Định lý bon điem đoi v i hàm phân hình và tính chuan tac của ho các ánh xạ phân hình nhieu bien

1 MĐAU Lýdochonđetài Năm 1925, R Nevanlinna công bo báo ve phân bo giá trị hàmphânhìnhtrênmtphȁngphác.Sauđó,nónhanhchóngđượcmởr®ngsangtrườn g hợp hàm phân hình nhieu bien phác ánh xạ chỉnh hình vào khơnggianxạảnhphác,l pnênlýthuyetmàsaunàymangtênNevanlinna(haycịnđược goi Lý thuyet phân bo giá trị) Nhieuáng dụng đepđěcủa lý thuyetnày vi c nghiên cáu ánh xạ chỉnh hình, phân hình như:Bài tốn xác định nhat ánh xạ chỉnh hình, phân hình; Bài tốn ve tínhHyperbolic đa tạp đại so xạ ảnh; Bài toán ho chuȁn tac ánh xạ chỉnhhình,phânhình;Bàitốntháctrienánhxạchỉnhhình Phát trien lý thuyet nghiên cáu dụng Lý thuyet Nevanlinna nhǎng lĩnh vực khác liên tục thu hút quan tâmcủa nhieu nhà toán hoc suot gan 100 năm qua Trong boi cảnh đó, chúngtơichonđetàinghiêncáu:"Địnhl ý bonđ i e m đ o i v i hàmp h â n h ì n h vàtí n h c h u a n t a c c ủ a h o c c n h x p h â n h ì n h n h i e u b i e n " Mncđíchnghiêncfíu Năm 1926, R Nevanlinna cháng minh rang với hai hàm phân hìnhkhác hangfvàgtrên m t phȁng phác, neu chúng có ảnh ngược khơngke b®i năm điem phân bi t thìf=g(Định lý năm điem) vàglà m®t bieudien phân tuyen tính củafneu chúng có so ảnh ngược (tính b®i) củabon điem phân bi t (Định lý bon điem) So điem can thiet ket quảnóitrêncủaR.Nevanlinnađãởmácítnhatcóthe.Tuyvy,tàhaiketquảđó, ta sě xuathincâuhỏitựnhiênlà:LiuĐịnhlýbonđiemcóđượcmởr®ng đen trường hợp khơng tính b®i hay b®i ngat m®t mác đóhaykhơng? VanđenàythuhútsựquantâmcủaH.Cartan,G.Gundersen, N Steinmetz, H Fujimoto, M Shirosaki, Tran Văn Tan nhieu tác giả khác.Tiep tục hướng nghiên cáu này, chúng tơi xem xét van đe sau: Mở r®ng Địnhlýbonđiemnóitrêntớitrườnghợpb®iđượcngatvớimácthapvàbonđiemđượcth ay bởibo n hàm phânhì nh nhỏ ( sovớicác hàm f,gđ a n g xét) M®t nhǎng dụng quan lý thuyet Nevanlinna nóchotacáctiêuchuȁnvetínhsuybienhaychthơnlàtínhhangcủacácđườngcong(chỉnh hình,phânhình).Trongkhiđó,theongunlýBloch,moiđịnh lý dạng Picard bé (ve tiêu chuȁn đường cong hang) đeu tương với m®ttiêu chuȁn ho chuȁn tac ánh xạ chỉnh hình Đó cau noi giǎa lýthuyet Nevanlinna lý thuyet ve ho chuȁn tac ánh xạ chỉnh hình Nhieutiêuchuȁnchuȁntacchohocácánhxạchỉnhhình,phân hình đieu ki nveảnh ngượ c c c c si phȁ ng, si m tđ ã đư ợc c hỉ r a L Za l c ma n , H Fujimoto, W Bergweiler, Z Tu, Phạm Ngoc Mai - Đo Đác Thái PhạmNguyen Thu Trang, Sĩ Đác Quang - Tran Văn Tan, Y Zhang nhieu tác giảkhác.Va nđ e ng hi ên cá u t há haic l unánl : Tính c hu ȁ n ta cc h ohoc c ánh xạ phân hình tà m®t mien khơng gian affine phác vào khơng gianxạảnhphácdướiđieukincócùngảnhngượccủacácsiêuphȁnghaysiêu mtdiđ®ng ĐịnhlýPicardlớncőđienchỉrarang:Moihàmchỉnhhìnhtrênm®tđĩathủng tránh giá trị phân bi t có the thác trien chỉnh neu hình qua điemthủng.Ketquảtrênđãđượcmởr®ngsangcáctrườnghợpánhxạchỉnhhìnhvào