Về kiểu đa thức dạy của mô đun hữu hạn sinh trên vành noether địa phương

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM NGUYỄN THỊ HUYỀN THƢƠNG VỀ KIỂU ĐA THỨC DÃY CỦA MÔĐUN HỮU HẠN SINH TRÊN VÀNH NOETHER ĐỊA PHƢƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2020 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM NGUYỄN THỊ HUYỀN THƢƠNG VỀ KIỂU ĐA THỨC DÃY CỦA MÔĐUN HỮU HẠN SINH TRÊN VÀNH NOETHER ĐỊA PHƢƠNG Ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Cán h khoa học: GS.TS Lê Thị Thanh Nhàn THÁI NGUYÊN - 2020 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan kết nghiên cứu luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực luận văn cảm ơn thông tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Thái Nguyên, tháng 09 năm 2020 Tác giả Nguyễn Thị Huyền Thƣơng i Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tụy Cô giáo, GS TS Lê Thị Thanh Nhàn Tôi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới tồn thể thầy giáo khoa Tốn, Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên dạy bảo, tạo điều kiện thuận lợi cho suốt trình học tập khoa Nhân dịp tơi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè động viên, giúp đỡ suốt trình học tập thực luận văn tốt nghiệp Thái Nguyên, tháng 09 năm 2020 Tác giả Nguyễn Thị Huyền Thƣơng ii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Mở đầu Chƣơng Kiểu đa thức môđun 1.1 Chiều độ sâu môđun 1.2 Môđun đối đồng điều địa phương 1.3 Vành môđun Cohen – Macaulay 11 1.4 Kiểu đa thức môđun 20 Chƣơng Kiểu đa thức dãy môđun 29 2.1 Lọc chiều môđun 29 2.2 Vành môđun Cohen – Macaulay dãy 34 2.3 Kiểu đa thức dãy môđun 38 2.4 Kiểu đa thức dãy qua đầy đủ địa phương hóa 44 Kết luận 49 Tài liệu tham khảo 50 iii Mở đầu Cho (R, m) vành Noether địa phương, M R-môđun hữu hạn sinh với dim(M ) = d Ta ln có dimR (M ) ≥ depthR (M ) Nếu dimR (M ) = depthR (M ) ta nói M Cohen-Macaulay Lớp mơđun Cohen-Macaulay đóng vai trị trung tâm Đại số giao hốn xuất nhiều lĩnh vực khác Toán học Lớp môđun đặc trưng thông qua lý thuyết quen biết địa phương hóa, đầy đủ hóa, số bội, đối đồng điều địa phương Để phân loại cấu trúc môđun hữu hạn sinh vành địa phương, N T Cuong [3] năm 1992 giới thiệu khái niệm kiểu đa thức môđun M , ký hiệu p(M ), thông qua hiệu số độ dài số bội ứng với lũy thừa phần tử hệ tham số M Nếu ta quy ước bậc đa thức −1 M Cohen-Macaulay p(M ) = −1 Khi M không Cohen-Macaulay, p(M ) xem khoảng cách từ M đến lớp mơđun Cohen-Macaulay Theo nghĩa đó, p(M ) lớn cấu trúc M xa với cấu trúc mơđun Cohen-Macaulay Một tính chất quan trọng mơđun Cohen-Macaulay tính chất khơng trộn lẫn Cụ thể, M Cohen-Macaulay dim(R/p) = d với p ∈ AssR (M ) Để nghiên cứu môđun trộn lẫn M , người ta xét đến lọc chiều M , dãy