BÀI GIẢNG QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Biên soạn : ThS. PHAN BÁ TRÌNH

UBND TỈNH QUẢNG NGÃI TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHẠM VĂN ĐỒNG BÀI GIẢNG QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Biên soạn : ThS PHAN BÁ TRÌNH Quảng Ngãi, Tháng - 2014 LỜI NĨI ĐẦU Quy hoạch tuyến tính lĩnh vực toán học nghiên cứu toán tối ưu hữu hạn biến mà hàm mục tiêu ràng buộc hàm số phương trình bất phương trình tuyến tính Khi Dantzig cơng bố phương pháp đơn hình để giải tốn lập kế hoạch cho không quân Mỹ năm 1947 xuất phát từ yêu cầu quản lý từ dạng tốn khác tìm cách đưa quy hoạch tuyến tính dùng phương pháp đơn hình để giải Người ta dùng quy hoạch tuyến tính để phân tích mơ hình lý thuyết kinh tế cổ điển Walras đề xuất từ năm 1874 cách hồn chỉnh Các nhà tốn học Kantorovich Koopmans nhà tốn học có nhiều cơng trình nghiên cứu ứng dụng quy hoạch tuyến tính thành cơng lĩnh vực kinh tế mà thường gọi toán kinh tế Năm 1975, Kantorovich Koopmans giải thưởng Nobel khoa học kinh tế Quy hoạch tuyến tính mơn học bắt buộc trường thuộc khối ngành khoa học tự nhiên, kinh tế, sư phạm… Bài giảng Quy hoạch tuyến tính dành cho sinh viên lớp thuộc ngành sư phạm Toán, ngành kinh tế,… Nội dung “ Bài giảng Quy hoạch tuyến tính” gồm chương: Chương Bài tốn quy hoạch tuyến tính Chương Tính chất tập phương án tập phương án tối ưu tốn quy hoạch tuyến tính Chương Phương pháp đơn hình thuật tốn Chương Bài tốn đối ngẫu, thuật tốn đơn hình đối ngẫu Chương Bài toán vận tải, thuật toán vị Bài giảng trình bày nội dung quy hoạch tuyến tính cấu trúc đa dạng toán cách chuyển đổi sang cấu trúc tắc, chuẩn tắc tốn quy hoạch tuyến tính, cấu trúc tốn đối ngẫu, phương pháp giải tốn quy hoạch tuyến tính…Đặc biệt, sau chương có phần tập phong phú để củng cố kiến thức rèn luyện kỹ tính tốn Bài giảng giới thiệu ví dụ minh hoạ, toán ứng dụng nhiều lĩnh vực khác giúp ích cho bạn sinh viên nhà quản lý, nhà kinh tế… Chúng hy vọng “Bài giảng Quy hoạch tuyến tính” tài liệu học tập bổ ích cho sinh viên nguồn tư liệu phong phú cho quý Thầy, Cô giáo tham khảo, nghiên cứu Là lần viết đầu tiên, nên chắn giảng nhiều thiếu sót Chúng tơi chân thành cảm ơn góp ý, nhận xét bạn đọc nhiều phương diện để giảng ngày tốt Mọi góp ý xin gửi về: Phan Bá Trình, Khoa Cơ - Trường Đại học Phạm Văn Đồng Email: pbtrinh@pdu.edu.vn Chương BÀI TỐN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 1.1 Một vài toán thực tế 1.1.1 Xây dựng mơ hình tốn học cho số vấn đề thực tế Các bước thực để lập mơ hình tốn học cho vấn đề thực tế Bước Tìm kiếm thơng tin gốc Đây q trình thu thập số liệu kinh tế - kỹ thuật Bước quan trọng tất bước sau dựa vào số liệu để tính tốn Nó định tính xác kết thu Mỗi tốn kinh tế cụ thể địi hỏi thơng tin gốc khác Bước Xử lý số liệu Bước chia thành hai giai đoạn i) Lập mơ hình tốn Từ số liệu yêu cầu kinh tế - kỹ thuật, ta chuyển thành mơ hình tốn học Địi hỏi bước phải thiết lập xác đầy đủ điều kiện toán ii) Lựa chọn thuật toán thích hợp giải tốn Đây q trình tính tốn mơ hình tốn dựa vào thành tựu tốn học có Kết bước lời giải để đưa giải pháp tối ưu mặt kinh tế Vì bước quan trọng Bước Thông tin kết Thực chất bước diễn giải thơng tin mặt tốn học thành thơng tin mặt kinh tế Nghĩa là, dựa vào kết tính tốn có để nhà làm sách đưa định kinh tế 1.1.2 Một vài toán thực tế 1.1.2.1 Bài toán lập kế hoạch sản xuất Bài toán tổng quát: Trong chu kì sản xuất doanh nghiệp sử dụng m loại nhân tố sản xuất khác để sản xuất n loại sản phẩm khác E1, E2, …, En Tiềm nhân tố sản xuất doanh nghiệp có hạn cho vec tơ b = (b1, b2, …, bm) Biết để sản xuất đơn vị sản phẩm Ej j : j  1, n  cần chi phí hết aij   đơn vị nhân tố sản xuất thứ i i : i  1, m lợi nhuận bán sản phẩm cho vectơ c = (c1, c2, , cn) Đặt: A  aij m.n Vậy doanh nghiệp cần phải lập kế hoạch sản xuất để không bị động tiềm nhân tố sản xuất thu lợi nhuận lớn Phân tích: Gọi x1, x2 ,…, xn số sản phẩm E1, E2 ,…, En (trong kế hoạch cần sản xuất) Theo đề ta có mơ hình tốn học sau: Tìm x = (x1, x2, …, xn) thỏa mãn: f(x) = c1x1 + c2x2 + … + cnxn  max (1) a11x1 + a12x2 + …+ a1nxn  b1 a21x1 + a22x2 + …+ a2nxn  b2 (2) …………………………… am1x1 + am2x2 + … + amnxn  bm  xj  j : j  1, n  (3) hay ta viết gọn dạng ma trận f(x) = cTx  max (1/) Ax  b (2/) x0 (3/) Ví dụ 1: Một cơng ty phần mềm chuyên sản xuất loại phần mềm A B Với đội ngũ gồm thạc sỹ kỹ sư tin học Biết rằng: Để sản xuất hoàn thành phần mềm A cần thạc sỹ kỹ sư, để sản xuất hoàn thành phần mềm B cần thạc sĩ kỹ sư Qua tiếp thị thị trường biết nhu cầu cực đại phần mềm Giá bán cho loại phần mềm A 2000USD cho loại phần mềm B là: 3000USD Hãy lập kế hoạch sản xuất cho tháng để thỏa mãn yêu cầu thị trường, không bị động đội ngũ, doanh thu đem cho công ty lớn Giải: Gọi x1, x2 số lượng phần mềm A B cần sản xuất Theo để ta có mơ hình tốn học: Tìm x = (x1, x2): f(x) = 2x1 + 3x2  max (Đơn vị tính: 1.000USD) (1) 2 x1  x    x1  3x  (2) x1  0; x2  (3) 1.1.2.2 Bài toán vận tải Bài toán: Ta cần vận chuyển loại mặt hàng (Chẳng hạn: máy tính, linh kiện điện từ, gạo, gỗ, xi măng, xăng dầu,…) gồm có m trạm phát hàng A1, A2, …, Am với lượng hàng yêu cầu phát tương ứng a1, a2, …, am đơn vị hàng, n trạm thu hàng B1, B2, …, Bn với lượng hàng yêu cầu chuyển đến tương ứng b1, b2, …, bn đơn vị hàng ma trận cước phí vận chuyển (Chi phí vận chuyển đơn vị hàng) c11 c12 … c1n c21 c22 … c2n C= … cm1 cm2 … viết gọn là: C  cij m.n cmn Ở cij i, j  : i  1, m; j  1, n  : cước phí vận chuyển cho đơn vị hàng hóa chuyển từ trạm phát Ai đến trạm thu Bj Bài toán đặt với điều kiện m n  a  b i 1 i j 1 (*) j (*) gọi điều kiện cân thu phát tức là: Tổng lượng hàng phát đáp ứng đầy đủ cho tổng lượng hàng thu (cung cầu) Hãy lập kế hoạch vận chuyển hàng cho: - Các trạm phát (cung) hết lượng hàng có - Các trạm thu (cầu) nhận đủ lượng hàng yêu cầu - Tổng chi phí vận chuyển nhỏ Phân tich:   Gọi xij i, j  : i  1, m; j  1, n : lượng hàng vận chuyển từ Ai đến Bj   Thấy xij  0; i, j  : i  1, m; j  1, n xij > Ai phát hàng cho Bj; xij = Ai khơng phát hàng cho Bj Khi mơ hình tốn nói là: Tìm ma trận phân phối vận chuyển hàng: x11 x12 … x1n x21 x22 … x2n X= viết gọn X  xij m.n … xm1 xm2 … xmn thỏa mãn điều kiện sau: m n  c x f(x) = i 1 j 1 n x j 1 ij i 1  (tổng chi phí vận chuyển bé nhất)  (1)   a i (tổng lượng hàng phát từ trạm Ai) i : i  1, m ; (2) m x ij ij ij   b j (tổng lượng hàng chuyển đến trạm Bj) j : j  1, n  xij  0; i, j  : i  1, m; j  1, n  (3) Ví dụ 2: Ta cần vận chuyển máy tính từ cơng ty (trạm phát): P1, P2 đến nơi tiêu thụ (trạm thu) T1, T2 T3 Số lượng máy tính cơng ty cần chuyển, nhu cầu máy tính nơi tiêu thụ cước phí vận chuyển cho máy tính chuyển từ   cơng ty Pi đến nơi tiêu thụ Tj i, j  : i  1,2; j  1,3 cho bảng sau: Cước phí Trạm thu T1: 15 (máy) T2: 20 (máy) T3: 25 (máy) P1: 20 (máy) (nghìn đồng) (nghìn đồng) (nghìn đồng) P2: 40 (máy) (nghìn đồng) (nghìn đồng) (nghìn đồng) Cơng ty Hãy lập kế hoạch vận chuyển để: - Các cơng ty phải phân phối hết số máy tính có - Các nơi tiêu thụ nhận đủ số máy theo nhu cầu - Tổng cước phí vận chuyển thấp Giải: Gọi xij số máy tính vận chuyển từ công ty (Pi) đến nơi tiêu thụ (Tj) i, j  : i  1, m; j  1, n Với điều kiện: xij  i, j  : i  1, m; j  1, n  Số máy tính vận chuyển từ P1 đến nơi tiêu thụ là: x11 + x12 + x13 Số máy tính vận chuyển từ P2 đến nơi tiêu thụ là: x21 + x22 + x23 Số máy tính vận chuyển đến tiêu thụ T1 từ công ty là: x11 + x21 Tổng số máy tính vận chuyển đến tiêu thụ T2 từ cơng ty là: x12 + x22 Tổng số máy tính vận chuyển đến tiêu thụ T3 từ công ty là: x13 + x23 Tổng cước phí trả là: (Tổng nhỏ tốt) 5x11 + 7x12 + 2x13 + 4x21 + 3x22 + 6x23 Theo đề ta có mơ hình tốn học tốn là: Tìm x = (xij) i, j  : i  1,2; j  1,3 thỏa mãn: f(x) = 5x11 + 7x12 + 2x13 + 4x21 + 3x22 + 6x23  (1) x11 + x12 + x13 = 20 x21 + x22 + x23 = 40 x11 + x21 = 15 x12 + x22 = 20 x13 + x23 = 25  (2)  xij  i, j : i  1,2; j  1,3 (3) 1  0 Ma trận hệ số A  1  0 0  1 0 0  20     0 1 1  40   0 0 ; B  15  ;    0 0  20    25  0 1    x11 X   x21 x 12 x 22 x13   x 23  Ở thay viết x = (x11, x12, x13, x21, x22, x23) ta viết thành ma trận đề hàng ứng với trạm phát cột ứng với trạm thu cho dễ hình dung 1.1.2.3 Bài toán phần thức ăn Bài toán: Giả sử ta biết nhu cầu tối thiểu ngày chất dinh dưỡng (đường, đạm, béo, khống ) cần cho loại đối tượng (trẻ con, người lớn, heo, gà, ) Để cung cấp chất dinh dưỡng có số thức ăn mua thị trường biết tỉ lệ chất dinh dưỡng loại thức ăn giá chúng Vấn đề đặt cần xác định số lượng thức ăn loại phần thức ăn hàng ngày cho vừa đảm bảo cung cấp đủ chất dinh dưỡng đồng thời giá thành rẻ Bài toán phần thức ăn toán cụ thể mơ hình dùng cho toán khác Thực chất toán hỗn hợp nhiều thành phần để đạt yêu cầu chất lượng sản phẩm, đồng thời có giá thành rẻ Có thể áp dụng mơ hình cho ngành luyện kim, hố chất, Phân tích: Ký hiệu: n m aij bi số loại thức ăn số loại dinh dưỡng cần cho phần hàm lượng chất dinh dưỡng i có đơn vị thức ăn j i, j  : i  1, m; j  1, n  số đơn vị chất dinh dưỡng i cần cho phần thức ăn i : i  1, m  j : j  1, n cj đơn giá đơn vị thức ăn j xj số lượng thức ăn j cần mua cho phần thức ăn j : j  1, n   f  x   c1 x1  c x   c n x n Hàm mục tiêu là: Bài tốn phát biểu sau: Xác định giá trị x1, x2, …, xn cho hàm mục tiêu f đạt giá trị nhỏ đồng thời đảm bảo yêu cầu dinh dưỡng cho phần thức ăn Mơ hình tốn học toán là: f  x   c1 x1  c x   c n x n  (1) a11 x1  a12 x   a1n x n  b1 a x  a x   a x  b  21 22 2n n   a m1 x1  a m x   a mn x n  bm (2) x1  0; x  0; ; x n  (3) Ví dụ 3: Có loại thức ăn I, II, III dùng chăn nuôi Các chất dinh dưỡng chất đạm, chất béo Albumin Mức độ yêu cầu chất dinh dưỡng ngày, hàm lượng chất dinh dưỡng loại thức ăn giá chúng cho bảng sau: Thức ăn I II III Đạm 0,5 10 0,4 20 Béo 3,0 0,5 0,7 10 Albumin 0,3 0,8 2,0 15 0,8 1,5 3,0 Dinh dưỡng Yêu cầu Đơn giá Các số liệu hiểu sau: Một đơn vị thức ăn loại I có 0,5 đơn vị chất đạm, đơn vị chất béo 0,3 đơn vị Albumin 10 Mỗi đơn vị thức ăn loại I; II; III có giá trị tương ứng là: 0,8; 1,5 3,0 đơn vị tiền Yêu cầu tối thiểu chất đạm 20 đơn vị, chất béo 10 đơn vị Albumin 15 đơn vị Xác định số liệu để ghi vào bảng công việc nhà kinh tế, chuyên môn, không thuộc phạm vi quy hoạch tuyến tính Nhiệm vụ đặt là: cần xác định số liệu thức ăn loại cho đảm bảo yêu cầu dinh dưỡng, đồng thời giá thành phần thức ăn nhỏ Ta cần thành lập mơ hình tốn này: Gọi x1, x2, x3 số lượng thức ăn loại I, II, III cần mua Đây số cần tìm Hàm mục tiêu là: f  x   0,8 x1  1,5 x  x3  (1) 0,5 x1  10 x  0,4 x3  20   3x1  0,5 x  0,7 x3  10 0,3x  0,8 x  x  15  (2) x1  0; (3) Hệ ràng buộc là: x  0; x3  Điều kiện (3) có số lượng thức ăn khơng thể âm Nhiệm vụ tốn tìm giá trị (x1, x2, x3) thoả mãn ràng buộc (2), (3) cho hàm mục tiêu f(x) đạt giá trị nhỏ Nhận định chung: Qua ví dụ trình bày phần trên, ta thấy nhiều lĩnh vực khác có yêu cầu khác việc đề định định lượng nhằm tối ưu hóa sản xuất Nhưng yêu cầu diễn giải thành mơ hình tốn học tổng qt hóa sau: (1) Điều kiện tối ưu hóa: Địi hỏi thỏa mãn u cầu mặt kinh tế bao gồm trường hợp cực đại hóa cực tiểu hóa 11 (2) Điều kiện ràng buộc: Bao gồm hệ gồm phương trình họăc bất phương trình bậc Hệ thống ràng buộc xuất phát từ đòi hỏi cần thỏa mãn mặt kỹ thuật (3) Điều kiện dấu: Xuất phát từ yêu cầu thực tiển định đỏi hỏi không âm Các cách biểu diễn tốn quy hoạch tuyến tính sau: Tìm x = (x1, x2, …, xn)  Rn thỏa mãn: f(x) = x1c1 + x2c2 + … + xncn  min/ (max) (1)   a21x1 + a22x2 + … + a2nxn    b2 a11x1 + a12x2 + …+ a1nxn    b1 ……………………………………… (2) am1x1 + am2x2 + … + amnxn    bm  xj  j : j  1, n  (3) Hay viết gọn: Tìm x = (x1, x2, …, xn) với xj  R j : j  1, n  thỏa mãn: n c x  min/ (max) (1)  a x   ; i : i  1, m  (2) f(x) = j 1 j j n j 1 ij j  xj  0; j : j  1, n  (3) Dạng ma trận toán: Gọi A  aij m.n ; c = (c1 c2 … cn)T, x = (x1 x2 … xn)T, b = (b1 b2 … bm)T Khi đó: Bài tốn quan hệ tuyến tính tổng qt viết: f(x) = cTx  min/ (max) (1/) Ax     b (2/) x0 (3/) 12 Trong aij, bj cj biết, xj j : j  1, n  ẩn số i, j  : i  1, m;  j  1, n 1.2 Các dạng tốn quy hoạch tuyến tính 1.2.1 Bài tốn quy hoạch tuyến tính tổng qt Bài tốn quy hoạch tuyến tính tổng quát định nghĩa sau: f  x   c1 x1  c x   c n x n  min/ (max) a i1 x1  x   a in x n   i : i  1, m  xj    tuỳ ý    b i j : j  1, n  (1) (2) (3) (Ký hiệu:     nghĩa lấy dấu ngoặc;   nghĩa lấy dấu ngoặc) - Hàm f gọi hàm mục tiêu toán - Phương án toán vectơ x   x1 , x , , x n  thoả mãn ràng buộc (2) (3) Ký hiệu S tập tất phương án toán - Phương án tối ưu toán x *  x1* , x 2* , , x n*  làm cho hàm mục tiêu f đạt giá trị nhỏ toán lớn toán max, tức phương án thoả mãn điều kiện (1) Ký hiệu S* tập tất phương án tối ưu toán - Trị tối ưu toán là: f  x *  c1 x1*  c x 2*   c n x n* x *  x1* , x 2* , , x n*  phương án tối ưu - Hai tốn quy hoạch tuyến tính gọi tương đương chúng có tập phương án tập phương án tối ưu Ghi chú: i) Bài toán max: f  x   c1 x1  c x   c n x n  max (1) với điều kiện (2) (3) tương đương với toán sau: g x   c1 x1  c x   c n x n  (1) với điều kiện (2) (3) trị tối ưu: f *  x    g *  x  Như cần phát biểu thuật toán giải toán đủ 13 ii) Với biến xj có điều kiện x j  , ta thay biến x /j   x j có điều kiện tương đương x /j  Với biến xj khơng có ràng buộc dấu ta đặt x j  x /j  x //j x /j  x //j  Như hệ điều kiện dấu (3) quy trường hợp xj  j : j  1, n  iii) Trong hệ ràng buộc (2), ràng buộc dạng: a i1 x1  x   ain x n  bi tương đương với ràng buộc:  ai1 x1  x   a in x n  - bi Như ràng buộc hệ (2) dạng  quy dạng  ngược lại iv) Trong hệ ràng buộc (2), ràng buộc dạng: a i1 x1  x   ain x n  bi tương đương với hệ ràng buộc: a i1 x1  x   ain x n  z i  bi z i biến phụ z i  0 Trong hệ ràng buộc (2), ràng buộc dạng: a i1 x1  x   ain x n  bi tương đương với hệ ràng buộc: a i1 x1  x   ain x n  z i  bi z i biến phụ z i  0 v) Ngược lại ràng buộc dạng: a i1 x1  x   a in x n  bi tương đương với ràng buộc: a i1 x1  x   ain x n  bi  ai1 x1  x   a in x n  - bi Như ràng buộc hệ (2) dạng  quy dạng = ngược lại 14 BẢNG TÓM TẮT TT Các trường hợp Tương đương f  c1 x1  c x   c n x n  max g   f  c1 x1  c2 x2   cn xn  xj  x /j   x j ; x /j  xj khơng có ràng buộc dấu x j  x /j  x //j ; x /j  ; x //j  a i1 x1  x   ain x n  bi  ai1 x1  x   a in x n  - bi a i1 x1  x   ain x n  bi a i1 x1  a i x   a in x n  z i  bi z i : biến phụ  z i   a i1 x1  x   ain x n  bi ai1 x1  x2   ain xn  zi  bi z i : biến phụ z i   a i1 x1  x   ain x n  bi a i1 x1  x   ain x n  bi  ai1 x1  x   a in x n  - bi 1.2.2 Bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn tắc Bài tốn quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn tắc định nghĩa sau: f  x   c1 x1  c x   c n x n  (1) ai1 x1  x   ain x n  bi  i : i  1, m  (2) với điều kiện    x j  ; j : j  1, n  (3) f  x   c1 x1  c x   c n x n  max (1) ai1 x1  x   ain x n  bi  i : i  1, m  (2) với điều kiện    x j  ; j : j  1, n  (3) Rõ ràng tốn quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn tắc trường hợp riêng toán tổng quát Từ ghi ta dễ dàng suy ra: 15 Mệnh đề Mọi toán quy hoạch tuyến tính tổng qt đưa dạng tốn quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn tắc tương đương 1.2.3 Bài tốn quy hoạch tuyến tính dạng tắc Bài tốn quy hoạch tuyến tính dạng tắc định nghĩa sau: f  x   c1 x1  c x   c n x n  min/ max  (1) với điều kiện ai1 x1  x   ain x n  bi  i : i  1, m  (2) xj  (3)   ; j : j  1, n  Rõ ràng tốn quy hoạch tuyến tính dạng tắc trường hợp riêng toán tổng quát Từ ghi ta dễ dàng suy ra: Mệnh đề Mọi tốn quy hoạch tuyến tính tổng qt đưa dạng tốn quy hoạch tuyến tính dạng tắc tương đương Ví dụ: Cho tốn quy hoạch tuyến tính (P) f  x   3 x1  x  x3  max (1) 2 x1  x  x3    x1  x  x3   x  4x  x   (2) x1  0; (3) Hệ ràng buộc là: x2  Hãy chuyển tốn (P) tốn quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn (P/) dạng tắc min(P//) Giải: i Ta chuyển toán (P) toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn (P/) - Biến x2 thay biến x 2/ cho x 2/   x với điều kiện x 2/  - Biến x3 thay biến x3/ x3// cho x3  x 3/  x 3// với điều kiện x3/  ; x 3//  Hàm mục tiêu f chuyển thành g x    f  x   x1  x  x3 16  x1  x 2/  x3/  x 3//  (1/) - Ràng buộc thứ chuyển thành x1  x 2/  x 3/  x3//  - Ràng buộc thứ chuyển thành  x1  x 2/  x 3/  x 3//  1 - Ràng buộc thứ chuyển thành x  x 2/  x 3/  x 3//   x  x 2/  x 3/  x 3//   Cuối tốn chuẩn (P/) có dạng: g x   x1  x 2/  x 3/  x3//  2 x1  x 2/  x3/  x3//   / / //  x1  x  x3  x3  1  / / //  x1  x  x3  x3   x  x /  x /  x //  1 3  x1  0; x/2  ; x3/  ; (1/) (2/) x3//  (3/) ii Ta chuyển toán (P) tốn quy hoạch tuyến tính dạng tắc min(P//) - Biến x2 thay biến x 2/ cho x 2/   x với điều kiện x 2/  - Biến x3 thay biến x3/ x3// cho x3  x3/  x3// với điều kiện x3/  ; x3//  Hàm mục tiêu f(x) chuyển thành g x    f  x   x1  x  x3  x1  x 2/  x3/  x 3//  - Ràng buộc thứ chuyển thành: x1  x 2/  x3/  x3//  z1  z1 biến phụ, z1  - Ràng buộc thứ chuyển thành: x1  x 2/  x3/  x3//  z  z2 biến phụ, z  - Ràng buộc thứ chuyển thành: x1  x 2/  x3/  x 3//  Cuối tốn chuẩn (P//) có dạng: 17 (1//) g x   x1  x 2/  x 3/  x3//  (1//) 2 x1  3x 2/  x3/  x3//  z1 2  / / //  z2   x1  x  x3  x3  / / // 1  x1  x  x3  x3 (2//) x1  0; x 2/  ; x3/  ; x3//  ; z1  ; z  (3//) 1.3 Phương pháp hình học giải tốn quy hoạch tuyến tính hai biến 1.3.1 Nội dung phương pháp Xét tốn quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn với hai biến số: f(x) = c1x1 + c2x2  min/ (max) (1) ai1 x1  x  bi   i : i  1,2 (2) x1  x2  (3)   Từ ý nghĩa hình học ta biết bất phương trình: 1x1 + aì2x2  bi xác định nửa mặt phẳng Như miền D (miền chấp nhận) xác định giao nửa mặt phẳng đa giác lồi mặt phẳng Phương trình c1x1 + c2x2 =  Khi  thay đổi xác định mặt phẳng đường song song với ta gọi đường mức với giá trị mức  Mỗi điểm x* = (x1*, x2*)  D nằm đường mức với giá trị mức: * = c1x1* + c2x2* Bài tốn đặt phát biểu theo ngơn ngữ hình học sau: Trong số đường mức cắt D, tìm đường mức với giá trị mức nhỏ (lớn nhất) Nếu dịch chuyển song song đường mưc theo hướng vec tơ pháp tuyến  chúng n = (c1,c2) giá trị mức tăng (hoặc giảm dịch chuyển theo hướng ngược lại) Do để giải tốn ta tiến hành sau: Bước 1: Vẽ miền chấp nhận D Bước 2: Bắt đầu từ đường mức cắt D ta dịch chuyển song song đường  mức theo hướng (hay ngược hướng) véc tơ pháp tuyến chúng n = (c1,c2) việc dịch chuyển làm cho đường mức không cắt D dừng 18 Điểm cắt D (có thể nhiều điểm) nằm đường mức cuối lời giải tối ưu Còn giá trị hàm mục tiêu (tức giá trị mức) giá trị tối ưu cần tìm tốn Nhận xét Do q trình vẽ miền D khơng thể tránh khỏi sai số (mà phần vẽ, xác định tọa độ, xác định vng góc…) nên việc tin cậy để xác định tọa độ tối ưu khơng cao Khơng tính xác tốn, ta giải tốn quy hoạch tuyến tính dạng hai biến hay ba biến tóm tắt theo bước sau: Bước 1: Vẽ miền chấp nhận D (tức ta xác định miền giao nửa mặt phẳng hay nửa không gian điều kiện ràng buộc) Bước 2: Nếu D   bị chặn (chặn toán ta xét dạng min, chặn toán ta xét dạng max) tốn có phương án tối ưu Ta xác định tọa độ đỉnh (sang bước 3) Ngược lại, kết luận toán vơ nghiệm Dừng Bước 3: Tính giá trị f(x) đỉnh kết luận (tức tìm giá trị lớn hay nhỏ f(x)) 1.3.2 Các ví dụ Ví dụ 1: Xét tốn, tìm x = (x1, x2) thỏa mãn: f(x) = 5x1 + 3x2  max (1) 9x1 + 3x2  27 2x1 + x2  (2) 2x1 + 2x2  12 x1  0, x2  (3) x2 Giải: B Gọi d1: đường thẳng 9x1 + 3x2 = 27 d3: đường thẳng 2x1 + 2x2 = 12 E C * Vẽ miền phương án D: d2: đường thẳng 2x1 + x2 = d1 O Khi ta miền phương án D d3 d2 A 7/2 Hình 1.1 tốn hình đa giác OABCE (Hình 1.1.) Đó đa giác lồi kín, nên tốn có phương án tối ưu x0 * Tìm phương án tối ưu 19 x1 9 x1  x  27  A0,3; f  A   x2  Thấy điểm: A  d1  Ox1 :  9 x1  3x2  27 B  d1  d :   B(2,3); f ( B)  19 2 x1  x2  2 x  x  C  d2  d3 :   C 1,5; f C   20 2 x1  x  12 2 x  x  12 E  d  Ox :   E 0,6; f E   18  x1  O (0,0); f(O) = Từ maxf = max {9, 19, 20, 18, 0} = 20 = f(C) Vậy x0 = (1,5) nghiệm tối ưu tốn Ví dụ 2: Xét tốn, tìm x = (x1, x2, x3) thoả mãn: f(x) = x1 + 2x2 + 3x3 – 20  max x1 + x2 + x3  (1) (2) x1  x1  0; x2  x3  (3) Giải x3 * Vẽ miền phương án D Từ (1) (2) ta thấy miền phương án D hình chóp cụt / C ABCOB’C’ Đó đa diện lồi kín, nên tốn cho có phương án tối ưu * Tìm phương án tối ưu x C Thấy điểm: A(2,0,0) có f(A) = - 18 O(0, 0, 0) có f(O) = - 20 B’ (0, 4, 0) có f(B’) = -12 C’ (0, 0, 4) có f(C’) = -18 A B/ O 4’ x2 B x1 Hình 1.2 Ký hiệu (P) mặt phẳng x1 + x2 + x3 = 4; (Q) mặt phẳng x1 = 2; (K) mặt phẳng tọa độ (x1Ox2) (J) mặt phẳng tọa độ (x1Ox3), (Hình 1.2.) điểm: 20