QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH CHƯƠNG 3. BÀI TOÁN VẬN TẢI

QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH CHƯƠNG BÀI TỐN VẬN TẢI CHƯƠNG BÀI TỐN VẬN TẢI Bài tốn cân Phương án cực biên Thuật toán vị Một số trường hợp đặc biệt BÀI TỐN VẬN TẢI CÂN BẰNG THU PHÁT 1.1 Lập mơ hình tốn: Có loại hàng cần chun chở từ hai kho (trạm phát) P1 P2 tới ba nơi tiêu thụ (trạm thu) T1, T2, T3 Lượng hàng có hai kho lượng hàng cần ba nơi tiêu thụ số tiền vận chuyển đơn vị hàng từ kho đến nơi tiêu thụ cho bảng sau: BÀI TOÁN VẬN TẢI CÂN BẰNG THU PHÁT THU PHÁT P1 30 P2 75 T1 35 T2 25 T3 45 1 Tìm phương án vận chuyển thỏa yêu cầu thu phát cho chi phí vận chuyển bé Nguyễn Hồng Tuấn soạn thảo QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH CHƯƠNG BÀI TOÁN VẬN TẢI BÀI TOÁN VẬN TẢI CÂN BẰNG THU PHÁT 1.2 Bài toán cân bằng: Giả sử có m kho nơi phát hay cung cấp hàng hoá, kho thứ i chứa đơn vị hàng hố (i = 1,2, ,m); có n nơi tiêu thụ hay nhận hàng hoá, nơi nhận thứ j cần bj đơn vị hàng hoá (j = 1,2, ,n) Giá tiền hay cước phí vận chuyển đơn vị hàng hóa từ kho thứ i đến nơi nhận thứ j cij đơn vị tiền tệ Bài toán gọi cân tổng lượng m n phát = tổng lượng thu:    b j i 1 j 1 BÀI TOÁN VẬN TẢI CÂN BẰNG THU PHÁT Bài toán vận tải thường cho dạng bảng sau: Thu b1 b2 … bj … bn Phát a1 c11 c12 c1 j c1n a2 c21 c22 c2 j c2n ……… ci ci cij cin ……… am cm cm cmj cmn Yêu cầu tốn: tìm cách phân bổ lượng hàng vận chuyển xij từ trạm phát i đến trạm thu j thỏa: BÀI TOÁN VẬN TẢI CÂN BẰNG THU PHÁT Tổng chi phí vận chuyển thấp m n f    cij xij  (1.2) i 1 j 1 Tổng lượng hàng phát n  xij   i  1, m  (1.3) Tổng lượng hàng nhận m  xij  b j  j  1, n  (1.4) j 1 i 1 Một phương án toán (bộ xij thỏa 1.3 1.4) có dạng ma trận nên gọi ma trận phương án Nguyễn Hoàng Tuấn soạn thảo QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH CHƯƠNG BÀI TỐN VẬN TẢI BÀI TỐN VẬN TẢI CÂN BẰNG THU PHÁT Ví dụ: Xét lại toán vận tải biết THU PHÁT P1 30 P2 75 T1 35 T2 25 T3 45 1  toán vận tải cân thu phát BÀI TOÁN VẬN TẢI CÂN BẰNG THU PHÁT 1.3 Tính chất:  Bài tốn có tập phương án khác rỗng ln có phương án tối ưu  Ma trận cước phí có hạng = m + n – PHƯƠNG ÁN CỰC BIÊN 2.1 Ô chọn, ô loại: §2 Ta viết (i ; j) ô dịng i cột j bảng Những bảng có lượng hàng phân phối xij > gọi chọn Ngược lại, có lượng hàng phân phối xij = gọi ô loại Nguyễn Hồng Tuấn soạn thảo QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH CHƯƠNG BÀI TOÁN VẬN TẢI PHƯƠNG ÁN CỰC BIÊN 2.2 Tập ô đường đi: Tập ô đường (gọi tắt “đường đi”) tập hợp ô bảng thỏa có khác thuộc “đường đi” nằm dòng cột với nó, gọi hai liên tiếp Nhận xét: Trên dịng hay cột “đường đi” có khơng q hai PHƯƠNG ÁN CỰC BIÊN Ví dụ • • • • • • PHƯƠNG ÁN CỰC BIÊN Ví dụ ● ● ● ● ● Nguyễn Hồng Tuấn soạn thảo QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH CHƯƠNG BÀI TOÁN VẬN TẢI PHƯƠNG ÁN CỰC BIÊN 2.3 Chu trình: Một đường khép kín gọi chu trình Ví dụ • • • • • • PHƯƠNG ÁN CỰC BIÊN Ví dụ ● ● ● ● ● ● ● ● PHƯƠNG ÁN CỰC BIÊN 2.4 Tính chất: Xét bảng vận tải có m dịng n cột a) Tập chọn khơng chu trình có khơng q (m + n – 1) ô b) Tập ô chọn không chu trình có đủ (m + n – 1) Ta thêm vào tập ô ô loại với số chọn có tạo thành chu trình qua Nguyễn Hồng Tuấn soạn thảo QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH CHƯƠNG BÀI TỐN VẬN TẢI PHƯƠNG ÁN CỰC BIÊN Ví dụ 2.4 Xét tốn vận tải có dịng, cột với phương án có + – = chọn: ● ● ● ● ● ● PHƯƠNG ÁN CỰC BIÊN 2.5 Phương án cực biên: Phương án cực biên tốn vận tải phương án có tập chọn khơng chứa chu trình PHƯƠNG ÁN CỰC BIÊN Ví dụ 2.4 Xét phương án toán vận tải cho bảng sau: 30 80 45 55 40 50 7 12 30 40 Nguyễn Hoàng Tuấn soạn thảo 60 35 15 50 10 6 QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH CHƯƠNG BÀI TỐN VẬN TẢI PHƯƠNG ÁN CỰC BIÊN 2.6 Phương pháp thành lập 2.6.1 Nguyên lý phân bổ tối đa ô chọn Phân bổ lượng hàng nhiều cho chọn  xij = min{ai ; bj}, có hai trường hợp sau:  Trạm thu nhận đủ hàng tạm xoá trạm ghi nhớ lượng hàng thừa nơi phát  Trạm phát chuyển hết hàng tạm xóa trạm phát ghi nhớ lượng hàng cịn thiếu nơi thu PHƯƠNG ÁN CỰC BIÊN 2.6 Phương pháp thành lập 2.6.2 Nguyên tắc chọn ô phân bổ Ba cách: - Góc Tây Bắc: từ xuống từ trái qua phải  ô (1;1)  dễ nhớ phương án tìm (f cách xa f tối ưu) - Ơ có cước phí nhỏ  dễ nhớ, phương án vừa - Ơ chọn Fogel  khó phương án tìm tốt (f gần f tối ưu), thực sau: PHƯƠNG ÁN CỰC BIÊN + Bước 1: Tính hiệu số hai có cước phí nhỏ dòng cột ma trận cước phí + Bước 2: Ơ chọn có cước phí nhỏ dịng hay cột có hiệu số lớn Hai nguyên tắc phối hợp xen kẽ lặp lại đến ta phương án hoàn chỉnh Nguyễn Hoàng Tuấn soạn thảo QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH CHƯƠNG BÀI TỐN VẬN TẢI PHƯƠNG ÁN CỰC BIÊN Ví dụ 2.6 Thành lập phương án cực biên toán vận tải sau: j 30 40 50 60 i 80 45 55 12 THUẬT TOÁN THẾ VỊ 1: Thành lập phương án cực biên ban đầu §BƯỚC (xuất phát) theo Nguyên lý phân bổ tối đa với ô chọn phân bổ phương pháp: góc Tây Bắc, cước phí thấp nhất, Fogel,… BƯỚC 2: Xét dấu hiệu tối ưu phương án  Tìm biệt số dòng ui biệt số cột vi phương án cách giải hệ phương trình chọn: ui vj cij THUẬT TOÁN THẾ VỊ BƯỚC 2: Xét dấu hiệu tối ưu phương án Hệ chứa (m + n) ẩn có nhiều (m + n – 1) phương trình  có ẩn chọn trước làm tham số  kĩ thuật giải: cho ẩn mà hàng/cột có nhiều chọn  Tính ước lượng cho loại: ui v j cij ij  Nếu ∆ ≤  phương án xét tối ưu Ngược lại, có ∆ >  phương án khơng tối ưu  Bước Nguyễn Hoàng Tuấn soạn thảo QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH CHƯƠNG BÀI TỐN VẬN TẢI THUẬT TỐN THẾ VỊ Ví dụ 3.1 Xét khả tối ưu phương án bảng vận tải sau: j 30 i 80 45 55 40 50 60 7 12 30 50 35 10 40 15 THUẬT TỐN THẾ VỊ Ví dụ 3.2 Xét khả tối ưu phương án bảng vận tải sau: 30 80 40 50 60 30 50 45 55 12 45 40 10 THUẬT TOÁN THẾ VỊ Ví dụ 3.3 Xét khả tối ưu phương án bảng vận tải sau : j 30 i 40 50 60 7 80 20 60 45 10 12 35 55 40 Nguyễn Hoàng Tuấn soạn thảo 15 QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH CHƯƠNG BÀI TỐN VẬN TẢI THUẬT TOÁN THẾ VỊ BƯỚC 3: Cải tiến phương án cực biên tốt  Đưa ô loại có ước lượng ∆ lớn bổ sung thành chọn phương án  ô kết hợp với số chọn có phương án tạo thành chu trình K qua  Đánh dấu âm/dương +/– xen kẽ cho chu trình K Bắt đầu từ ô chọn bổ sung mang dấu + đến hết Sau chia chu trình K thành hai tập ô sau: K+ = {ô (i ; j) mang dấu +} K– = {ô (i ; j) mang dấu –} THUẬT TOÁN THẾ VỊ BƯỚC 3: Cải tiến phương án cực biên tốt  Xác định lượng hàng điều chỉnh: q = min{xij, với (i ; j) ϵ K–}  Xây dựng phương án cực biên từ phương án cực biên cũ có sau:  xij  q;(i, j )  K   xij   xij  q;(i, j )  K   x ;(i, j )  K  ij THUẬT TỐN THẾ VỊ Ví dụ 3.5 Từ phương án này, tìm phương án tối ưu toán j 30 i 80 45 55 40 50 60 7 12 30 50 35 40 Nguyễn Hoàng Tuấn soạn thảo 10 15 10 QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH CHƯƠNG BÀI TỐN VẬN TẢI THUẬT TỐN THẾ VỊ Ví dụ 3.6 Từ phương án này, tìm phương án tối ưu tốn 30 80 40 50 60 30 50 45 55 12 45 40 10 THUẬT TỐN THẾ VỊ Ví dụ 3.7 Từ phương án này, tìm phương án tối ưu toán j 30 i 40 50 60 80 30 40 10 12 45 40 55 55 THUẬT TỐN THẾ VỊ Ví dụ 3.8 Giải toán vận tải với phương án cực biên ban đầu cho bảng sau: 30 90 70 40 50 80 30 40 20 50 Nguyễn Hoàng Tuấn soạn thảo 40 20 40 11 QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH CHƯƠNG BÀI TỐN VẬN TẢI THUẬT TỐN THẾ VỊ Ví dụ 3.9 Giải tốn vận tải: 50 80 20 60 40 70 5 12 11 4 MỘT SỐ TRƯỜNG HỢP ĐẶC BIỆT 4.1 Phương án suy biến Phương án suy biến phương án có (m + n – 1) chọn Cách giải tốn vận tải có phương án cực biên ban đầu suy biến: bổ sung thêm loại bảng làm ô chọn giả (lượng hàng phân bổ xij = 0) cho đủ (m + n – 1) ô chọn đảm bảo khơng tạo thành chu trình  phương án cực biên không suy biến  tiếp tục giải thuật toán vị MỘT SỐ TRƯỜNG HỢP ĐẶC BIỆT Ví dụ 4.1.1 Giải tốn bảng vận tải từ phương án vận chuyển ban đầu sau: j 40 i 100 60 4 50 80 40 40 70 20 50 100 100 Nguyễn Hoàng Tuấn soạn thảo 12 QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH CHƯƠNG BÀI TỐN VẬN TẢI MỘT SỐ TRƯỜNG HỢP ĐẶC BIỆT Ví dụ 4.1.2 Giải toán vận tải với phương án ban đầu sau: 25 10 30 20 25 10 5 10 25 2 20 MỘT SỐ TRƯỜNG HỢP ĐẶC BIỆT 4.2 Bài toán vận tải không cân thu phát Hướng giải quyết: Thêm vào trạm phát/thu giả có cước phí = để chuyển tốn thành cân • Trường hợp phát > thu  thêm trạm thu giả bn+1 với lượng hàng = Σphát – Σthu • Trường hợp phát < thu  thêm trạm phát giả am+1 với lượng hàng = Σthu – Σphát MỘT SỐ TRƯỜNG HỢP ĐẶC BIỆT Ví dụ 4.2 Giải tốn vận tải không cân thu phát cho bảng vận tải sau: j 40 50 80 i 90 1 40 70 11 Nguyễn Hồng Tuấn soạn thảo 13 QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH CHƯƠNG BÀI TOÁN VẬN TẢI MỘT SỐ TRƯỜNG HỢP ĐẶC BIỆT 4.3 Bài tốn có cấm Vì lí đó, có nơi phát khơng thể chuyên chở hàng đến nơi nhận Phương pháp giải: xóa cấm gán cước phí giả = ∞ Tiếp tục giải toán thuật toán vị học MỘT SỐ TRƯỜNG HỢP ĐẶC BIỆT Ví dụ 4.3 Giải tốn vận tải có cấm cho bảng sau: j 100 i 80 70 150 65 10 95 40 11 10 7 MỘT SỐ TRƯỜNG HỢP ĐẶC BIỆT 4.4 Bài toán lợi nhuận lớn Bài toán giải thuật toán vị với nguyên tắc chọn ô chọn ngược lại: ô chọn có lợi nhuận lớn Nguyễn Hồng Tuấn soạn thảo 14 QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH CHƯƠNG BÀI TỐN VẬN TẢI MỘT SỐ TRƯỜNG HỢP ĐẶC BIỆT Ví dụ 4.4 Giải toán vận tải lợi nhuận lớn sau: j 70 i 55 85 60 11 10 10 90 80 100 Nguyễn Hoàng Tuấn soạn thảo 15