mơđun {Di }, D0 = M Di mơđun lớn M có chiều nhỏ dimR (Di−1 ) với i ≥ Ta nói M Cohen-Macaulay dãy thương Di−1 /Di CohenMacaulay Rõ ràng môđun M Cohen-Macaulay M môđun Cohen-Macaulay dãy ⊂ M lọc chiều M Khái niệm môđun Cohen-Macaulay dãy lần đầu giới thiệu R Stanley năm 1996 cho môđun hữu hạn sinh phân bậc, sau nghiên cứu P Schenzel [10] N T Cuong, L.T Nhan [4] cho trường hợp môđun hữu hạn sinh vành địa phương Để mở rộng khái niệm kiểu đa thức cách tự nhiên, năm 2016, L T Nhan, T D Dung T D M Chau [8] định nghĩa kiểu đa thức dãy M , ký hiệu sp(M ), số lớn kiểu đa thức p(Di−1 /Di ) Rõ ràng, M Cohen-Macaulay dãy sp(M ) = −1 Khi M không Cohen-Macaulay dãy, sp(M ) xem khoảng cách từ môđun M đến lớp mơđun Cohen-Macaulay dãy Mục đích luận văn nghiên cứu kiểu đa thức dãy môđun hữu hạn sinh vành Noether địa phương Trong luận văn này, chúng tơi trình bày chi tiết số kết báo [8]: A measure of non-sequential Cohen-Macaulayness of finitely generated modules, J Algebra, 468 (2016), 275-295 Để tiện theo dõi đối sánh, luận văn trình bày chi tiết kết kiểu đa thức báo N T Cuong [3] Trong suốt luận văn, bên cạnh khái niệm kết quả, tác giả luận văn đưa nhiều ví dụ minh họa cụ thể Luận văn gồm chương Chương trình bày kiểu đa thức mơđun Trong tiết đầu Chương 1, nhắc lại kiến thức cần thiết chiều, độ sâu, môđun đối đồng điều địa phương Tiết 1.4 dành để làm rõ cấu trúc môđun Cohen-Macaulay môđun liên quan Tiết 1.5 giới thiệu khái niệm kiểu đa thức kết biết kiểu đa thức báo N T Cuong [3] Chương nội dung luận văn, trình bày kiểu đa thức dãy môđun Tiết 2.1 bàn lọc chiều mơđun Tiết 2.2 trình bày khái niệm mơđun Cohen-Macaulay dãy tính chất mơđun Tiết 2.3 giới thiệu khái niệm kiểu đa thức dãy kết kiểu đa thức dãy báo [8] Chương Kiểu đa thức môđun Mục tiêu chương trình bày khái niệm kiểu đa thức môđun giới thiệu N T Cuong [3] tính chất kiểu đa thức mối liên hệ với chiều đồng điều địa phương mơđun 1.1 Chiều độ sâu môđun Trong suốt tiết này, cho R vành giao hốn Noether M R-mơđun hữu hạn sinh Để tiện theo dõi, trước trình bày khái niệm vành môđun Cohen-Macaulay, nhắc lại số khái niệm tính chất chiều, độ sâu Khái niệm chiều Krull sau định nghĩa cho vành giao hốn Noether mơđun hữu hạn sinh vành giao hốn Noether (khơng thiết vành địa phương) Đặt AnnR (M ) = {x ∈ R | xM = 0} Khi AnnR (M ) iđêan R Định nghĩa 1.1.1 Một dãy iđêan nguyên tố p0 ⊂ p1 ⊂ · · · ⊂ pn R, pi = pi+1 với i, gọi dãy nguyên tố độ dài n Chiều Krull R (gọi tắt chiều R), ký hiệu dim(R), cận độ dài dãy nguyên tố R Chiều môđun M , ký hiệu dimR (M ), định nghĩa chiều vành R/ AnnR (M ) Vành Z số nguyên có chiều iđêan nguyên tố vành pZ với p số nguyên tố Vành Z12 có chiều vành có hai iđêan nguyên tố (cũng tối đại), 2Z12 3Z12 Chú ý vành giao hoán