Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 28 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Nội dung
QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH CHƯƠNG BÀI TỐN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH TỐI ƯU HĨA TUYẾN TÍNH TÀI LIỆU HỌC TẬP Quy hoạch tuyến tính, TS Võ Văn Tuấn Dũng, NXB Thống Kê, năm 2007 Quy hoạch tuyến tính, - TS Bùi Phúc Trung, TS Nguyễn Thị Ngọc Thanh - ThS Lê Khánh Luận, ThS Phạm Trí Cao Đại học Kinh tế TpHCM Slides tóm tắt học: www.tailieuplk.webnode.vn Mục Quy hoạch tuyến tính QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH TỐI ƯU HĨA TUYẾN TÍNH THỜI LƯỢNG: lớp = 30 tiết, tự học ≥ 60 tiết NỘI DUNG: CH1 BÀI TỐN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH CH2 BÀI TỐN ĐỐI NGẪU CH3 BÀI TOÁN VẬN TẢI CHƯƠNG BÀI TỐN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH §1 LẬP MƠ HÌNH BÀI TỐN §2 CÁC DẠNG BÀI TỐN VÀ TÍNH CHẤT §3 PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ §4 PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH Nguyễn Hồng Tuấn soạn thảo QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH CHƯƠNG BÀI TỐN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH $1 LẬP MƠ HÌNH BÀI TỐN I Bài tốn lợi ích (lợi nhuận) Ví dụ 1.1: Một doanh nghiệp sản xuất loại sản phẩm từ hai loại nguyên liệu với số lượng có tương ứng 40 kg 60 kg Định mức tiêu hao loại nguyên liệu (kg/sp’) lợi nhuận (ngàn đồng) sản xuất đơn vị sản phẩm cho bảng sau : Nguyên liệu S1 S2 S3 N1 0,1 0,2 0,1 N2 0,1 0,1 0,2 Lợi nhuận 3 SẢN PHẨM $1 LẬP MƠ HÌNH BÀI TỐN Lượng sản phẩm S1 tối đa tiêu thụ 200 đơn vị Các sản phẩm S2, S3 có số lượng tiêu thụ khơng hạn chế Hãy lập mơ hình tốn để xác định kế hoạch sản xuất cho tổng lợi nhuận thu nhiều $1 LẬP MƠ HÌNH BÀI TỐN Ví dụ 1.2: Một có ba loại ngun liệu A (đường), B (sữa), C (hương trái cây) dùng sản xuất bốn loại kẹo mứt K1, K2, K3, K4 Thông tin sản xuất bảng sau: ĐỊNH MỨC TIÊU HAO NGUYÊN LIỆU K1 (tấn) K2 (tấn) K3 (tấn) K4 (tấn) DỰ TRỮ A (tấn) 10 B (tấn) 15 C (tấn) 1 13 Tiền lời (triệu/tấn) Hãy lập mơ hình tốn kế hoạch sản xuất để tiền lời thu nhiều Nguyễn Hoàng Tuấn soạn thảo QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH CHƯƠNG BÀI TỐN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH $1 LẬP MƠ HÌNH BÀI TỐN II Bài tốn hao tốn (chi phí, đầu tư) Ví dụ 1.3: Để gia súc phát triển tốt thông minh nhu cầu tối thiểu chất dinh dưỡng A, B, C phần thức ăn ngày gia súc : 17g, 14g, 14g Giá thức ăn T1, T2, T3 50, 40, 70 (ngàn đồng / kg) Chất DD Số đơn vị chất dd có 1kg thức ăn T1 T2 T3 A B C $1 LẬP MƠ HÌNH BÀI TỐN Hãy lập mơ hình tốn xác định lượng thức ăn loại cần có phần ăn hàng ngày để đảm bảo yêu cầu dinh dưỡng số tiền mua thức ăn ngày $1 LẬP MƠ HÌNH BÀI TỐN Ví dụ 1.4 Một xí nghiệp xử lý giấy, có ba phân xưởng I, II, III xử lý ba loại giấy A, B, C Do ba phân xưởng có nhiều khác nhau, nên đầu tư 10 triệu đồng vào phân xưởng suất