VỀ CHIỀU BIẾN THIÊN và áp DỤNG GIẢI một số bài TOÁN LƯỢNG GIÁC CHỨA THAM số NHẰM NÂNG CAO NĂNG lực GIẢI TOÁ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT NÔNG CỐNG II SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM VỀ CHIỀU BIẾN THIÊN VÀ ÁP DỤNG GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN LƯỢNG GIÁC CHỨA THAM SỐ NHẰM NÂNG CAO NĂNG LỰC GIẢI TỐN CHO HỌC SINH LỚP 11 TRƯỜNG THPT NƠNG CỐNG II Người thực hiện: Nguyễn Bá Đại Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn THANH HỐ, NĂM 2019 MỤC LỤC Mục Nội Dung Trang Mục lục Mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 10 2.3 Các sáng kiến giải pháp sử dụng giải vấn đề 11 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động 15 giáo dục, thân, đồng nghiệp nhà trường 12 Kết luận, kiến nghị 16 13 3.1 Kết luận 16 14 3.2 Kiến nghị 16 15 Tài liệu tham khảo 17 MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Khoa học ngày phát triển, đòi hỏi người ngày hồn thiện Trong tốn học ngồi việc đòi hỏi tư sáng tạo, kỹ tính tốn phương pháp cách thức giải toán quan trọng Trong sách giáo khoa hợp năm 2000 có trình bày công cụ hữu hiệu để giải số tốn phương trình “Định lý đảo dấu tam thức bậc hai” nhiên sau thay đổi sách giáo khoa 2006 phần bị cắt bỏ với công cụ không sử dụng trường phổ thông Qua số năm phân công dạy học sinh khối 11, nhận thấy bế tắc học sinh gặp toán phương trình, bất phương trình hay hệ phương trình chứa tham số Chính lẽ tơi mạnh dạn chọn chun đề “Về chiều biến thiên áp dụng giải số toán lượng giác chứa tham số nhằm nâng cao lực giải toán cho học sinh lớp 11 trường THPT Nông Cống 2” làm sáng kiến kinh nghiệm cho Mục đính Sáng kiến kinh nghiệm trình bày phương pháp khác để giải vấn đề nêu trên, cụ thể sử dụng chiều biến thiên hàm số bậc hai sách giáo khoa Đại số 10 nâng cao với sử dụng tương quan đồ thị Cụ thể Sáng kiến kinh nghiệm tập trung vào vấn đề sau: � Trình bày khái niệm chiều biến thiên hàm số bậc hai, tương quan hình học � Các tốn có nghiệm tập D bao gồm tốn phương trình lượng giác có nghiệm tập D � Các tốn có n nghiệm thuộc D bao gồm tốn phương trình lượng giác có n nghiệm thuộc D 1.2 Mục đích nghiên cứu Mục đính Sáng kiến kinh nghiệm trình bày phương pháp chiều biến thiên giải số toán lượng giác chứa tham số lớp 11, cụ thể sử dụng chiều biến thiên hàm số bậc hai sách giáo khoa Đại số 10 nâng cao với sử dụng tương quan đồ thị 1.3 Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu áp dụng chiều biến thiên hàm số bậc hai để biện luận số tốn phương trình, bất phương trình hệ phương trình lượng giác có tham số Phạm vi nghiên cứu kiến thức chiều biến thiên hàm số bậc hai, với tương quan đồ thị để giải vấn đề 1.4 Phương pháp nghiên cứu Đọc tài liệu, phân tích tổng hợp, quan sát thực tế thực nghiệm 2 NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Bài tốn chứa tham số phương trình, bất phương trình, hay hệ phương trình thường gây khó khăn cho học sinh công cụ “Định lý đảo dấu tam thức bậc hai” giảm tải với học sinh lớp 10 lại chưa tiếp cận với đạo hàm Qua nghiên cứu số tài liệu liên quan đến vấn đề, thấy nhiều tác giả tiếp cận vấn đề việc giải chưa thật triệt để Thông qua trình giảng dạy tốn phương trình, bất phương trình chứa tham số, tơi thấy