Về kiểu đa thức dạy của mô đun hữu hạn sinh trên vành noether địa phương

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM NGUYỄN THỊ HUYỀN THƢƠNG VỀ KIỂU ĐA THỨC DÃY CỦA MÔĐUN HỮU HẠN SINH TRÊN VÀNH NOETHER ĐỊA PHƢƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2020 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM NGUYỄN THỊ HUYỀN THƢƠNG VỀ KIỂU ĐA THỨC DÃY CỦA MÔĐUN HỮU HẠN SINH TRÊN VÀNH NOETHER ĐỊA PHƢƠNG Ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Cán h khoa học: GS.TS Lê Thị Thanh Nhàn THÁI NGUYÊN - 2020 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan kết nghiên cứu luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực luận văn cảm ơn thông tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Thái Nguyên, tháng 09 năm 2020 Tác giả Nguyễn Thị Huyền Thƣơng i Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tụy Cô giáo, GS TS Lê Thị Thanh Nhàn Tôi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới tồn thể thầy giáo khoa Tốn, Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên dạy bảo, tạo điều kiện thuận lợi cho suốt trình học tập khoa Nhân dịp tơi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè động viên, giúp đỡ suốt trình học tập thực luận văn tốt nghiệp Thái Nguyên, tháng 09 năm 2020 Tác giả Nguyễn Thị Huyền Thƣơng ii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Mở đầu Chƣơng Kiểu đa thức môđun 1.1 Chiều độ sâu môđun 1.2 Môđun đối đồng điều địa phương 1.3 Vành môđun Cohen – Macaulay 11 1.4 Kiểu đa thức môđun 20 Chƣơng Kiểu đa thức dãy môđun 29 2.1 Lọc chiều môđun 29 2.2 Vành môđun Cohen – Macaulay dãy 34 2.3 Kiểu đa thức dãy môđun 38 2.4 Kiểu đa thức dãy qua đầy đủ địa phương hóa 44 Kết luận 49 Tài liệu tham khảo 50 iii Mðƒu Cho (R; m) l v nh Noether àa ph÷ìng, M l R-mỉ un hœu h⁄n sinh vỵi dim(M) = d Ta luæn câ dim R(M) depthR(M): N‚u dimR(M) = depthR(M) th… ta nâi M l Cohen-Macaulay Lỵp mỉ un Cohen-Macaulay õng vai trặ trung tƠm i s giao hoĂn v xuĐt hiằn nhiãu lắnh vỹc khĂc ca ToĂn hồc Lợp mổ un n y  ữổc c trững thổng qua nhng lỵ thuyt quen bit nhữ a phữỡng hõa, y hõa, s bi, i ỗng iãu a phữỡng phƠn loi cĐu trúc ca cĂc mổ un hu hn sinh trản v nh a phữỡng, N T Cuong [3] nôm 1992  giợi thiằu khĂi niằm kiu a thức ca mổ un M, kỵ hiằu l p(M), thæng qua c¡c hi»u sŁ giœa º d i v sŁ bºi øng vỵi lơy thła cıa c¡c phƒn tß cıa mºt h» tham sŁ cıa M N‚u ta quy ữợc bc ca a thức l th M l Cohen-Macaulay v ch¿ p(M) = Khi M khỉng l Cohen-Macaulay, p(M) ÷ỉc xem l kho£ng cĂch t M n lợp mổ un Cohen-Macaulay Theo nghắa n o õ, p(M) c ng lợn th cĐu trúc ca M c ng xa vợi cĐu trúc ca mổ un Cohen-Macaulay