(Luận văn) môđun không bé, môđun không đối bé và áp dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN HỒ THỊ MINH HƯƠNG lu MÔĐUN KHÔNG BÉ, MÔĐUN KHÔNG ĐỐI BÉ VÀ ÁP DỤNG an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu Bình Định - 2020 n va ac th si BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN HỒ THỊ MINH HƯƠNG lu MÔĐUN KHÔNG BÉ, MÔĐUN KHÔNG ĐỐI BÉ VÀ ÁP DỤNG an n va gh tn to p ie Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 8460104 d oa nl w an lu nf va LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh oi lm ul NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS Lê Đức Thoang z m co l gm @ an Lu Bình Định - 2020 n va ac th si Mục lục Bảng ký hiệu Mở đầu lu 5 10 12 Môđun không bé, môđun không đối bé 2.1 Môđun không bé 2.2 Môđun không đối bé 14 14 17 Áp dụng vào vành 3.1 Về đặc trưng vành co-H 3.2 Đặc trưng vành nửa hoàn chỉnh QF-3 an n va p ie gh tn to Kiến thức chuẩn bị 1.1 Môđun cốt yếu, đối cốt yếu 1.2 Môđun mở rộng 1.3 Môđun xạ ảnh, môđun nội xạ 1.4 Vành Artin, Vành Nơte 1.5 Vành nửa hoàn chỉnh, hoàn chỉnh 1.6 Vành Goldie vành QF d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul KẾT LUẬN 21 21 30 39 z 40 m co l gm @ TÀI LIỆU THAM KHẢO QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (bản sao) an Lu n va ac th si Bảng ký hiệu lu an n va : : : : : : : : : : : : : : : : : p ie d oa nl w nf va an lu z at nh oi R MR ( R M ) A ≤ B( A < B) A ≤max L A≤ B A ≤e B AB A∼ =B AB L A B Z ( M) E( M), Soc( M) End( M) Hom R ( M, N ) Im( f ), Ker ( f ) Rad( M), J ( R) ann( M) Các tập số tự nhiên, số nguyên, số hữu tỉ, số thực, số phức (tương ứng); vành với đơn vị 6= 0; M R-môđun phải (t.ư., trái); A môđun (t.ư., thực sự) B; A môđun cực đại B; A hạng tử trực tiếp B; A môđun cốt yếu B; A môđun đối cốt yếu B; A đẳng cấu với B; A không đẳng cấu với B; tổng trực tiếp môđun A môđun B; Mô đun suy biến mô đun M; bao nội xạ, đế môđun M (tương ứng); vành tự đồng cấu mơđun M; nhóm R-đồng cấu từ M vào N; ảnh, hạt nhân đồng cấu f (tương ứng); môđun M, vành R (tương ứng); linh hóa tử mơđun M lm ul : gh tn to N, Z, Q, R, C z m co l gm @ an Lu n va ac th si MỞ ĐẦU lu an n va p ie gh tn to Khái niệm môđun không bé môđun không đối bé khái niệm công cụ tiện ích cho việc nghiên cứu vành, Rayar đề xuất nghiên cứu vào năm 1971, sau Harada tiếp tục nghiên cứu thu nhiều kết có ý nghĩa áp dụng, áp dụng đặc trưng lớp vành Đây hướng nghiên cứu nhiều tác giả quan tâm Chúng tơi chọn đề tài: MƠĐUN KHƠNG BÉ, MƠĐUN KHƠNG ĐỐI BÉ VÀ ÁP DỤNG Khái niệm mơđun bé, trước nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu W W Leonard (xem [9]), M Rayar (xem [11]) Năm 1978, M Harada định nghĩa dùng khái niệm