cuối kỳ phân xưởng cho bảng sau : Loại giấy Năng suất phân xưởng(tạ) I II III A B C Nguyễn Hồng Tuấn soạn thảo QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH CHƯƠNG BÀI TỐN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH $1 LẬP MƠ HÌNH BÀI TỐN Theo u cầu lao động cuối kỳ Xí nghiệp phải xử lý giấy loại A, 2.5 giấy loại B, giấy loại C Hỏi cần đầu tư vào phân xưởng tiền để xí nghiệp thỏa: hồn thành công việc giá tiền đầu tư nhỏ $1 LẬP MƠ HÌNH BÀI TỐN Ví dụ 1.5 Một xí nghiệp cần phải may 2000 quần 1000 áo Có cách cắt vải may bảng sau: Cách cắt Quần 90 80 70 60 120 Áo 35 55 70 90 100 Lập mơ hình tốn để tìm phương án sản xuất cho số vải sử dụng $1 LẬP MƠ HÌNH BÀI TỐN Ví dụ 1.6 Trang trại Cao Ngun dự định trồng loại cà phê tiêu khu đất A,B,C có diện tích tương ứng: 50, 60, 40 (ha) Yêu cầu sản lượng thu hoạch cà phê tối thiểu 500 tạ tiêu tối thiểu 420 tạ Do đặc điểm khu đất khác phí sản suất (triệu đồng/ha) suất (tạ/ha) khác cho bảng sau: Nguyễn Hồng Tuấn soạn thảo QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH CHƯƠNG BÀI TỐN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH $1 LẬP MƠ HÌNH BÀI TỐN Khu đất A B C Cà phê Tiêu (triệu đồng/ha) 1,8 (tạ/ha) 2,2 1,6 10 2,5 1,5 12 Hãy lập mơ hình toán giúp xác định phương án phân phối đất trồng cho đảm bảo yêu cầu sản lượng với chi phí thấp $1 LẬP MƠ HÌNH BÀI TỐN III Bài tốn vận tải Ví dụ 1.7 Một công ty cần chuyên chở giao hàng từ kho I, II, III, IV đến khách hàng A, B, C theo hợp đồng Chi phí vận chuyển (triệu đồng / tấn) khối lượng (tấn) phải giao nhận cho chi tiết bảng Tìm cách vận chuyển cho chi phí tiết kiệm Nơi đến – khối lượng Nơi – khối lượng I 20 II 30 III 35 IV 15 A – 25 B – 45 7 C – 30 $1 LẬP MƠ HÌNH BÀI TỐN BTT Phần tập sinh viên tự làm 1/ Một gia đình cần 1800 đơn vị prơtêin 1500 đơn vị lipit thức ăn ngày Một kilôgam thịt bị chứa 600 đơn vị prơtêin 600 đơn vị lipit, kilôgam thịt heo chứa 600 đơn vị prôtêin 300 đơn vị lipit, kilôgam thịt gà chứa 600 đơn vị prôtêin 600 đơn vị lipit Giá kilơgam thịt bị 81 ngàn đồng, giá kilôgam thịt heo 74 ngàn đồng, giá kilôgam thịt gà 90 ngàn đồng Hỏi gia đình nên mua kilôgam thịt loại để: bảo đảm tốt phần ăn ngày tổng số tiền phải mua nhỏ nhất? Nguyễn Hoàng Tuấn soạn thảo QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH CHƯƠNG BÀI TỐN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH $1 LẬP MƠ HÌNH BÀI TỐN 2/ Một xí nghiệp dự định sản xuất ba loại sản phẩm A, B C Các sản phẩm chế tạo từ ba loại nguyên liệu I, II III Số lượng nguyên liệu I, II III mà xí nghiệp có 30, 50, 40 Số lượng nguyên liệu cần để sản xuất đơn vị sản phẩm A, B, C cho bảng sau NL SP A B C I II III 1 2 3 $1 LẬP MƠ HÌNH BÀI TỐN Xí nghiệp muốn lên kế hoạch sản xuất để thu tổng số lãi nhiều (với giả thiết sản phẩm làm bán hết), biết lãi triệu đồng cho đơn vị sản phẩm loại A, lãi 3.5 triệu đồng cho đơn vị sản phẩm loại B, lãi triệu đồng cho đơn vị sản