽ nhận đượcnhững kết quả cải tiến hơn nữa cho hướng nghiên cứu này

Trong Lý thuyết Nevanlinna, việc nghiên cứu, cải tiến và đưa ra các dạng mớicủa Định lí cơ bản thứ hai luôn là vấn đề chính được nhiều tác giả quan tâm.Định lí cơ bản thứ hai đầu tiên cho ánh xạ phân hình nhiều biến phức được đưa

ra bởi H Cartan vào năm 1933, sau đó được các tác giả W Stoll, M Ru, M.Shirosaki, Đ Đ Thái và S Đ Quang cải tiến Gần đây, S Đ Quang đã đưa ramột số dạng Định lí cơ bản thứ hai cho ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn(C) vớisiêu phẳng di động mà ở đó hàm đếm được chặn bội đến bậc n hoặc các hàm đếmđược xét với các trọng số khác nhau Do vậy, một vấn đề thú vị được đặt ra làliệu có thể kết hợp cả hai hướng tổng quát trên để thu được các Định lí cơ bảnthứ hai cho các ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn(C) với họ siêu phẳng di động và

các hàm đếm có trọng được chặn bội, tối ưu và nhiều ứng dụng hơn.

Theo một hướng nghiên cứu khác, để tổng quát kết quả của H Cartan , W.Stoll và một số nhà toán học khác đã nghiên cứu việc thay thế Cm bởi các đa tạpparabolic Dựa theo kỹ thuật của Y Liu khi nghiên cứu bài toán không gian conSchmidt trong xấp xỉ Diophantine, Q Yan đã thiết lập được Định lí cơ bản thứhai với mục tiêu di động trên đa tạp parabolic mà tránh được việc sử dụng Bổ đềĐạo hàm logarit Tuy nhiên, kết quả này lại yếu hơn rất nhiều so với các kết quảgần đây của S Đ Quang Vì vậy, một vấn đề đặt ra ở đây là có thể hay khôngkết hợp kỹ thuật của Q Yan và phương pháp của S Đ Quang để thiết lập Định

lí cơ bản thứ hai cho lớp ánh xạ phân hình từ đa tạp parabolic vào Pn(C) với siêuphẳng di động và các hàm đếm được chặn bội n, vừa mở rộng được kết quả của

S Đ Quang và đơn giản hóa được chứng minh

Một ứng dụng quan trọng của Định lí cơ bản thứ hai là nghiên cứu về sự phụthuộc đại số của các ánh xạ phân hình vào Pn(C) thông qua các giả thiết vềnghịch ảnh của họ các siêu phẳng di động Kết quả đầu tiên về sự phụ thuộc đại

số cho họ các ánh xạ phân hình theo hướng này được đưa ra bởi M Ru vào năm

2001 Sau đó, kết quả của M Ru được các tác giả P Đ Thoan, P V Đức và S

Đ Quang cải tiến nhưng có thể thấy số siêu phẳng di động tham gia vào giả thiếtcủa các kết quả này là khá lớn Từ đây cũng mở ra một vấn đề là cải tiến cácđịnh lí về phụ thuộc đại số của các ánh xạ phân hình sao cho số mục tiêu di độngtham gia được giảm đi cũng như xét không gian nguồn tổng quát hơn là các đatạp parabolic

Vì những lý do trên, chúng tôi chọn đề tài "Một số định lí cơ bản thứ hai và sựphụ thuộc đại số của ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh phức với mục tiêu

di động", để xây dựng các dạng định lí cơ bản thứ hai mới với hàm đếm đượcchặn bội cho các ánh xạ phân hình tối ưu hơn các định lí đã biết, đồng thời ápdụng các kết quả đó để nghiên cứu các tính chất của các ánh xạ

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích thứ nhất của luận án là tổng quát các kết quả của các định lí về haihàm phân hình có chung ảnh ngược của bốn cặp hàm nhỏ Mục đích thứ hai làcải tiến Định lí cơ bản thứ hai cho ánh xạ phân hình với hàm đếm có trọng Mụcđích cuối cùng là cải tiến Định lí cơ bản thứ hai cho các ánh xạ phân hình từ

đa tạp parabolic vào không gian xạ ảnh phức n chiều Áp dụng các kết quả thu

được, luận án đưa ra một số kết quả cho bài toán về sự phụ thuộc đại số của cácánh xạ phân hình trong một vài trường hợp.