Mºt t‰nh ch§t quan trång cıa mỉ un Cohen-Macaulay l tnh chĐt khổng trn lÔn Cử th, nu M l Cohen-Macaulay th… dim(R=p) = d vỵi måi p AssR(M) nghiản cứu cĂc mổ un trn lÔn M, ngữới ta xt n lồc chiãu ca M, õ l d¢y c¡c mỉ un fD ig; â D0 = M v Di l mỉ un lỵn nhĐt ca M cõ chiãu nhọ hỡn dim R(Di 1) vợi mồi i Ta nõi M l Cohen-Macaulay dÂy nu mỉi thữỡng Di 1=Di l Cohen-Macaulay Rê r ng mØi mæ un M l Cohen-Macaulay n‚u v ch¿ n‚u M l mỉ un Cohen-Macaulay d¢y v M l lồc chiãu ca M KhĂi niằm mổ un Cohen-Macaulay dÂy ln u ữổc giợi thiằu bi R Stanley nôm 1996 cho c¡c mỉ un hœu h⁄n sinh ph¥n b“c, sau õ ữổc nghiản cứu bi P Schenzel [10] v N T Cuong, L.T Nhan [4] cho tr÷íng hỉp mỉ un hu hn sinh trản v nh a phữỡng m rºng kh¡i ni»m ki”u a thøc mºt c¡ch tü nhi¶n, n«m 2016, L T Nhan, T D Dung v T D M Chau [8]  nh nghắa kiu a thức dÂy ca M, kỵ hiằu l sp(M), l s lợn nhĐt cĂc kiu a thức p(Di 1=Di) Rê r ng, M l Cohen-Macaulay d¢y v ch¿ sp(M) = Khi M khổng l Cohen-Macaulay dÂy, sp(M) ữổc xem nh÷ l kho£ng c¡ch tł mỉ un M ‚n lợp mổ un Cohen-Macaulay dÂy Mửc ch ca lun vôn l nghiản cứu kiu a thức dÂy ca mổ un hu hn sinh trản v nh Noether a phữỡng Trong lu“n v«n n y, chóng tỉi tr…nh b y chi ti‚t mºt sŁ k‚t qu£ b i b¡o [8]: A measure of non-sequential Cohen-Macaulayness of finitely generated modules, J Algebra, 468 (2016), 275-295 ” ti»n theo dªi v Łi s¡nh, lu“n v«n cơng tr…nh b y chi ti‚t c¡c k‚t qu£ v• ki”u a thøc b i b¡o cıa N T Cuong [3] Trong suŁt lu“n v«n, b¶n c⁄nh c¡c kh¡i ni»m v k‚t qu£, t¡c gi£ ca lun vôn ữa nhiãu v dử minh hồa cử th Lun vôn gỗm chữỡng Chữỡng trnh b y ki”u a thøc cıa mæ un Trong c¡c ti‚t ƒu cıa Ch÷ìng 1, chóng tỉi nh›c l⁄i ki‚n thức cn thit vã chiãu, sƠu, mổ un i ỗng iãu a phữỡng Tit 1.4 d nh l m rê cĐu trúc ca mổ un Cohen-Macaulay v cĂc mổ un liản quan Tit 1.5 giợi thiằu khĂi niằm kiu a thức v cĂc kt quÊ Â bit vã ki”u a thøc b i b¡o cıa N T Cuong [3] Ch÷ìng l nºi dung ch‰nh cıa lu“n vôn, trnh b y kiu a thức dÂy ca mổ un Ti‚t 2.1 b n v• låc chi•u cıa mỉ un Ti‚t 2.2 tr…nh b y kh¡i ni»m mæ un Cohen-Macaulay dÂy v cĂc tnh chĐt ca mổ un n y Ti‚t 2.3 giỵi thi»u kh¡i ni»m ki”u a thøc dÂy v cĂc kt quÊ vã kiu a thức dÂy b i b¡o [8] Ch÷ìng Ki”u a thức ca mổ un Mửc tiảu ca chữỡng n y l tr…nh b y kh¡i ni»m ki”u a thøc cıa mổ un ữổc giợi thiằu bi N T Cuong [3] v c¡c t‰nh ch§t cıa ki”u a thøc mŁi liản hằ vợi chiãu ca ỗng iãu a phữỡng ca mổ un õ 1.1 Chiãu v sƠu ca mổ un Trong suŁt ti‚t n y, cho R l v nh giao ho¡n Noether v M l R-mæ un hœu hn sinh tiằn theo dêi, trữợc trnh b y kh¡i ni»m v nh v mỉ un Cohen-Macaulay, chóng ta nh›c l⁄i mºt sŁ kh¡i ni»m v t‰nh ch§t vã chiãu, sƠu KhĂi niằm chiãu Krull sau Ơy ÷ỉc ành ngh¾a cho c¡c v nh giao ho¡n Noether v c¡c mỉ un hœu h⁄n sinh tr¶n v nh giao ho¡n Noether (khỉng nh§t thi‚t l v nh àa ph÷ìng) °t Ann R(M) = fx R j xM = 0g Khi â AnnR(M) l i ¶an cıa R: nh nghắa 1.1.1 Mt dÂy cĂc i ảan nguyản t p p1 pn cıa R, â pi 6= pi+1 vợi mồi i, ữổc gồi l mt dÂy nguyản tŁ º d i n Chi•u Krull cıa R (gåi tt l chiãu ca R), kỵ hiằu l dim(R), l cn trản ca cĂc d i ca cĂc dÂy nguyản t R Chiãu ca mổ un M, kỵ hiằu l dimR(M), ữổc nh nghắa l chiãu ca v nh R= AnnR(M) V nh Z c¡c sŁ nguy¶n câ chiãu bng v cĂc i ảan nguyản t ca v nh n y l v pZ vỵi p l s nguyản t V nh Z12 cõ chiãu bng v… v nh n y ch¿ câ hai i ¶an nguy¶n tŁ (công l tŁi ⁄i), â l 2Z 12 v 3Z12 Chú ỵ rng v nh giao ho¡n Noether câ th” câ chi•u vỉ h⁄n Chflng h⁄n, cho T = k[x1; ; xn; ] l v nh a thức vổ hn bin trản trữớng k: Gồi m1; ; mn; l dÂy cĂc s nguyản dữỡng cho mi mi < mi+1 mi vỵi måi i Gåi pi l i ¶an nguy¶n tŁ cıa T sinh bði c¡c bi‚n xj vỵi mj j mj+1 Gåi S T l giao cıa c¡c phƒn bị cıa t§t c£ c¡c pi, tøc l S = (R n pi) Khi â v nh àa ph÷ìng hâa TS l v nh giao ho¡n Noether i2N câ chi•u vỉ h⁄n (theo V‰ dư 1, phƒn Phö löc A1, cuŁn s¡ch V nh àa ph÷ìng cıa M Nagata) V nh Noether àa ph÷ìng ln câ chi•u hœu h⁄n (xem H» qu£ 1.3.7) V… th‚ chiãu ca mổ un hu hn sinh trản v nh a phữỡng luổn l s hu hn Vợi mỉi i ¶an I cıa R; ta k‰ hi»u Var(I) l t“p c¡c i ¶an nguy¶n tŁ cıa R chøa I: V… M l hœu h⁄n sinh n¶n ta câ SuppR(M) = VarR(AnnR(M)) Do R l v nh Noether n¶n ta câ SuppR(M) = AssR(M) (theo [7, nh lỵ 6.5]) V… th‚ AssR(M) = Var(AnnR(M)) Do â chi•u cıa mỉ un M câ th” ÷ỉc t‰nh thỉng qua chiãu ca cĂc i ảan nguyản t liản kt nhữ sau dimR(M) = maxfdim(R= p) j p AssR(M)g: Ti‚p theo l mi liản hằ gia chiãu ca M v ƒy ı m-adic Mc cıa M: Nh›c n l⁄i r‹ng hå c¡c R-mæ un fm Mgn=1;2;::: cıa M l m th nh mºt cì sð l¥n c“n cıa M: Cì sð n y cıa x¡c ành tr¶n M mºt tỉpỉ gåi n l tỉpỉ tuy‚n t‰nh m-adic sinh bði hå fm Mgn=1;2;:::: Khi M ÷ỉc trang b mt tổpổ, ta cõ th nh nghắa cĂc dÂy Cauchy trản M tữỡng tỹ trản cĂc s thỹc nhữ sau Mt dÂy cĂc phn tò (x n) ca M ữổc gồi l dÂy Cauchy N nu vợi mồi N N, tỗn ti n(N) N thọa mÂn x n+1 xn m M; vỵi måi n n(N): Ta nõi hai dÂy (xn); (yn) cĂc phn tò ca M l t÷ìng ÷ìng, k‰ hi»u l n (xn) (yn), nu vợi mồi N N, tỗn ti n(N) N thọa mÂn x n yn m M vợi mồi n n(N): Kỵ hiằu X l cĂc dÂy Cauchy cıa M D„ d ng ki”m tra ÷ỉc quan hằ l mt quan hằ tữỡng ữỡng trản X Ta gåi t“p th÷ìng Mc := X= l ƒy ı m-adic ca M: Trản Mc, vợi mỉi (xn); (yn) Mc, vợi mỉi r R; ta nh nghắa hai php to¡n sau (xn) + (yn) = (xn + yn); r:(xn) = (r:xn): D d ng kim tra ữổc vợi hai ph†p to¡n n y M = R th… R ÷ỉc gåi l b xem [7] mæ un Khi â mi liản hằ gia chiãu ca M v M l V‰ dö 1.1.2 Cho k l thøc v R2 := k[[x1; ; xd]] l v nh c¡c chuØi lôy thła hnh thức d bin trản trữớng k: Chú ỵ rng R1 khổng l phữỡng vợi i ảan cỹc v nh (x1; i nhĐt l a phữỡng, R2 l v nh ; xd) v R2 l v nh àa ƒy ı cıa v nh àa ph÷ìng (R1)(x1; ;xd): Khi â ta câ dim(R1) = dim(R2) = d v dim(Z[x1; ; xd]) = d + (theo [7, nh lỵ 15.4]) Ta câ dim(R ) = dim(R ) 2 (x1; ;xd) = d: Vỵi d 3, M = R2=(x1; x 2) \ (x 3) th… AssR2 (M) = f(x1; x2); (x3)g: V… th‚ dimR2 (M) = maxfdim(R2=(x1; x2)); dim(R2=(x3))g = d 1: nh nghắa 1.1.3 Mt phn tò x R ữổc gồi l ữợc ca i vợi mổ un M nu tỗn ti m M, m 6= cho xm = Mºt d¢y c¡c phƒn tß x 1; ; xt cıa v nh R ữổc gồi l mt M-dÂy chnh quy cõ d i t n‚u M 6= (x 1; ; xt)M v mỉi xi khổng l ữợc ca i vợi mổ un M=(x1; ; xi 1)M Chú ỵ rng (R; m) l v nh àa ph÷ìng, mØi ho¡n cıa M-d¢y ch ‰nh quy l M-d¢y ch‰nh quy ( iãu n y khổng cặn úng v nh cỡ sð khỉng l v nh àa ph÷ìng), xem [7] Cho R := k[[x; y; z]] l v nh c¡c chuØi lụy tha hnh thức vợi k l mt trữớng Khi â x; y; z l mºt R-d¢y ch‰nh quy, â d¢y x; x + y; y khỉng l dÂy chnh quy v y l ữợc ca R=(x; x + y) = R=(x; y) Trong tr÷íng hỉp ìn gi£n, ta câ th” dịng ành ngh¾a ” ki”m tra mt dÂy phn tò cõ l dÂy chnh quy Trong tr÷íng hỉp tŒng qu¡t, ta bi‚t r‹ng t“p c¡c ÷ỵc cıa Łi vỵi M l hỉp cıa c¡c i ảan nguyản t liản kt ca M, iãu n y hØ trỉ cho vi»c xem x†t mºt d¢y phƒn tß câ l ch‰nh quy hay khỉng V ‰ dư sau minh håa i•u n y p1 : : : pn = p cho pi 6= pi+1; vỵi måi i = 0; : : : ; n 1; ữổc gồi l mt dÂy cĂc i ảan nguyản t bÂo hặa gia p v q nu vợi mồi i n khỉng th” ch–n th¶m i ¶an nguy¶n tŁ q n o v o giœa p i v pi+1 : Khi â n ÷ỉc gåi l º d i ca dÂy cĂc i ảan nguyản t bÂo hặa giœa p v q : Ta nâi v nh R l catenary nu vợi mồi cp i ảan nguyản t q p ca R luổn tỗn ti mt dÂy cĂc i ảan nguyản t bÂo hặa gia p v q v mồi dÂy cĂc i ảan nguyản t bÂo hặa giœa p v q •u câ chung º d i M»nh • 2.3.2 N‚u R l catenary th… sp(M) dimR(nSCM(M)): DĐu bng xÊy R l thữỡng ca v nh Cohen-Macaulay t Chøng minh V… R l catenary n¶n nSCM(M) = [ i=1 nCM(Di 1=Di) theo [9, H» qu£ 2.5(i)] Theo nh lỵ 1.4.12 ta cõ dimR(nSCM(M)) = max dimR(nCM(Di 1=Di)) i t max p(Di 1=Di) = sp(M): i t Khi R l th÷ìng cıa v nh Cohen-Macaulay th D i 1=Di l flng chiãu vợi måi i = 1; : : : ; t n¶n theo nh lỵ 1.4.12 dĐu bng ca bĐt flng thức trản xÊy Kỵ hiằu 2.3.3 Cho Hm (M) = Dt M: ::: D1 D0 = M l låc chiãu ca Vợi mỉi s nguyản i f0; 1; : : : ; tg; °t di := dimR(Di): Khi â d = d0 v dt 0 (n‚u Hm (M) = th… ta °t dt = 1) Hìn nœa, di måi i = 1; : : : ; t: Vợi mỉi s nguyản r 0; ta kỵ hiằu D(r) l lợn nhĐt ca M cõ chiãu nhọ hỡn ho°c b‹ng r: Hi”n nhi¶n D(d v D(0) = Dt: Khi r 1; tỗn ti mt s nguyản t(r) t thäa m¢n D(r) = Dt(r): B‹ng c¡ch bä i c¡c mæ un Dt(r)+1; : : : ; Dt lồc chiãu, ta ữổc lồc D(r) = D t(r) : : : D1 D0 = M: Låc n y ÷ỉc gåi l låc chi•u cıa M theo chi•u > r: GiÊ sò r l mt s nguyản Mằnh • sau âng mºt vai trỈ quan trång vi»c chøng minh c¡c k‚t qu£ cıa lu“n v«n n y 39 Mằnh ã 2.3.4 Cho t(r) v D(r) ữổc nh nghắa nhữ Kỵ hiằu 2.3.3 Khi õ sp(M) r v ch tỗn ti mt lồc D(r) = Nk : : : N1 N0 = M c¡c mæ un cıa M thäa m¢n dimR(Ni) < dimR(Ni 1) v p(Ni=Ni 1) r vỵi måi i = 1; : : : ; k: Trong tr÷íng hỉp n y, k = t(r) v dimR(Di=Ni) r vỵi måi i t(r): Hìn nœa, max p(Ni 1=Ni) = r v i t(r) ch¿ maxfsp(M); max dimR(Di=Ni)g = r: i t(r) Chøng minh Rê r ng nu sp(M) r th lồc chiãu ca M thọa mÂn y cĂc iãu kiằn trản Ngữổc li, giÊ sò D(r) = N k : : : N1 N0 = M l mºt låc c¡c mæ un cıa M thäa m¢n dimR(Ni) < dimR(Ni 1) v p(Ni 1=Ni) r vỵi måi i = 1; : : : ; k: Khi â ta suy ÷ỉc sp(M) r nhí c¡c khflng ành sau Khflng ành Ta câ t(r) = k; Ni Di; dimR(Di=Ni) r v p(Di 1=Ni) r vỵi måi i t(r): Ta chøng minh khflng ành n y b‹ng quy n⁄p theo t(r): N‚u t(r) = th… D(r) = D0 = M: Suy k = = t(r) v D(r) = N0 = M: Rª r ng N0 = D0, dimR(D0=N0) = r: V… th‚ khflng ành óng vỵi t(r) = 0: Gi£ sß t(r) = 1: Khi â r < d v D = D(r): V… th‚ k Do D(r) N v N1 D1 (do dimR(N1) < dimR(N0) = d) nản N1 = D1 DÔn n k = = t(r) v dimR(D1=N1) = r Do dimR(D1) r nản theo Mằnh ã 1.4.6 ta cõ sp(D1) r: Theo gi£ thi‚t ta câ p(N0=N1) = p(M=D1) r: V… th‚ sp(M) = maxfp(M=D1); sp(D1)g r: Trong tr÷íng hỉp n y, p(M=N1) = p(M=D1) = r n‚u v ch¿ n‚u sp(M) = r 40 V… th‚ khflng ành óng vỵi t(r) = Cho t(r) v giÊ sò rng khflng nh úng vợi t(r) 1: V t(r) > 1; nản ta cõ k 1: Rê r ng dim R(M=N1) = d v N1 D1 V… p(M=N1) r theo gi£ thi‚t v D1=N1 l mæ un ca M=N1 cõ chiãu nhọ hỡn d, nản theo H» qu£ 1.4.13 ta suy dimR(D1=N1) r N‚u k = th… t(r) n¶n N1 = D(r) D2: DÔn n dimR(N1) < dimR(D1) v õ dimR(D1=N1) = dimR(D1) > r; mƠu thuÔn V th k 2: Chú ỵ rng D(r) = D t(r) : : : D2 D1 l låc chi•u theo chi•u > r ca D1 (xem Kỵ hiằu 2.3.3) cõ d i t(r) X†t låc D(r) = N k : : : N2 D1 cıa D1 câ º d i k T dÂy khợp ! N1=N2 ! D1=N2 ! D1=N1 ! ta cõ dÂy khợp d i c£m sinh r r+1 : : : ! Hm (D1=N1) ! Hm r+1 ! Hm (N1=N2) ! H r+2 (D1=N1) ! Hm r+1 (D1=N2) (N1=N2) ! H r+2 (D1=N2) ! : : : j Chú ỵ rng dimR(D1=N1) r: V… th‚ Hm (D1=N1) = vỵi måi j j Suy ta câ H r + 1: m l r+1 th÷ìng cıa Hm (N1=N2) V… dimR(D1=N2) = d1 v p(N1=N2) r theo gi£ thi‚t n¶n ¡p dưng ành lỵ 1.4.5 ta suy j dim(R=b AnnRb(Hm (D1=N2))) dim(R=b AnnRb(Hmj(N1=N2))) r vỵi måi j = r + 1; : : : ; d1 1: Theo BŒ • 1.2.10 ta câ j dim(R=b AnnRb(Hm (D1=N2))) r 41 vỵi måi j r: Suy p(D1=N2) r theo nh lỵ 1.4.5 p dửng giÊ thit quy np cho mỉ un D1 ta ÷ỉc t(r) = k 1, Ni Di, dimR(Di=Ni) r v p(Di 1=Ni) r vỵi måi i = 2; : : : ; t(r): V… th‚, Khflng ành ÷ỉc chøng minh Khflng ành Ta câ sp(M) r: Vỵi mØi i f1; : : : ; t(r)g; t dÂy khợp ! Di=Ni ! Di 1=Ni ! Di 1=Di ! v dimR(Di=Ni) r theo Khflng ành 1, ta suy vợi mồi s nguyản j p(Di 1=Ni) r theo Khflng nh 1, nản Ăp dửng nh lỵ 1.4.5 ta câ vỵi måi j = r +1; : : : ; di vỵi måi j r theo BŒ • 1.2.10 V… th‚, p(Di Do dimR(Dt(r)) r n¶n sp(Dt(r)) r V… th‚, sp( Khflng ành max p(Ni Ta chøng minh Khflng ành Gi£ sß max p(Ni c¡c Khflng ành 1, ta câ 42 Rª r ng n‚u dimR(Di=Ni) = r vỵi i t(r) n o â th… d§u b‹ng x£y V… th‚ ta cõ th giÊ sò dimR(Di=Ni) < r vợi mồi i t(r): Do gi£ thi‚t max p(Ni 1=Ni) = r nản tỗn ti n t(r) p(Nn 1=Nn) = r: V… th‚, theo i6t(r) BŒ • 1.2.10 v nh lỵ 1.4.5, tỗn ti s nguyản r j < dimR(Nn 1) cho j dim(R=b AnnRb(Hm (Nn 1=Nn))) = r: T dÂy khợp ! Nn 1=Nn ! Dn 1=Nn ! Dn 1=Nn !0 ta ữổc dÂy khỵp j1 j j Hm (Dn 1=Nn 1) ! Hm (Nn 1=Nn) ! Hm (Dn 1=Nn) ! 0: j1 N‚u j > r th… Hm (Dn 1=Nn 1) = Nu j = r th theo nh lỵ 1.4.5 ta câ j1 dim(R=b AnnRb(Hm (Dn 1=Nn 1)))p(Dn 1=Nn 1) r p dửng v o dÂy khợp trản ta 1: ÷ỉc j dim(R=b AnnRb(Hm (Dn 1=Nn))) = r: X†t d¢y khỵp ! Dn=Nn ! Dn 1=Nn ! Dn 1=Dn ! 0: Do dim (D =N ) < r v V… th‚ d n â sp(M) = r theo Khflng 2.4 R n n j dim(R= AnnR(Hm (Dn b v j < dim R ành Ki”u a thức dÂy qua y v a phữỡng hõa Mửc ti¶u cıa ti‚t n y l t…m hi”u ki”u a thức dÂy ca mổ un M thổng qua a phữỡng hõa v y hõa m-adic 43 nh lỵ 2.4.1 Cho p SuppR(M): Gi£ sß R l catenary (i) N‚u dim(R=p) > sp(M) th… Mp l Rp-mæ un Cohen-Macaulay d¢y sp(M) th… sp(Mp) sp(M) (ii) N‚u dim(R=p) dim(R=p): Chøng minh (i) V… dim(R= p) > sp(M) n¶n theo M»nh • 2.3.2 ta câ p 2= nSCM(M): Suy Mp l Rp-mổ un Cohen-Macaulay dÂy (ii) GiÊ sò dim(R= p) dim(R= p) sp(M): Khi t cho õ tỗn ti ch¿ sŁ i p(Di 1=Di): Do R l catenary n¶n theo [10, M»nh • 2.4] ta suy ho°c (Di)p = (Di 1)p ho°c (Di)p l mỉ un lỵn nhĐt ca (Di 1)p cõ chiãu nhọ hỡn dimRp (Di 1)p: V… th‚, tł hå f(Di)pgi t, b‹ng c¡ch bä i nhœng th nh phƒn l°p l⁄i, ta ÷ỉc mºt hå t⁄o th nh låc chi•u cıa M p nh÷ sau Hp Rp (Mp) = (Djn )p ::: (Dj1 )p (Dj0 )p = Mp: Cho i f1; : : : ; tg: N‚u dim(R= p) > p(D i 1=Di) th theo nh lỵ 1.4.12 ta cõ p 2= nCM(Di 1=Di): ngh¾a l p(Di 1=Di)p = max1 i tfp(Di 1=Di)p j; p SuppR(Di 1=Di); dim(R= p) p(Di 1=Di)g: Gi£ sß p SuppR(Di 1=Di) cho dim(R= p) p(Di 1=Di): Ta °t Li = Di 1=Di v dimRp (Di 1)p = di 1(p): Khi â dimRp (Li)p = di 1(p): L§y P Ass(R=b p Rb) cho dim(R=bP) = dim(R= p): Khi â dim(RbP= p RbP) = 0: Do â dimR (Li)p p 44 Gi£ sß x1; : : : ; xdi 1(p) p Rp l mºt h» tham sŁ cıa (Li)p: Khi â h» n y công l mºt h» tham sŁ cıa (Li)P: Cho cĂc s nguyản dữỡng n1; : : : ; ndi 1(p): Kỵ hiằu J l i ảan ca R p sinh b n, ¡nh x⁄ R ta câ ‘ RP b n = ‘Rp ((Li)p=J (Li)p):‘(RbP= p RbP): Suy n e x1 ; : : : ; xdi i Hìn nœa, ta câ ‘R (Li)P=(x1n1 ; : : : ; xd i P (p) i ( Li)P n ndi 1(p) b b Chú ỵ r‹ng ‘ (R R V… th‚ theo P b [3, ta suy p( (L ) b Theo [1, 11.3.8] ta câ j Att RP H PRP b Chó þ r‹ng b Hj+dim(R= p)(L m Suy dim(RbP= AnnRbP (HPRbP ((Lbi)P))) dim(R=b 45 vỵi måi j < di 1(p): V… th‚ p (Li)p = p((Lbi)P) p(Li) dim(R= p) sp(M) dim(R= p): c Phƒn cuŁi cıa ti‚t n y d nh nghiản cứu chuyn kiu a thức dÂy qua y m-adic Chú ỵ rng, theo Mằnh ã 1.4.6 ta cõ p(M) = p(M) khổng mt mi liản h» t÷ìng tü giœa sp(M) v sp(Mc) nh…n chung óng Chflng hn, cho (R; m) l miãn nguyản Noether a phữỡng chiãu xƠy dỹng bi Ferrand v Raynaud [5] cho R câ i ¶an nguy¶n tŁ nhóng P chi•u Khi â sp(R) = Hìn nœa, R l (xem [10, V‰ dö 6.1]) Do â sp(R) = b b nh lỵ 2.4.2 sp(Mc) sp(M): DĐu bng xÊy nu R= p l khổng trn lÔn vợi måi p AssR(M): Chøng minh °t sp(M) = r: Cho t(r); D(r) ữổc xĂc nh nhữ Kỵ hiằu 2.3.3 Gồi H l mổ un lợn nhĐt ca Mc câ chi•u nhä hìn ho°c b‹ng r: Ta s‡ ¡p dưng M»nh • 2.3.4 cho låc H = Dbt(r) + H ” khflng ::: Db1 + H D b0 = M c r: Th“t v“y, vỵi mØi i f1; : : : ; t(r)g; v… ành r‹ng sp(Mc) dimRb Dbi = di; ta câ dimRb(Dbi + H) = maxfdi; dimRb Hg maxfdi; rg < di = dimRb(Dbi + H): V… dimRb(Dbi 1=Dbi) = di v sp(M) = r nản theo Mằnh cõ ã 1.4.6 ta p(Dbi 1=Dbi) = p(Di 1=Di) r: Suy dim(R= AnnR khỵp b ! Dbi 1=Dbi ! (Dbi + H=Dbi) ! (Dbi 46 + H)=Dbi ! 0; ! (Di + H)=D b vợi ỵ rng H)=Di b vỵi j måi j mR vH D b b dửng B ã 1.2.10 suy vợi mồi j r: V… th‚ p (Dbi + H)=(Dbi + H) r vỵi måi i = 1; : : : ; r: V th sp(M) r theo Mằnh ã 2.3.4 GiÊ sò R= p khổng trn lÔn l lồc chiãu ca M: Ta chøng minh quy n⁄p theo t r‹ng t = n v Ui = Di R: Cho t > v giÊ vợi mồi i t: Trữớng hổ p t = l Hm(M) v â n b AssR( t⁄i P AssR( b r‹ng b cb AssR(M=D1) = V… th‚ P Ass(R= p R) vỵi p n o â thuºc (AssR(M))d: Do R= p khæng b b trn lÔn nản dim( R=P ) = d: iãu n y l mƠu thuÔn, v th D1 = U1: p b dưng gi£ thi‚t quy n⁄p cho mỉ un D1 ta ÷ỉc t = n b 47 vỵi måi i = 2; : : : ; t: Do v Mằnh ã 1.4.6 ta õ khflng nh ữổc chøng minh Tł khflng ÷ỉc sp(M) = max p U c i t 48 ( ành K‚t lu“n Lu“n v«n tr…nh b y mºt sŁ k‚t qu£ v• ki”u a thøc v ki”u a thøc d¢y c¡c b i b¡o [3], [8] Nºi dung ch‰nh ⁄t ÷ỉc l : Nh›c l⁄i c¡c ki‚n thøc cƒn thi‚t v• chi•u, sƠu ca mổ un, mổ un i ỗng iãu àa ph÷ìng, v nh v mỉ un Cohen-Macaulay, t‰nh khỉng trn lÔn ca mổ un Cohen-Macaulay, cĂc c trững ca mæ un CohenMacaulay Tr…nh b y kh¡i ni»m ki”u a thøc cıa mæ un, cæng thøc t‰nh ki”u a thức qua chiãu ca mổ un i ỗng iãu a ph÷ìng; ki”u a thøc qua ƒy ı m-adic, so s¡nh kiu a thức vợi chiãu ca qu tch khổng CohenMacaulay T…m hi”u låc chi•u cıa mỉ un, kh¡i ni»m mổ un CohenMacaulay dÂy, cĂc tnh chĐt ca mổ un Cohen-Macaulay dÂy chuyn qua a phữỡng hõa, y hõa, v chia cho phn tò chnh quy Nghiản cứu khĂi niằm kiu a thức dÂy, cĂc tnh chĐt ca kiu a thức dÂy dữợi tĂc ng ca a ph÷ìng hâa v ƒy ı m-adic, so s¡nh ki”u a thức dÂy vợi chiãu ca qu tch khổng Cohen-Macaulay dÂy 49 T i li»u tham kh£o [1] M Brodmann and R Y Sharp, Local cohomology: an algebraic in-troduction with geometric applications", Cambridge University Press, 1998 [2] W Bruns and J Herzog, Cohen-Macaulay rings", Cambridge Univer-sity Press, 1993 [3] N T Cuong, On the least degree of polynomials bounding above the differences between lengths and multiplicities of certain systems of pa-rameters in local rings, Nagoya Math J., 125 (1992), 105-114 [4] N T Cuong, L T Nhan, Pseudo Cohen-Macaulay and pseudo gener-alized Cohen-Macaulay modules, J Algebra, 267 (2003), 156177 [5] D Ferrand and M Raynaud, Fibres formelles d’un anneau local Noethe-rian, Ann Sci E’cole Norm Sup., (4)3 (1970), 295-311 [6] I G Macdonald, Secondary representation of modules over a commu-tative ring, Symposia Mathematica, 11 (1973), 23-43 [7] H Matsumura, Commutative ring theory", Cambridge University Press, 1986 [8] L T Nhan, T D Dung, T D M Chau, A measure for non sequen-tially Cohen-Macaulayness of finitely generated modules, J Algebra, 468 (2016), 275-295 [9] L T Nhan, N T K Nga and P H Khanh, Non-CohenMacaulay locus and non generalized Cohen-Macaulay locus, Comm Algebra, 42 (2014), 4412-4425 50 [10] P Schenzel, On the dimension filtration and Cohen-Macaulay filtered modules, In: Proc of the Ferrara meeting in honour of Mario Fiorentini, University of Antwerp Wilrijk, Belgium, (1998), 245-264 [11] R P Stanley, Combinatorics and Commutative Algebra", Second edi-tion, Birkhauser Boston-Basel-Berlin 51 ... Chƣơng Kiểu đa thức mô? ?un 1.1 Chiều độ sâu mô? ?un 1.2 Mô? ?un đối đồng điều địa phương 1.3 Vành mô? ?un Cohen – Macaulay 11 1.4 Kiểu đa thức mô? ?un ... Chƣơng Kiểu đa thức dãy mô? ?un 29 2.1 Lọc chiều mô? ?un 29 2.2 Vành mô? ?un Cohen – Macaulay dãy 34 2.3 Kiểu đa thức dãy mô? ?un 38 2.4 Kiểu đa thức dãy qua đầy đủ địa. ..ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM NGUYỄN THỊ HUYỀN THƢƠNG VỀ KIỂU ĐA THỨC DÃY CỦA M? ?ĐUN HỮU HẠN SINH TRÊN VÀNH NOETHER ĐỊA PHƢƠNG Ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC