GIÁO TRÌNH QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH

1 Khoa Toán trường Đại học Khoa học Huế GIÁO TRÌNH QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Tài liệu chỉnh sửa Huế, 2019 Chương Giới thiệu §1 Một số toán 1.1 Bài toán sử dụng nguyên liệu sản xuất Có nhà máy sản xuất n loại sản phẩm từ m loại nguyên liệu Trữ lượng nguyên liệu đơn vị nguyên liệu Biết giá bán đơn vị sản phẩm lượng nguyên liệu dùng để sản xuất đơn vị sản phẩm Hãy tìm phương án sản xuất làm cho nhà máy lãi nhiều Nếu kí hiệu số đơn vị sản phẩm mà nhà máy sản xuất Ta có: -Giá vốn để sản xuất đơn vị sản phẩm -Tiền lãi bán đơn vị sản phẩm ∑ ∑ -Tổng số tiền lãi bán tất sản phẩm ∑ -Lượng nguyên liệu cần thiết cho sản xuất ∑ Ta có tốn: tìm giá trị có giá cho ∑ với điều kiện { ∑ 1.2 Bài toán vận chuyển mạng (Network Flow Problem) Một mạng hay đồ thị bao gồm loại đối tượng: điểm nút cung Kí hiệu tập điểm nút số điểm nút Hai điểm nút (hoặc khơng) nối với cung (định hướng) Nếu điểm nút i nối với điểm nút j cung, ta kí hiệu cung Tập hợp tất cung mạng kí hiệu , Như vậy, mạng xem cặp Để mô tả toán vận chuyển mạng, cần có trọng số nút Trọng số âm mô tả nhu cầu trọng số dương mô tả sức cung cấp vật liệu nút Trọng số nút kí hiệu Giả sử Với cung , giả sử đơn vị vật liệu chuyên chở tiêu toán làm cho giá chuyên chở đơn vị vật liệu số làm thỏa mãn toán Mục ∑ Với , điều kiện cân điểm nút k ∑ ∑ Cuối cùng, có tốn ∑ với điều kiện { ∑ ∑ §2 Bài tốn quy hoạch tuyến tính Trong tốn QHTT, có số biến cần phải xác định giá trị để làm cực tiểu cực đại hàm số Các biến kí hiệu gọi biến điều khiển Hàm số làm cực đại cực tiểu hàm tuyến tính theo biến điều khiển, tức có dạng gọi hàm mục tiêu Ngồi có thêm số điều kiện hay gọi ràng buộc cho biến điều khiển Mỗi ràng buộc có dạng { } -Bài tốn tìm cực đại (cực tiểu) f đưa tốn tìm cực tiểu (cực đại) cách đặt -Mỗi ràng buộc với dấu *Ràng buộc cách thêm vào biến đưa ràng buộc với dấu cịn lại: đưa ràng buộc với dấu = sau , đgl biến phụ (slack variable) *Ràng buộc với dấu = đưa dấu cách viết { *Ràng buộc với dấu dấu ràng buộc đưa ràng buộc với dấu ngược lại cách đổi Do điều trên, tốn QHTT phát biểu dạng tổng quát sau Ràng buộc { Chương Phương pháp đơn hình §1 Ví dụ Chúng ta xem cụ thể phương pháp đơn hình tốn sau Ràng buộc { (2.1) Thêm vào biến phụ để ràng buộc trở thành dấu =, ta có tốn với ràng buộc { (2.2) Ý tưởng phương pháp đơn hình mãn ràng buộc (2.2); sau tìm ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ tốt hơn, tức ̅ ̅ thỏa ̅ Tiếp tục trinh có mà ta khơng thể làm tốt Chúng ta tìm khởi đầu Dễ dàng từ (2.2), có khởi đầu Gía trị hàm mục tiêu Bây xem làm tốt khơng Từ số hạng chứa , tăng giá trị lên tăng giá trị lên giữ nguyên giá tri , điều phải bảo đảm điều kiện không âm biến phụ khác Do , gía trị , từ ràng buộc (2.2) phải bảo đảm { Hay { Như vậy, ta tăng lên đến Bộ nhận Chúng ta vừa hoàn thành bước thuật tốn đơn hình, chuyển từ phương án sang phương án tốt Để làm điều này, có số biến có giá trị môt số biến khác, biểu diễn qua biến Như vậy, phương án mới, phải biếu diễn biến lại qua biến có gía trị Điều làm thơng qua ràng buộc (2.2) có tốn với ràng buộc { Từ tốn này, thấy tăng biến làm cho hàm mục tiêu tăng lên Tương tự trên, việc tăng phải bảo đảm giá trị không âm cho biến khác, điều thực Chọn ta có phương án Chuyển qua bước tiếp, biểu diễn biến khác hàm mục tiêu qua toán với ràng buộc { Đến đây, rõ ràng ta tăng biến biến mục tiêu tăng lên Phương án lời giải tối ưu tốn ta có (2.4) mà làm cho hàm Chú ý Trong bước giải trên, có số biến gán giá trị (đgl biến sở) biến lại (đgl biến sở) tính giá trị theo biến ngồi sở thơng qua hệ (2.2), (2.3), (2.4) Vì vậy, hệ (2.2)-(2.4) đgl từ điển (biểu diễn hàm mục tiêu giá trị biến sở thơng qua biến ngồi sở) Một từ điển chấp nhận cho biến ngồi sở biến sở nhận giá trị khơng âm §2.Phương pháp đơn hình Xét toán QHTT dạng ∑ Ràng buộc { ∑ , ta đưa toán dạng Bằng cách thêm vào biến phụ ∑ Ràng buộc ∑ { Đây từ điển xuất phát Như ví dụ trên, ta từ từ điển đến từ điển khác tốt Tại từ điển, ta có biến sở biến ngồi sở Kí hiệu tập số biến sở tâp số phương án sở Như vậy, với từ điển xuất phát ta có Tại từ điển ta có ̅ ̅ ∑ ̅ ∑̅ Tại bước phương pháp đơn hình, có biến (đgl biến đưa vào) từ chuyển vào ngược lại, có biến (đgl biến chuyển đi) chuyển từ vào Biến đưa vào chọn với mục đích làm tăng giá trị hàm hàm mục tiêu Nghĩa biến đưa vào chọn số từ tập ̅ Chú ý tập rỗng phương án phương án tối ưu Có nhiều cách chọn số từ tập này, ta chọn số cho ̅ số lớn thuộc tập Khi chọn biến đưa vào, giá trị thay đổi cách tăng từ đến giá trị dương Điều làm thay đổi giá trị biến sở: ̅ ̅ Để cho biến thỏa điều kiện không âm, cần phải có ̅ Như vậy, ̅ tăng giá trị nhiều lên đến ̅ ̅ ̅ Do đó, quy tắc để chọn biến chuyển chọn từ tập ̅ ̅ ̅ cực tiểu Tổng quát, có nhiều cách chọn biến đưa vào biến chuyển Các quy tắc làm cho việc chọn biến tất định gọi quy tắc quay (pivot rules) §3 Phương án xuất phát Trong phần trước, khảo sát toán vế phải số khơng âm, điều làm cho việc chọn từ điển xuất phát trở nên dễ dàng Trong phần này, xét toán trường hợp khơng xảy Xét tốn ∑ { ∑ Nếu cần, đổi dấu ràng buộc, giả sử Chúng ta xét toán phụ mà: -Từ điển tốn phụ dễ dàng tìm -Từ điển tối ưu toán phụ cho phép tìm từ điển tốn ban đầu Bài toán phụ sau ∑ { ∑ Với tốn phụ này, dễ dàng tìm phương án xuất phát Từ phương án này, ta giải toán phụ (3.2) Do hàm mục tiêu toán (3.2) bị chặn nên (3.2) ln có ngiệm tối ưu Có hai trường hợp xảy Trường hợp 1: ∑ : Khi đó, tốn gốc (3.1) khơng có phương án x phương án (3.1) (x,0) phương án (3.2) Vô lý Trường hợp 2: ∑ Khi : phương án toán (3.1) ta giải (3.1) từ phương án Ví dụ Xét ví dụ cụ thể sau Tìm Ràng buộc (i) { Đưa tốn ràng buộc dấu “=” hệ số tự không âm, ta có tốn (ii) Ràng buộc { Bài tốn phụ Tìm (iii) 10 Ràng buộc { Giải toán (iii) với phương án ban đầu ta có từ điển { Đưa vào sở đưa khỏi sở, ta có từ điển { Đưa vào sở và đưa khỏi sở, ta có từ điển { Đưa vào sở đưa khỏi sở ta có từ điển { Đây từ điển tối ưu toán phụ (iii) Do giá trị tối ưu 0, ta có phương án toán (ii) Xuất phát từ phương án này, ta có từ điển cho tốn (ii) { 27 giải tối ưu điểm D, điểm tiến gần đến môt điểm biên lời giải tối ưu bai toán (1) Khi thay đổi, lời giải tối ưu toán chắn chạy đường nằm phần D, đường đgl đường trung tâm (central path) Trước khảo sát tốn (1) theo khía cạnh này, ta nhắc lại phương pháp tìm cực trị nhân tử Lagrange (Lagrange multipliers) phần sau §2.Nhân tử Lagrange Phương pháp nhân tử Lagrange dùng cho tốn với ràng buộc Trong hàm khả vi cấp Trong lý thuyết hàm nhiều biến, ta biết lời giải tốn, có, phải thỏa mãn hệ { y số thực, đgl nhân tử Lagrange Điều kiện tối ưu bậc Xét toán ràng buộc { Phương pháp nhân tử Lagrange, với lời giải tối ưu toán thỏa mãn là: { , cho ta hệ mà ∑ Nếu định nghĩa hàm Lagrange ∑ 28 hệ để xác định ∑ { Các phương trình xác định hệ đgl điều kiện tối ưu bậc Trong trường hợp ràng buộc tuyến tính, lời giải tối ưu tìm thơng qua việc khảo sát ma trận Hessian f x là: [ Định lý Nếu ràng buộc tuyến tính, điểm với ] điểm cực trị địa phương thỏa mãn Chứng minh Khai triển Taylor hàm f điểm có dạng ‖ ‖ Nếu thỏa mãn (5) từ (3) (5) ta có , ‖ ‖ Đẳng thức kết hợp với (4) hoàn thành việc chứng minh Chú ý (4) xảy không cục mà x bất kỳ, §3.Áp dụng vào toán chắn Nhắc lại toán chắn ∑ ràng buộc ∑ điểm cực đại toàn 29 Hàm Lagrange toán ∑ ∑ Điều kiện tối ưu bậc ∑ ∑ { Viết điều kiên dạng ma trận: { Trong đó, X kí hiệu ma trận chéo giới thiệu đầu chương tương ứng với x, W hiểu tương tự, cịn e vector có tất thành phần Kí hiệu , viết lại điều kiện tối ưu bậc một: { Nhân đẳng thức thứ ba cho X đẳng thức thứ tư cho W, ta đến { Ràng buộc thứ có tốn xuất phát, cịn ràng buộc thứ hai có tốn đối ngẫu Viết hai ràng buộc lai theo thành phần: { Ta thấy điều kiện quen thuộc Nếu cho , điều kiện bù cho phương án tối ưu Vì vậy, ta gọi điều kiện điều kiện bù 30 Điều kiện tối ưu bậc một, (6), hệ phương trình gồm phương trình với ẩn Như vậy, việc giải tốn QHTT khơng khó việc giải hệ phương trình tuyến tính Biểu thức gây hệ khơng tuyến tính số hạng , điều gặp phải Một câu hỏi đặt hệ (6) có nghiệm nghiệm có khơng Chúng ta tính đạo hàm riêng bậc hai hàm chắn Các đạo hàm riêng cấp { Các đạo hàm riêng cấp hai { Ngoài ra, đạo hàm riêng cấp hai hỗn hợp Do đó, ma trận Hessian f ma trận chéo với phần tử đường chéo âm Theo định lý §2, có nhiều điểm dừng có, điểm cực đại toàn cục Bây ta khảo sát tồn lời giải toán chắn Trong số trường hợp, tốn chắn khơng có nghiệm, ví dụ sau Xét tốn tầm thường sau ràng buộc Hàm chắn cho tốn khơng có cực đại (chính xác, cực đại đạt ) Trong trường hợp tổng quát, có kết sau Định lý Bài tốn chắn có lời giải tối ưu miền ràng buộc toán ban đầu toán đối ngẫu có phần khác rỗng 31 Chứng minh Phần chứng minh “chỉ nếu” tầm thường Chúng ta chứng minh điều kiện “nếu” cách giả sử miền ràng buộc toán ban đầu tốn đối ngẫu có phần khác rỗng Khi tồn phương án chấp nhận ̅ ̅ ̅ ̅ toán gốc toán đối ngẫu mà ̅ ̅ ̅ ̅ Giả sử mơt phương án chấp nhận tốn gốc Ta có ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ Suy ̅ ̅ ̅ Hàm chắn tốn viết lại sau ∑ ∑( ∑ ) ̅ ∑ ̅ ̅ Trong đẳng thức trên, số hạng sau môt số; số hang tổng trước hàm biến dạng với Dễ dàng thấy hàm đạt giá trị lớn dần đến Do đó, với số c, tập Đặt ̅ Rõ ràng ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ bị chặn }̅ { ̅ , theo trên, ̅ tập bị chặn Ngoài ̅ { }̅ giao tập đóng nên tập đóng Do ̅ tập compact Vì f hàm liên tục nên f đạt giá trị lớn ̅ , tức f đat giá trị lớn tập Một hệ rõ ràng định lý sau Hệ Nếu tập phương án chấp nhận toán QHTT ban đầu (hoặc tốn đối ngẫu) có phần khác rỗng bị chặn với giá trị tồn lời giải toán (6) ) } đgl đường trung tâm cặp toán QHTT Đường {( tốn đối ngẫu Nó đóng vai trị phương pháp điểm giải toán QHTT §4.Phuơng pháp dò đường (Path-Following Method) 32 Phần giới thiệu phương pháp, xuất phát từ điểm phương án chấp nhận toán QHTT ban đầu toán đối ngẫu, từ điểm tìm cách đến lời giải tối ưu Nghĩa là, xuất phát từ điểm thực bước: (1)Đánh giá giá trị thích hợp cho để đến “gần” điểm ( (2)Tìm hướng di chuyển đường trung tâm (3)Tính tham số ̅ ) cho giá trị ,̅ ̅ ̅ nhận giá trị dương (4)Thay ̅ ̅ ̅ ̅ Các mục giải bước Tìm hướng di chuyển Chúng ta tìm cho điểm “xấp xỉ” nằm đường trung tâm điểm ( xác định điểm đường trung tâm ) Nhắc lại hệ { Tại điểm , hệ { hay dạng khác sau { Hệ hệ phương trình theo biến , hệ hệ tuyến tính Bằng cách bỏ qua số hạng phi tuyến, ta có hệ tuyến tính 33 { với phương trình ẩn số Mục sau ta hệ không suy biến với giả thiết ma trận có hạng đầy đủ Nếu việc bỏ số hạng phi tuyến làm bận tâm, ý lại cách tiếp cận thông dụng để giải hệ phi tuyến, chẳng hạn phương pháp Newton sau Phương pháp Newton Xét hàm số [ ] với [ ] từ vào Bài tốn tìm nghiệm , tức điểm cho Phương pháp Newton phương pháp lặp để giải toán Giả sử cho , mục đích ta tìm bước mà Tất nhiên với hàm phi tuyến , khó để tìm Do đó, ta xấp xỉ số hạng khai triển Taylor : [ Hàm xấp xỉ tuyến tính theo dẫn đến ] Như vậy, với xấp xỉ này, điều kiện Phương trình cho phép tính Với tìm được, ta thay Quá trình tiếp tục tìm mà Các ví dụ chiều phương pháp tốt, nhiên khơng thực điểm xuất phát nằm xa lời giải 34 Bây giờ, trở lại với tốn tìm điểm nằm đường trung tâm Với [ ] ta có [ ] Có thể kiểm tra hướng tìm phương pháp Newton tìm từ hệ hệ (7)-(10) Giá trị thích hợp cho tham số chắn Thực nghiệm cho thấy chọn có giá tri lớn, dãy điểm nhận hội tụ điểm miền ràng buộc, thường nghiệm tối ưu tốn Nếu chọn gía trị nhỏ cho , điểm rãi rác chung quanh đường trung tâm thuật tốn dẫn đến điểm khơng phải tối ưu Giả sử ta biết điểm Nếu điểm nằm đường trung tâm, ta tính giá trị Chẳng hạn, tính gía trị , sau tính gía trị trung bình giá trị này: Nếu điểm không nằm đường trung tâm, chọn sai khác hệ số: theo công thức trên, cho kết tốt Trong thực tế, người ta thấy Chọn tham số độ dài bước chuyển 35 Độ lớn hướng chuyển dịch, theo phương pháp Newton, xác định giả thiết để độ dài tham số (tức ̅ , ) Tuy nhiên viêc chọn làm cho biến toán ban đầu tốn đối ngẫu khơng thỏa mãn điều kiện dương Vì vậy, phải cần giá trị nhỏ cho tham số Chúng ta cần có Như tham số cần thỏa mãn Tương tự, ta có điều kiện mà cần phải thỏa mãn thay cùng, giá trị lớn mà nhận cho { Cuối } Tuy nhiên, việc chọn theo công thức không đảm bảo cho bất đẳng thức xảy ngặt Vì ta chọn tham số dương nhỏ 1, chọn { ( { }) } Khởi tạo While (chưa phải nghiệm tối ưu){ Giải hệ { Đặt { ( { }) } Thuật tốn dị đường } 36 Chương Giải tốn quy hoạch tuyến tính Excel Có nhiều phần mềm thực việc giải toán QHTT Maple, Excel, Matlab, Chương hướng dẫn việc giải toán QHTT Excel Giả sử ta muốn giải tốn ràng buộc (5.1) { §1.Khai báo tham số toán Trước giải, phải khai báo với Excel thơng tin: a.Các gía trị Mỗi giá trị nhập vào ô bảng tính Excel Thường ô chọn liên tiếp để việc đánh công thức (của hàm mục tiêu ràng buộc) thuận tiện b.Khai báo với Excel chứa gía trị c.Ơ chứa gía trị cần cực tiểu hóa Max/Min (ơ chứa gía trị hàm mục tiêu) d.Các ô chứa giá trị biểu thức e.Khai báo dấu ( cho ràng buộc, kèm theo với gía trị Ví dụ Giải tốn (2.1) Ràng buộc { (5.2) Vào trang tính Excel khai báo sau: -Đối với khai báo a., ta dùng ô A1, B1, C1 để chứa giá trị -Dùng ô A2, B2, C2 để chứa giá trị khai báo với Excel sau Vì ta bỏ trống ô 37 -Dùng ô D3 để chứa giá trị hàm mục tiêu Vì ta nhập công thức vào cho ô D3 Sẽ khai báo với Excel ô D3 chứa giá trị hàm mục tiêu sau -Dùng hình chữ nhật từ A5 đến C7 chứa giá trị Vì ta nhập: giá trị vào ô A5, B5, C5, giá trị vào ô A6, B6, C6, giá trị vào ô A7, B7, C7 -Dùng ô D5, D6, D7 để chứa giá trị vế trái ràng buộc Vì ta nhập: công thức A2*A5+B2*B5+C2*C5 vào cho ô D5, công thức A2*A6+B2*B6+C2*C6 vào cho ô D6, công thức A2*A7+B2*B7+C2*C7 vào cho D7 38 §2.Khai báo biến, hàm mục tiêu ràng buộc Sau khai báo tham số toán, ta chọn chức Solver Menu Exel Hộp thoại Solver Parameters xuất hiện, chẳng hạn Office 2010: Solver Parameters Set Objective To: Max Min Value of By changing Variable Cells: Subect to the Constrains Add Change Delete Reset All Load/Save Make Unconstrained Variables Non-Negative Select a Solving Method Options Solving Method Help Solve Close Khai báo khung Set Objective địa ô chứa giá trị hàm mục tiêu Trong ví dụ, ta đánh vào khung địa D3 Khai báo hàm mục tiêu cần tìm max/min kiểu giá trị (nguyên, thực) Khai báo khung By Changing Variable Cells ô chứa biến cần tìm giá trị Trong ví dụ, ta đánh vào khung A2:C2 39 Khung Subject to the Constrains để khai báo ràng buộc Muốn khai báo ràng buộc, ta click chuột vào Add, hình hộp thoại Add Constraint sau Add Constraint Cell Reference Constraint