Luận văn thạc sĩ về kiểu đa thức dạy của mô đun hữu hạn sinh trên vành noether địa phương

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM NGUYỄN THỊ HUYỀN THƢƠNG VỀ KIỂU ĐA THỨC DÃY CỦA MÔĐUN HỮU HẠN SINH TRÊN VÀNH NOETHER ĐỊA PHƢƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2020 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM NGUYỄN THỊ HUYỀN THƢƠNG VỀ KIỂU ĐA THỨC DÃY CỦA MÔĐUN HỮU HẠN SINH TRÊN VÀNH NOETHER ĐỊA PHƢƠNG Ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Cán h khoa học: GS.TS Lê Thị Thanh Nhàn THÁI NGUYÊN - 2020 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan kết nghiên cứu luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực luận văn cảm ơn thông tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Thái Nguyên, tháng 09 năm 2020 Tác giả Nguyễn Thị Huyền Thƣơng i Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tụy Cô giáo, GS TS Lê Thị Thanh Nhàn Tôi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới tồn thể thầy giáo khoa Tốn, Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên dạy bảo, tạo điều kiện thuận lợi cho suốt trình học tập khoa Nhân dịp tơi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè động viên, giúp đỡ suốt trình học tập thực luận văn tốt nghiệp Thái Nguyên, tháng 09 năm 2020 Tác giả Nguyễn Thị Huyền Thƣơng ii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Mở đầu Chƣơng Kiểu đa thức môđun 1.1 Chiều độ sâu môđun 1.2 Môđun đối đồng điều địa phương 1.3 Vành môđun Cohen – Macaulay 11 1.4 Kiểu đa thức môđun 20 Chƣơng Kiểu đa thức dãy môđun 29 2.1 Lọc chiều môđun 29 2.2 Vành môđun Cohen – Macaulay dãy 34 2.3 Kiểu đa thức dãy môđun 38 2.4 Kiểu đa thức dãy qua đầy đủ địa phương hóa 44 Kết luận 49 Tài liệu tham khảo 50 iii Mðƒu Cho (R; m) l v nh Noether àa ph÷ìng, M l R-mỉ un hœu h⁄n sinh vỵi dim(M) = d Ta luæn câ dim R(M) depthR(M): N‚u dimR(M) = depthR(M) th… ta nâi M l Cohen-Macaulay Lỵp mỉ un Cohen-Macaulay õng vai trặ trung tƠm i s giao hoĂn v xuĐt hiằn nhiãu lắnh vỹc khĂc ca ToĂn hồc Lợp mổ un n y  ữổc c trững thổng qua nhng lỵ thuyt quen bit nhữ a phữỡng hõa, y hõa, s bi, i ỗng iãu a phữỡng phƠn loi cĐu trúc ca cĂc mổ un hu hn sinh trản v nh a phữỡng, N T Cuong [3] nôm 1992  giợi thiằu khĂi niằm kiu a thức ca mổ un M, kỵ hiằu l p(M), thæng qua c¡c hi»u sŁ giœa º d i v sŁ bºi øng vỵi lơy thła cıa c¡c phƒn tß cıa mºt h» tham sŁ cıa M N‚u ta quy ữợc bc ca a thức l th M l Cohen-Macaulay v ch¿ p(M) = Khi M khỉng l Cohen-Macaulay, p(M) ÷ỉc xem l kho£ng cĂch t M n lợp mổ un Cohen-Macaulay Theo nghắa n o õ, p(M) c ng lợn th cĐu trúc ca M c ng xa vợi cĐu trúc ca mổ un Cohen-Macaulay Mºt t‰nh ch§t quan trång cıa mỉ un Cohen-Macaulay l tnh chĐt khổng trn lÔn Cử th, nu M l Cohen-Macaulay th… dim(R=p) = d vỵi måi p AssR(M) nghiản cứu cĂc mổ un