Noether có chiều vơ hạn Chẳng hạn, cho T = k[x1 , · · · , xn , · · · ] vành đa thức vô hạn biến trường k Gọi m1 , · · · , mn , · · · dãy số nguyên dương cho mi − mi−1 < mi+1 − mi với i Gọi pi iđêan nguyên tố T sinh biến xj với mj ≤ j ≤ mj+1 Gọi S giao phần bù tất pi , tức S = (R \ pi ) Khi vành địa phương hóa TS vành giao hốn Noether i∈N có chiều vơ hạn (theo Ví dụ 1, phần Phụ lục A1, sách Vành địa phương M Nagata) Vành Noether địa phương ln có chiều hữu hạn (xem Hệ 1.3.7) Vì chiều mơđun hữu hạn sinh vành địa phương số hữu hạn Với iđêan I R, ta kí hiệu Var(I) tập iđêan nguyên tố R chứa I Vì M hữu hạn sinh nên ta có SuppR (M ) = VarR (AnnR (M )) Do R vành Noether nên ta có SuppR (M ) = AssR (M ) (theo [7, Định lý 6.5]) Vì AssR (M ) = Var(AnnR (M )) Do chiều mơđun M tính thơng qua chiều iđêan nguyên tố liên kết sau dimR (M ) = max{dim(R/ p) | p ∈ AssR (M )} Tiếp theo mối liên hệ chiều M đầy đủ m-adic M M Nhắc lại họ R-môđun {mn M }n=1,2, M làm thành sở lân cận M Cơ sở xác định M tơpơ gọi tơpơ tuyến tính m-adic sinh họ {mn M }n=1,2, Khi M trang bị tơpơ, ta định nghĩa dãy Cauchy M tương tự tập số thực sau Một dãy phần tử (xn ) M gọi dãy Cauchy với N ∈ N, tồn n(N ) ∈ N thỏa mãn xn+1 − xn ∈ mN M, với n ≥ n(N ) Ta nói hai dãy (xn ), (yn ) phần tử M tương đương, kí hiệu (xn ) ∼ (yn ), với N ∈ N, tồn n(N ) ∈ N thỏa mãn xn − yn ∈ mn M với n ≥ n(N ) Ký hiệu X tập dãy Cauchy M Dễ dàng kiểm tra quan hệ ∼ quan hệ tương đương X Ta gọi tập thương M := X/ ∼ đầy đủ m-adic M Trên M , với (xn ), (yn ) ∈ M , với r ∈ R, ta định nghĩa hai phép toán sau (xn ) + (yn ) = (xn + yn ), r.(xn ) = (r.xn ) Dễ dàng kiểm tra với hai phép tốn M có cấu trúc R-mơđun Nếu M = R R gọi vành đầy đủ m-adic R Hơn nữa, M R4 mơđun Khi mối liên hệ chiều M M dimR (M ) = dimR (M ), xem [7] Ví dụ 1.1.2 Cho k trường Ký hiệu R1 := k[x1 , · · · , xd ] vành đa thức R2 := k[[x1 , · · · , xd ]] vành chuỗi lũy thừa hình thức d biến trường k Chú ý R1 không vành địa phương, R2 vành địa phương với iđêan cực đại (x1 , · · · , xd ) R2 vành đầy đủ vành địa phương (R1 )(x1 ,··· ,xd ) Khi ta có dim(R1 ) = dim(R2 ) = d dim(Z[x1 , · · · , xd ]) = d + (theo [7, Định lý 15.4]) Ta có dim(R2 ) = dim(R1 )(x1 ,··· ,xd ) = d Với d ≥ 3, M = R2 /(x1 , x22 ) ∩ (x53 ) AssR2 (M ) = {(x1 , x2 ), (x3 )} Vì dimR2 (M ) = max{dim(R2 /(x1 , x2 )), dim(R2 /(x3 ))} = d − Định nghĩa 1.1.3 Một phần tử x ∈ R gọi ước môđun M tồn m ∈ M , m = cho xm = Một dãy phần tử x1 , · · · , xt vành R gọi M -dãy quy có độ dài t M = (x1 , · · · , xt )M xi không ước môđun M/(x1 , · · · , xi−1 )M Chú ý (R, m) vành địa phương, hốn vị M -dãy quy M -dãy quy (điều khơng cịn vành sở không vành địa phương), xem [7] Cho R := k[[x, y, z]] vành chuỗi lũy thừa hình thức với k trường