phẩm loại C Lập mơ hình tốn Quy hoạch tuyến tính $2 CÁC DẠNG BÀI TỐN & TÍNH CHẤT Dạng tổng qt Bài tốn quy hoạch tuyến tính tổng qt có dạng: f ( X ) c0 c1 x1 c2 x2 cn xn max / n n n aij x j bi i I1 ; aij x j bi i I ; aij x j bi i I ( I ) j 1 j 1 j 1 x 0 j J ; x 0 j J ; x j J ( II ) j j j - f(x) gọi hàm mục tiêu - Hệ (I) gọi hệ ràng buộc đại số, hệ (II) gọi hệ ràng buộc dấu, gọi chung hệ ràng buộc Nguyễn Hoàng Tuấn soạn thảo QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH CHƯƠNG BÀI TỐN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH $2 CÁC DẠNG BÀI TỐN & TÍNH CHẤT Ví dụ 2.1 : Xét toán f ( x) x1 x2 x3 x4 5 2 x1 x2 x x x 2 2 x1 x2 x3 x1 x2 x3 x4 14 x1 ; x3 0, x2 0, x4 Đây tốn Quy hoạch tuyến tính dạng tổng qt $2 CÁC DẠNG BÀI TỐN & TÍNH CHẤT Phương án - Bộ số α = (α1; α2; … ; αn) thỏa mãn hệ ràng buộc gọi phương án toán (nghiệm hệ ràng buộc) - Tập chứa tất phương án gọi tập phương án (tập nghiệm hệ ràng buộc tập xác định hàm mục tiêu) - Phương án α0 = (α01; α02; … ; α0n) làm cho hàm mục tiêu đạt giá trị lớn nhỏ gọi phương án tối ưu (nghiệm toán) $2 CÁC DẠNG BÀI TỐN & TÍNH CHẤT Dạng tắc Bài tốn QHTT chuẩn tắc có dạng: f ( X ) c0 c1 x1 c2 x2 cn xn max / n aij x j bi ; i 1, m j 1 x 0; j 1, n j Nguyễn Hoàng Tuấn soạn thảo QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH CHƯƠNG BÀI TỐN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH $2 CÁC DẠNG BÀI TỐN & TÍNH CHẤT Yêu cầu khác biệt dạng tổng quát: Các ràng buộc đại số chấp nhận ràng buộc phương trình Các ràng buộc dấu địi hỏi biến khơng âm Có thể chuyển tốn dạng tổng qt dạng tắc hay khơng $2 CÁC DẠNG BÀI TỐN & TÍNH CHẤT Cách chuyển tốn tổng qt tắc: x j x 'j x j xj x j x 'j x"j ; x 'j 0, x"j n n j 1 n j 1 n j 1 j 1 aij x j bi aij x j xn1 bi , xn1 aij x j bi aij x j xn2 bi , xn2 Hạn chế: Bài toán nhiều ẩn tốn gốc $2 CÁC DẠNG BÀI TỐN & TÍNH CHẤT Ví dụ 2.2: Đưa tốn sau dạng tắc : f x 3x1 x2 3x3 x4 x1 x2 x3 x4 x4 x1 x2 2 x1 x2 x3 x4 12 x 2x 13 x j 0, j 1, Nguyễn Hoàng Tuấn soạn thảo QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH CHƯƠNG BÀI TỐN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH $2 CÁC DẠNG BÀI TỐN & TÍNH CHẤT Ví dụ 2.3: Đưa tốn sau dạng tắc: f ( X ) x1 x2 x3 max x1 x2 x4 x 5x x x 6 x1 x2 x3 x1 x2 4 x1 0, x2 0, x3 ; x4 $2 CÁC DẠNG BÀI TOÁN & TÍNH CHẤT Dạng chuẩn tắc Bài tốn QHTT chuẩn tắc có dạng sau: f ( X ) c0 c1 x1 c2 x2 cn xn / max n xi aij x j bi 0, i 1; m j m1 x 0, j 1; n j $2 CÁC DẠNG BÀI TỐN & TÍNH CHẤT • u cầu khác biệt dạng tắc: Trong hệ ràng buộc phương trình đại số Mỗi ràng buộc phải chứa ẩn (là ẩn có hệ số xuất lần hệ) hệ ràng buộc có m phương trình phải có m ẩn khác Tất hệ số tự không âm Nguyễn Hoàng Tuấn soạn thảo QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH CHƯƠNG BÀI TỐN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH $2 CÁC DẠNG BÀI TỐN & TÍNH CHẤT • Ví dụ: f X x1 x2 x3 3x4 x5 x6 x7 x4 x6 x7 x1 x2 x x x x7 x 3x x x 