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Luận án tập trung nghiên cứu vào đối tượng là các ánh xạ phân hình từ đatạp parabolic nói chung và Cm nói riêng vào Pn(C) Phạm vi nghiên cứu trong lýthuyết phân bố giá trị

4 Phương pháp nghiên cứu

Chúng tôi dựa trên các phương pháp nghiên cứu, những kỹ thuật truyền thốngcủa Hình học phức và Lý thuyết phân bố giá trị, đồng thời chúng tôi đưa thêmnhững kỹ thuật mới để giải quyết các vấn đề đặt ra trong luận án

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Luận án góp phần phong phú và sâu sắc các hiểu biết về sự phân bố giá trịcủa các ánh xạ phân hình cũng như mối liên hệ giữa các ánh xạ này dưới điềukiện về tập nghịch ảnh của các mục tiêu Luận án cũng là một trong những tàiliệu tham khảo cho sinh viên, học viên cao học và nghiên cứu sinh theo hướngnghiên cứu này

6 Cấu trúc luận án

Ngoài các phần: Mở đầu, Mục lục, Tổng quan, Kết luận và kiến nghị, Các côngtrình đã công bố liên quan đến luận án, Tài liệu tham khảo, luận án bao gồm bachương với tên như sau

Chương 1 Hai hàm phân hình trên mặt phẳng phức có chung ảnh ngược củabốn cặp hàm nhỏ

Chương 2 Định lí cơ bản thứ hai cho ánh xạ phân hình trên Cm giao với cácsiêu phẳng di động với hàm đếm có trọng và ứng dụng

Chương 3 Định lí cơ bản thứ hai cho ánh xạ phân hình trên đa tạp parabolicgiao với các siêu phẳng di động và ứng dụng

Luận án được viết dựa trên 03 bài báo đã công bố trên các tạp chí quốc tếSCIE

7 Nơi thực hiện luận án

Trường Đại học Sư phạm Hà Nội

TỔNG QUAN

Trong luận án, chúng tôi nghiên cứu ba vấn đề sau đây

Vấn đề 1: Nghiên cứu mối liên hệ phụ thuộc giữa hai hàm phân hìnhtrên C có cùng ảnh ngược đối với bốn cặp hàm nhỏ

Xét hai hàm phân hình h và g trên C Lấy các giá trị a, b ∈ C Hai hàm h và g

được nói là có chung ảnh ngược IM (hoặc CM) của a nếu h − a và g − a có chungcác không điểm không kể bội (hoặc tính cả bội) Tổng quát hơn, h và g được nói

là có chung ảnh ngược IM (hoặc CM) của cặp (a, b) nếu h − a và g − b có chungcác không điểm không kể bội (hoặc tính cả bội)

Việc nghiên cứu tính duy nhất của hai hàm phân hình có chung ảnh ngượccủa các giá trị phân biệt hoặc có chung ảnh ngược của các cặp giá trị được nhiềunhà toán học quan tâm

Một vấn đề thú vị đặt ra tiếp theo, đó là ta có thể làm yếu điều kiện trùngnhau của các mục tiêu hay không và có thể thay mục tiêu là các giá trị bởi cáchàm nhỏ hay không Điều này đưa chúng ta đến với bài toán nghiên cứu mối liên

hệ bởi các phép biến đổi tựa M¨obius giữa hai hàm phân hình có chung ảnh ngược

IM (hoặc CM) của các cặp hàm nhỏ ngoài một tập nhất định nào đó, hay còn nói

là có chung ảnh ngược IM* (hoặc CM*)

Định nghĩa 1 Ta nói rằng hai hàm phân hình h và g có chung ảnh ngược củacặp (a, b) với bội bị ngắt bởi n, hoặc chung ảnh ngược CMn∗ của cặp (a, b), nếu

min{n, νh−a0 (z)} = min{n, νg−b0 (z)}

với mọi z ∈ C nằm ngoài một tập rời rạc có hàm đếm bằng với S(r, h) + S(r, g).Hai hàm phân hình h và g được nói là có chung ảnh ngược IM∗ của cặp hàm

(a, b) nếu n = 1 và có chung ảnh ngược CM∗ của cặp hàm (a, b) nếu n = ∞.Định nghĩa 2 Ta nói hàm phân hình h là một biến đổi tựa M¨obius của g nếutồn tại các các hàm nhỏ (so với g) ai (1 ≤ i ≤ 4) mà a1a4 − a2a3 ̸≡ 0 saocho h = a1g + a2

a3g + a4 Đặc biệt, hàm h được gọi là một biến đổi M¨obius của g nếu

a1, a2, a3, a4 đều là hàm hằng

Đến đây, một câu hỏi thú vị được được đặt ra: “Có tồn tại hay không một phépbiến đổi tựa M¨obius giữa h và g khi chúng có chung ảnh ngược IM∗ hoặc CM∗

của các cặp hàm nhỏ? ”.

