Sáng Kiến Kinh Nghiệm Giải Pháp Chứng Minh Đẳng Thức Trong Chương Trình Toán THCS

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: ĐỀ TÀI GIẢI PHÁP CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN THCS A/ ĐẶT VẤN ĐỀ : 1/ Thực Trạng: Trong chương trình tốn THCS bồi dưỡng học sinh giỏi cấp II, giải bất phương trình (BPT) chứng minh bất đẳng thức(BĐT) chuyên đề quan trọng Thơng qua chứng minh bất đẳng thức ta ôn lại cho học sinh nhiều kiến thức tính tốn, biến đổi, rút gọn tập hợp Q Chứng minh bất đẳng thức giải bất phương trình, học sinh ngồi việc rèn luyện kĩ tính tốn, biến đổi, học sinh cịn nâng cao mặt tư lôgic, lập luận vấn đề chặt chẽ, rèn luyện khả sáng tạo Có thể nói phương pháp chứng minh bất đẳng thức đa dạng tổng hợp phương pháp lập luận, biến đổi để chứng minh ñược vấn đề cấp học, nên số học sinh ngại việc chứng minh bất đẳng thức số học sinh tỏ chán nản phân mơn Qua thời gian tìm tịi nghiên cứu ,trao đổi với anh em đồng nghiệp tổ Tốn tơi lần tìm số ngun nhân dẫn đến việc khơng làm tốn chứng minh bất đẳng thức v gỉai BPT 2/ Nguyên Nhân: - Các em chưa thấy rõ vai trò ,vị trí nhiệm vụ,mục tiêu việc học mơn Toán - Bản thân bị bản, kiến thức cũ không nắm - Chưa tập trung học, chưa biết liên hệ kiến thức liên quan B/ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ: Để giúp học sinh làm thành thạo bước chứng minh bất đẳng thức giải BPT, xin nêu số dạng chứng minh số phương pháp giải gần gũi với học sinh cấp II Cơng cụ tốn học chứng minh bất đẳng thức phù hợp với đối tượng học sinh cấp II Cái quan trọng yêu cầu học sinh phải có lập luận chặt chẽ, phải biết xét đầy đủ khía cạnh, trường hợp cụ thể vấn đề Đặc biệt sáng tạo chứng minh bất đẳng thức, biết đặc biệt hoá, tổng qt hố vấn đề cần thiết Trong đề tài naøy chủ yếu đưa loại tập qua ví dụ cụ thể từ hình thành kĩ năng, phương pháp giải chứng minh Hệ thống tập vân dụng giúp học sinh có điều kiện hoàn thiện phương pháp giải chứng minh đặc biệt có điều kiện để rèn luyện khả sáng tạo I Các phương pháp chứng minh: Chứng minh cách biến đổi đồng Chứng minh cách sử dụng đẳng thức Chứng minh dựa vào dãy tỉ số Chứng minh phương pháp quy nạp Một số sai lầm trong chứng minh quy nạp toán học: -Thiếu bước chứng minh -Sai lầm sử dụng nguyên lí II Một số ví dụ tập 1.Chứng minh cách biến đổi đồng Bài 1: Cho phân số a− x a x a a = = Chứng minh có y b b− y b b Chứng minh: Ta có : a− x a = b− y b ⇒ (a – x ).b = (b – y ) a ⇒ ab – x b = ab – a y ⇒ bx = ay hay x a = y b Bài 2: Cho ab – ac + bc – c2 = - với a,b,c ∈ Z Chứng minh : a + b = Chứng minh: Ta có : ab – ac + bc – c2 = - (ab – ac ) + (bc – c2) = - a(b – c )+ c(b – c ) = -1 (b – c )(a + c) = -1 a + c = −1 a + c = Vì a, b, c nguyên nên:   b − c = − b − c = ⇒ a + b = (ĐPCM) Bài 3: Cho a c a c d b − = (1) Chứng minh rằng: = − c a b d b d Chứng minh: Ta có : a c ad − bc − = b d bd (2) Từ (1) ⇒ ad − bc =1 ac ⇒ ad – bc = ac (3) a c ac ac Thay (3) vào (2) : − = = (ĐPCM) b d bd bd Bài 4: Cho số a, b, c, x , y , z thoả mãn điều kiện Chứng minh : x y z = = a b c bz − cy cx − az ay − bx = = a b c Chứng minh: Đặt x y z = = = k x = ak ; y = bk ; z = ck a b c bz − cy bck − bck = =0 a a (1) cz − bay ack − ack = =0 b b (2) ay −bx bak −bak = =0 c c (3) Từ (1),(2),(3) ⇒ bz − cy cx − az ay − bx = = a b c Chứng minh cách hốn vị vịng quanh: Sử dụng phương pháp với biểu thức chứa nhiều biến số mà hốn vị vịng quanh biến số khơng làm thay đổi biểu thức Ví dụ : Chứng minh rằng: a− b b− c c− a 2 + + + + = (c − a)(c − b) (a − b)(a − c) (b − c)(b − a) a − b b − c c − a Nhận xét: Ta thay a b ; b c; c a Ta cần biến đổi thành phần biểu thức kết tập khác suy từ phép biến đổi vịng quanh Ta có: ( a − c ) + (c − b ) a−b 1 = = + (1) (c − a)(c − b) (c − a)(c − b) b− c c− a Thay a = b; b =c ; c = a vào thành phần cịn lại ta có: b−c 1 = + (2) (a − b)(a − c) a−b a−c c−a 1 = + (3) (b − c )(b − a ) a−b b−c Cộng vế đẳng thức (1), (2),(3) ⇒ VT = 2 + + = VP a−b b− c c− a (ĐPCM) Bài tập : 1)Chứng minh ; mn m + n + m+n = m + n − m+n 2) Cho x, y hai số khác , thoả mãn điều kiện: 9x(x – y ) – 10 (y – x )2 = Chứng minh rằng: x = 10 y Chứng minh cách sử dụng đẳng thức: Kiến thức bản: Các đẳng thức đáng nhớ: 1, (a + b )2 = a2 + 2ab + b2 2, (a – b )2 = a2 - 2ab + b2 3, (a – b )(a + b) = a2 – b2 4, (a + b)3 = a3 + a2b + ab2 + b3 (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab (a + b) 5, (a – b )3 = a3 – 3a2b + ab2 – b3 (a – b )3 = a3 – b3 – 3ab (a – b ) 6, (a – b )(a2 + ab + b2) = a3 – b3 7, (a + b)(a2 – ab + b2) = a3 + b3 Ta có : (a + b + c )2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac Tổng quát đẳng thức 7, ta có đẳng thức: 8, an – bn = (a – b )(an-1 + an-2b + an-3b2 +…+ abn-2 + bn-1 ) với số nguyên dương n Tổng quát đẳng thức 6, ta có đẳng thức 9,an + bn = (a + b )(an-1 – an-2b + an-3b2 – … – abn-2 + bn-1 ) với số lẻ n Tổng quát đẳng thức 1,2,4,5 ta có cơng thức Niu-tơn (a + b )n = an + c1an-1b + c2an-2b2 + c3an-3b3 + .+ cn-1abn-1 + bn Trong đa thức vế phải đa thức có n + hạng tử, bậc hạng tử tập hợp biến a, b n Bài 1: Cho : a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca (1) Chứng minh rằng: a = b = c Chứng minh: Nhân hai vế biểu thức (1) với số ta có: 2a2 + 2b2 + 2c2 = 2ab + 2bc + 2ca ⇔ 2a2 + 2b2 + 2c2 – 2ab – 2bc – 2ac = ⇔ ( a2 – ab + b2) + (b2 – 2bc + c2 ) + (c2 – 2ac + a2) = ⇔ (a – b )2 + (b – c )2 + (c – a)2 = Vì (a – b )2 ≥0; (b – c )2 ≥0 ; (1) (c – a)2 ≥0 Nên từ (1) ⇒ a – b = b – c = c – a = Hay a = b = c Bài 2: Cho a + b + c = 2p Chứng minh : a , a2 + b2 – c + 2bc = (p – b )(p – c ) b , p2 + (p – a )2 + (p – b )2 + (p – c )2 = a2 + b2 +c2 Chứng minh: a, Ta có : VT = a2 + b2 – c2 + 2bc = a2 – ( b2 + c2 – 2bc ) = a2 – (b – c )2 = (a – b + c)(a+ b – c ) = (2p – 2b )(2p – 2c) = (p – b )(p – c )= VP b, Ta có: VT = p2 + (p – a )2 + (p – b )2 + (p – c )2 = p2 + (p2 – 2ap + a2) + (p2 – 2pb + b2 ) + (p2 – 2pc + c2) = 4p2 + a2 + b2 + c2 – 2p(a + b + c) = 4p2 + a2 + b2 + c2 – 2p 2p = a2 + b2 + c2 = VP Bài 3: Cho a + b + c = ; a2 + b2 + c2 = Chứng minh : a4 + b4 + c4 = Chứng minh: * Bình phương hai vế a2 + b2 + c2 = ta : a4 + b4 + c4 + 2(a2b2 + b2c2 + a2c2 ) = * Bình phương hai vế a + b + c = ta : a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = ⇒ ab + bc + ca = −1 ( a2 + b2 + c2 = ) * Bình phương đẳng thức ab + bc + ca = a2b2 + b2c2 + a2c2 + 2abc(a + b + c) = −1 ta được: ⇒ a2b2 + b2c2 + a2c2 = Vậy a4 + b4 + c4 + (vì a + b + c = ) 1 = ⇒ a4 + b4 + c4 = Bài 4: Chứng minh rằng: (x +y + z)3 – [ (x+y – z )3 +(x – y + z )3 + ( – x +y + z )3 ] = 24xyz Chứng minh: Đặt : A = x+y – z B= x–y +z C = – x +y + z ⇒ A + B + C = x +y + z Biến đổi vế trái: VT = (A + B + C )3 – ( A3 + B3+ C3) = (A + B + C )3 – A3 – B3 – C3 = 3(A2B + B2C + C2A + B2A + C2B + A2C + 2ABC) = [ (A2B +B2A ) +(B2C + ABC ) + (C2A + C2B) + (A2C + ABC ) ] = [ AB(A +B ) + BC(B + A ) +C2 (A + B) + AC(A + B) ] = (A +B )(AB + BC +C2 + AC ) = (A +B )(A + C)(B + C) = 24 xyz = VP (Đpcm) Bài 5: Giả sử x, y, z, a, b, c ≠0 a b c x y z + + = + + =1 x y z a b c x2 y2 z = + + a2 b2 c2 Chứng minh : x y z 2 + ) =1 a b c Vì x, y, z, a, b, c ≠0 ta có ( + Ta có: xy yz xz x2 y2 z + +2 + + +2 ab ac bc a b c =1 2 xy yz xz x y z ⇔ + + ) = (1) + + + 2( ab ac bc a b c Mặt khác: Hay a b c + + =0 x y z ayz + bxz + cyz =0 xyz ⇔ axy + bxz + cyz = (2)  cxy + bxz + ayz  x2 y2 z  = (3) (1) ⇔ + + +  abc a b c   Thế (2) vào (3) ta có x2 y2 z + + = (Đpcm) a2 b2 c2 Bài tập: 1) Cho a + b + c = Chứng minh rằng: a3 + b3 + c3 = abc 2)Cho (a + b )2 = (a2 +b2) Chứng minh : a = b Chứng minh dựa vào dãy tỉ số Bài 1: Cho số a, b , c , d thoả mãn điều kiện: a b c d = = = a + b +c +d ≠ 3b 3c 3d 3a Chứng tỏ rằng: a= b = c = d Chứng minh: Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: a+b+ c+ d a b c d = = = = = (vì a + b +c +d ≠ ) 3b 3c 3d 3a 3(b + c + d + a) a = ⇒ a = b (1) 3b b = ⇒ c = b (2) 3c c = ⇒ c = d (3) 3d d = ⇒ a = d (4) 3a Từ (1), (2), (3), (4) ⇒ a = b= c = d Bài 2: Chứng minh rằng: Nếu (Đpcm) a c p a c p ma + nc + ep = = = = = b d q mb + nd + eq b d q Chứng minh: Ta có : ⇒ a c p = = b d q ⇒ ma nc ep a c p = = = = = mb nd eq b d q ma + nc + ep a c p = = = (theo dãy tỉ số nhau) mb + nd + eq b d q Bài 3: Chứng minh rằng: a+b c+a ⇒ a2 = bc = a−b c−a Chứng minh: Ta có : a +b c+a = =k a −b c−a ⇒ a + b = k (a – b ) c + a = k (c – a ) ⇒ a( – k ) = – b (1 + k) a( – k ) = – a (1 + k) ⇒ a(1 − k ) − b(1 + k ) = − a (1 + k ) c(1 − k ) ⇒ a b = c a ⇒ a2 = bc (Đpcm) b c  b−c c−a a−b  a + + + +   = b c  b−c c−a a−b  a Bài 4: Chứng minh :  Nếu a + b + c = Chứng minh: Biến đổi vế trái: b c  b−c c−a a−b  a + + + +   b c  b−c c−a a−b  a VT =  =3+ * b(b − c) a (c − a ) c (c − a ) a ( a − b ) b ( a − b ) + + + + a (c − a ) b(b − c) b(a − b) c(b − c) c(c − a) b(b − c) b ( a − b)  b − c a − b  b +  + = a (c − a ) c (c − a )  a c  c−a b(bc − c + a − ab) = ac (c − a) = b(c − a )(bc − a) ac(c − a ) = b (b − c − a ) 2b = ac ac a (c − a ) a ( a − b) 2a * b(b − c) + c(b − c) = bc c(b − c) c (c − a ) 2c * a ( a − b) + b( a − b) = ab a2 b2 c2  a3 + b3 + c + + VT = +   = 3+ abc  bc ac ab  =3+2 a + b + c − 3abc + 3abc abc (a + b + c)(a + b + c − ab − bc − ca) =9+2 abc =9 (Vì a + b + c = 0) = VP 4.Chứng minh phương pháp quy nạp toán học (truy tốn) Lí thuyết bản: Bước 1: Thử với số trường hợp đơn giản Bước 2: Giả sử đẳng thức với n = k Bước 3: Ta phải chứng minh đẳng thức với n = k + Bài 1: Chứng minh rằng: Sn = + + + … + (2n-1) = n2 Chứng minh: Thử trực tiếp: Ta thấy S1 = S2 = 1+3 = 22 S3 = + + = …… Giả sử đẳng thức với n = k (k ≥ 1) Tức Sk = k2 (2) Ta cần chứng minh : Sk+1 = ( k +1 ) ( 3) ThËt vËy céng vÕ cđa ( 2) víi 2k +1 ta cã : + +5 + …+ (2k – ) + (2k + 1) = k2 + (2k +1) Vì k2 + (2k + 1) = (k + 1)2 Nên 1+ + + …+ (2k – 1) + (2k + 1) = (k +1)2 Theo ngun lí quy nạp tốn chứng minh Bài tập: Chứng minh toán sau phương pháp quy nạp 1) + + + + … + n = 2) 12 + 22 + …+ n2 = (n + 1)n n(n + 1)(2n + 1) n(n + 1)  3, +2 + + n =      3 4, 15 + 25 + …n5 = n (n + 1) ( 2n2 + 2n – ) 12 Song song với giải pháp trên, tơi cịn hướng dẫn em phương pháp tự học, tự nghiên cứu, nên tìm hieåu trước, tập trung học, tham gia đóng góp ý kiến xây dựng mới; giáo viên chuẩn bị giảng chu đáo, sử dụng phương pháp dạy học thích hợp nhằm nâng cao hiệu tiết dạy; đổi phương pháp dạy học, tăng cường trang thiết bị vào giảng dạy, sử dụng đồ dùng dạy học để tạo thêm hứng thú, kích thích lịng say mê học tập em, từ em ghi nhớ kiến thức lâu hơn, kiến thức liên tục chất lượng môn tốt KẾT QUẢ: Việc áp dụng giải pháp giúp học sinh biết cách chứng minh đẳng thức dạy học mơn Tốn cần thiết Nó giúp học sinh nhớ học lớp, nhờ em tiết kiệm thời gian để học nhiều môn khác, đồng thời em có thời gian để luyện tập nâng cao kỹ vận dụng kiến thức lý thuyết vào tập áp dụng kiến thức vào thực tiễn Áp dụng giải pháp giúp học sinh ghi nhớ cách chứng minh đẳng thức cịn tạo điều kiện để học sinh nắm kiến thức học cách lập luận chặt chẽ có lôgic giải toán Từ em thấy tự tin hơn, hứng thú học Tốn Nó cịn mang lại cho em tâm lý thoải mái, nhẹ nhàng tiếp thu kiến thức toán học Nhờ em nhớ kiến thức lâu hơn, chất lượng môn qua nâng cao KHẢ NĂNG VẬN DỤNG: Các cách giúp học sinh chứng minh đẳng thức dễ thực hiện, áp dụng rộng rãi cho đối tượng học sinh cấp THCS Tùy theo đối tượng học sinh mà giáo viên lựa chọn giải pháp để sử dụng cho phù hợp nhằm đem lại hiệu giáo dục cao KẾT QUAÛ THỰC TẾ: Sau vận dụng giải pháp trên, thân thu số kết khả quan Cụ thể số liệu sau: Kết năm học 2014 – 2015, chất lượng mơn đầu năm: Khối lớp có: 70 % học sinh trung bình 30% học sinh yếu Sau năm học, vận dụng giải pháp giúp học sinh biết cách chứng minh dẳng thức Thì kết qủa chất lượng mơn tốn cuối năm học 2014 – 2015 sau: Khối lớp có : 85 % học sinh trung bình 15% học sinh yếu, học sinh đạt loại C/ BÀI HỌC KINH NGHIỆM: Qua trình thực hiện, thân nhận kết tương đối khả quan, bên cạnh cịn phận học sinh chưa biết cách chứng minh đẳng thức tốt dẫn đến kết học tập chưa cao Nhưng thân hy vọng với cố gắng, cộng với lòng yêu nghề, yêu thương học sinh chắn kết học tập em ngày tốt hơn./ Trường Xuân B, ngày 01 tháng năm 2015 DUYỆT BGH Người viết Huỳnh Văn Hiệp Sở GD- ĐT TP Cần Thơ Trường THCS-THPT T Xuân SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI GIẢI PHÁP CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN THCS GiáoViên : HUỲNH VĂN HIỆP ... thiện phương pháp giải chứng minh đặc biệt có điều kiện để rèn luyện khả sáng tạo I Các phương pháp chứng minh: Chứng minh cách biến đổi đồng Chứng minh cách sử dụng đẳng thức Chứng minh dựa vào... viết Huỳnh Văn Hiệp Sở GD- ĐT TP Cần Thơ Trường THCS- THPT T Xuân SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI GIẢI PHÁP CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN THCS GiáoViên : HUỲNH VĂN HIỆP  ... cao kỹ vận dụng kiến thức lý thuyết vào tập áp dụng kiến thức vào thực tiễn Áp dụng giải pháp giúp học sinh ghi nhớ cách chứng minh đẳng thức cịn tạo điều kiện để học sinh nắm kiến thức học vaø