3x7 11 x j j 1,7 tốn chuẩn tắc Có thể chuyển tốn dạng tắc dạng chuẩn tắc hay khơng $2 CÁC DẠNG BÀI TỐN & TÍNH CHẤT Cách chuyển tốn tắc chuẩn tắc: Hệ số bi < Nhân vế phương trình ràng buộc chứa cho (–1) Thiếu ẩn bản: Có m phương trình ràng buộc có k (< m) ẩn Ràng buộc phương trình đại số chưa có ẩn cộng thêm vào vế trái ẩn giả thêm đủ (m – k) ẩn giả khác Hệ số ẩn giả hàm mục tiêu +M f –M f max, với M > Hạn chế: Bài toán nhiều ẩn toán gốc $2 CÁC DẠNG BÀI TỐN & TÍNH CHẤT Ví dụ: Đưa toán QHTT sau dạng chuẩn tắc: f(X) = – 8x1 + 6x2 + 2x3 Hệ ràng buộc: 4x1 + x2 – 3x3 = 18 4x1 + 3x2 + 4x3 = 16 x1, x2, x3 ≥ Nguyễn Hoàng Tuấn soạn thảo 10 QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH CHƯƠNG BÀI TỐN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH $3 PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ VD 3.3: Giải toán: f x y x y 2 x y x 0, y $4 PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH Cho tốn QHTT chuẩn: f ( X ) c0 c1 x1 c2 x2 cn xn n xi aij x j bi 0, i 1; m j m1 x 0, j 1; n j Giả sử phương án 1; ; ; m ;0;0; ;0 phương án cực biên Ta đặt: j c1a1j c2a j cma mj c j gọi ước lượng thành phần thứ j phương án $4 PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH Định lý: Dấu hiệu phương án tối ưu Hàm mục tiêu f min: Nếu phương án cực biên có tất ước lượng j 0, j 1;n chúng phương án tối ưu tốn Hơn nữa, chúng có thành phần khơng ẩn ước lượng tốn có nhiều phương án tối ưu cực biên tập phương án tối ưu tổ hợp lồi tập phương án tối ưu cực biên Nguyễn Hoàng Tuấn soạn thảo 14 QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH CHƯƠNG BÀI TỐN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH $4 PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH Định lý: Dấu hiệu phương án tối ưu Hàm mục tiêu f min: Nếu phương án cực biên có ước lượng j 0, j {1; ;n} chúng khơng phương án tối ưu tốn Hơn nữa, có ước lượng j mà cột vectơ hệ số thành phần tương ứng A j 0(a ij 0, i) tốn khơng có phương án tối ưu $4 PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH Định lý: Dấu hiệu phương án tối ưu Hàm mục tiêu f max: Nếu phương án cực biên có tất ước lượng j 0, j 1;n chúng phương án tối ưu toán Hơn nữa, chúng có thành phần khơng ẩn tốn có nhiều ước lượng phương án tối ưu cực biên tập phương án tối ưu tổ hợp lồi tập phương án tối ưu cực biên $4 PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH Định lý: Dấu hiệu phương án tối ưu Hàm mục tiêu f max: Nếu phương án cực biên có ước lượng j 0, j {1; ;n} chúng khơng phương án tối ưu tốn Hơn nữa, có ước lượng j mà cột vectơ hệ số thành phần tương ứng A j 0(a ij 0, i) tốn khơng có phương án tối ưu Nguyễn Hồng Tuấn soạn thảo 15 QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH CHƯƠNG BÀI TỐN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH $4 PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH Hệ số THUẬT TOÁN: Bước 1: Chọn phương án cực biên ban đầu với thành phần ẩn hệ số tự ràng buộc α = (b1, b2, …, bm, 0, …, 0) lập bảng đơn hình xuất phát: hàm MT c1 c2 … cn c0 Ẩn x1 x2 … xn P Án c1 x1 a11 a12 … a1n b1 ⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞… ⁞ ⁞ cm xm Ước lượng am1 am2 … amn bm Δ1 Δ2 … Δn f(x) $4 PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH THUẬT TỐN: Bước 1: Lập bảng đơn hình xuất phát: Nhận xét: với cột thành phần ẩn Vectơ hệ số vectơ đơn vị, số nằm vị trí giao với dịng Ước lượng ∆ ln = $4 PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH Ví dụ 4.1: Cho toán: f ( x) 2 x1 x2 x3 x6 15 3 x1 x2 x4 x5 x6 40 11x1 x2 4x x3 x6 10 x j 0, j 1,6 Hãy lập bảng đơn hình xuất phát cho tốn Nguyễn Hồng Tuấn soạn thảo 16 QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH CHƯƠNG BÀI TỐN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH $4 PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH Cho tốn: Ví dụ 4.2: f x x1 x2 x3 3x4 x5 x6 x7 x4 x6 x7 x1 x2 x2 x3 x4 x7 x 3x x x 3x7 11 x j j 1, Hãy lập bảng đơn hình xuất phát cho tốn $4 PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH THUẬT TỐN: Bước 2: Dựa vào định lý Dấu hiệu tối ưu kết luận phương án tối ưu chưa Có ba trường hợp kết quả: TH1: Phương án xét tối ưu TH2: Bài tốn khơng có phương án tối ưu (vô nghiệm) TH3: Phương án xét không tối ưu chưa đủ kết luận tốn khơng có phương án tối ưu (vơ nghiệm) Bước 3: cải tiến thành phương án cực biên tốt Việc giải tốn ln kết thúc bước $4 PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH Xét lại tốn bảng đơn hình ví dụ 4.1 Ví dụ 4.3: Hệ số 0 -1 -2 -1 0 Ẩn x1 x2 x3 x4 x5 x6 x4 x5 x3 -3 11 -5 0 1 0 -1 15 40 10 ∆ -2 -3 0 -1 -10 Nguyễn Hoàng Tuấn soạn thảo P án 17 QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH CHƯƠNG BÀI TỐN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH $4 PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH Xét lại tốn bảng đơn hình ví dụ 4.2 Ví dụ 4.4: Hệ số Ẩn -7 1 x6 x3 x5 ∆ 1 -7 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 -1 -2 -7 0 -1 -2 -1 0 1 0 -1 -11 PÁN 3 11 -7 $4 PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH THUẬT TỐN Bước 3: Cải tiến thành phương án cực biên tốt sau: Đổi ẩn bản: đưa ẩn xv vào thay ẩn cũ xr ( xv xr) Xác định ẩn xv đưa vào: Hàm mục tiêu f min: xv ẩn có v max j 0 Hàm mục tiêu f max: xv ẩn có v j 0 $4 PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH THUẬT TỐN Bước 3: Cải tiến thành phương án cực biên tốt sau: Đổi ẩn bản: đưa ẩn xv vào thay ẩn cũ xr ( xv xr) Xác định ẩn cũ xr thay ra: xr ẩn thỏa b br i , aiv arv aiv Nguyễn Hoàng Tuấn soạn thảo 18 QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH CHƯƠNG BÀI TỐN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH $4 PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH THUẬT TOÁN Bước 3: Cải tiến thành phương án cực biên tốt sau: Tạo bảng đơn hình cho phương án cực biên theo nguyên tắc sau: Cột ẩn bản: ẩn xr thay ẩn xv đưa