THÔNG TIN TÀI LIỆU
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN HÀ THỊ PHƯƠNG THẢO lu an n va p ie gh tn to VỀ MÔĐUN PHỤ ĐỐI HỮU HẠN VÀ MÔĐUN H- PHỤ ĐỐI HỮU HẠN d oa nl w a lu f an nv LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC oi lm ul z at nh z om l.c gm @ n a Lu BÌNH ĐỊNH - NĂM 2019 n va ac th si BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN HÀ THỊ PHƯƠNG THẢO lu an n va VỀ MÔĐUN PHỤ ĐỐI HỮU HẠN VÀ MÔĐUN H- PHỤ ĐỐI HỮU HẠN p ie gh tn to d oa nl w Chuyên ngành : Mã số : Đại số lí thuyết số 8460104 a lu oi lm ul f an nv z at nh Người hướng dẫn : Tiến sĩ Mai Quý Năm z om l.c gm @ n a Lu n va ac th si Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn với đề tài: Về môđun phụ đối hữu hạn môđun H- phụ đối hữu hạn cơng trình nghiên cứu khoa học hướng dẫn TS Mai Quý Năm khơng chép Các kết trình bày luận văn trích dẫn nguồn gốc rõ ràng Bình Định, ngày 26 tháng 08 năm 2019 lu an n va Học viên thực p ie gh tn to d oa nl w Hà Thị Phương Thảo a lu oi lm ul f an nv z at nh z om l.c gm @ n a Lu n va ac th si Lời cảm ơn Lời xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy TS MAI QUÝ NĂM, người trực tiếp hướng dẫn, dẫn tận tình giải đáp thắc mắc suốt trình tơi hồn thành luận văn Đồng thời tơi xin bày tỏ biết ơn sâu sắc đến thầy khoa Tốn thống kê, Trường Đại học Quy Nhơn bảo, truyền dạy cho kiến thức bổ ích suốt năm theo học trường, lãnh lu an đạo Trường Đại học Quy Nhơn, phòng Đào tạo sau đại học tạo điều n va kiện thuận lợi cho học viên khác Cuối cùng, xin tn to gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè, người ủng hộ cổ vũ p ie gh tinh thần giúp tơi có động lực để hồn thành luận văn cách tốt d oa nl w Trong trình làm luận văn, thời gian có hạn lực, kiến thức thân cịn hạn chế nên khơng trách khỏi sai sót, kính mong a lu thầy bảo độc giả đóng góp ý kiến để giúp luận văn f an nv hoàn thiện oi lm ul Tôi xin chân thành cảm ơn! z at nh z om l.c gm @ n a Lu n va ac th si Lời mở đầu Cho M R-môđun N , L hai môđun M Người ta gọi N phần phụ L M N cực tiểu theo quan hệ bao hàm tập môđun A M thỏa mãn A + L = M Một môđun M gọi mơđun phần phụ hay nói tắt phần phụ phần phụ mơđun M Phần phụ xuất lần cơng trình nghiên cứu E.A Mares (1966) lu an mơđun vành nửa hồn chỉnh tiếp tục nghiên cứu F n va Kasch Mares quan hệ với phủ xạ ảnh môđun Phần phụ tn to môđun không thiết tồn tồn phần phụ p ie gh quan hệ chặt chẽ với tồn phủ xạ ảnh Một môđun M d oa nl w gọi môđun phụ mơđun có phần phụ Lớp môđun phụ mở rộng thực lớp môđun nâng- lớp môđun quan trọng quan tâm nghiên cứu rộng rãi nhiều chục năm a lu qua Một điều rõ ràng hạng tử trực tiếp môđun M f an nv phần phụ, điều ngược lại nói chung không trường oi lm ul hợp tổng quát Bởi lẽ đó, phần phụ khảo sát theo ý tưởng xấp xỉ đồng với hạng tử trực tiếp