Bài giảng quy hoach tuyến tính

Từ một số mô hình thực tế, chúng tôi đưa ra định nghĩa của bài toán quy hoạch tuyến tính tổng quát và một số dạng thông dụng của nó. Để sinh viên tiếp thu được một cách dễ dàng, chúng tôi đư

3.1 Bài toán vận tải

Cần vận chuyển hàng hoá từ m kho (điểm phát) P i,

Lượng hàng có ở mỗi kho P i là a i , i=1,2,…,m Lượng hàng cần ở mỗi nơi tiêu thụ T j là b j , j=1,2,…,n Chi phí vận chuyển 1 đơn vị hàng từ kho P i đến nơi tiêu thụ T j là c ij,

i=1,2,…m, j=1,2,…,n Cho biết tổng lượng hàng ở các kho

bằng tổng lượng hàng cần tiêu thụ

Hãy lập kế hoạch vận chuyển hàng hoá sao cho tổng chi phí là nhỏ nhất và đảm bảo yêu cầu thu phát

Bài toán vận tải là bài toán quy hoạch tuyến tính nên ta cũng

có thể giải bằng phương pháp đơn hình

Mô hình toán học của bài toán là:

Tìm x = (x11, x12, … , x mn ) sao cho f = c ij x ij  min

với các điều kiện ràng buộc sau đây

x ij = a i , i=1,2,…,m

x ij = b j , j=1,2,…,n

x ij  0, i=1,2,…,m, j=1,2,…,n

trong đó ai = bj (điều kiện cân bằng thu phát)

Ta trình bày dưới dạng bảng sau còn gọi là bảng vận tải:

3.2 Một số khái niệm

 Ô (i, j) là ô nằm trên dòng i, cột j cho ta xác định lượng

hàng cũng như cước phí vận chuyển một đơn vị hàng từ

P i đến T j Ô chọn là ô (i, j) mà x ij > 0, ô loại là ô (i, j) mà

x ij = 0

 Dây chuyền là một tập hợp các ô chọn sao cho không

có quá hai ô liên tiếp nằm trên cùng một dòng hoặc cột

 Chu trình là một dây chuyền khép kín Số các ô trong một chu trình là số chẵn Số các ô tối đa trong bảng

không tạo thành chu trình là m + n  1 Với m + n  1 ô

không tạo thành chu trình ta có thể bổ sung thêm một ô bất kỳ để có ít nhất một chu trình

Xét bảng vận tải m  n

 Ma trận cước phí là ma trận (c ij ) với c ij là cước phí vận

chuyển một đơn vị hàng từ P i đến T j

 Phương án hay ma trận phương án là ma trận (x ij) với

x ij là lượng hàng cần vận chuyển từ P i đến T j Một phương án cực biên là phương án có số ô chọn tương ứng

không tạo thành chu trình tối đa là m + n  1, nếu số ô

này bằng đúng m + n  1 ta có phương án cực biên không

suy biến, ngược lại ta có phương án cực biên suy biến

Trường hợp phương án cực biên suy biến ta có thể bổ

sung thêm một số “ô chọn 0” để có m + n  1 ô không tạo thành chu trình

Lưu ý: Bài toán vận tải cân bằng thu phát luôn có phương án tối ưu

 Tìm ô có cước phí bé nhất, phân phối lượng hàng tối đa

có thể vào ô đó

 Loại bỏ dòng hay cột đã phân phối đủ hàng, tiếp tục quá trình cho đến khi phân phối hết hàng

3.3.1 Phương pháp “min” cước

VD29: Tìm phương án cực biên ban đầu

30 60 50 40

VD30: Tìm phương án cực biên ban đầu

f = 630

f = 13350

 Loại bỏ dòng hay cột đã phân phối đủ hàng tính lại hiệu số cước phí trên cột hay dòng, tiếp tục quá trình cho đến khi phân phối hết hàng

VD31: Tìm phương án cực biên ban đầu

f = 630

f = 12870

Lưu ý: Ngoài hai phương pháp nêu trên còn có phương pháp góc Tây –Bắc tuy nhiên phương pháp này ít hiệu quả, nó chỉ thuận tiện khi lập trình trên máy tính

 Tìm phương án cực biên không suy biến ban đầu

 Đánh giá phương án hiện có – Thuật toán quy 0 cước phí ô chọn

+ Xây dựng hệ thống thế vị u i và v j trên các dòng i và các cột j sao cho với các ô chọn (i, j) ta có u i + v j = c ij

+ Biến đổi ma trận cước phí (c ij) thành ma trận cước phí

mới (cij ) sao cho với các ô chọn cij = c ij  (u i + v j)

+ Nếu trong ma trận cước phí mới (cij ) ta có cij  0 với

mọi i, j thì phương án đang xét là phương án tối ưu, trong

trường hợp trái lại ta chuyển sang xây dựng phương án mới

 Xây dựng phương án mới

+ Gọi ô (r, s) là ô sao cho c rs < 0, bé nhất, tìm một chu

trình U qua ô (r, s) và tập hợp T các ô chọn

+ Đánh dấu +/ các ô trong U, bắt đầu là ô (r, s), phân

chia U = U+  U, với U+ là tập hợp các ô mang dấu +

và U là tập hợp các ô mang dấu 

+ Gọi h = min{x ij  (i, j)  U}, biến đổi ma trận phương

án (x ij ) thành ma trận phương án mới (xij ) sao cho:

Biến đổi ma trận cước phí

Biến đổi ma trận cước phí

Phương án mới là phương

VD34: Giải bài toán vận tải

Biến đổi ma trận cước phí

Biến đổi ma trận cước phí

Biến đổi ma trận phương án Xây dựng hệ thống thế vị

Phương án đang xét chưa







Biến đổi ma trận cước phí

Phương án mới là phương