Khi x, y, z R-dãy quy, dãy x, x + y, y khơng dãy quy y ước R/(x, x + y) = R/(x, y) Trong trường hợp đơn giản, ta dùng định nghĩa để kiểm tra dãy phần tử có dãy quy Trong trường hợp tổng quát, ta biết tập ước M hợp iđêan nguyên tố liên kết M , điều hỗ trợ cho việc xem xét dãy phần tử có quy hay khơng Ví dụ sau minh họa điều Phát biểu đảo Định lý 2.2.4 không Chẳng hạn, lấy R = k[[x, y]] vành chuỗi lũy thừa hình thức với k trường M = (x, y)R Khi AssR (M ) = {0}, ⊂ M lọc chiều M Vì Hm1 (M ) ∼ = Hm (R/M ) = nên M khơng Cohen-Macaulay Do M khơng CohenMacaulay dãy Với phần tử x M -chính quy ta có dimR (M/xM ) = 1, nên M/xM Cohen-Macaulay dãy Mệnh đề 2.2.5 Cho M R-mơđun Cohen-Macaulay dãy Khi Mp Rp -môđun Cohen-Macaulay dãy với p ∈ SuppR (M ) Chứng minh Giả sử M R-môđun Cohen-Macaulay dãy p ∈ SuppR (M ) Giả sử Hm0 (M ) = Dt ⊂ ⊂ D0 = M lọc chiều M Với i ≥ 0, ta đặt Di′ := Di ⊗R Rp Khi ′ /Di′ ∼ Di−1 = (Di−1 /Di ) ⊗R Rp Do M R-môđun Cohen-Macaulay dãy nên Di−1 /Di Cohen-Macaulay ′ /Di′ Cohen-Macaulay với i = 1, , t Suy Di−1 ′ /Di′ = 0, khác với i = 1, , t Bỏ mắt i cho Di−1 phần cịn lại lọc {Di′ } có thương Rp -mơđun Cohen-Macaulay Theo Bổ đề 2.2.3, ta có Mp Rp -mơđun Cohen-Macaulay dãy Định lý 2.2.6 Nếu M R-mơđun Cohen-Macaulay dãy M R-môđun Cohen-Macaulay dãy Chứng minh Cho M R-môđun Cohen-Macaulay dãy Hm0 (M ) = Dt ⊂ ⊂ D0 = M lọc chiều M Vì Di−1 /Di Cohen-Macaulay nên Di−1 /Di Cohen-Macaulay Do M R-mơđun Cohen-Macaulay dãy với lọc chiều Hm0 R (M ) = Hm0 (M ) ⊂ Dt−1 ⊂ ⊂ D0 = M 37 Chiều ngược lại Định lý 2.2.6 không Miền nguyên R chiều xây dựng Ferrand-Raynaud không Cohen-Macaulay dãy R Cohen-Macaulay dãy (xem [10]) 2.3 Kiểu đa thức dãy môđun Cho Hm0 (M ) = Dt ⊂ ⊂ D0 = M lọc chiều M, đặt di := dim Di với i ≤ t Mục tiêu tiết nghiên cứu khái niệm kiểu đa thức dãy M Đây xem độ đo tốt khoảng cách từ M đến lớp môđun Cohen-Macaulay dãy Định nghĩa 2.3.1 Kiểu đa thức dãy M, ký hiệu sp(M ), xác định sp(M ) = max{p(Di−1 /Di )|i = 1, , t} Chú ý sp(M ) = −1 p(Di−1 /Di ) = −1, với i = 1, , t Điều tương đương với Di−1 /Di Cohen-Macaulay với i = 1, , t Do sp(M ) = −1 M môđun CohenMacaulay dãy Lập luận tương tự, sp(M ) ≤ M môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy, tức Di−1 /Di Cohen-Macaulay suy rộng với i ≥ Ký hiệu nSCM(M ) quỹ tích khơng Cohen-Macaulay dãy M, nghĩa nSCM(M ) = {p ∈ Spec(R) | Mp không Cohen-Macaulay dãy} Nhìn chung, nSCM khơng tập đóng Spec(R) tơpơ Zariski, lại đóng phép đặc biệt hóa, nghĩa p ⊃ q iđêan nguyên tố R cho q ∈ nSCM(M ) p ∈ nSCM(M ) Vì ta định nghĩa chiều nSCM(M ) theo cách thông thường Nếu R thương vành Cohen-Macaulay nSCM(M ) đóng với tơpơ Zariski Kết sau cho ta mối quan hệ kiểu đa thức dãy sp(M ) chiều quỹ tích không Cohen-Macaulay dãy M Nhắc lại