việc học sinh nắm vững tính chất hàm số bậc hai chiều biến thiên em giải vấn đề dễ dàng Với mong muốn góp phần nhỏ vào việc nâng cao chất lượng giảng dạy mơn Tốn nói chung phân mơn Đại Số Giải Tích nói riêng trường THPT Nông Cống 2, huyện Nông Cống nghiên cứu đề tài “Về chiều biến thiên áp dụng giải số toán lượng giác chứa tham số nhằm nâng cao lực giải toán cho học sinh lớp 11 trường THPT Nông Cống 2” 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Là giáo viên giảng dạy mơn Tốn vùng khó khăn trình độ nhận biết học sinh mức vừa phải nhận thấy áp dụng đề tài vào lớp mà phụ trách hiệu quả, đặc biệt năm học tiến hành lớp 11A1 11A2 trường THPT Nông Cống 2, kết thu tương đối tốt Các em thấy khó khăn giải tốn dạng này, sau tiếp cận, hướng dẫn, rèn luyện em giải thành thạo dạng toán Học sinh khơng lúng túng gặp dạng tốn 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Các khái niệm Trong phần này, ta nhắc lại số kiến thức biến thiên hàm số bậc hai tương quan đồ thị hàm số để giải số tốn phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình chứa tham số 2.3.1.1 Định nghĩa [3] Hàm số bậc hai hàm số cho biểu thức có dạng y  ax  bx  c a, b, c số với a �0 2.3.1.2 Chiều biến thiên hàm số bậc hai [3] Ta có hai bảng biến thiên hàm số bậc hai y  ax  bx  c  a �0  sau: 2.3.1.3 Sự tương quan đồ thị Số nghiệm phương trình f  x   g  m  số giao điểm đồ thị hàm số y  f (x) đường thẳng y  g  m (xem hình minh họa bên) Trong trang này: Mục 2.3.1.1 mục 2.3.1.2 tham khảo TLTK số 3; Trong mục 2.3.1.3 hình họa “của” tác giả 2.3.2 Các tốn có nghiệm tập D 2.3.2.1 Một số kết [2] y  f  x Trong sáng kiến kinh nghiệm này, giả sử hàm kí hiệu m ax f  x  f  x x�D hay x�D tồn � Điều kiện để phương trình f (x)  g  m  có nghiệm x �D f  x  �g  m  �max f  x  x�D x�D (Số nghiệm phương trình đồ thị 2.3.2.2 y  f  x f  x  g  m với đường thẳng Một số toán y  g  m D phụ thuộc số giao điểm D ) �  � x ��  ; � 2 � � Ví dụ Tìm m để phương trình sau có nghiệm sin x  3sin x  5m   1 Ta có  1 � sin x  3sin x  5m �  � x ��  ; �� t � 1;1 2� � t  sinx Đặt , với Giải t � 1;1 Bài tốn quy tìm m để phương trình t  3t  5m có nghiệm f t  t  3t  1;1 , ta có bảng biến thiên sau   Xét f  t   2 maxf  t   Từ bảng biến thiên ta có, t� 1;1 , t� 1;1 Vậy để phương trình có �  � x ��  ; � 2 �5m �4 �  �m � � 2 �thì: 5 nghiệm Ví dụ Tìm m để phương trình sau có nghiệm tan x  m  tan x    Giải Điều kiện: cos x �0 Trong trang này: Mục 2.3.2.1 tham khảo TLTK số 2; Ví dụ 1, Ví dụ “của” tác giả �tan x  m  tan x  �tan x  tan x   ��  2 � � tan x   � �tan x �2 Ta có � t  2t   m  2a  � � t �2  2b  Đặt t  tan x Khi hệ trở thành � 2a 2b Bài tốn quy tìm m để phương trình   có nghiệm thỏa mãn   2;� f t  t  2t  Xét    , ta có bảng biến thiên sau: Từ bảng biến thiên ta có để phương trình có nghiệm thì: m �4 Ví dụ Tìm m để phương trình sau có nghiệm sin x   cosx - sinx   m  3 Giải Đặt thành   t  cos x  sinx, t � � sin x   t Khi phương trình  3 trở t  4t   m  3a  3a t � Bài toán quy tìm m để phương trình   có nghiệm Xét f  t   t  4t  t � , ta có bảng biến thiên sau: Từ bảng biến thiên ta có, để phương trình có nghiệm thì: 4  �m �4  Ví dụ [4] Cho phương trình tham số m 2cos x  sin x.cosx+cos x.sinx  m  sinx  cos x    a Giải phương trình m  