Tập bài giảng quy hoạch tuyến tính

Bài giảng Quy hoạch tuyến tính LỜI GIỚI THIỆU Trong q trình cơng nghiệp hóa, đại hóa kinh tế, việc giải toán kinh tế cách tăng cƣờng hợp lí hóa q trình sản xuất, đòi hỏi phải áp dụng rộng rãi phƣơng pháp khoa học tiên tiến, giúp có đƣợc cách định hợp lý, hiệu Một kĩ thuật giúp lập kế hoạch hợp lí việc áp dụng phƣơng pháp mơ hình tốn kinh tế, đặc biệt phƣơng pháp Quy hoạch tuyến tính Học phần Tốn chun đề (Quy hoạch tuyến tính) học phần tự chọn ngành học kỹ thuật nhƣ CNTT, Cơ khí trƣờng Đại học Sƣ phạm Kỹ thuật Để việc dạy học theo học chế tín có hiệu việc biên soạn tập giảng Quy hoạch tuyến tính cần thiết Các tác giả cố gắng trình bày nội dung cách đơn giản, trực quan nhƣng đảm bảo tính khoa học giảng Tập giảng gồm chƣơng: Chương 1: Bài tốn Quy hoạch tuyến tính phương pháp đơn hình Chương 2: Bài tốn Quy hoạch tuyến tính đối ngẫu Chương 3: Bài toán vận tải Do tập giảng đƣợc biên soạn lần đầu nên không tránh khỏi sai sót, tác giả mong nhận đƣợc đóng góp ý kiến bạn đọc để tập giảng đƣợc hoàn thiện Các tác giả xin chân thành cảm ơn! CÁC TÁC GIẢ TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM KỸ THUẬT NAM ĐỊNH Bài giảng Quy hoạch tuyến tính TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM KỸ THUẬT NAM ĐỊNH Bài giảng Quy hoạch tuyến tính Chƣơng 1: BÀI TỐN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH VÀ PHƢƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH 1.1 BÀI TỐN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 1.1.1 Các ví dụ Ví dụ 1: (Bài tốn lập kế hoạch sản xuất điều kiện tài nguyên hạn chế) Nhân dịp tết Trung Thu, công ty sản xuất bánh Tràng An muốn sản xuất ba loại bánh: Đậu xanh, Nƣớng, Dẻo Để sản xuất ba loại bánh này, công ty cần: đƣờng, đậu, bột, trứng, mứt, lạp sƣờn Giả sử số đƣờng chuẩn bị đƣợc 500 kg, đậu 300 kg, nguyên liệu khác muốn có Lƣợng đƣờng, đậu cần thiết số tiền lãi bán bánh loại cho bảng sau: Bánh Bánh đậu xanh Bánh nƣớng Bánh dẻo Nguyên liệu Đƣờng: 500kg 0,06 kg 0,04kg 0,07 kg Đậu: 300 kg 0,08 kg 0,04 kg Lãi nghìn 1,7 nghìn 1,8 nghìn Cần lập kế hoạch sản xuất loại bánh để không bị động đƣờng, đậu tổng số lãi thu đƣợc lớn (Giả thiết: sản xuất bán hết) Phân tích Gọi x1 , x2 , x3 lần lƣợt số bánh đậu xanh, nƣớng, dẻo cần sản xuất  Tất nhiên số lƣợng bánh loại số âm, tức xj  (j = 3) (bằng khơng sản xuất loại bánh đó)  Tổng số đƣờng cần dùng là: …………………………………………………… Tổng vƣợt 500 kg đƣờng có kho  TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM KỸ THUẬT NAM ĐỊNH Bài giảng Quy hoạch tuyến tính  Tổng số đậu xanh cần dùng là: ………………………………………………… Tổng vƣợt 300 kg đậu xanh có kho   Tổng số lãi thu đƣợc là: Tổng tất nhiên lớn