MỘT SỐ BÀI TOÁN LƯỢNG GIÁC

MỘT SỐ BÀI TỐN LƯỢNG GIÁC DẠNG 1: Phương trình bậc sinx cosx: 2 Pt có dạng : asinx + bcosx = c ( a + b ≠ ) Phương pháp chung để giải phương trình dạng chia vế phương trình cho a + b ,sau dùng cơng thức cộng biến đổi phương trình dạng c a b sin ( x + α ) = cos α = ,sin α = , ( với ) Điều kiện a + b2 a + b2 a + b2 để phương trình có nghiệm : a + b ≥ c Giải phương trình sau: 1) sin x + cos x = 2sin x 2) ( sin x + cos3 x ) = sin x − cos x 3) cos5 x − 2sin x cos x − sin x = (1 − 2sin x)cos x 4) = (1 + 2sin x)(1 − sin x) 5)sin x + cos3 x + = −1 sin x + 3cos3 x − 6)3sin 2 x − cos 2 x + 2cos x + sin x cos x = ( 7)2sin x + sin x cos x + = cos x + sin x ) 8)sin x − cos3 x = sin x cos x − sin x cos x 9)sin x + cos x sin x + cos3 x = 2(cos x + sin x) cos x − sin x 10) = 2cos 2 x + sin x − 11)2cos3 x.cos x + ( + sin x ) 12)2cos6 x + 2cos x − cos x = sin x + HƯỚNG DẪN + Gợi ý cách giải Chia vế phương trình cho TÓM TẮT LỜI GIẢI - ĐÁP SỐ 1) sin x + cos x = 2sin x + Kinh nghiệm giảng dạy Vì hệ số sin3x nên ta đưa pt cho dạng π  ⇔ sin  x + ÷ = sin 3x 6  π  x =  12 − kπ ⇔ ( k ,l ∈ Z ) π π x = +l  24 2) ( sin x + cos3x ) = sin x − cos x + Gợi ý cách giải Chia vế pt cho 2, đưa pt dạng π  π π  x = + k 2π  sin(3 x − ) = sin  x + ÷ 6 ⇔ (k , l ∈ Z )  π π x = + Kinh nghiệm giảng dạy +l  30  Nhận thấy pt chứa số hạng bậc sin cosin cung 2x 3x nên gợi ý học sinh nhóm số hạng có cung vế +Gợi ý cách giải 3) cos5 x − 2sin x cos x − sin x = Biến đổi sin3x.cos2x thành tổng đưa π π  x = −k  PT dạng 18 ⇔ ( k,l ∈ Z ) π π cos5x-sin5x=2sinx x = − − l  Chia vế pt cho2 + Kinh nghiệm giảng dạy Nhận thấy pt chứa số hạng bậc sin cosin ý 2x +3x = 5x + Gợi ý cách giải Biến đổi: 2cosxsinx=sin2x, sin x = (1 − 2sin x)cos x = (1 + 2sin x)(1 − sin x) Điều kiện: π  x ≠ + k 2π   π   x ≠ − + l 2π ( k , l , m ∈ Z )  7π  x ≠ + m2π  4) − cos2 x đưa phương trình dạng sin2x+ cos2x =cosx- sinx Giải tương tự + Kinh nghiệm giảng dạy -Học sinh lúng túng thấy pt tương đối phức tạp, khơng tìm lời ( PT ⇔ cos x − sin x = − 2sin x + sin x ) giải, giáo viên gợi ý em đưa theo cung 2x - Các em qn đặt điều kiện, khơng biết kết luận nghiệm phương trình Giáo viên cần hướng dẫn em biểu diễn tập hợp nghiệm đường tròn lượng giác + Gợi ý cách giải Đặt t = sin 3x + cos3x − 2, t ≠ t ∈ [ −4;0 ) t = −1 Ta được:  t = −2 PT cho tương đương: sin x + cos3 x =  sin x + cos3 x = + Kinh nghiệm giảng dạy -Học sinh qui đồng bỏ mẫu làm cho toán phức tạp Giáo viên cần gợi ý em đặt ẩn số phụ - Hướng dẫn em đặt điều kiện nhận nghiệm từ ẩn số t để toán đở phức tạp +Gợi ý cách giải Biến đổi 2sinxcosx=sin2x 2cos x − = cos x ( sin x) = 3sin 2 x Ta có: 3sin 2 x − cos 2 x = ( )( sin x − cos x sin x + cos x ) +Kinh nghiệm giảng dạy Có thể em khơng tìm lời giải khơng biết đưa pt tích Giáo viên gợi ý em nhóm số hạng áp dụng đẳng thức cho xuất nhân tử chung ⇔ x=− π 2π +k ( k∈Z) 18 5)sin x + cos3 x + = −1 sin x + 3cos3x − π 2π  x = − + k  18 ⇔ ( k,l ∈ Z ) π π x = − + l  6)3sin 2 x − cos 2 x + 2cos x + sin x cos x = ⇔ ( sin x + cos x )( ) sin x − cos x + = π π  x = − + k  12  ⇔  x = lπ ( k ,l, m ∈ Z )  2π + mπ x =  + Gợi ý cách giải Biến đổi : = sin x + cos x 3sin x + sin x cos x + cos x = ( sin x + cos x ) Đặt sin x + cos x làm thừa số chung + Kinh nghiệm giảng dạy Tương tự + gợi ý cách giải Nhóm số hạng đặt thừa số chung cho xuất thừa số : cos x − sin x = cos x + Kinh nghiệm giảng dạy Gợi ý cho HS đưa pt tích Học sinh đưa pt theo tanx + gợi ý cách giải Biến đổi sin x − 2sin x = sin x ( − 2sin x ) = sin x cos x + Kinh nghiệm giảng dạy Nhận thấy có cos3x nên cần biến đổi số hạng lại theo sin3x ý áp dụng công thức cộng ( 7)2sin x + sin x cos x + = cos x + sin x ) cos x + sin x = ⇔ cos x + sin x = 3( ptvn) π ⇔ x = − + kπ , ( k ∈ Z ) 8)sin x − cos x = sin x cos x − sin x cos x ( ) ⇔ cos x sin x + cos x = π π  x = + k  ⇔ ( k,l ∈ Z ) π  x = − + lπ  9)sin x + cos x sin x + cos3x = 2(cos x + sin x) ⇔ sin x cos x + cos x sin x + cos3 x = 2cos x π  ⇔ cos  x − ÷ = cos x 6  π  x = − + k 2π  ⇔ ( k,l ∈ Z )  x = π + l 2π  42 + Gợi ý cách giải cos x − sin x 10) = Biến đổi: 2cos x − = cos x 2cos 2 x + sin x − + Kinh nghiệm giảng dạy sin x ≠  - Nhận thấy pt có chứa số hạng bậc ĐK:  sin côsin cung 2x sin x ≠ −  4x nên gợi ý học sinh nhóm số hạng có cung vế PT ⇔ cos x − sin x = cos x + sin x -Học sinh đặt điều kiện mẫu thức khác không, nhiên việc nhận nghiệm pt tương đối khó π + kπ Khơng thỏa điều kiện phương trình -Chú ý nghiệm x = + Gợi ý cách giải Biến đổi: π π   *2cos  x + ÷ = + cos  x + ÷ 4 2   = − sin x *2cos3x.cosx = cos4x + cos2x +Kinh nghiệm giảng dạy Thông thường cung có chứa số π hướng dẫn hs dùng công thức biến đổi làm số π +Gợi ý cách giải Biến đổi: *2cos6x + 2cos4x = cos5x.cosx *sin2x = 2sinxcosx * cos x + = 2cos x Đặt cosx làm thừa số chung + Kinh nghiệm giảng dạy -Học sinh khơng giải khơng đặt cosx làm nhân tử chung - Giáo viên gợi ý hs nhóm số hạng có chứa dể thấy cách giải π π   ⇔ cos  x + ÷ = cos  x − ÷ 3 6   π  x = + kπ  ⇔ ( k,l ∈ z ) π π x = − + l  36 11) 2cos3 x.cos x + ( + sin x ) = π  = cos  x + ÷ 4  π π   ⇔ sin  x − ÷ = − sin  x + ÷ 6 6   π π  x = − + k  18 ⇔ ( k,l ∈ Z )  x = π + lπ  12) 2cos6 x + 2cos x − cos x = sin x + cos x = ⇔ sin x + cos x = 2cos5 x π π   x = − 24 + k  π 2π ⇔ x = +l ( k ,l, m ∈ Z )  36  π  x = + mπ  DẠNG 2: Phương trình bậc 2, bậc hàm số lượng giác Phương pháp chung dùng công thức biến đổi lượng giác đưa phương trình theo hàm số lượng giác có cung Giải phương trình sau: 2) tan x − + =0 1) 6sin23x + cos12x = cos x 1 4x + = 4)cos = cos x cos x sin x sin x 6x 8x 5)2cos + = 3cos 6) sin4x+cos4x=cos4x 5 17 8 6 8 cos 2 x 7) sin x + cos x = 8) cos x + sin x = 2(cos x + sin x ) 16 cos3 x + cos x − 9) cos x − tan x = \ cos x π 2π  − sin x   