rằng, với cặp iđêan nguyên tố q ⊂ p R, dãy iđêan nguyên tố q = p0 ⊂ 38 p1 ⊂ ⊂ pn = p cho pi = pi+1 , với i = 0, , n − 1, gọi dãy iđêan nguyên tố bão hòa p q với ≤ i ≤ n − chèn thêm iđêan nguyên tố q vào pi pi+1 Khi n gọi độ dài dãy iđêan nguyên tố bão hịa p q Ta nói vành R catenary với cặp iđêan nguyên tố q ⊂ p R tồn dãy iđêan nguyên tố bão hòa p q dãy iđêan nguyên tố bão hòa p q có chung độ dài Mệnh đề 2.3.2 Nếu R catenary sp(M ) ≥ dimR (nSCM(M )) Dấu xảy R thương vành Cohen-Macaulay Chứng minh Vì R catenary nên nSCM(M ) = ∪ti=1 nCM(Di−1 /Di ) theo [9, Hệ 2.5(i)] Theo Định lý 1.4.12 ta có dimR (nSCM(M )) = max dimR (nCM(Di−1 /Di )) 1≤i≤t ≤ max p(Di−1 /Di ) = sp(M ) 1≤i≤t Khi R thương vành Cohen-Macaulay Di−1 /Di đẳng chiều với i = 1, , t nên theo Định lý 1.4.12 dấu bất đẳng thức xảy Ký hiệu 2.3.3 Cho Hm0 (M ) = Dt ⊂ ⊂ D1 ⊂ D0 = M lọc chiều M Với số nguyên i ∈ {0, 1, , t}, đặt di := dimR (Di ) Khi d = d0 dt ≤ (nếu Hm0 (M ) = ta đặt dt = −1) Hơn nữa, di < di−1 với i = 1, , t Với số nguyên r ≥ 0, ta ký hiệu D(r) môđun lớn M có chiều nhỏ r Hiển nhiên D(d − 1) = D1 D(0) = Dt Khi r ≥ 1, tồn số nguyên t(r) ≤ t thỏa mãn D(r) = Dt(r) Bằng cách bỏ môđun Dt(r)+1 , , Dt lọc chiều, ta lọc D(r) = Dt(r) ⊂ ⊂ D1 ⊂ D0 = M Lọc gọi lọc chiều M theo chiều > r Giả sử r ≥ số nguyên Mệnh đề sau đóng vai trò quan trọng việc chứng minh kết luận văn 39 Mệnh đề 2.3.4 Cho t(r) D(r) định nghĩa Ký hiệu 2.3.3 Khi sp(M ) ≤ r tồn lọc D(r) = Nk ⊂ ⊂ N1 ⊂ N0 = M môđun M thỏa mãn dimR (Ni ) < dimR (Ni−1 ) p(Ni /Ni−1 ) ≤ r với i = 1, , k Trong trường hợp này, k = t(r) dimR (Di /Ni ) ≤ r với i ≤ t(r) Hơn nữa, max p(Ni−1 /Ni ) = r i≤t(r) max{sp(M ), max dimR (Di /Ni )} = r i≤t(r) Chứng minh Rõ ràng sp(M ) ≤ r lọc chiều M thỏa mãn đầy đủ điều kiện Ngược lại, giả sử D(r) = Nk ⊂ ⊂ N1 ⊂ N0 = M lọc môđun M thỏa mãn dimR (Ni ) < dimR (Ni−1 ) p(Ni−1 /Ni ) ≤ r với i = 1, , k Khi ta suy sp(M ) ≤ r nhờ khẳng định sau Khẳng định Ta có t(r) = k, Ni ⊆ Di , dimR (Di /Ni ) ≤ r p(Di−1 /Ni ) ≤ r với i ≤ t(r) Ta chứng minh khẳng định quy nạp theo t(r) Nếu t(r) = D(r) = D0 = M Suy k = = t(r) D(r) = N0 = M Rõ ràng N0 = D0 , dimR (D0 /N0 ) = −1 ≤ r Vì khẳng định với t(r) = Giả sử t(r) = Khi r < d D1 = D(r) Vì k ≥ Do D(r) ⊆ N1 N1 ⊆ D1 (do dimR (N1 ) < dimR (N0 ) = d) nên N1 = D1 Dẫn đến k = = t(r) dimR (D1 /N1 ) = −1 ≤ r Do dimR (D1 ) đề 1.4.6 ta có sp(D1 ) r nên theo Mệnh r Theo giả thiết ta có p(N0 /N1 ) = p(M/D1 ) ≤ r Vì sp(M ) = max{p(M/D1 ), sp(D1 )} r Trong trường hợp này, p(M/N1 ) = p(M/D1 ) = r sp(M ) = r 40 Vì khẳng định với t(r) = Cho t(r) ≥ giả sử khẳng định với t(r) − Vì t(r) > 1, nên ta có k ≥ Rõ ràng dimR (M/N1 ) = d N1 ⊆ D1 Vì p(M/N1 ) r theo giả thiết D1 /N1 môđun M/N1 có chiều nhỏ d, nên theo Hệ 1.4.13 ta suy