tốt Từ phân tích trên, mơ hình tốn là: f(x) = 2x1 + 1,7x2 + 1,8x3  max (1)  0, 06x1  0, 04x  0, 07x  500   300  0, 08x1  0, 04x (2) xj  (j = 1,2,3) (3)  Hàm f(x) (1) đƣợc gọi hàm mục tiêu tốn  Các bất phƣơng trình (2) đƣợc gọi ràng buộc bắt buộc toán  Các ràng buộc dấu (3) đƣợc gọi ràng buộc tự nhiên Ví dụ 2: (Bài tốn vốn đầu tư nhỏ nhất) Có ba xí nghiệp may: I , II , III sản xuất áo véc quần Do trình độ công nhân, tài tổ chức, mức trang bị kỹ thuật … khác nhau, nên hiệu đồng vốn xí nghiệp khác Giả sử từ 1000 USD vào xí nghiệp I cuối kỳ cho 35 áo véc 45 quần; vào xí nghiệp II cuối kỳ cho 40 áo véc 42 quần; cịn vào xí nghiệp III cuối kỳ cho 43 áo véc 30 quần Lƣợng vải số công cần thiết để sản xuất áo quần (còn gọi xuất tiêu hoa nhiên liệu lao động) ba xí nghiệp cho bảng sau: TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM KỸ THUẬT NAM ĐỊNH Bài giảng Quy hoạch tuyến tính Xí nghiệp I II III Sản phẩm Áo véc 3,5 m 20 4,0 m 16 3,8 m 18 Quần 2,8 m 10 2,6 m 12 2,5 m 15 Tổng số vải cơng lao động huy động đƣợc cho xí nghiệp 10.000 m 52.000 công Theo hợp đồng kinh doanh cuối kỳ phải có tối thiểu 1.500 quần áo Do đặc điểm hàng hố lẻ bộ, có quần dễ bán Hãy lập kế hoạch đầu tƣ vào xí nghiệp vốn để:  Hồn thành kế hoạch sản phẩm  Khơng khó khăn tiêu thụ  Không bị động vải lao động  Tổng số vốn đầu tƣ nhỏ Phân tích Gọi xj số vốn (đơn vị 1000 USD) đầu tƣ vào xí nghiệp j (j = 1,2,3)  Tất nhiên xj  (j = 1,2,3)  Tổng số áo véc thu đƣợc xí nghiệp cuối kỳ là: Tổng nhỏ 1500  Tổng số quần thu đƣợc xí nghiệp cuối kỳ là: Tổng khơng thể tổng số áo véc, tức là: TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM KỸ THUẬT NAM ĐỊNH Bài giảng Quy hoạch tuyến tính Điều đảm bảo lẻ dƣ quần (dễ bán)  Tổng số vải cần dùng cho xí nghiệp: Tổng số vải để may áo véc là: Tổng số vải để may quần là: Tổng số vải cần dùng cho xí nghiệp là: Tổng vƣợt 10.000 m  Tổng số công lao động là: Tổng số công để may áo véc là: Tổng số công để may quần là: Tổng số cơng cần dùng cho xí nghiệp là: Tổng vƣợt 52.000 công  Tổng số tiền cần phải đầu tƣ vào xí nghiệp là: TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM KỸ THUẬT NAM ĐỊNH 10 Bài giảng Quy hoạch tuyến tính Từ phân tích trên, mơ hình tốn là: f(x) = x1 + x2 + x3 → 35x1 + 40x2 + 43x3 ≥ 1500 10x1 + 2x2 - 13x3 ≥0 248,5x1 + 269,2x2 + 238,4x3 ≤ 10000 ≤ 52000 1150x1 + 1144x2 + 1224x3 xj  (j = 1,2,3) Ví dụ 3: (Bài tốn vận tải) Ta cần vẩn chuyển vật liệu xây dựng từ kho: K1 , K2 đến công trƣờng xây dựng: C1, C2, C3 Tổng số vật liệu có kho, tổng số vật liệu yêu cầu công trƣờng, nhƣ cƣớc phí vận chuyển vật liệu từ kho đến công trƣờng đƣợc cho bảng sau: Cơng trƣờng Cƣớc phí C1: 15 C2: 20 C3: 25 Kho nghìn