(Luận án) “Tính hữu hạn và sự thác triển của ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh phức”

MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Vấn đề hữu hạn ánh xạ phân hình vào khơng gian xạ ảnh vấn đề quan trọng hình học phức Sự phát tri ển c lý thuyết Nevanlinna mang lại công cụ mạnh mẽ đ ẹp đẽ nghiên c ứu vấn đề Cho đến nay, hướng nghiên cứu vấn đề đạt đ ược nhi ều k ết sâu sắc thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều nhà toán học nước Đặc biệt, năm 1975, H Fujimoto ch ứng minh r ằng hai ánh x phân hình khơng suy biến tuyến tính f g từ Cm vào Pn(C) có chung ảnh ngược (tính bội) 3n + siêu phẳng chúng trùng Năm 1983, L Smiley hai ánh xạ phân hình f g có chung ảnh ngược không kể bội 3n + siêu phẳng, giao ảnh ngược hai siêu phẳng tùy ý có đối chiều hai hai ánh xạ trùng ảnh ngược siêu phẳng f = g Các kết xem kết đẹp đẽ việc mở rộng “Định lý điểm điểm” R Nevanlinna Trong năm gần đây, G Dethloff, T V Tấn, Đ Đ Thái, S Đ Quang, Z Chen, Q Yan nhi ều tác gi ả khác nhận kết sâu sắc tính hữu hạn họ ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn(C) Tuy nhiên, vấn đề xem xét trường hợp “giao ảnh ngược hai siêu phẳng tùy ý có đối chiều hai ” Đây điều kiện không tự nhiên, khó để kiểm tra đóng vai trị then chốt chứng minh tác giả Do vậy, việc tổng quát điều kiện đưa điều kiện yếu việc nghiên cứu vấn đề câu hỏi mở Hơn nữa, gần nhiều tác giả đưa định lý hữu hạn cho ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn(C) có chung ảnh ngược họ siêu phẳng khác G Dethloff, S Đ Quang T V Tấn, Z H Wang Z H Tu số tác giả khác Tuy nhiên, tác giả xem xét vấn đề hữu hạn ánh xạ khơng suy bi ến tuyến tính Câu hỏi đặt cách tự nhiên là: Liệu có hay khơng định lý vấn đề hữu hạn ánh xạ f suy biến? Đồng thời, năm qua, việc áp dụng Định lý thứ hai lý thuyết Nevanlinna cho ánh xạ phân hình từ khơng gian ph ức vào không gian xạ ảnh, nhiều tác giả đưa tiêu chuẩn cho tính chuẩn tắc h ọ ánh xạ chỉnh hình, S Đ Quang T.V Tấn, Z H Tu P Li Các tiêu chuẩn cho phép kiểm tra tính chuẩn tắc ánh xạ chỉnh hình miền Cm vào không gian xạ ảnh Pn(C) điều kiện bội giao ánh xạ với 2n + siêu phẳng di động Dựa vào mối liên hệ tính chuẩn tắc tính thác triển qua tập giải tích có đối chi ều 1, T V T ấn N T T H ằng, Z H Tu nhi ều tác giả khác sử dụng tiêu chuẩn để nghiên cứu tính thác triển ánh xạ chỉnh hình Tuy nhiên, tác giả yêu cầu số siêu phẳng di động tham gia cần 2n + kỹ thuật mà họ sử dụng áp dụng cho trường hợp số siêu phẳng Nguyên phần bù hợp số siêu mặt giao số siêu mặt trường hợp khơng cịn tính hyperbolic n ữa Chúng tơi đặt vấn đề nghiên cứu tính thác triển ánh xạ trên, với số siêu phẳng Để làm điều này, sử dụng phương pháp hồn tồn khác, sử dụng mối liên hệ độ tăng hàm đặc trưng đường cong chỉnh hình đĩa thủng với tính kì dị bỏ tâm đĩa Do vậy, chúng tơi tìm cách thiết lập Định lý thứ hai cho đường cong chỉnh hình từ đĩa đơn vị thủng