Vào năm 2003, P C Hu, P Li và C C Yang đã cải tiến Định lí bốn điểmthành: nếu hai hàm phân hình khác hằng có chung ảnh ngược CM∗ của bốn cặphàm nhỏ thì liên kết với nhau bởi một phép biến đổi tựa M¨obius Ngoài ra, năm

2014 S Đ Quang và L N Quỳnh đã xem xét trường hợp số cặp hàm nhỏ nhiềuhơn 5 nhưng điều kiện có chung ảnh ngược được làm yếu hơn Một trong nhữngkết quả tốt nhất đến nay được cho bởi P Li và C C Yang như sau

Định lí A Chof vàg là hai hàm phân hình khác hằng vàai, bi (i = 1, , 4; ai ̸=

aj, bi ̸= bj ∀i ̸= j) là các hàm nhỏ so với f và g Nếu f và g có chung ảnh ngược

CM∗ của ba cặp hàm nhỏ (ai, bi), (i = 1, 2, 3) và có chung ảnh ngược IM∗ củacặp hàm nhỏ (a4, b4) thì f là một biến đổi tựa M¨obius của g

Trong luận án này, chúng tôi đã cải tiến kết quả trên với một mức ngắt bội cụthể khi đếm bội các cặp hàm nhỏ và chỉ ra mối liên hệ giữa hai hàm phân hìnhnhư sau

Định lí 1.3.6 Cho f và g là hai hàm phân hình khác hằng và ai, bi (i =

1, , 4; ai ̸= aj, bi ̸= bj ∀i ̸= j) là các hàm nhỏ tương ứng so với f và g.Nếu f và g có chung ảnh ngược IM∗ của cặp hàm nhỏ (a1, b1) và có chung ảnhngược CM4∗ của ba cặp hàm nhỏ (ai, bi), (i = 2, 3, 4) thì f là một biến đổi tựaM¨obius của g Hơn nữa, tồn tại một hoán vị (i1, i2, i3, i4) của {1, 2, 3, 4} sao cho

Định lí 1.3.7 Cho f và g là hai hàm phân hình khác hằng và ai, bi (i =

1, , 4; ai ̸= aj, bi ̸= bj ∀i ̸= j) là các hàm nhỏ so với f và g, sao cho

Vấn đề 2: Nghiên cứu Định lí cơ bản thứ hai và sự phụ thuộc đại sốcủa các ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn(C) với điều kiện về ảnh ngượccủa mục tiêu di động

Năm 1926, R Nevanlinna đưa ra Định lí cơ bản thứ hai cho các hàm phânhình trên C và các giá trị phức phân biệt với các hàm đếm được chặn bội đếnmức 1 Sau đó, năm 1933, H Cartan phát triển kết quả của R Nevanlinna lêncho lớp ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn(C) với các siêu phẳng cố định ở vị trítổng quát, với các hàm đếm được chặn bội đến mức n

Lý thuyết về Định lí cơ bản thứ hai cho các ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn(C)

với các siêu phẳng di động đã được bắt đầu nghiên cứu bởi W Stoll, M Ru và

M Shirosaki vào những năm 1990 Trong thời gian đó, hầu hết các kết quả đạtđược về Định lí cơ bản thứ hai không có chặn bội cho các hàm đếm ảnh ngượccủa các siêu phẳng di động Trong những năm gần đây, lý thuyết này được nghiêncứu sâu sắc hơn và đã đạt được nhiều kết quả

M Ru đã chứng minh phiên bản đầu tiên của Định lí cơ bản thứ hai với cáchàm đếm được chặn bội (đến mức n) cho ánh xạ chỉnh hình không suy biến tuyếntính từ C vào Pn(C) và các siêu phẳng di động Sau đó, kết quả này được Đ Đ.Thái-S Đ Quang tổng quát cho ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn(C)

Định lí B Cho f là một ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn(C) và cho {ai}qi=1 (q ≥2n + 1) là q ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn(C)∗ ở vị trí tổng quát sao cho

Ở đây kí hiệu “|| P ” nghĩa là khẳng định P đúng với mọi r ∈ [0, ∞) \ E với

E là một tập có độ đo Borel hữu hạn

Năm 2016, S Đ Quang cải tiến các kết quả này như sau

Định lí C Cho f là một ánh xạ phân hình từ Cm và Pn(C) Cho {ai}qi=1 (q ≥2n − k + 2) là các ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn(C)∗ ở vị trí tổng quát sao cho

(f, ai) ̸≡ 0 (1 ≤ i ≤ q), trong đó rankR{ai}(f ) = k + 1 Khi đó, các khẳng địnhsau là đúng:

(a)

q2n − k + 2Tf(r) ≤

Gần đây, S Đ Quang đã cải tiến mạnh hơn cho các kết quả này.

Định lí D Cho f là một ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn(C) Cho {ai}qi=1(q ≥ 2n − k + 2) là các ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn(C)∗ ở vị trí tổng quátsao cho (f, ai) ̸≡ 0 (1 ≤ i ≤ q), trong đó rankR{ai}(f ) = k + 1 Khi đó, ta có

mà mỗi hàm đếm có trọng khác nhau Cụ thể, S Đ Quang đã chứng minh định

j=1λj Khi đó, với mọi số dươngη ∈ hmax1≤j≤qλj,

Pq j=1λj2n − k + 2

i,

Ta có thể thấy rằng, định lí này là sự tổng quát hóa của các định lí trên qua cáctrường hợp cụ thể sau đây.

1) Với λ1 = · · · = λq = 1 và η = 1, từ Định lí 2.2.2, ta nhận được khẳng định a)của Định lí D

2) Với η =

Pq j=1λj2n − k + 2, từ Định lí 2.2.2, ta nhận được Định lí E.

Trong phần tiếp theo của Vấn đề 2, chúng tôi đã sử dụng Định lí 2.2.2 đểnghiên cứu sự phụ thuộc đại số của các ánh xạ phân hình có chung ảnh ngượccủa các siêu phẳng di động, không đếm bội Năm 2001, M Ru chứng minh đượcđịnh lí sau

Định lí F Cho f1, , fλ : Cm → Pn(C) (λ ≥ 2) là các ánh xạ phân hìnhkhác hằng Cho aj : Cm → Pn(C)∗ (1 ≤ j ≤ q) là các siêu phẳng di động chậm

thì f1 ∧ · · · ∧ fλ ≡ 0 trên Cm, hay f1, , fλ là phụ thuộc đại số trên C

Sau đó, kết quả của M Ru được cải tiến và mở rộng bởi P Đ Thoan-P V Đức

và S Đ Quang với số các siêu phẳng di động được giảm đi Cụ thể là, vớid = 1, cáctác giả chỉ ra điều kiện về số các siêu phẳng là q > λn(2n + 1) − (n − 1)(λ − 1)

Trong kết quả này, tất cả các điểm giao của các ánh xạ phân hình và các siêuphẳng di động đều được xét Sau đó, H H Giang và L N Quỳnh chỉ xét các giaođiểm của các ánh xạ fi và các siêu phẳng aj mà bội của các giao điểm đó khôngvượt quá một số kj hữu hạn nào đó và đã đạt được những kết quả tổng quát hơn

L N Quỳnh đưa ra điều kiện để f1, , fλ phụ thuộc đại số trên C là

Định lí 2.3.2 Cho f1, , fλ : Cm → Pn(C) (λ ≥ 2) là các ánh xạ phân hìnhkhác hằng Cho aj : Cm →Pn(C)∗ (1 ≤ j ≤ q) là các siêu phẳng di động chậm ở

vị trí tổng quát Giả sử rằng (fi, aj) ̸≡ 0 và (f1, aj)−1{0} = · · · = (fλ, aj)−1{0}

với mỗi 1 ≤ i ≤ λ, 1 ≤ j ≤ q Kí hiệu Aj = (f1, aj)−1({0}) Cho l1, , lq là q

số nguyên dương thỏa mãn 2 ≤ lj ≤ λ Giả sử rằng với mỗi z ∈ Aj (1 ≤ j ≤ q)

và với mọi 1 ≤ i1 < · · · < ilj < q,ta có fi1(z) ∧ · · · ∧ filj(z) = 0 Khi đó nếu

q > dλk(2n − k + 2) − dλ(k − 1) +

Pq j=1lj

λ + 1 thì f1 ∧ · · · ∧ fλ ≡ 0 trên Cm,

Ta thấy rằng kết quả này là tổng quát hơn của L N Quỳnh và cải tiến hơnkết quả của P Đ Thoan, P V Đức và S Đ Quang

Vấn đề 2 được giải quyết trong chương 2 của luận án

Vấn đề 3: Nghiên cứu Định lí cơ bản thứ hai và sự phụ thuộc đại sốcủa các ánh xạ phân hình từ đa tạp parabolic vào Pn(C)

Trong vấn đề này, chúng tôi thiết lập một Định lí cơ bản thứ hai trong trườnghợp không gian nguồn là một đa tạp parabolic Cụ thể là chúng tôi cải tiến định

lí D ở trên bằng cách thay thế Cm bởi một đa tạp parabolic chấp nhận được

m−chiều

Gần đây, bằng cách sử dụng một kỹ thuật trong nghiên cứu xấp xỉ Diophantinecủa Y Liu, Q Yan đã mở rộng Định lí cơ bản thứ hai cho lớp các ánh xạ phânhình trên đa tạp parabolic Định lí dưới đây là kết quả của Q Yan

Định lí G Cho M là một đa tạp parabolic chấp nhận được m-chiều với hàm vétcạn parabolic τ và hàm trội Y Cho s0 là số dương cố định Cho g1, , gq : M →

Pn(C)∗ là các ánh xạ phân hình ở vị trí tổng quát Cho f : M → Pn(C) là một ánh

xạ phân hình khác hằng sao cho Ricτ = o(Tf(r, s0)) và logY (r) = o(Tf(r, s0)) khi

r → ∞ Giả sử rằng (f, gj) ̸≡ 0 với 1 ≤ j ≤ q và dim(Supp ν(f,g0

Ở đây, mục tiêu đầu tiên của chúng tôi là cải tiến Định lí G và mở rộng Định

lí D cho lớp ánh xạ phân hình từ đa tạp parabolic chấp nhận được vào Pn(C).Chúng tôi đã tìm cách kết hợp các phương pháp của S Đ Quang và Q Yan đểtránh việc sử dụng Bổ đề Đạo hàm logarit và khái niệm Wronskian tổng quát của

các ánh xạ phân hình, vốn là khái niệm và bổ đề rất khó thiết lập được trongtrường hợp các đa tạp parabolic Dưới đây là kết quả chúng tôi thu được.

Định lí 3.2.2 Cho M là một đa tạp parabolic chấp nhận được m-chiều vớihàm vét cạn parabolic τ và hàm trội Y (r) Cho s0 là số dương cố định Cho

f : M → Pn(C) là một ánh xạ phân hình khác hằng sao cho Ricτ = o(Tf(r, s0))

và logY (r) = o(Tf(r, s0)) khi r → ∞ Cho g1, , gq : M → Pn(C)∗ là các ánh xạphân hình ở vị trí tổng quát với q ≥ 2n−k +2, trong đó rankR{gj}(f ) = k +1 Giả

sử rằng (f, gj) ̸≡ 0 với mọi 1 ≤ j ≤ q và dim(Supp ν(f,g0

ở vị trí tổng quát, không đếm bội Dưới đây là kết quả chúng tôi thu được

Định lí 3.3.1 Cho M là một đa tạp parabolic chấp nhận được m-chiều với hàmvét cạn parabolic τ và hàm trội Y (r) Cho f1, , fλ : M → Pn(C) là các ánh

xạ phân hình khác hằng với Ricτ(r, s) = o(Tft(r, s0)) và logY (r) = o(Tft(r, s))

khi r → ∞, 1 ≤ t ≤ λ Cho g1, , gq : M → Pn(C)∗ là các ánh xạ phân hình

ở vị trí tổng quát thỏa mãn Tgj(r, s0) = o(max1≤t≤λTft(r, s0)) và (ft, gj) ̸≡ 0

với 1 ≤ j ≤ q, 1 ≤ t ≤ λ Giả sử Aj = (f1, gj)−1(0) = (f2, gj)−1(0) = · · · =(fλ, gj)−1(0) với mỗi j = 1, , q, và dim(Ai ∩ Aj) ≤ m − 2 với 1 ≤ i ≤ j ≤ q

Đặt A = Sq

j=1Aj Giả sử f1, , fλ ở vị trí l−đặc biệt trên A, trong đó l là một

số nguyên với 2 ≤ l ≤ λ Khi đó, nếu q > n(n + 2)λ

λ − l + 1 thì f1, , fλ ở vị trí đặc

biệt, tức là f1 ∧ · · · ∧ fλ ≡ 0 trên M

Kết quả này của chúng tôi đã mở rộng và cải tiến các kết quả trước đó chotrường hợp các ánh xạ từ Cm vào Pn(C) Cụ thể là, với d = 1 từ Định lí 3.3.1 tađưa ra được kết quả của M Ru và kết quả này cũng cải tiến hơn kết quả của P

Đ Thoan-P V Đức-S Đ Quang Chúng tôi cũng nhấn mạnh rằng, kết quả củaĐịnh lí 3.3.1 là tổng quát kết quả của Q Yan bởi vì chúng tôi đã sử dụng Định

lí cơ bản thứ hai có đánh giá chặn trên của hàm đặc trưng tốt hơn

Vấn đề 3 được giải quyết trong Chương 3 của luận án