10)sin  x + ÷+ sin  x + ÷= 3     π  π  sin  x − ÷+ cos  − x ÷ x  6  3  11) −  cos x + sin x.tan ÷ = cos x  2 cos x 17π  π   2 x 12)sin  x + ÷+ 16 = sin x.cos x + 20sin  + ÷    12  13) 6tanx+5cot3x = tan2x sin x + cos x 14) = cos 4 x π  π  tan  − x ÷.tan  + x ÷ 4  4  15)cos5 x + sin x + ( cos3 x + sin x ) sin x = sin x + cos x + 2sin x 16) + − = ( cot x + 1) cos x sin x π ( + sin x + cos x ) sin  x + ÷ 4  17) = cos x + tan x 3) HƯỚNG DẪN +Gợi ý cách giải Biến đổi: − cos6 x *sin x = *cos12 x = 2cos x − TÓM TẮT LỜI GIẢI-ĐÁP SỐ 1) 6sin23x + cos12x = 2cos x − 3cos6 x + = cos x = ⇔ cos x =  + Kinh nghiệm giảng dạy Cung 3x 12x đưa theo cung 6x π  x = k   π π ⇔ x = + l ( k , l, m ∈ Z )  18  x = − π + m π  18 2) tan x − + =0 cos x π ĐK: x ≠ + kπ , k ∈ Z PT ⇔ cos x = π  x = + k 2π  ⇔ ( k,l ∈ Z ) π  x = − + l 2π  +Gợi ý cách giải Biến đổi: tan x = −1 cos x Đặt : t= cos x + Kinh nghiệm giảng dạy -Học sinh thường đưa tanx theo sinx cosx nhiên em nên đưa theo cosx tốn đơn giản - Có thể cần đặt ĐK cos x ≠ nhận nghiêm từ chỗ +Gợi ý cách giải 1 3) + = Chú ý: cos x sin x sin x sin4x=2sin2x.cos2x = ĐK: sin x ≠ 4sinx.cosx.cos2x PT ⇔ 2sin x.cos x + cos x = Chọn mẫu thức chung sin4x ⇔ 2sin3 x + sin2 x − sin x = Sau đưa phương trình theo  sinx sin x = (loại ) + Kinh nghiệm giảng dạy  - Có thể hs chọn MTC tích ⇔ sin x = −1 ( loaïi )  MT dẫn đến toán phức sin x = tạp  - Giáo viên cần hướng dẫn hs  π phân tích mẫu thức để thấy x = + l 2π  sin4x chứa thừa số MT ⇔ ( l,m∈ Z) lại, đồng thời việc đặt ĐK  x = 5π + m2π nhận nghiệm đơn giản  +Gợi ý cách giải Biến đổi: + cos x *cos x =  2x  *cos x = cos3  ÷   2x 2x = 4cos − 3cos 3 4x  2x  *cos = cos  ÷    2x  = 2cos  ÷−   Đưa phương trình theo cos 4)cos 2x 4x = cos x   x = k 3π  2x  cos =  x = π + l 3π     2x π  ⇔ cos = ⇔  x = − + m3π    5π 2x  x= + n3π cos = −     x = − 5π + h3π  π π ⇔ x = + t ,(t ∈ Z ) + Kinh nghiệm giảng dạy Sau biến đổi + cos x cos x = , giáo viên gợi ý hs dùng công thức biến đổi 4x đưa 2x theo cung + Gợi ý cách giải Biến đổi: 5) 2cos ⇔ + cos 6x 8x + = 3cos 5 12 x 8x = 3cos 5 4x  cos =1   x + 21  ⇔ cos = ( ptvn)  x − 21  cos =  6x 12 x = + cos 5 12 x  4x  *cos = cos3  ÷   *2cos  4x   4x  = 4cos  ÷− 3cos  ÷     8x  4x  cos = cos  ÷    4x  = 2cos  ÷−   Đưa phương trình theo cos 4x + Kinh nghiệm giảng dạy Tương tự + Gợi ý cách giải sin x + cos x = − sin 2 x 2 cos x = − 2sin x Đưa phương trình theo sin2x + Kinh nghiệm giảng dạy Học sinh cần nắm công thức sin x + cos x = − sin 2 x Để dể tìm thấy lời giải tốn + Gợi ý cách giải *cos 2 x = − sin 2 x k 5π  x =  − 21  ⇔  x = arccos + l 2π ( k , l , m ∈ Z ) 4  − 21   x = − arccos + m2π 6) sin4x + cos4x = cos4x ⇔ sin x = ⇔ x = k 7) sin x + cos x =  17 cos 2 x 16 sin x = *sin x + cos x = sin x − sin 2 x + ⇔   π ,k ∈Z Đặt t = sin 2 x ,(0 ≤ t ≤ 1) + Kinh nghiệm giảng dạy Tương tự sin x = −1( ptvn ) π π ⇔ x = + k ( k ∈Z) + Gợi ý cách giải *2sin x − sin x = sin x ( 2sin x − 1) = − sin x.cos x *2cos8 x − cos x = cos6 x ( 2cos x − 1) 8) cos x + sin x = 2(cos x + sin x ) 6 8 ⇔ cos x ( cos x − sin x ) = cos x = ⇔ 6 cos x = sin x π π ⇔ x = + k ,( k ∈ Z ) = cos x.cos x Có thể đưa phương trình theo sin2x + Kinh nghiệm giảng dạy -Có thể đưa phương trình theo sin2x - Hướng dẫn hs dùng đường tròn lượng giác để thu gọn nghiệm + Gợi ý cách giải cos3 x + cos x − 9) cos x − tan x = *cos x = 2cos x − cos x π ĐK; x ≠ + kπ , k ∈ Z *tan x = −1 2 cos x + Kinh nghiệm giảng dạy cos x = - Có thể đặt điều kiện cos x ≠ pt ⇔  cos x = − nhận nghiệm từ ĐK    x = k 2π  2π 2π ⇔ x = + l 2π ⇔ x = k ( k ∈Z )  3  2π x = − + m2π  + Kinh nghiệm giảng dạy Vì cos x − có chứa thừa số cosx -1 nên ta biến đổi số hạng lại theo cosx - + Gợi ý cách giải Biến đổi: cos x = − sin x = ( + sin x ) ( − sin x ) + Kinh nghiệm giảng dạy Sau bỏ mẫu thức học sinh nhân phân phối thừa số dẫn đến toán phức tạp, giáo viên gợi ý hs biến đổi số hạng làm xuất thừa số giống + Gợi ý cách giải Đặt 1+tanx làm thừa số chung + Kinh nghiệm giảng dạy Không nên biến đổi tanx theo sinx cosx toán phức tạp  x = k 2π  π  x = + lπ  ⇔ ( k , l , m, n ∈ Z ) π 2−  x = − + arcsin + m2π   3π 2−  x = − arcsin + n2π  cos x ( cos x − 1) 13) = ( + sin x ) sin x + cos x ĐK: sin x + cos x ≠ PT ⇔ ( + sin x ) ( + cos x ) = π  x = − + k 2π ⇔ ( k,l ∈ Z )   x = π + l 2π 14) (1+tanx)(1+ sin2x) = 1+ tanx π ĐK: x ≠ + kπ , k ∈ Z  tan x = −1 Pt ⇔  sin x = π  x = − + kπ ⇔ ( k,l ∈ Z )   x = lπ + Gợi ý cách giải x x x 2π 15)1 + sin sin x − cos sin x = 2cos −  ÷ Biến đổi: 2  2 π x  π  2cos  − ÷ = + cos  − x ÷ = + sin x x x   ⇔ sin x  sin − cos sin x − ÷ =  2 2  2   x  x Đặt sinx làm thừa số chung, sau tiếp ⇔ sin x  sin x − 1 ÷ 2sin + 2sin + ÷ =  2   tục biến đổi: ⇔ x = kπ , ( k ∈ Z ) x x x cos sin x = 2cos sin 2 x x = 2sin 1 − sin ÷ 2 2 x x  x = 2sin 1 + sin ÷1 − sin ÷ 2  2 + Kinh nghiệm giảng dạy Sau biến đổi: π x  π  2cos  − ÷ = + cos  − x ÷ = + sin x  2 2  Ta biến đổicác số hạng lại xuất thừa số sinx + Gợi ý cách giải 16)2cos x + cos ( π + x ) Biến đổi: *cos ( π + x ) = cos x = − sin x π  = + sin x + 3cos  x + ÷+ sin x + Kinh nghiệm giảng dạy 2  - Nhóm số hạng cho xuất ⇔ 2sin x − 9sin x + + 6sin x cos x − 6cos x = thừa số 1-sinx ⇔ ( − sin x ) ( 6cos x + 2sin x − ) = - Phân tích 2sin x − 9sin x + thành tích cách tìm nghiệm π ⇔ x = + k 2π , k ∈ Z + Gợi ý cách giải Biến đổi: *sin x = 3sin x − 4sin x 17) sin3x-3sin2x –cos2x +3sinx +3cosx-2=0 *cos x = 2cos x − ⇔ ( 2sin x − 1) ( 2cos x − 3cos x + 1) = *sin x = 2sin x.cos x π  Nhóm số hạng cho xuất  x = + k 2π thừa số 2sinx –  + Kinh nghiệm giảng dạy  x = 5π + l 2π  Không áp dụng công thức biến đổi  tổng thành tích ta biến đổi số π  x = + m 2π ( k , l , m, n, t ∈ Z ) ⇔ hạng theo sinx cosx đưa  phương trình tích  π  x = − + n2π   x = t 2π   + Gợi ý cách giải = tan x + cot x Biến đổi: sin8 x Áp dụng công thức tana – tanb + Kinh nghiệm giảng dạy -Sau biến đổi dạng : 3tan6x –tan4x -2tan2x = muốn biến đổi tổng thành tích ta phải nhóm số hạng có hệ số, cần phân tích 3tan6x =2tan6x + tan6x - Nếu biến đổi tang theo sin cơsin từ đầu tốn phức tạp - Học sinh loại sin2x = theo điều kiện sin8x ≠ mà không cần giải đến nghiệm + Gợi ý cách giải Biến đổi: sin x cos x *tan x = ,cot x = cos x sin x *cos x = ( cos x + sin x ) ( cos x − sin x ) *sin x.cos x = sin x − cos x *sin x = + Kinh nghiệm giảng dạy Nhận xét số hạng có chứa thừa số cosx – sinx nên ta đặt cosx – sinx làm nhân tử chung trước qui đồng bỏ mẫu = tan x − cot x sin8 x cos6 x ≠ ĐK:  sin8 x ≠ PT ⇔ ( tan x − tan x ) + tan x − tan x = 18) 3tan x − sin x sin x + =0 cos6 x.cos x cos x.cos x sin x   ⇔ 4+ ÷= cos x  cos x  ⇔2 sin x = ⇔  cos x = −  π   1 x = arccos − + k  ÷   4 ⇔ ( k,l ∈ Z )   1 π  x = − arccos  − ÷+ l    cos x + sin x − sin x + tan x sin x ≠ ĐK  sin x + cos x ≠ PT cos x − sin x cos x.cos x ⇔ = + sin x − sin x.cos x sin x cos x + sin x 19) cot x − = ⇔ ( cos x − sin x ) ( sin x.cos x − sin x − 1) = ⇔ ( cos x − sin x ) ( sin x + cos x − 3) = π ⇔ x = + kπ , ( k ∈ Z ) + Gợi ý cách giải Biến đổi: *1 + cot x = sin x *( sin x + cos x ) − 2sin x ( sin x + cos x ) 20) − 2sin x = + cot x  π   π  sin − x − sin − x  ÷  ÷   4    ĐK: sin x ≠ π  pt ⇔ ( cos x + sin x ) sin x = cos  − x ÷sin x 4  π  ⇔ cos  − x ÷( sin x − 1) = 4  3π π + Kinh nghiệm giảng dạy  x= +k  Sau biến đổi vế phải có chứa thừa số ⇔ ( k,l ∈ Z ) π  π  x = + l 2π cos  − x ÷ nên ta biến đổi VTtheo  4  π  cos  − x ÷ 4  Tức biến đổi theo sin2x + cos2x π ( + sin x + cos x ) sin  x + ÷ + Gợi ý cách giải 21) 4  = cos x π + tan x * sin(x + ) = sinx + cosx = sin x + − 2sin x = sin x + cos x Vế phải biến đổi tổng thành tích sin x cos x * cos x = − 2sin x + Kinh nghiệm giảng dạy Nếu học sinh thấy mối quan hệ *tan x = π sin(x + ) = sinx + cosx tốn giải dể dàng π   x ≠ − + kπ ( k, l ∈ Z ) ĐK:  π  x ≠ + lπ  PT ⇔ ( + sin x + cos x ) ( sin x + cos x ) sin x + cos x cos x ⇔ cos x ( + sin x + cos x ) = cos x = cos x ⇔ + sin x + cos x = ⇔ −2sin x + sin x + = π  x = − + m2π sin x =  ⇔ ( m, n ∈ Z ) 1⇔ sin x = −  x = 7π + n2π   Vậy nghiệm phương trình là: π  x = − + m 2π  ( m, n ∈ Z )  π x = + n 2π  DẠNG 6: Một số phương trình dạng khác Phương pháp chung nhận xét giá trị biểu thức chứa phương trình A = 2 Chú ý: sin f ( x ) ≤ 1, cos f ( x ) ≤ 1, A + B = ⇔  B = Giải phương trình sau: 1)sin2x + sinxcos4x+cos24x = 2) 4cos2x + 3tan2x-4 cosx+2 tanx+4=0 3) cos22x.cosx =-1 4) sinx+cosx= (2-sin3x) 5) (cos x − cos x ) = + sin x 6)sin x(cos x − 2sin x) + cos3 x(1 + sin x − 2cos3 x) = 7) cos x − cos6 x + 4(3sin x − 4sin x + 1) = 8)(sin x x 81 + ) + (cos + ) = cos x sin x cos3 x 2 HƯỚNG TÓM TẮT LỜI GIẢI-ĐÁP SỐ DẪN + Gợi ý cách giải Đưa pt dạng (sinx + cos4x)2 = sin24x + Kinh nghiệm