Giáo trình quy hoạch tuyến tính (in lần thứ 3) phần 1

EURO YSU NGUYEN NGOC THANG — NGUYEN ĐÌNH HOA QUY HOACH TUYEN TINH (In lần thứ 3) NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HOC QUOC GIA HA NO! 16 Hàng Chuối - Hai Bà Trưng - Hà Nội Điện thoại: (04) 9724852; (04) 9724770 Fax: (04) 9714899 Chịu trách nhiệm xuất bản: PHÙNG QUỐC BẢO NGUYÊN BÁ THÀNH Chịu trách nhiệm nội dung: Hội đồng nghiệm thu Giáo trình Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - ĐHQGHN Người nhận xét: PGS TS PHẠM TRỌNG QUÁT TS LÊ ĐÌNH PHÙNG Biên tộp: Chế bản: NGUN NGỌC QUN THẾ HỒN Trình bày bìa: NGUYEN NGOC ANH QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Mã số: IK- I9 ĐH2008 In 1000 cuốn, khổ 16 x 24 cm Nhà in Đại học Quốc gia Hà Nội Số xuất bản: 106 - 2008/CXB/61 - 14/ĐHQG)1N, ngày 23/01/2008 Quyết định xuất số: 19 KH/XB In xong nộp lưu chiểu quý II năm 2008 iii Muc luc Lời nói đầu vii Bai toan quy hoạch tuyến tính 1.1 Bài tốn tối ưu 1.2 Một số ví dụ thực tế dẫn tới tốn quy hoạch tuyến tính 1.2.1 Baitoanvantai .00005 1.2.2 Bai toan phan phéi vat liéu 2.2 1.23 Bài toán sản xuất đổngbộ 1.3 1.4 1.2.4 Bài toán lập thựcđơn 1.2.5 Bài tốn bố trí máy sản xuất Bài tốn quy hoạch tuyến tính Mét sé khai niém va kết CPOE BALCH! ces ei ca wee ye we Bee aK EA 1.4.1 Tập hợp lồi điểm cực biên 142 1.5 2.1 16 17 17 19 20 Cơ sở phương án cực biên 23 method) Cơ sở lý luận phương pháp đơn hình 2.1.1 Tư tưởng phương pháp đơn hình 2.1.2 10 — —Ă Phương án cực biên phương án cực biên tốiưu Điểu kiện cần đủ để phương án cực biên Phương pháp đơn hình (Simplex 2 12 1.43 Nón lổ đa diện Cấu trúc miền ràng buộc toán quy hoạch tuyến ee Re we ee VŨNN ky BH B tên 1.5.1 Tập hợp nghiệm hệ bất phương trình tuyến 1.5.2 1.5.3 1.5.4 Đa diện lỔi Ốc Biểu diễn qua sở Dấu hiệu tốiưu 23 23 24 iv 2.1.3 Tim phuong 4n cuc bién tốt - Công thức 2.2 ABHCOEO': eu ea em ka Om Thủ tục đơn hình - Bangdonhinh 2.2.1 Các bước thủ tụcđơnhìnhh 2.3 2.4 2.5 2.2.2 Tính hữu hạn thuật tán 2.2.3 Bảng đơnhình 2.2.4 Thủ tục đơn hình bảng Dạng ma trận thủ tục đơnhình Dạng tích ma trận nghịch đảo thủ tục đơn hình Tìm sở xuất phát Ặ co 2.51 Phương pháphaipha 9.52 Phương pháp đánh thuế Hiện tượng xoay vòng - Cách khắc phục 2.6 2.6.1 2.6.2 Phương pháp nhiễu loạn Phương pháp tựvựng Bài tốn quy hoạch tuyến tính đối ngẫu 3.1 Hàm 81A, 3.1.2 3.1.3 3.1.4 Lagrange Bài toán đối ngẫu 63 63 63 Điểm yên ngựa wes ee we gers Hãjm Wagrangé «22 games Đối ngẫu quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn tắc 64 Đối ngẫu tốn quy hoạch tuyến tính dạng VHỈNĐĂ! se š Bì By Bì HE HH nh SE E Bóng H Hà th nh Đối ngẫu tốn quy hoạch tuyến tính Q Q SQ tổng quất 3.2 Quan hệ cặp toán đối ngẫu Các định lý đối ngẫu Liên hệ tốn quy hoạch tuyến tính hệ 3.2.1 phương trình tuyến tính Ý