khơng gian xạ ảnh phác đieu ki n ve ảnh ngược siêu phȁng(cođịnhhaydiđ®ng)vàcủacácsiêumtcođịnhbởiH.Fujimoto,Z.Tu,Z.Tu - P Li nhieu tác giả khác Tiep tục hướng nghiên cáu này, chúng tơixemxétvanđesau:ThietlpĐịnhlýPicardlớnchốnhxạchỉnhhìnhvàophanbùc ủa2n+1siêumtdiđ®ngtrongkhơnggianxạảnhphácnchieu Đoitưngvàphạmvinghiêncfíu Đoi tượng nghiên cáu lu n án Lý thuyet Nevanlinna; Lý thuyet hochuȁn tac ánh xạ chỉnh hình, phân hình; Bài tốn xác định nhat ánhxạphânhình;Bàitốntháctrienánhxạchỉnhhình Phươngphápnghiêncfíu Đe giải quyet nhǎng van đe đ t lu n án, sả dụng cácphương pháp nghiên cáu Lý thuyet phân bo giá trị, Giải tích phác, Hìnhhoc phác; ke thàa phát trien ky thu t tác giả trước ve cácchủđeliênquan 5 Cácketquảđạtđưcvàjnghĩacủađetài Đetàiđãthuđượccácnhómketquảsau: - Định lý ve moi quan hgiǎa hai hàm phân hình m t phȁng phác cócùng ảnh ngược (với b®i ngat 2) bon hàm phân hìnhnhỏ.KetquảnàytőngquátmạnhměcácĐịnhlýbonđiemcủaR.Nevanlinnavàcủa G.Gundersen - Tiêu chuȁn chuȁn tac cho ho ánh xạ phân hình tà m®t mien trongkhơng gian affine vào khơng gian xạ ảnh với đieu ki n có ảnh ngược(khơng tính b®i) siêu phȁng hay siêu m t di đ®ng Đây ket đautiênvetiêuchuȁnhochuȁntacdướiđieukincócùngảnhngược(khơngtínhb®i) siêu phȁng hay siêu m t (thay đieu ki n ánh xạ vào phan bùcủacácsiêuphȁnghaysiêumtnhưcácketquảđãcó) - Định lý dạng Picard lớn cho trường hợp ánh xạ chỉnh hình vào phan bùcủa 2n+1 siêu m t di đ®ng khơng gian xạ ảnhphác Ket mởr®ng ket tác giả trước, tà siêu m t co định, siêu phȁng diđ®ngsangsiêumtdiđ®ng Cautrúclu nán N®id ungc hí nhc ủal u ná ng o m3 c hư ơn g: - Chương1trìnhbàytőngquanvevanđenghiên cáu.đ ó , chúngtơiđecpt ớicácketquảliênquan,phântích, sosánhchúngvớivanđenghiêncáucủalu nán - Chương2dànhchovicnghiêncáutínhduynhatcủacáchàmphânhìnhtrênmtphȁ ngphácdướiđieukincócùngảnhngượccủacáchàmphânhìnhnhỏ - Chương dành cho vicnghiên cáu tiêu chuȁn ho chuȁn tac ánh xạphân hình tà m®t mien không gian affine phác vào không gian xạ ảnhcó ảnh ngược siêu phȁng hay siêu m t di đ®ng thietl pĐịnhlý Picard lớn cho ánh xạ chỉnhhình vào phan bù 2n+ siêu m t di đ®ngtrongkhơnggianxạảnhphácnchieu Chương1 Tongquan 1.1 Vecáchàmphânhìnhcócùngảnhngưccủabonđiem Năm1926,R.Nevanlinnađãchángminhrangneuhaihàmphânhìnhkháchangfvàgtr ên m t phȁng phácCcó ảnh ngược (khơng tính b®i) của5 điem phân bi t thìf=g(Định lý năm điem) ket sau, goi làĐịnhlýbonđiem: Địnhlj1.1.1.Chofvà g hai hàm phân hình phân bi t m¾t phȁngphúcCvà bon điem phân bi t a 1, a2, a3, a4∈C∪{∞} Giả sủνf−aj= νg−aj(j=1,2,3,4),ớ đ â y ν ϕl d i v i s o r c c k h ô n g đ i e m c ủ a h m p h â n h ìnhϕ Khiđó, g m®t bieu dien phân tuyen tính củaf(bới m®t cơng thúc chíphự thu®c vào điemaj),hai bon điemajlà giá tr Picard củaf(giảsủlàa 3v a 4),tys okép(a1,a2,a3,a4)ba ng -1 CácketquảtrêncủaR.Nevanlinnađượcmởr®ngsangtrườnghợpánhxạchỉnhhìnhv