ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN ĐỨC DŨNG VỀ KIỂU ĐA THỨC DÃY VÀ CHỈ SỐ KHẢ QUY CỦA MÔĐUN TRÊN VÀNH GIAO HOÁN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI H[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN ĐỨC DŨNG VỀ KIỂU ĐA THỨC DÃY VÀ CHỈ SỐ KHẢ QUY CỦA MƠĐUN TRÊN VÀNH GIAO HỐN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN ĐỨC DŨNG VỀ KIỂU ĐA THỨC DÃY VÀ CHỈ SỐ KHẢ QUY CỦA MƠĐUN TRÊN VÀNH GIAO HỐN Chun ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 46 01 04 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Tập thể hướng dẫn: GS.TSKH Nguyễn Tự Cường GS.TS Lê Thị Thanh Nhàn Thái Nguyên - 2019 i Tóm tắt Cho (R, m) vành giao hoán, Noether địa phương Cho M R-môđun hữu hạn sinh chiều d A R-môđun Artin Luận án tập trung nghiên cứu hai vấn đề Thứ nhất, giới thiệu khái niệm kiểu đa thức dãy M , kí hiệu sp(M ), để đo tính khơng Cohen-Macaulay dãy M Chúng tơi chứng minh sp(M ) chiều quỹ tích khơng Cohen-Macaulay dãy M R thương vành Cohen-Macaulay địa phương Chúng nghiên cứu thay đổi kiểu đa thức dãy M qua đầy đủ hóa, qua địa phương hóa tính khơng tăng sp(M/xM ) x phần tử tham số Chúng tơi tính tốn sp(M ) thơng qua mơđun khuyết thiếu M Vấn đề nghiên cứu thứ hai số khả quy môđun Noether môđun Artin Trước hết, đưa chặn cho số khả quy iđêan tham số tốt kiểu đa thức dãy môđun Noether M nhỏ Sau đó, chúng tơi so sánh số khả quy môđun M số khả quy đối ngẫu Matlis môđun thương tương ứng M Luận án chia thành ba chương Chương dành để nhắc lại số kiến thức sở môđun đối đồng điều địa phương, biểu diễn thứ cấp môđun Artin, kiểu đa thức, môđun Cohen-Macaulay, môđun Cohen-Macaulay suy rộng, môđun Cohen-Macaulay dãy môđun Cohen- ii Macaulay suy rộng dãy Trong Chương 2, giới thiệu khái niệm kiểu đa thức dãy M , kí hiệu sp(M ), thơng qua kiểu đa thức môđun thương lọc chiều Chúng nghiên cứu kiểu đa thức dãy tác động địa phương hóa đầy đủ m-adic Tiếp theo, chúng tơi nghiên cứu mối quan hệ sp(M ) sp(M/xM ) với x phần tử tham số M Khi R thương vành Gorenstein địa phương, chúng tơi tính tốn kiểu đa thức dãy M thông qua chiều kiểu đa thức môđun khuyết thiếu M Trong Chương 3, nghiên cứu số vấn đề số khả quy môđun Trước hết, đưa công thức chặn cho số khả quy iđêan tham số tốt q M với sp(M ) ≤ Phần cuối Chương dành để nghiên cứu số khả quy môđun Artin đưa so sánh số khả quy môđun M với số khả quy Đối ngẫu Matlis môđun thương tương ứng M iii Lời cam đoan Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi Các kết viết chung với tác giả khác trí đồng tác giả trước đưa vào luận án Các kết nêu luận án trung thực chưa công bố cơng trình khác Tác giả Trần Đức Dũng iv Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lịng biết ơn đến Thầy tơi: GS TSKH Nguyễn Tự Cường Thầy dìu dắt tơi từ bước chập chững đường nghiên cứu khoa học, hướng dẫn từ làm luận văn thạc sĩ luận án tiến sĩ Phương pháp đọc sách, cách phát giải vấn đề, ý tưởng toán học mà Thầy bảo giúp trưởng thành nghiên cứu hồn thành luận án Trong cơng việc, Thầy ln nghiêm khắc với học trị, sống thầy ln dành cho học trị tình cảm ấm áp yêu thương Bên cạnh kiến thức tốn học, Thầy người cha dạy cho tơi biết cách làm người tử tế sống nhân hậu Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đến Cơ tơi: GS.TS Lê Thị Thanh Nhàn Cô gương nỗ lực gian khó người truyền cảm hứng cho tơi Tốn học nói chung Đại số giao hốn nói riêng tơi cịn ngồi giảng đường Đại học Cơ bỏ nhiều công sức kiên nhẫn để không dẫn dắt, giảng dạy cho kiến thức, kinh nghiệm tư người làm Tốn, mà cịn ln tạo điều kiện, giúp đỡ cho công việc, sống Sự tận tâm với nghề, với học trị đích để tơi noi theo phấn đấu Luận án hồn thành hướng dẫn tận tình hai người Thầy: GS TSKH Nguyễn Tự Cường GS.TS Lê Thị Thanh v Nhàn Một lần nữa, xin tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến Thầy Cơ cố gắng để xứng đáng với công lao Thầy Cô Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Ban chủ nhiệm Khoa Toán - Tin, Phòng Sau Đại học, trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện thuận lợi nhất, phù hợp để tơi vừa hồn thành việc học tập, vừa đảm bảo cơng việc giảng dạy Trường Tôi xin cảm ơn PGS.TS Phạm Hùng Quý, TS Đoàn Trung Cường, TS Trần Nguyên