Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 141 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
141
Dung lượng
603,91 KB
Nội dung
lOMoARcPSD|17160101 Bài giảng chỉnh sửa Quy hoạch Bài giảng tuyến tính Nguyễn Đức Phương TP HCM, Ngày tháng năm 2016 lOMoARcPSD|17160101 Bảng ký hiệu R A b c x xN xT jAj ŒxT Aj ej j hxI yi B D fAk1 I : : : I Akm g cB D fck1 I : : : I ckm g B AB j Tập số thực Ma trận hệ số vế phải ràng buộc Vector hệ số vế phải Vector hệ số hàm mục tiêu Phương án chấp nhận Phương án tối ưu Phép chuyển vị Định thức ma trận A Tọa độ vector theo x theo sở T Cột j ma trận hệ số A Vector đơn vị thứ j Là ước lượng vector cột Aj Tích vơ hướng x y Hệ vector liên kết Hệ số hàm mục tiêu có số k1 ; : : : ; km Ma trận có cột vector B Biểu diễn cột Aj theo sở B lOMoARcPSD|17160101 Mục lục Mục lục ii Giới thiệu quy hoạch tuyến tính 1.1 Một số ví dụ 1.2 Các dạng tốn quy hoạch tuyến tính 1.2.1 Dạng tổng quát 1.2.2 Dạng chuẩn 1.2.3 Dạng tắc 1.3 Chuyển tốn quy hoạch sang dạng tắc 1.3.1 Đổi chiều bất đẳng thức ràng buộc 1.3.2 Biến không ràng buộc 1.3.3 Chuyển dạng chuẩn sang tắc 1.4 Dạng ma trận toán quy hoạch 1.5 Phương án chấp nhận 1.6 Ý nghĩa hình học 1.6.1 Phương pháp đồ thị 1.6.2 Tính chất tập phương án chấp nhận 1.7 Phương án cực biên 1.7.1 Thành lập phương án chấp nhận 1.7.2 Thành lập phương án cực biên 1.7.3 Tìm phương án tối ưu từ phương án cực biên 1.8 Bài tập chương Phương pháp đơn hình 2.1 Phương pháp đơn hình cho tốn tắc 2.1.1 Phương pháp đơn hình 2.1.2 Dấu hiệu tối ưu 2.1.3 Thành lập phương án cực biên 2.2 Bảng đơn hình 2.3 Thuật tốn đơn hình cho toán 2.4 Bài toán tắc khơng có sẵn ma trận đơn vị 1 5 8 10 13 14 16 16 19 21 23 27 30 32 34 34 34 36 38 41 52 53 lOMoARcPSD|17160101 Trang iii Mục lục 2.5 Bài tập chương Lý thuyết đối ngẫu 3.1 Định nghĩa toán đối ngẫu 3.1.1 Đối ngẫu toán max 3.1.2 Đối ngẫu toán 3.2 Các định lý đối ngẫu 3.3 Phương án tối ưu toán đối ngẫu 3.3.1 Biết phương án tối ưu toán gốc 3.3.2 Có bảng đơn hình phương án tối ưu 3.4 Bài tập chương Bài toán vận tải 4.1 Bài toán vận tải cân thu phát 4.2 Phương án cực biên 4.3 Thành lập phương án cực biên 4.3.1 Phương pháp cước phí thấp 4.3.2 Phương pháp góc Tây - Bắc 4.3.3 Phương pháp Vogel (Fogel) 4.4 Thuật toán vị giải toán vận tải 4.4.1 Thuật tốn quy khơng cước phí chọn 4.4.2 Xây dựng phương án cực biên 4.5 Một số trường hợp đặc biệt 4.5.1 Bài tốn vận tải khơng cân thu phát 4.5.2 Bài tốn vận tải có cấm 4.6 Bài tốn vận tải cực đại cước phí 4.7 Bài tập chương A Đề thi mẫu A.1 Đề học kì III năm 2010-2011 A.2 Đề học kì I năm 2011-2012 A.3 Đề thi học kỳ II năm 2011-2012 A.4 Đề học kì III năm 2011-2012 B Bài giải đề mẫu B.1 Bài giải học kì III năm học 2010-2011 B.2 Bài giải học kì I năm học 2011-2012 B.3 Bài giải học kì II năm học 2011-2012 B.4 Bài giải học kì III năm học 2011-2012 Tài liệu tham khảo Downloaded by Free Games Android (vuchinhhp1@gmail.com) 59 64 64 68 71 74 81 81 85 89 93 93 95 98 98 100 102 104 104 109 114 114 116 117 118 121 121 122 123 124 126 126 129 132 135 137 lOMoARcPSD|17160101 Chương Giới thiệu quy hoạch tuyến tính Mục lục chương 1.1 Một số ví dụ 1.2 Các dạng toán quy hoạch tuyến tính 1.3 Chuyển tốn quy hoạch sang dạng tắc 1.4 Dạng ma trận toán quy hoạch 13 1.5 Phương án chấp nhận 14 1.6 Ý nghĩa hình học 16 1.7 Phương án cực biên 21 1.8 Bài tập chương 32 1.1 Một số ví dụ dẫn đến tốn quy hoạch tuyến tính Ví dụ 1.1 (Bài tốn lập kế hoạch sản xuất) Một trại cưa cưa khúc gỗ thành ván Có hai loại ván: ván thành phẩm ván sử dụng xây dựng Giả sử, đối với: Ván thành phẩm cần để cưa để bào 10m ván Ván dùng xây dưng cần để cưa để bào 10m ván Downloaded by Free Games Android (vuchinhhp1@gmail.com) lOMoARcPSD|17160101 1.1 Một số ví dụ Trang Máy cưa làm việc tối đa ngày, máy bào làm việc tối đa 15 ngày Nếu lợi nhuận 10m ván thành phẩm 120 (ngàn đồng), lợi nhuận 10m ván xây dựng 100 (ngàn đồng) Trong ngày, trại cưa phải cưa ván loại để lợi nhuận lớn nhất? Giải Gọi x1 ; x2 lượng ván thành phẩm ván sử dụng xây dựng ❳❳ ❳❳❳ Loại ❳❳ ❳ ❳ Thời gian ❳❳❳ Thành phẩm - x1 Xây dựng - x2 120 3 100 Cưa Bào Lợi nhuận 8 15 Tổng lợi nhuận z D 120x1 C 100x2 ! max x1 ; x2 thỏa điều kiện thời gian làm việc máy cưa 2x1 C 3x2 điều kiện thời gian làm việc máy bào 5x1 C 3x2 15 Tóm lại cần tìm x1 ; x2 cho z D 120x1 C 100x2 ! max Với ràng buộc 2x1 C 3x2 5x1 C 3x2 15 x1 0; x2 Ví dụ 1.2 (Bài tốn phần ăn) Chun gia dinh dưỡng định thành lập thực đơn gồm loại thực phẩm A B Cứ (trăm gram): Thực phẩm A chứa đơn vị chất béo, đơn vị carbohydrate đơn vị protein Thực phẩm B chứa đơn vị chất béo, đơn vị carbohydrate đơn vị protein Downloaded by Free Games Android (vuchinhhp1@gmail.com) lOMoARcPSD|17160101 Trang Chương Giới thiệu quy hoạch tuyến tính Nếu (trăm gram) thực phẩm A giá 20 (ngàn đồng) (trăm gram) thực phẩm B giá 25 (ngàn đồng) Nhà dinh dưỡng muốn thức ăn phải cung cấp 18 đơn vị chất béo, 12 đơn vị carbohydrate 24 đơn vị protein Bao nhiêu (trăm gram) thực phẩm loại để có giá nhỏ cung cấp đủ dinh dưỡng? Giải Gọi x1 ; x2 lượng thực phẩm A B ❳❳ ❳❳❳ Loại ❳❳ ❳❳❳ Thành phần ❳❳ Chất béo Carbohydrate Protein Giá mua TP A - x1 TP B - x2 20 3 25 18 12 24 tổng số tiền mua x1 ; x2 thực phẩm A B z D 20x1 C 25x2 ! Yêu cầu lượng thực phẩm phải đảm bảo nhu cầu chất béo 2x1 C 3x2 18 nhu cầu Carbohydrate x1 C 3x2 12 nhu cầu Protein 4x1 C 3x2 24 Vậy ta cần tìm x1 ; x2 cho z D 20x1 C 25x2 ! Với ràng buộc < 2x1 C 3x2 18 x1 C 3x2 12 : 4x1 C 3x2 24 x1 0; x2 Ví dụ 1.3 (Bài tốn vận tải) Một nhà sản xuất có nhà máy: Một nhà máy Vĩnh Phúc nhà máy Bình Dương Có kho hàng phân phối sản phẩm đặt Hà Nội, TP HCM Cần Thơ Nhà máy Vĩnh TP: Thực phẩm Downloaded by Free Games Android (vuchinhhp1@gmail.com) lOMoARcPSD|17160101 1.1 Một số ví dụ Trang phúc; Bình Dương, có khả cung cấp tối đa 100; 140 tuần Lượng cầu kho Hà Nội, TP HCM Cần Thơ từ 100; 60 80 trở lên Chi phí vận chuyển (trăm ngàn) cho bảng bên Hỏi cần vận chuyển hàng hóa từ nhà sản xuất đến kho hàng Hà Nội, TP HCM cần thơ để chi phí nhỏ đáp ứng đủ nhu cầu? ❵❵❵ ❵❵❵ ❵❵❵Trạm thu ❵❵❵ Trạm phát ❵❵ ❵ Vĩnh Phúc-Q1 : 100 Bình Dương-Q2 :140 Hà Nội W1 :100 TP HCM W2 :60 7 Cần Thơ W3 :80 10 Giải Gọi xij lượng hàng vận chuyển từ trạm phát thứ i I i D 1; đến trạm thu thứ j I j D 1; 2; 3: Tổng chi phí vận chuyển z D x11 C x12 C C x23 ! Trạm phát phát hết hàng trạm thu nhận đủ hàng: Trạm phát phát hết hàng Trạm phát phát hết hàng Trạm thu thu đủ hàng Trạm thu thu đủ hàng Trạm thu thu đủ hàng x11 C x12 C x13 D 100 x21 C x22 C x23 D 140 x11 C x21 D 100 x12 C x22 D 60 x13 C x23 D 80 Vậy ta cần tìm xij cho z D x11 C x12 C C x23 ! Với ràng buộc ˆ x11 C x12 C x13 D 100 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ nên phương án cực biên thời không phương án tối ưu b Xây dựng phương án tốt B cB bB A2 A3 A1 A3 1/2 9/2 AB -5 1 0 AB 0 1/8 5/8 -1/8 AB 0 Downloaded by Free Games Android (vuchinhhp1@gmail.com) lOMoARcPSD|17160101 Trang 127 Chương B Bài giải đề mẫu Phương án 1=2I 0I 9=3/ phương án tốt Câu Gọi x1 ; x2 ; x3 lượng thực phẩm I, II, III T1-x1 10 D1 D2 D3 Giá T2-x2 12 T3-x3 14 Tối thiểu 20 25 30 a Ta có tốn quy hoạch z D 10x1 C 12x2 C 14x3 ! Với ràng buộc < 4x1 C x2 C 3x3 20 2x1 C 7x2 C x3 25 : x1 C 3x2 C 4x3 30 xj 0; j D 1; : : : ; b Bài toán đối ngẫu z D 20y1 C 25y2 C 30y3 ! max Với ràng buộc < 4y1 C 2y2 C y3 10 y1 C 7y2 C 3y3 12 : 3y1 C y2 C 4y3 14 yi 0; i D 1; : : : ; c Giải phương pháp đơn hình B cB bB A4 A5 A6 max A4 A5 A3 max 0 10 12 14 13/2 3/2 7/2 0 30 AB 20 -20 13/4 -5/4 3/4 5/2 AB 25 -25 7/4 25/4 1/4 -35/2 AB 30 -30 0 AB 0 0 AB 0 0 0 Downloaded by Free Games Android (vuchinhhp1@gmail.com) AB 0 -1/4 -3/4 1/4 15/2 lOMoARcPSD|17160101 B.1 Bài giải học kì III năm học 2010-2011 A4 A2 A3 max A1 A2 A3 max 25 30 20 25 30 152/25 6/25 86/25 76/45 26/45 94/45 18/5 -1/5 4/5 -1 0 0 0 0 0 0 Trang 128 0 5/18 1/18 -2/9 5/18 -7/25 4/25 -1/25 14/5 -7/90 13/90 1/45 49/18 -1/25 -3/25 7/25 27/5 -1/90 -11/90 13/45 97/18 Phương án tối ưu toán đối ngẫu yT D 76=45I 26=45I 94=45/ Ta suy phương án tối ưu toán gốc xT D 5=18I 49=18I 97=18/ Câu a Phương án xây dựng phân phối Vogel s1 =3 s2 =-3 s3 =-5 s4 =-1 sj 25 35 120 50 ri r1 =0 110 110 r2 =-5 80 25 35 1010 10 r3 =-3 40 b Bài toán vận tải sau quy khơng cước phí bj 55 65 120 60 110 110 25 35 10 10 1 80 10 110 12 Do 8cij nên phương án cực biên thời phương án tối ưu Downloaded by Free Games Android (vuchinhhp1@gmail.com) lOMoARcPSD|17160101 Trang 129 Chương B Bài giải đề mẫu B.2 Bài giải học kì I năm học 2011-2012 Câu a Phương án xT D 8=3I 0I 0I 7=3/ có hệ vector liên kết ˇ ˇ ˇ1 D 3Ô0 B D fA1 I A4 g ) jBj D ˇˇ 1ˇ Vậy x phương án cực biên Hệ ràng buộc tương đương x1 C 2=3x2 C 10=3x3 D 8=3 1=3x2 1=3x3 C x4 D 7=3 Đặt cB D c1 I c4 / D 5I 34/: Ta tính 1 D4 D 2 DhcB I AB 2i c2 D 5I 34/.2=3I 1=3/ 3 DhcB I AB 3i c3 D 5I 34/.10=3I 1=3/ D 35=2 D 7=3 Do có 2 D 35=3 > nên phương án cực biên thời không phương án tối ưu Xây dựng phương án tốt B cB bB A1 A4 34 8/3 7/3 A2 A4 34 AB 0 3/2 -1/2 -35/2 AB 2/3 1/3 35/3 0 AB 3 10/3 -1/3 7/3 -2 -56 AB 34 0 b Phương án tối ưu xN T D 0I 4I 0I 1/ có hệ vector sở liên kết B D fA2 I A4 g: Đặt :: B c D c2 I c4 / D 3I 34/I B D A2 :A4 / D 1 Phương án tối ưu toán đối ngẫu nghiệm hệ ( 2y1 C y2 D 4y1 C y2 D 34 Downloaded by Free Games Android (vuchinhhp1@gmail.com) lOMoARcPSD|17160101 B.2 Bài giải học kì I năm học 2011-2012 Cán Tiện Mài Lợi nhuận SPI-x1 140 SPII-x2 130 Trang 130 SPIII-x3 3 180 590 340 200 Câu Ta có mơ hình z D 14x1 C 13x2 C 18x3 ! max Với ràng buộc < 2x1 C 5x2 C 8x3 5x1 C 3x2 C 3x3 : x1 C x2 C 3x3 xj 0; (đơn vị 10 triệu) 590 340 200 j D 1; : : : ; Dạng tắc z D 14x1 C 13x2 C 18x3 ! max Với ràng buộc D 590 < 2x1 C 5x2 C 8x3 C x4 5x1 C 3x2 C 3x3 C x5 D 340 : x1 C x2 C 3x3 C x6 D 200 xj 0; j D 1; : : : ; B cB bB A4 A5 A6 0 590 340 200 A4 A5 A3 0 18 170/3 140 200/3 A4 A1 14 80 35 AB 14 -14 -2/3 1/3 -8 AB 13 -13 7/3 1/3 -7 8/3 1/2 AB 18 3 -18 0 0 AB 0 0 Downloaded by Free Games Android (vuchinhhp1@gmail.com) AB 0 0 0 1/6 1/4 AB 0 -8/3 -1 1/3 -17/6 -1/4 lOMoARcPSD|17160101 Trang 131 Chương B Bài giải đề mẫu A3 18 55 A2 A1 A3 max 13 14 18 30 20 50 0 0 1/6 -3 0 0 0 3/8 -3/16 -1/16 9/8 -1/12 1/16 7/32 -3/32 35/16 5/12 -17/16 9/32 19/32 13/16 Mọi j nên phương án tối ưu xT D 20I 30I 50/: Câu Phương án xuất phát xây dụng phân phối Vogel s1 =-6 s2 =-7 s3 =-14 s4 =-6 sj 55 65 120 60 ri r1 =0 110 10 14 40 60 r2 =4 110 55 55 M r3 =10 80 M 80 Bài toán vận tải sau quy khơng cước phí 65 C 110 10 110 55 55 80 M+4 M+3 bj 55 120 60 0 40 60 C -2 80 Do 9c23 D < nên phương án cực biên thời không phương án tối ưu Ta xây dựng phương án tốt hơn: Lượng điều chỉnh q D f40I 55g D 40 Phương án s1 =-2 s2 =-3 s3 =-8 s4 =-2 ri sj r1 =-4 110 55 65 50 120 14 60 60 r2 =0 110 55 15 40 M r3 =4 80 M 80 Bài toán vận tải sau quy khơng cước phí chọn: Downloaded by Free Games Android (vuchinhhp1@gmail.com) lOMoARcPSD|17160101 B.3 Bài giải học kì II năm học 2011-2012 55 bj 110 65 50 Trang 132 120 60 60 110 55 15 40 80 M+2 M+1 80 8cij nên phương án cực biên thời phương án tối ưu 50 60 x D @55 15 40 A 0 80 B.3 Bài giải học kì II năm học 2011-2012 Câu Gọi x1 ; x2 số lạc đà một, hai bứu cần thuê: Cỏ khô Nước Chở Tiền thuê Một bứu - x1 300 Hai bứu - x2 10 500 Dự trữ 30 100 4000 Vậy tìm x1 ; x2 cho z D 3x1 C 5x2 ! Với ràng buộc 3x2 30 < 4x1 C 8x1 C 10x2 100 : 300x1 C 500x2 4000 xj 0; j D 1; Câu Downloaded by Free Games Android (vuchinhhp1@gmail.com) lOMoARcPSD|17160101 Trang 133 Chương B Bài giải đề mẫu a Bài toán đối ngẫu z D 30y1 C 25y2 C 35y3 ! max Với ràng buộc < y1 C 3y2 C y3 14 y1 C 2y2 C 3y3 12 : 3y1 C y2 C 2y3 14 yj 0; j D 1; : : : ; b Giải toán đối ngẫu Bài tốn có dạng tắc z D 30y1 C 25y2 C 35y3 ! Với ràng buộc D 14 < y1 C 3y2 C y3 C y4 y1 C 2y2 C 3y3 C y5 D 12 : 3y1 C y2 C 2y3 C y6 D 14 yj 0; j D 1; : : : ; B cB bB A4 A5 A6 0 14 12 14 A4 A3 A6 35 10 A4 A3 A1 35 30 58/7 22/7 18/7 A2 A3 A1 max 25 35 30 58/17 12/17 52/17 AB 30 1 -30 2/3 1/3 7/3 -55/3 0 0 AB 25 -25 7/3 2/3 -1/3 -5/3 17/7 5/7 -1/7 -30/7 0 AB 35 -35 0 0 0 AB 0 0 0 7/17 -5/17 1/17 30/17 AB 0 0 -1/3 1/3 -2/3 35/3 -1/7 3/7 -2/7 45/7 -1/17 8/17 -5/17 105/17 AB 0 0 -2/7 -1/7 3/7 55/7 -2/17 -1/17 7/17 125/17 Mọi j nên phương án yT D 52=17I 58=17I 12=17I 0I 0I 0/ phương Downloaded by Free Games Android (vuchinhhp1@gmail.com) lOMoARcPSD|17160101 B.3 Bài giải học kì II năm học 2011-2012 Trang 134 án tối ưu toán đối ngẫu Phương án tối ưu toán gốc xT D 30=17I 105=15I 125=17/: Câu Tống phát 400, tổng thu 360 nên ta thêm trạm thu giả với lượng 40 bj 135 125 100 40 14 120 12 150 130 9 Phương án cực biên xây dựng theo phương pháp Vogel bj 135 125 120 12 120 150 3135 5 130 40 100 14 10 90 40 Quy khơng cước phí s1 =-3 s2 =-5 s3 =-7 s4 =3 bj 135 125 r1 =-2 120 12 120 r2 =0 150 3135 5 r3 =-3 130 40 100 14 10 90 40 Bài tốn sau quy khơng cước phí bj 135 125 120 120 150 0135 130 40 100 0 10 90 40 Mọi cij nên phương án cực biên thời phương án tối ưu Giá trị hàm mục tiêu z D 2150: Downloaded by Free Games Android (vuchinhhp1@gmail.com) lOMoARcPSD|17160101 Trang 135 Chương B Bài giải đề mẫu B.4 Bài giải học kì III năm học 2011-2012 Câu Phương án xuất phát xây dụng phân phối Vogel s1 =-6 s2 =-4 s3 =-7 s4 =-3 sj 100 80 100 40 ri r1 =0 220 6100 12 100 20 15 r2 =0 100 13 80 20 Bài tốn vận tải sau quy khơng cước phí bj 100 80 100 40 0 220 0100 100 20 100 80 20 Vậy phương án phương án tối ưu Câu Gọi x1 ; x2 số sản phẩm A, B cần sản xuất Theo đề ta có Bột Đường Dầu Doanh thu Thực phẩm A-x1 0,5 0,5 0,2 4500 Thực phẩm B-x2 0,8 0,4 0,4 4000 30 12 6 Ta có tốn quy hoạch tuyến tính z D 4500x1 C 4000x2 ! max Với ràng buộc < 1=2x1 C 4=5x2 30 1=2x1 C 2=5x2 12 : 1=5x1 C 2=5x2 xj 0; B cB bB A3 30 AB 45 1/2 j D 1; AB 40 4/5 AB AB 0 AB 0 Downloaded by Free Games Android (vuchinhhp1@gmail.com) lOMoARcPSD|17160101 Tài liệu tham khảo A4 A5 max A3 A1 A5 max A3 A1 A2 max 0 45 0 45 40 Trang 136 12 18 24 6/5 16 20 1/2 1/5 -45 0 0 2/5 2/5 -40 2/5 4/5 6/25 -4 0 0 0 0 0 0 -1 -2/5 90 -1/3 10/3 -5/3 250/3 0 -5/3 -10/3 25/6 50/3 Câu Bài toán đối ngẫu z D y1 C 2y2 C 3y3 C C nyn ! max Với ràng buộc ˆ y C y2 C y3 C C yn ˆ ˆ < y2 C y3 C C yn :: :: :: :: :: :: ˆ : : : : : : ˆ ˆ : yn n yi 0; i D 1; : : : ; n Bằng cách thêm ẩn phụ chuyển toán sang dạng tắc Lập bảng đơn hình ta tìm phương án tối ưu yT D y1 I : : : I yn I ynC1 I : : : I y2n / D 0I : : : I 0I 1/ dùng hệ 3.11 suy phương án tối ưu toán gốc xT D nI 0I : : : I 0/ Downloaded by Free Games Android (vuchinhhp1@gmail.com) lOMoARcPSD|17160101 Tài liệu tham khảo [1] Phan Quốc Khánh, Trần Huệ Nương (2000) Quy hoạch tuyến tính NXB Giáo dục [2] Nguyễn Đình Tùng (2010) Quy hoạch tuyến tính [3] Lê Khánh Luận (2006) Quy hoạch tuyến tính NXB Lao động [4] Bùi Phúc Trung (2003) Quy hoạch tuyến tính NXB Lao động Xã hội [5] Bernard Kolman, Robert E Beck (1995) Elementary Linear Programming with Applications Elsevier Science & Technology Books [6] Robert J Vanderbei (2007) Linear Programming, Foundations and Extensions Third Edition Springer Publication [7] George B Dantzig, Mukund N Thapa (1997) Linear Programming, Introduction Springer Publication Downloaded by Free Games Android (vuchinhhp1@gmail.com)