dimR (D1 /N1 ) r Nếu k = t(r) ≥ nên N1 = D(r) ⊆ D2 Dẫn đến dimR (N1 ) < dimR (D1 ) dimR (D1 /N1 ) = dimR (D1 ) > r, mâu thuẫn Vì k ≥ Chú ý D(r) = Dt(r) ⊂ ⊂ D2 ⊂ D1 lọc chiều theo chiều > r D1 (xem Ký hiệu 2.3.3) có độ dài t(r) − Xét lọc D(r) = Nk ⊂ ⊂ N2 ⊂ D1 D1 có độ dài k − Từ dãy khớp → N1 /N2 → D1 /N2 → D1 /N1 → ta có dãy khớp dài cảm sinh → Hmr (D1 /N1 ) → Hmr+1 (N1 /N2 ) → H r+1 (D1 /N2 ) → Hmr+1 (D1 /N1 ) → Hmr+2 (N1 /N2 ) → H r+2 (D1 /N2 ) → Chú ý dimR (D1 /N1 ) r Vì Hmj (D1 /N1 ) = với j ≥ r + j Suy ta có Hmj (N1 /N2 ) ∼ = Hm (D1 /N2 ) với j ≥ r + Hmr+1 (D1 /N2 ) thương Hmr+1 (N1 /N2 ) Vì dimR (D1 /N2 ) = d1 p(N1 /N2 ) r theo giả thiết nên áp dụng Định lý 1.4.5 ta suy dim(R/ AnnR (Hmj (D1 /N2 ))) ≤ dim(R/ AnnR (Hmj (N1 /N2 ))) với j = r + 1, , d1 − Theo Bổ đề 1.2.10 ta có dim(R/ AnnR (Hmj (D1 /N2 ))) 41 r r với j r Suy p(D1 /N2 ) r theo Định lý 1.4.5 Áp dụng giả thiết quy nạp cho môđun D1 ta t(r)−1 = k −1, Ni ⊆ Di , dimR (Di /Ni ) p(Di−1 /Ni ) r r với i = 2, , t(r) Vì thế, Khẳng định chứng minh Khẳng định Ta có sp(M ) ≤ r Với i ∈ {1, , t(r)}, từ dãy khớp → Di /Ni → Di−1 /Ni → Di−1 /Di → dimR (Di /Ni ) r theo Khẳng định 1, ta suy Hmj (Di−1 /Ni ) ∼ = Hmj (Di−1 /Di ) với số nguyên j ≥ r + Chú ý dimR (Di−1 /Di ) = di−1 Vì p(Di−1 /Ni ) r theo Khẳng định 1, nên áp dụng Định lý 1.4.5 ta có dim(R/ AnnR (Hmj (Di−1 /Di ))) r với j = r +1, , di−1 −1 Hơn nữa, dim(R/ AnnR (Hmj (Di−1 /Di ))) với j r theo Bổ đề 1.2.10 Vì thế, p(Di−1 /Di ) Do dimR (Dt(r) ) r nên sp(Dt(r) ) r r theo Định lý 1.4.5 r Vì thế, sp(M ) = max {p(Di−1 /Di ), sp(Dt(r) )} i t(r) r Khẳng định max p(Ni−1 /Ni ) = r i≤t(r) max{sp(M ), max dimR (Di /Ni )} = r i≤t(r) Ta chứng minh Khẳng định Giả sử max p(Ni−1 /Ni ) = r Khi theo i t(r) Khẳng định 1, ta có max {sp(M ), dimR (Di /Ni )} i t(r) 42 r Rõ ràng dimR (Di /Ni ) = r với i t(r) dấu xảy Vì ta giả sử dimR (Di /Ni ) < r với i max p(Ni−1 /Ni ) = r nên tồn n t(r) Do giả thiết t(r) để p(Nn−1 /Nn ) = r Vì thế, theo i t(r) Bổ đề 1.2.10 Định lý 1.4.5, tồn số nguyên r j < dimR (Nn−1 ) cho dim(R/ AnnR (Hmj (Nn−1 /Nn ))) = r Từ dãy khớp → Nn−1 /Nn → Dn−1 /Nn → Dn−1 /Nn−1 → ta dãy khớp Hmj−1 (Dn−1 /Nn−1 ) → Hmj (Nn−1 /Nn ) → Hmj (Dn−1 /Nn ) → Nếu j > r Hmj−1 (Dn−1 /Nn−1 ) = Nếu j = r theo Định lý 1.4.5 ta có dim(R/ AnnR (Hmj−1 (Dn−1 /Nn−1 ))) ≤ p(Dn−1 /Nn−1 ) r − Áp dụng vào dãy khớp ta dim(R/ AnnR (Hmj (Dn−1 /Nn ))) = r Xét dãy khớp → Dn /Nn → Dn−1 /Nn → Dn−1 /Dn → j Do dimR (Dn /Nn ) < r j ≥ r nên ta có Hmj (Dn−1 /Nn ) ∼ = Hm (Dn−1 /Dn ) Vì dim(R/ AnnR (Hmj (Dn−1 /Dn ))) = r Chú ý dimR (Dn−1 /Dn ) = dn−1 j < dimR (Nn−1 ) dn−1 Suy p(Dn−1 /Dn ) ≥ r theo Bổ đề 1.4.12, sp(M ) = r theo Khẳng định 2.4 Kiểu đa thức dãy qua đầy đủ địa phương hóa Mục tiêu tiết tìm hiểu kiểu