giảng dạy 1) sin2x + sinxcos4x+cos24x =  sin x + cos x = ⇔ sin x = Thêm, bớt số hạng để đưa dạng đẳng thức, nhiên hs thường thêm sinx.cosx nên số hạng cịn lại khơng thể đưa theo đẳng thức + Gợi ý cách giải Đưa dạng A2+B2=0 Phương trình vơ nghiệm + Kinh nghiệm giảng dạy - Nhóm số hạng có dạng a + 2ab - Hướng dẫn hs biểu diển họ nghiệm đường tròn lượng giác để kết luận nghiệm 2cos x − = ⇔  tan x + = π    x = + k 2π  π  π ⇔   x = − + l 2π ⇔ x = − + l 2π , l ∈ Z 6    π  x = − + mπ  3) cos 2x.cosx =-1 + Gợi ý cách giải cos x ≤ Chú ý: ≤ cos x ≤ 2) 4cos2x + 3tan2x-4 cosx+2 tanx+4=0 ⇔ (2cosx - )2 +( tanx + 1)2=0 cos 2 x = Pt ⇔  cos x = −1 + Kinh nghiệm giảng dạy   x = kπ Phương trình có dạng tích   π thừa số chứa ⇔   x = + lπ ⇔ x = π + m2π , m ∈ Z  sin f ( x ) cos g ( x )  x = π + m 2π -1 giải theo phương pháp + Gợi ý cách giải 4) sinx+cosx= (2-sin3x) Ta có sinx+cosx= sin(x+ π )≤ 2 (2-sin3x) ≥ sin3x≥ 1) (vì 2- + Kinh nghiệm giảng dạy Nhận xét giá trị vế phương trình + Gợi ý cách giải VT≤ 4; VP ≥ + Kinh nghiệm giảng dạy Nhận xét giá trị vế phương trình sin x + cos x = ⇔  ( − sin 3x ) = π  x = + k 2π  ⇔  x = π + l 2π  Phương trình vơ nghiệm 5) (cos x − cos x) = + sin x  sin x = (1)  cos x − cos x =  ⇔  sin x =  (2)  cos x − cos x = −2 π 2π  x = + k      x = π + lπ ⇔      x = π + m 2π    2cos x − cos x + = 0( ptvn) 3π + n2π , n ∈ Z 6)sin 3x(cos x − 2sin x) + + Gợi ý cách giải Biến đổi : cos3 x (1 + sin x − 2cos3 x) = sin3x.cosx + sinxcos3x = ⇔ sin x + cos3 x = sin x = sin4x ⇔ cos3 x = + Kinh nghiệm giảng dạy π π  x = + k  -Vì số hạng khơng thể  ⇔  biến đổi để xuất  x = l 2π thừa số giống nên ta   khai triển số hạng , sau Phương trình vơ nghiệm thu gọn theo cơng thức cộng ⇔x= - Nhận thấy VT ≤ nên phương trình nghiệm VT = + Gợi ý cách giải Chú ý 3sinx-4sin3x=sin3x cos6 x = − 2sin x đưa PT dạng A2+B2=0 + Kinh nghiệm giảng dạy Sau biến đổi nhận thấy số hạng có dạng đẳng thức ta đưa PT dạng A2+B2=0 + Gợi ý cách giải VT=4+(1- sin2x)(1+ )≥ 64 s in x 81 ⇔ cos x + ( sin x + 1) = π  x = + kπ  π ⇔ ⇔ x = + m2π , m ∈ Z  x = π + l 2π  8)(sin 81 + Kinh nghiệm giảng dạy - Học sinh sai lầm chỗ dùng BĐT Cơsi dẫn đến VT ≥ kết luận phương trình vô nghiệm -Giáo viên gợi ý hs đưa giả thiết theo sinx cách áp dụng công thức x x + ) + (cos3 + ) sin x cos3 x 2 81 cos x 64  81   ⇔ + 1 − sin x ÷1 + ÷ = cos x   sin x  π ⇔ sin x = ⇔ x = + kπ , ( k ∈ Z ) = VP ≤ sin 7) cos x − cos6 x + 4(3sin x − 4sin x + 1) = x x + cos = − sin x 2 x x sin cos = sin x 2 64 DẠNG 7: Nhận dạng tam giác Phương pháp chung dựa vào giả thiết cho giải tìm góc tam giác, từ xác định đặc tính tam giác Chú ý tam giác ABC , gọi A,B,C số đo góc tam giác, a,b,c số đo cạnh tương ứng Ta có: A + B + C = 1800 (số đo góc dương) Nhận dạng tam giác thỏa điều kiện sau: ( Giả sử biểu thức cho có nghĩa) sin B + sin C 1)sinA= cos B + cos C b c a + = 2) cos B cos C sin B.sin C 2 