Điều dẫn đến khái niệm nh z at môđun H-phụ định nghĩa sau: Môđun M goị H-phụ với z môđun A M , tồn hạng tử trực tiếp D M cho @ gm với môđun X M , M = A + X M =A + D om l.c Từ định nghĩa dễ dàng chứng minh M H-phụ mơđun M có phần phụ hạng tử trực tiếp M , a Lu n vậy, M mơđun phụ Các tính chất môđun phụ n va ac th si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an mơđun H-phụ tìm thấy [8; 11; 13; 15; 18; 21] Vào năm 2001, R Alizade cộng [1] giới thiệu khái niệm môđun phụ đối hữu hạn - dạng tổng qt hóa mơđun phụ Một mơđun N môđun M gọi đối hữu hạn (cofinite) môđun thương M/N hữu hạn sinh, M gọi môđun phụ đối hữu hạn (cofinitely supplemented module) môđun đối hữu hạn M có phần phụ Rõ ràng mơđun phụ phụ đối hữu hạn lu Theo hướng này, vào năm 2007, M.T.Kosan [12] định nghĩa khảo an sát mơđun H-phụ đối hữu hạn tổng qt hóa môđun H- n va phụ điều kiện tương tự hạn chế cho môđun đối hữu hạn Các p ie gh tn to môđun H-phụ đối hữu hạn tiếp tục nghiên cứu Y.Talebi cộng [17] (2013) d oa nl w Như biết, phần phụ mơđun phụ có quan hệ chặt chẽ với tồn phủ xạ ảnh Bởi vậy, cách tự nhiên, môđun phụ môđun a lu H-phụ sử dụng khảo sát vành hoàn chỉnh nửa hoàn chỉnh f an nv Tương tự, Y.Talebi [17] nghiên cứu lớp vành với tính chất đặc oi lm ul trưng cho H-phụ đối hữu hạn Xuất phát từ nội dung trình bày đây, chúng tơi lựa chọn đề tài luận văn thạc sĩ " Về môđun z at nh phụ đối hữu hạn môđun H-phụ đối hữu hạn" Mục tiêu đề tài tổng hợp trình bày với chứng minh chi tiết z gm @ kết môđun phụ đối hữu hạn môđun H-phụ đối hữu hạn từ tài liệu tham khảo [1], [2], [11], [12], [16] [17] Đồng l.c om thời, nghiên cứu, phát nhằm bổ sung kết n a Lu lớp môđun mối quan hệ chúng với lớp môđun phụ Nội n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an dung luận văn trình bày chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương chúng tơi trình bày số khái niệm kết liên quan đến nội dung luận văn Chương 2: Môđun phụ đối hữu hạn Chúng giới thiệu định nghĩa số kết môđun phụ đối hữu hạn môđun phụ yếu đối hữu hạn lu Chương 3: Môđun H-phụ đối hữu hạn ứng dụng an Chúng tơi trình bày định nghĩa số kết môđun H-phụ, n va môđun H-phụ đối hữu hạn ứng dụng vào đặc trưng vành p ie gh tn to d oa nl w a lu oi lm ul f an nv z at nh z om l.c gm @ n a Lu n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Mục lục Bảng kí hiệu lu Lời mở đầu an n va 1.1 Môđun nhỏ, môđun hổng môđun 1.2 Môđun phụ môđun phụ yếu, phần phụ yếu p ie gh tn to KIẾN THỨC CHUẨN BỊ d oa nl w 1.3 Một vài lớp môđun 10 14 a lu MƠĐUN PHỤ ĐỐI HỮU HẠN Mơđun phụ đối hữu hạn 14 2.2 Môđun phụ yếu đối hữu hạn 25 oi lm ul f an nv 2.1 MÔĐUN H- PHỤ ĐỐI HỮU HẠN VÀ ỨNG DỤNG 36 Môđun H- phụ 36 3.2 Môđun H- phụ đối hữu hạn ứng dụng 48 z z at nh 3.1 gm @ Kết luận 66 om l.c Tài liệu tham khảo 67 n a Lu