àokhơnggianxạảnhbởiH.Fujimoto(năm1975)vàbởiL.Smiley(năm1983)theonhǎng cáchnhìnnhnkhácnhauvàsaunàynótieptụcđượcnghiêncáubởinhieutácgiảkhác Đoi với trường hợp hàm phân hình, m®t câu hỏi nảy sinh tự nhiên tà cácĐịnhlýbonđiemvànămđiemcủaNevanlinnalà:LiuĐịnhlýbonđiemcócịn thay đieu ki n divisor bang (tính b®i) đieu ki ncách m p h â n h ì n h f − aj,g −ajcóc ù n g t pk h n g đ i e m ( k h ô n g tí n h b ®i) nhưt r o ng Đ ị nh l ý nă m đ i e m h a y k hô n g ? Năm1 , G G u n d e r s e n đ ã đ a r a c c v í d ụ đ e t h a y r a n g đ i e u t r ê n l khơngđ ợ c C ó l ě n g a y t n ă m 9 , C a r t a n đ ã t h a y đ ợ c đ i e u đ ó k h i n g nêugiảthuyetyeu rang: Có lam hai hàm phân hình khác hangcóc ù n g ả n h n g ợ c ( k h ô n g tí n h b ® i ) c ủ a b o n đ i e m c h o t r c T u y v y , n ă m 1988 H.Fujimoto giả thuyet Cartan không đúng.NhưngH.Fujimotocũngđãcháng minh rang, giả thuyet Cartan đúngcho trường hợp b®i khơng điem ngat 2, có nghĩa: Choflàhàmphânhình kháchang mtphȁngphácv bon điema 1,a2,a3,a4t rên C∩{∞}.K h i đ ó , c ó k h n g q u h a i h m p h â n h ì n h k h c h a n g g t h ỏ a m ã n : min{νf−aj,2}=min{νg−aj,2},vớij= 1,2,3,4 (chú ý rang, ta có the đongnhat Σ moi divisorν=tλtattrênCvới hàmν:C−→Zcho bởiν(at) =λt,vàν(z)=0vớinhǎngznam ngoàitp{at}) Hàmđ ct r n g T f(r)c ủ a h m p h â n h ì n h f đượcc h o b i c ô n g t h c : Tf(r):= úf=(f0 ă ă 1 logf(rei)d 2 logăf(ei)ăd(r> 1), :f1 )lbieudienrỳtgonc ủ a f vàǁ fǁ=|f0 2+ | /2 |f1 | Tan ó i m ® t h m p h â n h ì n h a l n h ỏ đ o i v i f neuT a(r)= o (Tf(r))k h i r→∞(ngoàim ® tt p c ó đ ® đ o L e b e s g u e h ǎ u h n ) Năm2005,T.V.TanD.D.Thaiđãmởr®ngketquảtrêncủaH.Fujimotosangtrườnghợpmàởđó{aj}l àcáchàmphânhìnhnhỏ TrởlạivớiketquảcủaNevanlinna,năm 1983(đínhchínhvàbősungnăm 1987),G.Gundersenđãmởr®ngketquảcủaR.Nevanlinnatớitrườnghợpmàở đób®icủacáckhơngđiemđượctínhángvớihaiđiemvàkhơngtínhtớiángvớihaiđiem cịn lại: Địnhlj1.1.2.Chohaihàm phânhìnhfvàgtrênCvà bonđiemphân bit a1,a2,a3,a4∈ C∪{∞}.N e u min{νf−aj,1}=min{νg−aj,1}vớij = 1,2,vàν f−aj=ν g−ajvớij = 3,4 Khiđ ó f , gt h ó a m ã n g i ả t h i e t c ủ a Đ nhl ý b o n đ i e m c ủ a N e v a n l i n n a Nhưv y , c â u h ỏ i t ự n h i ê n n ó i t r ê n đ ợ c đ i e u c h ỉ n h t h n h : đ â u l g i t r ị bénhat c ho mác ngat b®i khơ ng điem? Trước xem xét câu hỏi trên, phát bieu ket sau M.Shirosaki, ket đau tiên mở r®ng Định lý bon điem sang trường hợp cácđiemđượcthaybangcáchàmphânhìnhnhỏ Địnhlj1.1.3.Chofvà g hai hàm phân hình phân bi t m¾t phȁngphúcv a 1,a2,a3,a4l b o n h mp h â n h ì n h n h ó ( s o v i f ).G i ả s ủ ν f−aj= ν g−aj vớimoij1,2,3,4.K ∈{ h i đ ó , t on t i c c h m p h â n h ì n h a , b,c,dn h ó s o v i af+b } f,a d −bc/=0,s a o c h o g = m ® t t h ú t ự c ủ a c c g i t r { a1,a2,a3,a4} c f + dv saoc h o t y s o k é p c ủ a c h ú n g b a n g − Năm 2003, W.Yao mở r®ng ket nêu