Bộ giáo dục đào tạo Tr-ờng Đại học Quy nhơn Trần Ngọc Anh Về bất biến môđun hữu hạn sinh vành địa ph-ơng Luận văn thạc sỹ toán học Chuyên ngành: Đại số lý thuyết sè M· sè: 60.46.05 Ng-êi h-íng dÉn khoa häc: PGS.TS Nguyễn Đức Minh Quy nhơn, năm 2008 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Mục Lục Bảng kÝ hiÖu Mở đầu Ch-ơng Kiến thức chuẩn bị 1.1 Lý thut vỊ sù ph©n tÝch nguyên sơ 1.2 Lý thuyÕt béi 1.3 Môđun Cohen-Macaulay môđun Cohen-Macaulay suy rộng 1.4 Lý thut kiĨu ®a thøc 12 Ch-ơng Lọc chiều hệ tham số tèt 14 2.1 HÖ tham sè tèt 14 2.2 Đặc tr-ng môđun Cohen - Macaulay dÃy qua hệ tham số tốt 22 2.3 Lọc chiều môđun địa ph-ơng hoá 31 Ch-¬ng BÊt biÕn pF (M) 34 3.1 Sù tån t¹i cđa bÊt biÕn pF (M) 34 3.2 Liên hệ bất biến pF (M) quỹ tích điểm không CohenMacaulay d·y 42 Kết luận luận văn 46 Tài liệu tham khảo 47 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com bảng kí hiệu ã Ann(M): linh hoá tử R-môđun M ã dimM : số chiều R-môđun M • ExtiR(N, M): hµm tư më réng thø i cđa R-môđun M, N ã Him ((M): môđun đối đồng điều địa ph-ơng thứ i R-môđun M ứng với iđêan cực đại m ã (M): độ dài R-môđun M ã Supp(M): tập hợp iđêan nguyên tè cđa vµnh R cho Mp = LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Mở đầu Cho (R, m) vành địa ph-ơng giao hoán Noether, M R-môđun hữu hạn sinh có chiều d x = (x1, , xd) lµ hƯ tham sè cđa M , kÝ hiÖu n = (n1 , , nd) d-số nguyên d-ơng Xét hiệu IM (n, x) = (M/(xn1 , , xnd d )M) − n1 nde(x1, , xd; M), nh- mét hµm theo n Trong tài liệu [5], Nguyễn Tự C-ờng đà chứng minh hàm không đa thức tr-ờng hợp tổng quát nh-ng bị chặn đa thức bậc nhỏ tất đa thức chặn hàm IM (n, x) không phụ thuộc vào cách chọn hệ tham số x Bất biến gọi kiểu đa thức M , kí hiệu p(M) bất biến chiều quỹ tích không Cohen - Macaulay R th-ơng vành Cohen - Macaulay Xét lọc hữu hạn môđun M F : M0 M1 ⊂ ⊂ Mt = M cho dimM0 < dimM1 < < dimMt = dimM Mét lọc nh- gọi thoả mÃn điều kiện chiều Cho x = (x1 , , xd) lµ mét hƯ tham số M Khi x đ-ợc gọi hệ tham số tốt t-ơng ứng với lọc F nÕu Mi ∩ (xdi +1 , , xd)M = víi i = 0, 1, , t − di = dimMi Đặt t IF,M (x(n)) = (M/(xn1 , , xnd d )M) − n1 ndi e(x1, , xdi ; Mi ), i=0 e(x1, , xdi ; Mi ) lµ béi Serre cđa Mi øng víi hƯ (x1, , xdi ) vµ x = (x1, , xd) lµ mét hƯ tham sè tèt cđa M t-ơng ứng với lọc F Câu hỏi đặt kết có cho hàm IF,M (x(n)) Mục đích luận văn trình bày số kết [7] [9] liên quan đến bất biến pF (M) ( đ-ợc định nghĩa bậc nhỏ tất đa thức theo n chặn hàm IF,M (x(n)) ) Bên cạnh việc đ-a nhiều chứng minh chi tiết cho kết đà có [7] [9], tìm đ-ợc kết ch-a đ-ợc đề cập đến hai báo nói Ngoài phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, Luận văn gồm ch-ơng: LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Ch-ơng kiến thức chuẩn bị Ch-ơng nhắc lại khái niệm số tính chất lý thuyết phân tích nguyên sơ, lý thuyết bội, môđun Cohen - Macaulay, môđun Cohen - Macaulay suy rộng lý thuyết kiểu đa thức Ch-ơng lọc chiều hệ tham số tốt Lọc chiều hệ tham số tốt công cụ quan trọng để nghiên cứu bất biến pF (M) dành ch-ơng để trình bày số kết lọc chiều hệ tham số tốt, đặc tr-ng môđun Cohen-Macaulay dÃy qua hệ tham số tốt trình bày số kết lọc chiều môđun địa ph-ơng hoá đ-ợc sử dụng nhiều ch-ơng Ch-¬ng bÊt biÕn pF (M) Néi dung chÝnh cđa ch-ơng chứng minh hàm IF,M (x(n)) bị chặn đa thức bậc nhỏ tất đa thức chặn hàm IF,M (x(n)) không phụ thuộc vào cách chọn hệ tham sè tèt x cđa M t-¬ng øng víi läc F , mối liên hệ bất biến pF (M) với môđun Cohen - Macaulay dÃy môđun Cohen - Macaulay suy rộng dÃy Hơn bất biến ®óng b»ng chiỊu cđa q tÝch kh«ng Cohen - Macaulay dÃy R th-ơng vành Cohen - Macaulay F lọc chiều M Mặc dù tác giả đà có nhiều cố gắng làm việc nghiêm túc, nh-ng chắn luận văn hạn chế, thiếu sót định Tác giả mong nhận đ-ợc góp ý, bổ sung quý thầy, cô giáo ng-ời đọc Quy Nhơn, tháng 03 năm 2008 Tác giả LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Ch-ơng kiến thức chuẩn bị 1.1 Lý thuyết phân tích nguyên sơ Trong mục nhắc lại số kiến thức cần thiết phân tích nguyên sơ môđun môđun theo [14, ch-ơng 3] Định nghĩa 1.1.1 Cho R vành giao hoán M R - môđun Một iđêan nguyên tố p đ-ợc gọi iđêan nguyên tố liên kết với M tồn x M x = cho p = Ann(x) Tập iđêan nguyên tố liên kết với M đ-ợc kí hiệu AssR (M) hay Ass(M) Hơn Ass(M) = M = Đặc biệt M hữu hạn sinh R vành giao hoán Noether Ass(M) hữu hạn Định nghĩa 1.1.2 i) Một R - môđun M đ-ợc gọi đối nguyên sơ có iđêan nguyên tố liên kết ii) Môđun N M đ-ợc gọi môđun nguyên sơ M M/N đối nguyên sơ Nếu AssR (M/N ) = {p}, N đ-ợc gọi p - nguyên sơ Bổ đề 1.1.3 Các điều kiện sau t-ơng đ-ơng: (1) R- môđun M đối nguyên sơ ; (2) M = a R -ớc không M với x M tồn số nguyên d-ơng n cho an x = Chó ý 1.1.4 Khi M = R/q víi q Ass(M) điều kiện (2) t-ơng đ-ơng với -ớc không vành R/q luỹ linh LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com MƯnh ®Ị 1.1.5 Nếu M -R môđun đối nguyên sơ hữu hạn sinh với AssM = {p} Ann(M) iđêan p- nguyên sơ R Định nghĩa 1.1.6 Cho N môđun M Một phân tích nguyên sơ N phân tích N = Q1 ∩ · · · ∩ Qr thµnh giao hữu hạn môđun nguyên sơ Qi M Sự phân tích nguyên sơ đ-ợc gọi phân tích rút gọn bỏ Qi iđêan nguyên tố liên kết M/Qi (1 i r) đôi khác Dễ thấy phân tích nguyên sơ môđun N M quy phân tích nguyên sơ rút gọn Mệnh đề 1.1.7 NÕu N = Q1 ∩ · · · ∩ Qr phân tích nguyên sơ rút gọn môđun N Qi pi -nguyên sơ Ass(M/N ) = {p1 , · · · , pr } Định lý 1.1.8 Cho R vành Noether M R-môđun Khi với p Ass(M) ta chọn môđun p- nguyên sơ Q(p) cho 0= ∩ p∈AssM Q(p) HƯ qu¶ 1.1.9 Nếu M R - môđun hữu hạn sinh môđun M có phân tích nguyên sơ Mệnh đề 1.1.10 ( theo [15, 3.13]) Cho I iđêan R, đặt A = {p ∈ AssM : p ⊃ I} NÕu = pAssM Q(p) phân tích nguyên sơ rút gọn môđun M Q(p) p-nguyên sơ HI0 (M) = Q(p) pA / LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 1.2 Lý thuyết bội Trong mục trình bày lại số kiến thức bội theo Northcott (theo [17, ch-ơng 7]) Định nghĩa 1.2.1 Cho (R, m) vành giao hoán Noether địa ph-ơng với iđêan cực đại m M R-môđun hữu hạn sinh với dimM = d Một hệ phần tư x = (x1, , xt) cđa R cho R M/(x)M < + đ-ợc gọi hệ bội M t = ta hiểu điều kiện có nghĩa R (M) < +∞ Khi ®ã ký hiƯu béi e(x; M) cđa M hệ bội x đ-ợc định nghĩa quy nạp theo t nh- sau Giả sử t = 0, tức R (M) < +, ta đặt e(; M) = Với t > 0, đặt (0 : x1) = {m ∈ M | mx1 = 0} V× M R R (M) M/(x)M < +∞ nªn ta dƠ dµng suy r»ng (x2 , , xt) lµ mét hƯ béi cđa (0 : x1 ) vµ M/x1 M áp M dụng giả thiết quy nạp e(x2, , xt; M/x1 M) vµ e(x2, , xt; : x1) đà đ-ợc xác M định, ta ®Þnh nghÜa e(x; M) = e(x2, , xt; M/x1 M) − e(x2, , xt; : x1) M Mét hÖ phần tử (x1, , xd) m đ-ợc gọi lµ mét hƯ tham sè cđa M nÕu (x1, , xd) hệ bội M D-ới số tính chất số bội e(x; M) Định lý 1.2.2 Giả sử M −→ N −→ P −→ lµ mét d·y khớp ngắn R-môđun Noether x = (x1, , xt) hệ bội M , N P Khi ®ã e(x; N ) = e(x; M) + e(x; P ) MƯnh ®Ị 1.2.3 Cho x = (x1 , , xt) lµ mét hƯ béi cđa M Nếu {i1 , i2, , it} hoán vị cđa {1, 2, , t} th× e(x1, x2, , xt; M) = e(xi1 , xi2 , , xit ; M) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com MÖnh ®Ị 1.2.4 Cho x = (x1 , , xt) lµ mét hƯ béi cđa M NÕu cã mét gi¸ trÞ i cho xni M = 0, víi n số nguyên d-ơng e(x; M) = MƯnh ®Ị 1.2.5 Cho x = (x1, , xt) hệ bội M Khi ≤ e(x; M) ≤ R M/(x)M MƯnh ®Ị 1.2.6 Cho x = (x1 , , xt) lµ mét hƯ béi cđa M Khi ®ã víi n1, n2 , , nt số nguyên d-ơng tuỳ ý ta cã e(xn1 , xn2 , , xnt t ; M) = n1 n2 nt e(x1, , xt; M) MƯnh ®Ị 1.2.7 Cho x = (x1, , xt) lµ mét hƯ béi cđa M Khi ®ã e(x; M) = t > dim M Định lý 1.2.8 Cho x = (x1, , xt) y = (y1 , , yt) hƯ béi cđa M Gi¶ sư xM ⊆ yM Khi e(y; M) e(x; M) Định lý 1.2.9 (Công thức giới hạn Lech) Cho x = (x1 , , xt) lµ mét hƯ béi cđa M Khi ®ã lim min(ni )→∞ (M/(xn1 , xn2 , , xnt t )M) = e(x; M) n1 n2 nt Công thức sau Auslander - Buchsbaum th-ờng đ-ợc sử dụng chứng minh ch-ơng Định lý 1.2.10 ( theo [1, 4.2] ) Cho x = (x1, , xt) lµ mét hƯ béi cđa M Khi ®ã R (M/(x1 , · · · , xt )M) − e(x; M) = t e(xi+1 , · · · , xt; (x1 , · · · , xi−1 )M : xi/(x1 , · · · , xi−1 )M) = i=1 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 1.3 Môđun Cohen-Macaulay môđun CohenMacaulay suy rộng Tr-ớc hết nhắc lại khái niệm dÃy quy (theo [14, ch-ơng 6]) Định nghĩa 1.3.1 Cho R vành giao hoán, M R-môđun a1, , ar phần tử thuộc R Ta ký hiệu (a) iđêan (a1, , ar) aM môđun r M = (a)M Ta nãi a1, , ar lµ M - dÃy quy (hay M -dÃy) điều i=1 kiện sau đ-ợc thoả : (1) Với i r, không -ớc không M/(a1 , , ai−1)M (2) aM = M Khi tất phần tử a1, , ar thuộc iđêan I R, ta nói a1, , ar M -dÃy I Hơn không tồn b I cho a1, , ar, b M -dÃy a1, , ar đ-ợc gọi M -dÃy cực đại I Bổ đề 1.3.2 Giả sử a1 , , ar lµ M - d·y vµ a1 m1 + + ar mr = 0, mi ∈ M, i = 1, , r Khi ®ã mi ∈ aM víi mäi i = 1, , r Định lý 1.3.3 Nếu (a1, , ar) M -dÃy (an1 , , anr r ) lµ mét M -d·y víi mäi sè nguyên d-ơng n1 , , nr Định lý 1.3.4 Cho R vành Noether, M R-môđun hữu hạn sinh I iđêan cho IM = M Với số nguyên d-ơng n ta có mệnh đề sau t-ơng đ-ơng: i) ExtiR (N, M) = víi mäi i < n vµ với R-môđun hữu hạn sinh N mà Supp(N ) ⊆ V (I); ii) ExtiR (R/I, M ) = víi mäi i < n; LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 35 Chøng minh Cho ∩ p∈AssM N (p) = phân tích nguyên sơ rút gọn môđun không M , với N (p) p-môđun nguyên sơ Vì Ass(Mi /(Mi N (p)) ⊆ Ass(M/N (p)) = {p} vµ Mi /(Mi ∩ N (p)) ∼ = (Mi + N (p))/N(p) ⊂ M/N (p) nên Mi N (p) Ass(Mi /Mi ∩ N (p)) = {p} tøc lµ Mi N (p) p- môđun nguyên sơ Mi Do ®ã Mi ⊆ N (p) nÕu p ∈ / AssMi V× vËy √ Mi ⊆ ∩ N (p) Suy AnnMi = AnnM/Ni , Ni = N (p) Đặt pAssMi pAssM / i di = dim Mi Vì x y hệ tham số tốt M t-ơng ứng F nªn ta cã (ydi +1 , , yd) ⊆ AnnMi Do tồn số nguyên d-ơng s cho (ydsi +1 , , yds) ⊆ AnnM/Ni víi mäi i = 1, , t (1) T-¬ng tù thay xi xni với n đủ lớn Không tính tổng quát giả sử (xdi +1 , , xd) ⊆ AnnM/Ni víi mäi i = 1, , t (2) Bây cần chứng minh có hÖ tham sè tèt ω = (ω1 , , ωd) t-¬ng s øng víi F cho víi mäi i ta cã (ω1 , , ωi, xi+1 , , xd) vµ (ω1 , , ωi, yi+1 , , yds) lµ c¸c hƯ tham sè tèt cđa M øng víi läc F Tr-ờng hợp i = tầm th-ờng Giả sử i > ta đà chọn đ-ợc hệ , , i1 Đặt S tập iđêan nguyên tố liên kết cực tiểu M/(1 , , ωi−1, xi+1 , , xd)M s vµ cđa M/(ω1 , , ωi−1, yi+1 , , yds)M V× (ω1 , , ωi−1, xi, , xd) vµ (ω1 , , i1, yis , , yds) hệ tham số M nên (xi , yis) p Giả sư r»ng dj < i ≤ dj+1 víi j nµo ®ã p∈S Víi k ≤ j v× dk ≤ dj < i nªn theo (2) ta cã (xi , yis ) ⊆ ∩ Ann(M/Nk ) V× k≤j vËy ta cã thÓ chän ωi ∈ ∩ Ann(M/Nk ) cho ωi ∈ / p víi mäi p ∈ S Suy k≤j s (ω1 , , ωi, xi+1, , xd) vµ (ω1 , , ωi, yi+1 , , yds) lµ c¸c hƯ tham sè cđa M Tõ (1), (2) cách chọn i ta có với k j , (ωdk +1 , , ωi, xi+1 , , xd)M ⊆ Nk , s (ωdk +1 , , ωi, yi+1 , , yds)M ⊆ Nk LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 36 s Do ®ã (ωdk +1 , , ωi, xi+1, , xd)M ∩ Mk = (ωdk +1 , , ωi, yi+1 , , yds)M ∩ Mk = s V× vËy (ω1 , , ωi, xi+1 , , xd) vµ (ω1 , , ωi, yi+1 , , yds) hệ tham số tốt M ứng với lọc F Bằng ph-ơng pháp quy nạp tồn số nguyên d-ơng t1 , , td cho t i−1 ωiti ∈ (ω1t1 , , i1 , yis, , yds) + AnnM Đặt zi = iti T-ơng tự tồn số nguyên d-¬ng r1 , , rd cho r i+1 xri i ∈ (z1, , zi, xi+1 , , xrdd ) + AnnM DƠ kiĨm tra r»ng (z1, , zd) hệ tham số cần tìm Bổ đề 3.1.2 (theo [9, 3.1]) Cho x, y lµ hai hƯ tham sè tốt M t-ơng ứng với F Giả sử tồn số nguyên d-ơng i cho xj = yj víi mäi j = i vµ (y) + AnnM ⊆ (x) + AnnM Khi ®ã IF,M (x) ≤ IF,M (y) Chøng minh Ta chøng minh b»ng quy n¹p theo d = dim M Víi d = ta cã IF,M (x) = (0 :M x1) IF,M (y) = (0 :M y1) Vì (y1 ) + AnnM ⊆ (x1 ) + AnnM nªn (0 :M x1) (0 :M y1) Từ suy IF,M (x) IF,M (y) Do tr-ờng hợp i = đ-ợc chứng minh Giả sử d > 1, v× (M/(x)M) − e(x; M) ≤ (M/(y)M) − e(y; M) theo [5] nên tr-ờng hợp i = d đ-ợc chứng minh Giả sử i < d Từ Bổ đề 2.1.13 ta cã (x1, , xd−1) lµ mét hƯ tham sè tốt t-ơng ứng với lọc thoả mÃn điều kiện chiều F /xd F : (M0 + xd M)/xd M ⊂ ⊂ (Ms + xd M)/xd M ⊂ M/xd M, s = t dt1 < d − vµ s = t − nÕu dt−1 = d − T-¬ng tù nh- phÐp chøng minh Bổ đề 2.1.14 ta có hai khả sau NÕu dt−1 < d − th× IF,M (x) = IF/xd F,M/xdM (x1, , xd−1) + e(x1, , xd−1; :M xd ) IF,M (y) = IF/xd F,M/xdM (y1, , yd−1) + e(y1, , yd−1; :M xd ) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 37 V× (y) + AnnM ⊆ (x) + AnnM nªn (y1, , yd−1)(0 :M xd ) ⊆ (x1 , , xd−1)(0 :M xd ) Từ Định lý 1.2.8 ta có e(x1, , xd−1; :M xd ) ≤ e(y1, , yd1; :M xd ) Do theo giả thiêt quy nạp IF,M (x) IF,M (y) Nếu dt1 = d − th× IF,M (x) = IF/xd F,M/xdM (x1 , , xd−1) + e(x1, , xd−1; :M xd /Mt−1 ), IF,M (y) = IF/xdF,M/xd M (y1 , , yd−1) + e(y1, , yd−1; :M xd /Mt−1 ) Chøng minh t-¬ng tù ta cã IF,M (x) ≤ IF,M (y) Bỉ ®Ị 3.1.3 (theo [9, 3.3]) Cho F lọc thoả mÃn điều kiện chiều x = (x1, , xd) lµ mét hƯ tham sè tèt t-ơng ứng F Giả sử IF,M (x) = Khi tồn số c cho IF,M (x(n)) cn1 ndIF,M (x) với số nguyên d-ơng n1 , , nd Đặc biệt, IF,M (x(n)) bị chặn đa thức theo n Chứng minh Theo Bỉ ®Ị 1.4.1 ta cã (M/(x(n))M) − n1 nde(x; M) ≤ n1 nd( (M/(x)M) − e(x; M)) Do ®ã IF,M (x(n) ≤ n1 nd( (M/(x)M) − e(x; M)) ≤ cn1 ndIF,M (x) víi c = (M/(x)M) − e(x; M))/IF,M (x) Chú ý Bổ đề giả thiết IF,M (x) = nội dung Bổ ®Ị kh«ng ®óng VÝ dơ 3.1.4 (theo [7, 3.13]) XÐt vành chuỗi luỹ thừa hình thức R = k[[x, y, z, w]] cã hƯ sè trªn mét tr-êng k iđêan I = (x, w) (y, z), J = (x, y 2, z) Xét môđun M = R/I J Khi M có lọc chiều D : = D0 ⊂ D1 ⊂ D2 = M víi D1 = I/I ∩ J vµ dim D1 = Dễ chứng minh đ-ợc (z + w, x + y) lµ mét hƯ tham LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 38 sè tèt cña M B»ng tÝnh to¸n ta cã ID,M ((z + w)n1 , (x + y)n2 ) = nÕu n2 = 1 nÕu n2 ≥ V× vËy ID,M (z + w, x + y) = HƯ qu¶ 3.1.5 (theo [9, 3.4]) Cho x, y lµ hai hƯ tham sè tèt cđa M t-¬ng øng víi F nh- Bỉ ®Ị 3.1.2 Gi¶ sư r»ng IF,M (y) = Khi ®ã tån t¹i h»ng sè c cho IF,M (xt1, , xtd) ≤ cIF,M (xt1 , , xti−1, yit, xti+1 , , xtd) với số nguyên d-ơng t Chứng minh Suy từ Bổ đề 3.1.2 3.1.3 §Þnh lý 3.1.6 (theo [9, 1.1]) Cho F : M0 ⊂ M1 ⊂ ⊂ Mt = M lµ mét lọc môđun M thoả mÃn điều kiện chiỊu vµ x = (x1 , , xd) lµ mét hƯ tham sè tèt t-¬ng øng víi läc F Khi bậc nhỏ tất đa thức theo n chặn hàm IF,M (x(n)) không phụ thuộc cách chọn x Ta ký hiệu bất biến lµ pF (M) Chøng minh Cho x, y lµ hai hƯ tham sè tèt t-¬ng øng víi F Ký hiệu pF,M (x) pF,M (y) lần l-ợt bậc nhỏ đa thức chặn hàm IF,M (x(n)) IF,M (y(n)) Ta cần chứng minh r»ng pF,M (x) ≥ pF,M (y) Tr-êng hỵp IF,M (y) = víi mäi n1 , , nd lµ hiển nhiên Vì vậy, tính không giảm hàm IF,M (y(n)) nên ta giả sử IF,M (y) = víi mäi n1 , , nd Theo Bổ đề 3.1.1 tồn s, r1 , , rd > vµ mét hƯ tham sè tèt z = (z1, , zd) t-¬ng øng víi F cho (xr11 , , xrdd ) + AnnM ⊆ (z1, xr22 , , xrdd ) + AnnM ⊆ ⊆ (z) + AnnM ⊆ ⊆ (z1 , , zd−1, yds ) + AnnM ⊆ ⊆ (y1s , , yds) + AnnM s i +1 víi (z1 , , zi, xri+1 , , xrdd ) vµ (z1, , zi, yi+1 , , yds) hệ tham số tốt M LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 39 øng víi F áp dụng Hệ 3.1.5 (2d) lần cho dÃy hệ tham số ta đ-ợc trd IF,M (y1ts, , ydts) ≤ (c)2d IF,M (xtr , , xd ) với số nguyên d-ơng t, c số phụ thuộc vào hÖ tham sè (y1s , , yds), (xr11 , , xrdd ) vµ z Víi mäi bé d sè (n1 , , nd) ta đặt t = n1 + + nd Khi ®ã trd IF,M (y1n1 , , ydnd ) ≤ IF,M (y1ts , , yits, , ydts) ≤ (c)2d IF,M (xtr , , xd ) Vì vậy, F (n1, , nd) đa thức chặn IF,M (xn1 , , xnd d ) th× ta cã IF,M (y1n1 , , ydnd ) ≤ (c)2d F (r1n1 + + r1 nd , , rdn1 + + rd nd ) Hµm cuối đa thức theo n1 , , nd cã cïng bËc nh- F (n1, , nd) Do pF,M (x) pF,M (y) Định nghĩa 3.1.7 (theo [8, 3.1]) Một R-môđun M đ-ợc gọi môđun Cohen-Macaulay suy rộng dÃy tồn lọc F : M0 ⊂ M1 ⊂ ⊂ Mt = M thoả mÃn điều kiện chiều cho Mi /Mi1 lµ Cohen-Macaulay suy réng víi i = 1, , t Ta thừa nhận Định lý sau đặc tr-ng môđun Cohen - Macaulay suy rộng dÃy qua hệ tham số tốt Định lý 3.1.8 (theo [8, 5.2]) Các điều kiện sau t-ơng đ-ơng: i) M môđun Cohen - Macaulay suy rộng dÃy; ii) Tồn lọc F môđun M thỏa m·n ®iỊu kiƯn chiỊu cho IF (M) = supIF,M (x) < , với x chạy tất hƯ tham sè tèt cđa M x t-¬ng øng víi F ; iii) Tồn lọc F môđun M thỏa mÃn điều kiện chiều hƯ tham sè tèt x cđa M t-¬ng øng víi F cho IF,M (x(n)) lµ h»ng sè víi mäi số nguyên d-ơng n1 , à à à , nd LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 40 Từ Định lý 2.2.9 Định lý 3.1.8 ta có Hệ Định lý 3.1.6 d-ới Qui -ớc bậc đa thức không Hệ 3.1.9 (theo [9, 3.5]) M môđun Cohen-Macaulay dÃy ( t-ơng ứng môđun Cohen-Macaulay suy rộng dÃy ) nÕu tån t¹i mét läc F : M0 ⊂ M1 Mt = M thoả mÃn điều kiện chiỊu cho pF (M) = −∞ ( t-¬ng øng pF (M) ≤ ) MƯnh ®Ị sau sÏ cho ta thấy so sánh bất biến pD (M) víi bÊt biÕn pD/xd D (M/xd M) MƯnh ®Ị 3.1.10 Cho D : D0 ⊂ D1 ⊂ ⊂ Dt = M lµ läc chiỊu cđa M vµ (x1, , xd) lµ mét hƯ tham sè tèt cđa M Khi ®ã pD/xd D (M/xd M) ≤ pD (M) ≤ pD/xd D (M/xd M) + Chøng minh Theo MÖnh đề 2.1.17 Bổ đề 3.1.3 tồn số c cho n n d−1 d−1 ID,M (xn1 , , xd−1 , xd ) ≤ ID,M (xn1 , , xnd d ) ≤ cnd ID,M (xn1 , , xd−1 , xd ) (3) Tõ Bỉ ®Ị 2.1.13 ta cã (x1, , xd−1) lµ mét hƯ tham số tốt t-ơng ứng với lọc thoả mÃn điều kiện chiÒu D/xd D : (D0 + xd M)/xd M ⊂ ⊂ (Ds + xd M)/xd M ⊂ M/xd M, s = t dt1 < d − vµ s = t − nÕu dt1 = d Theo Bổ đề 2.1.10 :M xd = Dt−1 T-¬ng tù nh- phÐp chứng minh Bổ đề 2.1.14 ta có hai khả sau Nếu dt1 < d n n n d−1 d−1 d−1 ID,M (xn1 , , xd−1 , xd ) = ID/xdD,M/xdM (xn1 , , xd−1 ) + e(xn1 , , xd−1 ; :M xd ) n d−1 V× dim :M xd = dim Dt−1 < d − nªn e(xn1 , , xd−1 ; : M xd ) = n n d−1 d−1 Do ®ã ID,M (xn1 , , xd−1 , xd ) = ID/xdD,M/xdM (xn1 , , xd−1 ) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 41 NÕu dt−1 = d − th× n n n d−1 d−1 d−1 ID,M (xn1 , , xd−1 , xd ) = ID/xd D,M/xdM (xn1 , , xd−1 ) + e(xn1 , , xd−1 ; : M xd ) n d−1 ; Dt−1 ) − e(xn1 , , xd−1 n d−1 = ID/xd D,M/xdM (xn1 , , xd−1 ) Nh- vËy tr-ờng hợp ta có n n d1 d−1 ID,M (xn1 , , xd−1 , xd) = ID/xdD,M/xd M (xn1 , , xd−1 ) Thay vµo (3) ta đ-ợc n n d1 d1 ID/xd D,M/xdM (xn1 , , xd−1 ) ≤ ID,M (xn1 , , xnd d ) ≤ cnd ID/xdD,M/xdM (xn1 , , xd−1 ) VËy pD/xd D (M/xd M) ≤ pD (M) ≤ pD/xd D (M/xd M) + Trong tµi liệu [9], có đ-a so sánh bất biến pD (M) với dim M R th-ơng vành Cohen-Macaulay (Hệ 5.5) đ-a kết rộng so sánh với chứng minh đơn giản Hệ 3.1.11 Cho D lọc chiều M Khi ®ã pD (M) ≤ d − Chøng minh Ta chứng minh Hệ quy nạp theo d NÕu d = th× pD (M) = , pD (M) < d Giả sử d > bất đẳng thức với môđun có chiều nhỏ d Theo Mệnh đề 3.1.10 ta cã pD (M) ≤ pD/xd D (M/xd M) + ≤ d − − + = d theo giả thiết quy nạp Vậy pD (M) ≤ d − LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 42 Liên hệ bất biến pF (M) quỹ tích điểm không Cohen-Macaulay dÃy 3.2 Ta biết R th-ơng vành Cohen-Macaulay quỹ tích không Cohen-Macalay nCM(M) = {p SuppM : Mp không Cohen-Macaulay} tập đóng Vì vËy theo HƯ qu¶ 1.4.8 ta cã p(M) = dim nCM(M) M đẳng chiều Bổ đề sau giúp ta chứng minh Định lý 3.2.4 Bổ đề 3.2.1 (theo [9, 5.1]) Cho D : D0 ⊂ D1 ⊂ ⊂ Dt = M lµ läc chiỊu cđa M Ký hiÖu V (M) = {p ∈ SuppM : Mp không Cohen-Macaulay dÃy} Khi t (1) V (M) = ∪ nCM(Di /Di−1 ) , i=1 (2) NÕu R lµ th-ơng vành Cohen-Macaulay V (M) tập ®ãng Chøng minh Theo Bỉ ®Ị 2.3.1, th× läc Dp : (Ds1 )p ⊂ (Ds2 )p ⊂ ⊂ (Dsl )p = Mp lµ läc chiỊu cđa Mp Từ suy Mp không Cohen - Macaulay dÃy vµ chØ víi mäi läc chiỊu Fp cđa Mp , tån t¹i ≤ i ≤ t cho (Di /Di−1 )p kh«ng Cohen - Macaulay t Tõ ®ã suy V (M) = ∪ nCM(Di /Di−1 ) i=1 (2) Vì R th-ơng vành Cohen-Macaulay nên nCM(Di /Di1 ) tập đóng với i = 1, , t Do V (M) tập ®ãng Bỉ ®Ị 3.2.2 (theo [9, 5.2]) Gi¶ sư R th-ơng vành Cohen-Macaulay Khi dim V (M) = max{p(Di /Di−1 ) : i = 1, , t} Chứng minh Vì Di /Di1 đẳng chiều R th-ơng vành CohenMacaulay nên dim nCM(Di /Di−1 ) = p(Di /Di−1 ) theo HƯ qu¶ 1.4.8 Do ®ã theo Bỉ ®Ị 3.2.1, ta cã LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 43 dim V (M) = max{dim nCM(Di /Di−1 ) : ∀i = 1, , t} = max{p(Di /Di−1 ) : i = 1, , t} Bỉ ®Ị 3.2.3 (theo [9, 5.3]) Ta cã pD (M) ≤ max{p(Di /Di−1 ) : i = 1, , t} Chøng minh Cho x = (x1, , xd) lµ mét hƯ tham sè tèt cđa M Ta cã (M/xM) = (M/xM + Dt−1 ) + (xM + Dt−1 /xM) = (M/xM + Dt−1 ) + (Dt−1 /Dt−1 ∩ xM) ≤ (M/xM + Dt−1 ) + (Dt−1 /xDt1 ) Đặt di = dim Di Ta biết r»ng (x1 , , xdi ) lµ mét hƯ tham sè tèt cđa Di vµ xDi = (x1, , xdi )Di B»ng quy n¹p theo t ta cã t (M/xM) ≤ (Di /(x1, , xdi )Di + Di−1 ) + (D0 ) i=1 Kết hợp điều thay x x(n) ta đ-ợc t nd nd ( (Di /(xn1 , , xdi i )Di + Di−1 ) − e(xn1 , , xdi i ; Di /Di−1 )) ID,M (x(n)) ≤ i=1 Do ®ã pD (M) ≤ max{p(Di /Di−1 ) : i = 1, , t} Định lý 3.2.4 (theo [9, 1.2]) Cho R th-ơng cđa mét vµnh Cohen-Macaulay vµ D : D0 ⊂ D1 ⊂ ⊂ Dt = M lµ läc chiỊu cđa M Khi ®ã ta cã pD (M) = max{p(Di /Di−1 ) : i = 1, 2, , t} = dimV (M) Chứng minh Từ Bổ đề 3.2.2 3.2.3 ta đ-ợc pD (M) max{p(Di /Di1 ; i = 1, 2, , t} = dim V (M) Ta phải chứng minh dim V (M) pD (M) ThËt vËy, ta sÏ chøng minh r»ng Mp lµ Rp -môđun Cohen-Macaulay dÃy với iđêan nguyên tố p ∈ SuppM LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 44 cho dim R/p > pD (M) Theo c¸c Bổ đề 2.3.1 2.3.3, Mp có lọc chiều Dp : (Ds1 )p ⊂ (Ds2 )p ⊂ (Dsl )p = Mp tồn hệ tham số tốt x = (x1 , , xd) cña M cho (xr+1 , , xs) lµ mét hƯ tham sè tèt cđa Mp , r = dim R/p s = dim Mp + dim R/p Tr-íc tiªn ta chøng minh r»ng IDp ,Mp (xr+1 , , xs) = Với i = 1, , d, đặt di = dim Di vµ xi = (x1, , xi) Theo Bỉ ®Ị 2.1.10, ta cã Dj = :M xi víi dj < i dj+1 Đặt