trn lÔn M, ngữới ta xt n lồc chiãu ca M, õ l d¢y c¡c mỉ un fD ig; â D0 = M v Di l mỉ un lỵn nhĐt ca M cõ chiãu nhọ hỡn dim R(Di 1) vợi mồi i Ta nõi M l Cohen-Macaulay dÂy nu mỉi thữỡng Di 1=Di l Cohen-Macaulay Rê r ng mØi mæ un M l Cohen-Macaulay n‚u v ch¿ n‚u M l mỉ un Cohen-Macaulay d¢y v M l lồc chiãu ca M KhĂi niằm mổ un Cohen-Macaulay dÂy ln u ữổc giợi thiằu bi R Stanley nôm 1996 cho c¡c mỉ un hœu h⁄n sinh ph¥n b“c, sau õ ữổc nghiản cứu bi P Schenzel [10] v N T Cuong, L.T Nhan [4] cho tr÷íng hỉp mỉ un hu hn sinh trản v nh a phữỡng m rºng kh¡i ni»m ki”u a thøc mºt c¡ch tü nhi¶n, n«m 2016, L T Nhan, T D Dung v T D M Chau [8]  nh nghắa kiu a thức dÂy ca M, kỵ hiằu l sp(M), l s lợn nhĐt cĂc kiu a thức p(Di 1=Di) Rê r ng, M l Cohen-Macaulay d¢y v ch¿ sp(M) = Khi M khổng l Cohen-Macaulay dÂy, sp(M) ữổc xem nh÷ l kho£ng c¡ch tł mỉ un M ‚n lợp mổ un Cohen-Macaulay dÂy Mửc ch ca lun vôn l nghiản cứu kiu a thức dÂy ca mổ un hu hn sinh trản v nh Noether a phữỡng Trong lu“n v«n n y, chóng tỉi tr…nh b y chi ti‚t mºt sŁ k‚t qu£ b i b¡o [8]: A measure of non-sequential Cohen-Macaulayness of finitely generated modules, J Algebra, 468 (2016), 275-295 ” ti»n theo dªi v Łi s¡nh, lu“n v«n cơng tr…nh b y chi ti‚t c¡c k‚t qu£ v• ki”u a thøc b i b¡o cıa N T Cuong [3] Trong suŁt lu“n v«n, b¶n c⁄nh c¡c kh¡i ni»m v k‚t qu£, t¡c gi£ ca lun vôn ữa nhiãu v dử minh hồa cử th Lun vôn gỗm chữỡng Chữỡng trnh b y ki”u a thøc cıa mæ un Trong c¡c ti‚t ƒu cıa Ch÷ìng 1, chóng tỉi nh›c l⁄i ki‚n thức cn thit vã chiãu, sƠu, mổ un i ỗng iãu a phữỡng Tit 1.4 d nh l m rê cĐu trúc ca mổ un Cohen-Macaulay v cĂc mổ un liản quan Tit 1.5 giợi thiằu khĂi niằm kiu a thức v cĂc kt quÊ Â bit vã ki”u a thøc b i b¡o cıa N T Cuong [3] Ch÷ìng l nºi dung ch‰nh cıa lu“n vôn, trnh b y kiu a thức dÂy ca mổ un Ti‚t 2.1 b n v• låc chi•u cıa mỉ un Ti‚t 2.2 tr…nh b y kh¡i ni»m mæ un Cohen-Macaulay dÂy v cĂc tnh chĐt ca mổ un n y Ti‚t 2.3 giỵi thi»u kh¡i ni»m ki”u a thøc dÂy v cĂc kt quÊ vã kiu a thức dÂy b i b¡o [8] Ch÷ìng Ki”u a thức ca mổ un Mửc tiảu ca chữỡng n y l tr…nh b y kh¡i ni»m ki”u a thøc cıa mổ un ữổc giợi thiằu bi N T Cuong [3] v c¡c t‰nh ch§t cıa ki”u a thøc mŁi liản hằ vợi chiãu ca ỗng iãu a phữỡng ca mổ un õ 1.1 Chiãu v sƠu ca mổ un Trong suŁt ti‚t n y, cho R l v nh giao ho¡n Noether v M l R-mæ un hœu hn sinh tiằn theo dêi, trữợc trnh b y kh¡i ni»m v nh v mỉ un Cohen-Macaulay, chóng ta nh›c l⁄i mºt sŁ kh¡i ni»m v t‰nh ch§t vã chiãu, sƠu KhĂi niằm chiãu Krull sau Ơy ÷ỉc ành ngh¾a cho c¡c v nh giao ho¡n Noether v c¡c mỉ un hœu h⁄n sinh tr¶n v nh giao ho¡n Noether (khỉng nh§t thi‚t l v nh àa ph÷ìng) °t Ann R(M) = fx R j xM = 0g Khi â AnnR(M) l i ¶an cıa R: nh nghắa 1.1.1 Mt dÂy cĂc i ảan nguyản t p p1 pn cıa R, â pi 6= pi+1 vợi mồi i, ữổc gồi l mt dÂy nguyản tŁ º d i