n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Bảng kí hiệu Mơđun Môđun nhỏ ( hay đối cốt yếu) Soc(M ) Đế môđun M ⊆e Môđun cốt yếu ( hay lớn) Rad(M ) Căn môđun M Rad(R), J ac(R), J (R) Căn Jacobson vành R lu an n va Bao nội xạ môđun M ⊆⊕ Hạng tử trực tiếp Ker(f ) Hạt nhân đồng cấu f Im(f ) Ảnh đồng cấu f EndR (M ) Vành tự đồng cấu môđun M Môđun ⊕-phụ Môđun trực tiếp phụ cws- môđun Môđun phụ yếu đối hữu hạn p ie gh tn to E(M ) d oa nl w a lu oi lm ul f an nv z at nh z om l.c gm @ n a Lu n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ lu an n va Trong chương chúng tơi trình bày số khái niệm kết tn to liên quan đến nội dung luận văn trích dẫn từ tài p ie gh liệu [8], [15], [16], [21] d oa nl w 1.1 Môđun nhỏ, môđun hổng môđun Định nghĩa 1.1.1 Một môđun A môđun M gọi nhỏ a lu f an nv M với mơđun B 6= M ta có A + B 6= M Một cách tương đương, A + B = M kéo theo B = M Khi ta kí hiệu oi lm ul A M z at nh Mệnh đề 1.1.2 ([21]; 19.3) Cho K, L M R-mơđun, z (1) Nếu K ⊂ L ⊆ M L M K M L/K @ gm M/K om l.c (2) Nếu Ki M , (1 ≤ i ≤ n) K1 + K2 + Kn M n K L a Lu (3) Nếu K ⊂ L ⊆ M L hạng tử trực tiếp M K M n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 55 hạng tử trực tiếp, M gọi môđun phân phối dàn môđun M dàn phân phối Định lý 3.2.7 ([12]; Định lý 2.1) (1) Giả sử M môđun H- phụ đối hữu hạn X môđun M Nếu với hạng tử trực tiếp K M , (X + K)/X hạng tử trực tiếp M/X M/X H- phụ đối hữu hạn lu (2) Giả sử M môđun H- phụ đối hữu hạn SSP Thế an hạng tử trực tiếp M môđun H- phụ đối hữu hạn n va M/N H- phụ đối hữu hạn với môđun N M p ie gh tn to (3) Giả sử M môđun phân phối H- phụ đối hữu hạn Thế d oa nl w Chứng minh (1) Mỗi mơđun đối hữu hạn M/N có dạng T /N với T môđun đối hữu hạn M N ⊆ T Vì M Hphụ đối hữu hạn nên tồn hạng tử trực tiếp D M cho a lu f an nv M = T + Y M = D + Y Bởi giả thiết, (D + N )/N hạng tử trực tiếp M/N Do đó, M/N = T /N + L/N oi lm ul M/N = (D + N )/N + L/X với L/N ≤ M/N z at nh (2) Cho N hạng tử trực tiếp M Xét M = N ⊕N với N ≤ M Để chứng minh N H- phụ đối hữu hạn ta cần M/N H- z gm @ phụ đối hữu hạn Giả sử L hạng tử trực tiếp M Vì M có SSP, L+N hạng tử trực tiếp M Giả sử M = (L+N )⊕K a Lu môđun H- phụ đối hữu hạn (1) om l.c với K ≤ M Thế M/N = (L + N )/N ⊕ (K + N )/N Do đó, M/N n (3) Lấy D hạng tử trực tiếp M Và M = D ⊕D0 với D0 ≤ M n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 56 Bây M/N = (D + N )/N + (D0 + N )/N với môđun N M Chú ý N = N + (D ∩ D0 ) = (N + D) ∩ (N + D0 ) theo tính chất phân phối M Bây M/N = (D + N )/N ⊕ (D0 + N )/N Bởi (1) M/N mơđun H- phụ đối hữu hạn Một môđun M gọi Duo môđun N M bất biến hồn tồn, có nghĩa f (N ) ⊆ N với tự đồng cấu M Một kết biết môđun Duo có SSP Bởi vậy, Định lý lu 3.2.7 (2) có hệ sau: an n va Hệ 3.2.8 [12, Hệ 2.3] Giả sử M môđun Duo H- phụ p ie gh tn to