MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ HÌNH HỌC HAY CÓ TRONG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CASIO

MỘT SỐ BÀI TỐN VỀ HÌNH HỌC HAY CĨ TRONG ĐỀ THI HSG CASIO A Một số công thức hay sử dụng: a) Định lý Pitago a2 = b2 + c2 b) Định lý Ceva: AM, BN, CP đồng quy MB NC PA  1 NC NA PB c) Định lý Mencleit: M, N, P thẳng hàng MB NC PA 1 NC NA PB d) Công thức lượng giác: *) Tam giác vuông: BA2=BH.BC BC2=AC2+AB2 AH2=HB.HC 1   2 AH AB AC *) Tam giác thường: - Trung tuyến: AM  - Định lý hàm số Sin: BC ( AB  AC )  a b c    2R sin A sin B sin C - Định lý hàm số Cosin: a2 =b2+c2-2bccosA 1 abc  - Diện tích: S = aha  ab sin C  pr  2 4R p( p  a)( p  b)( p  c) Chuyên trang chia sẻ tài liệu ứng dụng máy tính cầm tay - Đường phân giác: l a  2bc cos bc A *) Tam giác đều: Diện tích, chiều cao: S= a2 a ;   R 2 *) Diện tích hình quạt: S  360 e) Diện tích, thể tích: - Hình chóp: V  Bh - Hình nón: V  R h; S xq  Rl - Hình chóp cụt: V  ( B  BB '  B' )h - Hình nón cụt: V  ( R  RR ' R' )h; S xq  ( R  R' )l - Hình cầu: V  R ; S xq  4R - Hình trụ: V  R h; S xq  2Rh h - Hình chỏm cầu: V  h ( R  ); S  2Rh B Một số dạng toán: Hệ thức lượng giác tam giác VD1: Cho tam giác ABC biết AB =5dm; BC = 4dm; CA=8dm tính góc ĐS: A  24 08'49"; B  1250 5'59"; C  30 45'12" VD2: Cho tam giác ABC biết AB =5dm; AC = 4dm; góc A=46034’25” Tính chu vi ĐS: 2p  12,67466dm Tính gần diện tích đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC ĐS: S  20,10675dm2 Chuyên trang chia sẻ tài liệu ứng dụng máy tính cầm tay VD3: Cho tam giác ABC biết AB =6dm; góc A=84013’38”;B=34051’33” Tính diện tích tam giác ĐS: S  20,49315dm2 VD4: Tính diện tích tam giác ABC biết A(8; -3); B(-5; 2); C(5; 7) Tính diện tích tam giác ĐS: S = 75,7 ĐVDT VD5: Tính diện tích tứ giác ABCD biết A(-3; 4); B(2; 3); C( ;5); D(-4;-3) S  37,46858 ĐVDT VD6: Tính gần diện tích chu vi đa giác 50 cạnh nội tiếp đường trịn bán kính 1dm ĐS: S  3,13333 dm2 C  6,27905dm VD7: Cho tam giác ABC có AB = cm; BC = cm; CA = cm Vẽ đường cao AA’; BB’; CC’ Tính diện tích tam giác A’B’C’ HD: S'  1-(cos2A+cos2B+cos2C)=2cosAcosBcosC = 1,9441cm2 S Hệ thức lượng đường tròn VD: Hai dây cung AB CD cắt I nằm đường trịn (O) Tính IA, IB biết IC = 15, 3cm; ID = 17,5 cm; AB = 34,7cm IA.IB  IC.ID IA  11,6cm   IA  IB  AB IB  23,1cm HD:  Đường thẳng: VD: D1: 2x -3y-1=0 D2: 5x-2y+4 =0 Tìm giao góc đường thẳng ĐS: (-14/11; -13/11) cos(D1; D2) = 34030’30” Một số toán tam giác VD1 Chuyên trang chia sẻ tài liệu ứng dụng máy tính cầm tay Chuyên trang chia sẻ tài liệu ứng dụng máy tính cầm tay VD2: Từ đỉnh B hình bình hành ABCD kẻ đường cao BK, BI vng góc với CD AD Gọi H trực tâm tam giác BIK Tính BH biết BD = 17 cm; IK = 15 cm Chuyên trang chia sẻ tài liệu ứng dụng máy tính cầm tay VD3: Cho hình vng ABCD nội tiếp (O,12) Một điểm M thuộc (O) Tính xác đến chữ số thập phân Chuyên trang chia sẻ tài liệu ứng dụng máy tính cầm tay VD4: Cho tam giác PQR, gọi S điểm thuộc cạnh QR, U điểm thuộc cạnh PR, giao điểm PS QU T Cho biết PT = TS , QS = RS diện tích tam giác PQR 150 Tính diện tích tam giác PSU Giải S(PSR)=S(PQR)/3=50 Vẽ SK (khơng có hình) song song với QU (K thuộc PR) =>RK=RU/3, PU=PK => PU=2/5*PR =>S(PSU)=2/5*S(PSR)=20 (dvdt) B Một số toán Đa giác hình trịn Bài 5.1 (Sở GD & ĐT Đồng Nai, 1998, vòng Tỉnh, cấp PTTH & PTCS) A C O Chuyên trang chia sẻ tài liệu ứng dụng máy tính cầm tay D E Một ngơi năm cánh có khoảng cách hai đỉnh khơng liên tiếp 9,651 cm Tìm bán kính đường trịn ngoại tiếp (qua đỉnh) Giải: Ta có cơng thức tính khoảng cách hai đỉnh khơng kề ngơi năm cánh (hình vẽ): AC  d  R cos18o  R 10  Công thức cos18o  Công thức d  2R cos18o hiển nhiên 10  chứng minh sau: Ta có:  sin 18o  cos2 18o   cos36o  sin 54o  3sin18o  4sin 18o   2 hay 4sin3 18o  2sin 18o  3sin18o   Suy sin18o nghiệm phương trình: Vậy sin18o  hay cos18o  1  4 x3  x2  3x   ( x  1)(4 x2  x  1)   10  )  16 Từ ta có: cos2 18o   sin 18o   ( 10  10   16 Suy d  2R cos18o  R 10  R  d 2d  o 2cos18 10  Cách giải 1: 9.651   18 o,,, cos  (5.073830963) Cách giải 2:  9.651  [( [( 10   )]  (5.073830963) Đáp số: 5,073830963 Bài 5.2 (Sở GD & ĐT TP Hồ Chí Minh, 1996, vịng 1) Tính khoảng cách hai đỉnh không liên tiếp cánh nội tiếp đường trịn bán kính R  5,712cm Cách giải 1: Ta có cơng thức tính khoảng cách hai đỉnh không kề năm cánh (xem hình vẽ chứng minh 5.1): d  R cos18o  R 10  Chuyên trang chia sẻ tài liệu ứng dụng máy tính cầm tay Tính: MODE  5.712  18 o,,, cos  (10.86486964) Cách giải 2: 10      5.712    (10,86486964) Đáp số: 10,86486964 Bài 5.3 Cho đường trịn tâm O , bán kính R  11, 25 cm Trên đường tròn cho, đặt cung AB  90o , BC  120o cho A C nằm phía BO A a) Tính cạnh đường AH tam giác ABC C B H b) Tính diện tích tam giác ABC O Giải: a) Theo hình vẽ: sđ AC = sđ BC - sđ AB = 1200 - 900 = 300 Tính góc nội tiếp ta được: ABC = 150; ACB = 450 Suy ra: BAC = 1200; CAH = 450; BAH = 750 Ta có: AB  R ; BC  R Vì  AHC vng cân, nên AH  HC (đặt AH  x ) Theo định lí Pitago ta có: AH  AB2  HB2 Do đó: x2   R  x    R  hay x2  2R 3x  R2  Suy ra: x1  R 3R R 3R R 3R ; x2  Vì AH  AC  R , nên nghiệm x2  bị loại 2 Suy ra: AC  AH  R(  1) Gọi diện tích ABC S , ta có: S 1 R 3R R (3  3) AH  BC   R  2 Ấn phím: 11.25 Min   MODE (15.91) Vậy AB  15,91 