Về định lý cơ bản thứ hai kiểu Cartan cho hàm đếm rút gọn và vấn đề duy nhất.Về định lý cơ bản thứ hai kiểu Cartan cho hàm đếm rút gọn và vấn đề duy nhất.Về định lý cơ bản thứ hai kiểu Cartan cho hàm đếm rút gọn và vấn đề duy nhất.Về định lý cơ bản thứ hai kiểu Cartan cho hàm đếm rút gọn và vấn đề duy nhất.Về định lý cơ bản thứ hai kiểu Cartan cho hàm đếm rút gọn và vấn đề duy nhất.Về định lý cơ bản thứ hai kiểu Cartan cho hàm đếm rút gọn và vấn đề duy nhất.Về định lý cơ bản thứ hai kiểu Cartan cho hàm đếm rút gọn và vấn đề duy nhất.Về định lý cơ bản thứ hai kiểu Cartan cho hàm đếm rút gọn và vấn đề duy nhất.Về định lý cơ bản thứ hai kiểu Cartan cho hàm đếm rút gọn và vấn đề duy nhất.Về định lý cơ bản thứ hai kiểu Cartan cho hàm đếm rút gọn và vấn đề duy nhất.Về định lý cơ bản thứ hai kiểu Cartan cho hàm đếm rút gọn và vấn đề duy nhất.Về định lý cơ bản thứ hai kiểu Cartan cho hàm đếm rút gọn và vấn đề duy nhất.Về định lý cơ bản thứ hai kiểu Cartan cho hàm đếm rút gọn và vấn đề duy nhất.Về định lý cơ bản thứ hai kiểu Cartan cho hàm đếm rút gọn và vấn đề duy nhất.Về định lý cơ bản thứ hai kiểu Cartan cho hàm đếm rút gọn và vấn đề duy nhất.Về định lý cơ bản thứ hai kiểu Cartan cho hàm đếm rút gọn và vấn đề duy nhất.Về định lý cơ bản thứ hai kiểu Cartan cho hàm đếm rút gọn và vấn đề duy nhất.Về định lý cơ bản thứ hai kiểu Cartan cho hàm đếm rút gọn và vấn đề duy nhất.Về định lý cơ bản thứ hai kiểu Cartan cho hàm đếm rút gọn và vấn đề duy nhất.Về định lý cơ bản thứ hai kiểu Cartan cho hàm đếm rút gọn và vấn đề duy nhất.Về định lý cơ bản thứ hai kiểu Cartan cho hàm đếm rút gọn và vấn đề duy nhất.Về định lý cơ bản thứ hai kiểu Cartan cho hàm đếm rút gọn và vấn đề duy nhất.Về định lý cơ bản thứ hai kiểu Cartan cho hàm đếm rút gọn và vấn đề duy nhất.Về định lý cơ bản thứ hai kiểu Cartan cho hàm đếm rút gọn và vấn đề duy nhất.Về định lý cơ bản thứ hai kiểu Cartan cho hàm đếm rút gọn và vấn đề duy nhất.Về định lý cơ bản thứ hai kiểu Cartan cho hàm đếm rút gọn và vấn đề duy nhất.Về định lý cơ bản thứ hai kiểu Cartan cho hàm đếm rút gọn và vấn đề duy nhất.Về định lý cơ bản thứ hai kiểu Cartan cho hàm đếm rút gọn và vấn đề duy nhất.Về định lý cơ bản thứ hai kiểu Cartan cho hàm đếm rút gọn và vấn đề duy nhất.Về định lý cơ bản thứ hai kiểu Cartan cho hàm đếm rút gọn và vấn đề duy nhất.Về định lý cơ bản thứ hai kiểu Cartan cho hàm đếm rút gọn và vấn đề duy nhất.
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM INTHAVICHIT PADAPHET VỀ ĐỊNH LÝ CƠ BẢN THỨ HAI KIỂU CARTAN CHO HÀM ĐẾM RÚY GỌN VÀ VẤN ĐỀ DUY NHẤT Ngành: Tốn Giải tích Mã số: 9460102 TĨM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC THÁI NGUN - 2023 Cơng trình hồn thành tại: TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM - ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS HÀ TRẦN PHƯƠNG TS NGUYỄN VĂN THÌN