An, TS Trần Đỗ Minh Châu dành cho tơi tình cảm thân thiết giải đáp nhiều thắc mắc chuyên môn cho suốt chặng đường dài làm NCS Xin cảm ơn anh chị nhóm Đại số giao hoán Thái Nguyên trao đổi quý báu q trình làm luận án Cuối cùng, tơi xin bày tỏ biết ơn vô hạn tới Bố, Mẹ Đặc biệt Vợ Phạm Thùy Linh công chúa nhỏ Trần Phạm Ngân Khánh, người hy sinh nhiều, lo lắng, mong mỏi tiến ngày, tháng Luận án xin dành tặng cho người mà yêu thương Tác giả Trần Đức Dũng Mục lục Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 11 1.1 Môđun đối đồng điều địa phương 11 1.2 Môđun Cohen-Macaulay kiểu đa thức 16 1.3 Môđun Cohen-Macaulay dãy môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy Chương Kiểu đa thức dãy môđun 19 23 2.1 Lọc chiều dãy lọc quy chặt 24 2.2 Kiểu đa thức dãy qua địa phương hóa đầy đủ hóa 31 2.3 Mối quan hệ sp(M ) sp(M/xM ) với x phần tử 2.4 tham số 46 Tính chất đồng điều kiểu đa thức dãy 54 Chương Chỉ số khả quy môđun 58 3.1 Chỉ số khả quy môđun Noether 59 3.2 Chỉ số khả quy với kiểu đa thức dãy nhỏ 62 3.3 Chỉ số khả quy môđun Artin đối ngẫu Matlis 76 Kết luận 85 Tài liệu tham khảo 89 Mở đầu Cho (R, m) vành giao hoán, Noether địa phương với iđêan cực đại m M R-môđun hữu hạn sinh chiều d Ta có depth M ≤ dim M Khi depth M = dim M mơđun M gọi mơđun Cohen-Macaulay Lớp mơđun Cohen-Macaulay đóng vai trị trung tâm Đại số giao hoán xuất nhiều lĩnh vực nghiên cứu khác Tốn học Hình học đại số, Lý thuyết Tổ hợp, Lý thuyết bất biến Chú ý M Cohen-Macaulay `(M/xM ) = e(x; M ) với (và với mọi) hệ tham số x M Một mở rộng quan trọng lớp môđun Cohen-Macaulay l lp mụun Buchsbaum J Stă uckrad v W Vogel [49] giới thiệu, lớp mơđun M thỏa mãn giả thuyết đặt D.A Buchsbaum: `(M/xM ) − e(x; M ) số không phụ thuộc hệ tham số x Sau đó, N.T Cường, P Schenzel N.V Trung [48] giới thiệu lớp môđun M thỏa mãn supx (`(M/xM )−e(x; M )) < ∞, gọi môđun Cohen-Macaulay suy rộng Năm 1991, N.T Cường [5] giới thiệu khái niệm kiểu đa thức M , kí hiệu p(M ), để đo tính khơng Cohen-Macaulay M , từ phân loại nghiên cứu cấu trúc môđun hữu hạn sinh vành địa phương Nếu ta quy ước bậc đa thức khơng −1, M Cohen-Macaulay p(M ) = −1 M Cohen-Macaulay suy rộng p(M ) ≤ Một mở rộng quan trọng khác lớp môđun Cohen-Macaulay lớp Cohen-Macaulay dãy, R.P Stanley [41] giới thiệu cho trường hợp phân bậc P Schenzel [39], N.T Cường, L.T Nhàn [11] nghiên cứu cho trường hợp địa phương: M Cohen-Macaulay dãy thương Di /Di+1 Cohen-Macaulay, D0 = M Di+1 môđun lớn M có chiều nhỏ dim Di với i ≥ Tiếp theo, N.T Cường L.T Nhàn [11] nghiên cứu lớp môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy cách thay điều kiện môđun thương Di /Di+1 Cohen-Macaulay điều kiện Di /Di+1 Cohen-Macaulay suy rộng Mục đích luận án giới thiệu khái niệm kiểu đa thức dãy M , kí hiệu sp(M ), để đo tính khơng Cohen-Macaulay dãy M Chúng tơi sp(M ) chiều quỹ tích khơng Cohen-Macaulay dãy M R thương vành Cohen-Macaulay địa phương Chúng nghiên cứu thay đổi kiểu đa thức dãy M qua địa phương hoá, qua đầy đủ hóa tính khơng tăng sp(M/xM ) x phần tử tham số Chúng tơi tính tốn sp(M ) thơng qua chiều kiểu đa thức môđun khuyết thiếu M Chú ý báo [8], N.T Cường, Đ.T Cường H.L Trường nghiên cứu bất biến M thông qua số bội, vành sở thương vành Cohen-Macaulay địa phương bất biến kiểu đa thức dãy M Gần đây, S Goto L.T Nhàn [21] đưa đặc trưng tham số kiểu đa thức dãy Mục tiêu thứ hai luận án nghiên cứu số toán số khả quy môđun hữu hạn sinh vành địa phương Một môđun N M bất khả quy N 6= M N viết thành giao hai mơđun thực chứa Khi đó, định lý thứ hai E Noether [29] nói mơđun N M phân ... điều kiểu đa thức dãy 54 Chương Chỉ số khả quy môđun 58 3.1 Chỉ số khả quy môđun Noether 59 3.2 Chỉ số khả quy với kiểu đa thức dãy nhỏ 62 3.3 Chỉ số khả quy môđun. .. NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN ĐỨC DŨNG VỀ KIỂU ĐA THỨC DÃY VÀ CHỈ SỐ KHẢ QUY CỦA MƠĐUN TRÊN VÀNH GIAO HỐN Chun ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 46 01 04 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Tập thể... công thức chặn cho số khả quy iđêan tham số tốt q M với sp(M ) ≤ Phần cuối Chương dành để nghiên cứu số khả quy môđun Artin đưa so sánh số khả quy môđun M với số khả quy Đối ngẫu Matlis môđun