môđun không bé để nghiên cứu lớp vành Artin thu nhiều tính chất kết đẹp cho lĩnh vực lý thuyết vành Từ khái niệm môđun không bé trở thành khái niệm công cụ tiện ích cho việc nghiên cứu vành Luận văn bao gồm: Mở đầu, Nội dung, Kết luận Tài liệu tham khảo Nội dung luận văn gồm ba chương Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương 2: Môđun không bé, môđun không đối bé Chương 3: Áp dụng vào vành d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành kính trọng sâu sắc đến TS Lê Đức Thoang, thầy trực tiếp giảng dạy, hướng dẫn tạo điều kiện trình học tập nghiên cứu để tơi hồn thành luận văn cách tốt Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phịng sau đại học, Khoa Tốn Thống kê trường đại học Quy Nhơn quý thầy cô giáo trực tiếp giảng dạy, giúp đỡ q trình học tập trường Nhân đây, tơi xin cảm ơn anh, chị học viên lớp Đại số Lý thuyết số khóa 21, gia đình m co l gm @ an Lu n va ac th si bạn bè giúp đỡ, động viên tơi suốt q trình học tập hoàn thành luận văn Mặc dù cố gắng hạn chế thời gian trình độ nên bên cạnh kết đạt được, luận văn tránh khỏi hạn chế thiếu sót Tác giả mong nhận góp ý thẳng thắn chân thành quý thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện Ngày tháng năm 2020 Học viên thực lu an Hồ Thị Minh Hương n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương Kiến thức chuẩn bị lu Trong chương này, chúng tơi trình bày số khái niêm lý thuyết mô-đun, lý thuyết vành Các khái niệm, kết chương trình bày dựa vào [1] an n va Môđun cốt yếu, đối cốt yếu gh tn to 1.1 Định nghĩa 1.1 p ie d oa nl w (1) Môđun N R-môđun M gọi môđun cốt yếu (hay lớn) M, kí hiệu N ≤e M với môđun khác không K M ta có K ∩ N 6= Có nghĩa là, ∀U ≤ M, U ∩ E = U = Khi ta nói M mở rộng cốt yếu N an lu nf va (2) Cho M R-môđun Môđun K M gọi đối cốt yếu ( hay bé) M với môđun X M mà X 6= M K + X 6= M Nói cách khác, môđun K gọi môđun bé M với môđun X M mà K + X = M X = M Khi ta kí hiệu: K  M z at nh oi lm ul z Ví dụ 1.1.1 Xét Z-mơđun Z, Q ta có 2Z ≤e Z, Z ≤e Q Nếu R miền nguyên ideal phải khác không cốt yếu R R Môđun  M, môđun 2Z đối cốt yếu Z-môđun Q l gm @ n va an Lu (1) Cho A, B, C môđun M Khi đó: m co Tính chất 1.1.1 ac th si (a) Nếu A ≤ B ≤ C A ≤e M kéo theo B ≤e C (b) Nếu A ≤e M B ≤e M A ∩ B ≤e M (c) Nếu ϕ : M → N đồng cấu môđun A ≤e N ϕ−1 ( A) ≤e M (2) Cho A, B, C mơđun M Khi đó: (a) Nếu A ≤ B ≤ C BC kéo theo A M (b) Nếu A M B M A + B  M (c) Nếu ϕ : M → N đồng cấu mơđun A M ϕ( A) N lu Hệ 1.1 Giả sử M = L an I Mi B môđun M Khi phát n va biểu sau tương đương: tn to (1) ( B ∩ Mi ) ≤e Mi , ∀i ∈ I L gh (2) p ie I ( B ∩ Mi ) ≤e M w (3) B ≤e M d oa nl Mệnh đề 1.1 Giả sử A, B, C môđun mơđun M Khi đó: an lu (1) Nếu B ≤ C A B AC nf va (2) A ≤ B, A ≤ M B hạng tử trực tiếp M A B Mơđun mở rộng Định nghĩa 1.2 z at nh oi lm ul 1.2 z (1) Một R-môđun M gọi môđun mở rộng (hay CS-Môđun) môđun M cốt yếu hạng tử trực tiếp M Tương đương, R-môđun M gọi mơđun mở rộng mơđun đóng M hạng tử trực tiếp M m co l gm @ an Lu (2) Một R-môđun M gọi mở rộng (uniform-extending) môđun cốt yếu hạng tử trực tiếp M n va ac th si (3) Một môđun M gọi môđun FI-mở rộng với N E M 0 tồn hạng tử trực tiếp N ≤⊕ M cho N ≤e N Định lý 1.1 Cho M R-mơđun Khi đó, điều kiện sau tương đương: (1) M môđun mở rộng (2) Mỗi môđun N M có phân tích M = M1 N ≤ M1 N + M2 ≤e M L M2 cho (3) Mỗi mơđun đóng M hạng tử trực tiếp lu Hệ 1.2 Một R-mơđun M khơng phân tích mở rộng M môđun an n va L M2 M1 , M2 gh tn to Định lý 1.2 Nếu M môđun mở rộng M = M1 môđun mở rộng p ie Nhận xét 1.1 Mọi hạng tử trực tiếp môđun mở rộng (uniformextending) môđun mở rộng (uniform-extending) w d oa nl Ví dụ 1.2.1 (1) Mỗi mơđun nửa hồn chỉnh mở rộng, mơđun hạng tử trực tiếp (2) Mỗi mơđun mở rộng, mơđun khác cốt yếu an lu L nf va Định lý 1.3 Cho M = M1 M2 với M1 , M2 mơđun mở rộng Khi đó, M môđun mở rộng mơđun đóng K ⊂ M với K ∩ M1 = K ∩ M2 = hạng tử trực tiếp M z at nh oi lm ul L Mệnh đề 1.2 Cho M = M1 M2 với M1 , M2 môđun mở rộng Nếu M1 M2 -nội xạ M2 M1 -nội xạ M mơđun mở rộng z n L Mi , với Mi môđun u dim( M) = n co l i =1 gm mở rộng M = @ Mệnh đề 1.3 Cho M R-mơđun có chiều uniform hữu hạn Nếu M môđun m Mệnh đề 1.4 Cho M môđun chuỗi với chuỗi hợp thành ⊂ U ⊂ L V ⊂ M Khi đóM (U/V ) không môđun mở rộng an Lu n va ac th si 1.3 Môđun xạ ảnh, môđun nội xạ Định nghĩa 1.3 R-môđun P gọi xạ ảnh với đồng cấu f : P −→ B toàn cấu g : A −→ B R-môđun tồn đồng cấu h : P −→ A cho g◦ h = f Có nghĩa, biểu đồ sau giao hoán P ∃h A  g /  f /0 B lu an n va to Định nghĩa 1.4 R-môđun Q gọi nội xạ với đồng cấu f : A −→ Q đơn cấu g : A −→ B R-môđun tồn đồng cấu h : B −→ Q cho h◦ g = f Có nghĩa, biểu đồ sau giao hốn g /A /B gh tn f   ∃h p ie Q d oa nl w Định lý 1.4 (Tiêu chuẩn Baer) R-môđun Q nội xạ với iđêan phải U R R đồng cấu f : U −→ Q tồn đồng cấu h : R R −→ Q cho h◦ i = f với i : U −→ R phép nhúng tắc Có nghĩa, biểu đồ sau giao hoán nf va an lu /U   R ∃h Q z at nh oi lm ul f i / Định nghĩa 1.5 Đơn cấu ϕ : A R −→ CR gọi cốt yếu Imϕ môđun cốt yếu C z l gm @ Định nghĩa 1.6 Cho R-môđun A, đơn cấu α : A −→ Q gọi bao nội xạ A Q môđun nội xạ α đơn cấu cốt yếu Kí hiệu E( A) m co Ví dụ 1.3.1 Đơn cấu tắc i : ZZ −→ QZ bao nội xạ Z QZ nội xạ ZZ môđun cốt yếu QZ an Lu Bổ đề 1.1 Đối với R-môđun vành R n va ac th si  b a, b, c ∈ Q; d ∈ J ,  c  #  b a, b, c ∈ Q; d ∈ J  c (3.1) (3.2) (3.3) gh tn to Ta định nghĩa T, V, W sau # " "  Q Q a = T =  d J Q # " "  a Q Q = T =  d J Q " # "  Q Q a T = =  d J Q QQ
 p ie Khi đó, nl w (i) T vành QF d oa (ii) V vành H co− H (phải trái) nf va an lu (iii) W vành H trái co− H phải Tuy nhiên, W không vành H phải không co− H trái lm ul (iv) V, W không vành QF l gm @ • co− H phải 6= H phải z • co− H phải ⇒ H trái; z at nh oi Ta có, vành QF vành co-H hai phía quan hệ H co- H sau m co Kết đây, đưa Harada, cho cấu trúc vành nửa hoàn chỉnh thỏa mãn điều kiện (∗)∗ an Lu n va ac th si 23 Định lý 3.1 ([7], Định lý 3.6) Cho vành R nửa hoàn chỉnh Khi R thỏa mãn điều kiện (∗)∗ M M M M M R R = e1 R ··· ek R f1 R ··· f l R,  {e1 , , ek } ∪ f , , f l tập đầy đủ lũy đẳng nguyên thủy trực giao R cho điều kiện sau thỏa mãn: (i) k ≥ với i ∈ [1, k ], ei R nội xạ (ii) Với f j tồn ei , i = 1, , k, cho f i R ei R (iii) Với i, ≤ i ≤ k, tồn số nguyên ti cho ei J t mô-đun xạ ảnh với t ≤ ti ei J ti +1 mô-đun suy biến, tức J = J ( R) lu an n va Chứng minh Giả sử (∗)∗ xảy Khi đó, tồn tập tập đầy đủ lũy linh nguyên thủy {ei } cho ei R nội xạ Đặt e = ei eK môđun nội xạ thực eR Khi to tn eR ⊃ eJ ⊃ eK p ie gh Vì eR eK ⊂ Z (eR) nên eJ môđun xạ ảnh, theo Mệnh đề 2.8 Ta có eJ ' f R eJ mơđun cực đại eJ Do vậy, có dây chuyền w oa nl eR ⊃ eJ ⊃ eJ ⊃ · · · ⊃ eJ t ⊃ eK d với eJ i nội xạ, i = 1, , t Nếu eJ i ' eJ j đẳng cấu mở rộng lên đẳng cấu eR Do i = j Điều rằng, tìm giá trị m cho eJ m xạ ảnh eJ m+1 đối bé, tức suy biến Nếu f j R khơng nội xạ f j R chứa ei R Do f j R ∼ = ei J ti Ngược lại, gọi M môđun khơng đối bé Khi đó, tồn m ∈ M lũy linh nguyên thủy g cho gmR đối bé Vì gR nên mgR ' eR gR ' ei J t Do vậy, có biểu đồ giao hốn nf va an lu z at nh oi lm ul z / / m an Lu  ei R h co ei ∼ = } t J l  M gm mgR @ n va ac th si 24 Khi đó, tìm đồng cấu h : M −→ ei R ei R nội xạ Vì Imh ⊇ ei J t ei R ⊃ ei J ⊃ eJ ⊃ · · · dây chuyền Imh = ei J ti xạ ảnh Từ đây, ta thấy M chứa môđun xạ ảnh đẳng cấu với ei J ti tổng trực tiếp Trong [10], Oshiro đưa đặc trưng vành co− H sau lu Định lý 3.2 ([10], Định lý 3.18) Cho vành R Khi đó, điều kiện sau tương đương an n va (i) R vành co-H phải tn to (ii) Mọi R−môđun phải xạ ảnh mô-đun CS ie gh (iii) Họ R−môđun phải xạ ảnh đóng phép lấy mở rộng cốt yếu p Như biết, khái niệm môđun CS mở rộng thực khái niệm môđun nội xạ Kết hợp kết Định lý 1.6 Định lý 3.2 thấy lớp vành co− H mở rộng đẹp lớp vành QF d oa nl w lu nf va an Bổ đề 3.1 Cho R vành hoàn chỉnh trái, CS phải thỏa mãn R−môđun 2−sinh xạ ảnh suy biến Khi R vành QF − phải Hơn nữa, R thỏa mãn điều kiện (∗)∗ lm ul z at nh oi Chứng minh [Xem [13], Bổ đề 2.1.4] z Kết cho mô tả vành hoàn chỉnh trái thỏa mãn điều kiện (∗)∗ @ L R R mô-đun CS an Lu (ii) R R m (i) R thỏa mãn điều kiện (∗) co l gm Định lý 3.3 ([13], Mệnh đề 2.1.5) Cho vành hồn chỉnh trái R Khi đó, phát biểu sau tương đương n va ac th si 25 (ii)’ Mọi R−môđun phải 2−sinh tổng trực tiếp mô-đun xạ ảnh mô-đun suy biến (k) (iii) R R mô-đun CS với k ∈ N (iii)’ Mọi R−môđun phải hữu hạn sinh tổng trực tiếp mô-đun xạ ảnh mô-đun suy biến (iv) R vành CS phải R−môđun phải 2−sinh trực tiếp suy biến lu Chứng minh Theo [[8], Bổ đề 3], ta nhận ii ⇔ (ii)’ iii ⇔ (iii)’ i ⇔ (iii) Giả sử R vành hoàn chỉnh trái thỏa mãn điều kiện (∗) Trước hết, ta chứng minh R R có chiều Goldie hữu hạn Gọi {e1 , , en } tạp đầy đủ lũy đẳng nguyên thủy trực giao R Ta có an n va M e2 R M ··· M en R tn to R R = e1 R p ie gh Đặt e = ei gọi U môđun eR Xét mô-đun eR/U, eR/U mô-đun không đối bé M M2 /U, nl w eR/U = M1 /U d oa với M1 /U mô-đun xạ ảnh không tầm thường, theo điều kiện (∗)∗ Khi đó, M1 /U ∼ = (eR/U ) / ( M2 /U ) ∼ = eR/M2 nên eR/M2 xạ ảnh Từ suy M2 hạng tử trực tiếp eR, điều mâu thuẫn với eR iđêan khơng phân tích Do eR/U mơ-đun đối bé, hay nói cách khác eR/U mô-đun suy biến Suy U ≤e eR ei R iđêan với i Do đó, R R có chiều Goldie hữu hạn (k) Giả sử B hạng tử trực tiếp R R Khi đó, B có chiều Goldie hữu hạn t ≤ kn Như vậy, dãy nf va an lu z at nh oi lm ul z (k) gm @ B1 > B2 > · · · l hạng tử trực tiếp R R có hữu hạn phần tử phân biệt (k) m co Giả sử M mô-đun R R Xét tập hợp   L ( k ) S = M0 M0 ≤ M ≤ R R an Lu n va ac th si 26 (k) Vì R R có chiều Goldie hữu hạn nên ta suy S có phần tử cực tiểu, ta gọi phần tử M∗ Chúng ta chứng minh M ≤e M∗ Thật vậy, giả sử M môđun cốt yếu M∗ Khi đó, M∗ /M mơđun khơng đối bé (khơng suy biến) Theo (i), ta có C = M∗ /M chứa hạng tử trực tiếp xạ ảnh không tầm thường Vậy C = M1 /M M M2 /M, với M1 /M môđun xạ ảnh không tầm thường Ta có
M∗ /M2 ∼ = M∗ /M / ( M2 /M) ∼ = M1 /M, lu an n va p ie gh tn to L mô-đun xạ ảnh Do M∗ = M2 D với D∼ = M1 /M môđun L ∗ xạ ảnh không tầm thường Vậy M ≤ M2 ≤ M với M2 6= M∗ Điều mâu thuẫn với tính cực tiểu M∗ S Vậy, ta có M ≤e M∗ , (k) suy R R môđun CS iii ⇔ (ii) Rõ ràng ii ⇔ (iv) Với giả thiết (ii), dễ thấy R R môđun CS Gọi U R−môđun 2−sinh Nếu U mơđun khơng suy biến U 6= Z (U ) Theo [[11], Mệnh đề 2.4], ta có U mơđung khơng đối bé Mặt khác, theo (ii)’, ta có d oa nl w an lu U − U1 M U2 , nf va với U1 mơđun xạ ảnh khơng tầm thường Vì U mơđun khơng phân tích nên suy U2 = U = U1 môđun xạ ảnh iv ⇔ (i) Theo Bổ đề 3.1 z at nh oi lm ul Kết cho đặc trưng vành co− H vành hoàn chỉnh phải trái z m co (i) R vành co− H phải l gm @ Định lý 3.4 ([13], Định lý 2.1.6) Cho vành R Các phát biểu sau tương đương an Lu (ii) R vành hoàn chỉnh phải trái, thỏa mãn ACC linh hóa tử phải, đồng thời thỏa mãn điều kiện tương đương sau: n va ac th si