PhÇn V: KÕt luËn Bµi to¸n t×m GTLN,NN nãi chung vµ bµi to¸n t×m GTLN,NN cña hµm nhiÒu biến nói riêng là dạng toán tương đối khó nhưng lại xuất hiện thường xuyên trong các đề thi đại học [r]
(1)S¸ng kiÕn kinh nghiÖm thao giảng cụm Gi¸o viªn:TrÇn V¨n HuÊn Phần I: Đặt vấn đề Trong chương trình THPT bài toán tìm giá trị lớn nhỏ hàm số nhiều biến là dạng toán khó Dạng toán này có nhiều các đề thi các lớp phổ thông và đặc biệt là các bài toán hay và khó các đề thi đại học.Làm nào để học sinh có thể tìm tòi khám phá để đưa bài toán khảo sát bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ dạng đây là vấn đề suy nghĩ trăn trở đối víi chóng t«i Vì tôi viết nội dung này cùng trao đổi thêm cách dạy, cách định hướng gióp c¸c em cã thÓ gi¶i tèt c¸c bµi to¸n t×m GTLN,NN cña hµm sè cã tõ hai biÕn sè trở lên mà không coi đó là dạng bài tập quá khó Néi dung bµi viÕt gåm I/ Đặt vấn đề II/Néi dung III/BiÖn ph¸p thùc hiÖn IV/KÕt qu¶ V/KÕt luËn Tuy thân đã cố gắng song không tránh khỏi thiếu sót.Tôi mong góp ý các quý thầy cô để sáng kiến kinh nghiệm mình hoµn thiÖn h¬n! Th¸i Phóc ngµy 20/07/2012 Gi¸o viªn TrÇn V¨n HuÊn Trường THPT Thái Phúc Lop12.net -3- (2) S¸ng kiÕn kinh nghiÖm thao giảng cụm Gi¸o viªn:TrÇn V¨n HuÊn PhÇn II:Néi dung S¸ng kiÕn kinh nghiÖm Phương pháp quy biến các bài toán t×m GTLN,NN chøa nhiÒu biÕn VÝ dô 1:( §Ò thi ®h GTVT -2000):T×m GTNN cña hàm sè: f(x,y)=(x-2y+1) +(2x+my+5) Tìm tòi,định hướng lời giải: -Em cã nhËn xÐt g× vÒ dÊu cña f(x,y)(f(x,y) 0) -Vậy f(x,y)=0 nào?Suy dẫn đến hệ?Để tồn (x,y) cho f(x,y)=0 thì hệ có đk gì?Từ đó suy giá trị m,suy GTNN f? -Khi f(x,y)>0 tương đương với hệ nào vô nghiệm, tương đương với m ?Khi đó đặt t=x-2y+1 th× F(t) cã GTNN lµ bao nhiªu? Bài gi¶i: Th1: (x ,y ) cho f(x ,y )=0 x y 1 Cã nghiÖm m -4 2 x my 5 Khi đó f =0 Th2:Không (x ,y ) để f(x ,y )=0 m=-4 Ta cã f(x,y) = (x-2y+1) +(2x+my+5) >0 (x,y) t=x-2y+1 f(x,y)=F(t)=5t +12t+9 x-2y-11/5=0 KL: +)NÕu m -4 th× fmin=0 +)NÕu m=-4 th× fmin=9/5 x-2y-11/5=0 Ví dụ 2:( Đề thi đh khối B-2008):Cho số thực x,y thay đổi thỏa mãn hệ thức x +y =1.T×m GTLN,NN cña biÓu thøc 2( x xy ) P= xy y Tìm tòi,định hướng lời giải: -Em cã nhËn xÐt g× vÒ gi¸ trÞ cña P y=0 -Khi y 0,đặt x=ty thì P(t)=? -Em hãy tìm TGT P,từ đó suy Pmax,Pmin? Lêi gi¶i: -NÕu y=0 tõ gi¶ thiÕt ta cã x =1 suy P=2 -Nếu y đặt x=ty(t Z) suy P= 2t 12t t 2t (t +2t+3=(t+1) +2>0 t) (P-2)t +2(P-6)t+3P=0(1) +)NÕu P=2 suy t= +)NÕu P suy (1) cã nghiÖm ' -2P -6P+36 -6 P Trường THPT Thái Phúc Lop12.net -4- (3) S¸ng kiÕn kinh nghiÖm thao giảng cụm Gi¸o viªn:TrÇn V¨n HuÊn 3 ;y= ) hoÆc (x=;y=) 10 10 10 10 3 Pmin =-6 (x=;y= ) hoÆc (x= ;y=) 13 13 13 13 Ví dụ 3: ( Cao đẳng Khối A, B – 2008 ) Cho x, y là số thực thỏa mãn x y VËy Pmax =3 (x= T×m gi¸ trÞ LN,NN cña biÓu thøc: P=2(x +y )-3xy Tìm tòi,định hướng lời giải: -T×m mèi liªn hÖ gi÷a gi¶ thiÕt vµ kÕt luËn? -Ta nghĩ tới các đẳng thức nào?(x +y =(x+y) -2xy;x +y =(x+y) (x xy+y ) -Biến đổi P xuất hiên giả thiết và quy biến?(Dẫn đến P=2(x+y)(2-xy)3xy,từ gt suy xy=?Đặt t=x+y thì P=?) -Tõ b®t x +y ( x y) th× t thuéc ®o¹n? Lêi gi¶i Ta cã : P 2( x y )( x xy y ) xy = 2( x y )(2 xy ) xy ( x y)2 , Vậy đặt t x y thì: t2 t2 P(t ) 2t (2 )3 t t 6t 2 2 ( x y) ( x y ) 2 t Ta cã x y P(t ) t t 6t víi 2 t XÐt hàm sè 2 Ta cã P '(t ) 3t 3t t P '(t ) t 2 Ta cã : xy Ta cã b¶ng biÕn thiªn nh sau : t -2 + P’(t) - 13 P(t) -7 VËy P(t ) P(2) 7 x y 1 2;2 1 1 x ;y 13 2 max P(t ) P(1) 2;2 1 1 ;y x 2 Trường THPT Thái Phúc Lop12.net -5- (4) S¸ng kiÕn kinh nghiÖm thao giảng cụm Gi¸o viªn:TrÇn V¨n HuÊn VÝ dô 4: (§H Khèi D – 2009 )Cho x 0, y và x y T×m GTLN,NN cña biÓu thøc sau: S (4 x y )(4 y x) 25 xy Hoạt động tìm tòi khám phá: - Tõ gi¶thiÕt x y cã thÓ ®a vÒ bµi to¸n mét Èn kh«ng ? - Biến đổi S làm xuất x y để sử dụng giả thiết -Chú ý các đẳng thức : x y ( x y ) xy x3 y ( x y )( x xy y ) Sau khai triÓn S vµ thÕ x y ta cã : S 16 x y xy 12 - Sau đó đặt : t xy để đưa S biến -Đánh giá biến t bất đẳng thức : xy ( x y)2 Lêi gi¶i Ta cã : S (4 x y )(4 y 3x) 25 xy 16 x y 12( x3 y ) 34 xy 16 x y 12( x y )( x xy y ) 34 xy 16 x y 12[( x y ) xy ] 34 xy, x y 16 x y xy 12 ( x y)2 1 0t §Æt t xy Do x 0; y nªn xy 4 XÐt hàm sè f (t ) 16t 2t 12 víi t Ta cã f '(t ) 32t f '(t ) t 16 B¶ng biÕn thiªn t f’(t) 16 - + 25 12 f(t) 191 16 VËy : 2 2 2 2 191 x ;y x ;y f (t ) f ( ) 1 4 4 16 16 0; 4 1 25 x y max f (t ) f ( ) 1 0; 4 Trường THPT Thái Phúc Lop12.net -6- (5) S¸ng kiÕn kinh nghiÖm thao giảng cụm Gi¸o viªn:TrÇn V¨n HuÊn VÝ dô ( §H Khèi B – 2009) T×m GTLN,NN cña biÓu thøc: A 3( x y x y ) 2( x y ) Víi x, y là c¸c sè thùc tháa m·n ®iÒu kiÖn: ( x y )3 xy Hoạt động tìm tòi khám phá: -Vì giả thiết là biểu thức khá phức tạp nên ta khai thác nó trước cho gọn để sử dụng dễ dàng hơn,ta cần lưu ý đẳng thức : x y ( x y ) xy x3 y ( x y )( x xy y ) -Và ( x y )2 xy Khi đó điều kiện bài toán trở thành : x y Ta biến đổi A sau : A 3( x y x y ) 2( x y ) 3 ( x y ) ( x y ) 2( x y ) 2 3( x y ) 2( x y ) ( x y )2 ( x y )2 ( x y ) Hay A ( x y )2 2( x y ) - Vì ta có thể nghĩ đến đưa A biến cách đặt t x y - Tìm điều kiện t ta sử dụng bất đẳng thức x y ( x y)2 Lêi gi¶i Ta lu«n cã : ( x y )2 xy ,nªn suy : ( x y )3 xy ( x y )3 ( x y ) ( x y )3 xy ( x y )3 ( x y ) ( x y ) 1 ( x y ) ( x y ) ( x y) Do ( x y ) ( x y ) ( x y ) 0, x, y 2 Bài toán dẫn đến tìm max biểu thức: A 3( x y x y ) 2( x y ) Víi x, y tháa m·n x y Ta cã : A 3( x y x y ) 2( x y ) 3 ( x y ) ( x y ) 2( x y ) 2 3( x y ) ( x y )2 2( x y ) Trường THPT Thái Phúc Lop12.net -7- (6) S¸ng kiÕn kinh nghiÖm thao giảng cụm Gi¸o viªn:TrÇn V¨n HuÊn ( x y ( x y )2 ) 2 Hay A ( x y )2 2( x y ) ( x y)2 ( x y ) nªn x y 2 §Æt t x y Ta cã hàm sè f (t ) t 2t víi t f '(t ) t 2 f '(t ) t Víi x y Ta cã BBT: t + f '(t ) f (t ) 16 1 t VËy f (t ) f ( ) 2 16 t 9 MÆt kh¸c, ta dÔ thÊy x y th× A 16 16 KÕt luËn : A x y và kh«ng cã gi¸ trÞ lín nhÊt 16 Suy A Ví dụ 6: (ĐH Khối A- 2006) Cho hai số thực x, y thay đổi thỏa mãn điều kiện ( x y ) xy x y xy T×m GTLN cña biÓu thøc: A 1 x3 y Lêi gi¶i: 1 x3 y ( x y )( x xy y ) x y 1 A 3 ( ) ( )2 3 x y x y x y xy x y 2 §Æt x ty Tõ gi¶ thiÕt ta cã ( x y ) xy x y xy (t 1)ty (t t 1) y t2 t 1 t2 t 1 ; x ty Do đó y t t t 1 2 1 t 2t VËy A x y t t 1 t 2t 3t XÐt hµm sè f (t ) f '(t ) t t 1 t t 1 Trường THPT Thái Phúc Lop12.net -8- (7) S¸ng kiÕn kinh nghiÖm thao giảng cụm Gi¸o viªn:TrÇn V¨n HuÊn LËp b¶ng biÕn thiªn ta t×m ®îc GTLN cña A lµ: 16 x y Ví dụ (ĐH Khối B- 2011)Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn 2(a b ) ab (a b)(ab 2) T×m GTLN cña biÓu thøc : a b3 a b P 4 9 a b a b Lêi gi¶i: Tõ gi¶ thiÕt ta cã: 2(a b ) ab (a b)(ab 2) 2(a b ) ab a 2b ab 2(a b) a b ( a b) a b b a a b 1 1 ( a b) b a a b ¸p dông b®t c«-si ta cã: 1 1 1 1 a b (a b) 2(a b) 2 a b a b b a a b a b a b Suy ra: 2 b a b a b a a b b , t Ta ®îc : P 4(t 3t ) 9(t 2) 4t 9t 12t 18 a XÐt hàm sè: f (t ) 4t 9t 12t 18 f '(t ) 6(2t 3t 2) 0, t 23 5 Suy f (t ) f 5 2 ; §Æt t 2 VËy P 1 23 a b đạt và và a b b a a b (a; b) (2;1) hoÆc (a; b) (1; 2) VÝ dô 8:( §Ò thi ®h khèi D-2012)Cho c¸c sè thùc x,y tháa m·n (x-4) +(y-4) +2xy 32.T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A=x +y +3(xy-1)(x+y-2) Bài gi¶i: +)Ta cã (x-4) +(y-4) +2xy 32 (x+y) -8(x+y) x+y +)Mà 4xy (x+y) -6xy - (x+y) 2 Ta cã A=x +y +3(xy-1)(x+y-2)=(x+y) -6xy-3(x+y)+6 Suy A (x+y) - (x+y) -3(x+y)+6 Trường THPT Thái Phúc Lop12.net -9- (8) S¸ng kiÕn kinh nghiÖm thao giảng cụm §Æt t=x+y(0 t 8).XÐt hµm sè f(t)=t Ta cã f'(t)=0 t= t -3t+6 f'(t)=3t -3t-3 1 Mà f(0)=6;f(8)=398;f( Víi Amin= Gi¸o viªn:TrÇn V¨n HuÊn 1 17 5 )= 17 5 1 x=y= 4 VÝ dô 9: (§Ò thi khèi B-2012) :Cho c¸c sè thùc x,y,z cho x+y+z=0 và x +y +z =1.T×m GTLN cña biÓu thøc P=x +y +z Hoạt động tìm tòi khám phá: -Từ giả thiết biến đổi theo x+y và xy? -Biến đổi P thành x+y và xy,đặt t=x+y cùng với giả thiết để đưa P biến -Điều kiện t đánh giá từ bất đẳng thức (x+y) 4xy Bài gi¶i: Ta cã z=-(x+y) suy x +y +(x+y) =1 x +y +xy= (x+y) -xy= §Æt t=x+y suy xy=t - 2 V× (x+y) 4xy t 4(t - 2 t )t 3 3 Mµ P=x +y -(x+y) =-(5x y+10x y +x y +5xy ) =-5xy(x +2x y+2xy +y )=-5xy(x+y)(x +xy+y ) =- 5 t(t - )=- t + t 2 Dùng đạo hàm tìm GTLN f(t)= - 5 t + t trªn ®o¹n 2 ; ta t×m ®îc Pmax= 3 36 Trường THPT Thái Phúc Lop12.net - 10 - (9) S¸ng kiÕn kinh nghiÖm thao giảng cụm Gi¸o viªn:TrÇn V¨n HuÊn PhÇn III: BiÖn ph¸p thùc hiÖn - Trao đổi thông qua sinh hoạt 15 phút - D¹y c¸c tiÕt bµi tËp - Th«ng qua b¸o b¶ng víi chuyªn môc “T×m GTLN,NN víi bµi to¸n nhiÒu biÕn” - Ngo¹i khãa - D¹y vµo tiÕt tù chän PhÇn IV: kÕt qu¶ Trong quá trình giảng dạy tôi đã lồng ghép vào kiểm tra lên bảng, đưa số bài tương tự vào kiểm tra tiết tôi thấy có 50% các em làm tương đối tốt dạng toán này lớp Toán, Lý, Hóa.Còn lại có khoảng 20% làm đúng hướng biến đổi thiếu chặt chẽ biến đổi sai PhÇn V: KÕt luËn Bµi to¸n t×m GTLN,NN nãi chung vµ bµi to¸n t×m GTLN,NN cña hµm nhiÒu biến nói riêng là dạng toán tương đối khó lại xuất thường xuyên các đề thi đại học năm gần đây.Phương pháp đưa bài toán nhiều biến biến giúp các em xác định lời giải tốt ta đưa đươc bài toán tìm GTLN,NN dạng bản.Tôi chân thành cảm ơn các thầy cô giáo đã tham khảo và mong đóng góp ý kiến quý thầy cô./ Trường THPT Thái Phúc Lop12.net - 11 - (10)