VỀ CHIỀU BIẾN THIÊN và áp DỤNG GIẢI một số bài TOÁN LƯỢNG GIÁC CHỨA THAM số NHẰM NÂNG CAO NĂNG lực

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT NÔNG CỐNG II SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM VỀ CHIỀU BIẾN THIÊN VÀ ÁP DỤNG GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN LƯỢNG GIÁC CHỨA THAM SỐ NHẰM NÂNG CAO NĂNG LỰC GIẢI TỐN CHO HỌC SINH LỚP 11 TRƯỜNG THPT NƠNG CỐNG II Người thực hiện: Nguyễn Bá Đại Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn THANH HỐ, NĂM 2019 MỤC LỤC Mục Nội Dung Trang Mục lục Mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 10 2.3 Các sáng kiến giải pháp sử dụng giải vấn đề 11 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động 15 giáo dục, thân, đồng nghiệp nhà trường 12 Kết luận, kiến nghị 16 13 3.1 Kết luận 16 14 3.2 Kiến nghị 16 15 Tài liệu tham khảo 17 1.1 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Khoa học ngày phát triển, đòi hỏi người ngày hồn thiện Trong tốn học ngồi việc đòi hỏi tư sáng tạo, kỹ tính tốn phương pháp cách thức giải toán quan trọng Trong sách giáo khoa hợp năm 2000 có trình bày công cụ hữu hiệu để giải số tốn phương trình “Định lý đảo dấu tam thức bậc hai” nhiên sau thay đổi sách giáo khoa 2006 phần bị cắt bỏ với công cụ không sử dụng trường phổ thông Qua số năm phân công dạy học sinh khối 11, nhận thấy bế tắc học sinh gặp toán phương trình, bất phương trình hay hệ phương trình chứa tham số Chính lẽ tơi mạnh dạn chọn chun đề “Về chiều biến thiên áp dụng giải số toán lượng giác chứa tham số nhằm nâng cao lực giải toán cho học sinh lớp 11 trường THPT Nông Cống 2” làm sáng kiến kinh nghiệm cho Mục đính Sáng kiến kinh nghiệm trình bày phương pháp khác để giải vấn đề nêu trên, cụ thể sử dụng chiều biến thiên hàm số bậc hai sách giáo khoa Đại số 10 nâng cao với sử dụng tương quan đồ thị Cụ thể Sáng kiến kinh nghiệm tập trung vào vấn đề sau: • Trình bày khái niệm chiều biến thiên hàm số bậc hai, tương quan hình học • Các tốn có nghiệm tập D giác có nghiệm tập D bao gồm toán phương trình lượng n D Các tốn có nghiệm thuộc bao gồm tốn phương trình lượng n D giác có nghiệm thuộc • 1.2 Mục đích nghiên cứu Mục đính Sáng kiến kinh nghiệm trình bày phương pháp chiều biến thiên giải số toán lượng giác chứa tham số lớp 11, cụ thể sử dụng chiều biến thiên hàm số bậc hai sách giáo khoa Đại số 10 nâng cao với sử dụng tương quan đồ thị 1.3 Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu áp dụng chiều biến thiên hàm số bậc hai để biện luận số tốn phương trình, bất phương trình hệ phương trình lượng giác có tham số Phạm vi nghiên cứu kiến thức chiều biến thiên hàm số bậc hai, với tương quan đồ thị để giải vấn đề 1.4 Phương pháp nghiên cứu Đọc tài liệu, phân tích tổng hợp, quan sát thực tế thực nghiệm NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Bài tốn chứa tham số phương trình, bất phương trình, hay hệ phương trình thường gây khó khăn cho học sinh công cụ “Định lý đảo dấu tam thức bậc hai” giảm tải với học sinh lớp 10 lại chưa tiếp cận với đạo hàm 2.1 Qua nghiên cứu số tài liệu liên quan đến vấn đề, thấy nhiều tác giả tiếp cận vấn đề việc giải chưa thật triệt để Thông qua trình giảng dạy tốn phương trình, bất phương trình chứa tham số, tơi thấy việc học sinh nắm vững tính chất hàm số bậc hai chiều biến thiên em giải vấn đề dễ dàng Với mong muốn góp phần nhỏ vào việc nâng cao chất lượng giảng dạy mơn Tốn nói chung phân mơn Đại Số Giải Tích nói riêng trường THPT Nông Cống 2, huyện Nông Cống nghiên cứu đề tài “Về chiều biến thiên áp dụng giải số toán lượng giác chứa tham số nhằm nâng cao lực giải toán cho học sinh lớp 11 trường THPT Nông Cống 2” 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Là giáo viên giảng dạy mơn Tốn vùng khó khăn trình độ nhận biết học sinh mức vừa phải nhận thấy áp dụng đề tài vào lớp mà phụ trách hiệu quả, đặc biệt năm học tiến hành lớp 11A1 11A2 trường THPT Nông Cống 2, kết thu tương đối tốt Các em thấy khó khăn giải tốn dạng này, sau tiếp cận, hướng dẫn, rèn luyện em giải thành thạo dạng toán Học sinh khơng lúng túng gặp dạng tốn 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Các khái niệm Trong phần này, ta nhắc lại số kiến thức biến thiên hàm số bậc hai tương quan đồ thị hàm số để giải số tốn phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình chứa tham số 2.3.1.1 Định nghĩa [3] Hàm số bậc hai hàm số cho biểu thức có y = ax + bx + c a , b, c a ≠ dạng số với 2.3.1.2 Chiều biến thiên hàm số bậc hai [3] y = ax + bx + c ( a ≠ ) Ta có hai bảng biến thiên hàm số bậc hai sau: 2.3.1.3 Sự tương quan đồ thị Số nghiệm phương trình f ( x) = g ( m) số giao điểm y = f (x) đồ thị hàm số đường thẳng y = g ( m) (xem hình minh họa bên) Trong trang này: Mục 2.3.1.1 mục 2.3.1.2 tham khảo TLTK số 3; Trong mục 2.3.1.3 hình họa “của” tác giả Các tốn có nghiệm tập D 2.3.2.1 Một số kết [2] 2.3.2 Trong sáng kiến kinh nghiệm này, giả sử hàm f ( x) x∈D y = f ( x) kí hiệu m ax f ( x ) hay x∈D tồn f (x) = g ( m ) x∈D • Điều kiện để phương trình có nghiệm f ( x ) ≤ g ( m ) ≤ max f ( x ) x∈D x∈D (Số nghiệm phương trình đồ thị 2.3.2.2 y = f ( x) với đường thẳng Một số tốn Ví dụ Tìm Giải Đặt f ( x) = g ( m) m D D phụ thuộc số giao điểm )  π π x ∈ − ;   2 để phương trình sau có nghiệm sin x + 3sin x + 5m = ( 1) Ta có t = sinx y = g ( m) , với ( 1) ⇔ sin x + 3sin x = −5m  π π x ∈  − ;  ⇒ t ∈ [ −1;1]  2 m t + 3t = −5m Bài tốn quy tìm để phương trình có nghiệm f ( t ) = t + 3t [ −1;1] Xét , ta có bảng biến thiên sau t ∈ [ −1;1] f ( t ) = −2 maxf ( t ) = t∈[ −1;1] Từ bảng biến thiên ta có, nghiệm  π π x ∈ − ;   2 Ví dụ Tìm m Giải Điều kiện: thì: , t∈[ −1;1] Vậy để phương trình có −2 ≤ −5m ≤ ⇔ − ≤ m ≤ 5 để phương trình sau có nghiệm tan x − m = tan x − ( ) cos x ≠ Trong trang này: Mục 2.3.2.1 tham khảo TLTK số 2; Ví dụ 1, Ví dụ “của” tác giả Ta có Đặt  tan x − m = tan x −  tan x − tan x + = ⇔ ( 2) ⇔  tan x − >   tan x ≥ t = tan x Khi hệ trở thành m t − 2t + = m ( 2a )  ( 2b ) t ≥ ( 2a ) Bài tốn quy tìm để phương trình có nghiệm thỏa mãn f ( t ) = t − 2t + [ 2;+∞ ) Xét , ta có bảng biến thiên sau: ( 2b ) m ≥ Từ bảng biến thiên ta có để phương trình có nghiệm thì: m Ví dụ Tìm để phương trình sau có nghiệm sin x + ( cosx - sinx ) = m ( 3) ( ) t = cos x − sinx, t ≤ ⇒ sin x = − t Giải Đặt thành trở −t + 4t + = m ( 3a ) Bài tốn quy tìm Xét Khi phương trình ( 3) m f ( t ) = −t + 4t + để phương trình ( 3a ) t ≤ có nghiệm t ≤ , ta có bảng biến thiên sau: Từ bảng biến thiên ta có, để phương trình có nghiệm thì: m Ví dụ [4] Cho phương trình tham số −4 − ≤ m ≤ − 2cos x + sin x.cosx+cos x.sinx = m ( sinx + cos x ) ( ) a Giải phương trình m = Trong trang này: Ví dụ “của” tác giả Ví dụ tham khảo từ TLTK số 4, lời giải “của” tác giả m để phương trình có nghiệm thuộc đoạn ( ) ⇔ ( cos x − sin x ) + sinx.cosx ( sinx + cosx ) = m ( sinx + cosx ) Giải Ta có ⇔ ( sinx + cosx )  ( cos x − sinx ) + sinx.cosx - m  = b Tìm  π  0;  sinx + cosx = ( 4a ) ⇔  ( cosx - sinx ) + sinx.cosx - m = ( 4b ) ( 4a ) ⇔ x = − ( 4b ) Với thành a Khi π + kπ ( k ∈ ¢ ) t = cosx - sinx ⇒ sinx.cosx = , đặt 1− t2 Khi phương trình ( 4b ) trở −t + 4t + = 2m ( 4c ) m = 2, ( 4c ) ⇔ −t ta có t = + 4t − = ⇔  ⇒ t =1 t =  x = k 2π π  ⇒ cos  x + ÷ = ⇔ π  x = − + k 2π 4   Vậy phương trình có nghiệm x=− b Ta thấy π + kπ ( k ∈ ¢ )   x = k 2π   x = − π + k 2π ( k ∈ ¢ )   π  x = − + kπ  khơng có nghiệm thuộc π  −1 ≤ 2cos  x + ÷≤ ⇒ t ∈ [ −1;1] 4  thuộc đoạn Xét  π 0;  Bài tốn quy tìm m để 0≤ x≤ Do ( 4c ) π nên có nghiệm [ −1;1] f ( t ) = −t + 4t + miền t ∈ [ −1;1] có tD = 2, ta có bảng biến thiên sau: Từ bảng biến thiên ta có, để phương trình có nghiệm thuộc đoạn −2 ≤ m ≤ thì: Ví dụ [4] m Tìm để phương trình sau có nghiệm ( sin x + cos x ) − ( sin x + cos6 x ) − sin x = m ( ) Giải Ta có ( 5) ⇔ ( − 2sin  π 0;  x.cos x ) − ( − 3sin x.cos x ) − sin x = m     ⇔ 1 − sin 2 x ÷−  − sin 2 x ÷− sin x = m     ⇔ sin 2 x − sin x = m  − cos4x  ⇔ ÷− ( − cos x ) = m   1 ⇔ cos x − cos4x - = m ( 5a ) 2 Đặt m t = cos4x, t ∈ [ −1;1] ( 5b ) ( 5a ) ⇔ t − Khi 1 t − = m ( 5b ) 2 Bài tốn quy tìm t ∈ [ −1;1] để phương trình có nghiệm 1 f ( t) = t2 − t − t = , D t ∈ [ −1;1] 2 Xét có ta có bảng biến thiên sau: 10 − Từ bảng biến thiên ta có, để phương trình có nghiệm thì: ≤ m ≤ 16 Trong trang này: Ví dụ tham khảo từ TLTK số 4, lời giải “của” tác giả n 2.3.3.1 2.3.3.2 2.3.3 Các tốn có nghiệm tập D Một số ý Trong phần này, cần ý tương quan nghiệm sau đặt ẩn phụ: Có D1 t x nghĩa nghiệm miền cho ta nghiệm miền D, để làm tốt việc ta sử dụng đường tròn lượng giác Ngồi phần tác giả sử dụng cơng thức minh Một số tốn Ví dụ [4] Tìm Giải Ta có t ∈ [ 0;1] , tìm m m cos3x = 4cos3 x − 3cosx mà khơng chứng để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt thuộc cos4x + 6sinx.cosx = m ( 1) ( 1) ⇔ 2sin 2 x − 3sin x + m − = ta thấy, Đặt t ∈ [ 0;1] t = sin x cho ta để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt 2t − 3t = − m ( 1a ) Khi  π x ∈  0;   4  π 0;   π x ∈ 0;   4 Bài tốn quy t ∈ [ 0;1] 11 f ( t ) = 2t − 3t Xét t ∈ [ 0;1] có tD = , ta có bảng biến thiên sau: ( 1a ) Từ bảng biến thiên ta có, để phương trình có hai nghiệm phân biệt 17 − < − m ≤ −1 ⇔ ≤ m < 8 Ví dụ Tìm Giải Ta có m để phương trình sau có nghiệm phân biệt sin x + sinx + − 5m = ( ) ( ) ⇔ sin x + sinx + = 5m t ∈ [ 0;1]  π π x ∈ − ;   2 Trong trang này: Ví dụ tham khảo từ TLTK số 4, lời giải “của” tác giả Ví dụ “của” tác giả Đặt t = sinx , với  π π x ∈  − ;  ⇒ t ∈ [ −1;1]  2  π π x ∈ − ;   2 nghiệm có nghiệm phân biệt f ( t) = t + t +1 Bài tốn quy tìm m để phương trình cho t + t + = 5m t ∈ [ −1;1] Xét Ta thấy nghiệm t ∈ [ −1;1] đoạn [ −1;1] tD = − có , ta có bảng biến thiên sau 12 Từ bảng biến thiên ta có, để phương trình có nghiệm phân biệt t ∈ [ −1;1] thì: 3 < 5m ≤ ⇔  −2 < m < 1 −  −2 < − Trường hợp 3: ( 4a ) vô nghiệm miền thì: (vơ lý) m < ⇔ −4 < m < Từ bảng biến thiên ta có, phương trình ( −∞; −2] ∪ 2; +∞ ) ( −∞; −2] ∪ 2; +∞ ) Ta có bảng biến thiên sau: ( 4a ) vơ nghiệm miền thì:   −4 < m <    −4 < m <  m ≤    5 − 2m ≥ + 2m  m > −  5 + 2m > 5  ⇔ ⇔−   n <   Vậy để phương trình vơ nghiệm thì: 5 −