vào khơng gian xạ ảnh để nghiên cứu thác triển đường cong Thơng qua kết đó, chúng tơi nghiên cứu tính thác triển ánh xạ phân hình từ m ột miền qua tập giải tích có đối chiều Vì lí trên, chúng tơi l ựa chọn đề tài “Tính hữu hạn thác triển ánh xạ phân hình vào khơng gian xạ ảnh phức”, để nghiên cứu sâu sắc tính chất ánh xạ phân hình vào Pn(C) điều kiện ảnh ngược họ siêu phẳng cho trường hợp: 1) Bỏ điều kiện giao ảnh ngược hai siêu phẳng có đối chiều thay điều kiện ánh xạ không suy biến tuyến tính ánh xạ suy biến với toán nh ất h ữu hạn; 2) Xét trường hợp số siêu phẳng di động 2n + toán thác triển ánh xạ phân hình Tính cấp thiết đề tài Các tác giả trước chứng minh định lý hay h ữu h ạn cho ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn(C) với điều kiện “giao ảnh ngược hai siêu phẳng tùy ý có đối chiều hai” Hơn nữa, số siêu phẳng tham gia tối thiểu 2n + điều kiện then chốt chứng minh tác gi ả tr ước v ề v ấn đ ề thác triển ánh xạ phân hình Đây điều kiện hạn chế Do đó, việc đưa định lý hữu hạn với điều kiện tổng quát số chiều giao nghịch ảnh tìm cách chứng minh định lý thác triển với số siêu phẳng tham gia nhỏ 2n + cần thiết Mục đích nhiệm vụ nghiên cfíu Mục đích luận án nghiên cứu vấn đề h ữu h ạn c ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn(C) trường hợp siêu phẳng cố định, siêu phẳng di động có bội bị chặn Ngồi ra, luận án cịn chứng minh định lý thác triển ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh Đối tượng phạm vi nghiên cfíu Như trình bày phần lý chọn đề tài, đối tượng nghiên cứu luận án vấn đề hữu hạn ánh xạ phân hình có chung ảnh ng ược khơng tính bội siêu phẳng cố định siêu phẳng di đ ộng v ấn đ ề thác tri ển ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh d ưới điều ki ện v ề ảnh ng ược c siêu phẳng Mục đích luận án chứng minh định lý hữu h ạn, thác triển ánh xạ phân hình với điều kiện tổng quát, y ếu h ơn nghiên cứu trước vấn đề Hơn nữa, tình mà chúng tơi nghiên cứu kỹ thuật phương pháp tác giả trước giải Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Luận án góp phần làm phát triển sâu sắc kết tính hữu hạn ánh xạ phân hình họ siêu phẳng cố định siêu phẳng di động, đưa kết tính thác triển ánh xạ phân hình qua tập giải tích mỏng Luận án tài liệu tham kh ảo cho sinh viên, h ọc viên cao h ọc nghiên cứu sinh theo hướng nghiên cứu Cấu trúc luận án Ngoài phần mở đầu phần phụ lục, luận án gồm bốn chương vi ết theo t tưởng kế thừa Chương phần Tổng quan - phân tích đánh giá cơng trình nghiên cứu tác giả nước liên quan đến luận án Ba ch ương lại luận án viết dựa bốn cơng trình đăng nhận đăng Chương I: Tổng quan Chương II: Tính ánh xạ phân hình với họ siêu ph ẳng c ố đ ịnh Chương III: Tính hữu hạn ánh xạ phân hình v ới họ siêu ph ẳng di đ ộng Chương IV: Tính thác triển ánh xạ phân hình vào khơng gian xạ ảnh CHƯƠNG TỔNG QUAN I Tính ánh xạ phân hình với họ siêu phẳng cố định Để thuận tiện