vào: xv xr Dùng phép đổi sơ cấp ma trận dòng xr bảng đơn hình cũ cho vectơ cột hệ số Av ẩn đưa vào xv trở thành vectơ đơn vị với phần tử tâm xoay (giao vào + ra) [arv] (cịn lại = 0) $4 PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH THUẬT TOÁN Bước 3: Cải tiến thành phương án cực biên tốt sau: Tạo bảng đơn hình cho phương án cực biên theo nguyên tắc sau: Vận dụng kĩ thuật (chiêu) để biến đổi nhanh từ ma trận bảng đơn hình cũ sau: Hàng xr: chia số hạng cho tâm xoay [arv] Giữ nguyên cột hệ số ẩn cũ $4 PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH THUẬT TỐN Bước 3: Cải tiến thành phương án cực biên tốt sau: Tạo bảng đơn hình cho phương án cực biên theo nguyên tắc sau: Vận dụng kĩ thuật (chiêu) biến đổi từ ma trận bảng đơn hình cũ sau: Cột hệ số ẩn xv vectơ đơn vị với phần tử tâm xoay [arv] Nguyễn Hoàng Tuấn soạn thảo 19 QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH CHƯƠNG BÀI TỐN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH $4 PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH THUẬT TỐN Bước 3: Cải tiến thành phương án cực biên tốt sau: Tạo bảng đơn hình cho phương án cực biên theo nguyên tắc sau: Vận dụng kĩ thuật (chiêu) biến đổi từ ma trận bảng đơn hình cũ sau: Các số hạng cịn lại (nằm ngồi hàng xr cột ẩn bản) biến đổi theo quy tắc hình chữ nhật: aiv arv aij a a a 'ij aij iv rj arj arv $4 PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH SƠ ĐỒ THUẬT TỐN Lập bảng đơn hình xuất phát Xét BƯỚC BƯỚC BƯỚC Text dấu hiệu tối ưu Cải tiến thành phương án cực biên tốt $4 PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH Ví dụ 4.5: Giải tốn: f x x1 x2 x3 x6 x4 x6 15 x1 x2 x3 x6 2 x1 4 x x4 x5 x6 x j j 1, Nguyễn Hoàng Tuấn soạn thảo 20 QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH CHƯƠNG BÀI TỐN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH $4 PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH Ví dụ 4.6: Giải tốn: f x 2 x1 x2 x3 x4 4 x1 x2 3 2 x1 x2 x3 x2 x3 x4 x j j 1, $4 PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH Ví dụ 4.7: Giải toán f ( x) x1 x2 x3 max x1 x2 x3 7 2 x1 x2 x x 5 x j 0, j 1,3 $4 PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH Ví dụ 4.8: Giải tốn: f ( x) 2 x1 x2 x3 x1 x2 x3 15 3 x1 x2 x3 20 4 x x 10 x j 0, j 1,3 Nguyễn Hoàng Tuấn soạn thảo 21 QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH CHƯƠNG BÀI TỐN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH $4 PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH BTT Phần tập sinh viên tự làm 1/Giải toán Quy hoạch tuyến tính f ( x) x1 x2 x3 x4 x4 x1 x2 x x x4 x j 0, j 1, 2,3, $4 PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH 1/Giải tốn Quy hoạch tuyến tính f ( x) x1 x2 x3 max x1 x2 x3 2 x1 x2 x3 x x x x j 0, j 1,3 $5 PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH MỞ RỘNG (THAM KHẢO) Cho tốn QHTT chuẩn mở rộng: f ( X ) c0 c1 x1 cn xn Mxn1 Mxnm n aij x j xni bi 0, i 