Trong trang này: Ví dụ “của” tác giả Ví dụ tham khảo từ TLTK số 4, lời giải “của” tác giả �� 0; � � � � b Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc đoạn   �  cos x  sin x   sinx.cosx  sinx  cosx   m  sinx  cosx  Giải Ta có �  sinx  cosx  �  cos x  sinx   sinx.cosx - m � � � � sinx  cosx =  4a  ��  cosx - sinx   sinx.cosx - m =  4b  �   4a  � x    k  k �� 1 t2 t  c osx sinx � sinx.cosx = 4b Khi phương trình  4b  trở Với   , đặt thành t  4t   2m  4c  a Khi m  2, ta có  4c  � t t 1 �  4t   � � � t  t 3 � x  k 2 � � � � cos �x  � ��  � x    k 2 � � � � � x  k 2 �  � x    k 2  k �� � �  x    k � Vậy phương trình có nghiệm � ��   0; � x    k  k �� �x � � nên b Ta thấy khơng có nghiệm thuộc � � Do � � 1 � 2cos �x  ��1 � t � 1;1 4c � 4� Bài tốn quy tìm m để   có nghiệm 1;1 thuộc đoạn  Xét f  t   t  4t  miền t � 1;1 có tD  2, ta có bảng biến thiên sau: �� 0; � � 2� � Từ bảng biến thiên ta có, để phương trình có nghiệm thuộc đoạn thì: 2 �m �2 Ví dụ [4] Tìm m để phương trình sau có nghiệm  sin x  cos x    sin x  cos6 x   sin x  m   Giải Ta có  5 �   2sin x.cos x     3sin x.cos x   sin x  m � � � � � 4�  sin x � �  sin x � sin x  m � � � � � sin 2 x  sin x  m  cos4x � � �� �   cos x   m � � 1 � cos x  cos4x -  m  5a  2 1 a � t  t   m  5b    2 Đặt t  cos4x, t � 1;1 Khi Bài tốn quy tìm m để phương trình  5b  có nghiệm t � 1;1 1 f  t  t2  t  t  , D 2 t � 1;1 có ta có bảng biến thiên sau: Xét Từ bảng biến thiên ta có, để phương trình có nghiệm thì:  �m �1 16 Trong trang này: Ví dụ tham khảo từ TLTK số 4, lời giải “của” tác giả 2.3.3 Các tốn có n nghiệm tập D 2.3.3.1 Một số ý Trong phần này, cần ý tương quan nghiệm sau đặt ẩn phụ: Có nghĩa nghiệm t miền D1 cho ta nghiệm x miền D, để làm tốt việc ta sử dụng đường tròn lượng giác Ngồi phần tác giả sử dụng cơng thức cos3x = 4cos x  3cosx mà không chứng minh 2.3.3.2 Một số toán �� 0; � � 4� � m Ví dụ [4] Tìm để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt thuộc cos4x + 6sinx.cosx = m  1 �� x �� 0; � � 2sin x  3sin x  m     �thì � t  sin x Giải Ta có Đặt Khi �� x �� 0; t � 0;1 , ta thấy, t � 0;1 cho ta � 4� � Bài toán quy t � 0;1 tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt 2t  3t   m  1a  t  , D t � 0;1 f t  t  t     Xét có ta có bảng biến thiên sau: 1a  có hai nghiệm phân biệt t � 0;1 17 m �  � x ��  ; � 2� � m Ví dụ Tìm để phương trình sau có nghiệm phân biệt Từ bảng biến thiên ta có, để phương trình   - �1 m sin x  sinx   5m    Giải Ta có   � sin x  sinx   5m Trong trang này: Ví dụ tham khảo từ TLTK số 4, lời giải “của” tác giả Ví dụ “của” tác giả �  � x ��  ; �� t � 1;1 t � 1;1 cho 2� � t  sinx Đặt , với Ta thấy nghiệm �  � x ��  ; � 2 � Bài tốn quy tìm m để phương trình t  t   5m � nghiệm t � 1;1 có nghiệm phân biệt t   D 1;1 có , ta có bảng biến thiên sau Xét f  t   t  t  đoạn  Từ bảng biến thiên ta có, để phương trình có nghiệm phân biệt t � 1;1 thì: 3  5m �1 � m� 20 m� Vậy để phương trình có nghiệm phân biệt 20 Ví dụ [4] � �  ;2 � � � � m Xác định để phương trình sau có nghiệm thuộc khoảng cos3x - cos2x + mcosx - 1=0  3 Giải cos3x - cos2x + mcosx - 1=0 � 4cos3 x  3cos x  2cos x   m cos x   � cosx =  3a  � cosx  4cos x  2cos x  m  3  � � 4cos x  2cos x  m    3b  � 10 �  x � � � � 3  � x ��  ;2 � x  3a  � x   k �2 �nên � Giải Do � �� 3 �  ;2 �\ � ; � � 3b 2 Bài toán quy tìm m để pt   có nghiệm thuộc ��� Trong trang này: Ví dụ tham khảo từ TLTK số 4, lời giải “của” tác giả Phương trình  3b  đặt t  cosx  t �1 , t  2t   m  3c  phương trình trở thành Từ đường tròn lượng giác để phương trình  3b  có nghiệm thuộc � �� 3 �  ;2  � �\ � ; � 3c 2 ��� phương trình   có nghiệm phân biệt thỏa mãn 1  t1   t2  tD   1;1 f t  t  t   , ta có bảng biến thiên sau Xét   có Từ bảng biến thiên ta có, để phương trình  3c  có nghiệm phân biệt thỏa mãn 03m � �  m  �  m  � 1  t1   t2  Ví dụ 4.[4] Cho phương trình tham số m  cot x  m  tanx+cotx      cos x Xác định m để phương trình vơ nghiệm Giải Điều kiện: sin x �0  *  cot x  m  tanx+cotx    cos x � tan x  cot x  m  tanx+cotx    11 Đặt t  tanx+cotx  t �2  Khi phương trình trở thành: t  mt    4a  �; 2 �� 2; � � vô nghiệm miền  m t   D �; 2 �� 2; � � , ta có trường hợp Xét f  t   t  mt   có sau: m �۳ m Trường hợp 1: Ta có bảng biến thiên sau: Để phương trình  4 vơ nghiệm  4a  Trong trang này: Ví dụ tham khảo từ TLTK số 4, lời giải “của” tác giả �; 2 �� 2; � 4a � Từ bảng biến thiên ta có, pt   vơ nghiệm miền  thì: m �4 � m �4 � � �� � m2 2  m  1 0 � � � (vô lý) m  �  Trường hợp 2: 2 m Từ bảng biến thiên ta có, pt  4a  Ta có bảng biến thiên sau: vơ nghiệm miền 2; �  �; 2 �� � thì: m �4 � m �4 � � �� � m2 2  m  1 0 � � � (vô lý) Trường hợp 3: 2   m  � 4  m  Ta có bảng biến thiên sau: 12 Từ bảng biến thiên ta có, phương trình 2; �  �; 2 �� � thì:  4a  vơ nghiệm miền � � � � 4  m  � � � 4  m  � m �0 � � � �  2m �5  2m � � � � � m � � �  2m  5 � � �� �  m � � 2 4  m  � � � � � � � 4  m   2m �5  2m � � � � � m � �  2m  � � � � � � � n � � 5  m Vậy để phương trình vơ nghiệm thì: Ví dụ 5.[4] Cho phương trình  cosx+1  cos2x - mcosx   m sin x   a Giải phương trình m  2 � 2 � 0; � � � � m b Tìm để phương trình có nghiệm thuộc đoạn �  cosx+1  cos2x - mcosx   m   cosx    cosx  Giải a)   �  cosx+1  cos2x - m   �  cosx+1  2cos x  m  1   5a  Với m  2,  5a  �  cosx+1  2cos x  1  13 � cosx = -1 � x =  +k2  k �� � 2 � x �� 0; � x    k 2  k �� � � b) Ta thấy nghiệm �1 � � 2 � �1 � t  cosx, x �� 0; �� t ��  ;1� t ��  ;1� 2 �cho � � � � � Đặt Ta thấy nghiệm � 2 � x �� 0; � � � nghiệm Bài tốn quy tìm m để phương trình 2t   m  5b  có nghiệm phân biệt �1 � t ��  ;1 �2 � � Trong trang này: Ví dụ tham khảo từ TLTK số 4, lời giải “của” tác giả �1 �  ;1� � f t  t    �có t D  , ta có bảng biến thiên sau: � Xét �1 � t ��  ;1� 5b   � � Từ bảng biến thiên ta có, phương trình có nghiệm phân biệt 1  m � Bài tập áp dụng khơng có hướng dẫn giải �� x �� 0; � 4� � m [5] Tìm để phương trình sau có nghiệm m cos x  4sin x.cosx - m - = 2 [5] Cho phương trình: sin x   2m   sinx.cosx -  m  1 cos x  m 14 a Giải phương trình m  b Tìm m để phương trình có nghiệm �� 0; � � 4� � m [5] Tìm để phương trình sau có nghiệm thuộc đoạn cos x  6sinx.cosx = m � 2 � 0; � � [5] Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc đoạn � �  cos x  1  cos2x - mcosx   m sin x Trong trang này: Bài tập áp dụng 1, 2, 3, tham khảo từ TLTK số 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, thân, đồng nghiệp nhà trường Để kiểm tra hiệu đề tài tiến hành kiểm tra hai đối tượng có