Vấn đề duy nhất của ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh và tính rẽ nhánh của ánh xạ gauss của mặt cực tiểu đầy

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC TỔNG HỢP BREST - PHẠM HOÀNG HÀ VẤN ĐỀ DUY NHẤT CỦA ÁNH XẠ PHÂN HÌNH VÀO KHƠNG GIAN XẠ ẢNH VÀ TÍNH RẼ NHÁNH CỦA ÁNH XẠ GAUSS CỦA MẶT CỰC TIỂU ĐẦY TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC CHUN NGÀNH: Hình học Tơpơ Mà SỐ : 62.46.01.05 Hà Nội, 2013 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! Luận án hoàn thành tại: Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Đỗ Đức Thái GS.TSKH Gerd Eberhard Dethloff Phản biện 1: GS Pascal THOMAS Phản biện 2: GS Carlo GASBARRI Phản biện 3: GS TSKH HA Huy Khoai Luận án bảo vệ Hội đồng chấm luận án cấp Trường họp vào hồi .giờ ngày tháng năm Có thể tìm hiểu luận án tại: -Thư viện Quốc gia -Thư viện Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Danh mục cơng trình cơng bố liên quan đến luận án Các cơng trình dùng luận án [1] P H Hà, S Đ Quang Đ Đ Thái, Unicity theorems with truncated multiplicities of meromorphic mappings in several complex variables sharing small identical sets for moving targets, Internt J Math 21 (2010), 1095-1120 [2] P H Hà, A unicity theorem with truncated counting function for meromorphic mappings, Acta Math Vietnam, 35 (2010), 439-456 [3] P H Hà S Đ Quang, Unicity theorems with truncated multiplicities of meromorphic mappings in several complex variables for few fixed targets, gửi đăng [4] G Dethloff P H Hà, Ramification of Gauss map of complete minimal surfaces in R3 and R4 on annular ends, gửi đăng Các cơng trình trích dẫn [5] P H Ha, An estimate for the Gaussian curvature of minimal surfaces in Rm whose Gauss map is ramified over a set of hyperplanes, gửi đăng [6] G Dethloff, P H Hà P Đ Thoan, Ramification of Gauss map of complete minimal surfaces in Rm on annular ends, thảo i LÍI CAM OAN Tỉi xin cam oan nhúng kát quÊ ữủc trẳnh by luên Ăn l mợi, ữủc cổng bố trản cĂc tÔp chẵ ToĂn hồc uy tẵn v ngoi nữợc CĂc kát quÊ viát chung  ữủc sỹ ỗng ỵ cừa cĂc ỗng tĂc giÊ ữa vo luên Ăn CĂc kát quÊ nảu luên Ăn l trung thỹc v chữa tứng ữủc cổng bố bĐt ký cổng trẳnh no khĂc Nghiản cựu sinh: PhÔm Hong H ii LI CM èN Luên Ăn ữủc hon thnh vợi sỹ giúp ù v ừng hở cừa nhiÃu ngữới Vợi lỏng biát ỡn chƠn thnh nhĐt, tổi muốn gỷi lới cÊm ỡn sƠu sưc tợi tĐt c£ nhúng ¢ õng hë v  gióp ï tỉi hon thnh luên Ăn ny Trản hát tổi muốn gỷi nhỳng lới biát ỡn chƠn thnh nhĐt tợi hai ngữới ThƯy hữợng dăn cừa mẳnh l GS ộ ực ThĂi v GS Gerd Dethloff, nhỳng ngữới  hát lỏng giúp ù, ởng viản v ch bÊo tổi tứ nhỳng bữợc Ưu tiản cho án nhỳng cổng viằc cuối cừa luªn ¡n °c bi»t GS é ùc Th¡i cán l  ngữới dăn dưt tổi nhỳng bữợc i Ưu tiản viằc hồc têp v nghiản cựu toĂn hồc Tổi muốn gỷi lới cÊm ỡn án Trữớng Ôi hồc Sữ phÔm H Nởi v Trữớng Ôi hồc Tờng hủp Brest (Cởng hỏa PhĂp) vẳ sỹ giúp ù v tÔo iÃu kiằn thuên lủi m hai Trữớng dnh cho tổi c biằt l Trữớng Ôi hồc Sữ phÔm H Nởi, nỡi m tổi  v ang hồc têp, cổng tĂc Tổi by tọ sỹ biát ỡn chƠn thnh án Cửc o tÔo vợi nữợc ngoi (à Ăn 322) v Viằn nghiản cựu cao cĐp và ToĂn hồc Viằt Nam  giúp ù v  õng hë tỉi ho n th nh luªn ¡n Tỉi mn gûi líi c£m ìn tỵi Ban Chõ nhi»m Khoa To¡n-Tin, cĂc ỗng nghiằp Khoa v cĂc ỗng nghiằp seminar nghiản cựu Hẳnh hồc phực v Hẳnh hồc Ôi số  giúp ù tổi rĐt nhiÃu suốt quĂ trẳnh lm luên Ăn Tổi cụng muốn by tọ lỏng biát ỡn chƠn thnh án Phỏng Sau Ôi hồc, Trữớng Ôi hồc Sữ phÔm H Nởi  giúp tổi sợm hon thnh cĂc thừ tửc cƯn thiát Cuối tổi muốn by tọ sỹ biát ỡn tợi gia ẳnh tổi, nhỳng ngữới luổn tổi, ởng viản v chia s vợi tổi nhỳng vĐt vÊ khõ khôn quĂ trẳnh ho n th nh luªn ¡n Mưc lưc Mët sè quy ữợc v kẵ hiằu v M Ưu 1 nh lỵ nhĐt vợi b chn cừa Ănh xÔ phƠn hẳnh cho mửc tiảu cố nh 1.1 CĂc kián thực v kát quÊ cỡ bÊn cừa lỵ thuyát Nevanlinna 1.2 ành lỵ nhĐt cừa cĂc Ănh xÔ phƠn hẳnh vợi 2N + si¶u ph¯ng v  bëi bà ch°n 1.3 18 nh lỵ nhĐt cừa cĂc Ănh xÔ phƠn hẳnh vợi mửc tiảu cố nh v ch°n bëi câ r³ nh¡nh 1.4 10 29 nh lỵ nhĐt cừa cĂc Ănh xÔ phƠn hẳnh vợi mửc tiảu cố nh v iÃu kiằn Ôo hm 38 nh lỵ nhĐt vợi b chn cừa cĂc Ănh xÔ phƠn hẳnh cho mửc tiảu di ởng 42 2.1 Mët sè kh¡i ni»m v  k¸t qu£ bê trđ 2.2 nh lỵ nhĐt vợi b chn cừa Ănh xÔ phƠn hẳnh cho mửc tiảu di 2.3 44 ëng 45 ành lỵ nhĐt cừa Ănh xÔ phƠn hẳnh vợi iÃu kiằn Ôo hm 53 Sỹ phƠn bố giĂ tr cừa Ănh xÔ Gauss cừa mt cỹc tiu tÔi têp dÔng iii iv vnh khuyản 62 3.1 M°t cüc tiºu Rm 63 3.2 nh xÔ Gauss cừa m°t cüc tiºu Rm 68 3.3 Tẵnh r nhĂnh cừa hm phƠn h¼nh 71 3.4 Tẵnh r nhĂnh cừa Ănh xÔ Gauss cõa m°t cüc tiºu 76 Kát luên v kián ngh 85 Danh mửc cĂc cổng trẳnh liản quan án luên Ăn 86 Ti liằu tham khÊo 87 v MậT Sẩ QUY ìẻC V K HIU Trong ton bở luên Ăn, ta thống nhĐt mởt số kẵ hiằu nhữ sau ã PN (C): khổng gian xÔ Ênh phực N − chi·u • kzk = |z1 |2 + · · · + |zn |2
1/2 vỵi z = (z1 , , zn ) ∈ Cn • B(r) := {z ∈ Cn : kzk < r} l  h¼nh cƯu m bĂn kẵnh r Cn ã S(r) := {z ∈ Cn : kzk = r} l  m°t c¦u b¡n k½nh r Cn √ −1 (∂ − ∂): cĂc toĂn tỷ vi phƠn ã d = + ∂, dc := 4π • υ := (ddc kzk2 )n−1 , σ := dc logkzk2 ∧ (ddc logkzk2 )n−1 : cĂc dÔng vi phƠn ã O(1): hm b chn ối vợi r ã O(r): vổ lợn bêc vợi r r → +∞ • o(r): vỉ cịng b² bêc cao hỡn r r + ã log+ r = max{log r, 0}, x > • 00 || P 00 : câ ngh¾a l  m»nh · P úng vợi mồi r [0, +) nơm ngoi mởt têp R Borel E cừa [0, +) thoÊ mÂn E dr < + ã ] S : lỹc