cm Chuyên trang chia sẻ tài liệu ứng dụng máy tính cầm tay Ấn tiếp phím: MR   Kết quả:19.49 Ấn phím: MR  [(    Ấn tiếp phím: MR  [( Vậy: BC  19, 49 cm  (5.82) Vậy AC  5,82 cm     (4.12) Ấn tiếp phím: MR SHIFT x  [(  Vậy: AH  4,12 cm    Kết quả: S  40,12 cm2 Bài 5.4 (Thi trắc nghiệm học sinh giỏi tốn tồn nước Mỹ, 1972) Cho hình vng ABCD cạnh 12 Vẽ đoạn AE với E điểm cạnh CD DE  cm Trung trực AE cắt AE, AD BC M , P Q Tỷ số độ dài đoạn PM MQ là: (A) 5:12; (B) 5:13; (C) 5:19; (D) 1:4; (E) 5:21 Giải: Vẽ RS qua M song song với cạnh AB,CD Ta có: MP  MR Vì RM đường trung bình tam giác ADE nên MR  DE MQ Mà: Vậy: MS MS  RS  MR DE MP MR   MQ MS RS  DE Áp dụng số với ab / c  Min  [( AB = a) Tứ giác 600, ABCD C P DE  cm, RS  12 cm : 12  ( MR = 19 BC = 900, CD M R S ) Q Đáp số Bài 5.5 Trên đường trịn tâm O, bán kính liên tiếp: E D A B R  15, 25 cm , người ta đặt cung = 1200 A hình gì? 60° B b) Chứng minh AC  BD c) Tính cạnh đường chéo theo R E ABCD xác đến 0,01 Suy ra: AD = BC , ABD = BDC = 450 (vì C D d) Tính diện tích tứ giác ABCD Giải: a) sđ AD = 3600 - (sđ AB +sđ BC +sđ CD ) = 3600 - (600 + 900 + 1200) = 900 120° 900 ) Chuyên trang chia sẻ tài liệu ứng dụng máy tính cầm tay 10 Từ ta có: Mặt khác, b) Vì AB // CD Vậy ADB = BCD ABD = BAC = ABCD hình thang 600 +900 ).Vậy ABCD 90 ) (cùng 450 (vì hình thang cân (đpcm) Suy AEB = 900, AC  BD (đpcm) c) Theo cách tính cạnh tam giác đều, tứ giác đều, lục giác nội tiếp đường tròn bán kính R , ta có: AB  R ; AD  BC  R ; DC  R Các tamgiác AEB, CED vuông cân, suy Vậy: AE  R , CE  R 2 Suy AE  AC  AE  EC  AB , CE  RR  CD R(1  3) R (1  3)2 R (1  3)2 R(1  3)  [ ] 2 d) S ABCD  AC  DB  AC   Tính: MR  [(     SHIFT x MODE (433.97) Vậy S ABCD  433,97 cm2 Ấn tiếp: 15.25 Min   Kết quả: 21.57 Vậy AD  BC  21,57 cm Ấn tiếp phím: MR   (26.41) Vậy: CD  26, 41 cm Ấn tiếp phím: MR  [(     (29.46) Vậy AC  BD  29,46 cm Bài 5.6 Cho đường trịn tâm O , bán kính R  3,15 cm Từ điểm A ngồi đường trịn vẽ hai tiếp tuyến AB AC ( B , C hai tiếp điểm thuộc ( O )) Tính diện tích phần mặt phẳng giới hạn hai tiếp tuyến cung tròn nhỏ BC biết AO  a  7,85 cm (chính xác đến 0,01 cm) B OB R 3,15   Giải: Ta có: cos   OA a 7,85 a O S ABOC  2S AOB  a.R.sin  ; S quạt OBC   R 2 360   R 2 180 A C Chuyên trang chia sẻ tài liệu ứng dụng máy tính cầm tay 11 S gạch xọc= S ABOC - S quạt OBC  aR sin    R 2 180 Tính máy: 3.15  7.85  SHIFT cos-1 SHIFT ,,, Min sin  7.85  3.15  SHIFT   3.15 SHIFT x  MR  180  (11.16) Đáp số: S gạch xọc = 11,16 cm2 A N B Bài 5.7 Tính diện tích hình có cạnh cong (hình gạch sọc) theo cạnh hình vng a = 5,35 M P xác đến 0,0001cm D C Q Giải: Diện tích hình gạch xọc MNPQ (SMNPQ) diện tích hình vng ABCD (SABCD) trừ lần diện tích SMNPQ  a   R2  a2   a2  a hình trịn bán kính R  a (4   ) 5,352 (4   )  4 Ấn phím: 5.35 SHIFT x  [(      MODE (6.14) Kết luận: SMNPQ  6,14 cm2 Bài 5.8 Tính diện tích phần hình phẳng (phần gạch xọc) giới hạn cung tròn cạnh tam giác ABC (xem hình vẽ), biết: AB  BC  CA  a  5,75 cm Giải: R  OA  OI  IA  2 a AH   3 Suy ra: R  a 3 A AOI  600 Diện tích hình gạch xọc diện tích O I tam giác ABC trừ diện tích hình hoa (gồm hình viên phân có bán kính R góc tâm 600) B SABC  a2 ; H C SO1 AI  R2  a  a2       4 12   Chuyên trang chia sẻ tài liệu ứng dụng máy tính cầm tay 12 Diện tích viên phân:  R2  R2 R2    R (2  3)       12 Tính theo a, diện tích viên phân bằng: S gạch xọc  a (2  3) ; 36 5, 752 (9  4 ) a2 a (2  3) a (9  4 )   6  S ; gạch xọc 12 36 12 Bấm tiếp: 5,75 SHIFT Kết quả: S gạch xọc x  [( 9  SHIFT  4 )]  12   8,33 cm Bài 5.9 Viên gạch cạnh a  30 cm có hoa văn hình vẽ a) Tính diện tích phần gạch xọc hình cho, xác đến 0,01 cm b) Tính tỉ số phần trăm diện tích N phần gạch xọc diện tích viên gạch A Giải: a) Gọi R bán kính hình trịn Diện tích S hình viên phân bằng: S  R2  B M R2 R2 a2    2     16 a2    a    a     a2   2 P Vậy diện tích hình gồm viên phân Diện tích phần gạch xọc bằng: Q C Tính máy: 30 SHIFT x Min  [(  SHIFT  )]   MODE (386.28) Vậy S gạch xọc  386,28 cm Ấn phím tiếp:  MR SHIFT % (42.92) Tỉ số diện tích phần gạch xọc diện tích viên gạch 42,92% Đáp số: 386,28 cm2; 42,92 % Bài 5.10 Nhân dịp kỷ niệm 990 năm Thăng Long, người ta cho lát lại đường ven hồ Hồn Kiếm viên gạch hình lục giác Dưới viên gạch lục giác có mầu (các hình trịn F mầu, phần cịn lại mầu khác) Chuyên trang chia sẻ tài liệu ứng dụng máy tính cầm tay A B R O 13 Hãy tính diện tích phần gạch mầu tỉ số diện tích hai phần đó, biết AB  a  15 cm a a  Giải: Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác là: R   Diện tích hình trịn là:  R   a2 12 Diện tích hình trịn là:  a2 Tính máy: 15 SHIFT x     Min (353.4291) Diện tích tồn viên gạch là: Diện tích phần gạch xọc là: 6 a 3a  3a  a  2 Bấm tiếp phím:  15 SHIFT x     MR  (231.13797) Ấn tiếp phím:  MR SHIFT % Kết quả: 65.40 Đáp số: 353,42 cm2 (6 hình trịn); 231,14 cm2 (phần gạch xọc); 65,40 % Bài 5.11 Viên gạch hình lục giác ABCDEF có hoa văn hình hình vẽ, đỉnh hình M , N , P, Q, R, S trung điểm cạnh lục giác Viên gạch tô hai mầu (mầu hình mầu phần cịn lại) Biết cạnh lục giác a = 16,5 cm Tính diện tích phần (chính xác đến 0,01) Tính tỉ số phần trăm hai diện tích A Giải: Diện tích lục giác ABCDEF bằng: S1=6  a 3a = a Lục giác nhỏ có cạnh b  , M B S F N C O R P cánh tam giác a có cạnh b  Từ suy ra: Chuyên trang chia sẻ tài liệu ứng dụng máy tính cầm tay Q D 14 Diện tích lục giác cạnh b S2 bằng: S2 = Diện tích tam giác cạnh b S3:     MODE 3b 3a = S3 = 3a Tính máy:  16.5 SHIFT x 2 (353.66) Min Ấn tiếp phím:  16,5 SHIFT x     MR  (353.66) Ấn tiếp phím:  MR SHIFT % Kết quả: 100 Vậy diện tích hai phần Lời bình: Có thể chứng minh phần có 12 tam giác nhau, diện tích hai phần Từ cần tính diện tích lục giác chia đơi Bài 5.12 Cho lục giác cấp ABCDEF có cạnh AB  a  36 mm Từ trung điểm cạnh dựng lục giác A ' B ' C ' D ' E ' F ' hình cánh có đỉnh trung điểm A ', B ', C ', D ', E ', F ' (xem hình vẽ) Phần trung tâm hình lục giác cấp MNPQRS Với lục giác ta lại làm tương tự lục giác ban đầu ABCDEF hình lục giác cấp Đối với lục giác cấp 3, ta lại làm tương tự lục giác cấp Đến ta dừng lại Các cánh hình tơ mầu (gạch xọc), cịn hình thoi hình chia thành tam giác tơ hai mầu: mầu gạch xọc mầu "trắng" Riêng lục giác cấp tô mầu trắng a) Tính diện tích phần tơ mầu "trắng" theo a A' A b) Tính tỉ số phần trăm diện tích phần "trắng" M F' B N B' diện tích hình lục giác ban đầu Giải: a) Chia lục giác thành F P S tam giác có cạnh a đường chéo qua đỉnh đối xứng qua tâm, từ ta có S =  R E' E C' Q D' C D a2 3a = Chia lục giác ABCDEF thành Chuyên trang chia sẻ tài liệu ứng dụng máy tính cầm tay 15 24 tam giác có cạnh a a Mỗi tam giác cạnh có diện tích diện tích tam giác "trắng" A ' NB ' (xem 2  diện tích lục giác cấp hình vẽ) Suy diện tích tam giác trắng vịng ngồi 24 ABCDEF 3a  Vậy diện tích tam giác trắng vịng ngồi là: a (1) b b) Tương tự với cách tính ta có: MN  b  ; c  3b (2) Diện tích tam giác trắng lục giác cấp MNPQRS là:  Diện tích tam giác trắng lục giác cấp là: 3c  (3) 3d c Diện tích lục giác trắng (với d  ): (4) Tóm lại ta có: 3a 3a = ; 2 S1 =  S3 = S2 = 3b 3a 3a  =  = ; 4 22 25 3d 3c 3a 3a 3a 3a  =  = ; S = = = 2 4  42 27  82 27 Strắng =S1+S2+S3+S4 = 3a ( 1   23 25 27 Ấn phím:  36 SHIFT x  )= 3a 24  22  26   MODE (3367.11) Min Vậy SABCDEF = 3367,11 mm2 Ấn tiếp phím: SHIFT x y  SHIFT x    SHIFT xy  MR  (1157.44) Vậy Strắng  1157,44 mm2 Ấn tiếp phím:  MR SHIFT % (34.38) Vậy Strang SABCDEF  34,38% Đáp số: 1157,44 mm2 34,38% Chuyên trang chia sẻ tài liệu ứng dụng máy tính cầm tay 16 Bài 5.13 Cho hình vng cấp ABCD với độ dài cạnh AB  a  40 cm Lấy A, B, C, D làm tâm, thứ tự vẽ cung trịn bán kính a, bốn cung trịn cắt M , N , P, Q Tứ giác MNPQ hình vng, gọi hình vng cấp Tương tự trên, lấy M , N , P, Q làm tâm vẽ cung tròn bán kính MN , giao điểm hình vng cấp E, F , G, H Tương tự làm tiếp hình vng cấp XYZT dừng lại (xem hình vẽ) a) Tính