đa thức dãy mơđun M thơng qua địa phương hóa đầy đủ hóa m-adic 43 Định lý 2.4.1 Cho p ∈ SuppR (M ) Giả sử R catenary (i) Nếu dim(R/p) > sp(M ) Mp Rp -mơđun Cohen-Macaulay dãy (ii) Nếu dim(R/p) ≤ sp(M ) sp(Mp ) ≤ sp(M ) − dim(R/p) Chứng minh (i) Vì dim(R/ p) > sp(M ) nên theo Mệnh đề 2.3.2 ta có p∈ / nSCM(M ) Suy Mp Rp -môđun Cohen-Macaulay dãy (ii) Giả sử dim(R/ p) ≤ sp(M ) Khi tồn số i ≤ t cho dim(R/ p) ≤ p(Di−1 /Di ) Do R catenary nên theo [10, Mệnh đề 2.4] ta suy (Di )p = (Di−1 )p (Di )p môđun lớn (Di−1 )p có chiều nhỏ dimRp (Di−1 )p Vì thế, từ họ {(Di )p }i≤t , cách bỏ thành phần lặp lại, ta họ tạo thành lọc chiều Mp sau Hp0 Rp (Mp ) = (Djn )p ⊂ ⊂ (Dj1 )p ⊂ (Dj0 )p = Mp Cho i ∈ {1, , t} Nếu dim(R/ p) > p(Di−1 /Di ) theo Định lý 1.4.12 ta có p ∈ / nCM(Di−1 /Di ) Vì (Di−1 /Di )p Rp -môđun Cohen Macaulay, nghĩa p(Di−1 /Di )p = −1 Do sp(Mp ) số xác định sau max1≤i≤t {p(Di−1 /Di )p |, p ∈ SuppR (Di−1 /Di ), dim(R/ p) ≤ p(Di−1 /Di )} Giả sử p ∈ SuppR (Di−1 /Di ) cho dim(R/ p) ≤ p(Di−1 /Di ) Ta đặt Li = Di−1 /Di dimRp (Di−1 )p = di−1 (p) Khi dimRp (Li )p = di−1 (p) Lấy P ∈ Ass(R/ p R) cho dim(R/P) = dim(R/ p) Khi dim(RP / p RP ) = Do dimRp (Li )p = dim(RP / p RP ) + dimRp (Li )p = dimRP ((Li )p ⊗ RP ) = dimRP (Li )P 44 Giả sử x1 , , xdi−1 (p) ∈ p Rp hệ tham số (Li )p Khi hệ hệ tham số (Li )P Cho số nguyên dương n1 , , ndi−1 (p) nd i−1 Ký hiệu J iđêan Rp sinh xn1 , , xdi−1 (p) Với số nguyên dương (p) n, ánh xạ Rp → RP đồng cấu phẳng địa phương, nên theo [2, 1.2.25] ta có ℓRP (Li )P /J n (Li )P = ℓRP (((Li )p /J n (Li )p ) ⊗ RP ) = ℓRp ((Li )p /J n (Li )p ).ℓ(RP / p RP ) Suy nd nd n1 i−1 i−1 e xn1 , , xdi−1 (p) ; (Li )P = e(x1 , , xdi−1 (p) ; (Li )p ).ℓ RP / p RP (p) (p) Hơn nữa, ta có n di −1(p) ℓRP (Li )P /(xn1 , , xdi−1 ( p ) ( Li ) P nd i−1 = ℓRp (Li )p /(xn1 , , xdi−1 (p) ; (Li )p ℓ(RP / p RP ) (p) Chú ý ℓRP (RP / p RP ) số không phụ thuộc biến x1 , , xdi−1 (p) Vì theo [3, Định lý 2.3] ta có p((Li )P ) = p (Li )p Theo Định lý 1.4.5 ta suy p( (Li )P ) = max dim(RP / AnnRP (HPj R (Li )P j giả sử kết cho t − Khi d > n > Chú ý D1 ⊆ U1 Giả sử ngược lại D1 = U1 Khi tồn P ∈ AssR (U1 /D1 ) Suy P ∈ AssR (M /D1 ) dim(R/P) < d Chú ý AssR (M/D1 ) = AssR (M ) d Theo [7, Định lý 23.2(ii)] AssR (M /D1 ) = Ass(R/ p R) = p∈AssR (M/D1 ) Ass(R/ p R) p∈(AssR (M ))d Vì P ∈ Ass(R/ p R) với p thuộc (AssR (M ))d Do R/ p không trộn lẫn nên dim(R/P) = d Điều mâu thuẫn, D1 = U1 Áp dụng giả thiết quy nạp cho môđun D1 ta t − = n − Di = Ui 47 với i = 2, , t Do khẳng định chứng minh Từ khẳng định Mệnh đề 1.4.6 ta sp(M ) = max p(Ui−1 /Ui ) = max p(Di−1 /Di ) = max p(Di−1 /Di ) = sp(M ) i≤t i≤t i≤t 48 Kết luận Luận văn trình bày số kết kiểu đa thức kiểu đa thức dãy báo [3], [8] Nội dung đạt là: Nhắc