lữủng cừa têp hủp S Mé U Lỵ chồn à ti Lỵ thuyát phƠn bố giĂ tr, hay cỏn gồi l Lỵ thuyát Nevanlinna,  ữủc R Nevanlinna xƠy dỹng tứ cuối thêp k 20 cừa thá k 20 Sau gƯn mởt thá k phĂt trin, Lỵ thuyát Nevanlinna  tr thnh mởt nhỳng lỵ thuyát àp  nhĐt cừa ToĂn hồc vợi nhiÃu ựng dửng vo nhỳng lắnh vỹc khĂc cừa ToĂn hồc Luên Ăn cừa chúng tổi têp trung tẳm hiu v nghiản cựu mởt vi vĐn à cử th Lỵ thuyát õ Luên Ăn ny gỗm hai phƯn PhƯn Ưu tiản cừa luên Ăn têp trung vo vĐn à nhĐt cừa Ănh xÔ phƠn hẳnh vợi iÃu kiằn rng buởc và nghch Ênh cừa cĂc divisor VĐn à ny ữủc nghiản cựu Ưu tiản bi R Nevanlinna [69] vo nôm 1926 ặng  ch rơng náu hai hm phƠn hẳnh khĂc hơng f v g trản mt phng phực C cõ Ênh ngữủc cừa giĂ tr phƠn biằt thẳ f = g Nôm 1975, H Fujimoto [18] tờng quĂt kát quÊ cừa Nevanlinna cho trữớng hủp cĂc Ănh xÔ phƠn hẳnh tứ Cn vo PN (C) ặng  chựng minh ữủc rơng ối vợi hai Ănh xÔ phƠn hẳnh f v g tứ Cn vo PN (C), náu mởt hai Ănh xÔ f hoc g l khổng suy bián tuyán tẵnh v chúng cõ Ênh ngữủc tẵnh cÊ cừa (3N + 2) siảu phng v trẵ tờng quĂt PN (C), thẳ f g Hỡn nỳa, náu hai Ănh xÔ phƠn hẳnh f v g tứ Cn vo PN (C) khĂc hơng v cõ Ênh ngữủc tẵnh cÊ cừa (3N + 1) siảu phng v trẵ tờng quĂt PN (C) thẳ tỗn tÔi mởt bián ời xÔ Ênh L tứ PN (C) vo chẵnh nõ thọa mÂn g = L(f ) K tứ õ, vĐn à nhĐt  ữủc nghiản cựu mởt cĂch mÔnh m, sƠu sưc bi nhiÃu nh toĂn hồc nhữ H Fujimoto ([18],[28], ), W Stoll([56]), L Smiley([55]), M Ru([53]), G Dethloff - T V T§n([12], [13], [14] ),   Th¡i - S  Quang([61], [62]) v  nhi·u ng÷íi kh¡c núa  hẳnh thnh cĂc kát quÊ, ữa vo mët sè kh¡i ni»m v  ành ngh¾a sau: Gi£ sû f l Ănh xÔ phƠn hẳnh khổng suy bián tuyán tẵnh tứ Cn vo PN (C) Vợi mội siảu phng H khổng gian xÔ Ênh PN (C), k½ hi»u ν(f,H) (z), z ∈ Cn l  bëi giao cừa Ênh cừa f vợi H tÔi f (z) Vợi mội z Cn , ta kẵ hiằu ν(f,H),≤k (z) = ν(f,H),>k (z) =   0 n¸u ν(f,H) (z) > k,  ν(f,H) (z) n¸u ν(f,H) (z) ≤ k,   ν(f,H) (z) n¸u ν(f,H) (z) > k,  0 n¸u ν(f,H) (z) ≤ k Gi£ sû k, d l cĂc số nguyản dữỡng hoc l + X²t q si¶u ph¯ng H1 , · · · , Hq ð tr½ têng qu¡t khỉng gian PN (C) thäa m¢n: a) dim{z : ν(f,Hi ),≤k (z) > Chóng ta k½ hi»u F v  ν(f,Hj ),≤k (z) > 0} n − vỵi måi ≤ i < j ≤ q {Hj }qj=1 , f, k, d) l têp tĐt cÊ cĂc Ănh xÔ phƠn hẳnh khổng suy bián tuyán tẵnh g tứ Cn vo PN (C) thäa m¢n hai i·u ki»n: b) min{ν(g,Hj ),≤k (z), d} = min{ν(f,Hj ),≤k (z), d}, j ∈ {1, à à à , q} (ta nõi rơng ữủc ng­t bði k, d) v  q S c) g = f tr¶n {z : ν(f,Hj ),≤k (z) > 0} j=1 Náu k = + thẳ ta dũng kẵ hiằu F {Hj }qj=1 , f, d) cho ìn gi£n c¡c k½ hiằu VĐn à nhĐt cừa cĂc Ănh xÔ phƠn h¼nh tø Cn v o PN (C) l  b i to¡n chóng ta cƯn phÊi tẳm iÃu kiằn cừa q v k, d cho tªp F {Hj }qj=1 , f, k, d) ch chựa mởt Ănh xÔ (nh lỵ nhĐt), hoc theo nghắa rởng hỡn l nghiản cựu lỹc lữủng cừa têp F {Hj }qj=1 , f, k, d) v  t¼m c¡c mèi quan h» giúa c¡c Ănh xÔ têp hủp ny Mởt số cƠu họi tỹ nhiản ữủc t nhữ sau CƠu họi Sè c¡c si¶u ph¯ng (hay c¡c mưc ti¶u cè ành) P N (C) cƯn thiát l bao nhiảu? Nõi c¡ch kh¡c, sè q c ng b² c ng tèt C¥u häi T¼m c¡ch ch°n bëi d v  k c ng b² cng tốt CƠu họi Liằu cĂc mửc tiảu cố nh (hay cĂc siảu phng) cõ th ữủc m rởng thnh trữớng hủp mửc tiảu di ởng (hay siảu phng di ởng) hoc cho trữớng hủp siảu mt? Và cĂc cƠu họi v 2, chúng tổi liằt kả Ơy mởt vi kát quÊ tốt nhĐt  ữủc biát án bao gỗm: +2 +) Smiley [55] ] F(f, {Hi }3N i=1 , 1) = 1, αM −1 αM −1 αM −1 ( F1 ) · · · FM D ( FM ) ( F0 ) F1 D F0 D   αl D ϕk ; k = 0, , i − 1, i + 1, , M ; l = 0, 1, , M − l  c¡c h m ð õ i := det k phƠn hẳnh l l D k D k k,l Bơng chựng minh quy nÔp theo | α | ta câ thº vi¸t th nh = |αl | , ð ϕk ϕk h â ψk,l l  mët h m ch¿nh h¼nh v  l l X ψi = l=(l1 , ,lM ) l li+1 l Dα ϕ0 Dα i ϕi−1 Dα ϕi+1 D α M ϕM (l) ··· ··· , ϕ0 ϕi−1 ϕi+1 ϕM ð â l = (l1 , , lM ) chÔy trản ton bở c¡c ho¡n cõa {0, 1, , M − 1} v (l) l kẵ hiằu dĐu cừa hoĂn v l i·u n y suy νψ∞i ≤| α | Tø gi£ thi¸t νFi ,≤ki (z0 ) ≥ ν [d] (z0 ) = d, ta câ νΦα (z0 ) ≥ d− | | Trữớng hủp cỏn lÔi l ≤ ν [d] (z0 ) < d Khi â, theo gi£ thi¸t, ta câ m∗ := m0 = m1 = · · · = mM = ν [d] (z0 ) BƠy giớ ta viát   l = det D (ϕk − ϕ0 ); k = 1, , M ; l = 0, 1, , M − , ϕ0 ϕ1 · · · ϕM α ∗ v  ϕk − ϕ0 = h−m (ϕ ek − ϕ e0 ) vỵi ϕ ek − ϕ e0 l  h m ch¿nh h¼nh p dưng M»nh · 1.1.9, ta câ   ∗ hm (M +1) αl α ek − ϕ e0 ); k = 1, , M ; l = 0, 1, , M − Φ = det D (ϕ ϕ e0 ϕ e1 ϕ eM hm∗ M v  â   ∗ hm αl Φ = det D (ϕ ek − ϕ e0 ); k = 1, , M ; l = 0, 1, , M − ϕ e0 ϕ e1 ϕ eM α Vªy ta câ νΦα (z0 ) ≥ m∗ Bê à ữủc chựng minh Bờ à 1.1.12 Cũng vợi giÊ thiát nhữ Bờ à 1.1.11, náu F = · · · = FM 6≡ 0, ∞ tr¶n mët têp giÊi tẵch H vợi chiÃu thuƯn túy n − 1, th¼ νΦα (z0 ) ≥ M, ∀ z0 ∈ H 17 Chùng minh Sû döng c¡ch chùng minh v kẵ hiằu nhữ Bờ à 1.1.11 giớ ch cƯn chựng minh rơng (z0 ) M cho tĐt cÊ cĂc im chẵnh quy z0 cõa H vỵi Fk (z0 ) 6= 0, ∞ (0 k M ) LĐy mởt hm chnh hẳnh h trản mởt lƠn cên U cừa z0 cho dh khæng câ khæng iºm v  H ∩ U = {z ∈ U | h(z) = 0} Ta vi¸t 1 − = hψek (1 ≤ k ≤ M ) vợi hm chnh hẳnh khĂc khổng ek trản mởt lƠn k := Fk F0 cên cừa z0 BƠy giớ sû dưng M»nh · 1.1.9 chóng ta câ   α αl e Φ = F0 F1 FM det D ψk ; k = 1, , M ; l = 0, 1, , M −   αl = F0 F1 FM h det D ψk ; k = 1, , M ; l = 0, 1, , M − M Vªy ta suy νΦα (z0 ) ≥ M Bê · 1.1.13 Cho f : C n PN (C) l Ănh xÔ phƠn hẳnh khổng suy bián tuyán tẵnh v H1 , H2 , , Hq l q siảu phng v trẵ tờng quĂt PN (C) Gi£ sû kj ≥ N − (1 j q) Thá thẳ ta cõ  q X q − N − −