nghĩa tốn đốingẫu Phương pháp đơn hình đối ngẫu 3.41 Cơ sở chấp nhận đối ngẫu 3.42 Thủ tục đơn hình đố ngẫu 3.4.3 Thuật tốn đơn hình đối ngẫu chưa biết sở xuất phát chấp nhận đối ngẫu 3.3 3.4 4' 39 40 4I 47 31 53 56 Bài toán vận tải 4.1 W2 ẶẶ co Thiết lập toán “Ban VENUAL « os ae eee mee eM ODE KK 4.3 Cách phá vỡ xây dựng vòng Be 4.4 4.5 4.6 4.7 Tìm phương án sở xuất phát 4.4.1 Phuong pháp góc tây bắc 4.4.2 Phương pháp cực tiểu cước phí Các thuật tốn giải tốn vận tải 4.5.1 Thuật tốn quy cước phí ô chọn 4.6.2 Thuật toán thếvị 105 106 107 108 108 114 Bài toán vận 119 tải khơng cân thu phát Bài tốn vận tải bịcấm Thuật tốn thời gian đa thức 5.1 Thời gian thực thuật toán đơnhìnhh 5.1.1 Định nghĩa kí hiệu O lớn Đánh giá thời gian thực thuật toán đơn HH ss sewee WER Wee Bee Rew Ee BERS Phương pháp ellipsoid 5.2.1 5.3 132 132 Đặt toán 5.2.2 Ý tưởng phương pháp elipsoid 5.2.3 Các bước thuật toán ellipsoid Phương pháp điểm 5.3.1 Tư tưởng phương pháp điểm 53.2 Xác định hướnggiảm 5.3.3 Thành 5.3.6 Phương pháp quỹ đạo trung tâm 5.3.4 5.3.5 131 5.1.2 5.2 124 phẩn hướngtâm 133 134 136 136 Phương pháp chỉnh afine Phương pháp giảm Phụ lục 141 Tài liệu tham khảo 148 vii Lời nói đầu Quy hoạch tuyến tính mơn học bắt buộc sinh viên thuộc nhiều ngành học khác từ ngành khoa học toán học ngành khoa học kĩ thuật kinh tế Tuỳ theo đối tượng phục vụ, nội dung giáo trình quy hoạch tuyến tính sâu vào phần lí thuyết hay phương pháp, thuật toán quy hoạch tuyến tính Giáo trình quy hoạch tuyến tính dành cho sinh viên ngành Toán, viết theo khung chương trình Khoa Tốn-Cơ-Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc Gia Hà Nội Nội dung cần bao gồm kết lí thuyết tối ưu tuyến tính, đảm bảo cung cấp cho sinh viên hiểu biết chất lĩnh vực Giáo trình tập trung trình bày phương pháp đơn hình tốn đối ngẫu nội dung sở thành kinh điển Bài toán vận tải giới thiệu dạng đặc biệt quy hoach tuyến tính Để hiểu nội dung trình bày giáo trình cần có kiến thức đại số tuyến tính Phần cuối giáo trình có giới thiệu cách khái qt thuật toán ellipsoid phương pháp điểm cho quy hoạch tuyến tính khơng thể khơng đề cập đến kết nghiên cứu gần thuật toán thời gian đa thức giải toán quy hoạch tuyến tính Nhiều vấn để quan trọng khác quy hoạch tuyến tính ngun, tốn tham số nhiễu loạn chưa để cập Do hạn chế thời lượng dành cho môn học này, giáo trình khơng có tham vọng sách trình bày đầy đủ lí thuyết tối ưu tuyến tính Các bạn đọc muốn tìm hiểu sâu hơn, kĩ lí thuyết tối ưu tuyến tính đọc tài liệu kinh điển Dantzig, Gal, Gass, Goldstein, Hoàng Tuy hay xuất gần có bổ xung nhiều kết thời gian đa thức giải toán quy hoạch tuyến tính Bazaraa, Bertsimas, Nemhauser, Roos, Schrijver, Terlaky, Vanderbei, Vial, Wright sách thuật toán tác giả Tsitsiklis, viii Song song với