n Chi•u Krull cıa R (gåi tt l chiãu ca R), kỵ hiằu l dim(R), l cn trản ca cĂc d i ca cĂc dÂy nguyản t R Chiãu ca mổ un M, kỵ hiằu l dimR(M), ữổc nh nghắa l chiãu ca v nh R= AnnR(M) V nh Z c¡c sŁ nguy¶n câ chiãu bng v cĂc i ảan nguyản t ca v nh n y l v pZ vỵi p l s nguyản t V nh Z12 cõ chiãu bng v… v nh n y ch¿ câ hai i ¶an nguy¶n tŁ (công l tŁi ⁄i), â l 2Z 12 v 3Z12 Chú ỵ rng v nh giao ho¡n Noether câ th” câ chi•u vỉ h⁄n Chflng h⁄n, cho T = k[x1; ; xn; ] l v nh a thức vổ hn bin trản trữớng k: Gồi m1; ; mn; l dÂy cĂc s nguyản dữỡng cho mi mi < mi+1 mi vỵi måi i Gåi pi l i ¶an nguy¶n tŁ cıa T sinh bði c¡c bi‚n xj vỵi mj j mj+1 Gåi S T l giao cıa c¡c phƒn bị cıa t§t c£ c¡c pi, tøc l S = (R n pi) Khi â v nh àa ph÷ìng hâa TS l v nh giao ho¡n Noether i2N câ chi•u vỉ h⁄n (theo V‰ dư 1, phƒn Phö löc A1, cuŁn s¡ch V nh àa ph÷ìng cıa M Nagata) V nh Noether àa ph÷ìng ln câ chi•u hœu h⁄n (xem H» qu£ 1.3.7) V… th‚ chiãu ca mổ un hu hn sinh trản v nh a phữỡng luổn l s hu hn Vợi mỉi i ¶an I cıa R; ta k‰ hi»u Var(I) l t“p c¡c i ¶an nguy¶n tŁ cıa R chøa I: V… M l hœu h⁄n sinh n¶n ta câ SuppR(M) = VarR(AnnR(M)) Do R l v nh Noether n¶n ta câ SuppR(M) = AssR(M) (theo [7, nh lỵ 6.5]) V… th‚ AssR(M) = Var(AnnR(M)) Do â chi•u cıa mỉ un M câ th” ÷ỉc t‰nh thỉng qua chiãu ca cĂc i ảan nguyản t liản kt nhữ sau dimR(M) = maxfdim(R= p) j p AssR(M)g: Ti‚p theo l mi liản hằ gia chiãu ca M v ƒy ı m-adic Mc cıa M: Nh›c n l⁄i r‹ng hå c¡c R-mæ un fm Mgn=1;2;::: cıa M l m th nh mºt cì sð l¥n c“n cıa M: Cì sð n y cıa x¡c ành tr¶n M mºt tỉpỉ gåi n tỉpỉ tuy‚n t‰nh m-adic sinh bði hå fm Mgn=1;2;:::: Khi M ÷ỉc trang bà mt tổpổ, ta cõ th nh nghắa cĂc dÂy Cauchy trản M tữỡng tỹ trản cĂc l s thỹc nhữ sau Mt dÂy cĂc phn tò (x n) ca M ữổc gồi l dÂy Cauchy N nu vợi mồi N N, tỗn ti n(N) N thọa mÂn x n+1 xn m M; vỵi måi n n(N): Ta nõi hai dÂy (xn); (yn) cĂc phn tò ca M l t÷ìng ÷ìng, k‰ hi»u l n (xn) (yn), nu vợi mồi N N, tỗn ti n(N) N thọa mÂn x n yn m M vợi mồi n n(N): Kỵ hiằu X l cĂc dÂy Cauchy cıa M D„ d ng ki”m tra ÷ỉc quan hằ l mt quan hằ tữỡng ữỡng trản X Ta gåi t“p th÷ìng Mc := X= l ƒy ı m-adic ca M: Trản Mc, vợi mỉi (xn); (yn) Mc, vợi mỉi r R; ta nh nghắa hai php to¡n sau (xn) + (yn) = (xn + yn); r:(xn) = (r:xn): D d ng kim tra ữổc vợi hai ph†p to¡n n y M = R th… R ÷ỉc gåi l b xem [7] mæ un Khi â mi liản hằ gia chiãu ca M v M l V‰ dö 1.1.2 Cho k l thøc v R2 := k[[x1; ; xd]] l v nh c¡c chuØi lôy thła hnh thức d bin trản trữớng k: Chú ỵ rng R1 khổng l phữỡng vợi i ảan cỹc v nh (x1; i nhĐt l a phữỡng, R2 l v nh ; xd) v R2 l v nh àa ƒy ı cıa v nh àa ph÷ìng (R1)(x1; ;xd): Khi â ta câ dim(R1) = dim(R2) = d v dim(Z[x1; ; xd]) = d + (theo [7, nh lỵ 15.4]) Ta câ dim(R ) = dim(R ) 2 (x1; ;xd) = d: Vỵi d 3, M = R2=(x1; x 2) \ (x 3) th… AssR2 (M) = f(x1; x2); (x3)g: V… th‚ dimR2 (M) = maxfdim(R2=(x1; x2)); dim(R2=(x3))g = d 1: nh nghắa 1.1.3 Mt phn tò x R ữổc gồi l ữợc ca i vợi mổ un M nu tỗn ti m M, m 6= cho xm = Mºt d¢y c¡c phƒn tß x 1; ; xt cıa v nh R ữổc gồi l mt M-dÂy chnh quy cõ d i t n‚u M 6= (x 1; ; xt)M v mỉi xi khổng l ữợc ca i vợi mổ un M=(x1; ; xi 1)M Chú ỵ rng (R; m) l v nh àa ph÷ìng, mØi ho¡n cıa M-d¢y ch ‰nh quy l M-d¢y ch‰nh quy ( iãu n y khổng cặn úng v nh cỡ sð khỉng l v nh àa ph÷ìng), xem [7] Cho R := k[[x; y; z]] l v nh c¡c chuØi lụy tha hnh thức vợi k l mt trữớng Khi â x; y; z l mºt R-d¢y ch‰nh quy, â d¢y x; x + y; y khỉng l dÂy chnh quy v y l ữợc ca R=(x; x + y) = R=(x; y) Trong tr÷íng hỉp ìn gi£n, ta câ th” dịng ành ngh¾a ” ki”m tra mt dÂy phn tò cõ l dÂy chnh quy Trong tr÷íng hỉp tŒng qu¡t, ta bi‚t r‹ng t“p c¡c ÷ỵc cıa Łi vỵi M l hỉp cıa c¡c i ảan nguyản t liản kt ca M, iãu n y hØ trỉ cho vi»c xem x†t mºt d¢y phƒn tß câ l ch‰nh quy hay khỉng V ‰ dư sau minh hồa iãu n y Chiãu ngữổc li ca nh lỵ 2.2.6 khổng úng Miãn nguyản R chiãu xƠy dỹng bi Ferrand-Raynaud khổng l Cohen-Macaulay dÂy Rb l Cohen-Macaulay d¢y (xem [10]) 2.3 Ki”u a thøc d¢y cıa mỉ un ::: Cho H (M) = D t m di := dim Di vỵi mØi i M D =Ml låc chi•u cıa M; v °t t: Mưc ti¶u cıa ti‚t n y l nghi¶n cøu khĂi niằm n lợp mổ un Cohen-Macaulay dÂy nh nghắa 2.3.1 Kiu a thức dÂy ca M; kỵ hiằu l sp(M); x¡c ành bði sp(M) = maxfp(Di 1=Di)ji = 1; : : : ; tg: Chú ỵ rng sp(M) = 1; : : : ; t: iãu n y tữỡng nu v ch nu p(Di 1=Di) = ữỡng vợi Di 1=Di l 1; vỵi måi i = Cohen-Macaulay vỵi måi i = 1; : : : ; t: Do â sp(M) = n‚u v ch¿ n‚u M l mổ un Cohen-Macaulay d Ây Lp lun tữỡng tỹ, sp(M) v ch¿ M l mæ un Cohen-Macaulay suy rºng d¢y, tøc l Di 1=Di l Cohen-Macaulay suy rng vợi mồi i 1: Kỵ hiằu nSCM(M) l qu tch khổng Cohen-Macaulay dÂy ca M; nghắa l nSCM(M) = fp Spec(R) j Mp khỉng l Cohen-Macaulay d¢yg: Nh…n chung, nSCM khæng l t“p âng cıa Spec(R) Łi vợi tổpổ Zariski, nõ li õng i vợi php °c bi»t hâa, ngh¾a l n‚u p q l c¡c i ¶an nguy¶n tŁ cıa R cho q nSCM(M) th… p nSCM(M): V… th‚ ta câ th” nh nghắa chiãu ca nSCM(M) theo cĂch thổng thữớng Nu R l th÷ìng cıa v nh Cohen-Macaulay th… nSCM(M) l õng vợi tổpổ Zariski Kt quÊ sau Ơy cho ta mŁi quan h» giœa ki”u a thøc d¢y sp(M) v chiãu ca qu tch khổng Cohen-Macaulay dÂy ca M: Nhc li rng, vợi mỉi cp i ảan nguyản t q p ca R, dÂy cĂc i ảan nguyản t q = p0 38 p1 : : : pn = p cho pi 6= pi+1; vỵi måi i = 0; : : : ; n 1; ÷ỉc gåi l mºt dÂy cĂc i ảan nguyản t bÂo hặa gia p v q n‚u vỵi måi i n khỉng th” ch–n th¶m i ¶an nguy¶n tŁ q n o v o giœa p i v pi+1 : Khi â n ữổc gồi l d i ca dÂy cĂc i ảan nguyản t bÂo hặa gia p v q : Ta nâi v nh R l catenary n‚u vỵi måi c°p i ¶an nguy¶n tŁ q p cıa R luổn tỗn ti mt dÂy cĂc i ảan nguyản t bÂo hặa gia p v q v mồi dÂy cĂc i ảan nguyản t bÂo hặa gia p v q •u câ chung º d i M»nh • 2.3.2 N‚u R l catenary th… sp(M) dimR(nSCM(M)): D§u b‹ng x£y R l th÷ìng cıa v nh Cohen-Macaulay t Chøng minh V… R l catenary n¶n nSCM(M) = [ i=1 nCM(Di 1=Di) theo [9, Hằ quÊ 2.5(i)] Theo nh lỵ 1.4.12 ta câ dimR(nSCM(M)) = max dimR(nCM(Di 1=Di)) i t max p(Di 1=Di) = sp(M): i t Khi R l th÷ìng cıa v nh Cohen-Macaulay th… D i 1=Di l flng chiãu vợi mồi i = 1; : : : ; t nản theo nh lỵ 1.4.12 dĐu bng ca bĐt flng thức trản xÊy Kỵ hiằu 2.3.3 Cho Hm (M) = Dt M: ::: D1 D0 = M l lồc chiãu ca Vợi mỉi sŁ nguy¶n i f0; 1; : : : ; tg; °t di := dimR(Di): Khi â d = d0 v dt 0 (n‚u Hm (M) = th… ta °t dt = 1) Hìn nœa, di måi i = 1; : : : ; t: Vỵi mØi sŁ nguyản r 0; ta kỵ hiằu D(r) l lợn nhĐt cıa M câ chi•u nhä hìn ho°c b‹ng r: Hi”n nhiản D(d v D(0) = Dt: Khi r 1; tỗn t⁄i mºt sŁ nguy¶n t(r) D(r) = Dt(r): B‹ng c¡ch bä t thäa m¢n i c¡c mỉ un Dt(r)+1; : : : ; Dt lồc chiãu, ta ữổc låc D(r) = D t(r) : : : D1 D0 = M: Låc n y ÷ỉc gåi l låc chiãu ca M theo chiãu > r: GiÊ sò r l mt s nguyản Mằnh ã sau õng mt vai trỈ quan trång vi»c chøng minh c¡c k‚t quÊ ca lun vôn n y 39 Mằnh ã 2.3.4 Cho t(r) v D(r) ữổc nh nghắa nhữ Kỵ hi»u 2.3.3 Khi â sp(M) r v ch¿ tỗn ti mt lồc D(r) = Nk : : : N1 N0 = M c¡c mæ un cıa M thäa m¢n dimR(Ni) < dimR(Ni 1) v p(Ni=Ni 1) r vỵi måi i = 1; : : : ; k: Trong tr÷íng hỉp n y, k = t(r) v dimR(Di=Ni) r vỵi måi i t(r): Hìn nœa, max p(Ni 1=Ni) = r v i t(r) ch¿ maxfsp(M); max dimR(Di=Ni)g = r: i t(r) Chøng minh Rª r ng nu sp(M) r th lồc chiãu ca M thọa mÂn y cĂc iãu kiằn trản Ngữổc li, giÊ sò D(r) = N k : : : N1 N0 = M l mºt låc c¡c mæ un cıa M thäa m¢n dimR(Ni) < dimR(Ni 1) v p(Ni 1=Ni) r vỵi måi i = 1; : : : ; k: Khi â ta suy ÷ỉc sp(M) r nhí c¡c khflng ành sau Khflng ành Ta câ t(r) = k; Ni Di; dimR(Di=Ni) r v p(Di 1=Ni) r vỵi måi i t(r): Ta chøng minh khflng ành n y b‹ng quy n⁄p theo t(r): N‚u t(r) = th… D(r) = D0 = M: Suy k = = t(r) v D(r) = N0 = M: Rª r ng N0 = D0, dimR(D0=N0) = r: V… th‚ khflng nh úng vợi t(r) = 0: GiÊ sò t(r) = 1: Khi â r < d v D = D(r): V… th‚ k Do D(r) N v N1 D1 (do dimR(N1) < dimR(N0) = d) n¶n N1 = D1 DÔn n k = = t(r) v dimR(D1=N1) = r Do dimR(D1) r n¶n theo M»nh • 1.4.6 ta câ sp(D1) r: Theo gi£ thi‚t ta câ p(N0=N1) = p(M=D1) r: V… th‚ sp(M) = maxfp(M=D1); sp(D1)g r: Trong tr÷íng hỉp n y, p(M=N1) = p(M=D1) = r n‚u v ch¿ n‚u sp(M) = r 40 V… th‚ khflng ành óng vỵi t(r) = Cho t(r) v gi£ sß r‹ng khflng ành óng vỵi t(r) 1: V… t(r) > 1; nản ta cõ k 1: Rê r ng dim R(M=N1) = d v N1 D1 V… p(M=N1) r theo gi£ thi‚t v D1=N1 l mæ un cıa M=N1 cõ chiãu nhọ hỡn d, nản theo Hằ quÊ 1.4.13 ta suy dimR(D1=N1) r N‚u k = th t(r) nản N1 = D(r) D2: DÔn ‚n dimR(N1) < dimR(D1) v â dimR(D1=N1) = dimR(D1) > r; mƠu thuÔn V th k 2: Chú ỵ r‹ng D(r) = D t(r) : : : D2 D1 l låc chi•u theo chi•u > r cıa D1 (xem Kỵ hiằu 2.3.3) cõ d i t(r) Xt låc D(r) = N k : : : N2 D1 cıa D1 câ º d i k Tł d¢y khỵp ! N1=N2 ! D1=N2 ! D1=N1 ! ta cõ dÂy khợp d i cÊm sinh :: r r+1 : ! Hm (D1=N1) ! Hm ! r+1 Hm (N1=N2) ! H r+2 (D1=N1) ! Hm r+1 (D1=N2) (N1=N2) ! H r+2 (D1=N2) ! : : : j Chó þ r‹ng dimR(D1=N1) r: V… th‚ Hm (D1=N1) = vỵi måi j j Suy ta câ H r + 1: m l r+1 th÷ìng cıa Hm (N1=N2) V… dimR(D1=N2) = d1 v p(N1=N2) r theo gi£ thit nản Ăp dửng nh lỵ 1.4.5 ta suy j dim(R=b AnnRb(Hm (D1=N2))) dim(R=b AnnRb(Hmj(N1=N2))) r vỵi måi j = r + 1; : : : ; d1 1: Theo BŒ • 1.2.10 ta câ j dim(R=b AnnRb(Hm (D1=N2))) r 41 vỵi måi j r: Suy p(D1=N2) r theo nh lỵ 1.4.5 p dửng gi£ thi‚t quy n⁄p cho mỉ un D1 ta ÷ỉc t(r) = k 1, Ni Di, dimR(Di=Ni) r v p(Di 1=Ni) r vỵi måi i = 2; : : : ; t(r): V… th‚, Khflng ành ÷æc chøng minh Khflng ành Ta câ sp(M) r: Vỵi mØi i f1; : : : ; t(r)g; t dÂy khợp ! Di=Ni ! Di 1=Ni ! Di 1=Di ! v dimR(Di=Ni) r theo Khflng nh 1, ta suy vợi mồi s nguyản j p(Di 1=Ni) r theo Khflng ành 1, n¶n ¡p dửng nh lỵ 1.4.5 ta cõ vợi mồi j = r +1; : : : ; di vỵi måi j r theo BŒ • 1.2.10 V… th‚, p(Di Do dimR(Dt(r)) r n¶n sp(Dt(r)) r V… th‚, sp( Khflng ành max p(Ni Ta chøng minh Khflng ành Gi£ sß max p(Ni c¡c Khflng ành 1, ta câ 42 Rª r ng n‚u dimR(Di=Ni) = r vợi i t(r) n o õ th dĐu b‹ng x£y V… th‚ ta câ th” gi£ sß dimR(Di=Ni) < r vỵi måi i t(r): Do gi£ thit max p(Ni 1=Ni) = r nản tỗn ti n t(r) ” p(Nn 1=Nn) = r: V… th‚, theo i6t(r) B ã 1.2.10 v nh lỵ 1.4.5, tỗn ti sŁ nguy¶n r j < dimR(Nn 1) cho j dim(R=b AnnRb(Hm (Nn 1=Nn))) = r: T dÂy khợp ! Nn 1=Nn ! Dn 1=Nn ! Dn 1=Nn !0 ta ữổc dÂy khợp j1 j j Hm (Dn 1=Nn 1) ! Hm (Nn 1=Nn) ! Hm (Dn 1=Nn) ! 0: j1 N‚u j > r th… Hm (Dn 1=Nn 1) = N‚u j = r th… theo nh lỵ 1.4.5 ta cõ j1 dim(R=b AnnRb(Hm (Dn 1=Nn 1)))p(Dn 1=Nn 1) r p döng v o dÂy khợp trản ta 1: ữổc j dim(R=b AnnRb(Hm (Dn 1=Nn))) = r: Xt dÂy khợp ! Dn=Nn ! Dn 1=Nn ! Dn 1=Dn ! 0: Do dim (D =N ) < r v V… th‚ d n â sp(M) = r theo Khflng 2.4 R n n j dim(R= AnnR(Hm (Dn b v j < dim R ành Ki”u a thøc d¢y qua ƒy ı v a phữỡng hõa Mửc tiảu ca tit n y l t…m hi”u ki”u a thøc d¢y cıa mỉ un M thỉng qua àa ph÷ìng hâa v ƒy ı hâa m-adic 43 nh lỵ 2.4.1 Cho p SuppR(M): GiÊ sß R l catenary (i) N‚u dim(R=p) > sp(M) th… Mp l Rp-mỉ un Cohen-Macaulay d¢y sp(M) th… sp(Mp) sp(M) (ii) N‚u dim(R=p) dim(R=p): Chøng minh (i) V… dim(R= p) > sp(M) nản theo Mằnh ã 2.3.2 ta cõ p 2= nSCM(M): Suy Mp l Rp-mỉ un Cohen-Macaulay d¢y (ii) Gi£ sß dim(R= p) dim(R= p) sp(M): Khi t cho õ tỗn ti ch s i p(Di 1=Di): Do R l catenary nản theo [10, Mằnh ã 2.4] ta suy ho°c (Di)p = (Di 1)p ho°c (Di)p l mổ un lợn nhĐt ca (Di 1)p cõ chi•u nhä hìn dimRp (Di 1)p: V… th‚, tł hå f(Di)pgi t, b‹ng c¡ch bä i nhœng th nh phƒn l°p l⁄i, ta ÷ỉc mºt hå t⁄o th nh lồc chiãu ca M p nhữ sau Hp Rp (Mp) = (Djn )p ::: (Dj1 )p (Dj0 )p = Mp: Cho i f1; : : : ; tg: N‚u dim(R= p) > p(D i 1=Di) th… theo ành lỵ 1.4.12 ta cõ p 2= nCM(Di 1=Di): nghắa l p(Di 1=Di)p = max1 i tfp(Di 1=Di)p j; p SuppR(Di 1=Di); dim(R= p) p(Di 1=Di)g: Gi£ sß p SuppR(Di 1=Di) cho dim(R= p) p(Di 1=Di): Ta °t Li = Di 1=Di v dimRp (Di 1)p = di 1(p): Khi â dimRp (Li)p = di 1(p): L§y P Ass(R=b p Rb) cho dim(R=bP) = dim(R= p): Khi â dim(RbP= p RbP) = 0: Do â dimR (Li)p p 44 Gi£ sß x1; : : : ; xdi 1(p) p Rp l mºt h» tham sŁ cıa (Li)p: Khi â h» n y công l mºt hằ tham s ca (Li)P: Cho cĂc s nguyản dữỡng n1; : : : ; ndi 1(p): Kỵ hiằu J l i ¶an cıa R p sinh b n, ¡nh x⁄ R ta câ ‘ RP b = n ‘Rp ((Li)p=J (Li)p):‘(RbP= p RbP): Suy n e x1 ; : : : ; xdi i Hìn nœa, ta câ ‘R (Li)P=(x1n1 ; : : : ; xd i P (p) i ( Li)P n ndi 1(p) b b Chú ỵ rng (R R V th‚ theo P b [3, ta suy p( (L ) b Theo [1, 11.3.8] ta câ j Att RP H PRP b Chú ỵ rng b Hj+dim(R= p)(L m Suy dim(RbP= AnnRbP (HPRbP ((Lbi)P))) dim(R=b 45 vỵi måi j < di 1(p): V… th‚ p (Li)p = p((Lbi)P) p(Li) dim(R= p) sp(M) dim(R= p): c Phƒn cuŁi cıa ti‚t n y d nh ” nghi¶n cøu chuy”n kiu a thức dÂy qua y m-adic Chú ỵ r‹ng, theo M»nh • 1.4.6 ta câ p(M) = p(M) khổng mt mi liản hằ tữỡng tỹ gia sp(M) v sp(Mc) nh…n chung óng Chflng h⁄n, cho (R; m) l miãn nguyản Noether a phữỡng chiãu xƠy dỹng bði Ferrand v Raynaud [5] cho R câ i ¶an nguy¶n tŁ nhóng P chi•u Khi â sp(R) = Hìn nœa, R l (xem [10, V‰ dư 6.1]) Do õ sp(R) = b b nh lỵ 2.4.2 sp(Mc) sp(M): D§u b‹ng x£y n‚u R= p l khổng trn lÔn vợi mồi p AssR(M): Chứng minh °t sp(M) = r: Cho t(r); D(r) ÷ỉc x¡c nh nhữ Kỵ hiằu 2.3.3 Gồi H l mổ un lợn nhĐt ca Mc cõ chiãu nhọ hỡn ho°c b‹ng r: Ta s‡ ¡p dưng M»nh • 2.3.4 cho låc H = Dbt(r) + H ” khflng ::: Db1 + H D b0 = M c r: Th“t v“y, vỵi mØi i f1; : : : ; t(r)g; v… ành r‹ng sp(Mc) dimRb Dbi = di; ta câ dimRb(Dbi + H) = maxfdi; dimRb Hg maxfdi; rg < di = dimRb(Dbi + H): V… dimRb(Dbi 1=Dbi) = di v sp(M) = r n¶n theo M»nh câ • 1.4.6 ta p(Dbi 1=Dbi) = p(Di 1=Di) r: Suy dim(R= AnnR khỵp b ! Dbi 1=Dbi ! (Dbi + H=Dbi) ! (Dbi 46 + H)=Dbi ! 0; ! (Di + H)=D b vợi ỵ rng H)=Di b vợi j mồi j mR vH D b b dưng BŒ • 1.2.10 suy vỵi måi j r: V… th‚ p (Dbi + H)=(Dbi + H) r vỵi måi i = 1; : : : ; r: V… th‚ sp(M) r theo Mằnh ã 2.3.4 GiÊ sò R= p khổng trn lÔn l låc chi•u cıa M: Ta chøng minh quy n⁄p theo t r‹ng t = n v Ui = Di R: Cho t > v gi£ vỵi måi i t: Tr÷íng hỉ p t = l Hm(M) v â n b AssR( t⁄i P AssR( b r‹ng b cb AssR(M=D1) = V… th‚ P Ass(R= p R) vỵi p n o â thuºc (AssR(M))d: Do R= p khổng b b trn lÔn nản dim( R=P ) = d: iãu n y l mƠu thuÔn, v th D1 = U1: p b dửng giÊ thi‚t quy n⁄p cho mỉ un D1 ta ÷ỉc t = n b 47 vỵi måi i = 2; : : : ; t: Do v M»nh • 1.4.6 ta â khflng ành ÷ỉc chøng minh Tł khflng ÷ỉc sp(M) = max p U c i t 48 ( ành K‚t lu“n Lu“n v«n tr…nh b y mºt sŁ k‚t qu£ v• ki”u a thøc v ki”u a thøc d¢y c¡c b i b¡o [3], [8] Nºi dung ch‰nh ⁄t ÷ỉc l : Nh›c l⁄i c¡c ki‚n thức cn thit vã chiãu, sƠu ca mổ un, mổ un i ỗng iãu a phữỡng, v nh v mổ un Cohen-Macaulay, tnh khổng trn lÔn ca mổ un Cohen-Macaulay, c¡c °c tr÷ng cıa mỉ un CohenMacaulay Tr…nh b y kh¡i ni»m ki”u a thøc cıa mæ un, cỉng thøc t‰nh ki”u a thøc qua chi•u cıa mỉ un i ỗng iãu a phữỡng; kiu a thức qua y m-adic, so sĂnh kiu a thức vợi chiãu cıa q t‰ch khỉng CohenMacaulay T…m hi”u låc chi•u cıa mỉ un, kh¡i ni»m mỉ un Cohen-Macaulay d ¢y, cĂc tnh chĐt ca mổ un Cohen-Macaulay dÂy chuyn qua àa ph÷ìng hâa, ƒy ı hâa, v chia cho phn tò chnh quy Nghiản cứu khĂi niằm kiu a thức dÂy, cĂc tnh chĐt ca kiu a thức d Ây dữợi tĂc ng ca a phữỡng hõa v ƒy ı m-adic, so s¡nh ki”u a thøc d ¢y vợi chiãu ca qu tch khổng Cohen-Macaulay dÂy 49 T i li»u tham kh£o [1] M Brodmann and R Y Sharp, Local cohomology: an algebraic introduction with geometric applications", Cambridge University Press, 1998 [2] W Bruns and J Herzog, Cohen-Macaulay rings", Cambridge Univer-sity Press, 1993 [3] N T Cuong, On the least degree of polynomials bounding above the differences between lengths and multiplicities of certain systems of pa-rameters in local rings, Nagoya Math J., 125 (1992), 105-114 [4] N T Cuong, L T Nhan, Pseudo Cohen-Macaulay and pseudo generalized Cohen-Macaulay modules, J Algebra, 267 (2003), 156-177 [5] D Ferrand and M Raynaud, Fibres formelles d’un anneau local Noethe-rian, Ann Sci E’cole Norm Sup., (4)3 (1970), 295-311 [6] I G Macdonald, Secondary representation of modules over a commu-tative ring, Symposia Mathematica, 11 (1973), 23-43 [7] H Matsumura, Commutative ring theory", Cambridge University Press, 1986 [8] L T Nhan, T D Dung, T D M Chau, A measure for non sequentially Cohen-Macaulayness of finitely generated modules, J Algebra, 468 (2016), 275-295 [9] L T Nhan, N T K Nga and P H Khanh, Non-Cohen-Macaulay locus and non generalized Cohen-Macaulay locus, Comm Algebra, 42 (2014), 4412-4425 50 [10] P Schenzel, On the dimension filtration and Cohen-Macaulay filtered modules, In: Proc of the Ferrara meeting in honour of Mario Fiorentini, University of Antwerp Wilrijk, Belgium, (1998), 245-264 [11] R P Stanley, Combinatorics and Commutative Algebra", Second edi-tion, Birkhauser Boston-Basel-Berlin 51 ... Chƣơng Kiểu đa thức mô? ?un 1.1 Chiều độ sâu mô? ?un 1.2 Mô? ?un đối đồng điều địa phương 1.3 Vành mô? ?un Cohen – Macaulay 11 1.4 Kiểu đa thức mô? ?un ... Chƣơng Kiểu đa thức dãy mô? ?un 29 2.1 Lọc chiều mô? ?un 29 2.2 Vành mô? ?un Cohen – Macaulay dãy 34 2.3 Kiểu đa thức dãy mô? ?un 38 2.4 Kiểu đa thức dãy qua đầy đủ địa. .. SƢ PHẠM NGUYỄN THỊ HUYỀN THƢƠNG VỀ KIỂU ĐA THỨC DÃY CỦA M? ?ĐUN HỮU HẠN SINH TRÊN VÀNH NOETHER ĐỊA PHƢƠNG Ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Cán h khoa học: GS.TS