đối hữu hạn Thế hạng tử trực tiếp M môđun H- phụ đối hữu hạn d oa nl w Quay lại mối quan hệ tính chất H- phụ đối hữu hạn ⊕- phụ đối hữu hạn, ta có: a lu Mệnh đề 3.2.9 [12, Mệnh đề 2.4] Giả sử M môđun ⊕- phụ đối f an nv hữu hạn cho với phân tích M = M1 ⊕ M2 M1 M2 oi lm ul xạ ảnh tương hỗ Thế M mơđun H- phụ đối hữu hạn z at nh Chứng minh Lấy N môđun đối hữu hạn M Vì M mơđun ⊕- phụ đối hữu hạn nên N có phần phụ hạng tử trực z gm @ tiếp M2 M Thế tồn phân tích M = M1 ⊕ M2 cho M = N + M2 N ∩ M2 M2 với môđun M1 M2 Theo giả l.c om thiết, M1 M2 - xạ ảnh Bởi [15, Bổ đề 4.47] ta nhận M = A ⊕ M2 a Lu với môđun A M cho A ≤ N Thế N = A ⊕ (M2 ∩ N ).Giả n sử X M với M = N + X Thế M = A + (M2 ∩ N ) + X Vì M2 ∩ N n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 57 nhỏ M2 nhỏ M , M = A + X Do đó, M = N + X M = A + X Vậy, M môđun H- phụ đối hữu hạn Nhận xét 3.2.10 Đối với môđun H- phụ trình bày Chương 2, ta có kết hoàn toàn tương tự với Hệ 3.2.8 Mệnh đề 3.2.9 ( xem Nhận xét 3.1.13., mục 3.1) Như nói, ta chưa biết hạng tử trực tiếp môđun H- phụ lu đối hữu hạn có H- phụ đối hữu hạn hay khơng Từ đó, người ta khảo an n va sát mơđun M có hạng tử trực tiếp H- phụ đối hữu hạn tn to gọi mơđun H- phụ đối hữu hạn hồn tồn (Completely H-cofinitely p ie gh supplemented) Với khái niệm này, Hệ 3.2.8 khẳng định môđun Duo H- phụ đối hữu hạn H- phụ đối hữu hạn hoàn toàn d oa nl w Với tính chất Duo, ta xét tổng trực tiếp hữu hạn môđun Hphụ đối hữu hạn a lu f an nv Định lý 3.2.11 ([12]; Định lý 2.5) Giả sử M = M1 ⊕ M2 môđun Duo Nếu M1 M2 H- phụ đối hữu hạn M H- phụ đối hữu oi lm ul hạn z at nh Chứng minh Giả sử M1 M2 môđun H- phụ đối hữu hạn Lấy môđun đối hữu hạn L M Bởi [14], L = (L∩M1 )⊕(L∩M2 ) z gm @ Hiển nhiên L ∩ M1 L ∩ M2 môđun đối hữu hạn M1 M2 , tương ứng Với i tồn hạng tử trực tiếp Di Mi cho l.c om Mi = Di + Yi Mi = Ai + Yi với Yi ≤ Mi Đặt a Lu D = D1 ⊕ D2 , lấy X ≤ M Thế X = X1 ⊕ X2 , Xi = X ∩ Mi n giả thiết Duo Do M = A + X Mi = Ai + Xi (i = 1, 2) n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 58 Mi = Di + Xi (i = 1, 2) M = D + X Từ Định lý 3.2.11., thu hệ sau cho tổng hữu hạn Hệ 3.2.12 Giả sử M = ⊕ni=1 Mi môđun Duo Nếu Mi Hphụ đối hữu hạn với i = 1, , n M H- phụ đối hữu hạn Chứng minh Trường hợp n = chứng minh Định lý 3.2.11 Ta chứng minh Hệ 3.2.12 cho n > quy nạp Trước lu hết ta chứng minh rằng, hạng tử trực tiếp môđun Duo an môđun Duo Giả sử M = N ⊕ L môđun Duo Xét tự đồng n va cấu f : N −→ N môđun A N Gọi p : M −→ N phép tn to chiếu tổng trực tiếp M = N ⊕ L lên N , có nghĩa p(x + y) = x, p ie gh ∀x ∈ N , y ∈ L Kí hiệu q phép nhúng tắc N vào M = N ⊕ L d oa nl w Đặt φ = q.f.p : M −→ M Thế giả thiết M mơđun Duo, a lu ta có φ(A) ⊆ A Dễ thấy φ(A) = f (A), A bất biến f Vậy N n L môđun Duo Bây giả sử M = Mi , (n > 2) môđun Duo i=1 f an nv Mi H- phụ đối hữu hạn với i = 1, , n Thế thì, N = n−1 L Mi i=1 oi lm ul môđun Duo M = N ⊕ Mn H- phụ đối hữu hạn giả thiết quy nạp Bây M = N ⊕ Mn H- phụ đối hữu hạn z at nh Định lý 3.2.11 z môđun H- phụ đối hữu hạn l.c gm @ Tiếp theo, trở lại xem xét hạng tử trực tiếp môđun thương om Mệnh đề 3.2.13 [17; Mệnh đề 3.5] Cho M môđun H- phụ đối n a Lu hữu hạn N môđun M Giả sử với hạng tử n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 59 trực tiếp K M , (K + N )/N chặn hạng tử trực tiếp M/N Thế M/N H- phụ đối hữu hạn Chứng minh Lấy Y /N ≤ M/N môđun đối hữu hạn Vì M Hphụ đối hữu hạn nên tồn hạng tử trực tiếp K M cho M = X + Y M = X + K với X ≤ M Bởi giả lu thiết, có mơđun L M cho N ⊆ L ⊆ K + N , L/N (K + N )/N M/N hạng tử trực tiếp M/N Lấy X ≤ M L/N L/N môđun cho N ⊆ X Nếu M/N = X/N + L/N , an n va M = X + L Vậy M = X + K + N = X + K Do đó, M = X + Y tn to Vì M/N = X/N + Y /N Mặt khác, M/N = X/N + Y /N , p ie gh M = X +Y Vì M = X +K Vậy M/N = [(X +L)/N ]+[(K +N )/N M/N (X + L)/N (K + N )/N Theo = + Điều dẫn đến M/N = L/N L/N L/N X/N + L/N Mệnh đề chứng minh d oa nl w Mệnh đề 3.2.14 [17; Mệnh đề 3.7] Cho M môđun H- phụ đối a lu hữu hạn N hạng tử trực tiếp M Giả sử với hạng f an nv tử trực tiếp K M với M = N + K, N ∩ K hạng tử trực oi lm ul tiếp M Thế N H- phụ đối hữu hạn z at nh Chứng minh Lấy N môđun M cho M = N ⊕ N Xét A môđun đối hữu hạn N Thì A ⊕ N mơđun z gm @ đối hữu hạn M Bởi giả thiết có hạng tử trực tiếp D M cho M = Y + D M = Y + A + N với Y ≤ M l.c om Vì M = N + A + N , ta có M = N + D Vì D ∩ N hạng tử a Lu trực tiếp N Lấy X ≤ N mơđun Nếu N = X + A, n M = X + A + N Vậy M = X + D Do N = X + (D ∩ N ) Mặt n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 60 khác, N = X + (D ∩ N ), M = X + (D ∩ N ) + D = X + D M = N + D Vì M = X + A + N Vì X + A ≤ N , ta có N = X + A Kết là, N H- phụ đối hữu hạn Xin nhắc lại, mơđun M gọi có (D3 ) với hạng tử trực tiếp tùy ý M1 M2 cho M = M1 + M2 , M1 ∩ M2 hạng tử trực tiếp M Mơđun M gọi có SIP (Summand Intersection Property) giao hai hạng tử trực tiếp tùy ý M lu hạng tử trực tiếp M an n va Rõ ràng, M mơđun H- phụ đối hữu hạn có (D3 ) có tn to SIP hạng tử trực tiếp N M thỏa mãn giả thiết p ie gh Mệnh đề 3.2.14 đây, đó, N H- phụ đối hữu hạn Nói cách khác, M môđun H- phụ đối hữu hạn hồn tồn Ta có kết d oa nl w sau: Định lý 3.2.15 [17; Định lý 3.8] Giả sử M môđun H- phụ đối a lu hạn hoàn toàn oi lm ul f an nv hữu hạn có (D3 ) có SIP Thế M môđun H- phụ đối hữu Chứng minh Suy từ Mệnh đề 3.2.14 nh z at Hoàn toàn tương tự môđun H- phụ Mệnh đề 3.1.5, kết z cho điều kiện đủ để môđun thương hạng tử trực tiếp @ l.c gm môđun H- phụ đối hữu hạn H- phụ đối hữu hạn Mệnh đề 3.2.16 [17; Mệnh đề 3.10] Cho M môđun N om a Lu môđun M cho với phân tích M = M1 ⊕ M2 , ta có n N = (N ∩ M1 ) ⊕ (N ∩ M2 ) Nếu M H- phụ đối hữu hạn M/N n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 61 H- phụ đối hữu hạn Thêm nữa, N hạng tử trực tiếp M N H- phụ đối hữu hạn Chứng minh Lấy D D0 môđun M cho M = D ⊕ D0 Bởi giả thiết, ta có N = (D∩N )⊕(D0 ∩N ) Thế (D+N )∩(D0 +N ) = [D ⊕ (D0 ∩ N )] ∩ [(D ∩ N ) ⊕ D0 ] = (D ∩ N ) ⊕ (D0 ∩ N ) = N Vì vậy, M/N = [(D + N )/N ] ⊕ [(D0 + N )/N ] Mệnh đề 3.2.13 M/N môđun H- phụ đối hữu hạn lu Bây giả sử N hạng tử trực tiếp M Lấy D an n va D0 môđun M cho M = D ⊕ D0 = N + D Vì N = tn to (D ∩ N ) ⊕ (D0 ∩ N ), ta có M = (D ∩ N ) + (D0 ∩ N ) + D = D ⊕ (D0 ∩ N ) p ie gh Dẫn đến D0 ∩ N = D0 Do D0 ⊆ N Theo N = (D ∩ N ) ⊕ D0 Kết từ Mệnh đề 3.2.14 d oa nl w Nhận xét 3.2.17 Một môđun N M thỏa mãn giả thiết Mệnh đề 3.2.16 N môđun bất biến chiếu (projection a lu invariant), có nghĩa e(N ) ⊆ N với tự đồng cấu lũy đẳng (e2 = e) oi lm ul f an nv M Kết cho điều kiện đủ để hạng tử trực tiếp môđun H- phụ đối hữu hạn H- phụ đối hữu hạn Kết nh z at hoàn toàn tương tự với kết cho Định lý 3.1.9(2) môđun H- z phụ gm @ Định lý 3.2.18 [17; Định lý 3.12] Giả sử M = M1 ⊕ M2 Nếu M H- l.c om phụ đối hữu hạn M2 M1 - xạ ảnh M1 H- phụ đối hữu hạn a Lu Chứng minh Lấy D hạng tử trực tiếp M cho M = n M1 + D Vì M2 M1 - xạ ảnh nên theo [8; 4.12] ta có M = M1 ⊕ D0 với n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 62 môđun D0 ≤ D Vậy D = (M1 ∩ D) ⊕ D0 Vì M1 ∩ D hạng tử trực tiếp M Dẫn đến M1 H- phụ đối hữu hạn Mệnh đề 3.2.14 Bổ đề 3.2.19 [17; Bổ đề 4.5] Cho M = M1 ⊕ M2 tổng trực tiếp hai môđun H- phụ đối hữu hạn M1 M2 Giả sử N môđun đối hữu hạn M với M1 ⊆ N Thế tồn hạng tử trực tiếp D2 M2 cho M = X + N M = X + M1 + D2 với lu môđun X M an n va Chứng minh Vì M/M1 H- phụ đối hữu hạn N/M1 môđun p ie gh tn to đối hữu hạn M/M1 nên tồn môđun D M chứa M1 cho D/M1 hạng tử trực tiếp M/M1 M/M1 = d oa nl w X/M1 + N/M1 M/M1 = X/M1 + D/M1 với X ≤ M với M1 ⊆ X Lấy D0 môđun M cho M1 ⊆ D0 (D/M1 )⊕(D0 /M1 ) = M/M1 Vì D = M1 ⊕(M2 ∩D), ta có D0 +(M2 ∩D) = a lu f an nv M Nhưng D0 ∩(M2 ∩D) ≤ M1 ∩M2 = Thế D0 ⊕(M2 ∩D) = M Lấy D2 = M2 ∩ D Hiển nhiên D2 hạng tử trực tiếp M2 Bây giả sử oi lm ul X môđun M Nếu M = X + N M = X + M1 + N Vì z at nh M = X + M1 + D = X + M1 + D2 ra, M = X + M1 + D2 , M = X + M1 + D Vậy M = X + M1 + N = X + N Bổ đề z gm @ chứng minh xong Bổ đề 3.2.20 [21, Bổ đề 1.24] Cho K, L N môđun M l.c om Giả sử K + L = M (K ∩ L) + N = M Thế n a Lu K + (L ∩ N ) = L + (K ∩ N ) = M n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 63 Chứng minh Đầu tiên ý K + (L ∩ N ) = K + (L ∩ K) + (L ∩ N ) = K + (L ∩ ((L ∩ K) + N )) = K + (L ∩ M ) = K + L = M Lập luận tương tự cho L + (K ∩ N ) ta L + (K ∩ N ) = M Định lý xét tổng trực tiếp hai môđun H- phụ đối hữu lu hạn Kết hồn tồn tương tự kết mơđun H- phụ an Định lý 3.1.9(1) n va tn to Định lý 3.2.21 [17; Định lý 4.7] Cho M = M1 ⊕ M2 Nếu M1 M2 - p ie gh xạ ảnh (hoặc M2 M1 - xạ ảnh căn) M1 , M2 H- phụ đối hữu hạn M H- phụ đối hữu hạn d oa nl w Chứng minh Lấy Y môđun đối hữu hạn M Thế M/Y phụ yếu đối hữu hạn Mệnh đề 2.2.4 Mệnh đề 2.2.9 Do tồn a lu môđun L M cho Y ⊆ L, M/Y = (L/Y )+[(Y +M2 )/Y ] f an nv [L ∩ (Y + M2 )/Y ] M/Y Thế M = L + M2 Bởi [17, Bổ đề oi lm ul 4.4] (L + M1 )/L M/L Bởi bổ đề 3.2.19, tồn nh hạng tử trực tiếp D1 M1 cho X + Y + M2 = M z at X + D1 + M2 = M với X ≤ M Cũng theo Bổ đề 3.2.19 tồn z hạng tử trực tiếp D2 M2 cho X + L + M1 = M @ gm X + M1 + D2 = M với X ≤ M Ta đặt D = D1 ⊕ D2 = Lấy X ≤ M mơđun Thế om l.c (D1 ⊕ M2 ) ∩ (M1 ⊕ D2 ) Rõ ràng, D hạng tử trực tiếp M n a Lu M = X + D ⇔ M = X + [(D1 ⊕ M2 ) ∩ (M1 ⊕ D2 )] n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 64 ⇔ ⇔ ⇔ lu an n va ⇔ p ie gh tn to d oa nl w ⇔ M = (D1 ⊕ M2 ) + [X ∩ (M1 ⊕ D2 )], M= X + (M1 ⊕ D2 ) Bổ đề 3.2.20 M = (Y+M2 ) + [X ∩ (M1 ⊕ D2 )], M = X + (M1 ⊕ D2 ) M= (M1 ⊕ D2 ) + [X ∩ (Y + M2 )], M= X+Y+M2 Bổ đề 3.2.20 M= (L+M1 ) + [X ∩ (Y + M2 )], M= X+Y+M2 M= L + [X ∩(Y + M2 )] a lu M= X+Y+M2 (L + M1 )/L M/L M= X+ [ L ∩(Y + M2 )] Bổ đề 3.2.20 ⇔ f an nv M= L+M2 oi lm ul ⇔ M = X + Y [L ∩ (Y + M2 )]/Y M/Y Do M H- phụ đối hữu hạn z at nh Để kết thúc Luận văn, chúng tơi trình bày định lý đặc trưng z gm @ vành nửa hồn chỉnh mơđun H- phụ đối hữu hạn Định lý phát biểu hoàn toàn tương tự với Định lý 2.9 [6] đặc trưng l.c om vành nửa hồn chỉnh mơđun ⊕- phụ đối hữu hạn a Lu Hơn nữa, phương pháp kỹ thuật chứng minh hai kết n tương tự n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 65 Định lý 3.2.22 ([17]; Định lý 5.1) Đối với vành R phát biểu sau tương đương: (1) Vành R nửa hồn chỉnh (2) Mọi R-mơđun trái tự hữu hạn sinh H-phụ đối hữu hạn (3) R R H-phụ (4) R R H-phụ đối hữu hạn lu an (5) Mọi R-môđun trái tự H-phụ đối hữu hạn n va tn to Chứng minh Bằng phương pháp ký thuật tương tự phép p ie gh chứng minh kết [6; Định lý 2.9], đồng thời sử dụng kết áp dụng Mệnh đề 3.2.6, ta có phép chứng minh cho Định lý d oa nl w a lu oi lm ul f an nv z at nh z om l.c gm @ n a Lu n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 66 Kết luận Luận văn bao gồm nội dung sau: Trình bày chi tiết số kết môđun phụ đối hữu hạn môđun lu an phụ yếu đối hữu hạn: Định nghĩa; tính chất đặc trưng môđun n va phụ đối hữu hạn (Định lý 2.1.12) môđun phụ đối hữu hạn đủ (Định lý p ie gh tn to 2.1.14); tính chất đặc trưng môđun phụ yếu đối hữu hạn (Định lý 2.2.12) môđun phụ yếu đối hữu hạn với nhỏ (Định lý 2.2.16) d oa nl w Trình bày chi tiết số vấn đề mơđun H- phụ: Định nghĩa; tính chất đặc trưng (Định lý 3.1.4); Môđun thương hạng tử trực tiếp a lu môđun H- phụ (Mệnh đề 3.1.5); Tổng trực tiếp hữu hạn môđun f an nv H- phụ (Định lý 3.1.9) oi lm ul Trình bày số nội dung môđun H- phụ đối hữu hạn: Định nghĩa; tính chất đặc trưng mơđun H- phụ đối hữu hạn (Định lý 3.2.3); z at nh môđun H- phụ đối hữu hạn π- xạ ảnh (Mệnh đề 3.2.6); kết môđun thương hạng tử trực tiếp môđun H- phụ đối hữu hạn z gm @ (Định lý 3.2.7; Mệnh đề 3.2.13; Mệnh đề 3.2.14; Mệnh đề 3.2.16 Định lý 3.2.18); Kết tổng trực tiếp hai môđun H- phụ đối hữu hạn l.c om (Định lý 3.2.11; Định lý 3.2.21).Trong mục luận văn phát biểu n phụ đối hữu hạn (hệ 3.2.12) a Lu chứng minh kết tổng trực tiếp hữu hạn môđun H- n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 67 Tài liệu tham khảo [1] R Alizade, G Bilhan and P F Smith, Modules whose maximal submodules have supplements, Comm Algebra 29 (2001), no 6, 2389- lu an 2405 n va Comm Algebra 31 (2003), no 11, 5377-5390 p ie gh tn to [2] R Alizade and E Buyukasik, Cofinitely weak supplemented modules, d oa nl w [3] F.W Andreson and K.R Fuller, Rings and categories of modules, Springger Verlag, New York, 1974 a lu [4] G.F Birkenmeier, F Takil Mutlu, C Nebiyev, N Sokmez and A oi lm ul 41-52 f an nv Tercan, Goldie*-supplemented modules, Glasg Math J 52 (2010) [5] E Buyukasik and C Lomp, On a recent generalization of semiper- nh z at fect rings, Bull Aust Math Soc 78 (2008), no 2,317-325 z gm @ [6] H Calisici and A Pancar, ⊕-cofinitely supplemented modules, Czechoslovak Math J 54 (2004), no 4, 1083-1088 l.c om [7] M.T Kosan and D Kesin, H-supplemented duo modules, Journal of a Lu Algebra and Its Applications vol.6, No (2007) 965-971 n n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 68 [8] H Calisici and A Pancar, Cofinitely semiperfect modules, Sib Math J 46 (2005), no 2, 359-363 [9] J Clack, C Lomp, N Vanaja and R Wisbauer, Lifting Modules supplements and Projectivity in Module Theory, Frontier in Mathematics, Birkhauser Verlag, Basel, 2006 [10] P Fleury, Hollow modules and local endomorphism rings, Pacific J Math 53 (1974), no 2, 359-385 lu an [11] J Hausen, Modules with the summand intersection property, Comm n va Algebra 17 (1989), no 1, 135-148 tn to p ie gh [12] D Keskin Tutuncu, M.J Nematollahi and Y Talebi, On Hsupplemented modules, Agebra Colloq 18 (2011), no Spec 1, 915- d oa nl w 924 [13] M.T Kosan, H-cofinitely supplemented modules, Vietnam J Math a lu f an nv 35 (2007), no 2, 1-8 m14 T Kosan, N Agayev, A Leghwel, and A Harmanci, Duo modules and Duo rings, Far East J Math 20 (2006) oi lm ul 314-346 nh [14] M.T Kosan and D Kesin, H-supplemented duo modules, Journal of z at Algebra and Its Applications vol.6, No (2007) 965-971 z @ gm [15] T Kosan, N Agayev, A Leghwel, and A Harmanci, Duo modules om l.c and Duo rings, Far East J Math 20 (2006) 314-346 n a Lu n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn
Ngày đăng: 22/07/2023, 07:33
Xem thêm: