MỘT SỐ BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO SỐ PHỨC Trong chương trình phổ thông,

MỘT SỐ BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO SỐ PHỨC Trong chương trình phổ thơng, tốn số phức thường đơn giản, khơng q khó Tuy nhiên có toán vận dụng vận dụng cao mà không nghiên cứu kĩ lưỡng, lần gặp khó giải Để giúp học sinh hiểu vận dụng kiến thức có liên quan đến số phức để làm thi tốt kỳ thi THPT Quốc gia 2019 biên soạn số toán vận dụng cao số phức Trước đến với số toán nhắc lại khái niệm I Các khái niệm Định nghĩa - Một biểu thức dạng a  bi với a, b �R, i  1 gọi số phức - Đối với số phức z  a  bi, ta nói a phần thực, b phần ảo z - Tập hợp số phức kí hiệu C Hai số phức - Hai số phức phần thực phần ảo chúng tương ứng ac � bd � - Công thức: a  bi  c  di � � Biểu diễn hình học số phức - Điểm M  a; b  hệ tọa độ vng góc Oxy gọi điểm biểu diễn số phức z  a  bi Môđun số phức - Cho số phức z  a  bi có điểm biểu diễn M  a; b  mặt phẳng tọa uuuu r độ Oxy Độ dài véctơ OM gọi mô đun số phức z kí hiệu z uuuu r z  OM  a  bi  a  b Công thức Số phức liên hợp - Cho số phức z  a  bi, số phức dạng z  a  bi gọi số phức liên hợp z Phép cộng, phép trừ, phép nhân, phép chia z1  a  bi, z2  c  di, - Cho số phức ta có z1  z2   a  bi    c  di    a  c    b  d  i - Cho số phức z1  a  bi, z2  c  di, ta có - Cho số phức z1  a  bi, z2  c  di, ta có z1  z2   a  bi    c  di    a  c    b  d  i z1.z2   a  bi   c  di    ac  bd    ad  bc  i - Cho số phức z1  a  bi, z2  c  di, (với z2 �0 ) tacó : z1 a  bi  a  bi   c  di   ac  bd   bc  ad      i z2 c  di  c  di   c  di  c d2 c d2 Phương trình bậc hai với hệ số thực Cho phương trình bậc hai ax  bx  c  với a, b, c �R a �0 Phương trình có biệt thức   b  4ac, nếu: b 2a -   phương trình có nghiệm thực x   -   phương trình có hai nghiệm thực phân biệt x1,2  -   phương trình có hai nghiệm phức x1,2  b �  2a b �i  2a Acgumen số phức z �0 Cho số phức z �0 Gọi M điểm mặt phẳng phức biểu diễn số z Số đo (radian) góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM gọi acgumen z CHÚ Ý Nếu  acgumen z (hình dưới) gọi acgumen z có dạng   k 2 , k �Z (người ta thường nói: Acgumen z �0 xác định sai khác k 2 , k �Z ) y M(z) O x Dạng lượng giác số phức Xét số phức z  a  bi �0  a, b �R Kí hiệu r mơ đun z  acgumen z (hình dưới) dễ thấy rằng: a  r cos  , b  r sin  Vậy z  a  bi �0 viết dạng z  r  cos +i sin   y M (a+bi) r  O x Dạng z  r  cos +i sin   , r  0, gọi dạng lượng giác số phức z �0 Dạng z  a  bi �0  a, b �R , gọi dạng đại số số phức z Nhận xét Để tìm dạng lượng giác z  r  cos +i sin   số phức z  a  bi �0  a, b �R khác cho trước ta cần: Tìm r : mơ đun z, r  a  b ; số r khoảng cách từ gốc O đến điểm M biểu diễn số z mặt phẳng phức a Tìm  : acgumen z;  số thực cho cos = r b sin   ; số  số đo góc lượng giác tia đầu Ox, tia r OM cuối CHÚ Ý Z  Z  cos +i sin  ;   �R  Khi z  z  r  acgumen z không xác định (đôi coi acgumen số thực tùy ý viết   cos +i sin   Cần để ý đòi hỏi r  dạng lượng giác r  cos +i sin   số phức z �0 Nhân chia số phức lượng giác Ta có cơng thức nhân chia số phức dạng đại số Sau định lý nêu lên công thức nhân chia số phức dạng lượng giác; chúng giúp cho quy tắc tính tốn đơn giản nhân chia số phức ĐỊNH LÝ Nếu z  r  cos +i sin   ; z '  r '  cos '+i sin  '   r �0, r ' �0  cos     '  +i sin     '  � Thì zz '  rr ' � � �; z r  � cos     ' +i sin     ' � ;  r   � z' r'� Nói cách khác, để nhân số phức dạng lượng giác, ta lấy tích mô đun tổng acgumen; để chia số phức dạng lượng giác ta lấy thương mô đun hiệu acgumen Chứng minh zz '  � r  cos +i sin   � r '  cos ' +i sin  '  � � �� � �lim x ��  rr ' � cos cos ' sin .sin  ' i  sin .cos '+cos.sin '  � � �  rr ' � cos     ' +i sin     '  � � � 1  � cos     i sin    � Theo công thức nhân số phức, � z r� z r cos     '  +i sin     '  � Ta có:  z  � � z' z' r'� Mặt khác, ta có Cơng thức Moa-vrơ (Moivre) Từ công thức nhân số phức dạng lượng giác, quy nạp toán học dễ dàng suy với số nguyên dương n n � r  cos +i sin   � � �  r  cosn +i sin n  Và r  1, ta có n  cos +i sin   n  cosn +i sin n Cả hai cơng thức gọi cơng thức Moa – vrơ Căn bậc hai số phức dạng lượng giác Từ công thức Moa – vrơ, dễ thấy số phức z  r  cos +i sin   , r  có bậc hai � �  �  �  �  � r� cos +i sin �và  r � cos +i sin � r � cos( + )+i sin(   ) � 2� 2� � � � � Để nắm kiến thức học sinh cần phải luyện tập nhiều tập, xin ý để làm tập sau quý bạn đọc cần phải vững phần số phức II MỘT SỐ BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO VỀ SỐ PHỨC CÁC BÀI TÍNH TỐN SỐ PHỨC Bài 1: Cho hai số phức z1 , z2 thảo mãn z1  z2  1; z1  z2  Tính z1  z2 A B C D Nhận xét: Bài nhìn vào khó, em cần phải bình tĩnh, cần gọi z1  a1  b1i; z2  a2  b2i  a1 , a2 , b1 , b2 �R sau viết hết giả thiết đề cho: � � a12  b12  a2  b22  �z1  z2  � �� � 2  a1  a2    b1  b2   �z1  z2  � Và viết cần tính z1  z2   a1  a2    b1  b2  Hãy quan sát cần tính thấy cần bình phương lên dùng giả thiết Lời giải Ta có: z1  a1  b1i; z2  a2  b2i  a1 , a2 , b1 , b2 �R 2 � � a12  b12  a2  b22  2 �z1  z2  � �� �  a1b1  a2b2   �  a1  a2    b1  b2   � 2  a1  a2    b1  b2   �z1  z2  � Vậy: z1  z2   a1  a2    b1  b2   Chọn A Cách Đặt z z1 � z  1, z   � z  � i z2 2 � z 1  Chọn A Bài 2: Tính z  i  i  i   i 2008 có kết quả: A B C i Lời giải Ta có iz  i  i   i 2008  i 2009 z  i  i  i   i 2008 2009 2008 Suy z  i  1  i  i  i  i  1  � z  Chọn A Bài 3: Tìm số phức z có z  z  i max : A B 1 C i Lời giải D i D i Đặt z  a  bi z  a  b ; z  i  a   b  1 Khi z �1 a b 1 � b 1; z i ta  b 1 a2 a b 2b có: 2b 2 Do giá trị lớn đạt a  0; b  1; z  i Chọn C Cách Thử kết A, B, C, D suy đáp số C Bài 4: Trong số phức z thỏa mãn z  Tìm số phức z để  z   z đạt giá trị lớn 5 5 4 C z   i, z   i 5 5 3 5 D z   i, z    i 5 A z    i, z    i B z   i, z  i Lời giải Giả sử z  x  yi,  x, y �R Vì z  � x  y  � x  y  Khi đó: 1 z  1 z    x  1  x  1   x2   y2   x  1  x  1  y2 1 x2   1 x  1 x  Xét hàm số f  x     x   x  đoạn  1;1 ta có: � � f ' x  �  ; f ' x  � x   � �2  x  x � � 4� Ta có: f  1  6; f � � 10 � 5� � � x ;y � x � 4� 5 �� Vậy f max  f � � 10 � � � � � � x ;y y2  1 x2 � � 5 � 4 Vậy z    i, z    i Chon A 5 5 Cách Dễ thấy đáp án B, D không thỏa mãn giả thiết, thử đáp án A, C ta chọn A Bài 5: Cho z số phức có mơ đun 2017 w số phức thỏa mãn 1   Mô đun số phức z là: z w zw A 2015 B C 2017 D Lời giải Từ 1   ta suy z  w  zw  z w zw 2 �1 i 3� � w � �i 3w � � �z  � � � z  � � � � � � �w � 2� � � � � � Lấy mơ đun hai vế ta có z  w  2017 Chọn C Bài 6: Số phức z có mơ đun lớn thỏa mãn điều kiện 13 là: Z   i    2i  A z   3i z B z   i 2 C z   i 2 D 15  i 4 Lời giải +Gọi z  x  yi Từ giả thiết ta có:  x  y  3   x  y    2 13 + Đồng thời z  x  y lớn Kiểm tra đáp án so sánh Chọn D Bài 7: Số phức z �0 thỏa mãn z �2 Tổng giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P  z i z A B C Lời giải i i i i Ta có  z �1  z �1  z �  z �1  z �1  z D 2 Mặt khác z � z 1 �P � suy 2 Suy giá trị lớn giá trị nhỏ , Vậy tổng giá trị lớn giá 2 trị nhỏ biểu thức P Chọn B n Bài 8: Tìm phần thực số phức z    i  , n �N thỏa mãn phương trình: log  n  3  log  n    A B C D Lời giải Điều kiện n  3, n �N Phương trình: log  n  3  log  n    � log  n  3  n    � n  (so đk) z    i    1 i  �   i   2i    8i  1 i  � � �  Vậy phần thực số phức z Chọn D Bài 9: Cho số phức z thảo mãn z  4i   Tìm giá trị nhỏ z A B C D Lời giải 2 Giả sử z  a  bi, ta có: a  bi   4i  �  a  3   b    16 a   4sin  a   4sin  � � �� b   cos  � b  cos   � Đặt � � z  a  b   16sin   24sin   16  32 cos  �3 �  41  24sin   32 cos   41  40 � sin   cos � �5 � Đặt cos = ,sin   � z  a  b2  41  40 sin      �1 5   Dấu "  " xảy       k 2 �       k 2 2 Vậy z  Chọn A Cách Dễ thấy điểm M biểu diễn số phức z thuộc đường trịn tâm I(3, -4), bán kính R = z  OM � z  OM  OI  R  Chọn A Bài 10: Trong sô phức thỏa điều kiện z  4i   2i  z , mô đun nhỏ số phức z bằng: A 2 B C D Lời giải Giả sử số phức z  x  yi Theo đề z  4i   2i  z �  x  2   y    x   y   � x  y   � y   x  1 2 Mà z  x  y  x    x  (thay  1 vào)   x    �2 2 Chọn A Bài 11: Tìm số phức Z có mơ đun lớn thỏa mãn điều kiện Z   i    2i  13 15 i 4 z  i 4 A z   B z   i 15 i 4 C z    D Lời giải Gọi z  x  yi  x, y �R  � z  x  yi 13 39 � x2  y2  x  y   (Thay số phức z vào mơ đun lớn ta chọn) z   i    2i  So với đáp án ta chọn đáp án A Chọn A z  i Bài 12: (A+A1 2012) Cho số phức z thỏa mãn    i  1 Tính mơ đun số phức    z  z A 13 B 15 z 1 C 17 D 19 Lời giải Giả sử z  a  bi  a  bi  i    i � 5a  5i  b  1  2a  2bi    bi  i a  bi  3a   b  � a 1 � � 3a   b  i  5b   2b  a  1  � � �� � z  1 i 3b  a   � b 1 �  1 �     i   2i    3i �     13 Chọn A z z Bài 13: Cho hai số phức phân biệt z1 ; z2 thỏa mãn điều kiện z  z số ảo Khẳng định sau đúng? A z1  1; z2  B z1  z2 C z1  z2 D z1   z2 Lời giải z1 �z2 � z1  z2 �0 z z z z �z  z � Thì z  z số ảo �  �1 � z1  z2 �z1  z2 � � z1  z2 z1  z   �  z1  z2   z1  z2    z1  z   z1  z   z1  z2 z1  z2   � z1 z1  z z2  � z1 z1  z z2  � z1  z2  Chọn C CÁC BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH SỐ PHỨC Bài 1: Tìm số thực a, b, c cho hai phương trình az  bz  c  0, cz  bz  a  16  16i  có nghiệm chung z   2i A  a, b, c    1; 2;5  B  a, b, c    1; 2;5  C  a, b, c    1; 2;5 D  a, b, c    1; 2; 5  Lời giải Theo giả thiết phương trình az  bz  c  có nghiệm z   2i 3a  b  c  � a   2i   b   2i   c  � 3a  b  c   4a  2b  i  � � 4a  2b  �  1 Tương tự phương trình cz  bz  a  16  16i  có nghiệm z   2i c   2i   b   2i   a  16  16i  � c  3  4i   b  2bi  a  16  16i  a  b  3c  16  � �  a  b  3c  16    b  2c   i  � � b  2c   �  2 Từ  1 ,   suy  a, b, c    1; 2;5  Chọn A Bài2: Gọi z1 , z2 nghiệm phương trình z  z   tập số phức Tìm 2015 2016 mô đun số phức    z1  1   z2  1 A   C   B   D   Lời giải Phương trình z  z   có  '    1  i z1   i � z1   i � Suy phương trình có hai nghiệm � � z2   i z2   i � � z  1 i � 2015 Thay � vào  ta :    i   i 2016    i  z   i �2 1007 i   i  1013    i z1   i � Thay � vào   i 2015   i  z2   i � 2016   i2  1002 i   i  1003    i Vậy   Chọn B Bài 3: Tìm số thực b, c để phương trình (với ẩn z ) z  bz  c  nhận z   i nghiệm A b  2; c  2 B b  2; c  C b  2; c  2 Lời giải Nếu z   i nghiệm :  1 i D b  1; c  bc  b  2 � �  b   i   c  � b  c   b  2 i  � � �� b20 c2 � � Một phương trình bậc hai với hệ số thực, có nghiệm phức z nhận z lam nghiệm Vậy z   i nghiệm z   i nghiệm Theo định lý Vi-ét: �   i     i   b � b  2 � �  1 i  1 i   c � Chọn A Bài 4: Tìm số thực a, b, c để phương trình (với ẩn z ) z  az  bz  c  nhận z   i làm nghiệm nhận z  làm nghiệm A a  4; b  6; c  4 B a  4; b  5; c  4 C a  3; b  4; c  2 D a  1; b  0; c  Lời giải z   i nghiệm   i   a   i   b   i   c  z  ngiệm  4a  2b  c  � bc20  1 �  2 Từ ta có hệ phương trình �2a  b   � �4a  2b  c     Từ  1 suy c   b Từ   suy b  2  2a � c    2  2a    2a Thay vào  3 ta có: 4a   2  2a    2a   � a  Với a  4 � b  6; c  4 Chọn A �z  � Bài 5: Phương trình � � có nghiệm �z  � A nghiệm nghiệm Lời giải B nghiệm C nghiệm D 2 � �z  � � � � 1,  1 �z  � �z  � � � � � � �z  � �z  � � � � 1,   � �z  � �z  �z   z 1  z 1 i  i � � �� �� � z0  1 � � z 1  z 1 � z0 �z   1 � �z  �z  �z   i z   iz  z 1 � � �� ��  2 � � z   iz  � z  1 � �z   i �z  Vậy nghiệm phương trình là: z  0; z  1; z  1 Chọn C Bài 6: Số nghiệm phức phương trình z  25   6i ? z A nghiệm B nghiệm D nghiệm Lời giải Giả sử z  a  bi với ; a, b �R a, b khơng đồng thời z Khi z  a  bi;  C nghiệm a  bi  a  bi a  b Khi phương trình � a  a  b  25    a  b  25  a  bi  25 � z   6i � a  bi    6i � � z a  b2 b  a  b2  25   a  b  � �  1  2 Lấy  1 chia   theo vế ta có b  a, vào  1 Ta có a  a  Với a  � b  (Loại) Với a  � b  Ta có số phức z   3i Chọn B Bài 7: Gọi z1; z2 ; z3 ; z4 nghiệm phức phương trình z    m  z  4m  Tìm tất giá trị m để z1  z2  z3  z4  A m  1 m  �1 Lời giải B m  �2 C m  �3 D z1,2  �2i � z    m  z  4m  �  z    z  m   � � z3,4  �  m � � z1;2  �2i � Nếu m �0 � � z3;4  �i m � � m  �  z1  z2  z3  z4    m � Khi � m �0 � �  z1  z2  z3  z4   m � Hoặc � m0 � � m  1 � m 1 Kết hợp lại m  �1 thỏa mãn tốn Chọn D CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN BIỂU DIỄN ĐIỂM, TẬP HỢP ĐIỂM Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện log z    4i   A.Đường thẳng qua gốc tọa độ B Đường tròn bán kính C Đường trịn tâm I  3; 4  bán kính D Đường trịn tâm I  3; 4  bán kính Lời giải Điều kiện: z �3  4i Gọi M  x; y  với  x; y  � 3; 4  điểm biểu diễn số phức: z  x  yi; x, y �R Khi log z    4i   � z    4i   �  x  3   y    �  x  3   y    2 Vậy tập hợp điểm số phức z mặt phẳng tọa độ đường tròn tâm I  3; 4  bán kính R  Chọn C Bài 2: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z mặt phẳng tọa độ thảo mãn điều kiện: z  z  z  A.Đường thẳng qua gốc tọa độ B Đường trịn bán kính C Đường trịn tâm I  5;0  bán kính D Đường trịn tâm I  5;0  bán kính Lời giải Đặt z  x  yi, ta có z  x  yi Do đó: z  z  z  � x  y  x  5 yi  x  yi  �  x    y  25 2 Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp điểm thuộc đường trịn bán kính tâm I  5;0  Chọn C Bài 3: Trên mặt phẳng tạo độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện zi    i   A.Đường thẳng qua gốc tọa độ C Đường tròn tâm I  5;  bán kính kính Lời giải B Đường trịn bán kính D Đường trịn tâm I  1; 2  bán Gọi z  x  yi,  x, y �R  , ta có: zi    i   �  y    x  1 i  �  x  1   y    2 Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường trịn tâm I  ; 2  bán kính R  Chọn D Bài 4: Trên mặt phẳng tạo độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z   z  i A.Đường thẳng qua gốc tọa độ C Đường tròn tâm I  5;0  bán kính kính Lời giải B Đường trịn bán kính D Đường trịn tâm I  1; 2  bán Gọi z  x  yi,  x, y �R  , ta có: z   z  i �  x  1  yi  x   y  1 i 2 �  x  1  y  x   y  1 � x   x  y  x  y  y  � y   x 2 Tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường thẳng y   x qua gốc tọa độ Chọn A Bài 5: Trên mặt phẳng tạo độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện  z   z A B C D Đường thẳng qau gốc tọa độ Đường trịn bán kính Nửa trái mặt phẳng tọa độ khơng kể trục Oy Đường trịn tâm I  1; 2  bán kính Lời giải 2 Gọi z  x  yi,  x, y �R  , ta có:  z   z �  z   z �   x   iy    x   iy �   x   y    x     y  � x  2 2 Tập hợp điểm biểu diễn số phức z nửa trái mặt phẳng tọa độ không kể trục Oy Chọn C Bài6: Trong mặt phẳng Oxy, tìm tọa độ điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn z  2i  1  i   �4 � � � �4 � M�; � �9 � 3 � � B M � ; � �5 � A M � ; � 5 � � C M � ; � �5 � D Lời giải z  2i  1  i   � z  i2   i 2i  5 � � Vậy điểm biểu diễn số phức z M � ; � �5 � Chọn A Bài 7: Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z   i  A  x  1   y  1  B  x  1   y  1  C  x  1   y  1  Lời giải D  x  1   y  1  2 2 2 M  x; y  , x, y �R �zz  x  yi � z   i  �  x  1 2   y  1  2 Vậy tập hợp điểm M cần tìm đường tròn  x  1   y  1  2 Chọn A Bài 8: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z   3i  Tìm giá trị nhỏ z A 13  Lời giải B C 13  D Các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn z   3i  nằm đường tròn  C  tâm I  2; 3 bán kính R  (Ý nghĩa hình học z : độ dài OM ) y Ta có z đạt giá trị nhỏ � x z O điểm M � C  OM nhỏ M (Bài hình học giải tích quen thuộc ) C Ta có: OM �OI-IM=OI-R= 13  Dấu "  " xảy M giao II điểm  C  đoạn thẳng OI Vậy GTNN z 13  Chọn A z   3i Bài 9: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z cho u  số z i ảo A Đường trịn tâm I  1; 1 , bán kính 5, khuyết điểm  0;1  2; 3 B Đường tròn tâm I  1; 3 , bán kính 5, khuyết điểm  0;1  2; 3 C Đường tròn tâm I  1; 4  , bán kính 5, khuyết điểm  0;1  2; 3 D Đường trịn tâm I  2; 1 , bán kính 5, khuyết điểm  0;1  2; 3 Lời giải Giả sử z  a  bi  a, b  R ,  z i  , đó: u a   bi  3i  a    b  3 i   a   b  1 i   a   b  1 i a   b  1 2 Tử số a  b  2a  2b    2a  b  1 i u số ảo : � �a  b  2a  2b    a  1   b  1  � �� �  a; b  � 0;1 ,  2; 3 �2a  b  �0 � 2 Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn tâm I  1; 1 , bán kính , khuyết điểm  0;1  2; 3 Chọn A Bài 10: Gọi A, B, C điểm biểu diễn số phức  2i,   i    2i  , A  6i Diện tích tam giác ABC bằng: 3i B C D Lời giải Dùng máy tính Casio ta có A  1;  , B  3;1 , C  0;  uuu r uuur uuu r uuur � �với AB   2; 1;0  , AC   1;0;0  AB , AC � � Dùng máy tính ta có kết B: S  (Có thể dùng cơng thức tính diện tích phần Oxy tính nhanh hơn) Dùng công thức S  Chọn B Bài 11: Trong mặt phẳng Oxy có A  1;7  , B  5;5  biểu diễn số phức z1 z2 C biểu diễn số phức z1  z2 Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? A C có tọa độ  4;12  B OACB hình thoi uuu r C AB biểu diễn số phức z1  z2 uuu r D CB biểu diễn số phức  z1 Lời giải uuur uuu r uuu r uuur uuu r Ta có OA biểu diễn cho z1 , OB biểu diễn cho z2 nên OA  OB  BA biểu diễn cho z1  z2 Các câu lại dễ dàng kiểm tra Chọn C Bài 12: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  i  Trong mặt phẳng phức, tập hợp điểm M  x; y  biểu diễn số phức z là: 2 A Đường tròn x   y    2 B Đường tròn x  y  x  y  2 C Đường tròn x  y  y  2 D Đường tròn x  y  x  Lời giải Đặt z  x  iy � x  iy  i  � x   y  1  � x  y  y  Chọn C Bài 13: Cho A điểm biểu diễn số phức: z   2i; M , M điểm biểu diễn số phức z1 z2 Điều kiện để AM 1M cân A là: A z1  z2 B z1   2i  z2   zi C z1  z2   2i D z1   2i  z1  z2 Lời giải AM 1M cân A nên M A  M 1M hay: z1   2i  z2   2i Chọn B Bài 14: Biết điểm M  1; 2  biểu diễn số phức z mặt phẳng tọa độ phức Tính mơ đun số phức   iz  z A 26 B 25 C 24 D 23 Lời giải Vì điểm M  1; 2  biểu diễn z nên z   2i � z   2i Do đó:   i   2i     2i   2  i   3  4i    5i �   26 Chọn A Bài 15: Trong mặt phẳng phức A  4;1 , B  1;3 , C  6;0  biểu diễn số phức z1 , z2 , z3 Trọng tâm G tam giác ABC biểu diễn số phức sau đây? A  i 4 B 3  i C  i D 3  i Lời giải � � Trọng tâm tam giác ABC G �3; � � 3� Vậy G biểu diễn số phức z  3  i Chọn B Bài 16: Trong mặt phẳng phức, gọi A, B, C điểm biểu diễn số phức i,1  3i, a  5i  a �R  Biết tam giác ABC vuông B Tìm tọa độ C? A C  3;5 B C  3;5  C C  2;5  D C  2;5  Lời giải Ta có: A  0;1 , B  1;3 , C  a;5  uuu r � BA uuu r uuur �   1; 2  Tam giác ABC vuông B nên BA.BC  với �uuur �BC   a  1;  � 1 a  1   2   � a  3 Vậy C  3;5  Chọn A Bài 17: Trong mặt phẳng phức, điểm biểu diễn nghiệm phương trình  iz  1  z  3i   z   3i   điểm sau đây? A A  0; 1 ; B  0; 3 ; C  2;3 B A  1;0  ; B  3;0  ; C  2; 3 C A  0; 2  ; B  0;1 ; C  2;3 Lời giải D A  2; 2  ; B  1;1 ; C  1;0  � z   i � � iz   z  i � i � � �  iz  1  z  3i  z   3i  � �z  3i  � �z  3i � �z  3i � � � z   3i z   3i  z   3i � � � �   Vậy điểm biểu diễn nghiệm phương trình cho A  0; 1 ; B  0; 3 ; C  2;3 Chọn A Bài 18: Trong mặt phẳng phức, tập hợp điểm M biểu diễn số phức z biết z  z   4i là: x2 y A Elip   C Đường tròn x  y   x  y  25  B Parabol y  x D Đường thẳng Lời giải Đặt z  x  iy  x, y �R  M  x; y  điểm biểu diễn z 2 � �z  x  y Ta có � � �z   4i  x  iy   4i   x      y   i � z   4i   x  3    y  4 Vậy: z  z   4i � x  y   x  3    y   � x  y  25  Chọn D Bài 19: Trong mặt phẳng phức, cho M , M ' theo thứ tự điểm biểu diễn hai 2 2 z 1  i số phức z z ' : z  x  yi, z '  Tìm tập hợp điểm  E  điểm M z 1 cho: Điểm M ' nằm trục tung M ' �0 A 1 � � 1;  � , bán kính R  ngoại trừ điểm  1;0  Đường tròn tâm I � � 2�  1; 1 Đường trịn tâm I  0;1 , bán kính R  ngoại trừ điểm  1;0   1; 1 C Đường thẳng y  ngoại trừ điểm  1;0   1; 1 D Đường thẳng x  ngoại trừ điểm  1;0   1; 1 Lời giải B z   i  x  1   y  1 i  x  1  y  y  1   x  1 i   Ta có: z '  z 1  x  1  yi  x  1  y 2 Trường hợp M ' nằm trục tung M ' �0 � z ' số ảo khác � �x  y  x  y   x  1  y  y  1  �  �� �� �x �1 �x  �0 � 1� �  E  đường tròn tâm I � 1;  �bán kính R  ngoại trừ điểm  1;  � 2�  1; 1 Chọn A Bài 20: Trong mặt phẳng phức, cho M , M ' theo thứ tự điểm biểu diễn hai z 1 i số phức z z ' : z  x  yi, z '  Tìm tập hợp điểm  E  điểm M z 1 cho: Điểm M ' nằm trục hoành M ' �0 A 1 � � 1;  � , bán kính R  ngoại trừ điểm  1;0  Đường tròn tâm I � � 2�  1; 1 Đường trịn tâm I  0;1 , bán kính R  ngoại trừ điểm  1;0   1; 1 C Đường thẳng y  ngoại trừ điểm  1;0   1; 1 D Đường thẳng x  ngoại trừ điểm  1;0   1; 1 Lời giải B z   i  x  1   y  1 i  x  1  y  y  1   x  1 i   Ta có: z '  z 1  x  1  yi  x  1  y 2 Trường hợp M ' nằm trục tung M ' �0 � z ' số thực � x  1  y  y  1 �0 �  �� �x   �  E  đường thẳng x  ngoại trừ điểm  1;0   1; 1 Chọn D Bài 21: Tìm quỹ tích điểm M biểu diễn số phức w    i  z  biết số phức z thỏa mãn: z  �2  1 A Hình trịn  x  3   y   �16  x  3   y  2 2   y  Hình trịn D Hình trịn �9 C Hình tròn  x  3   y   �25  x  3 B �36 Lời giải Giả sử w  a  bi Ta có: a  bi    i  z  � z  a   bi � z   1 i  a   b  3i 1 i   a   b  3i  � �  1 ۣ 1 i   a  3 2   b  3i  2 a 3 b  16 Vậy quỹ tích điểm M biểu diễn số phức hình trịn  x  3   y   �16 2 (kể điểm nằm biên) Chọn A Bài 22: Trong mặt phẳng phức, gọi N , M , A, B theo thứ tự điểm biểu diễn số: z  x  yi; Z  X  Yi  z 1 ;1; 1 Tìm tập hợp điểm M N chạy đường z 1 tròn x  y  A Đường tròn tâm I   2;0  , bán kính R   B Đường tròn tâm I  0;1 , bán kính R  C Trục tung D Trục hoành Lời giải z 1 x2  y 1 2 y Z  X  Yi  � X  ;Y  Ta có: 2 z 1  x  1  y  x  1  y Vì N chạy đường trịn:  x  1  y  nên ta có  x  1  y  � X  Vậy tập hợp điểm M trục tung Chọn C Bài 23: Gọi M A điểm mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn số phức z  x  yi; a  10  6i Tìm tập hợp E1 điểm M cho tích z  z  a  số thực A Đường tròn tâm I   2;0  , bán kính R   2 B Đường tròn tâm I  0;1 , bán kính R  C Là hyperbol vng góc y  D Là hyperbol y  3x , x �5 x5 3x , x �5 x 5 Lời giải  x  10    y   i � Ta có: z  z  a    x  yi   x  yi  10  6i    x  yi  � � �  x  x  10   y  y     xy  10 y  x  i Tích z  z  a  số thực , x �5 x 5 Trong mặt phẳng phức, tập hợp E1 hyperbol vng góc có phương trình: 3x y , x �5 x5 � xy  10 y  x  � y  Chọn C Bài 24 : Gọi M A điểm mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn số phức z  x  yi; a  10  6i Tìm tập hợp E2 điểm M cho tích z  z  a  số ảo A Đường tròn tâm I   2;0  , bán kính R   B Đường tròn tâm I  0;1 , bán kính R  C Là hyperbol vng góc có tâm đối xứng I  5; 3 , có trục thực nằm trục Ox, độ dài trục D Là hyperbol có tâm đối xứng I  5;3 , có trục thực nằm trục Ox, độ dài trục Lời giải Tích z  z  a  số ảo � Phần thực � x  x  10   y  y    �  x  10 x    y  y   �  x  5   y  3 2  x  5  16 � 16  y  3  16 1 Trong mặt phẳng phức, tập hợp E2 hyperbol có tâm đối xứng I  5;3 , có trục thực nằm trục Ox, độ dài trục Chọn C Bài 25: Tìm tập hợp  T  điểm M mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa mãn hệ thức z  z  z A Đường tròn tâm O  0;  , bán kính R  B Đường tròn tâm I  0;1 , bán kính R  C Đường thẳng x  y 3, x   y D Đường thẳng y  x 3, y   x Lời giải Đặt z  x  yi với x, y �R Ta có z  z  z �  x  yi    x  yi   x  y � x  x  y �x  �x  �� � � 4x  x2  y �y  �x � Tập hợp điểm M mặt phẳng biểu diễn số phức z  x  yi gồm hai đường thẳng: D1 : y  x D2 : y   x Chọn D Tác giả: Đỗ Thị Hương Người duyệt: Nguyễn Văn Đằng ... vững phần số phức II MỘT SỐ BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO VỀ SỐ PHỨC CÁC BÀI TÍNH TỐN SỐ PHỨC Bài 1: Cho hai số phức z1 , z2 thảo mãn z1  z2  1; z1  z2  Tính z1  z2 A B C D Nhận xét: Bài nhìn vào... acgumen số thực tùy ý viết   cos +i sin   Cần để ý đòi hỏi r  dạng lượng giác r  cos +i sin   số phức z �0 Nhân chia số phức lượng giác Ta có cơng thức nhân chia số phức dạng đại số Sau... x1,2  -   phương trình có hai nghiệm phức x1,2  b �  2a b �i  2a Acgumen số phức z �0 Cho số phức z �0 Gọi M điểm mặt phẳng phức biểu diễn số z Số đo (radian) góc lượng giác tia đầu