nghìn nghìn K1: 20 x11 nghìn x12 nghìn x13 nghìn K2: 40 x21 x22 x23 Hãy lập kế hoạch vận chuyển để:  Các kho giải phóng hết vật liệu  Các cơng trƣờng nhận đủ vật liệu cần thiết  Tổng số cƣớc phí vận chuyển TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM KỸ THUẬT NAM ĐỊNH 11 Bài giảng Quy hoạch tuyến tính Phân tích Gọi xij số vật liệu vận chuyển từ kho Ki đến công trƣờng Cj (i = 1,2 ; j = 1, )  Tất nhiên xij  với  i , j  Số vật liệu vận chuyển từ kho K1 đến công trƣờng là: Tổng phải 20 muốn giải phóng kho K1  Số vật liệu vận chuyển từ kho K2 đến công trƣờng là: Tổng phải 40 muốn giải phóng kho K2  Số vật liệu vận chuyển công trƣờng C1 là: Tổng phải 15 theo yêu cầu công trƣờng C1  Số vật liệu vận chuyển công trƣờng C2 là: Tổng phải 20 theo yêu cầu công trƣờng C2  Số vật liệu vận chuyển công trƣờng C3 là: Tổng phải 25 theo yêu cầu công trƣờng C3  Tổng số cƣớc phí phải trả là: TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM KỸ THUẬT NAM ĐỊNH 12 Bài giảng Quy hoạch tuyến tính Tổng nhỏ tốt Từ phân tích trên, mơ hình tốn F(x) = 5x11 + 7x12 + 2x13 + 4x21 + 3x22 + 6x23  x11 + x12 + x13 = 20 x21 + x22 + x23 = 40 x11 + x21 = 15 x12 + x22 = 20 x13 + x23 = 25 xij ≥ với i = 1,2; j = 1, 1.1.2 Bài toán quy hoạch tuyến tính tổng qt Bài tốn quy hoạch tuyến tính (QHTT) dạng tổng qt có dạng là: Tìm (x1 , x2 , , xn) cho n f(x) = c x j 1 j j  (max) (1) với hệ ràng buộc:   a ij x j    b i ,  j 1    i = m (2)  0  x j     tïy ý  , j = n (3) n  Hàm f(x) (1) đƣợc gọi hàm mục tiêu tốn, tổ hợp tuyến tính ẩn số, biểu thị đại lƣợng mà ta phải quan tâm toán: tổng số lãi thu đƣợc, tổng số vốn phải bỏ ra, giá thành sản phẩm TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM KỸ THUẬT NAM ĐỊNH 13 Bài giảng Quy hoạch tuyến tính  Các phƣơng trình, bất phƣơng trình (2) đƣợc gọi ràng buộc bắt buộc toán Các ràng buộc đƣợc nảy sinh tài nguyên hạn chế, kế hoạch sản phẩm, yêu cầu kỹ thuật sản xuất  Các ràng buộc dấu (3) đƣợc gọi ràng buộc tự nhiên: xj âm, dƣơng có dấu tuỳ ý (nó số sản phẩm, số vốn, số ngƣời, nhiệt độ bảo quản thực phẩm ) Nhƣ vậy, toán QHTT toán có biểu thức xác định hàm mục tiêu ràng buộc bắt buộc dạng tuyến tính Định nghĩa 1:  Véc tơ x = (x1 , x2 , , xn) đƣợc gọi phƣơng án (PA) hay lời giải chấp nhận đƣợc tốn QHTT thoả mãn tất ràng buộc toán (kể ràng buộc bắt buộc ràng buộc tự nhiên) - Tập hợp phƣơng án toán QHTT gọi miền ràng buộc, ký hiệu D - Phƣơng án x thỏa mãn ràng buộc i với dấu “=”, nghĩa là: n a x j 1 ij j  bi ràng buộc i gọi “chặt” phƣơng án x, phƣơng án x thỏa mãn chặt ràng buộc i - Phƣơng án x thỏa mãn ràng buộc i với dấu bất đẳng thức thực (dấu “”, nghĩa là: n  aij x j  bi j 1 n a x j 1 ij j  bi ràng buộc i