G.Gundersen tới trườnghợp điem thay bang hàm phân hình nhỏ, hay nói cách khác mởr®ng ket M Shirosaki tới trường hợp khơng tính b®i khơng điemángvớ ihai h àm tính b® i vớ i hai hà m c òn l ại Liên quan tới hướng nghiên cáu này, chương lu n án t p trung vàovi c mở r®ng ket tác giả tới trường hợp mà b®i củacáckhơngđiemkhơngtínhtớiángvớihaihàmvàb®iđượcngatbởi2ángvớihaih m c ị n l i , c ó n g h ĩ a l : m i n {νf−ai,1}=min{νg−ai,1}vớim o i i =1,2v min{νf−aj,2}=m i n {νg−aj,2}vớij = ,4.t r o n g đ ó a kl c c h m p h â n h ì n h nhỏsovớif Tànhǎngphântíchtrêntathay,vanđecịnlạilàliucóthemởr®ngĐịnhlýb o n đ i e m t i t r n g h ợ p : m i n {νf−ai,1}=m i n {νg−ai,1}vớim o i i = ,2,3và min{νf−a4,2}= min{νg−a4,2}.Đây van câu hỏi mở đoi với hai trườnghợpa kl cácđiemhaycáchàm Trước ket thúc van đe này, muon giới thi u m®t cáchtiep c n khác m®t so tác T Czubiak-G Gundersen, N.Steinmetzquantâmlàhaihàmphânhìnhcócùngảnhngượckhơngtính b®i củaboncpđiem,vàtínhb®i đoivớicpđiemthánăm 1.2 Tiêuchuanchuantacchohocácánhxạphânhình M®t ho ánh xạ chỉnh hình goi chuȁn tac neu moi dãy nóđeu cháa dãy h®i tụ đeu t p compact tới m®t ánh xạ chỉnhhình Đây m®t khái ni m cő đien đe c p lan đau Motel năm 1912đoi với hàm chỉnh hình Tới nay, phát trien thành lý thuyet hochuȁn tac, m®t nhánh Giải tích phác, Hình hoc phác Theo nguyên lýBloch, moi tiêu chuȁn ánh xạ hang (dạng Định lý Picard bé) đeu tương ángvới m®t tiêu chuȁn ve ho chuȁn tac ánh xạ chỉnh hình Như vy, tiêu chuȁnho chuȁn tac ánh xạ có liên quan mtthiet với tiêu chuȁn ánh xạ hang vàdođócóthenghiêncáunótàcơngcụcủaLýthuyetNevanlinna Choflà m®t ánh xạ phân hình mienDtrong khơng gian affine phácCmvào khơng gian xạ ảnh phácCP n Khi đó, vớia∈D,fcó bieu dien ˜ = (f0,···, fn)t r ê n l â n c nU củaa t r o n g D n g h ĩ a l v i m o i f il m ® t rútgonf hàmp h â n h ì n h t r ê n U v f (z)= ( f0(z): · ··:f n(z))n g o i m ® tt pg i ả i tí c h I(f):={z:f 0(z)=···=fn(z)=0}(tpkhơngxácđịnhcủaf)cóđoichieu ≥2 Năm1 , H F u j i m o t o đ ã m r ® n g k h i n i mh o c h u ȁ n t a c s a n g t r n g hợpánhx ạphân hì nh vàokhơ ng gi an xạảnh: -M®tdãy{fk }∞k=1cácánhxạphânhìnhtàmienDtrongCmvàoCP n đượcgoilàh®itụphânhìnhtrênDđenm®tánhxạphânhìnhft Dvào CP nneuvớimoiz∈D,vàfkcóbieudienrútgonf˜k=(fk0 ,···,fkn )trên lânc nU(chungchotatcảcáck)nàođócủazsaocho{fki }∞k=1h®itụđeutrên cáct pcon compact củaUđen hàm chỉnh hìnhfi(0≤i≤n) trênUthỏamãn( f0,···,fn)l àm® tbieudiencủa f t r o n g U -M®thoFcácánhxạphânhìnhtàmienDtrongC mv o CP n đượcgoilàchuȁn tac phân hình mienDneu moi dãy trongFđeu trích đượcdãyconh®itụphânhìnhtrênD Vớikháinimtrên,H.Fujimotođãđưaraketquảsau: vào Địnhl j Cho F l m ®t h o cá cá nh xạ ph ân h ì n h t ù m i e n D ⊂Cm CP n v c h o { Hj} (2n+1) j=1 làc c s i ê u p h ȁ n g v t r í t ő n g q u tt r o n g CP n ( t h e o nghĩag i a o c ủ a m ő i ( n+1)s i ê u p h ȁ n g t r o n g