diện tích phần hình khơng bị tơ mầu (phần để trắng theo a) b) Tìm tỉ số phần trăm hai diện tích tơ mầu khơng tơ mầu Giải: a) Tính diện tích cánh hoa trắng cấp (bằng viên phân trừ lần diện tích hình vng cấp 2) S1 =   a2 a2 -  2b2 ( b cạnh hình vng cấp 2) Tương tự, tính diện tích cánh hoa trắng cấp cấp 3: S2  4( S3  (  b2 b2 -  c2 c2 - 2 )  2c ( c cạnh hình vuông cấp 3) )  2d ( d cạnh hình vng cấp 4) Rút gọn: S1 = a2(  - 2) - 2b2; S2 = b2(  - 2) - 2c2; + b2 + c2)-4(b2 + c2)-2 (a2 + d2) S3 = c2(  - 2) - 2d2 ; Strắng=S1+S2+S3 =  (a2 b) Ta có: MCQ = 300; b = QM = 2MK = 2a.sin150 = a(2sin150) Tương tự: c = 2b.sin150 = a(2sin150)2; d = 2c.sin150 = a(2sin150)3 Ký hiệu x = 2sin150, ta có: b = a.x; c = ax2; d = ax3 Thay vào cơng thức tính diện tích Strắng ta được: Chun trang chia sẻ tài liệu ứng dụng máy tính cầm tay 17 Strắng =  (a2 + a2 x2 + a2 x4) - 4(a2 x2 + a2 x4) - 2(a2 + a2 x6) =  a (1 + x2 + x4) - 4a2(x2 + x4) - 2a2(1 + x6) Ấn phím: 15 o,,, sin   Min SHIFT x y  MR SHIFT x    SHIFT   40 SHIFT x   40 SHIFT x  y [( MR SHIFT x  MR SHIFT x [( )]   40 SHIFT x   MR SHIFT x y  MODE (1298.36) Min Vậy Strắng  1298,36 cm2 Bấm tiếp phím: 40 SHIFT x  MR  (301.64) Vậy Sgạch xọc  301,64 cm2 Bấm tiếp phím:  MR SHIFT % (23.23) Vậy Sgach xoc Strang  23,23% Đáp số: 1298,36 cm2; 23,23% Bài 5.14 Cho tam giác ABC có cạnh a  33,33 cm tâm O Vẽ cung tròn qua hai đỉnh trọng tâm O tam giác hình Gọi A ', B ', C ' trung điểm A cạnh BC, CA AB Ta lại vẽ cung tròn qua hai trung điểm điểm O, ta hình nhỏ B' a) Tính diện tích phần cắt bỏ (hình gạch xọc) O tam giác ABC để hình cịn lại b) Tính tỉ số phần trăm phần B c A' cắt bỏ diện tích tam giác ABC Giải: A ' B ' C' tam giác Chuyên trang chia sẻ tài liệu ứng dụng máy tính cầm tay 18 nhận O làm tâm (vì AA ', BB ', CC ' đường cao, đường trung tuyến  A ' B ' C' ) có điểm chung O, nghĩa khơng có phần diện tích chung Mỗi viên phân có góc tâm 600, bán kính đường cao tam giác Gọi S1 diện tích viên phân Khi S1 =  OA2 OA2 - Ta có: OA  = OA2 (2  -3 ) 12 a a = 3 Gọi S diện tích lớn, S' diện tích nhỏ Khi ấy: S =6S1 = OA2 a2 (2  -3 )= (2  -3 ) Gọi cạnh tam giác A ' B ' C' b, tương tự ta có: S'= a2 b2 (2  -3 ) = (2  -3 ) 24 2 24 a a Tổng diện tích là: S + S' = (2  -3 )(  ) Diện tích phần gạch xọc (phần cắt bỏ) S'' S''= SABC -(S + S')= a2 a2 a2   )a - (2  -3 )(  )  ( 24 12 Tính SABC : 33.33 SHIFT x  Tính S'' :     12     (481.0290040) Min   33.33 SHIFT x  (229.4513446) Vậy S''  229,45 cm2 Ấn tiếp phím để tính S'' :  MR SHIFT % Kết quả: 47.70 SABC Đáp số: S''  229,45 cm2; S''  47,70 % SABC Chuyên trang chia sẻ tài liệu ứng dụng máy tính cầm tay 19