Phản biện 1: Phản biện 2: Phản biện 3: Luận án bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp họp tại: TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM-ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN Vào hồi ngày tháng năm Có thể tìm hiểu luận án tại: - THƯ VIỆN QUỐC GIA - TRUNG TÂM SỐ - ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN - THƯ VIỆN TRƯỜNG ĐẠI SƯ PHẠM Mở đầu Lịch sử nghiên cứu lý chọn đề tài Trong năm gần đây, Lý thuyết phân bố giá trị cho đường cong chỉnh hình, hay cịn gọi Lý thuyết Nevanlinna-Cartan thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều nhà tốn học ngồi nước Được xem bắt đầu cơng trình H Cartan vào năm 1933 Ông xây dựng dạng định lý thứ thứ hai cho đường cong chỉnh hình, Lý thuyết NevanlinnaCartan đánh giá thành tựu sâu sắc, đẹp đẽ có nhiều ứng dụng lĩnh vực khác Toán học vấn đề cho đường cong chỉnh hình, tính suy biến đường cong đại số, lý thuyết hệ động lực, phương trình vi phân phức số lĩnh khác Kí hiệu K trường đóng đại số, có đặc số khơng, đầy đủ với chuẩn sinh giá trị tuyệt đối không Acsimet, W C K Pn (W) không gian xạ ảnh n chiều W Với đường cong chỉnh hình f : C → Pn (C) có biểu diễn tối giản (f0 , , fn ), hàm Tf (r) = 2π Z 2π log ∥f (reiθ )∥dθ gọi hàm đặc trưng Nevanlinna-Cartan đường cong f , ∥f (z)∥ = max{|f0 (z)|, , |fn (z)|} Cho H siêu phẳng, L dạng tuyến tính xác định H M số nguyên dương Ta gọi nf (r, H) nM f (r, H) số không điểm L(f )(z) đĩa {|z| ⩽ r}, tương ứng kể bội hay bội cắt cụt M Hàm Z r nf (t, H) − nf (0, H) Nf (r, H) = Nf (r, L) = dt + nf (0, H) log r t gọi hàm đếm kể bội hàm Z r M nf (t, H) − nM f (0, H) M M Nf (r, H) = Nf (r, L) = dt + nM f (0, H) log r t gọi hàm đếm bội cắt cụt M đường cong f kết hợp với siêu phẳng H Năm 1933, H Cartan chứng minh dạng Định lý thứ hai cho đường cong chỉnh hình mặt phẳng phức: Định lý A Cho đường cong chỉnh hình khơng suy biến tuyến tính f : C → Pn (C) q siêu phẳng H1 , , Hq vị trí tổng quát Pn (C) Khi bất đẳng thức (q − n − 1)Tf (r) ⩽ q X Nfn (r, Hj ) + o(Tf (r)) j=1 với r > đủ lớn nằm ngồi tập có độ đo Lebesgue hữu hạn Định lý A cho ta quan hệ hàm đặc trưng đường cong chỉnh hình khơng suy biến tuyến tính với hàm đếm bội cắt cụt với mục tiêu siêu phẳng vị trí tổng qt Cơng trình H Cartan đánh giá quan trọng, mở hướng nghiên cứu cho việc phát triển lý thuyết Nevanlinna - nghiên cứu dạng định lý thứ hai cho ánh xạ phân hình, chỉnh hình ứng dụng Các kết nghiên cứu theo hướng thời gian gần tập trung vào hai vấn đề: Xây dựng dạng Định lý thứ hai cho đường cong chỉnh hình từ Wp miền Wp vào Pn (W) đa tạp đại số xạ ảnh Pn (W) với mục tiêu siêu phẳng, siêu mặt cố định di động, cách thiết lập quan hệ hàm đặc trưng Nevanlinna-Cartan với hàm xấp xỉ dạng hàm đếm khác Nghiên cứu ứng dụng dạng Định lý thứ hai lĩnh vực khác tốn học, chẳng hạn, tính chất số khuyết, vấn đề