dk = dj + 1, ®ã dk < i + ≤ dk+1 , suy Dk = :M xi+1 víi mäi dj < i ≤ dj+1 Do ®ã nÕu i = dj + = dk víi mét j e(xi ; :M xi+1 ) = e(xi ; Dk ) NÕu dj + < i dj+1 i > dk , e(xi ; :M xi+1 ) = e(xi ; Dk ) = theo Mệnh đề 1.2.7 Hơn nữa, :M xi+1 = Dj vµ dj < i + nªn (0 :M xi+1 ) ∩ (xi+2 , , xd)M ⊆ Dj ∩ (xi+2 , , xd)M = Do ®ã :M xi+1 (0 :M xi+1 + (xi+2 , , xd)M)/(xi+2 , , xd)M áp dụng công thức Auslander - Buchsbaum cho hƯ x víi thø tù xd , , x1 ta đ-ợc t ID,M (x) = (M/xM) − e(x1, , xdi ; Di ) i=0 d = t e(xi ; (xi+2 , , xd)M :M xi+1 /(xi+2 , , xd)M)− i=0 d−1 = e(xi ; :M xi+1 ) i=0 d−1 e(xi ; (xi+2 , , xd)M :M xi+1/(xi+2 , , xd)M)− i=0 d−1 e(xi ; :M xi+1 ) i=0 e(xi ; (xi+2 , , xd)M :M xi+1/(xi+2 , , xd)M + :M xi+1) = i=0 ≥ e(xi ; (xi+2 , , xd)M :M xi+1 /(xi+2 , , xd)M + :M xi+1 ) Thay x bëi (xn1 , , xni i , xi+1 , , xd) ta đ-ợc ID,M (xn1 , , xni i , xi+1 , , xd) ≥ ≥ n1 nie(xi ; (xi+2, , xd)M :M xi+1 /(xi+2 , , xd)M + :M xi+1 ) víi mäi sè nguyên d-ơng n1 , , ni, i = 1, , t Chó ý r»ng pD (M) lµ bËc cđa mét đa thức chặn hàm ID,M (xn1 , , xni i , xi+1 , , xd) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 45 V× vËy, e(xi ; (xi+2 , , xd)M :M xi+1 /(xi+2 , , xd)M + :M xi+1 ) = víi mäi i > pD (M) Chän i ≥ r > pD (M) Theo MƯnh ®Ị 4.7 cđa [1] ta cã xi+1 ∈ / q víi mäi q ∈ Ass(M/(xi+2 , , xd)M + :M xi+1 ) cho dim R/q ≥ i NÕu dim Rp /qRp ≥ i − r th× R xích nên dim R/q i Do ®ã xi+1 ∈ / qRp víi mäi qRp ∈ Ass(Mp /(xi+2 , , xs)Mp + :Mp xi+1) cho dim Rp /qRp ≥ i − r Sư dơng Mệnh đề 4.7 [1] lần ta đ-ợc e(xr+1, , xi; (xi+2 , , xs)Mp :Mp xi+1 /(xi+2 , , xs)Mp + :Mp xi+1 ) = víi mäi i > r V× vËy, IDp,Mp (xr+1, , xs) = s−1 e(xr+1, , xi; (xi+2 , , xs)Mp :Mp xi+1 /(xi+2 , , xd)Mp + :Mp xi+1 ) = = i=r r +1 Thay (xr+1 , , xs) bëi (xnr+1 , , xns s ) với số nguyên d-ơng nr+1 , , ns ta cã nr +1 , , xns s ) = Vì Mp Rp môđun thể chứng minh t-ơng tù IDp ,Mp (xr+1 Cohen-Macaulay d·y theo HƯ qu¶ 3.1.9 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 46 KÕt luận luận văn Luận văn đạt đ-ợc kết sau : Trình bày chứng minh cách chi tiết số tính chất hệ tham số tốt lọc chiều Trình bày đặc tr-ng môđun Cohen-Macaulay dÃy qua dd-dÃy qua hệ tham số tốt khảo sát số tính chất lọc chiều môđun địa ph-ơng hoá Chứng minh chi tiết tồn bất biến pF (M) liên hệ bất biến pF (M) với môđun Cohen - Macaulay dÃy môđun Cohen Macaulay suy rộng dÃy Chỉ mối liên hệ bất biến pD (M) với kiểu đa thức p(Di /Di1 ) với quỹ tích điểm không Cohen-Macaulay dÃy Làm rõ phép chứng minh Định lý 3.2.4 Đ-a chứng minh kết so sánh pD (M) với pD/xd D (M/xd M) pD (M) với dim M (Mệnh đề 3.1.10 Hệ 3.1.11) Tác giả LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 47 Tµi liƯu tham kh¶o [01] Auslander M and Buchsbaum D A (1958), "Codimension and multiplicity", Ann Math 68, 625-657 [02] Bruns W and Herzog J (1993), Cohen Macaulay rings, Cambridge Univer- sity Press [03] N T Cuong (1991), "On the dimension of the non-Cohen - Macaulay locus of local rings admitting dualizing complexes", Math Proc Camb Phil Soc 479-488 [04] N T Cuong (1990), "On the length of the powers of systems of parameters in local ring", Nagoya Math J 120, 77-88 [05] N T Cuong (1991), "On the least degree of polynomials bounding above the differences between lengths and multiplicities of certain systems of parameters on local rings", Nagoya Math J 125, 105-114 [06] N T Cuong and D T Cuong (2003), "dd-sequences and Euler-PoincarÐ char- acteristics of Koszul complex ", Vietnam J Math 3132), pp 353-358 [07] N T Cuong and D T Cuong (2007), "On sequentially Cohen-Macaulay modules", Math.AC/ 0507202v1 [08] N T Cuong and D T Cuong (2007), "On the structure of sequentially gen- eralized Cohen-Macaulay modules", Math.AC./ 0701729v1 [09] N T Cuong, D T Cuong and H L Truong (2006), "On a new invariant of finite modules over local rings", Proc The 2nd Japan-Vietnam Joint Seminar on Commutative Algebra, Meiji University, Tokyo, Japan, pp 26-37 [10] N T Cuong and N § Minh (2000), "Lengths of generalized fractions of modules having small polynomial type", Math Proc Cambrigde Phil Soc 128, 269-282 [11] N T Cuong and L T Nhan (2003), "Pseudo Cohen - Macaulay and pseudo generalized Cohen Macaulay modules", J Algebra 267, 156-177 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 48 [12] N T Cuong and H L Truong (2007), "Parametric decomposition of powers of parameter ideals and sequentially Cohen-Macaulay modules ", Math.AC./0701730v1 [13] Eisenbud D , Commutative algebra, Springer-Verlag [14] Matsumura H (1980), Commutative algebra, The Benjamin/ Cummings Pub- lishing company, INC [15] Matsumura H (1986), Commutative ring theory, Cambridge University Press [16] N § Minh (1995), "On the least degree of polynomials bounding above the differences between multiplicities and lengths of generalized fractions", Acta Mathematica Vietnamica [17] Northcott D R (1968), Lessons on rings, modules and multiplicities, Cam- bridge at the University Press [18] Schenzel P (1985), "On the dimension filtration and Cohen-Macaulay filtered modules" In: Proc of Ferrara meiting in homour of Mario Fiorentini, University of Antwerp Wilrijk, Belgium, 245-264 [19] Sharp R Y (1986), Commutative ring , Cambridge University Press [20] N V Trung (1982), "The theory of d-sequences and powers of ideal", Ad- vances in Mathematics 46, 249-279 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com lời cảm ơn Luận văn đ-ợc thực nhờ h-ớng dẫn khoa học tận tâm nghiêm khắc PGS.TS Nguyễn Đức Minh - Tr-ờng Đại học Quy Nhơn Tác giả xin bày tỏ kính trọng lòng biết ơn chân thành Thầy, ng-ời đà giúp đỡ tài liệu h-ớng dẫn tận tình giúp tác giả nhiều điều nghiên cứu khoa học động viên tác giả v-ợt qua khó khăn để hoàn thành khoá học luận văn Cho phép tác giả bày tỏ lòng biết ơn tất quý thầy, cô Ban lÃnh đạo Tr-ờng, Khoa Toán, Phòng đào tạo Đại học Sau đại học Tr-ờng Đại Học Quy Nhơn; Xin chân thành cảm ơn lÃnh đạo Sở Giáo dục - Đào tạo Bình Định, Ban giám hiệu tËp thĨ s- ph¹m cđa tr-êng THPT Ngun Trung Trùc, học viên lớp Cao học Toán khoá VII, VIII bạn bè đà giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt thời gian học tập hoàn thành luận văn Cuối cùng, tác giả xúc động chân thành cảm ơn tình cảm thân th-ơng bố, mẹ, vợ anh chị em gia đình đà gần gũi, động viên tác giả thực thành công -ớc nguyện thân Tác giả Trần Ngọc Anh LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ... Cho (R, m) vành giao hoán Noether địa ph-ơng M = môđun hữu hạn sinh Khi depth(M) dim(R/p) víi mäi p ∈ Ass(M) Bỉ ®Ị 1.3.7 Cho (R, m) vành giao hoán Noether địa ph-ơng, M môđun hữu hạn sinh (a1... Định nghĩa 1.3.8 Cho (R, m) vành giao hoán Noether địa ph-ơng M môđun hữu hạn sinh Một R-môđun M đ-ợc gọi môđun Cohen- Macaulay nÕu M = hc dimM = depthM Vành R đ-ợc gọi vành Cohen-Macaulay R-môđun... Định lý 1.3.4 Cho R vành Noether, M R-môđun hữu hạn sinh I iđêan cho IM = M Với số nguyên d-ơng n ta có mệnh đề sau t-ơng đ-ơng: i) ExtiR (N, M) = với i < n với R-môđun hữu hạn sinh N mµ Supp(N