lại kiến thức cần thiết chiều, độ sâu môđun, môđun đối đồng điều địa phương, vành mơđun Cohen-Macaulay, tính khơng trộn lẫn mơđun Cohen-Macaulay, đặc trưng mơđun CohenMacaulay Trình bày khái niệm kiểu đa thức mơđun, cơng thức tính kiểu đa thức qua chiều môđun đối đồng điều địa phương; kiểu đa thức qua đầy đủ m-adic, so sánh kiểu đa thức với chiều quỹ tích khơng CohenMacaulay Tìm hiểu lọc chiều mơđun, khái niệm mơđun Cohen-Macaulay dãy, tính chất mơđun Cohen-Macaulay dãy chuyển qua địa phương hóa, đầy đủ hóa, chia cho phần tử quy Nghiên cứu khái niệm kiểu đa thức dãy, tính chất kiểu đa thức dãy tác động địa phương hóa đầy đủ m-adic, so sánh kiểu đa thức dãy với chiều quỹ tích khơng Cohen-Macaulay dãy 49 Tài liệu tham khảo [1] M Brodmann and R Y Sharp, “Local cohomology: an algebraic introduction with geometric applications", Cambridge University Press, 1998 [2] W Bruns and J Herzog, “Cohen-Macaulay rings", Cambridge University Press, 1993 [3] N T Cuong, On the least degree of polynomials bounding above the differences between lengths and multiplicities of certain systems of parameters in local rings, Nagoya Math J., 125 (1992), 105-114 [4] N T Cuong, L T Nhan, Pseudo Cohen-Macaulay and pseudo generalized Cohen-Macaulay modules, J Algebra, 267 (2003), 156-177 [5] D Ferrand and M Raynaud, Fibres formelles d’un anneau local Noetherian, Ann Sci E’cole Norm Sup., (4)3 (1970), 295-311 [6] I G Macdonald, Secondary representation of modules over a commutative ring, Symposia Mathematica, 11 (1973), 23-43 [7] H Matsumura, “Commutative ring theory", Cambridge University Press, 1986 [8] L T Nhan, T D Dung, T D M Chau, A measure for non sequentially Cohen-Macaulayness of finitely generated modules, J Algebra, 468 (2016), 275-295 [9] L T Nhan, N T K Nga and P H Khanh, Non-Cohen-Macaulay locus and non generalized Cohen-Macaulay locus, Comm Algebra, 42 (2014), 4412-4425 50 [10] P Schenzel, On the dimension filtration and Cohen-Macaulay filtered modules, In: Proc of the Ferrara meeting in honour of Mario Fiorentini, University of Antwerp Wilrijk, Belgium, (1998), 245-264 [11] R P Stanley, “Combinatorics and Commutative Algebra", Second edition, Birkhăauser Boston-Basel-Berlin 51 ... Chƣơng Kiểu đa thức mô? ?un 1.1 Chiều độ sâu mô? ?un 1.2 Mô? ?un đối đồng điều địa phương 1.3 Vành mô? ?un Cohen – Macaulay 11 1.4 Kiểu đa thức mô? ?un ... Chƣơng Kiểu đa thức dãy mô? ?un 29 2.1 Lọc chiều mô? ?un 29 2.2 Vành mô? ?un Cohen – Macaulay dãy 34 2.3 Kiểu đa thức dãy mô? ?un 38 2.4 Kiểu đa thức dãy... khái niệm kiểu đa thức dãy kết kiểu đa thức dãy báo [8] Chương Kiểu đa thức m? ?đun Mục tiêu chương trình bày khái niệm kiểu đa thức mô? ?un giới thiệu N T Cuong [3] tính chất kiểu đa thức mối liên