1; m j 1 x 0, j 1; n m j Lưu ý: - xn+i ẩn giả - M tham số dương lớn xem M = +∞ Nguyễn Hoàng Tuấn soạn thảo 22 QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH CHƯƠNG BÀI TỐN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH $5 PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH MỞ RỘNG (THAM KHẢO) Các ước lượng tính lúc có chứa tham số M có dạng: ∆j = u j M + vj Việc so sánh ước lượng ∆ xác định sau: u j j u j M v j u j u j j u j M v j u j 0 0, v j 0 0, v j ui u j i ui M vi j u j M v j ui u j , vi v j $5 PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH MỞ RỘNG (THAM KHẢO) Việc giải toán chuẩn tắc mở rộng dựa vào phương pháp đơn hình học kết hợp nguyên tắc so sánh ước lượng ∆ có chứa tham số M Ví dụ : Giải toán sau f x 8 x1 x2 x3 4 x x x 18 4 x1 x2 x3 16 x j j 1,3 $5 PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH MỞ RỘNG (THAM KHẢO) Giải : Bài tốn thuộc dạng tắc khơng có sẳn ma trận đơn vị nên ta cộng ẩn giả x4 , x5 vào ràng buộc thứ thứ hai ta : f x 8 x1 x2 x3 M x4 x5 4 x x 3x x 18 x5 16 4 x1 x2 x3 x j j 1,5 Đây tốn tắc có sẳn ma trận đơn vị nên ta dùng thuật tốn đơn hình để giải : Nguyễn Hồng Tuấn soạn thảo 23 QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH CHƯƠNG BÀI TỐN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH $5 PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH MỞ RỘNG (THAM KHẢO) Cơ sở A4 A5 A4 A1 H.số M M M -8 cj -8 -4 -5 M M Ph án x1 x2 x3 x4 x5 18 16 [4] -3 0 34 0 -6 -2 0 [1] 3/4 -7 -7 -1 -2 -1 1/4 -2 -32 -12 -10 -2 $5 PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH MỞ RỘNG (THAM KHẢO) A2 A1 -8 -7 25/4 -1 3/4 -3/4 5/2 1 -1 -8 0 -1 -1 0 -94 -1/8 12 -14 5 Vậy phương án tối ưu toán x , 2,0 2 f 8 $5 PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH MỞ RỘNG (THAM KHẢO) Ví dụ : Giải toán sau : f x x1 3x2 x3 2 x1 x2 x3 10 4 x x x 16 2 x x x x j j 1,3 Giải : Ta đưa toán dạng tắc sau : Nguyễn Hồng Tuấn soạn thảo 24 QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH CHƯƠNG BÀI TỐN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH $5 PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH MỞ RỘNG (THAM KHẢO) f x x1 3x2 x3 2 x1 x2 x3 x4 10 4 x x x 16 2 x x x 8 x j j 1, Bài toán chưa có sẳn ma trận đơn vị nên ta thêm ẩn giả x5 , x6 vào ràng buộc hai ba Bài tốn đưa dạng tắc có sẳn ma trận đơn vị sau : $5 PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH MỞ RỘNG (THAM KHẢO) f x x1 3x2 x3 M x5 x6 10 2 x1 x2 x3 x4 4 x 3x x x 16 2 x x x x6 x j j 1,6 Ta giải toán bảng đơn sau : Cơ sở H.số M M Ph án x1 x2 x3 x4 x5 x6 10 16 -3 1 0 0 24 -6 -3 -1 0 0 0 cj A4 A5 A6 M M $5 PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH MỞ RỘNG (THAM KHẢO) Cơ sở H.số M M Ph án x1 x2 x3 x4 x5 x6 24 8 -4 0 0 -11 -11 -11 11 0 1/2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -2 -2 1/2 -3 cj A4 A5 A1 M A4 A5 A3 M 0 -11 -4 Vậy từ bảng đơn hình ta kết luận phương án tối ưu 