c h ú n g đ e u b a n g r ő n g ) s a o c h o v i mőif ∈ F,t h ì f (D)/ ⊂Hj(j= 1, ,2n+1)v v i m ő i t ¾ p c o n c o m p a c t c o đnh Ktrong D, đ® đo Lebesgue2(m−1)-chieu f−1(Hj)∩K(tính b®i) (j= 1, ,2n+1)l m ® t g i t r b c h ¾ n t r ê n b i m ® t s o k h ô n g p h ự t h u ® c f Khiđó,hoFlàchuȁntacphânhìnhtrênD Năm2005,Z.Tu-P.Liđãmởr®ngketquảtrênsangtrườnghợpsiêuphȁngdi đ®ng (theo nghĩahsoxácđịnhphươngtrìnhsiêuphȁnglàcáchàmchỉnhhìnhtheobienzth u® c mienD): vào Địnhl j Cho F l m ®t h o cá cá nh xạ ph ân h ì n h t ù m i e n D ⊂Cm (2n+1) j=1 làcácsiêuphȁngdiđ®ngớvt r í tőngqttạitùng CP n vàcho{Hj(z)} điemtrongCP n ( t h e o nghĩa tạimőiz∈ Dcácsiêuphȁng cođnh{Hj(z)}ớ v trí tőng qt trongCP n )sao cho với mői t¾p compactKcủaD,đ®đo Lebesgue2(m−1)-chieu củaf−1(Hj)∩K(tính b®i)(j=1, ,2n+1)là mđtgiỏ tr b chắntrờnkhụngphthuđcvof Khiú, hoFl chun tacphõnhỡ n h t r ê nD Năm 2005, P.N Mai - D.D Thai - P.N.T Trang mở r®ng ket H.FujimotosangtrườnghợpmàởđócácsiêuphȁngHjđượcthaythebangcácsiêumtco định Năm2008,S.D.Quang-T.V.Tanđãmởr®ngcácketquảtrênsangtrườnghợp siêu m t di đ®ng(cách sotrongđathácxácđịnhcácsiêumtlàcáchàm chỉnh hình mienD) b®i giao điem với m®t so siêu m tđượcbỏqua Địnhl j1.2.3.ChoFlàm®thocácánhxạphânhìnhtrênmienD ⊂Cm q vàoCP nvà{Qj (z)} j=1 lcỏcsiờumắtdiđngvtrớtngquỏtyeutrong CP n ( t h e o n g h ĩ a , t o n t i m ® t đ i e m z 0∈ Dđ e c c s i ê u m ¾ t c o đ nhs i n h b i {Qj(z0)}q j=1làớvt r í tőngquáttrongCP n).Giảsủ: i) Với mői t¾p compact co đ nh K D, di n tích Lebesgue2(m−1)chieu f−1(Qj)∩K(tínhcả b®i, j= 1, , n+ 1)b chắn trờn bi mđt giỏtrk h ụ n g phcthuđcvo fF ii) TontitắpcongiitớchmúngSDsaochovimitắpconcompactKcaD,đ oLebesgue2(m1)-chieucaf (Qj )(KS), (khụngtớnhbđi,j=1, ,n+1)bchắntrờnbimđtgiỏtrk h ụ n g p h ự t h u ® c v o f ∈ F Khiđó,hoFl chuȁntacphânhìnhtrênD Chúngtơimuonnhanmạnhrang,trongcácketquảnóitrên,b®igiaolnđượctínhtrong đ®đoLebesguecủacácdivisortrênmoitpcompact(ngaycả ket S D Quang - T V Tan van can tính b®igiao ángn+1siêumt) Lay cảm háng tà cách thiet l p đieu ki n cho toán xác định duynhatánhxạphânhìnhdướiđieukincócùngảnhngượccủacácsiêumthaysiêuphȁn g,ởchương3chúngtơithietlpcáctiêuchuȁnchohochuȁntaccácánh xạ phân hình có ảnh ngược(khơngtínhb®i)củacácsiêuphȁngvàcácsiêumtdiđ®ngởvịtrídướitőngqt mục3 c ủ a c h n g , c h ú n g t ô i đ t đ ợ c h a i k e t q u ả c h í n h s a u : Địnhlj 1.2.4.Cho X⊂CP n m®tđatạp xạ ảnh Q1, , Q2t+1l cỏcsiờumắtdiđngtrongCP n vt r tditngquỏttrờnX.ChoFlmđthocỏcỏ n h x p h â n h ì n h f tùm i e n D ⊂ Cmv o X , s a o c h o Q j(f)/≡0,v i m o i j∈{1, ,2t+1}.Gi ảsủ: a)f−1 (Qj )=g −1 (Qj )(cónghĩa{z:Q j (f(z))=0}={z:Q j (g(z))=0}) vớim o i f , gt r o n g F v v i m o i j ∈{1, ,2t+1}, 2t+1−1 f b)dim(∩ (Qi))≤m−2v i f ∈ F j=1 Khiđó,hoFlàchuȁntacphânhìnhtrênD Cho2 t+1( t≥n)si ê up h ȁ ng d i đ ® ng H já n g v i c c đ a t h c a j0x0+···+ ajnxnt r