gọi “lỏng” phƣơng án x, phƣơng án x thỏa mãn lỏng ràng buộc i  Phƣơng án x* = ( x1* , x*2 , , x*n ) đƣợc gọi phƣơng án tối ƣu (PATƢ) hay lời giải tối ƣu toán QHTT giá trị hàm mục tiêu “khơng xấu” giá trị hàm mục tiêu phƣơng án bất kỳ, tức là: - Nếu f(x)  f(x*) ≤ f(x) với  x  D - Nếu f(x)  max f(x*) ≥ f(x) với  x  D TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM KỸ THUẬT NAM ĐỊNH 14 Bài giảng Quy hoạch tuyến tính Một tốn QHTT có nhiều PATƢ  Giải tốn QHTT tức tìm phƣơng án tối ƣu (nếu có) khơng có PATƢ  Hai tốn QHTT đƣợc gọi tƣơng đƣơng với chúng có chung tập hợp phƣơng án tối ƣu Quan hệ toán cực đại toán cực tiểu f(x)  max  x  D (1)  g(x)  f(x)   x  D (2) (trong đó: D tập hợp phƣơng án) Tức là: đổi dấu hàm mục tiêu đổi loại hàm mục tiêu ta đƣợc tốn tƣơng đƣơng Vì lý mà nghiên cứu cách giải toán QHTT ngƣời ta cần xét toán có loại hàm mục tiêu cực tiểu (hay xét tốn có hàm mục tiêu cực đại) Chứng minh: x* PATƢ toán (1)  x*  X f(x*)  f(x) ,  x  X  x*  X g(x*) = - f(x*)  - f(x) = g(x) ,  x  X  x* PATƢ tốn (2) Ví dụ 4: Cho toán QHTT sau f(x) = 8x1 + 2x2 + 9x3 - x4  3x1 + 2x3 - x4  14 x1 - 4x2 - 2x4 = - x1 + 7x2 + x3 + 3x4  -7 x1  x2  x3  x4 tùy ý (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM KỸ THUẬT NAM ĐỊNH 15 Bài giảng Quy hoạch tuyến tính Hỏi x0 = (0, -1, 6, -2) có phải PA tốn khơng, có thỏa mãn ràng buộc chặt, ràng buộc lỏng? Giải: Số ẩn toán n = Dễ thấy X0 = (0, -1, 6, -2) thỏa mãn tất ràng buộc từ (1) đến (7) nên x0 PA Ngoài ra: (1): VT = 14 = VP (thỏa mãn chặt); (2): VT = = VP (thỏa mãn chặt); (3): VT = -7 = VP (thỏa mãn chặt); (4): x1 = = (thỏa mãn chặt); (5): x2 = -1 < (thỏa mãn lỏng); (6): x3 = > (thỏa mãn lỏng); Định nghĩa 2: Phƣơng án cực biên (PACB) x0 PACB tốn QHTT phải làm thỏa mãn chặt n ràng buộc, phải có n ràng buộc chặt độc lập tuyến tính Chú ý: ràng buộc đƣợc gọi ĐLTT hệ véc tơ ràng buộc ĐLTT Ví dụ 5: Cho tốn QHTT sau f(x) = 8x1 + 2x2 + 9x3 - x4  + 2x3 - x4  14 3x1 x1 - 4x2 - 2x4 = - x1 + 7x2 + x3 + 3x4  -7 (1) (2) (3) x1  (4) x2  (5) x3  (6) x4 tùy ý (7) TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM KỸ THUẬT NAM ĐỊNH 16 Bài giảng Quy hoạch tuyến tính Hỏi X1 = (4, 0, 0, -2); X2 = (0, 0, 5, -4); X3 = (6, 0, 0, -1); X4 = (12, 0, 0, 2) có phải PA, PACB toán? Giải: Số ẩn toán n = * Phƣơng án X1 = (4, 0, 0, -2)  (1): VT = 14 = VP (thỏa mãn chặt); (2): VT = = VP (thỏa mãn chặt); (3): VT = -10 < -7 = VP (thỏa mãn lỏng); (4): x1 = > (thỏa mãn lỏng); (5): x2 = = (thỏa mãn chặt); (6): x3 = = (thỏa mãn chặt); x1 = (4, 0, 0, -2) thỏa mãn chặt ràng buộc Ta có: ràng buộc (1), (2), (5), (6) là: + 2x3 - x4  14 3x1 x1 - 4x2 - 2x4 = (1) (2) x2  (5) x3  (6) có định thức ma trận hệ số là: - 1 - - - A= = (- 1)4+ (- 1)3+ = - 5¹ 0 (1) 0 - 0 (1)  ràng buộc (1), (2), (5), (6) độc lập tuyến tính Kết luận: x1 PACB toán * Phƣơng án x2 = (0, 0, 5, -4) (1): VT = 14 = VP (thỏa mãn chặt); TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM KỸ THUẬT NAM ĐỊNH 17 Bài giảng Quy hoạch tuyến tính  (2): VT = = VP (thỏa mãn chặt); (3): VT = -7 = -7 = VP (thỏa mãn chặt); (4): x1 = = (thỏa mãn chặt); (5): x2 = = (thỏa mãn chặt); (6): x3 = > (thỏa mãn lỏng); x2 = (0, 0, 5, -4) thỏa mãn chặt ràng buộc (n = 4) Xét định thức ma trận hệ số ràng buộc (1), (2), (4), (5) ta có: - A= (1) 0 (1) - - 2 - = (- 1)4+ (- 1)3+ = - 4¹ 0 0 - 0  ràng buộc (1), (2), (4), (5) độc lập tuyến tính Kết luận: x2 PACB toán * Phƣơng án X3 = (6, 0, 0, -1)  (1): VT = 19 >14 = VP (thỏa mãn lỏng); (2): VT = = VP (thỏa mãn chặt); (3): VT = -9 < -7 = VP (thỏa mãn lỏng); (4): x1 = > (thỏa mãn lỏng); (5): x2 = = (thỏa mãn chặt); (6): x3 = = (thỏa mãn chặt); x3 PA tốn nhƣng khơng PACB thỏa mãn chặt có ràng buộc, nhỏ số ẩn (n = 4) * Phƣơng án x4 = (12, 0, 0, 2) (1): VT = 34 >14 = VP (thỏa mãn lỏng); (2): VT = = VP (thỏa mãn chặt); (3): VT = -  -7 (không thỏa mãn) TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM KỸ THUẬT NAM ĐỊNH 18 Bài giảng Quy hoạch tuyến tính  x4 khơng thỏa mãn ràng buộc (3) tốn nên khơng PA tốn 1.1.3 Bài tốn quy hoạch tuyến tính dạng tắc Bài tốn QHTT dạng tắc trƣờng hợp đặc biệt toán QHTT dạng tổng quát, điều kiện ràng buộc bắt buộc hệ gồm m phƣơng trình độc lập tuyến tính (m  n), tất ẩn số không âm Dạng tắc tốn QHTT là: Tìm (x1 , x2 , , xn) cho n f(x) = c x j 1 j j  (1) với hệ ràng buộc:  a11x1  a12 x   a1n x n  b1   a 21x1  a 22 x   a n x n  b    a m1x1  a m2 x   a mn x n  b m xj  , j = 1, n (2) (3) Trong nhiều trƣờng hợp, để thuận tiện cho việc trình bày, ta gọi tốn tốn (P) viết dạng ma trận nhƣ sau: c.x  (1) Ax = b (2) x (3) đó:  a11 a  A =  21    a m1 a12 a 22 am2 a1n  a n  - ma trận hệ số ràng buộc bắt buộc   a mn  TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM KỸ THUẬT NAM ĐỊNH 19 Bài giảng Quy hoạch tuyến tính  a1 j  a  2j  Aj =   - véc tơ cột ma trận A ứng với ẩn thứ j      a mj   A = [A1, A2, A3, , An]  b1  b   b =   - ma trận số hạng tự hay ma trận vế phải     bm   c = c1 c2 cn  - ma trận hệ số ẩn hàm mục tiêu  x1  x   x =   - la ma trận ẩn số     xn  ; 0 0 =       0 Chú ý:  Trong toán QHTT dạng tắc, ràng buộc chặt “Ax = b” hạng ma trận A m: r(A) = m ≤ n  Nếu m = n hệ phƣơng trình Ax = b gồm n phƣơng trình, chứa n ẩn số mà r(A) = n nên hệ có nghiệm x* = (x*1, x*2, , x*n) nên việc tìm cực trị hàm mục tiêu trở nên vơ nghĩa, ta xét trƣờng hợp m < n Định nghĩa 3: Ta gọi sở ma trận A gồm m véc tơ cột độc lập