0,0,8 f Nguyễn Hoàng Tuấn soạn thảo 25 QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH CHƯƠNG BÀI TỐN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH $5 PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH MỞ RỘNG (THAM KHẢO) Ví dụ : Giải toán quy hoạch sau f ( x ) x1 x2 x3 x4 max x1 x2 x3 x4 10 2 x1 x2 x3 x4 15 x j 0, j 1, Giải : Dạng tắc toán f ( x ) x1 x2 x3 x4 0( x5 x6 ) Mx7 Mx8 max x1 x2 x3 x4 x5 x7 10 2 x1 x2 x3 x4 x6 x8 15 x j 0, j 1, $5 PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH MỞ RỘNG (THAM KHẢO) BẢNG ĐƠN HÌNH -7 -2 0 -M -M -Co So CJ Ph.An A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 -A7 -M 10 1 -1 A8 -M 15 -1 -(M) -3 -8 -2 -5 1 0 -1 -6 0 0 A7 -M -1/5 2/5 -7/5 -1 3/5 -3/5 A2 -7 2/5 1/5 4/5 -1/5 1/5 -(M) 1/5 -2/5 7/5 -3/5 8/5 -19/5 3/5 -58/5 7/5 -7/5 $5 PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH MỞ RỘNG (THAM KHẢO) A6 5/3 -1/3 2/3 -7/3 -5/3 5/3 -1 A2 -7 10/3 1/3 1/3 1/3 -1/3 1/3 -(M) 0 0 0 1 -10/3 -1/3 -25/3 7/3 -7/3 -A6 25 -4 -1 A4 10 1 -1 -(M) 0 0 0 1 25 -6 -6 Vậy tốn khơng có phương án tối ưu Nguyễn Hoàng Tuấn soạn thảo 26 QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH CHƯƠNG BÀI TỐN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH $5 PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH MỞ RỘNG (THAM KHẢO) Ci Xi Yi X1 X2 X3 X4 X5 X6 X4 -5 1 0 X5 2 -2 0 X6 -1 0 F(x) -2 -3 -1 0 $5 PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH MỞ RỘNG (THAM KHẢO) Ci Xi Yi X4 X1 X2 X3 X4 X5 X6 37/2 -3/2 7/2 5/2 X5 -3 -1 X2 5/2 -1/2 1/2 0 ½ F(x) 15/2 -7/2 1/2 0 3/2 $5 PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH MỞ RỘNG (THAM KHẢO) Ci Xi Yi X4 X1 X2 X3 X4 X5 X6 39/2 0 1/2 X1 2/3 -1 1/3 -1/3 X2 17/6 0 1/6 1/3 F(x) 59/6 0 -3 7/6 1/3 Nguyễn Hoàng Tuấn soạn thảo 27 QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH CHƯƠNG BÀI TỐN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH $5 PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH MỞ RỘNG (THAM KHẢO) Ci Xi Yi X1 X2 X3 X4 X5 X6 X3 39/4 0 1/2 1/4 X1 125/12 0 1/2 7/12 2/3 X2 17/6 0 1/6 1/3 F(x) 469/12 0 3/2 23/12 10/3 Nguyễn Hoàng Tuấn soạn thảo 28 ... Hoàng Tuấn soạn thảo QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH CHƯƠNG BÀI TỐN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH $1 LẬP MƠ HÌNH BÀI TỐN Khu đất A B C Cà phê Tiêu (triệu đồng/ha) 1,8 (tạ/ha) 2,2 1,6 10 2,5 1,5 12 Hãy lập mơ hình... x2 cn xn max / n aij x j bi ; i 1, m j 1 x 0; j 1, n j Nguyễn Hồng Tuấn soạn thảo QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH CHƯƠNG BÀI TỐN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH $2 CÁC DẠNG BÀI TỐN & TÍNH... 4x3 = 16 x1, x2, x3 ≥ Nguyễn Hoàng Tuấn soạn thảo 10 QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH CHƯƠNG BÀI TỐN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH $2 CÁC DẠNG BÀI TỐN & TÍNH CHẤT Tập hợp lồi 5.1 Tổ hợp lồi Cho hệ vector {u1, u2, …,