nghiên cứu lí thuyết, việc phát triển chương trình máy tính giải tốn quy hoạch tuyến tính với kích thước đủ lớn để áp dụng vào thực tiễn đạt nhiều thành tựu đáng kể Kể từ phần mềm hãng IBM xây dựng, có nhiều phầm mềm thương phẩm để giải toán với hàng chục nghìn biến ràng buộc sử dụng thuật tốn đơn phương pháp điểm Cũng có nhiều phần mềm miễn phí, phầm mềm mã nguồn mở giới thiệu rộng rãi Internet Cuối cùng, xin giới thiệu trang Web hỏi đáp quy hoạch tuyến tính dia chi Attp:// www-unix.mcs.anl.gov /otc/guide /faq/linearprogramming-faq.html Đây điểm xuất phát để bạn đọc có thong tin sách quy hoạch tuyến tính, tạp chí chun đề, tìm hiểu phần mềm giải quy hoạch tuyến tính, tải chương trình miễn phí hay mã nguồn mở Từ người bất đầu tìm hiểu chun gia tìm thấy nhiều điều bổ ích Giáo trình biên soạn lần đầu, sở tập hợp giảng với mục đích làm tài liệu học tập cho sinh viên nên chắn khơng tránh khỏi thiếu sót Nhóm biên soạn mong ý kiến phê bình bạn đọc Nhóm biên soạn xin bày tô lời cảm ơn chân thành Kỳ Anh, PGS Phạm Trọng Quát va TS Lé Dinh Phùng nhiều ý kiến quý báu làm cho giáo trình hoàn nhận dược đến G8 Phạm đọc góp chỉnh NHĨM BIÊN SOẠN Chương Bài tốn quy hoạch tuyến tính 1.1 Bài tốn tối ưu Tối ưu hóa lĩnh vực tốn học nghiên cứu lý thuyết thuật toán giải toán cực trị Nhiều vấn đề thực tế khác dẫn tới việc giải toán cực trị sau: ƒ(z) —> () với điều kiện ø(z) m + ga — 2g +2 + arsấu T5 —u — zs + 12z; = Ú — ersửa † 37 mi == r3+a25 + x6 - 9277 =2 rj 20(j=1,7) Phương án cực biên xuất phát (0, 0, 2,0,0, 0,0), sở tương ứng j = {1,2,3} Phương án cực biên thoái hoá J*(+) = {3} C J | Jc 1/4 zs|o 30 00 T/3 1⁄2 10 0_ 4/3 0 oo oO 10 00 -2/3 1-1/3 0 -13/3 -1/3 4/3 1/3 -26/3 3/4 27/4 40/3 1/3 1/2 10 0_ 4/3 1 6 0 0 1/2 -5/2 16 -3/2 -25/2 -26 1 1/6 1 “3 4/3 ol 2/3 1/3 I 0 0 -1/4 -5/4 -1/6 1 64 12 2/3 -9 -16 36 52/3 -9 -64 “16 -26/3 -1/3 “12 -16 s2 0 0 12 3⁄3 -16 2.6 Hiện tượng xoay uòng - Cách khắc phục 53 Như sau bảy bước ta trở lại bảng đơn hình xuất phát: lặp lại cách chọn dịng xoay, cột xoay làm q trình bị lặp lại, tượng xoay vịng Trong thực tế nhiều tốn suy biến, tượng xoay vịng xảy Tuy nhiên mặt lý thuyết cần phải ý nghiên cứu cách khắc phục tượng Có hai cách khắc phục: a) Thanh tốn suy biến cách sửa đổi miền ràng buộc D cho tất đỉnh trở thành khơng suy biến nghiệm toán ban đầu phải tìm từ nghiệm tốn sửa đổi Phương pháp nhiễu loạn phương pháp theo hướng b) Không thay đổi miền ràng buộc D bước lặp cần để quy tắc chọn sở cho quay sở xét bước trước 2.6.1 Phương pháp từ vựng phương pháp theo hướng Phuong phap nhiễu loạn X Nguyên nhân xoay vòng suy biến phương án cực biên x Nhớ lại x hệ số khai triển véc tơ b qua cd sd J Như thế, suy biến nghĩa véc to b € R™ duge biểu diễn qua m véc tơ độc lập tuyến tính, thuộc diện (mặt phẳng biên) D Ví dụ, không gian chiều thông thường, b = z¡a! + 22a? +0.a° mặt hình học có nghĩa b nằm mặt phẳng sinh hai véc tơ œ`, a2, Nhận xét gợi ý cho phương pháp nhiễu loạn để khắc phục suy biến sau: ta xê-dịch véc tơ b chút thành b(£) để dịch khỏi mặt phẳng biên D Thông thường lấy b(c) = b + $2E_¡*aF với e >0 đủ nhỏ 54 Chương Phương pháp đơn hình(Simplex method) Định lý 9.6.1 Tơn e\ > đủ nhỏ đểVe € (0,€1) đa diện lồi p.-ƒ* (©) z€l§R": Ar = W(e #> khơng suy biến Chứng Khơng tổng qt giả sử rank A = rn Với phương án cực biên z(£) € D, phương án cực biên z € D ta Có: jes r/()a/ = b(e) ¬ >> kel Suy xj(€) = 23 + » =1 +) Nếu Vj € J : z;(£) chứng minh m = Soy a+ k=l jed e (Soe jka’) je (vj € J) > D; khơng suy biến, có điều phải m +) Nếu 37 € J để r,(£)= z/(£) = rj + So zine! đa thức kel có bậc < 1! theo £ có nghiệm Gọi zJ;(.J) nghiệm dương nhỏ đa thức r;(£) (nếu #;(€) khơng có nghiệm dương đặt ?;(.J) = +.o) Goi n(J) = mỉn/c¿?J;(J), cực tiểu lấy theo sd J, trường hợp suy biến, số sở tương ứng không có hữu hạn cở sở Cần chứng minh e¡ thoả mãn định lý Thật vậy, lấy Ve € (0,£¡) Giả sử #(£) đỉnh tuỳ ý D; z;(e) > Vj € J Vjo € J ma £j,(€) = 0, suy £ nghiệm đa thức z;;(£) Theo giả thiết, < £ < £¡, mâu thuẫn với định nghĩa £¡ nghiệm dương nhỏ Vậy D, không suy biến Qo Dựa vào định lý ta thay viéc giai bai toan (I) toán quy hoạch nhiễu loạn (đã không suy biến) f(x) = cx —> { Ar Pu = > b(e) Ce) 2.6 Hiện tượng xoay ng - Cách khắc phục 55 Gói phương án tối ưu (Ï,) r*(£), () ` aye) = 0p + SP ze" ny kel Wied) va Vr  Deco r(e) â Dy x(e).r (€0) Vi Vir(e) © D, c6 clar(e) > cla*(e), cho €0 ta co char > Ca, Vậy nghiệm +” cla bai toan (I) nhận từ nghiệm +*(£) (Ï;) cách cho £U, tức r* = lim¿o #*(£) Trong thực hành ta không cần xác định cụ thể £ cần đặt b(e) = b + P(e) P(£) da thức £ nên có lim P(e) =0 la du Vi du Giải tốn ví dụ phương pháp nhiễu loạn f(x) = 42, — 625 — 526 + 6427 — # + ga wy ‡ 1ye — 2s = #s + 12z; = P(e) 1ra “os + 2) st = ta tars +26 - 927 =2-+ P(e) (om) Pe) #¡ #0 ữ= 1,7), lim P(e) = LG P(s) P(e) 2+P(e) 40 o 00 0 1/3P(e) 2P(e) 2+P(£) +24 00 0 1] 2] 3| 0 1] 4| 3| 0 1] | 16/9+16/9P(e) | 4| | Xj 6| -5 | 4P(e) 4/3 P(e) 00 [0 -8/3 |0 -83 13-2 olf2 -1 4/3 -2 +1 -U6 64 12 23 -89 -U38 o1 104/9 4/8 1 -43 -Ð 2/3 13/9 ‹79 0 -16 -160/9 | 2/3+7/3P(=) 2+P(e) -26/9-19P(e) -139 -43/9 => 2°(6) = (5+ g.P(),0,0,5 + 5P(6),0, + P(),0) 16 3 56 Chương 2._ Phương pháp đơn hinh(Simplex method) 26 ƒ(ˆ()) =—g-~ gF) Cho £0 ta nghiệm toán (J) là: + 2.6.2 „162 „26 = (g›0,0, s,0, 2, 0) {)=~: Phuong pháp tự vựng Theo thủ tục đơn hình, tiêu chuẩn để đưa 4" sở nhường chỗ cho ø° r phải thoả mãn — 2rs = min{—,j €-J ma z;, > 0} Có thể có nhiều sốr thoả mãn điều kiện trên, tức la Sry, 72, 1p + b= Zns z, 0 B= = —2 Zras 2rps +0 ae # = min{—,j € J ma z;, > O} Khi Zjs dù chọn a” để đưa khỏi sở nhường chỗ cho a° {a?,j € (7\)U 5} sở phương án cực đỉnh z! có nhiều sở (do suy biến) Vì sở để tránh xoay vịng vấn để cần cân nhắc Sau nêu quy tắc, gọi quy hướng dẫn cách chọn sở cho khơng quay lại hệ véc tơ biên zÌ, việc chọn tắc tự vựng, sở qua, tránh xoay vòng Thứ tự tự vựng Ta nói véc tơ ø # tự vựng dương (Lexic- dương) thành phần dương, ký hiệu œ > Ví dụ: véc tơ a = (0,3, —5,2,4,0, ) > Véc tơ ø tự vựng lớn véc tơ b (ký hiệu ø > b) a — b> tức a; = b;(Vi < j),a; > b; Ví dụ: (4,3, —7,0,2) < (4,3, 1, —2, 1) Véc tơ a° tự vựng cực tiểu (hay cực tiểu Lexic) a*,k€ K a*>a° hệ véc tơ (Vk€ K,k # s), ký hiệu a° = lex-min at Muốn có cực tiểu tự vựng hệ véc tơ a* = (a†,a$,.:.a}),k€ ta làm sau: Bước 1: Lấy a = minal; K, = {ke K coat =a} ken K 2.6 Hiện tượng xoay uòng - Cách khắc phục 57 Bước 9: Lấy @ = ak Ky = {k€ keN Ki có as =a} Cứ lặp lại, tức sau lần thứ giữ lại véc tơ có thành phần thứ nhỏ nhất, sau lần thứ hai giữ lại véc tơ số cịn lại mà có thành phần thứ hai nhỏ nhất, Quá trình tiếp tục gồm phần tử s lúc ø* cực tiểu tự vựng hệ véc to {a*,a € A} Néu lam nhu vay dén „ van gồm nhiều phần tử hệ véc tơ khơng có cực tiểu từ vựng Bổ đề 2.6.1 Cho đa thức theo € m i=0 uéc to p) = (pj1,Pj2,. Pjm) (j€ K) va-p” = lex-minp’ Khi j 3n > cho Ve € (0,7) c6 @;(e) < 0;(£),Vj € K,j # r Tức đa thức ¿2j(£) đạt cực tiểu sốr mà pÌ đạt cực tiểu tự vung Chứng m Vì @j(£) — @:(£) = Swi ¡=0 — pri)e’ theo giả thiết pÏ > pˆ(Vj € Ñ,j Z r) nên hệ số khác không đa thức @;(£) — @;(£) dương Vì thành phần sau đa thức (¿;(£) — /;(£)) vô bé bậc cao thành phần khác khơng, dấu đa thức phụ thuộc vào dấu số hạng khác không € vô bé, nên: 3n; >0: Ve € (0,n;) có@;(£) — @;(e) > Lay 7) = minn; thi Ve € (0,7) c6 JEK J#r pile) — @(£) >0, Vj € K,j #r n Giả sử xuất phát từ phương án cực biên # toán quy hoạch tuyến tính (I) Ta xếp lai thứ tự cột cua ma tran A dé cho 58 Chương 2._ Phương pháp đơn hinh(Simplex method) sở # số lại) từ điều cần ý tính phương rn cột đầu al,a°, ,ø"" (thực chất ta đánh cố định cột A theo thứ tự Đây thực hành giải toán quy hoạch tuyến pháp tự vựng Song song với toán (J) ta xét tốn nhiễu loạn (Ï, ) véc to D(€) = b+ Soetak k=l Giả sử Z(£) véc tơ xác định #;() =0 m (j=m+1, n) m Teja? = b+ chat = W(e) kat Ta có be) = ˆj(£)a=b+ 3`ehat j=1 = m m j=l k=1 k=1 m Yoga + Veta = SOG + ea? g=l suy ra: ®;(€) =7 +£” (j = 1,2, ,m) nên Ve > có Z7(£) > (7 = 1,2, ,mm) tức Z;(e) phương án cực biên quy hoạch nhiễu loạn (I) vdi co sd a',a?, a™ Bang đơn hình tương ứng toán (Ï) (l;) sở khác cột phương án cột khác giống hệt (vì hai tốn khác ở b(£)), dịng cuối ghi ước lượng giống hệt (chỉ khác ghi giá trị hàm mục tiêu) Vì đến bước ta nhận phương án cực biên z° với sở tương ứng {a7,j € J} cia tốn (1) tương ứng phương án cực biên z0(c) toán (Ï,) với sở {a/,j € J} xảy tình với zỞ xảy tình với z(£) ngược lại Giả sử xảy tình huống: với k £ J ma A, > tổn hệ số z;¿ > Theo thủ tục don hình cần chọn a* với A, = max{A¿, k ¢ J, Ax > 0} dua vao sở thay thé cho mét véc to a” can dua khdi cd sd voi r thoa man „0 Tr~ 2rs min{ “2, j E J, zjs > O} „ 2.6 Hiện tượng xoay uòng - Cách khắc phục 59 “Ta có So ied eye m b(e) = b + So etat = Sai k=I J€J m Yes + SS zjeet)a7 = = ged Suy r9( )=z) % 2) Dat @;(£) _ Dapt= + m + Sek So za! k=l j€J k=l rey zyne* (vì a?,7 € J đ.1.t.9 +0 cm = 0}) 2js 2js 4ny 2i8 xo 24 Zim, (4, Zis Bie, - =>) 2a , (9 € A) Thay rang véc td p’ (j € Ji) c6 mét cuc tiéu tu vung That vậy, trái lại, tổn hai véc to p ø? hai dòng (Zj¡1,Zj¡3, - Zjum) Về (Zjz, 2/ya, - Zjzm)“ tỉ lệ với hệ số tỉ lệ “^^, cột a Z jas = (2):1,2),2) - 2m)’ va @? = (Z/¿1, 2/;2, -Z/zm)ˆ tỈ lệ nhau, mâu thuẫn với giả thiét a/(j € J) độc lập tuyến tính Goi p” = lex-min;e„ ming/ Theo bổ để 2.6.1 có 3n; > để Ve € (0,n/) có @;(£) < w;(£),(Vj € Jì,j # r), tức tổn TE a ow x nhat mét chi sé r dé y(e) = (e) đạt cực tiểu Chỉ số r mà js 0, ale Bile) „(E) = min{ a di € J ma 2;, > 0} tring véiae he sốae đạt cựcTA.tiểu ers Zjs tự vựng hệ véc to p’ Do ta nêu quy tắc tìm véc to a” dé dua khỏi sở trùng với phương pháp cực tiểu tự vựng hệ véc tơ pÏ (chính dịng thứj bảng đơn hình sau chia cho z;;) quy tắc gọi quy tắc cực tiểu tự vựng Định lý 2.6.2 Nếu áp dụng thuật toán đơn hình giải bai todn (I) bước ta déu chon véc to a" dua khỏi sở theo quy tắc cực tiểu tự uựng khơng bị xoay ng thuật tốn kết thúc sau hữu hạn bước Chứng Đặt rị = ny va £ọ = min(e,r)), e¡ xác định định lý 2.6.1 phương pháp nhiễu loạn Vậy Ve € (0,€0) khơng tốn nhiễu loạn có D2, không suy 60 Chương Phương pháp đơn hinh(Simplex method) biến mà theo trên, việc chọn véc tơ a” dua sở phương pháp nhiễu loạn trùng với việc chọn véc tơ theo phương pháp tự vựng Bài toán nhiễu loạn với £ € (0,eo) không suy biến nên thực thủ tục đơn hình khơng bị xoay vịng thuật tốn kết thúc sau hữu hạn bước Do áp dụng thuật tốn đơn hình giải tốn (1) mà bước ta chọn véc tơ a” đưa khỏi sở theo phương pháp tự vựng khơng bị xoay vịng thuật tốn kết thúc sau hữu hạn bước ñ Như phương pháp tự vựng ta tìm nghiệm 7° phương pháp nhiễu loạn tìm nghiệm z#“(£) = #* + P{(e) P(0) = Do tốn (Ï) có phương án tối ưu z* tốn nhiéu loan (/,) có phương án tối ưu z*(£) ngược lại, đồng thời z*(0)=z° Ví dụ 10 Giải tốn ví dụ phương pháp tự vựng: f(x) = 4a, — 6x5 — 526 + 6427 > + 384 — 2x5 — 26 + 1227 = P(e) Ta + 304 — 25 — dag + 3x7 = Ple) 23+ £5 +.26 —927 = 24 P(e) 0(j = 1,7) „ [1 | 0 00 0 o Ww 12 -1 101 O 43 =max{Aa, As}= max{3, 1} +1 -U6 J 64 12 2/3 -16 chon cét làm cột xoay 0,3,0,0,1,—6, ~3.36)), = {1,2} vib au = 1/3 > 1/2 >0,p? ~