tuyến tính B = {Aj1, Aj2, , Ajm} Giả sử B = {Aj1, Aj2, , Ajm} sở ma trận A = {A1, A2, , An} đặt: J = {1, 2, , n} JB = {j1, j2, , jm} Khi véc tơ x = (x1, x2, , xn) thỏa mãn: xj = j  JN = J \ JB xjk (jk  JB) thành phần thứ k véc tơ B-1b TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM KỸ THUẬT NAM ĐỊNH 20 Bài giảng Quy hoạch tuyến tính Nếu phƣơng án x = (x1, x2, , xn) có thành phần ≥ phương án cực biên ứng với sở B B đƣợc gọi sở toán toán QHTT dạng tắc Các biến xj  JB đƣợc gọi biến sở, xj  JN biến phi sở Định lý 1: Một phƣơng án x* = (x1*, x2*, , xn*) toán QHTT dạng tắc phƣơng án cực biên (PACB) hệ véc tơ cột Aj ứng với thành phần xj* > độc lập tuyến tính Xét PACB x* = (x1*, x2*, , xn*) Đặt: J(x) = { j | xj* > 0}, đó:  Nếu | J(x) | = m PA x* PACB không suy biến, tức có đủ m thành phần dƣơng B = {Aj| j  J(x)} sở tƣơng ứng với phƣơng án x*  Nếu | J(x) | < m PA x* PACB suy biến, tức có m thành phần dƣơng Khi đó, ta bổ sung vào hệ véc tơ {Aj| j  J(x)} số véc tơ cột A cho thu đƣợc hệ gồm m véc tơ độc lập tuyến tính, tức thu đƣợc sở B A sở tƣơng ứng với x* Bài toán QHTT đƣợc gọi không suy biến PACB không suy biến; tốn QHTT gọi suy biến có PACB suy biến Ví dụ 6: Cho tốn QHTT dạng tắc sau: f(x) = -x1 - 2x2 – 3x3  x1 + x2 + x3 = x1 - x2 =0 xj ≥ , j = 1, 2, Các véc tơ sau đây: x = (2; 2; 0), y = (0; 0; 4), z = (1; 1; 2) PACB tốn Nếu PACB PACB suy biến hay không suy biến Giải: TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM KỸ THUẬT NAM ĐỊNH 21 Bài giảng Quy hoạch tuyến tính Ta có: é1 1 ù ú ; A1 = A= ê êë1 - ú û é1ù ê ú; A2 = êë1ú û é1 ù ê ú; A3 = êë- 1ú û é1 ù ê ú; êë0 ú û Dễ thấy véc tơ x, y, z thỏa mãn tất ràng buộc bắt buộc ràng buộc tự nhiên nên x, y, z PA toán * Xét PA x = (2; 2; 0)  có thành phần dƣơng: x1 = x2 = > mà |A1 A2| = 1 =-2 -  {A1 , A2}_ độc lập tuyến tính  PA x = (2; 2; 0) PACB không suy biến có đủ m = thành phần dƣơng * Xét PA y = (0; 0; 4)  có thành phần dƣơng: x3 = > mà véc tơ A3 khác véc tơ khơng nên độc lập tuyến tính  PA y = (0; 0; 4) PACB PACB suy biến có có thành phần dƣơng * Xét PA z = (1; 1; 2)  có thành phần dƣơng: x1 = x2 = 1, x3 = mà hệ véc tơ {A1 , A2 , A3} thuộc không gian chiều nên phụ thuộc tuyến tính  PA z = (1; 1; 2) không là PACB tốn Hệ 1: (tính hữu hạn PACB) Số PACB tốn QHTT dạng tắc hữu hạn Hệ 2: Số thành phần dƣơng PACB tốn QHTT dạng tắc tối đa m (m số dòng ma trận A r(A) = m) Hệ 3: Nếu tốn QHTT dạng tắc có PA có PACB Định lý 2: (Sự tồn PATƢ) Nếu tốn QHTT có PA hàm mục tiêu bị chặn dƣới (đối với toán f(x)  min) hàm mục tiêu bị chặn (đối với tốn f(x)  max) tập PA tốn có PATƢ Định lý 3: (Sự tồn PACB tối ƣu) TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM KỸ THUẬT NAM ĐỊNH 22 Bài giảng Quy hoạch tuyến tính Nếu tốn QHTT dạng tắc có PATƢ tốn có PACB tối ƣu Định lý 4: (Sự tồn nhiều PACB tối ƣu) Nếu x0 PATƢ toán QHTT (P) x1, x2 PA khác toán (P) thỏa mãn điều kiện x0 =  x1 + (1 – ) x2 với <  < x1, x2 PATƢ toán (P) 1.1.4 Bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn tắc Bài tốn QHTT dạng chuẩn tắc trƣờng hợp đặc biệt tốn QHTT dạng tắc, ma trận hệ số ràng buộc A có chứa ma trận đơn vị cấp m số hạng tự không âm, tức bi  Dạng tắc tốn QHTT là: Tìm (x1 , x2 , , xn) cho n f(x) = c x j 1 j j  (1) với hệ ràng buộc:  a1(m 1) x m 1  a1(m  2) x m    a1n x n  b1  x1   x2      a 2(m 1) x m 1  a 2(m  2) x m    a n x n  b x m  a m(m 1) x m 1  a m(m  2) x m    a mn x n  b m xj  , bi  j = 1, n (2) (3) i = 1, m , Ta thấy ma trận hệ số là: 1 0  A = 0   0  0 0 a1( m 1) a 2( m 1) a 3( m 1) a m( m 1) a1n  a n  a 3n  = [A1 , A2 , , Am , Am+1 , , An]   a mn  Ma trận đơn vị cấp m TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM KỸ THUẬT NAM ĐỊNH 23 Bài giảng Quy hoạch tuyến tính đó: Aj véc tơ cột ma trận A ( véc tơ cột A1 , A2 , , Am ma trận A đƣợc gọi véc tơ cột đơn vị) Đối với toán QHTT dạng chuẩn tắc, hệ B gồm m véc tơ cột đơn vị sở ma trận A sở đơn vị, ẩn ứng với véc tơ cột đơn vị ma trận A đƣợc ẩn sở đƣợc gọi ẩn Ẩn ứng với véc tơ cột đơn vị thứ i (i = m) đƣợc gọi ẩn thứ i Các ẩn cịn lại ẩn khơng Nhận xét: Với tốn dạng chuẩn, ta ln tìm đƣợc PACB ban đầu ứng với sở đơn vị cách cho ẩn không không, ẩn vế phải ràng buộc chứa nó, tức là:  b j víi j  1, m xj =   víi j  m  , n tức (x1 , , xm , xm+1 , , xn) = (b1 , , bm, , , 0) (nhớ bi  , i = 1, m ) Chú ý: Ở trên, để tiện cách trình bày, ta xem m ẩn đầu ẩn bản, đồng thời số thứ tự ẩn số thứ tự ẩn Trong thực tế, có xáo trộn ta phải nhận ra:  Ẩn ẩn  Ẩn ẩn thứ Ví dụ 7: Cho tốn QHTT dạng chuẩn sau: f(x) = 2x1 – 5x2 + x3 – x5 + x6   20  2x1  2x  x   3x1  4x  4x  x   x  2x  x  3x  28  xj  , j = 1, TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM KỸ THUẬT NAM ĐỊNH 24 .. .Bài giảng Quy hoạch tuyến tính TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM KỸ THUẬT NAM ĐỊNH Bài giảng Quy hoạch tuyến tính Chƣơng 1: BÀI TỐN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH VÀ PHƢƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH 1.1 BÀI TỐN QUY HOẠCH TUYẾN... SƢ PHẠM KỸ THUẬT NAM ĐỊNH 18 Bài giảng Quy hoạch tuyến tính  x4 khơng thỏa mãn ràng buộc (3) tốn nên khơng PA toán 1.1.3 Bài toán quy hoạch tuyến tính dạng tắc Bài tốn QHTT dạng tắc trƣờng hợp... 15 x12 + x22 = 20 x13 + x23 = 25 xij ≥ với i = 1,2; j = 1, 1.1.2 Bài tốn quy hoạch tuyến tính tổng qt Bài tốn quy hoạch tuyến tính (QHTT) dạng tổng qt có dạng là: Tìm (x1 , x2 , , xn) cho