cho hàm hay đường cong chỉnh hình, suy biến đường cong đại số số lĩnh vực khác Theo hướng nghiên cứu thứ nhất, tiếp nối cơng trình H Cartan, có nhiều tác giả xây dựng dạng định lý thứ hai cách thiết lập quan hệ bất đẳng thức hàm đặc trưng đường cong chỉnh hình với xấp xỉ hàm đếm không kể bội hay hàm đếm bội cắt cụt Cụ thể, năm 1983, E I Nochka chứng minh mở rộng Định lý A cho trường hợp họ siêu phẳng vị trí tổng quát không gian xạ ảnh phức Pn (C) Năm 1995, H H Khoai M V Tu nghiên cứu Định lý A cho trường hợp đường cong chỉnh hình trường K thu kết quả: Định lý B Cho f : K → Pn (K) đường cong khơng suy biến tuyến tính H1 , , Hq siêu phẳng phân biệt Pn (K) vị trí tổng qt Khi (q − n − 1)Tf (r) ⩽ q X j=1 Nfn (r, Hj ) − n(n + 1) log r + O(1) P C Hu C C Yang mở rộng kết H H Khoai M V Tu cho trường hợp họ siêu phẳng vị trí tổng quát Trong năm gần đây, có nhiều tác giả ngồi nước nghiên cứu dạng Định lý thứ hai cho đường cong chỉnh hình từ Wm hay miền Wm vào Pn (W) hay đa tạp đại số xạ ảnh W, trường hợp mục tiêu siêu phẳng hay siêu mặt cố định hay di động, với dạng hàm đếm khác Chẳng hạn M Ru, Q M Yan Z H Chen, G Dethloff, T V Tan, D D Thai, D D Thai, S D Quang, L Shi, T T H An H T Phuong, H T Phuong N V Thin, H T Phuong L Vilaisavanh, P C Hu, N V Thin nhiều tác giả khác Năm 2014, dựa nghiên cứu bội không điểm tổ hợp tuyến tính khơng tầm thường họ hữu hạn hàm chỉnh hình mặt phẳng phức điểm, J M Anderson A Hinkkanen đưa khái niệm hàm đếm, gọi hàm đếm rút gọn chứng minh dạng Định lý thứ hai với hàm đếm rút gọn cho trường hợp mục tiêu siêu phẳng cố định Cho f : W → Pn (W) đường cong chỉnh hình (f0 , , fn ) biểu diễn tối giản f Kí hiệu L = L(f0 , , fn ) tập hợp tất tổ hợp tuyến tính khơng tầm thường hàm f0 , , fn Từ Bổ đề 1.4 ta thấy, với z0 ∈ W, bội khơng điểm có hàm thuộc L z0 tạo nên dãy thỏa mãn = d0 (z0 ) < d1 (z0 ) < · · · < dn (z0 ) Với siêu phẳng H xác định dạng tuyến tính L, hiển nhiên L(f ) ∈ L nên tồn j ∈ {0, , n} cho bậc không điểm L(f ) z0 dj (z0 ), tức ordL(f ) (z0 ) = dj (z0 ) Ta kí hiệu ν(H, z0 ) = j gọi bội rút gọn không điểm L(f ) z0 , hay gọi bội rút gọn f kết hợp với siêu phẳng H z0 Và gọi ε(H, z0 ) = dj − j bội dư L(f ) z0 hay gọi bội dư f kết hợp với siêu phẳng H z0 P Định nghĩa Với r > 0, ta kí hiệu νf (r, H) = ν(H, z) Và hàm |z|⩽r Nf (r, H) = r Z νf (t, H) − νf (0, H) dt + νf (0, H) log r t gọi hàm đếm rút gọn hàm f kết hợp với siêu phẳng H Từ định nghĩa ta thấy ν(H, z0 ) ⩽ min{dj , n} nên νf (r, H) ⩽ nnf (r, H) Nf (r, H) ⩽ Nfn (r, H) (1) Cho H = {H1 , , Hq } họ siêu phẳng vị trí tổng quát Pn (W) Lj dạng tuyến tính định nghĩa Hj , j = 1, 2, , q Đặt H= L1 (f )L2 (f ) Lq (f ) , W W định thức Wronskian f0 , , fn Từ Bổ đề 1.6, với z0 tùy P ý ta ln có qj=1 ε(Hj , z0 ) ⩽ ordW (z0 ) Đặt V(H, z) = ordW (z0 ) − q X ε(Hj , z) ⩾ j=1 Và kí hiệu Vf (r, H) = X V(H, z) |z|⩽r Định nghĩa Hàm Uf (r, H) = Z r Vf (t, H) − Vf (0, H) dt − Vf (0, H) log r t gọi hàm đếm bội dư không điểm hàm f kết hợp với họ siêu phẳng H Năm 2014, J M Anderson A Hinkkanen chứng minh Định lý C Cho f : C → Pn (C) đường cong chỉnh hình khơng suy biến tuyến tính H = {H1 , , Hq } họ gồm q ⩾ n + siêu phẳng Pn (C) vị trí tổng qt Khi ta có (q − n − 1)Tf (r) ⩽ q X Nf (r, Hj ) − Uf (r, H) − N (r, H) j=1 + O(log r) + O(log Tf (f )), (2) r → ∞ nằm ngồi tập có độ đo tuyến tính hữu hạn Chú ý rằng, từ (1) ta thấy hàm đếm bội rút gọn Nf (r, Hj ) Định lý C nhỏ so với hàm đếm bội cắt cụt cơng trình H Cartan nên cải tiến kết H Cartan Công trình gợi ý cho vấn đề nghiên cứu lý thuyết Nevanlinna-Cartan: xem xét dạng Định lý thứ hai với hàm đếm rút gọn Theo hướng nghiên cứu thứ hai, luận án tập trung vào nghiên cứu ứng dụng lý thuyết Nevanlinna-Cartan vấn đề cho đường cong phân, chỉnh hình Những kết theo hướng nghiên cứu thuộc H Fujimoto ông mở rộng Định lý năm điểm R Nevanlinna cho ánh xạ phân hình Sau đó, vấn đề thu hút quan tâm nhiều tác giả thu nhiều kết quan trọng Cho U miền W, kí hiệu F họ ánh xạ chỉnh hình khác từ U vào Pn (W) Họ siêu mặt D gọi tập xác định không kể bội, kí hiệu URSIM (hoặc tập xác định kể bội, kí hiệu URSCM) cho họ ánh xạ F với cặp ánh xạ f, g ∈ F , điều kiện E f (D) = E g (D) (hoặc Ef (D) = Eg (D) tương ứng) kéo theo f ≡ g Các tập URSIM, URSCM gọi chung tập xác định cho họ ánh xạ F Trong cơng trình H Fujimoto chứng minh tồn tập xác định kể bội gồm 3n + siêu phẳng vị trí tổng quát cho họ ánh xạ phân hình phức khơng suy biến tuyến tính 2n + siêu phẳng vị trí tổng qt cho họ ánh xạ phân hình phức khơng suy biến đại số Năm 1983, L Smiley tồn tập xác định không kể bội gồm 3n + siêu phẳng cho đường cong chỉnh hình phức H Fujimoto nghiên cứu lại vấn đề vào năm 1998 Năm 2006, G Dethloff T V Tan xem xét vấn đề tương tự cho trường hợp siêu phẳng di động Năm 2006, D D Thai S D Quang xem xét vấn đề trường hợp mục tiêu 3n + siêu phẳng Năm 2008, M Dulock M Ru năm 2009, H T Phuong chứng minh số kết vấn đề trường hợp siêu mặt đường cong chỉnh hình mặt phẳng phức Năm 2009, Z Chen, Q Yan năm 2010, G Dethloff, T V Tan tập cho đường cong chỉnh hình gồm 2n + siêu phẳng Kí hiệu R0 > số thực dương +∞ ∆ = {z ∈ C : < |z| < R0 } R0 hình vành khuyên mặt phẳng phức C Năm 2013, H T Phuong T H Minh chứng minh định lý cho đường cong chỉnh hình hình vành khuyên trường hợp mục tiêu siêu phẳng vị trí tổng quát năm 2021, H T Phuong L Vilaisavanh nghiên cứu vấn đề trường hợp siêu mặt vị trí tổng quát phép nhúng Veronese Thời gian gần đây, tác giả tiếp tục phát triển dạng định cho lớp đường cong khác với mục tiêu siêu phẳng hay siêu mặt, cố định hay di động Chú ý rằng, hầu hết chứng minh kết tập xác định dựa vào dạng Định lý thứ hai Như vậy, việc tiếp tục phát triển dạng Định lý thứ hai cách thiết lập quan hệ hàm đặc trưng với dạng hàm đếm ứng dụng định lý vấn đề cho ánh xạ phân, chỉnh hình thực cần thiết Hiện nay, vấn đề nghiên cứu phát triển mạnh mẽ, thu hút quan tâm nhiều tác giả có nhiều cơng trình cơng bố Sự lựa chọn đề tài "Về định lý thứ hai kiểu Cartan cho hàm đếm rút gọn vấn đề nhất" tác giả luận án nhằm tiếp tục phát triển thêm số dạng Định lý thứ hai với hàm đếm rút gọn, hàm đếm bội cắt cụt cho đường cong chỉnh hình trường W xây dựng số điều kiện đủ cho vấn đề cho đường cong chỉnh hình hình vành khuyên Mục đích đối tượng nghiên cứu • Đối tượng nghiên cứu Trong luận án tập trung nghiên cứu tính chất đường cong chỉnh hình trường không Acsimet trường số phức C đường cong chỉnh hình hình vành khuyên mặt phẳng phức Đây đối tượng nghiên cứu lý thuyết phân bố giá trị Nevanlinna-Cartan • Mục đích nghiên cứu : Trong luận án này, nghiên cứu theo hai hướng sau: Hướng nghiên cứu thứ nhất: Xây dựng số dạng định lý thứ hai cho đường cong chỉnh hình trường khơng Acsimet mặt phẳng phức C với mục tiêu siêu phẳng vị trí tổng quát hay tổng quát cách thiết lập quan hệ hàm đặc trưng Nevanlinna-Cartan với hàm đếm rút gọn Hướng nghiên cứu thứ hai: Thiết lập số điều kiện đủ để hai đường cong chỉnh hình hình vành khuyên trùng trường hợp mục tiêu siêu mặt vị trí tổng quát Tổng quan luận án Đối với hướng nghiên cứu thứ nhất, xây dựng số dạng Định lý thứ hai sau: Định lý (Định lý 1.7, Chương 1) Cho f : K → Pn (K) đường cong chỉnh hình khơng suy biến tuyến tính H = {H1 , , Hq } họ gồm q ⩾ n + siêu phẳng vị trí tổng quát Pn (K) Khi ta có: (q − n − 1)Tf (r) ⩽ q X Nf (r, Hj ) − Uf (r, H) − N (r, H) j=1 − n(n + 1) log r + O(1), r → ∞ tập có độ đo hữu hạn tuyến tính Định lý (Định lý 2.4, Chương 2) Cho f : K → Pn (K) đường cong chỉnh hình khơng suy biến tuyến tính H = {H1 , , Hq } họ gồm q ⩾ 2N − n + siêu phẳng Pn (K) vị trí N −dưới tổng quát Khi (q − 2N + n − 1)Tf (r) ⩽ q X Nf (r, Hj ) − j=1 − N N Uf (r, H) − N (r, Φ) n Mn (N + 1)n log r + O(1), r → ∞ nằm ngồi tập có độ đo tuyến tính hữu hạn Các định lý hai dạng Định lý thứ hai với hàm đếm rút gọn cho đường cong chỉnh hình trường không Acsimet K hai trường hợp: họ siêu phẳng vị trí tổng quát vị trí tổng quát Pn (K) Đối với đường cong chỉnh hình trường số phức chúng tơi thu kết quả: Để chứng minh kết vấn đề cho đường cong chỉnh hình hình vành khuyên, chứng minh dạng Định lý thứ hai với bội cắt cụt Cụ thể, cho f : ∆ → Pn (C) Ta kí hiệu O(log r + log Tf (r)) R = +∞ Of (r) = O(log + log Tf (r)) R < +∞ R0 − r Định lý (Định lý 2.13, Chương 2) Cho f : ∆ → Pn (C) đường cong chỉnh hình khơng suy biến đại số Dj , ⩽ j ⩽ q, siêu mặt Pn (C) bậc dj tương ứng vị trí tổng quát Gọi d bội chung nhỏ dj đặt M = n+d − Khi đó, với < r < R0 q ⩾ M + 1, ta có n q X M Nf (r, Dj ) + Of (r) ∥ (q − M − 1)Tf (r) ⩽ d j j=1 (3) Định lý dạng Định lý thứ hai với hàm đếm bội cắt cụt cho đường cong chỉnh hình hình vành khuyên Cho D = {Dj , j = 1, , q} họ gồm q siêu mặt bậc dj tương ứng vị trí tổng quát Gọi d bội chung nhỏ dj , kí hiệu ! n+d δD := min{d1 , , dq }, nD = −1 n 11 Chương Định lý thứ hai với hàm đếm rút gọn cho đường cong chỉnh hình trường không Acsimet 1.1 Một số kiến thức sở Gọi K trường đóng đại số, có đặc số không, đầy đủ với chuẩn sinh giá trị tuyệt đối khơng Acsimet (trường Cp ví dụ), W C K kí hiệu Pn (W) không gian xạ ảnh n chiều W Định nghĩa 1.2 Cho f đường cong chỉnh hình từ W vào Pn (W), tồn hàm chỉnh hình f0 , , fn W, có hàm không đồng không cho f (z) = (f0 (z) : · · · : fn (z)) với z ∈ / {f0 = · · · = fn = 0} Ta gọi (f0 , , fn ) biểu diễn đường cong f Nếu hàm f0 , , fn khơng có khơng điểm chung W ta gọi (f0 , , fn ) biểu diễn tối giản f Định nghĩa 1.3 Một đường cong chỉnh hình f : W → Pn (W) gọi suy biến tuyến tính tồn khơng gian tuyến tính thực H Pn (W) cho f (W) ⊂ H Đường cong f gọi suy biến đại số tồn tập đại số thực G Pn (W) cho f (W) ⊂ G Cho X không gian tuyến tính xạ ảnh k chiều (1 ⩽ k ⩽ n) Pn (W) số nguyên dương N Cho {H1 , , Hq } họ gồm q ⩾ N +1 siêu phẳng Pn (W), Hj định nghĩa dạng tuyến tính Lj , ⩽ j ⩽ q 12 Họ {H1 , , Hq } gọi vị trí N −dưới tổng quát X với tập {i0 , , iN } {1, , q} gồm N + phần tử, ta có {x ∈ X : Lij (x) = 0, j = 0, , N } = ∅ (1.1) Khi k = n, họ siêu phẳng {H1 , , Hq } gọi vị trí N −dưới tổng quát (đối với Pn (W)) Khi N = n = k họ {H1 , , Hq } gọi vị trí tổng quát 1.2 Định lý thứ hai kiểu Cartan Cho f0 , , fn hàm nguyên, độc lập tuyến tính khơng có khơng điểm chung W Kí hiệu L = L(f0 , , fn ) tập hợp tất tổ hợp tuyến tính khơng tầm thường hàm f0 , , fn Với z0 điểm tùy ý W, Năm 2014, Anderson Hinkkanen chứng minh: Bổ đề 1.4 Với z0 ∈ C, bội khơng điểm có z0 hàm thuộc L = L(f0 , , fn ) tạo nên dãy d0 (z0 ), d1 (z0 ), , dn (z0 ) thỏa mãn = d0 (z0 ) < d1 (z0 ) < · · · < dn (z0 ) Bổ đề 1.4 cho tính chất bội có hàm thuộc L = L(f0 , , fn ) trường hợp hàm chỉnh hình C điểm tùy ý Chú ý rằng, Bổ đề 1.4 cho trường hợp không Acsimet Định nghĩa 1.9 Các số d0 (z0 ), d1 (z0 ), , dn (z0 ) định nghĩa gọi dãy bội đặc trưng hàm f0 , , fn z0 Bổ đề sau cho thấy mối quan hệ Wronskian hàm chỉnh hình dãy bội đặc trưng chúng: Bổ đề 1.5 Cho f0 , , fn hàm ngun C khơng có khơng điểm chung chúng khác Với z0 ∈ C, gọi d0 (z0 ), , dn (zn ) dãy bội đặc trưng f0 , , fn z0 Khi i) Nếu W (z0 ) ̸= d0 (z0 ) = < d1 (z0 ) < · · · < dn (z0 ) = n; ii) Nếu W (z0 ) = d0 (z0 ) = < d1 (z0 ) < · · · < dn (z0 ) phụ thuộc vào z0 , 13 nữa, trường hợp bậc không điểm W z0 n X n(n + 1) dj (z0 ) − j=1 Bổ đề 1.5 chứng minh Anderson Hinkkanen vào năm 2014 cho trường hợp hàm phân hình phức Chú ý trường hợp hàm chỉnh hình khơng Acsimet Bổ đề 1.6 Cho f : W → Pn (W) đường cong chỉnh hình khơng suy biến tuyến tính f = (f0 : · · · : fn ) biểu diễn tối giản f Cho N ⩾ n số nguyên Giả sử H = {H1 , , Hq }, q ⩾ N + họ siêu phẳng vị trí N − tổng quát Pn (W) Khi q X ε(Hj , z0 ) ⩽ (N − n + 1)ordW (z0 ) j=1 Cho f = (f0 : · · · : fn ) : K → Pn (K) đường cong chỉnh hình khơng Acsimet H siêu phẳng Pn (K) Ta kí hiệu X ν(H, z) νf (r, H) = |z|⩽r Định nghĩa 1.10 Hàm r νf (t, H) − νf (0, H) dt + νf (0, H) log r t gọi hàm đếm rút gọn hàm f kết hợp với siêu phẳng H Nf (r, H) = Z Dễ thấy νf (r, H) ⩽ nnf (r, H) Nên ta có Nf (r, H) ⩽ Nfn (r, H) Cho H = {H1 , , Hq } họ siêu phẳng H1 , , Hq vị trí tổng quát Pn (K) Lj dạng tuyến tính định nghĩa Hj , j = 1, 2, , q Đặt L1 (f )L2 (f ) Lq (f ) H= , W W định thức Wronskian f0 , f1 , , fn Từ Bổ đề 1.6, với z0 tùy ý ta ln có q X j=1 ε(Hj , z0 ) ⩽ ordW (z0 ) 14 Đặt V(H, z) = ordW (z0 ) − q X ε(Hj , z) ⩾ j=1 Và kí hiệu Vf (r, H) = X V(H, z) |z|⩽r Định nghĩa 1.11 Hàm Uf (r, H) = Z r Vf (t, H) − Vf (0, H) dt − Vf (0, H) log r t gọi hàm đếm bội dư không điểm hàm f kết hợp với họ siêu phẳng H Định lý sau dạng định lý thứ hai kiểu Cartan cho đường cong chỉnh hình khơng Acsimet với hàm đếm rút gọn Định lý 1.7.Cho f = (f0 : · · · : fn ) : K → Pn (K) đường cong chỉnh hình khơng suy biến tuyến tính H = {H1 , , Hq } họ gồm q ⩾ n + siêu phẳng vị trí tổng qt Pn (K) Khi ta có: (q − n − 1)Tf (r) ⩽ q X Nf (r, Hj ) − Uf (r, H) − N (r, H) j=1 − n(n + 1) log r + O(1), r → ∞ tập có độ đo hữu hạn tuyến tính Chú ý 1.2 Với đường cong chỉnh hình f với siêu phẳng H Từ định nghĩa ta dễ dàng nhận thấy Nf (r, H) ⩽ Nfn (r, H) Do bất đẳng thức Định lý 1.7 mạnh bất đẳng thức Định lý B H H Khoai M V Tu 15 Chương Một số dạng định lý thứ hai cho đường cong chỉnh hình 2.1 Định lý kiểu Cartan-Nochka cho đường cong trường không Acsimet Với tập hữu hạn R, ta kí hiệu |R| số phần tử R Năm 1983, E I Nochka chứng minh hai kết sau liên quan đến họ siêu mặt vị trí N −dưới tổng quát Bổ đề 2.1 Cho q > 2N − n + {Hj }qj=1 họ siêu phẳng vị trí N −dưới tổng quát Pn (C) Kí hiệu Q = {1, 2, , q} Khi tồn số hữu tỷ dương w(j) thỏa mãn điều kiện: i) < w(j) ⩽ với j ∈ Q; ii) Đặt w∗ = max w(j), ta có j∈Q q X w(j) = w∗ (q − 2N + n − 1) + n + 1; j=1 n n+1 ⩽ w∗ ⩽ ; 2N − n + N iv) Với R ⊂ Q thỏa mãn < |R| ⩽ N + 1, ta có X w(j) ⩽ rank{Hj }j∈R ; iii) j∈R Các số hữu tỷ không âm w(j), j = 1, , q, Bổ đề 2.1 gọi trọng Nochka w∗ gọi số Nochka Bổ đề 2.2 Cho q > 2N − n + {Hj }qj=1 họ siêu phẳng vị trí 16 N −dưới tổng quát Pn (C) Gọi w(j), j ∈ Q, trọng Nochka Bổ đề 2.1 Kí hiệu Q = {1, 2, , q} Ej ⩾ 1, j ∈ Q, số thực tùy ý Khi đó, với R ⊂ Q với < |R| ⩽ N + 1, tồn tập R0 ⊂ R thỏa mãn |R0 | = rank{Hj }j∈R0 = rank{Hj }j∈R , Y w(j) Ej j∈R ⩽ Y Ej j∈R0 Chú ý bổ đề 2.1 2.2 trường hợp họ siêu mặt vị trí N −dưới tổng quát không gian Pn (K) Cho H siêu phẳng Pn (K), ta nhắc lại với z0 ∈ K, ε(H, z0 ) bội dư Hj ◦ f điểm z0 , tức ε(H, z0 ) = dj (z0 ) − j ⩾ ordHj ◦j (z0 ) = dj (z0 ) Ta có bổ đề sau quan hệ bội khơng điểm Wronskian đường cong chỉnh hình f bội dư với trọng Nochka f kết hợp với họ siêu phẳng Bổ đề 2.3 Cho f : K → Pn (K) đường cong chỉnh hình khơng suy biến tuyến tính H = {H1 , , Hq } họ gồm q > 2N − n + siêu phẳng Pn (K) vị trí N −dưới tổng quát Gọi w(j), j = 1, , q, trọng Nochka Bổ đề 2.1 Khi với z0 ∈ K, ta có q X w(j)ε(Hj , z0 ) ⩽ ordWf (z0 ) (2.1) j=1 ordWf (z0 ) bội khơng điểm Wf z0 Cho f : K → Pn (K) đường cong chỉnh hình, (f0 , , fn ) biểu diễn tối giản f Cho H = {H1 , , Hq } họ gồm q ⩾ 2N − n + siêu phẳng Pn (K) vị trí N −dưới tổng quát Gọi w(j), j = 1, , q, trọng Nochka họ H Bổ đề 2.1 Với z ∈ K, ta kí hiệu q X V(H, z) = ordWf (z0 ) − w(j)ε(Hj , z), j=1 Wf = W (f0 , , fn ) Theo Bổ đề 2.3 ta dễ dàng thấy V(H, z) ⩾ Với r ⩾ ta đặt Vf (r, H) = X |z|⩽r V(H, z) 17 gọi Uf (r, H) = Z r Vf (t, H) − Vf (0, H) dt − Vf (0, H) log r t hàm đếm bội dư với trọng Nochka đường cong chỉnh hình f kết hợp với họ siêu phẳng H Với j = 1, , q, giả sử w(j) = aj /bj aj , bj số ngun khơng âm bj ̸= Kí hiệu M = b1 bq Và đặt L1 (f )M w(1) Lq (f )M w(q) , Φ= WfM (2.5) Wf = W (f0 , , fn ) Năm 2023 chứng minh dạng định lý thứ hai với hàm đếm rút gọn cho đường cong chỉnh hình khơng Acsimet kết hợp với họ siêu phẳng vị trí N − tổng quát không gian xạ ảnh Pn (K) sau: Định lý 2.4 Cho f : K → Pn (K) đường cong chỉnh hình khơng suy biến tuyến tính H = {H1 , , Hq } họ gồm q ⩾ 2N − n + siêu phẳng Pn (K) vị trí N −dưới tổng quát Khi (q − 2N + n − 1)Tf (r) ⩽ q X Nf (r, Hj ) − j=1 − N N Uf (r, H) − N (r, Φ) n Mn (N + 1)n log r + O(1), r → ∞ nằm tập có độ đo tuyến tính hữu hạn Chú ý rằng, Nf (r, Hj ) ⩽ Nfn (r, Hj ) với j = 1, 2, , q , nên Định lý 2.4 cải tiến định lý thứ hai kiểu Cartan-Nochka (Định lý 1.3) cho đường cong chỉnh hình khơng Acsimet Hơn họ H vị trí tổng qt N = n w(j) = với j = 1, , q , M = 1, Φ = H hàm đếm bội dư với trọng Nochka Uf (r, H) trùng với hàm đếm bội dư Trong trường hợp Định lý 2.4 nhận lại Định lý 1.7 18 2.2 Định lý cho đường cong hình vành khuyên Cho R0 > số thực dương +∞, ta gọi ∆= z∈C: < |z| < R0 , R0 hình vành khuyên C Với số thực r thỏa mãn < r < R0 , ta kí hiệu ∆1,r = z ∈ C : < |z| ⩽ , ∆2,r = z ∈ C : < |z| < r , r ∆r = z ∈ C : < |z| < r r Cho D siêu mặt Pn (C) bậc d Q đa thức C[x0 , , xn ] bậc d định nghĩa D, ta nhắc lại, Q(z0 , , zn ) = nd X ak z0ik0 znikn , k=0 nd = n+d n − ik0 + · · · + ikn = d với k = 0, , nd , ta kí hiệu (f, D) = Q(f ) = nd X ak f0ik0 fnikn k=0 Tiếp theo chứng minh dạng định lý cho đường cong chỉnh hình hình vành khuyên cho hàm đếm bội cắt cụt với mục tiêu siêu mặt vị trí tổng quát, cần thiết cho việc chứng minh định lý cho đường cong chỉnh hình hình vành khuyên Chương Đầu tiên giới thiệu Wronskian, giới thiệu chứng minh số kiến thức liên quan Cho f0 , , fn hàm chỉnh hình, ta kí hiệu W (f0 , , fn ) Wronskian hàm f0 , , fn , tức f0 f1 ′ f′ f1 W (f0 , , fn ) =