chất lượng tương đương học sinh lớp 11A1 lớp 11A2 trường THPT Nông Cống – Nông Cống Trong lớp 11A1 chưa tiếp cận phương pháp sử dụng đề tài, kiểm tra hình thức tự luận, thời gian làm 45 phút với kết thu sau: Lớp Sĩ số �Điểm < Điểm < Điểm �8 Số lượng % Số lượng % Số lượng % 11A2 39 5.1 10 25.5 27 69.4 11A1 42 23 55 11 26 19 15 Đối với đồng nghiệp trường triển khai buổi sinh hoạt chun mơn đồng chí đánh giá cao hiệu trình giảng dạy KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Sáng kiến kinh nghiệm đề cập biến thiên hàm số bậc hai với tương quan đồ thị để giải số toán lượng giác chứa tham số lớp 11 Những kết sáng kiến kinh nghiệm là: � Nhắc lại số kiến thức biến thiên hàm số bậc hai, tương quan hình học � Nhắc lại điều kiện để phương trình có nghiệm hay có n nghiệm miền D � Đưa số tập dạng ví dụ để làm sáng tỏ điều Kết thu được: Sau nhiều năm tác giả mạnh dạn đưa sáng kiến vào dạy học sinh lớp 11 Trường THPT Nông Cống 2, đa số học sinh tiếp cận giải toán phương trình chứa tham số phương pháp chiều biến thiên 3.1 Kiến nghị Nhà trường cần tổ chức nhiều buổi trao đổi phương pháp giảng dạy cho toàn thể cán giáo viên Sáng kiến kinh nghiệm có chất lượng nên phổ biến rộng rãi Học sinh cần tăng cường học tập trao đổi, học nhóm nâng cao chất lượng học tập Qua việc nghiên cứu vấn đề nhỏ hy vọng đồng nghiệp góp phần nhỏ cải tiến nâng cao kết giảng dạy môn XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 20 tháng năm 2019 Tơi xin cam đoan SKKN 16 viết, không chép nội dung người khác (Ký ghi rõ họ tên) Nguyễn Bá Đại DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Lê Khắc Bảo (2003), 172 tốn có chứa tham số, Nhà xuất giáo dục [2] Phan Huy Khải (1999), Phương pháp đồ thị để biện luận hệ có tham số, Nhà xuất giáo dục [3] Đoàn Quỳnh – Nguyễn Huy Đoan – Nguyễn Xuân Liêm – Đặng Hùng Thắng – Trần Văn Vuông (2006), Đại số 10 nâng cao, Nhà xuất giáo dục [4] Đề thi tuyển sinh Đại học trường [5] Tham khảo từ số tài liệu mạng internet - Nguồn: https://diendantoanhoc.net - Nguồn: http://www.maths.vn - Nguồn: http://facebook.com.vn 17 DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đà ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: NGUYỄN BÁ ĐẠI Chức vụ đơn vị công tác: THPT Nông Cống TT Tên đề tài SKKN Cấp đánh giá xếp loại (Phòng, Sở, Tỉnh ) Kết đánh giá xếp loại (A, B, C) Năm học đánh giá xếp loại Cấp Ngành C 2017 - 2018 Về chiều biến thiên áp dụng giải số toán chứa tham số nhằm nâng cao lực giải toán cho học sinh lớp 10 trường THCS THPT Nghi Sơn huyện Tĩnh Gia * Liệt kê tên đề tài theo thứ tự năm học, kể từ tác giả tuyển dụng vào Ngành thời điểm 18 19 ... phương trình hay hệ phương trình chứa tham số Chính lẽ tơi mạnh dạn chọn chun đề Về chiều biến thiên áp dụng giải số toán lượng giác chứa tham số nhằm nâng cao lực giải toán cho học sinh lớp 11 trường... cứu đề tài Về chiều biến thiên áp dụng giải số toán lượng giác chứa tham số nhằm nâng cao lực giải toán cho học sinh lớp 11 trường THPT Nông Cống 2” 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến... (A, B, C) Năm học đánh giá xếp loại Cấp Ngành C 2017 - 2018 Về chiều biến thiên áp dụng giải số toán chứa tham số nhằm nâng cao lực giải toán cho học sinh lớp 10 trường THCS THPT Nghi Sơn huyện