cho việc trình bày, đưa số ký hiệu định nghĩa sau: Cố định hệ tọa độ (ω0 : · · · : ωn) không gian xạ ảnh phức Pn(C) Cho f ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn(C) với biểu diễn rút gọn f = (f0 : · · · : fn) cho H siêu phẳng Pn(C) xác định phương trình a0ω0 + · · · + anωn = Đặt (f, H) := a0f0 + · · · + anfn Ta định nghĩa hàm ν(f,H) Cm với giá trị không âm sau:   (f, H)(z) /= 0, ν(f,H) (z ) =  k z không điểm bội k (f, H) Cho {Hi}q q siêu phẳng Pn(C), q ≥ n + Ta nói họ {Hi}q i Tn trí tổng quát Hj = ∅, với họ số ≤ j0 < · · · < jn ≤ q i vị i i Cho d số nguyên dương, ≤ d ≤ n Giả sử f ánh xạ phân hình khơng suy biến tuyến tính {Hi}q (q ≥ n + 1) q siêu phẳng vị trí tổng quát thỏa mãn d+1 dim \ j=1 i f −1(Hi ) j≤ m − 2, với ≤ i1 < · · · < id+1 ≤ q Với f thỏa mãn điều kiện với số nguyên dương k, ta kí hiệu G(f, , d, k) j {Hj }q tập tất ánh xạ phân hình khơng suy biến tuyến tính g : Cm → Pn(C) cho: a) min{ν(g,Hj ), k} = min{ν(f,Hj ), k}, với ≤ j ≤ q Sq b) g(z) = f (z) {z ∈ Cm : ν(f,H )(z) > 0} j Vậy thấy đượjc bao hàm thức sau: G(f, {Hj }q j , 1, k) ⊂ G(f, {Hj }q j , 2, k) ⊂ G(f, {Hj }q , 3, k) ⊂ · · · j Bài toán vấn đề cho ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn(C) tìm điều kiện q k cho tập G f, {Hjj}q , d, k) chứa ánh xạ f (định lý nhất), theo nghĩa rộng nghiên cứu lực lượng tập hợp G f, {Hj}j q , d, k) tìm mối quan hệ ánh xạ tập hợp Có hai đối tượng quan tâm việc nghiên c ứu vấn đ ề nh ất số lượng siêu phẳng tham gia q giá trị trị chặn bội k Các số nhỏ kết có giá trị ý nghĩa Năm 1983, L Smiley [Geometric conditions for unicity of holomorphic curves, Contemp Math., 25, 149-154] chứng minh rằng: Định lý A Nếu q ≥ 3n + ♯ G f, {Hj }q j , 1, 1) = Năm 1998, Fujimoto [Uniqueness problem with truncated multiplicities in value distribution theory, Nagoya Math J., 152, 131-152] mở rộng chứng minh mệnh đề hàm phụ trợ Cartan cho hàm chỉnh hình cho tr ường h ợp nhi ều chiều Thông qua việc đánh giá hàm đếm hàm phụ trợ Cartan này, ông chứng minh định lý sau: Định lý B Nếu q = 3n + 1, ♯ G f, {Hj }q j , 1, 2) ≤ Năm 2006, việc cải tiến hàm phụ trợ Cartan đ ưa ph ương pháp m ới để đánh giá hàm đếm chúng, Đ Đ Thái S Đ Quang [Uniqueness problem with truncated multiplicities of meromorphic mappings in several complex variables, Internat J Math., 17, 1223-1257] chứng minh kết sau: Định lý C Nếu n ≥ 2, ♯ G f, {Hj }3n+1 , 1, 1) j = 1, Nếu n ≥ 4, ♯ G f, {Hj}3n−1, 1, 2) ≤ j Kỹ thuật Thái - Quang mở đầu cho nhiều nghiên cứu vấn đề năm sau Một định lý tốt Z H Chen Q M Yan [Uniqueness theorem of meromorphic mappings into Pn(C) sharing 2n + hyperplanes regardless of multiplicities, Internat J Math., 20, 717-726] chứng minh vào năm 2009 sau: Định lý D Nếu q ≥ 2n + 3, ♯ G f, {Hj }q j , 1, 1) = Chúng tơi muốn nhấn mạnh rằng: tính tốn chi ti ết ch ứng minh c Chen Yan vô phức tạp Nếu sử dụng cách làm khó để cải thiện thêm cho Định lý D Đồng thời, tất kết vấn đề nêu ánh xạ phân hình vào Pn(C) với bội bị chặn bắt buộc phải có điều kiện dimf −1(Hi ∩ Hj) ≤ m − , với ≤ i < j ≤ q Nói cách khác, tác giả xét trường hợp tốt d = Đây điều kiện khơng tự nhiên, khó để kiểm tra đóng vai trị then ch ốt ch ứng minh tác giả Đến năm 2011, S Đ Quang [Unicity of meromorphic mappings sharing few hyperplanes, Ann Pol Math, 102(3) , 255-270] chứng minh lại cải thiện kết Chen - Yan phương pháp khác đơn giản nhiều Cụ thể, tác giả đưa hàm khác thay cho việc sử dụng hàm phụ trợ Cartan, điều giúp cho tất đánh giá hàm đếm hàm đ ặc trưng tr lên đơn giản ngắn gọn Lấy ý tưởng từ chứng minh Quang, đặt vấn đề nghiên cứu luận án định lý cho ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn(C) trường hợp số d tùy ý Cụ thể, chứng minh định lý sau Định lý Nếu q = (n + 1)d + n + ♯ G(f, {Hj}q j , d, 1) = Theo cách đặt vấn đề khác, năm 2008, B K Trình, S Đ Quang T V Tấn [A uniqueness theorem for meromorphic mappings with small set of identity, Kodai Math J., 31, 404-413] quan tâm đến trường hợp hàm phân hình ch ỉ trùng ảnh ngược n + siêu phẳng họ đưa định lý nh ất v ới t ập đồng hai ánh xạ phân hình f g điều kiện (b) nhỏ Tiếp tục ý tưởng chúng tôi, mở rộng kết ba tác giả sau Định lý Cho f, g hai ánh xạ phân hình khác từ Cm vào Pn (C) Cho số nguyên dương d (1 ≤ d ≤ n) cho (q = 2nd + n + 2) siêu phẳng vị j {Hj}q trí tổng quát Pn(C) cho d+1 dim \ −1 f (Hi ) ≤ m − (1 ≤ i1 < < id+1 ≤ n + 1) j j=1 Giả sử f g khơng suy biến tuyến tính Rf (a) min{ν(f,Hj ), n} = min{ν(g,Hj ), n}, (n + ≤ j ≤ q) Sn+1 −1 (b) f = g f (Hj) ∩ g−1(Hj) j Khi đó, f = g Trong đó, Rf trường hàm phân hình “nhỏ” (so với f ) Cm II Tính hữu hạn ánh xạ phân hình với họ siêu phẳng di động Năm 1991, W Stoll -M Ru M Shirosaki chứng minh Định lý thứ hai cho trường hợp mục tiêu di động với hàm đếm không đ ược ch ặn b ội Định lý thứ hai cho mục tiêu di động với hàm đếm chặn bội có lẽ đưa M Ru cho trường hợp biến ph ức đ ường cong chỉnh hình khơng suy biến tuyến tính vào năm 2000 (kết sau đ ược Đ Đ Thái S Đ Quang chứng minh lại cho trường hợp nhiều biến vào năm 2005) Đến năm 2004 M Ru J Wang đưa định lý thứ hai với hàm đếm đ ược ch ặn b ội cho trường hợp ánh xạ suy biến tuyến tính Sau năm 2008, Đ Đ Thái S Đ Quang cải tiến kết Ru-Wang cách đưa đánh giá tốt cho hàm đặc trưng Năm 2016, S Đ Quang t quát cải ti ến t ất c ả k ết qu ả trước định lý thứ hai với hàm đếm chặn bội cho mục tiêu di động Áp dụng kết này, có nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu vấn đề hữu hạn cho ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn(C) với siêu phẳng di động cách mạnh mẽ Trước hết, điểm lại số k ết qu ả t ốt nh ất cho đ ến cho hướng nghiên cứu Cho f ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn(C) Cho k, d (1 ≤ d ≤ n) số nguyên dương cho {aj}q siêu phẳng di động “chậm” (so với f ) vị trí tổng quát j Pn(C) thỏa mãn d+1 dim( \ Zero(f, aij ) ≤ m − (1 ≤ i1 < < id+1 ≤ q) j=1 Ở đây, ta hiểu siêu phẳng di động ánh xạ phân hình a : Cm −→ Pn(C)∗, siêu phẳng a nói di động chậm so với ánh xạ f || Ta(r) = o(Tf (r)) r −→ +∞ Gọi R({aai}ij q ) trường nhỏ trường hàm phân hình Cm chứa C tất i, với a /≡ Giả sử f khơng suy biến tuyến tính R({a }q ) Ta kí i il ail i=1 hiệu F(f, {ai}iq , d, k) tập tất ánh xạ phân hình g : Cm → Pn(C) khơng suy biến tuyến tính R({ai}q ), thỏa mãn hai điều kiện sau: i (i) (ν(f,ai), k) = (ν(g,ai), k) (1 ≤ i ≤ q), Sq (ii) f (z) = g(z) zero(f, ai) i Năm 2002, Z.H Tu [Uniqueness problem of meromorphic mappings in several complex variables for moving targets, Tohoku Math J., 54, 567-579] chứng minh kết sau: Định lý E Nếu q = 3n + 2, ♯ F (f, {ai}q i , 1, ∞) = Năm 2005, việc thiết lập Định lý thứ hai cho trường hợp mục tiêu di động với hàm đếm chặn bội n, tác giả Đ Đ Thái S Đ Quang [Uniqueness problem with truncated multiplicities of meromorphic mappings in several complex variables for moving targets, Internat J Math., 16, 903-939] chứng minh định lý sau: (3n + 1)(n + 2) Định lý F Nếu n ≥ 2, q ≥ ♯ F (f, {a }q , 1, 2) ≤ i i=1 Độc lập với tác giả trên, năm 2006 Z Chen M Ru [A uniqueness theorem for moving targets with truncated multiplicities, Houston Journal of Mathematics, 32, 589-601] chứng minh kết sau: Định lý G Nếu q ≥ 2n(n + 2), ♯ F (f, {ai}q i , 1, 2) ≤ Gần đây, năm 2008, T V Tấn B K Trình [A uniqueness theorem for meromorphic mappings without counting multiplicities, Analysis, Munich, 28, 383-399] chứng minh Định lý H Cho n, q số nguyên dương n ≥ Giả sử tồn số nguyên dương t < n cho 2q + t − n(n + >3+ 3(t + 3) q− 3n 2(n − − q−1 (n − t)(n + Khi đó, ♯F (f, , 1, 1) ≤ i {ai}q Chúng muốn nhấn mạnh định lý (E-H) trên, tác giả luôn giả sử điều kiện dim{z ∈ Cm : (f, ai)(z) = (f, aj)(z) = 0} ≤ m−2 (1 ≤ i < j ≤ q), tức d = (**) thỏa mãn điều kiện đóng vai trị thiết yếu chứng minh họ Do vậy, câu hỏi tự nhiên đặt là: Liệu có hay khơng định lý vấn đề hữu hạn điều kiện (**) bỏ thay điều kiện khác tổng quát hơn? Vấn đề thứ hai luận án trả lời câu hỏi Cụ thể, tổng quát định lý E-H tới trường hợp bội bị chặn (tức không đếm bội), điều kiện d = thay điều kiện d ≥ Chúng chứng minh định lý sau Định lý (3n2 + 5n + 3)d q ♯F (f, {ai }i=1 , d, 1) ≤ Nếu n ≥ 2, q ≥ Hơn nữa, gần nhiều tác giả đưa định lý cho ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn(C) có chung ảnh ngược họ siêu phẳng khác T mở hướng tiếp cận vấn đề so với trước Đi ển hình, kể đến kết G Dethloff , S.Đ Quang T.V Tấn vào năm 2010, T.B Cao H.X Yi vào năm 2011, hay Z Wang Z.H Tu vào năm 2013 Kết hợp ý tưởng việc tổng quát điều kiện (**) cách đặt vấn đề tác giả trên, đưa định lý ki ểu h ữu h ạn cho ánh xạ phân hình có chung ảnh ngược với họ siêu phẳng khác Hơn n ữa, số kết chúng tôi, nghịch ảnh với bội lớn số không cần xét đến Cụ thể, chứng minh ba định lý sau: Định lý Cho f , f , f : Cm → Pn (C) ba ánh xạ phân hình phân biệt Cho t q {a } n i i=1 (t = 1, 2, 3) ba họ siêu phẳng di động P (C) vị trí tổng quát cho at i “chậm” (so với ft) Giả sử f khơng suy biến tuyến tính R{at} i Td+1 (a) dim ( Zero(f 1, a1 )) ≤ m − , ∀1 ≤ i1 < < id+1 ≤ q, i j (b) Zero(ft, at) = Zero(f 1, a1) , (1 ≤ i ≤ q, t = 2, 3), t t i 1 ˜v (f , a ) = (f , a˜ ) (c) v i Sq Zero(f , a ), với (ft, at (f 1, ˜ ˜ ) a1) 1 j j ≤ v, j ≤ q i=1 i Nếu q ≥ (3n2 + 5n + tồn hai số phân biệt t, l ∈ {1, 2, 3} ma trận 3)d L ∈ GL(n + 1, R{ak }) cho L(f t ) = f l L(a˜t ) = a˜l , với i = 1, , q i i m i n Định lý Cho f , f : C → P (C) hai ánh xạ phân hình Cho ki (1 ≤ i ≤ q) số nguyên dương +∞ Cho {at}q (t = 1, 2) hai họ siêu phẳng di động i i=1 n P (C) vị trí tổng quát cho at “chậm” (so với f t ) dim {z ∈ Cm : ν(ft,at),≤ki.ν(ft,at ),≤kj > 0} ≤ m − (1 ≤ i 3n2 + n + (f 1, a1) ˜ i2) (b (f 2, a ) ˜ = q v =1 Supp {z ∈ Cm : ν(f v / =i,j < i=1 ki + số ≤ i1 < i2 < · · · < in+1 ≤ q để (f 1, a1 ) ˜ 2q 3n(n + 1) v ,a1),≤k (z)}, với ≤ i < j ≤ q v − 2q tồn n + q + 2n − (f1 1, ) a ˜ in+1 i =···= ˜2 2 (f , a˜ ) (f , a ) in+ i m n Định lý Cho f , f , f : C → P (C) ba 1ánh xạ phân hình Cho ki (1 ≤ i ≤ q) số nguyên dương +∞ Cho {at}q (t = 1, 2, 3) ba họ siêu phẳng di động i i=1 Pn(C) vị trí tổng quát cho at “chậm” (so với f t ) dim {z ∈ Cm : ν(ft,at),≤ki.ν(ft,at ),≤kj > 0} ≤ m − (1 ≤ i i< j ≤ q, ≤ t ≤ 3) Giả sử: i j (a) min{ν(f t ,˜at ),≤k (z), 1} = min{ν(f ,˜a1 ),≤k (z), 1} (1 ≤ i ≤ q, t = 2, 3), ∀z ∈ Cm , i i i i 1, at 1) = (f t1, at 1) Sq m t (f ,a1 (b Supp (z)}, ≤ i < j ≤ q, (f , a i) ) (f , a ) ν(f {z ∈ C : ),≤k v j ˜ ˜ v v i,j ˜,i ˜j v t=2 Σq Nếu q − 3n + 4q − 10n + 4n − < − có hai ánh xạ + i=1 s t 2q − 5n + 3n(n + n(n + + t ≤ 3) n + số ≤ i1 < i2 < · · · < in+1 ≤ q để f , f (1 ≤ ski < s (fs, a1 ) (f , a ˜ ) ˜ =···= i (ft, a˜ ) (ft, a˜ in+ i ) in+ 1 III Tính thác triển 1được ánh xạ phân hình vào khơng gian xạ ảnh Năm 2003, tác giả Đ Đ Thái, P Đ H ương, P N T Trang đ ưa m ột tiêu chuẩn cho tính chuẩn tắc ánh xạ chỉnh hình nhiều biến vào khơng gian ph ức Bằng việc kết hợp tiêu chuẩn tác giả Đ ịnh lý c b ản th ứ hai tìm cách chuyển toán sang mục tiêu di động để sử dụng Định lý c b ản th ứ hai cho mục tiêu di động có chặn bội Tuy nhiên, tác giả ch ỉ xem xét toán v ới điều kiện d = Bằng việc cải tiến cách chứng minh tác gi ả k ết h ợp v ới cách chứng minh Định lý 2.2.1, chứng minh đ ược đ ịnh lý nh ất mà ánh xạ phân hình trùng ảnh ngược n + siêu phẳng trường hợp d ≥ sau Định lj 2.2.4 Cho f, g hai ánh xạ phân hình khác từ Cm vào Pn (C) Cho số nguyên d (1 ≤ d ≤ n) Cho (q = 2nd + n + 2) siêu phẳng Pn(C) q j {Hj} vị trí tổng quát cho d+1 dim \ j=1 f −1(Hi )j ≤ m − (1 ≤ i1 < · · · < id+1 ≤ n + 1) Giả sử f g không suy biến tuyến tính Rf (a) min{ν(f,Hj ), n} = min{ν(g,Hj ), n}, ∀ n + ≤ j ≤ q, Sn+1 −1 (b) f = g f (Hj) ∪ g−1(Hj) j Khi đó, f=g Tương tự hệ Định lý 2.2.1, thu hệ sau Hệ 2.2.5 Cho f, g hai ánh xạ phân hình khác từ Cm vào Pn(C) Cho { (q = 2n2 + n + 2) siêu phẳng Pn(C) vị trí tổng quát Giả sử f qj Hj } g không suy biến tuyến tính Rf (a) min{ν(f,Hj ), n} = min{ν(g,Hj ), n}, ∀ n + ≤ j ≤ q, Sn+1 −1 (b) f = g f (Hj) ∪ g−1(Hj) j Khi đó, f=g Để chứng minh Định lý 2.2.4, chứng minh bổ đề sau Bổ đề 2.2.6 Cho f, g : Cm → Pn(C) hai ánh xạ phân hình khác khơng suy biến tuyến tính Rf Cho , (q ≥ 3n + 2) siêu phẳng Pn(C) vị i {Hi}q trí tổng quát Giả sử ǁ N(r, ν(f,Hi ) /= ν(g,Hi)) = o(Tf (r)), ∀i = 1, , q Khi đó, f ≡ g CHƯƠNG TÍNH HỮU HẠN CỦA CÁC ÁNH XẠ PHÂN HÌNH VỚI HỌ SIÊU PHẲNG DI ĐỘNG Như trình bày phần mở đầu, chương 3, thay siêu phẳng cố định Hj định nghĩa họ G(f, {Hj }q , d, k) siêu j phẳng di động aj ký hiệu họ F(f, {aj}q , d, k) Với d = 1, có số kết j tác giả trước Các tác giả chủ yếu sử dụng kỹ thuật đánh giá hàm đ ếm hàm phụ trợ Cartan để chứng minh định lý Để giải toán hữu hạn cho ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn(C) với họ siêu phẳng di động, trường hợp d tùy ý, phải cải tiến cách đánh giá hàm đ ếm c hàm ph ụ tr ợ Cartan cho ba hàm phân hình Cụ thể, phải coi không ểm c hàm ph ụ tr ợ Cartan chứa nhiều ảnh ngược siêu phẳng di động, từ có đánh giá hàm đếm tốt Mục tiêu thứ hai chương giải toán hữu hạn cho trường hợp ánh xạ phân hình suy biến tuyến tính từ Cm vào Pn(C) có chung ảnh ngược họ siêu phẳng di động khác không bội ch ặn Đ ể làm đ ược ều này, thay sử dụng Định lý thứ hai thông thường tác giả trước đó, chúng tơi phải sử dụng Định lý thứ hai cho ánh xạ phân hình suy biến ến tính tác giả S Đ Quang [Second main theorems for meromorphic mappings intersecting moving hyperplanes with truncated counting functions and unicity problem, Abh Math Semin Univ Hambg., 86(1), 1-18 ] Chương gồm ba mục Trong mục đầu, bổ sung thêm số khái niệm bổ đề cần thiết Trong mục thứ hai, chứng minh đ ịnh lý h ữu h ạn ánh xạ phân hình với họ siêu phẳng di động Trong m ục th ứ ba, chứng minh định lý hữu hạn ánh xạ phân hình có chung ảnh ngược họ siêu phẳng di động khác Chương viết dựa báo [2] [3] (trong mục cơng trình cơng bố liên quan đến luận án) 3.1 Một số khái niệm kết bổ trợ Trong mục này, đưa khái ni ệm: siêu ph ẳng di đ ộng, hàm ph ụ tr ợ Cartan tính chất, Định lý thứ thứ hai cho siêu phẳng di động 3.2 Định lj hữu hạn cho ánh xạ phân hình với họ siêu phẳng di động Cho f ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn(C) Cho số nguyên dương k, d (1 ≤ d ≤ n) cho {aj}q siêu phẳng di động “chậm” (so với f ) vị trí j tổng quát Pn(C) thỏa mãn d+1 dim( \ Zero(f, aij ) ≤ m − (1 ≤ i1 < < id+1 ≤ q) j=1 Giả sử f khơng suy biến tuyến tính R({ai}q ) Gọi F(f, , d, k) tập q {ai} i ánh xạ phân hình g : Cm → Pn(C) thỏa mãn hai điều kiện sau: (a) min{ν(f,a )(z), k} = min{ν(g,a )(z), k}(1 ≤ i ≤ q), với z ∈ Cm bên i ngồi tập giải tích có hàm đếm o(Tf (r)), Sq (b) f (z) = g(z), với z ∈ Zero(f, ai) bên tập giải tích có hàm đếm i o(Tf (r)) i Chúng chứng minh định lý sau Định 3.2.1 lj (3n2 + 5n + 3)d q ♯ F(f, {ai}i=1, d, 1) ≤ Nếu q > Chúng ta để ý rằng, điều kiện (a), (b) họ F(f, {ai}q , d, k) Định lý i 3.2.1 yếu điều kiện (i), (ii) họ F(f, {ai}q , d, k) tác giả trước i Hơn nữa, ánh xạ g ∈ F(f, {ai}q, d, k) Định lý khơng địi hỏi khơng suy biến tuyến tính R({ai}q ) Thực i tế chứng minh rằng: q > n(n + 2)d với g ∈ iF(f, , d, k), g khơng suy biến tuyến tính ) [Bổ đề i q i {ai} R({ai}q 3.2.3] (3n2 + 5n + q Hệ 3.2.2 Nếu ♯F (f, {ai } , 1, 1) ≤ q 3) i Để chứng minh Định lý 3.2.1, cần có bổ đề sau: , d, 1) g khơng Bổ đề 3.2.3 Cho q > n(n + 2)d Khi đó, với g ∈ F(f, i {ai}q suy biến tuyến tính R({ai}q ) i Bổ đề 3.2.4 Cho f g hai ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn(C) Cho {ai}q i { hai họ q (q ≥ n + 2) siêu phẳng di động “chậm” tương ứng so với f g bi}q i Pn(C) vị trí tổng quát Giả sử Zero(f, ai) = Zero(g, bi) bên ngồi tập giải tích có hàm đếm o(Tf (r)) với i = 1, , q Khi đó, ta có ǁ Tf (r) = O(Tg(r)) ǁ Tg(r) = O(Tf (r)) Với c = (c1, , cq) ∈ Cq \ {0}, đặt Σ q qΣ q n Σ Σ a := ( c a˜ , · · · , c a˜ ), ||a || = ( | c a˜ c i i0 i=1 n q i in i =1 c q j i=1 = |2) , i ij (f k , ac ) := ΣΣ j i ci a˜ij fj = Σ i ci (f k , a˜i ) (1 ≤ k ≤ 3) Ta ký hiệu β hợp tất thành phần bất khả quy, có số chiều m − Tq tập giải tích Zero(f, ai) Thế thì, β tập giải tích có số chiều nhỏ i (m − 1) tập rỗng Và ký hiệu νβ divisor rút gọn Cm với giá β Rõ ràng β ⊂ {z ∈ Cm : det(aij )(z) = 0, ≤ i ≤ n + 1, ≤ j ≤ n} Do n+1 ǁ N(r, νβ) ≤ Ndet(aij )(r) ≤ q Σ Tai (r) = o(Tf (r)) i=1 ik Với c ∈ C , ta ký hiệu S bao đóng tập (Zero(fk, ai) ∩ Zero(fk, ac)) \ β Khi đó, Sik tập giải tích Ta đặc t C tập c ∈ Cq \ {0} cho dim Sik ≤ m − c c q Bổ đề 3.2.5 C trù mật C ik Bổ đề 3.2.6 (f k , ˜ai ) Với c ∈ C, đặt Fc = k Khi đó, (f , a c) ǁ T (r, F ik) ≤ T (r, f k ) + o(Tf (r)) c Bổ đề 3.2.7 Giả sử tồn c ∈ C cho Φα = Φα(F i01, F i02, F i03) /≡ với số c c c α ∈ (Z+)m mà |α| = Khi đó, với ≤ k ≤ 3, ta có: ǁ N q 2Σ ( [1] d (r) + N[n] Σ t i (r) − (2n + 3)N[1] (r) ( ( ≤ N(r, νΦα ) + o(Tf (r)) ≤ T (r) + o(Tf (r)) 3.3 Ánh xạ phân hình có chung ảnh ngược với họ siêu phẳng di động khác Cho f t : Cm → Pn(C) ánh xạ phân hình Cho {at}q họ siêu phẳng di i i=1 động Pn(C) vị trí tổng quát cho at “chậm” (so với ft) Bằng cách thay i đổi hệ tọa độ Pn(C) (nếu cần thiết), giả sử với t ánh t phân hình at = (at , , xạ ), at /≡ (1 ≤ i ≤ q) Đặt ˜at = a , ≤ i ≤ q a i i0 in i0 i i t i0 a Định lj 3.3.1 Cho f , f , f : Cm → Pn (C) ba ánh xạ phân hình phân biệt Cho {at}q (t = 1, 2, 3) ba họ siêu phẳng di động Pn(C) vị trí tổng quát cho i i=1 at “chậm” (so với ft) Giả sử f i khơng suy biến tuyến tính R{at} Td+1 (a) dim ( Zero(f 1, a1 )) ≤ m − , ∀1 ≤ i1 < < id+1 ≤ q, i j (b) Zero(ft, at) = Zero(f 1, a1) (1 ≤ i ≤ q, t = 2, 3), t t i 1 i ˜v (f , a ) = (f , a˜ Zero(f 1, a1), với ≤ v, j ≤ q S q (c) ) v t t (f , a ) (f 1, a1) ˜ ˜ j j i