o n g H D[x0, ,xn].K í h i u Y Σ det(aj i )0≤i,l≤n ) D(H1, ,H2t+1 ):= ( A L⊂{1, ,2t+1},#L=t +1 {j0, ,jn} ⊂L Rõràng,tạimoiđiemzt h ì cácsiêuphȁngcođịnhtươngángH 1(z), ,H2t+1(z) làở v ị t r í t −dướit ő n g q u t k h i v c h ỉ k h i D (H1, ,H2t+1)(z)>0 Đoiv ới m o is i phȁng di đ® n g H= a j0x0+···+ajnxn,tac ho t ng vớiánh xạchỉnhhình H ∗ tàDv oCP n c ó bieudienrútgo n ( aj0:···:a jn) Định lj 1.2.5.ChoFlà m®t ho ánh xạ phân hình tù vào n mienD⊂Cm CP Với mői ftrongF,giả sủ có2t+ 1siêu phȁng di đ®ng H1f,· · ·, H(2t+1)ftrongCP nsaocho{Hj∗f:f∈F} (j=1, ,2t+1)làhochuȁntacvàtontạim®tsongundươngδ 0t h ó a mãn: D(H1f, ,H(2t+1)f)(z)>δ0,v i mo i zD,f F 2t+11 Chom1, ,m2t+1lmđtsonguyờndnghoắccúthebangsaocho < Giảs ủ H jf(f)/ ≡0v i m o i j ∈{1, ,2t+1},f∈ Fvàh a i đ i e u k i ns a u đượcth óa mã n: j=1 m j a) {z: ≤ ν (f,Hjf)(z)≤ m j}={ z: ≤ ν (g,Hjg)(z)≤ m j}vớim o i f , g trongF ,v v i m o i j ∈{1, ,2t+1}, 2t+1 b)I (f)⊂ ∪ j=1 {z:1 ≤ ν (f,H) (z)≤j m j},v H jf(f)/ ≡ ,v i m o i j ∈ f {1, ,2t+ 1}vàf ∈ F,t r o n g đ ó I (f)l t ¾ p t a t c ả c c đ i e m k h ô n g x c đ nhcủaf Khiđó,hoFlàhochuȁntacphânhìnhtrênD 1.3 ĐịnhljPicard l n cho ánh xạ chỉnh hình vàophan bù h p m t so siêu m t di đ ng trongkhơnggianxạảnh ĐịnhlýPicardlớn cőđienvetháctrien ánhxạchỉnh hìnhđượcphát bieun hưsau: Địnhlj1.3.1(ĐịnhlýPicardlớn).Choflàm®tánhxạchínhhìnhtùđĩa thủngΔ∗R⊂ CvàoCP1 Neuftránh3giátrphânbittrongCP1 ,thìfcó thet h c t r i e n t h n h m ® t n h x c h í n h h ì n h t ù Δ Rv o C P1 Năm 1972, H Fujimoto tőng quát ket cho trường hợp ánh xạchỉnh hình vào phan bù 2n+1 siêu phȁng vị trí tőng qt trongCPn.Ơngđãđạtđượccácketquảsau: Địnhlj1.3.2.Choflàm®tánhxạchínhhìnhtùCm vào CP n Neuftránh 2n+1siêuphȁngtrongCP n vtrớtngquỏtthỡ fl ỏnhxhang nhlj1.3.3.ChoSl mđt gii tích móng thu®c mienDtrongCm k h n g c ó đ i e m k ỳ d K h i đ ó m o i n h x c h í n h h ì n h f t ùD \SvàoX làphan bù của2n+ 1siêu phȁng H1, , H2n+1ớ v trí tőng quát trongCP n đeucóthetháctrienthànhánhxạchínhhình ft ù DvàoCP n Ngồi ra, bang công cụ Lý thuyet Nevanlinna, năm 2006 Z.Tu tőngqtcácketquảtrênsangtrườnghợpmàánhxạchỉnhhìnhfcóthe"chạm"vàoc c s i ê u p h ȁ n g H jv i b ® i í t n h a t m j( j∈ {1, ,q},q≥ 2n+1)t r o n g đ ó Σ 2n+11 − n− 0,tacó: q Σǁ (q − N[1] ϵ)T( r) − ≤f f−ai (r) i=1 ĐoivớiánhxạchỉnhhìnhftàCvàoCP n cóbieudienrútgonf=(f0: ···:f n),h m đ ct r n g c ủ a f đượcx c đ ị n h b i c ô n g t h c : Tf(r):= ∫ 2π ∫ ă ă 1 logf(rei)d 2 i logăf(e )ăd(r> 1), ú f=|f0 + /2 |2 ···+|fn | Vớim o i s i ê u p h ȁ n g H :a 0x0+···+a nxn= ,t r o n g CP n ,đ t( f,H)= a0f0+···+anfn.K h i ả n h c ủ a f khôngn a m t r o n g H , t c ( f,H)/ ≡ ,t a c ó thenóit i h m đ e m N [k] (f,H) (r)nhưđãđịnhnghĩaởtrên,vàđượcgoilàhàm đemcác giaođiem Hv ảnhcủa f( v i b®iđượcngat bởik) Đoiv i t r n g h ợ p c h i e u c a o , t a c ũ n g c ó c c đ ị n h l ý c b ả n t h n h a t v tháhai sau: Địnhlj2.1.6.