2 3) ( a + b ) sin ( A − B ) = ( a − b ) sin ( A + B ) 4) atanB +btanA= (a+b)tan A+ B 5) c sin A + a sin 2C = b cot B 2a + c 1 + cos B = (1)  4a − c 6)  sin B a ( b + c − a ) = b3 + c − a (2)  sin A + sin B + sin C = cos A + cosB + cos C 8) 2(acosA +bcosB +ccosC) = a+b+c 9) sin A + sin B + 2sin A sin B = + 3cos C + cos C a cos A + b cos B + c cos C P = 10) a sin B + b sin C + c sin A R ( P nửa chu vi, R bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC) 7) HƯỚNG DẪN + Gợi ý cách giải Biến đổi tổng thành tích + Kinh nghiệm giảng dạy Cần lưu ý A, B, C góc tam giác TÓM TẮT LỜI GIẢI- ĐÁP SỐ 1) sinA= sin B + sin C cos B + cos C B+C B−C cos 2 ⇔ sin A = B+C B−C 2cos cos 2 A A ⇔ sin A.sin = cos 2 A A A ⇔ 2sin cos − cos = 2 A ⇔ sin = 2 ⇔ A = 90 Vậy tam giác ABC vuông A + Gợi ý cách giải b c a + = 2) Đưa a,b,c theo sinA , cos B cos C sin B.sin C sinB sinC sin B sin C sin A ⇔ + = sinB.cosC + cos B cos C sin B.sin C sinC.cosB= 1   sin(B+C) = sinA ⇔ sin A  − ÷= cos B cos C sin B sin C   + Kinh nghiệm giảng ⇔ cos B.cos C − sin B.sin C = dạy Trong giả thiết có chứa ⇔ cos( B + C ) = cạnh góc tam giác ta áp dụng định ⇔ B + C = 90 lí sin để đưa chúng theo cùng1 đại lượng Vậy tam giác ABC vuông A góc (hoặc cạnh) tam giác Thơng thường ta nên dưa giả thiết theo góc tam giác có nhiều cơng thức biến đổi 2 2 + Gợi ý cách giải 3) ( a + b ) sin ( A − B ) = ( a − b ) sin ( A + B ) Đưa a,b theo sinA ⇔ sin A sin ( A − B ) − sin ( A + B )  sinB Biến đổi tổng thành = sin B sin ( A + B ) + sin ( A − B )  tích + Kinh nghiệm giảng ⇔ sin A.sin B ( sin A − sin B ) = nên ta có: B −C cos ≠ A cos ≠ 2sin dạy Học sinh thiếu nghiệm A + B = 900 + Gợi ý cách giải Đưa a,b theo sinA sinB Biến đổi tổng thành tích 2sinA.cosA= sin2A + Kinh nghiệm giảng dạy Học sinh cần nắm cơng thức biến đổi tổng thành tích tang để lời giải ngắn gọn + Gợi ý cách giải Đưa a,b,c theo sinA, sinB, sinC côtang theo sin côsin sin2A =2 sinA.cosA B B sin B = 2sin cos 2 sinA.cosC + sinC.cosA= sin(A +C) = sinB 2sin A.sin C = cos( A − C ) − cos( A + C ) B 2cos = + cos B ⇔ sin A = sin B A = B ⇔  A + B = 90 Vậy tam giác ABC vuông cân C 4) atanB +btanA= (a+b)tan A+ B A+ B A+ B    ⇔ a  tan B − tan − tan A ÷ ÷ = b  tan     A+ B A+ B    ⇔ sin A  tan B − tan − tan A ÷ ÷ = sin B  tan     B−A B−A sin sin 2 ⇔ sin A = sin B A+ B A+B cos B cos cos A cos 2 B−A sin  sin A − sin B  = ⇔ A + B  cos B cos A ÷  cos  B− A sin =0 A = B ⇔ ⇔   A + B = 90 sin A − sin B =  Vậy tam giác ABC vuông cân C B 5) c sin A + a sin 2C = b cot 2 ⇔ 2sin C.sin A.cos A + 2sin A.sin C.cos C = 4sin B B B cos cos 2 ⇔ 2sin A sin C sin ( A + C ) − 2sin B cos ⇔ cos ( A − C ) + cos B = + cos B ⇔ cos( A − C ) = ⇔ A−C = ⇔ A=C Vậy tam giác ABC cân B B =0 + Kinh nghiệm giảng dạy B Cần đưa góc theo góc B để biến đổi chúng theo A C + Gợi ý cách giải sin B = − cos B 2a + c 1 + cos B (1)  sin B = 2 a − c 6)  a ( b + c − a ) = b3 + c − a (2) = ( + cos B ) ( − cos B )  4a − c = ( 2a + c ) ( 2a − cBình ) phương vế pt (1) Đưa a,c theo sinA,sinC ta + Kinh nghiệm giảng + cos B 2sin A + sin C dạy = 2 Nhận thấy 4a − c − cos B 2sin A − sin C lấy bậc ⇔ 2sin A cos B − sin ( A + B ) = ta bình ⇔ 2sin A cos B − sin A cos B − sin B cos A = phương vế (1) ⇔ sin A cos B − sin B cos A = ⇔ sin ( A − B ) = + Gợi ý cách giải Ta có: A+ B +C =π A+ B π C ⇔ = − 2 A+ B π π C ⇔ − = − + Kinh nghiệm giảng dạy Cần bám sát giả thiết: A + B + C = π để chuyển đổi qua lại đại lượng chứa góc A, B theo góc C ⇔ A= B ⇔a=b Thay a = b vào (2) ta a=c Vậy tam giác ABC tam giác sin A + sin B + sin C = 7) cos A + cosB + cos C ⇔ sin A − cos A + sin B − cos B + sin C − cos C = π π π    ⇔ 2sin  A − ÷+ 2sin  B − ÷+ 2sin  C − ÷ = 3 3 3    A− B π  A+ B π   ⇔ 4sin  − ÷cos + 2sin  C − ÷ = 3 3   A− B π C  C π  C π  ⇔ 4sin  − ÷cos + 4sin  − ÷cos  − ÷ = 6 2 2 6 2 6 A−B π C   A + B π  ⇔ sin  − ÷cos − cos  − ÷ =      A π   B π  C π  ⇔ sin  − ÷sin  − ÷sin  − ÷ = 2 6 2 6  6  A = 600  ⇔  B = 600 C = 600  Vậy tam giác ABC có góc 600 + Gợi ý cách giải Đưa a,b,c theo sinA, sinB, sinC Hướng dẫn học sinh cm: *sin2A+sin2B+sin2C =4sinA.sinB.sinC sin A + sin B + sin C A B C = 4cos cos cos 2 8) 2(acosA +bcosB +ccosC) = a+b+c A B C ⇔ sin A sin B sin C = cos cos cos 2 A B C ⇔ 8sin sin sin = 2 A B −C A B+C ⇔ 4sin cos − 4sin cos =1 2 2 A A B−C ⇔ sin − sin cos + =0 2 A B−C  B −C  ⇔  sin − cos =0 ÷ + sin B+C A 2   cos = sin 2 B−C  A + Kinh nghiệm giảng sin − cos = ⇔ dạy sin B − C = Học sinh cần thuộc  công thức để dể dàng tìm cách B = C ⇔  giải toán  A = 60 Vậy tam giác ABC tam giác 9) + Gợi ý cách giải sin A + sin B + 2sin A sin B = + 3cos C + cos C Lấy bậc vế Biến đổi tổng thành tích C cos C = 2cos − A− B A−B ⇔ sin A + sin B = cos C + = sin 2 2 + Kinh nghiệm giảng C A− B C ⇔ 2cos cos = 2cos − + dạy 2 2 Sau biến đổi giả thiết thấy có chứa số 2 C A − B A − B     hạng ⇔  cos − cos ÷ +  sin ÷ =0 2 2     A− B  C C A− B cos − cos = ( 1) 2cos cos  2 2 ⇔  sin A − B = ( ) C 2cos  2 ( 2) ⇔ A = B Gợi ý đưa Thay vào (1) ta được: chúng dạng C cos = ⇔ C = 1200 ⇒ A = B = 300 đẳng thức 2 Vậy tam giác ABC có C=1200, A=B=300 − cos + Gợi ý cách giải a cos A + b cos B + c cos C P = 10) Từ a sin B + b sin C + c sin A R a b c = = = 2R sin A sin B sin C đưa a, b, c theo R sinA, sinB, sinC sin2A+sin2B+sin2C =4sinA.sinB.sinC Đưa sinA, sinB, sinC theo a, b, c R + Kinh nghiệm giảng dạy Đưa giả thiết theo sinA, sinB sinC từ dùng định lí sin đưa chúng theo cạnh tam giác R ( 2sin A cos A + 2sin B cos B + 2sin C cos C ) P = a sin B + b sin C + c sin A 9R R ( sin A + sin B + sin 2C ) P ⇔ = a sin B + b sin C + c sin A 9R R.4sin A sin B sin C 2P ⇔ = a sin B + b sin C + c sin A R abc a+b+c ⇔ = ab + bc + ca ⇔ ⇔ b( a − c) + c( b − a) + a ( b − c) = 2 a − c =  ⇔ b − a = ⇔ a = b = c b − c =  Vậy tam giác ABC tam giác