(бNHLÝCƠBÁNTHGNHAT,trườnghợpchieucao)Neu (f,H)/≡0,t a c ó : N(f,H)(r)≤Tf(r) +O(1) Tanóiánhxạflàkhơngsuybientuyentính,neuảnhcủanókhơngnamtrongbat kỳsiêuphȁngnào Địnhlj2.1.7.(бNHLÝCƠBÁN THG HAI,trường hợp chieu cao) Choflàm®t ánh xạ phân hình khơng suy bien tuyen tính tùCvàoCP n H 1, , Hq(q≥n+1)làcácsiêuphȁngtrongCPnớvtrítőngqt.Khiđó: q Σ ǁ(q−n−1)Tf(r)≤ N[n](f,Hj) (r)+oTf(r) j=1 2.2 Địnhljvehaihàmphânhìnhcócùngảnhngưc củabo nđiem Địnhlýchínhcủachươngnàyđượcphátbieu nhưsau: Định lj 2.2.1.Cho f hàm phân hình phân bi t khác hang trênCcó bieudienrútgonf= (f0: f 1),vàa 1,a2,a3,a4l bonhàmphânhìnhphânbitthu®cRf có bieu dien rút gon aj= (aj0:aj1) Giả sủ ton hàm phân hình g khácfthóa mãnmin{νf−aj,1}=min{νg−aj,1}với j=1,2, vàmin{νf−ai,2}=min{νg−ai,2}vớii =3,4.K h i đ ó c c k h ȁ n g đ nhs a u l đ ú n g : i) Vớimoiϵ>0, ǁN(r,D(f,g,aj))≤ϵ(Tf(r)+Tg(r)), j∈ {1, ,4} trongđ ó D(f,g,aj)=0t r ê n { z: ν f−aj(z)=ν g−aj(z)} D(f,g,aj)= t r ê n { z: ν f−aj(z) νg−aj(z)} ii) T¾p{ a1,a2,a3,a4}∩Afc h ú a đ ú n g p h a n t ủ ( g i ả s ủ l a 3,a4)v tí s o kép( a1,a2,a3,a4)ba n g− iii) g≡ S(f),S(a1)≡a1,S(a2)≡a2,S(a3)≡a4,v S (a4)≡a3,t r o n g đ ó −a11 a21 ! a11 ! a10 −1 −a20 −a10 ◦ a S:= 21 −a20 Đecháng minhđị nhlý trên,c húngtacanm®tsobőđ esau: Bođ e C h o h 1,h2l h a i h m p h â n h ì n h k h c h a n g t h ó a m ã n c c đ i e u kin: (i) Vớimoiϵ>0, ǁN [1] hi [1] (r)+N hi T (r)≤ϵ r)+Th2 ( (r) h1 (ii) Tontạiϵ1>0saocho [1] ǁN (h1=1=h2) (r)≥ϵ1Th( r)+T h( r), trongđ ó N [1] (h=1=h) (r) kíhiulàhàmđemcác1-điemchungkhơngtínhb®i h1,h2 Khiđ ó t o n t i c c s o n g u y ê n p 1v p 2( |p1|+|p2|>0),s a o c h o h p1hp21≡0 Bođ e C h o f làm ® t h m p h â n h ì n h k h c h a n g t r ê n C v a , bl h a i hà mp h â n h ì n h p h â n b i tt h u đ c R f\ {}. ắ t f f L(f,a,b):=a a′ b b′ Khiđ ó L (f,a,b)/≡0,v L(f,a,b)fk m(r, (f−a)(f−b) )=o(Tf(r)), vớik=0,1 Bođ e C h o f, gl i h mph â n h ình kh cha ng v àα 1,α2,α3l ba hà m phâ nhìnhphânbittrongRf\{∞}.Giảsủ: min{µf,1}=min{µg,1}vàm i n {νf−αj,1}=min{νg−αj,1},j = 1,2,3.Đ ¾ t Φ=Φ(α (f,α1,α2)(f− α3) ,α2,α3 ):=L (f−α1)(f− α2) − L(g,α1,α2)(g− α3) (g−α1)(g−α2) NeuΦ ( α1,α2,α3)·Φ(α3,α2,α1)/ ≡ 0,t h ì c c k h ȁ n g đ nhs a u l đ ú n g : Σ [1] —νg−α|)+N [1] (r,|µf−µg |)+o(Tf(r)), i=1,2 N (r,|νf−α i (i) N1Φ( r)≤ i trongđó|.|làgiá trt u y tđoi [1] TΦ(α,α,α)·Φ(α,α,α) (r)≤N[1] (r,|νf−α —νg−α|)+N (r,|µf− µg |)+ (ii) 2 3 T o f(r)) [1] Σ N[1] (r,|ν (iii) —νg−α|)+2N[1] (r,|µf− Φ(α1,α2,α3)(g−α1) (r)≤2 i=1 f−α i i f−α3 µg|)+o(Tf(r)) Σ3 (iv) N[1] f−α3 [1] i=1 N[1] (r,|ν Φ(α1,α2,α3) (r)≤2 f g|)+2N (r,|àfàg |)+ i i (g1) o(Tf(r)) ChoGl mđt nhóm Abel tự xoan vàA= (x1, , xq) cácq−b®cácp h a n t ả x itrongG C h o < s < r ≤ q.T a n óir a n g A có tí n h c h a t Pr,sneu moi b®rphan tảxp1, , xprtrongAthỏa mãn đieu ki n với moitpconI ⊂ {p1, ,pr}với# I= s,t h ì t o n t i m ® t t pconJ ⊂ {p1, ,pr}, Q Q J/=I,#J=ssaocho xi= xj i∈ j∈ I J Bođ e NeuAcótính chat {1, ,q}saoc h o x i1= ···=x iq−r+2 Pr,s,thìtont¾pcon{i1, ,iq−r+2}c ủ a Chương3 Tiêuc h u a n h o c h u a n t a c c c n h x p h â n hìn hv o k h ô n g g i a n x ả n h có cù n g ả n h ngưcc ủ acácsiêumt Như chúng tơi trình bày chương tőng quan lu n án, nhieutiêu chuȁn ho chuȁn tac ánh xạ chỉnh hình, phân hình thiet l pcho trường hợp ánh xạ vào phan bù siêu phȁng, siêu m t (co định vàdiđ®ng)trongkhơnggianxạảnh(nóicáchkháclàtrườnghợpánhxạcóảnhtránh mục tiêu đó) trường hợp ảnh siêu m t có the chạm vào cácmụctiêunhưngvớim®tphanratnhỏ,đượcthehinbởiđ®đo(Lebesgue)củaảnh ngược (tínhcảb®i)củacácmụctiêuđóqualớpánhxạđangxétcóchntrênhǎuhạnchotatcảcácánhxạ mục 3.2 chương này, thiet l p tiêu chuȁn cho ho chuȁntacc c n h x p h â n h ì n h c ó c ù n g ả n h n g ợ c ( k h ô n g tí n h b ® i ) c ủ a c c s i ê u mtdiđ®ng.N®idungnàyđượcvietdựatrênbàibáoNormalfamiliesofmeromorphic mappings sharing hypersurfacesđã công bo năm 2015 trênComplexV a r i a b l e s a nd E l l i p ti c E q u a ti o n s Trong mục 3.3 chương này, chúng tơi trình bày dạng Định lýPicardlớnđoivớiánhxạphânhìnhvàophanbùcủa(2n+1)siêumt diđ®ngở vị trítőngqttrongkhơnggianxạảnhCP n Mục viet dựa trênbài báoBig Picard theoremsfor holomorphic mappings into the complementof(2n+ 1)moving hypersurfaces inCP n công bo năm 2010 AnaleleStiintificealeUniversitattiOvidius Constanta,SeriaMatematica 18 19 3.1 Mtsokháinimvàketquảbotr Choflàm®tánhxạphânhìnhtàmienDtrongCmvào CP n Khiđó,vớimoia∈D,fc ˜ ó bieudien rút gonf= (f0,···, fn)trênlânc nUc ủ a atrongDn g h ĩ a l f il h m p h â n h ì n h t r ê n U vàf (z)= ( f0(z): · ··: f n(z))n g o i m®ttâpgiảitích I(f):={z:f0 (z)=···=fn(z)=0}cócodimI≥ Năm 1974, H.Fujimoto đưa khái ni m ho chuȁn tac ánh xạ phânhìnhvàokhơnggianxạảnhphác: Địnhnghĩa3.1.1.Hocácánhxạphânhình{fk }∞k=1trênmienDtrongCmvàoCP n goi h®i tự phân hình trênDđen ánh xạ phân hìnhftùDvàoCP n k h i vàchíkhivớimőiz∈D,vớimőif kc ó bieudienrútgon f˜k= (fk0,···, fkn) trờnmđtlõncắnco nhUnoúcazthỡ{fki }k=1hđiteutrờntắpconcompactc a U e n m ® t h m c h í n h h ì n h f i( ≤ i≤ n)t r ê n U t h ó a m ã n (f0,···,fn)làbie udiencủa ft r ê n U Địnhnghĩa 3.1.2.M®t hoFcác ánh xạ phân hình mien D vào n trongCm CP goi chuȁn tac D neu mői dãy Fđeu có m®t dãyconh ®it ựp hâ nh ìn ht r ê n D Địnhnghĩa3.1.3.Cho{νi }∞i=1làm®tdãycácdivisorkhơngâmtrênmienDtrong Cm.Tanúirang{i }i=1hđitenmđtdivisorkhụngõmtrờnDneuvimiaDc ú lõncắnUs a o chotonticỏchmchớnhhỡnhkhỏckhụng hvhitrờnUvii= hiv=htrờnUsaocho{hi } i=1hđiteuenhtrờnmđttắpconcompactca U ChoSl mđt t p gii tớch trongDcú đoi chieu≥2.Theo định lý ThullenRemmert-Stein’s,moidivisorkhơngâmνtrênD\Scó the thác trien duynhatthànhm®tdivisorνt r ê n D.Hơnnǎa,tacó: ^ Bođe3.1.4.Neum®tdãy{νk }∞k=1cácdivisorkhơngâmtrênD\Sh®itự đenνtrênD\S,thì{ν^k }h®itựđenν^trênD